大学毕业论文-高斯光束通过梯度折射率介质的传输特性

本科毕业设计论文

设计(论文)

题目高斯光束通过梯度折射率介质中的传输特性

指导教师

姓名___________ 辛晓天________ ____

学生

姓名___________ 赵晓鹏________ ____

学生

学号_________ 200910320129___ ___ _院系_______理学院________ _

专业 ____ 应用物理_____ _

班级____ 0901___ _

高斯光束通过梯度折射率介质中的传输

特性

学生姓名：赵晓鹏指导教师：辛晓天

浙江工业大学理学院

摘要

本文利用广义惠更斯-菲涅耳衍射积分(Collins公式)法，导出了高斯光束在均匀介质和梯度折射率介质中传输的解析表达式。对高斯光束在均匀介质和梯度折射率介质中传输特性进行了分析，重点分析了梯度折射率系数和传输距离对传输特性的影响。结果表明，高斯光束在梯度折射率介质中传输时，随着梯度折射率的变化，轴上光强分布呈周期性变化；在梯度折射率系数一定时，其轴上光强分布关于光强最大位置是对称的。

关键词：广义衍射积分法、高斯光束、均匀介质、梯度折射率介质、传输特性

- 1 -

Propagation properties of Gaussian beams

in Gradient-Index medium

Student: Zhao Xiao-Peng Advisor: Xin Xiao-Tian

College of Science

Zhejiang University of Technology

Abstract

Using the generalized Huygens Fresnel diffraction integral (Collins formula), this paper deduces the analytical expression of Gauss beam in a homogeneous medium and gradient refractive index medium.The Gauss beam propagation in homogeneous media and the gradient refractive index medium are analyzed, and analyze the influence of gradient refractive index coefficient and transmission distance of the transmission characteristics.The results show that Gauss beams in the gradient index medium transmission, along with the change of gradient refractive index, light intensity on axis changes periodically;In the gradient refractive index coefficient is fixed, the axial intensity distribution of light intensity maximum position is symmetrical.

Keywords：Generalized diffraction integral; Gaussian beam; homogeneous medium;Gradient-index media; Propagation properties

- 2 -

目录

中文摘要 (i)

英文摘要 ............................................................ i i 目录 ............................................................... i ii 第一章绪论 .................................................... 1-1

1.1研究动机与目的...............................................

1.2研究背景.....................................................

1.3研究方法.....................................................

1.4论文內容概述................................................. 第二章基础概念 ................................................ 2-1

2.1高斯光束....................................................

2.2梯度折射率光学元件..........................................

2.2.1梯度折射率的分布.......................................

2.2.2梯度折射率光学元件的发展前景...........................

2.3柯林斯(C OLLINS)公式.......................................... 第三章高斯光束通过光学系统的传输 .............................. 3-1

3.1高斯光束通过一阶ABCD光学系统的传输..........................

3.2高斯光束在均匀介质中的传输..................................

3.3数值计算及分析

第四章高斯光束在梯度折射率介质中的传输特性 .................... 4-1 4.1 高斯光束在梯度折射率介质中的传输 ...........................

4.2 数值计算及分析 ............................................. 第五章结论 .................................................... 5-1 参考文献 ........................................................... R-1 致谢 ..................................................................

- 3 -

第一章绪论

1.1 研究动机与目的

近年来,各种新型空心激光束(Hollow Laser Beam , HLB) 相继出现 ,其应用领域不断扩大. 作为光通信光源、激光导管、光学镊子(光钳) 和光学扳手 ,空心激光束在通信,在微观粒子(如微米粒子、纳米粒子、自由电子、生物细胞和原子或分子等) 的精确、无接触操纵和控制,在激光加工和原子冷却等方面有着广泛的应用.

