基于压缩感知的高分辨DOA估计

［6 ］
。
实际空间感兴趣目标仅占据少量的角度分辨单
基金项目： 南京理工大学自主科研专项计划（ 2010ZYTS082 ）
第6 期
贺亚鹏等： 基于压缩感知的高分辨 DOA 估计
［9 ］
1345
元， 故目标在空域内是稀疏的 估计中 的 应 用
［10 － 12 ］
， 由此 CS 在 DOA
进行投影测量得观测值矢量 y， 即 y = Φx = ΦΨα = Θα 满足 RIP
L L
DOA 估计信号模型 阵列接收信号稀疏性分析 假设有 K 个远场窄带信号入射到 L 元阵列上，
不考虑噪声时， 阵列接收信号为
K
x（ t） =
r k （ t） a k ∑ k =1
（ 7）
…， K ） 是 信 号 复 包 络； a k = 其中 r k （ t） ，（ k = 1 ，
T ［ e jω0τ1k ，e jω0τ2k ， …， e jω0τ Lk］ 为导向矢量， τ lκ 表示第 k
Abstract： The multitargets DOA estimation problem is investigated based on compressive sensing in this paper． sidering sparsity of the spatial targets，a novel DOA compressive sensing model is derived，in which sensing matrix satisfies the restricted isometry property （ PIP ） ． A regularized multivectors focal undetermined system solver （ RMFOCUSS） DOA algorithm based on singular value decomposition is proposed． The algorithm overcomes the defect that compressive sensing recovery algorithms can not be used in a low signaltonoise ratio case，and has a lower computational complexity． Computer simulations show that the presented algorithm performs better than traditional DOA algorithms for signals with any coherence and offers higher angle resolution and estimation accuracy． Key words： Compressive sensing； High resolution； DOA； SVD； RMFOCUSS
Compressive Sensing Based High Resolution DOA Estimation
HE Yapeng，LI Hongtao，WANG Kerang，ZHU Xiaohua
（ School of Electric Engineering and Optoelectronic Technology， NUST， Nanjing 210094 ， China）
宇航学报
第 32 卷
（ 8） （ 9）
（ 12 ） 为 DOA 估计的联合稀疏信号模型。 3 SVDRMFOCUSS 算法 直接 优 化 求 解 式 （ 12 ） 的 欠 定 方 程 组 即 可 得 DOA 估计， MORMP 算法、 求解可采用 MOMP 算法、 MFOCUSS 算法与 RMFOCUSS 算法等。文献［ 13］ 对 上 述 几 种 算 法 做 了 分 析 比 较， 在同等条件下 RMFOCUSS 算法较其它算法恢复成功概率高且误 差小。但上述所有重构算法在信噪比低于 10dB 时 性能急剧下降， 且当快拍数较大时运算复杂度较高 ， 在 DOA 估 计 中 无 法 实 用。 本 文 提 出 SVDRMFOCUSS 算 法， 首先对阵列接收信号矩阵进行 SVD 分解提取信号子空间， 得到式 （ 12 ） 的低维表示 形式， 随后采用 RMFOCUSS 算法进行 DOA 估计， 使 得在低信噪比情况下也能够得到有效的 DOA 估计， 同时显著降低了运算量。 3． 1 联合稀疏信号模型的降维表示 将式（ 12） 的阵列接收信号矩阵 SVD 分解表示为 US Y = U ΛV H = ［
［ 1 ］
。自
（ Compressing Sensing， CS） 理论吸引了研究
［7 ］
