江苏专用2020版高考数学专题复习专题9平面解析几何第60练直线与圆综合练练习理

（江苏专用）2018版高考数学专题复习 专题9 平面解析几何 第60

练 直线与圆综合练练习 理

________________．

2．已知圆x 2＋y 2

－2x ＋my －4＝0上两点M ，N 关于直线2x ＋y ＝0对称，则圆的半径为________．

3．(2016·丽水一模)已知圆x 2＋y 2＝4，过点P (0，3)的直线l 交该圆于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积的最大值是________．

4．已知圆心在x 轴上，半径为2的圆C 位于y 轴的右侧，且与直线x ＋y ＝0相切，则圆C 的标准方程为________．

5．在圆x 2＋y 2－2x －6y ＝0内，过点E (0,1)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为________．

6．过点P (12

，1)的直线l 与圆C ：(x －1)2＋y 2＝4交于A ，B 两点，当∠ACB 最小时，直线l 的方程为____________________．

7．若圆x 2＋y 2

－4x －4y －10＝0上至少有三个不同的点到直线l ：ax ＋by ＝0的距离为22，则直线l 的倾斜角的取值范围是______________．

8．已知圆C 的方程为x 2＋y 2－2y －3＝0，过点P (－1,2)的直线l 与圆C 交于A ，B 两点，若使AB 最小，则直线l 的方程是________________．

9．已知直线ax ＋y －1＝0与圆C ：(x －1)2＋(y ＋a )2＝1相交于A ，B 两点，且△ABC 为等腰直角三角形，则实数a 的值为________．

10．如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，平行于x 轴且过点A (33，2)的入射光线l 1被直线l ：y ＝33x 反射，反射光线l 2交y 轴于B 点，圆C 过点A 且与l 1，l 2都相切． (1)求l 2所在直线的方程和圆C 的方程；

(2)设P ，Q 分别是直线l 和圆C 上的动点，求PB ＋PQ 的最小值及此时点P 的坐标．

答案精析

1．2x ＋3y －1＝0 2.3 3.2

4．(x －2)2＋y 2＝2

解析 设圆心为(a,0)(a ＞0)，由题意得|a |2

＝2，所以a ＝2(a ＝－2舍去)，即圆C 的圆心为C (2,0)，所以圆C 的标准方程为(x －2)2＋y 2＝2.

5．10 2

解析 圆的方程化为标准形式为(x －1)2＋(y －3)2＝10，由圆的性质可知最长弦AC ＝210，最短弦BD 恰以E (0,1)为中点，设点F 为其圆心，坐标为(1,3)，

故EF ＝ 5.

∴BD ＝210－52＝25，

∴S 四边形ABCD ＝12

AC ·BD ＝10 2. 6．2x －4y ＋3＝0

解析 设AB 的中点为D ，则cos∠ACB ＝2cos 2

∠ACD －1.

所以当cos∠ACD 最大时，cos∠ACB 最大，∠ACB 最小．

当斜率存在时，设l ：y －1＝k (x －12)， 即kx －y ＋1－k 2＝0，则圆心C 到直线l 的距离d ＝|k

2＋1|k 2＋1

. 当CP ⊥AB 时，d 最大．

此时k CP ＝－2，所以k ＝12

， 所以y ＝12x ＋34； 当斜率不存在时，d ＝12＜⎪⎪⎪⎪⎪⎪14＋15

4＝52

，舍去． 综上，直线l ：y ＝12x ＋34

，即2x －4y ＋3＝0. 7.⎣⎢⎡⎦

⎥⎤π12，5π12 解析 由x 2＋y 2－4x －4y －10＝0，

所以r ＝3 2. 如图，若圆O ′上至少有三个不同的点到直线l 的距离为22，则需要直线l 在如图中的l 1和l 2之间(包括l 1和l 2)，l 1和l 2为临界

位置，此时圆心O ′(2,2)到直线l ：ax ＋by ＝0的距离为d ＝2，

从而易求l 1的倾斜角为π12，l 2的倾斜角为5π12，所以直线l 的倾斜角的取值范围为⎣⎢⎡⎦

⎥⎤π12，5π12. 8．x －y ＋3＝0

解析 易知点P 在圆的内部，根据圆的性质，若使AB 最小，则AB ⊥CP ，因为圆心C (0,1)，

所以k CP ＝2－1－1－0

＝－1，k l ＝1，因此直线l 的方程为y －2＝x ＋1， 即x －y ＋3＝0.

9．±1

解析 因为△ABC 是等腰直角三角形，所以圆心C (1，－a )到直线ax ＋y －1＝0的距离d ＝r sin 45°＝22，即d ＝1a 2＋1＝22

，所以a ＝±1. 10．解 (1)易知直线l 1：y ＝2，设l 1交l 于点D ，则D (23，2)，

因为直线l 的斜率为33

， 所以l 的倾斜角为30°，所以l 2的倾斜角为60°，所以k 2＝3，

所以反射光线l 2所在的直线方程为

y －2＝3(x －23)，

即3x －y －4＝0.

由题意，知圆C 与l 1切于点A ，设圆心C 的坐标为(a ，b )，

因为圆心C 在过点D 且与l 垂直的直线上，

所以b ＝－3a ＋8，①

又圆心C 在过点A 且与l 1垂直的直线上，

所以a ＝33，②

由①②得a ＝33，b ＝－1，

故圆C 的半径r ＝3，

故所求圆C 的方程为

综上，l 2所在直线的方程为3x －y －4＝0，圆C 的方程为(x －33)2＋(y ＋1)2＝9.

(2)设点B (0，－4)关于l 对称的点为 B ′(x 0，y 0)，

即y 0－4

2＝33·x 02，且y 0＋4x 0

＝－3， 解得x 0＝－23，y 0＝2，故B ′(－23，2)．

由题意易知，当B ′，P ，Q 三点共线时，

PB ＋PQ 最小，

故PB ＋PQ 的最小值为

B ′

C －3

＝－23－332＋2＋12－3

＝221－3，

由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＋12＋1＝x －33－23－33，y ＝33

x ，

得P (32，12)， 故PB ＋PQ 的最小值为221－3，

此时点P 的坐标为(32，12

)．