本课题重点要解决的问题是研究高斯光束通过光学系统的传输特性，得到光束的传输和变换特性，为其实践中关于这类光束的应用解决提供实际的指导和借鉴。

1.2 研究背景

关于光束的传输变换研究，早期主要研究的是高斯分布为代表的所有非均幅光束，研究非均幅光束通过自由空间、各种介质(均匀和非均匀、各向同性和各向异性介质以及线性和非线性介质等)、各种光学系统和在光学谐振腔中的传输变换规律[5]。而在20世纪60年代，对光束的传输变换研究做出突出贡献的有福克斯(fox)、厉鼎毅(Li)和柯格里克(Kogelnik)，他们引入的ABCD矩阵和ABCD定律、光腔往返一周自再现模和光腔衍射积分的Fox-Li 数值迭代法已经成为研究光束传输变换和光学谐振腔问题的基本方法[6-7]；另一个对光束传输变换研究做了开创性工作的当属柯林斯(Collins)。1970 年，他在“用矩阵光学表示的透镜系统的衍射积分”[8](Lens-systems diffraction integral written in terms of matrix optics)此论文中将复杂的光学系统衍射积分与ABCD矩阵元[8]有机地结合在一起。这样一来让矩阵光学方法得到了进一步的丰富，并且衍射理论的应用范围也进一步得到拓展。

而从现有的各种研究结果来看，上述的所有研究方法被广泛应用到了各种光束传输变换的研究中，并且取得了一定的成果。因此可以说，在近轴近似下和衍射理论的的基础上，人们已经能够很好地求解各种光束在各种介质、光学谐振腔和光学系统中的传输变化特性。

研究激光光束在空间的传输变换和光束质量控制问题已经成为一门独立的学科—激光光学[1]。而从1960年第一台红宝石激光器问世以来，激光的研究和应用成为了当今激光高科技发展的重要方向之一。激光技术的发展，也很大的推动了相关基础学科与应用学科的发展。

激光光学主要是研究以高斯光束为代表的激光束在自由空间、各种介质、各种光学系统

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和在光学谐振腔中的传输变换规律。在激光光束的所有理论和实验的研究中，常常需要处理激光光束在空间中的传输与变换、控制与整形以及光束质量的评价与测量等问题。所以，激光光束在各种介质中的传输变换特性也是人们关注的热点问题。研究发现，激光光束在非均匀介质中传输时，出现了在均匀材料介质中所不具有的光学性能。在研究中人们发现，梯度折射率介质在材料制备、器件制造等方面具有很独特的应用。因此，系统地研究高斯光束在梯度折射率介质中的传输变换特性成为了重要的研究课题。

1.3 研究方法

本论文用广义惠更斯一菲涅耳衍射积分(Collins公式)法来研究光束处理光束的各类传输变换特点。研究结果有望对光束的传输变换性质有更深层次的认识，得到光束的传输和变换特性，为其实践应用解决提供实际的指导，对光束的控制与整形以及光学系统的设计有参考价值。所谓Collins公式是一个在复杂的光学系统中的衍射积分公式，最常见的应用就是计算平面波（通常为可见光、无线电波、X射线或电子等）入射到任意形状的孔径上的衍射行为。使用这一方法,不仅可以处理经典光学中熟知的问题，而且对任一复杂光学系统,只要它的光线变换矩阵已知,Collins公式及其推广形式(B=0)原则上都可用来研究其光线或光束变换问题,而民不仅限干几何和物理光学问题,这就大为扩展了矩阵方法在现代光学中的应用。本文就是要用Collins公式研究高斯光束通过由ABCD矩阵元表征的复杂光学系统的传输特性，进而发现问题提出建议。

1.4 论文內容概述

本论文各章节安排如下：

第一章，绪论。介绍了研究动机与目的、研究背景、研究方法及光束变换发展的历史和梯度折射率光学，介绍高斯光束在梯度折射率介质中传输特性的研究内容及意义。最后，简要介绍了论文的结构。

