高考数学公开课——祖暅原理
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Байду номын сангаас
祖暅原理的原文是“幂势既同，
则积不容异”，“幂”即面积，“势”
即高。意思是：两个等高的几何体，如果与 底面等距离的截面面积总相等。那么这两个 几何体的体积相等。 “祖暅原理”在17世纪由意大利数学家 卡瓦列里重新发现，但比祖暅晚一千余年。
大约公元五世纪，我国古代数学家祖暅在实践 的基础上，总结出一个重要的体积计算原理：
3.1415926 （肭数） 3.1415927 （盈数）
字景烁，又名祖暅之，是祖冲之 的儿子，自小对数学有浓厚的兴趣，经常与 父亲一起钻研数学问题。祖氏父子在数学和 天文学上都有杰出的贡献。 祖暅修补、编辑了祖冲之的《缀术》。 他运用祖暅原理十分巧妙的推导了球的体积 公式。他在数学上的成就，除了父亲对他的 影响，和他自己后天的努力是分不开的。
1
S 圆=πr2=π（R2-l2），S 圆环=πR2-πl2=π（R2-l2）， ∴S 圆=S 圆环． 根据祖暅原理，这两个几何体的体积相等，即
1 1 2 V球 R 2 R R 2 R R 3， 2 3 3
4 ∴V球 R3 . 3
因此，我们得到下面定理： 定理 如果球的半径是 R，那么它的体积是V
夹在两个平行平面间的两个 几何体，被平行于这两个平面的 任意平面所截，如果截得的两个 截面的面积总相等，那么这两个 几何体的体积相等。
解释
棱柱、圆柱的截面有什么性质？ 平行于底面的截面与底面相等． 设棱柱与圆柱的底面积都为S、高都为h，根 据祖暅原理，那么它们的体积相等，但等于多少 呢？为此还必须引进一个底面积为S、高为h的长 方体，而这样的长方体、棱柱、圆柱的体积都相 等．
V柱 S柱 h
1 V锥 S 锥 h 3
图1 用祖暅原理证明球体积公式
我们回忆一下祖暅原理（请一位学生叙述原理的内容），求球的体积关 键是找一个满足原理又可计算体积的几何体．这个几何体的形状应是怎 样的？先观察与半径为R的半球底面平行，且与底面距离为l的截面面积 S=πR2-πl2．而πR2-πl2可能作一圆环面积，其中圆环的大圆半径为R对任意 截面不变，故底面半径为R的圆柱满足；小圆半径要等于l，轴截面为等 腰直角三角形的倒圆锥具有这性质，这就启发我们用祖暅原理可以这样 推导：
取一个底面半径和高都等于R的圆柱，从圆柱中挖去一个以圆柱的上底 面为底面、下底面圆心为顶点的圆锥，把所得的几何体和半球放在同一 个平面α上（图2-59），因为圆柱的高等于R，所以这个几何体和半球都 夹在两个平行平面之间．
用平行于平面 α 的任意一个平面去截这两个几何体，截面分别是圆面和圆环面 如果截面与平面 α 的距离为 l，那么圆面半径 r R 2 r 2 ， 圆环面的大圆半径为 R，小圆半径为 l（因为△ O'O B 是等腰三角形）．因此
（三）棱柱、圆柱的体积 师：下面我们用以上两个公理来求棱柱和圆柱的体积． 师问：棱柱、圆柱的截面有什么性质？ 生：平行于底面的截面与底面相等．
师：设棱柱与圆柱的底面积都为S、高都为h，根据祖暅原理，那么 它们的体积相等，但等于多少呢？为此还必须引进一个底面积为S、高 为h的长方体，而这样的长方体、棱柱、圆柱的体积都相等．由公理5的 推论1和V长方体=Sh，于是得到下面的定理：
球
4 R3 . 3
注意：∵S
1 3 其形式与锥体的体积公式相似． 4 R ， V球 S球表面积 R， 球表面积 3
例 1 有一种空心钢球，重 142 g，测得外径等于 5.0 cm，求它的内径（钢的比重是 7.9 g/cm3．） 解：设空心钢球的内径为 2x cm，那么钢球的重量为
gèng
祖暅，又名祖暅之，是祖冲之的儿子，他的活动期大约 在504 － 526年。祖氏父子在数学和天文学上都有杰出的贡 献。 祖暅主要是修补编辑了祖冲之的《缀术》。他十分巧妙 的推导了球的体积公式。 祖暅原理的原文是“幂势既同，则积不容异”，“幂” 即面积，“势”即高。意思是：两个等高的几何体，如果与 底面等距离的截面面积总相等。那么这两个几何体的体积相 等。 西方把这个原理叫做“卡发雷利原理”，是在他于1635 年所出版的《连续不可分几何》中所提出的。
