第2章()马尔可夫信源的举例
2-6 第2章 2.2.4-5 马尔可夫信源
由条件概率求得 信源状态转移概率为 p(e1 e1) 0.25, p(e1 e 2) 0.5, p(e2 e1) 0.75, p(e 2 e 2) 0.5,
信源状态转移图
1:0.75 1 1:0.5
0:0.5 一阶马尔可夫信源状态转移图
7
马尔可夫信-例题
例 设有一个二进制二阶马尔可夫信源， 信源符号集为{0,1}，条件概率为 p(0 00) p(111) 0.8， p(1 00) p(0 11) 0.2， p(0 01) p(0 10) p(1 01) p(110) 0.5 该信源符号数是n 2，共有n m 4个状态： e1 00, e2 01, e3 10, e4 11，由已知条件容易求 得各状态转移概率 p(e1 e1 )＝p(e4 e4 )＝0.8 p(e2 e1 ) p(e3 e4 ) 0.2 p(e3 e2 ) p(e1 e3 ) p(e4 e2 ) p(e2 e3 ) 0.5
信源输出的随机符号序列为X1 X 2 X l , X l X ( x1 , x2 , xn ), l 1, 2, 信源所处的状态序列为S1S 2 Sl , Sl S (e1 , e2 , eJ ), l 1, 2,
3
马尔可夫信源定义
定义 若信源输出的 符号序列 和 状态序列 满足下述条件则称此信源为马尔可夫信源 1、某一时刻l 信源的输出仅与信源的当前状态有关，即 p ( X l xk Sl e j , X l 1 xk1 , Sl 1 ei ,) p ( X l xk Sl e j ) 其中，xk、xk1 A；ei、e j S 2、信源的状态只由当前的输出符号和前一时刻信源状态 唯一确定，即 1 p ( Sl ei X l xk , Sl 1 e j ) 0
信息论与编码马尔可夫信源
(1) 马尔可夫信源的定义 (2) m阶马尔可夫信源 (3) 举例
(1) 马尔可夫信源的定义
① 信源的状态和符号集 ② 马尔可夫信源定义 ③ 举例
① 信源的状态和符号集
有一类信源，输出的符号序列中符号之间的依赖关系 是有限的，即任何时刻信源符号发生的概率只与前面 已经发出的若干个符号有关，而与更前面发出的符号 无关。
时齐/齐次马尔可夫链：一般情况下，状态转移概率和 已知状态下符号发生的概率均与时刻l 有关。若这些 概率与时刻l 无关，即
pl(xk /ei)= p(xk /ei) pl(ej /ei)= p(ej /ei) 则称为时齐的或齐次的。此时的信源状态服从时齐马 尔可夫链。
② 马尔可夫信源定义
马尔可夫信源：信源输出的符号和所处的状态满足
3 4
0
1 4
0
0 0
0 0
e5 0 0 0
3 4
1 4
结论：一般有记忆信源发出的是有 Nhomakorabea联性的各符号构成的整 体消息，即发出的是符号序列，并用符号间的联合概 率描述这种关联性；
马尔可夫信源的不同之处在于它用符号之间的转移概 率/条件概率来描述这种关联关系。即马尔可夫信源是 以转移概率发出每个信源符号；
④ 有关问题的说明
m阶马尔可夫信源在起始的有限时间内，信源不 是平稳和遍历/各态历经性的，状态的概率分布有 一段起始渐变过程。经过足够长时间之后，信源 处于什么状态已与初始状态无关，这时每种状态 出现的概率已达到一种稳定分布。
一般马尔可夫信源并非是平稳信源。但当时齐、 遍历的马尔可夫信源达到稳定后，这时就可以看 成是平稳信源。
/ ei )
p(ej )
( j 1,2, , nm )
第二章-信息论基本概念（3）
H ( X m1 / X1 X 2 X m )
这表明：m阶马尔可夫信源的极限熵H 就等于m阶条件熵，记为H m 1
akm )
设状态 Ei (ak1 ak2 akm ),信源处于状态Ei时，再发出下一个符号akm1
此时，符号序列 (ak2 ak3 a ) km1 就组成了新的信源状态
Ej (ak2 ak3 a ) km1 ，这时信源所处的状态由 Ei 转移到 Ej
状态转移图(香农线图)