第二章，基础概念。介绍了高斯光束、梯度折射率光学元件和广义惠更斯—菲涅耳衍射积分(Collins公式)法。

第三章，介绍了高斯光束通过光学系统的传输变换，和通过无光阑光学系统的传输，利用高斯光束ABCD定律简洁地处理高斯光束在自由空间和通过均匀介质的传输变换。

第四章，描述了高斯光束在梯度折射率介质的传输，利用广义惠更斯-菲涅尔衍射积分法，对高斯光束在梯度折射率介质中的传输特性进行了分析。

第五章，总结。归纳了本论文的主要结论。

- 5 -

- 6 - 第二章 基础概念

2.1 高斯光束

高斯光束的研究及其传输变换特性，是激光光学的一个重要研究内容。高斯光束是亥姆霍兹方程在缓变振幅近似下的一个特解[1 ]，它可以足够好地描述基膜激光束的性质。使用高

斯光束复参数表示和ABCD 定律能统一而又简洁的处理高斯光束在腔内、外的传输变换问题。 稳态传输电磁场满足亥姆霍兹方程为[1 ]

0),,(),,(2=+?z y x E k z y x E (2-1-1) 式中),,(z y x E 与电场强度的复数表示),,,(t z y x E 间有关系[1 ]：

)ex p(),,(),,,(iwt z y x E t z y x E = (2-1-2) 容易证明，平面波和球面波都(2-1-1)式中的特解。高斯光束则不同，它不是(2-1-1)式的精确解，而是在缓变振幅近似下的一个特解。

设)ex p(),(),(ikz z r A z r E -=且在z=0处有一振幅为[1 ] )ex p()0,(),(20200w r A r A z r A z -=== (2-1-3) 的高斯光束，然后求在任意z 处的),(z r A .式中

0w 为束腰，0A 为振幅常量，如果只考虑相对

值，则可由归一化条件求出。

于是证明了，形如

???? ??---=0202001exp 1),(Z iz w r Z iz A z r A (2-1-4) 的高斯光束是亥姆霍兹方程(2-1-1)式在缓变振幅下的一个特解其物理意义为：如果在z=0处有一形如(2-1-3)式的高斯光束，则它将以式(2-1-4)非均匀高斯球面波的形式在空间传播。 (2-1-4)式可改写为[1 ]

???????????

?--??????-=ψ)(2exp )(exp )(),(22200z R kr i z w r z w w A z r A (2-1-5) 此式中有高斯光束的三个重要参量为[1 ]

2

00)(1)(Z z w z w += （高斯光束的束宽）

???? ??+=z Z Z z Z z R 000)( （高斯光束的等相面曲率半径）

01tan Z z

-=ψ （高斯光束的相位因子）

此为高斯光束的三个重要参量。

- 7 - 利用式(2-1-5)可将),(z r E 表示为[1 ]

??????????-????????????+-??????-=ψz z R r k i z w r z w w A z r E )(2exp )(exp )(),(22200 (2-1-6)

2.2 梯度折射率光学元件

大家都知道，在一般光学系统中，每个光学元件的折射率都是均匀的，也就是说光学元件材料的折射率是个常数。在设计这类光学系统时，透镜设计人员可以通过单独改变每个元件的曲率、厚度和折射率来世透镜系统的性能达到最佳。然而，这不是唯一的方法，还有一种方法，即用折射率连续变化的适当材料制作的透镜元件，也能使透镜系统性能最佳。这种透镜元件就叫做梯度折射率光学元件（也叫做自聚焦透镜元件）。

梯度折射率的分布

2.2.1 梯度折射率的分布

梯度折射率的分布有三种类型：

a.径向分布梯度折射率[2]

折射率等值面是柱面，其轴线与透镜系统光轴重合。

使用径向分布梯度折射率材料的光学元件制作的端平面光学元件，其折射率剖面分布非常接近于抛物面，由于径向梯度有光焦度贡献。也可附加曲面的光焦度，包括给光学系统参数,另外控制或增加透镜的数值孔径。

一个径向梯度折射率棒可等效于一串中继透镜，这在内窥，潜望系统中尤其见长。

b,轴向分布梯度折射率[2]

