隐零点问题

隐零点问题

有一种零点客观存在，但不可解，然而通过研究其取值范围、利用其满足的等量关系实现消元、换元以及降次达到解题的目的.这类问题就是隐零点问题.

类型一 根据隐零点化简求范围

典例1. 已知函数的图像在点(其中为自然对数的底数)处的切线斜率为3.

()ln f x ax x x =+x e =e （1）求实数的值； a （2）若，且对任意恒成立，求的最大值； k Z ∈()

1

f x k x <-1x >k 【答案】

3【解析】解析：（1），由解得；

()'1ln f x a x =++()3f e =1a =（2），，， ()ln f x x x x =+()ln ()11f x x x x

k g x x x +<

=--@2

2ln '()(1)x x g x x --=

-令，有，那么. ()2ln h x x x =--1

'()10h x x

=-

>()(1)1h x h >=-不妨设，由，，则可知，且. 0()0h x =(3)0h <(4)0h <0(3,4)x ∈00ln 2x x =-因此，当时，，；当时，，； ()0h x >()'0g x >0x x >()0h x <()'0g x <0x x <即可知，

[]000000min 00(ln 1)(1)

()()11

x x x x g x g x x x x +-==

==--所以，得到满足条件的的最大正整数为3. 0k x ≤k

类型二 根据隐零点分区间讨论

典例2 已知函数，为何值时，方程有唯一解.

2()2ln (0)f x x t x t =->t ()2f x tx =【答案】

(,0){1}-∞ 【解析】

，

222ln 22(ln )x t x tx t x x x -=⇔+=当时，有；

ln 0x x +=t R ∈设，；又，，不妨设， ()ln u x x x =+1'()10u x x =+

>(1)10u =>11

()10u e e

=-<00ln 0x x +=则可知.

01(,1)x e

∈当时，得到； ， ln 0x x +≠22()ln x t g x x x =+@222

2ln (12ln )'()(ln )(ln )x x x x x x x g x x x x x -+-+==

++令，易知，且时，；时，；

()12ln g x x x =-+(1)0g =1x >()0g x >1x <()0g x < 综上可知在区间上为减函数，在区间上为增函数；画图函数图像：

()g x 00(0,),(,1)x x (1,)+∞

因此，可知所求的范围为.

t (,0){1}-∞

类型三 根据隐零点构造新函数

典例3 已知函数，当时，，求实数a 的取值范围．

()21x f x e x ax =---0x ≥()0f x ≥【答案】

1

(,]2

-∞【解析】，首先，当时，在上恒成立，则有．

()'12x f x e ax =--0a ≤[0,)+∞()'0f x ≥()()00f x f ≥=其次，当时，令，，由题1可知，当，即时，．此0a >()x g x e =()21h x ax =+021a <≤1

02

a <≤()()g x h x ≥时,同样有．再者，当时，函数与相交于点和．同时，()'0f x ≥()0f x ≥1

2

a >

()y g x =()y h x =()0,1()00,x y 当时，；当时，. 即可知，将

()00,x x ∈()'0f x <()0,x x ∈+∞()'0f x >()()02

000min 1x f x f x e x ax ⎡⎤==---⎣⎦代入得到：

0012x e ax =+ ，令，则． ()00

000112x x e f x e x x -=---⋅()00x >()112

x x

e F x e x x -=---⋅()0x >()()11'2x e x F x --=

又由变式2可知，那么，即在区间上递减，因此有

()1x

x e -+-≤()1

'02

x x e e F x -⋅-≤≤()F x ()0,+∞，与矛盾，故不合题意． ()()000f x f <=()0f x ≥1

2

a >

综上可知，满足题意的实数a 的取值范围为．

1

(,2

-∞模拟：

1．已知函数，.（且为常数，为自然对数的底） f(x)=x ⋅e x ―a(ln x +x)g(x)=（m +1）x a,m ∈R e （1）讨论函数的极值点个数；

f(x)（2）当时，对任意的恒成立，求实数的取值范围. a =1f(x)≥g(x)x ∈(0,+∞)m 【答案】（1）当时，无极值点；当时，有且仅有1个极值点；（2） a ≤0a >0(―∞,0]【解析】

（1）的定义域为， f(x)(0,+∞)，

f '(x)=(x +1)e x ―a

(1x +1)=x +1

x (xe x ―a )因为函数在上恒成立，

y =(xe x )'=e x +xe x >0(0,+∞)所以函数在区间上单调递增，且值域为， y =xe x (0,+∞)(0,+∞)①当时，在区间上恒成立， a ≤0xe x ―a >0(0,+∞)即，

f '(x)>0故在上单调递增， f(x)(0,+∞)所以无极值点； ②当时，

a >0方程有唯一解，设为， xe x ―a =0x 0(x 0>0)当时，，函数单调递减， 0x 0f '(x)>0f(x)所以是函数的极小值点， x 0f(x)即函数只有1个极值点.

f(x)（2）当时，不等式对任意的恒成立， a =1f(x)≥g(x)x ∈(0,+∞)即对任意的恒成立， xe x ―ln x ―1≥(m +1)x x ∈(0,+∞)即对任意的恒成立，

e x ―

ln x +1

x

≥m +1x ∈(0,+∞)记，

F(x)=e x ―

ln x +1

x ，

F '(x)=e x

+

ln x x 2

=

x 2e x +ln x

x 2

记，

ℎ(x)=x 2e x +ln x