牟合方盖
刘徽虽然没有推证出球体积公式， 但他所创用的特殊形式 的不可分量方法，成为后来祖冲之父子在球体积问题上取得突 破的先导。
中国数学史
祖冲之（公元429-500）
刘徽（生于公元250左右）
祖冲之（公元 429-500 ，如图）活跃于南朝宋、齐两 代，出生于历法世家，本人做过南徐州（今镇江）从事史 和公府参军，都是地位不高的小官，但他却成为历代为数 很少能名列正史的数学家之一。祖冲之在公元 462 年创制 了一部历法《大明历》，这在当时是最先进的历法. 祖冲之关于圆周率的贡献记载在《隋书》中，《隋 书﹒律历志》说： “祖冲之更开密法，以圆径一亿为一丈，圆周盈数三丈 一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽，肭数三丈一尺四寸一分 五厘九毫二秒六忽，正数在盈肭二限之间”。 也就是说，祖冲之算出了圆周率数值的上下限：
中国数学史
1 刘徽 刘徽首先证明了《九章算术》中的球体 积公式是不正确的，并在《九章算术》 “开立圆术”注文中指出了一条推算球体 积公式的正确途径。 刘徽创造了一个新的立体图形，他称之 为“牟合方盖”，并指出：一旦算出牟 合方盖的体积，球体积公式也就唾手可 得。在一立方体内作两个互相垂直的内 切圆柱。这两个圆柱体相交的部分，就 是刘徽所说的“牟合方盖”。牟合方盖 恰好把立方体的内切球包含在内并且同 它相切。如果用同一个水平面去截它们， 就得到一个圆（球的截面），和它的外 切正方形（牟合方盖的截面）。
4 5 4 7.9[ ( )3 x3 ] 142. 3 2 3
5 142 3 ∴x3 ( )3 11.3. 2 7.9 4
∴x≈2.24， 2x≈4.5（cm）． 答：空心钢球的内径为 4.5 厘米．
师：我国古代数学家祖暅，早在公元五世纪，就在实践的基础上，总结 出这个公理，并首先用这个公理证明了球的体积公式，因而我们把公理 6也叫做祖暅原理．祖暅比外国人早十二世纪提出这个事实．在古代我 国数学家对世界数学发展的贡献也是很大的．
祖暅原理的原文是“幂势既同，
则积不容异”，“幂”即面积，“势”
即高。意思是：两个等高的几何体，如果与 底面等距离的截面面积总相等。那么这两个 几何体的体积相等。 “祖暅原理”在17世纪由意大利数学家 卡瓦列里重新发现，但比祖暅晚一千余年。
大约公元五世纪，我国古代数学家祖暅在实践 的基础上，总结出一个重要的体积计算原理：
3.1415926 （肭数） 3.1415927 （盈数）
字景烁，又名祖暅之，是祖冲之 的儿子，自小对数学有浓厚的兴趣，经常与 父亲一起钻研数学问题。祖氏父子在数学和 天文学上都有杰出的贡献。 祖暅修补、编辑了祖冲之的《缀术》。 他运用祖暅原理十分巧妙的推导了球的体积 公式。他在数学上的成就，除了父亲对他的 影响，和他自己后天的努力是分不开的。
1
S 圆=πr2=π（R2-l2），S 圆环=πR2-πl2=π（R2-l2）， ∴S 圆=S 圆环． 根据祖暅原理，这两个几何体的体积相等，即
1 1 2 V球 R 2 R R 2 R R 3， 2 3 3
4 ∴V球 R3 . 3
因此，我们得到下面定理： 定理 如果球的半径是 R，那么它的体积是V
夹在两个平行平面间的两个 几何体，被平行于这两个平面的 任意平面所截，如果截得的两个 截面的面积总相等，那么这两个 几何体的体积相等。
解释
棱柱、圆柱的截面有什么性质？ 平行于底面的截面与底面相等． 设棱柱与圆柱的底面积都为S、高都为h，根 据祖暅原理，那么它们的体积相等，但等于多少 呢？为此还必须引进一个底面积为S、高为h的长 方体，而这样的长方体、棱柱、圆柱的体积都相 等．
V柱 S柱 h
1 V锥 S 锥 h 3
图1 用祖暅原理证明球体积公式
我们回忆一下祖暅原理（请一位学生叙述原理的内容），求球的体积关 键是找一个满足原理又可计算体积的几何体．这个几何体的形状应是怎 样的？先观察与半径为R的半球底面平行，且与底面距离为l的截面面积 S=πR2-πl2．而πR2-πl2可能作一圆环面积，其中圆环的大圆半径为R对任意 截面不变，故底面半径为R的圆柱满足；小圆半径要等于l，轴截面为等 腰直角三角形的倒圆锥具有这性质，这就启发我们用祖暅原理可以这样 推导：