折射率沿光轴方向连续变化。

折射率等值面垂直于光轴的平面

（自聚焦光学纤维就是一个很好的例子）

采用轴向分布梯度折射率材料的光学元件，通常设计成球面给出整个光焦度的贡献，由于其轴向折射率的变化，一个轴向梯度折射率球面在校正像差方面可等效于普通透镜的非球面作用。 C,球面分布梯度折射率[2]

折射率分布对称于一个点，折射率等值面是球面

其例子是1854年的麦克斯维尔鱼眼透镜和利用在广播的微波波段和声学成像的卢布格透镜 2.2.2 梯度折射率光学元件的发展前景

梯度折射率光学元件的优缺点

优点：梯度折射率材料的使用，可以减少光学系统组件，简化加工工艺，它的端面是平面，可直接和光纤或其他光学元件胶合，而形成一个紧凑、稳定和牢固的整体结构。在纤维光学方面

- 8 - 改变了单根光学纤维只能导光不能传像的状况，为光通讯提供了较好的传输介质。 缺点：受加工工艺的限制，难度高，不可能做大的通光孔径。

梯度折射率材料的出现，为光学工艺设计师们提供了一种新的设计思路，即利用折射率的变化来校正像差，它充分的说明利用折射率光学可减少光学组件，简化加工工艺，为科技工程师提供了一条光学系统向微型化、轻型化、优质化、易装配等方向发展的新途径。

2.3 柯林斯(Collins)公式

研究光束传输变换问题需要对衍射理论进行推广，在此方面做出重要贡献的是柯林斯

(Collins)。柯林斯证明，当衍射面与观察面不是自由空间，而是用变换矩阵()B

D

A C 表征的复杂光学系统时，菲涅耳衍射积分公式不能直接的应用。按柯林斯的方法将衍射积分推导为了可使用的。

其推导出[1 ]

[]11212122222121111222)(2)()(2exp )0,,()exp(),,(1dy dx y y x x y x D y x A B ik r E ikz B i z y x E s ??????+-+++?

??

? ??-=???λ (2-3-1) 式中积分对源点)0,,(11y x 所在1S 面进行。

在柱坐标下有[1 ]：

[]11121212221111222)cos(22exp )0,,()exp(),,(1????λ?d dr r r r Dr Ar B ik r E ikz B i z r E s ??????--+?

??

? ??-=?? (2-3-2) 对于旋转对称情况有[1 ]

()11222121011222exp )0,()exp(),(1dr r Dr Ar B ik B r kr J r E ikz B ik z r E s ??????+???

? ????? ??-=? (2-3-3) 0J 为零阶贝塞尔函数。

则有，式(2-3-1)(2-3-2)(2-3-3)称为广义惠更斯-菲涅耳衍射积分或者柯林斯公式，用以研究光学系统的空间域衍射问题，是本论文使用的一个重要公式。

第三章 高斯光束通过光学系统的传输

- 9 - 3.1 高斯光束通过一阶ABCD 光学系统的传输

高斯光束在z = 0平面上的场分布可表示为[15]：

)ex p()ex p()0,,(20202020000w y w x A y x E --= (3-1-1) 式中0w 为束腰宽度，

0A 为振幅常量。当高斯光束通过一阶近轴光学系统()B D A C 时其场分布由广义惠更斯-菲涅耳衍射积分描述 []00220020200000)()(2)(2exp )

0,,(),,(dy dx y x D y y x x y x A B ik y x E B i z y x E ??????+++-+-=??∞∞-∞

∞-λ (3-1-2) 式中：λπ2=k 代表波数，λ为波长。为了方便，上式略去了相因子。将式(3-1-1)代入式(3-1-2)积分可得

??????+'+'-??????+'='')2(2))(2(exp )2(2),,(2022204022020ikAw B y x D ikw C w k ikAw B w i A z y x E λπ (3-1-3) 式中：0w x x ='，0w y y ='为归一化坐标，A '为一常数。式(3-1-3)即为高斯光束在无光阑情况下, 通过一阶