0:0.5 E1
1:0.5 E3
1
0:0.6
E2
1:0.4
【注】E1、E2、E3是三种状态，箭头是指从一个状态转移到另
一个状态，旁边的数字代表发出的某符号和条件概率p(ak/Ei) 。 这就是香农提出的马尔可夫状态转移图，也叫香农线图。
二、马尔可夫信源
若信源输出的符号和信源所处的状态满足以下两个条 件，则称为马尔可夫信源：
a1 a2
p(sl
E2
/ xl
a3
sl1 E1 ) 0 sl1 E1 ) 1 sl1 E1 ) 1 sl1 E1 ) 0
可求得状态的一步转移概率：
1
2
1 4
0
1 4
0
0
1 2
1 2
0
0
p(E j
/
Ei
)
0
3
1
0
0
44
0
0
0
0
1
0
0
0
3 4
1 4
此信源满足马尔可夫的 两个条件，所以是马尔可夫 信源，并且是齐次马尔可夫 信源。
对于这个随机序列，若有：
p(xn Sin | xn1 Sin1 ,..., x1 Si1 ) p(xn Sin | xn1 S ) in1
马尔可夫过程在信源编码中的应用(推荐文档)
河南城建学院马尔科夫过程在信源编码中的应用信息论基础姓名：王坤专业名称：电子信息工程专业班级：0934121指导老师：贺伟所在院系：电气与信息工程学院2014年12月20日摘要首先主要讲述了马尔科夫过程，对马尔科夫过程进行了简介，介绍了马尔科夫过程的数学描述方法并对马尔科夫过程的发展历史进行了简述。
在第二章节对马尔科夫过程在信源编码中的应用进行了简单的论述及讲解。
信息论中的编码主要包括信源编码和信道编码。
信源编码的主要目的是提高有效性，通过压缩每个信源符号的平均比特数或降低信源的码率来提高编码效率；信道编码的主要目标是提高信息传输的可靠性，在信息传输率不超过信道容量的前提下，尽可能增加信源冗余度以减小错误译码概率。
研究编码问题是为了设计出使通信系统优化的编译码设备随机过程是与时间相关的随机变量，在确定的时刻它是随机变量。
随机过程的具体取值称作其样本函数，所有样本函数构成的集合称作随机过程的样本函数空间，所有样本函数空间及其统计特性即构成了随机过程。
目录1引言 (1)2马尔科夫过程 (2)3马尔科夫过程在信源编码中的应用 (4)4参考文献 (13)1 引言随着现代科学技术的发展，特别是移动通信技术的发展，信息的传输在社会科学进步的地位越来越重要。
因此如何更加高效的传输信息成了现代科技研究的重要目标。
马尔可夫过程是一类非常重要的随机过程。
很多在应用中出现的马氏过程模型的研究受到越来越多的重视。
在现实世界中，有很多过程都是马尔可夫过程，马尔可夫过程在研究质点的随机运动、自动控制、通信技术、生物工程等领域中有着广泛的应用。
我们可以通过对马尔可夫过程的研究来分析马尔可夫信源的特性。
由于研究马尔科夫过程在信源编码中的作用，可以利用马尔科夫模型减少信息传输的冗余，提高信息传输的效率。
马尔可夫信源是一类有限长度记忆的非平稳离散信源，信源输出的消息是非平稳的随机序列，它们的各维概率分布可能会随时间的平移而改变。
由于马尔可夫信源的相关性及可压缩性，它已成为信息领域的热点问题。
第2章_2.7马尔可夫信源
在状态E2时， 以0.8的概率发出符号 1，状态仍然为 E2； 以0.2的概率发出符号 0，状态转移到 E1
19
马尔可夫信源－状态转移图
为什么马尔可夫信源是非平稳的信源： 初始概率为： p(0) p(1) 0.5 进入 E1 或 E 2 两个状态。之后无论在哪个状态， 下一个输出的符号有80％的可能性是1，转移 到 E 2 ，有20％的可能性是0，转移到 E1 ，所以 p(0) 0.2; p(1) 0.8 ，与初始概率不同， 不满足平稳信源的定义 。
jE
iE
6
1,...,k步转移概率
定义k步转移概率为
(k ) pij (m) P{Sm k j | Sm i}
i, j E
它表示在时刻m时，Xm的状态为i的条件下， 经过k步转移到达状态j的概率。 性质：
(k ) 1、pij (m) 0
i, j E iE
2、 pij( k ) (m) 1