取一个底面半径和高都等于R的圆柱，从圆柱中挖去一个以圆柱的上底 面为底面、下底面圆心为顶点的圆锥，把所得的几何体和半球放在同一 个平面α上（图2-59），因为圆柱的高等于R，所以这个几何体和半球都 夹在两个平行平面之间．
用平行于平面 α 的任意一个平面去截这两个几何体，截面分别是圆面和圆环面 如果截面与平面 α 的距离为 l，那么圆面半径 r R 2 r 2 ， 圆环面的大圆半径为 R，小圆半径为 l（因为△ O'O B 是等腰三角形）．因此
（三）棱柱、圆柱的体积 师：下面我们用以上两个公理来求棱柱和圆柱的体积． 师问：棱柱、圆柱的截面有什么性质？ 生：平行于底面的截面与底面相等．
师：设棱柱与圆柱的底面积都为S、高都为h，根据祖暅原理，那么 它们的体积相等，但等于多少呢？为此还必须引进一个底面积为S、高 为h的长方体，而这样的长方体、棱柱、圆柱的体积都相等．由公理5的 推论1和V长方体=Sh，于是得到下面的定理：
球
4 R3 . 3
注意：∵S
1 3 其形式与锥体的体积公式相似． 4 R ， V球 S球表面积 R， 球表面积 3
例 1 有一种空心钢球，重 142 g，测得外径等于 5.0 cm，求它的内径（钢的比重是 7.9 g/cm3．） 解：设空心钢球的内径为 2x cm，那么钢球的重量为
gèng
祖暅，又名祖暅之，是祖冲之的儿子，他的活动期大约 在504 － 526年。祖氏父子在数学和天文学上都有杰出的贡 献。 祖暅主要是修补编辑了祖冲之的《缀术》。他十分巧妙 的推导了球的体积公式。 祖暅原理的原文是“幂势既同，则积不容异”，“幂” 即面积，“势”即高。意思是：两个等高的几何体，如果与 底面等距离的截面面积总相等。那么这两个几何体的体积相 等。 西方把这个原理叫做“卡发雷利原理”，是在他于1635 年所出版的《连续不可分几何》中所提出的。
牟合方盖
刘徽虽然没有推证出球体积公式， 但他所创用的特殊形式 的不可分量方法，成为后来祖冲之父子在球体积问题上取得突 破的先导。
中国数学史
祖冲之（公元429-500）
刘徽（生于公元250左右）
祖冲之（公元 429-500 ，如图）活跃于南朝宋、齐两 代，出生于历法世家，本人做过南徐州（今镇江）从事史 和公府参军，都是地位不高的小官，但他却成为历代为数 很少能名列正史的数学家之一。祖冲之在公元 462 年创制 了一部历法《大明历》，这在当时是最先进的历法. 祖冲之关于圆周率的贡献记载在《隋书》中，《隋 书﹒律历志》说： “祖冲之更开密法，以圆径一亿为一丈，圆周盈数三丈 一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽，肭数三丈一尺四寸一分 五厘九毫二秒六忽，正数在盈肭二限之间”。 也就是说，祖冲之算出了圆周率数值的上下限：
中国数学史
1 刘徽 刘徽首先证明了《九章算术》中的球体 积公式是不正确的，并在《九章算术》 “开立圆术”注文中指出了一条推算球体 积公式的正确途径。 刘徽创造了一个新的立体图形，他称之 为“牟合方盖”，并指出：一旦算出牟 合方盖的体积，球体积公式也就唾手可 得。在一立方体内作两个互相垂直的内 切圆柱。这两个圆柱体相交的部分，就 是刘徽所说的“牟合方盖”。牟合方盖 恰好把立方体的内切球包含在内并且同 它相切。如果用同一个水平面去截它们， 就得到一个圆（球的截面），和它的外 切正方形（牟合方盖的截面）。
4 5 4 7.9[ ( )3 x3 ] 142. 3 2 3
5 142 3 ∴x3 ( )3 11.3. 2 7.9 4
∴x≈2.24， 2x≈4.5（cm）． 答：空心钢球的内径为 4.5 厘米．
师：我国古代数学家祖暅，早在公元五世纪，就在实践的基础上，总结 出这个公理，并首先用这个公理证明了球的体积公式，因而我们把公理 6也叫做祖暅原理．祖暅比外国人早十二世纪提出这个事实．在古代我 国数学家对世界数学发展的贡献也是很大的．