近轴光学系统的场分布表达式。

3.2 高斯光束在均匀介质中的传输

如上式(3-1-1)高斯光束在z = 0平面上的场分布可简单表示为：

???? ??-=2

021010exp )0,(w r A r E (3-2-1) 其中2221y x r +=，则其通过长L 折射率为n 的均匀介质矩阵()n

L 1

10时代入式⑼积分可得到 ()???? ??+-+=iL knw knr ikz iL knw knw A z r E 2exp exp 2),(20220200 (3-2-2) 即为高斯光束在此均匀介质中的场分布表达式。而由),(*),(z r E z r E P =可得高斯光束在此均匀介质中任意一点的光强分布为： ???? ??+-+=222402222022240224020

42exp 4L n k w r n k w L n k w n k w A P (3-2-3)

- 10 - 而当高斯光束在自由空间中传输时由221y x r +=可得到任意一点的光强分布为：

)(2ex p 220y x p --= (3-2-4) 由此很容易导出上述结果。

3.3 数值计算及分析

利用式(3-2-3)和(3-2-4)进行数值计算, 得到了高斯光束在均匀介质和自由空间中传输时, 轴上光强分布图, 其结果如下图所示。计算时,令125000133=λum ，mm w 10=，133250000π=k ，2.1=n ，10=A ，一定时，取均匀介质长L 分别为1000，5000，10000时则其光强分布图如下所示：

图a 图b

- 11 -

图c 图d

则如图a ，图b ，图c ，图d 分别为L 取1000，5000，10000时高斯光束在均匀介质中传输的光强分布，图d 则为高斯光束在自由空间内传输的光强分布。由图像对比效果可显而易见，在折射率n 、长L 的均匀介质中，折射率n 一定时，随着L 的取值越来越大时光强分布展宽，光强减弱；而对比自由空间中光强分布可得在均匀介质中光强分布有别于自由空间内。

第四章 高斯光束在梯度折射率介质中的传输

特性

激光光学产生以后，激光光束通过各类光学系统和介质的传输变换是光学研究的重要课题。在光通信、光传感技术、网络检测以及光纤熔接等应用中，非均匀折射率介质具有非常潜在的价值，在非均匀折射率介质中，梯度折射率介质(GRIN)的特性及其应用得到了广泛的研究

[3-6]。梯度折射率介质中折射率的横向变化使人射光束产生波导效应[7]和类透镜效应[8]，进而使

得光束在梯度折射率介质中的传输有别于其在自由空间中的传播[2,9]。为此，人们对高斯光束、

余弦高斯光束和平顶高斯光束等在梯度折射率介质中的传输已有较为深入的研究[10-12]。高斯光

束通过非线性GRIN 透镜的传输特性不仅与入射光束的参数有关，而且与介质的非线性和非均匀性有关；高斯光束在梯度折射率非线性 Kerr 介质中传输时，衍射、自聚焦和梯度折射率效应之间的竞争对高斯光束的传输特性有影响，梯度折射率效应使光束自聚焦的距离缩短；部分相干平顶光束通过梯度折射率介质时,轴上光强分布的周期由梯度折射率系数决定，且轴上峰值处光强的大小受到梯度折射率系数的影响。本文利用广义惠更斯-菲涅耳衍射积分(Collins 公式)法, 推导出高斯光束在梯度折射率介质中的传输解析表达式,并研究了高斯光束在梯度折

- 12 - 射率介质中的传输特性。

4.1 高斯光束在梯度折射率介质中的传输

梯度折射率光学介质按折射率分布有三种类型, 可分为径向分布梯度折射率、轴向分布梯度折射率和球面分布梯度折射率3类,以上三种形式的梯度折射率透镜，由于制造上的难度目前只能生产第一种和第二种。其中梯度径向分布的介质应用最为广泛。在径向光路图和梯度折射率的变化情况如下图(4-1)所示[13]。

图（4-1） 高斯光束在梯度折射率介质中的传输示意图

径向分布的梯度折射率介质的折射率可表示为

（4-1-1） 上式中有：n 为介质轴上的折射率；β为梯度折射率系数。

则非均匀介质传输矩阵可表示为[14]