研究者们提出了大量有效的 上世纪 60 年代以来， DOA 估计算法， 主要有 Capon 提出的最小方差谱估 计法（ MVDR ） 以及以 Schimidt 提出的多重信号分类 法（ MUSIC ） 为代表的子空间算法。其中，MVDR 方 法虽然突破了阵列孔径的内在限制且不需要预知信 源个数， 但受到瑞利限的制约， 无法分辨一个波束宽
［2 ， 6 ］
也 得 到 了 广 泛 的 研 究。 文 献
（ 2）
［ 10 － 11］采用 CS 对阵列接收信号进行时域压缩采 降低了阵列接收的时域采样点数 ， 但该方法要求 样， 多目标回波信 阵列接收为已知形式的可压缩信号， 12］ 号相干系数为 0 或 1 。文献［ 采用随机高斯矩阵 对空域信号进行压缩采样， 重构算法采用多测量矢 量欠定系 统 聚 焦 求 解 （ MFOCUSS ） 算 法
（ l = 1， …， L） 。 个信号到第 l 阵元的相对时延， 采 用 均 匀 线 性 阵 列 时 ， 相 对 时 延 τ lκ = （ ldsinθ k ） / c， c 为光速， d 为阵元间隔， （ d ≤ λ / 2 ） ，θ k e j2πf θ kd ， 为入射信 号 与 线 阵 法 线 的 夹 角， 则 ak = ［
MFOCUSS 算法在快拍数较多情况下运算量急剧增 。 针对上述问题， 本文提出一种新的高分辨 DOA 估计方法。该方法利用目标在空域的稀疏性， 根据 采用随机阵列对空域稀疏信号进行 压缩感知理论， 压缩采样； 构建了新的 DOA 压缩感知模型， 其感知 矩阵满足 RIP 条件， 由此保证了采用压缩感知重构 算法进行 DOA 估计的有效性和稳健性； 提出基于奇 异值分解的多测量矢量欠定系统正则化聚焦求解算 RMFOCUSS ） 实现了 DOA 超分辨估计， 法 （ SVD该 算法首先采用奇异值分解提取信号子空间 ， 得到低 维形式的接收信号数据矩阵， 随后采用性能较好的 RMFOCUSS 算法
0607 ； 收稿日期： 20101113 修回日期： 2010-
者们的极大关注， 已广泛应用于图像处理 通信
［8 ］
和无线
等诸多领域。 CS 理论指出当信号可压缩或
稀疏时， 可采用低于奈奎斯特频率的采样率对信号 进行非自适应随机投影测量， 随后通过求解一个 l1 优化问题使原信号能够以很高的概率精确重建
［13 ］
s． t．
y － Θα
2
＜ ε
（ 6）
其中 ε 是与噪声有关的一常量， 式（ 6 ） 可通过 DS 算 、 CoSaMP 算法［16］等有效求解。 目前， 测量矩阵 Φ 的两种通用取法是采用随机 噪声矩阵或正交矩阵的行随机抽取子矩阵 。 理论证 明， 这两种具有随机性的测量矩阵 Φ 和任意固定的 稀疏基矩阵 Ψ 可在很大概率上使得 Θ 满足 RIP 条 件 2 2． 1
T e j2πf θ k2d ， …， e j2πf θ kLd］ ， 其中 f θk = sinθ k / λ ， λ 为载波波
x =
∑ αi ψi = Ψα
i =1
（ 1）
T …， ， …， 其中 Ψ = ［ ψ1 ， ψ2 ， ψL ］ α =［ α1 ， α2 ， α L］ 。 若
‖·‖0 表示矢量的 l0 范数， 满足 ‖α‖0 = K L， 则信号 x 为 K 稀疏信号。 矩阵 Ψ 为稀疏基矩阵， α为 信息矢量。 对稀疏信号 x 用 M × L（ M L） 的测量矩阵 Φ
0
引
言
度内的两个信号； 子空间算法具有高分辨的特性， 但 由于相干信号源信号子空间与噪声子空间相互渗透， 不能对相干信号源进行有效分辨或测向。 近年来， 信息论和信号处理领域中提出的压缩 感知
［2 － 6 ］
波达方向估计（ DOA） 是高分辨阵列信号处理的 重要研究内容之一， 被广泛应用于无线通信、 雷达、 导 航、 声纳、 天文学和生物医学工程等诸多领域
长。 可以看出 a k 为一个频率为 f θk 的单频复正弦离散 信号， 其采样周期为 d， 故 x（ t） 是多个单频复正弦信 F为L ×L 号的叠加。 设 x（ t） 在频域的表示为 s（ t） ， 的傅立叶变换矩阵， 则
1346 s（ t） = Fx（ t） 或 x （ t ） = F － 1 s（ t ）
［13 ］
式中 Θ = ΦΨ 是 M × L 的感知矩阵。 理论证明， 当Θ 条件时， 信息矢量 α 可以由观测值矢量 min α s． t． y = Θα （ 3） y 通过求解最优 l0 范数问题精确重构［2］：
0
hard 问题。 最优化问题 （ 3 ） 本质上是一个 NPDonoho 等人指出［14］求解一个更加简单的 l1 优化问 题会产生同等的解： min α 写为 y = Θα + n （ 5） 式中 n 为 L × 1 维噪声矢量且服从复正态分布， 即n ～ CN（ 0 ，σ2 I） 。 对式（ 5 ） 中 α 估计的优化模型为 min α 法
第 32 卷 第 6 期 2011 年 6 月
宇
航
学
报
Journal of Astronautics