21
m阶马尔可夫信源
m阶马尔可夫信源：在任何时刻l，输出 分量的概率分布只与前面m个分量的输出有 关。
可以把前面m个分量组成的序列做为l时 刻信源所处的状态 。
如果信源的符号集是 A a1
m q 则信源的状态共有个
a2 aq
22
m阶马尔可夫信源
例2.9 二元二阶马尔可夫信源。二元指信源 可能的输出有2种取值，如0，1； 马尔可夫信源共有个 q m 2 2 4 状态， 前两个分量可能取值的排列
E0 E1 E2 ，其中设为 该马尔可夫信源有三个状态： E0 初始状态，初始概率为 p(0) p(1) 0.5 ，等概率的 转移到 E1和E2 这两个状态
18
马尔可夫信源－状态转移图
第二章基本信息论5信源冗余度
信源编码：通过减少冗余来提高通信效率 信道编码：通过增加冗余来提高通信的抗干扰能力
E 0.103 N 0.057 W 0.018 F 0.021 O 0.063 X 0.001 G 0.015 P 0.015 Y 0.016
27
p(xi ) lb p( xi )
i 1
H 0.047 Q 0.001 Z 0.001
4.03比特/符号
I 0.058 R 0.048 空格 0.189
3）看成一阶马尔可夫信源，则信源熵： H2 ( X ) H11( X ) 3.32比特/符号
4）看成二阶马尔可夫信源，则信源熵： H3( X ) H21( X ) 3.1比特/符号
5）看成无穷阶马尔可夫信源，则信源熵： H ( X ) 1.4比特/符号
二、冗余的利用
消息的冗余为提高通信效率、压缩信号容量提供 了基础。
lb
1 27
英语 出现 英语 出现 英语 出现 字母 概率 字母 概率 字母 概率
4.75比特/符号
A 0.064 J 0.001 S 0.051 2）按实际概率分布，且 B 0.013 K 0.005 T 0.08 无相关性，则信源熵：
C 0.022 L 0.032 U 0.023
D 0.032 M 0.020 V 0.008 H1( X ) H01( X )
2
Hmax ( X ) p( xi ) lb p( xi )
i 1
2 1 lb 1 1比特/符号
i1 2 2
若发送12个符号，则12个符号含有的信息量为：
I12 12H max ( X ) 12比特
若信源符号间有相关性，则信源熵达不到最大熵。 若实际上为0.8比特/符号，则发送12个符号只能传 递12*0.8=9.6比特的信息量。
北大随机过程课件：第 2 章 第 3 讲 马尔可夫状态分析
nπ
(n) =∑ ∑ p00 n =1 n =1
∞
(4 p(1 − p) )n
nπ
考虑到 4 p (1 − p ) ≤ 1 ，等式成立的条件是 p=1/2。
当 p=1/2 时， 返的。 当 p≠1/2 时，
∑p
n =1
∞
(n) 00
=
⎞ 1 ⎛ 1 1 1 ⎜ + + + L⎟ ⎟ = ∞ ，状态 0 和所有状态是常 ⎜ π⎝ 1 2 3 ⎠
2 马尔可夫链的状态空间举例
绘出各个状态之间的转移图。 研究状态的到达和相通，进行状态空间的分解。研究状态空间的周期性。
研究状态的常返性和非常返性。 例1 设有三个状态（0，1，2）的马尔可夫链，它的一步转移概率矩阵是，
⎛1 / 2 1 / 2 0 ⎞ ⎟ ⎜ P = ⎜1 / 2 1 / 4 1 / 4 ⎟ ，求各个状态之间的关系。 ⎜ 0 1/ 3 2 / 3 ⎟ ⎠ ⎝
马尔可夫链 状态分类
1 马尔可夫链中状态的分类：
1.1 到达和相通： 定义 1：状态 i 可到达状态 j， 如果对状态 i 和 j 存在某个 n(n ≥ 1) 使得 p i j > 0 ，即由状态 i 出发，经过 n 步状
n
态转移，以正的概率到达状态 j，则称自状态 i 可到达状态 j，并记为 i → j 。反之， 如状态 i 不能到达状态 j，记为 i + → j ，此时对于一切 n, p i j = 0 。
∞
∑p
n =1
∞
( n) ii
= ∞ ，如果状态 i 是非常返的，则
∑p