（4-1-2） 则将此矩阵代入式(3-1-2)中积分得到高斯光束在梯度径向分布的梯度折射率介质中的传输表

达式为：

?????? ??+-++-+=z ikzw z z ikzw z z ikzw z ikzr ikz z i kzw z z kzw A z r E βββββββββtan 2sec csc tan cot 2)cot (21exp )exp()

tan 2(sin tan ),(202020220200 （4-1-3） 由),(*),(z r E z r E P =可得高斯光束在在梯度折射率介质任意一点的光强分布为： ???? ??+-+=20222202222

20222202220tan 4csc sec tan 2exp sin tan tan 4w z k z z z z w r z k z z w z k z w z k A P βββββββ （4-1-4） 上式表明任意一点的光强分布与束腰及梯度折射率系数β有关，且分析上式沿光束传播的方向轴上光强分布呈周期性变化，相应的空间周期为πβ，周期由梯度折射率系数β来决定，而与

- 13 - 其他因素无关，而轴上光强最大值位置为： ??? ??+=

j z j 21m ax βπ ，j 为整数 （4-1-5） 容易看出, 介质的梯度折射率系数β越大, 则轴上光强最大位置距介质表面越近。

4.2 数值计算及分析

通过式（4-1-5）可容易算出当梯度折射率系数β=0.1mm -1 时,周期为10π,则光强的最大位置为z=10π(1/2+j ）;梯度折射率系数β=0.5mm -1 时,周期为2π,则光强的最大位置为z=2π(1/2+ j) ; 梯度折射率系数β=1.0mm - 1时, 周期为π,则光强的最大位置为z=π(1/2+j)。

A.梯度折射率一定β=0.5时，传输距离z 取不同值时光强分布

z=π-1 z=π-2.5

z=π+1 z=π+2.5

如上图所示分别为高斯光束在梯度折射率介质中传输距离取z=π-1，z=π-2.5，z=π+1，z=π+2.5时的光强分布，高斯光束在梯度折射率介质中传输时, 梯度折射率系数β一定时，分析

上图可知其轴上光强分布关于光强最大位置是对称的。

B.梯度折射率系数β取不同值时轴上光强分布

β=0.1 β=0.5 β=1.0

β=1.5β=2.0β=2.5

则上图为梯度折射率系数分别取β=0.1，β=0.5，β=1.0，β=1.5，β=2.0，β=2.5时光强分布图，分析上图可知光强最大位置分布随传输距离呈周期性变化，随梯度折射率系数β的增大，光强分布随之周期性压缩展宽，光强周期性变大变小。

第五章总结

高斯光束在均匀介质中传输时有，在折射率n、长L的均匀介质中，折射率n一定时，随着L 的取值越来越大时光强分布展宽，光强减弱；而对比自由空间中光强分布可得在均匀介质中光强分布有别于自由空间内。高斯光束在梯度折射率介质中传输时有，在梯度折射率系数β一定时，随着传输距离变化可分析得到其轴上光强分布关于光强最大位置是对称的；而随着梯度折射率系数β的变化，可分析得光强最大位置分布随传输距离呈周期性变化，且空间周期与介质梯度折射率系数β成反比。

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参考文献

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致谢

于论文完稿之际，首先向我的导师辛晓天老师表示衷心的感谢。从论文的选题、前期的工作，到论文的撰写、修改和最后的定稿，老师对我的帮助都凝结着老师的心血和智慧。而与导师的接触和老师对我的帮助都可以看出老师知识的渊博、思维的敏捷、对事物的认真严谨都给我留下了深刻的印象，使我得益良多，我想这将会永远鞭策我努力向上，永不放弃，勇往直前。

感谢为我提供的多方面帮助的同学们。正是因为有你们的帮助，我的论文才会如期完成。

感谢所有朋友和我的家人，给予我莫大的支持和帮助。带着你们无私的关爱和付出，我一定会勤奋工作、天天向上。

再次感谢所有帮助、关心和支持过我的人！

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