n =1
(n) ii
=
1 <∞ 1 − fii
信息论课件 2-1.3马尔科夫信源
1：0.75
：
：
1 0.5 0 0.25
0：0.5
12
• 例3 设有一个二元二阶马尔科夫信源，其信源 符号集X={0,1}，信源输出符号的条件概率为
P(0|00)=p(1|11)=0.8, p(1|00)=0.2
p(0|01)=p(0|10)=p(1|01)=p(1|10)=0.5 求状态转移概率矩阵，画出状态转移图
p(x2|x1)
x2
x1
0
1
0
0.3
0.4
1
0.7
0.6
再下一单位时间：输出随机变量X3与X2X1有依赖关系
p(x3|x1x2) x3
00
x1 x2 01 10
11
0 0.4 0.2 0.3 0.4
1 0.6 0.8 0.7 0.6
23
• 从第四单位时间开始，随机变量Xi只与前面二 个单位时间的随机变量Xi-2Xi-1有依赖关系:
–齐次马尔可夫链可以用其
0/0.4
状态转移图(香农线图)表示
–每个圆圈代表一种状态
so
s1
–状态之间的有向线代表某 1/0.6
一状态向另一状态的转移
0/0.3
1/0.2
1/0.7
–有向线一侧的符号和数字
分别代表发出的符号和条
s2
件概率
0/0.8
11
• 例2 设一个二元一阶马尔科夫信源，信源符号 集X={0,1}，信源输出符号的条件概率为
• 由 p(s3 ) 0.4 p(s3 ) 0.3 p(s5 )
Wj=p(sj) p(s4 ) 0.6 p(s3 ) 0.7 p(s5 ) p(s5 ) 0.2 p(s4 ) 0.4 p(s6 )
信息论马尔科夫信源
x
xk N ) log p(
xk N
xk N m xk N 1
)}
p( xk1 xkm1 )
xk1 xkm
)
H(
X m1
X1 X m
) H m1
p( xkm1 / xk1 xk2 xkm ) p( xk / si ) p( s j / si ) H H m1 p( si ) p( s j / si ) log 2 p( s j / si )
输出状态序列：S1S2 Sl 1Sl
1
2
某时刻输出符号仅与此刻信源所处的状态有关；
某时刻所处状态由当前输出符号和前一时刻信源状态 唯一确定。
设l时刻信源处于si , 输出xk
pl (
pl (
xk
si
si
) p(
X l xk
Sl si
)
)
sj
) p(
Sl s j
Sl 1 si
则由信源输出符号的条件概率
p( xim1 / xi1 xi2 ... xim )
可以确定状态转移概率p(sj/si)，i，j∈{1,2,…,nm} 马尔可夫信源的状态空间
s1...si ...s j ...sn m p( s / s ) j i
例：设一个二元一阶马尔可夫信源，信源符号集为 X={0,1}，信源输出符号的条件概率为 p(0/0)=0.25，p(0/1)=0.50，p(1/0)=0.75，p(0/1)=0.50， 求状态转移概率。 解：由于信源符号数n=2，因此二进制一阶信源仅有2个状 态：s1=0，s2=1。由条件概率求得信源状态转移概率为 p(s1/s1)=0.25，p(s1/s2)=0.50，p(s2/s1)=0.75，p(s2/s2)=0.50
第2章信源熵--马尔科夫信源及极限熵
信源熵
四、马尔科夫信源及其极限熵
1、马尔科夫信源
定义
N维离散平稳信源符号序列中第N个符号只与前m (≤N-1)个符号相关，该信源为m阶马尔科夫信源。
马尔科夫信源是离散平稳有限记忆信源，其记忆 长度为m 。* m阶马尔科夫信源符号序列的长度N=m+1。
信源熵
信源熵
中华人民共和国
中国
*华人民*和国
*国
信源熵 抽象描述
实际信源抽象为N维离散平稳信源，H∞是其熵率， 即从理论上看，只要传送H∞就可以了。 但是这必须掌握信源的全部统计特性，这显然是 不现实的。实际中，只能掌握有限记忆长度m， 其熵率用Hm+1近似，即需要传送Hm+1 与理论值相比，多传送了Hm+1-H∞ 由于Hm+1>H∞，表现在信息传输上存在冗余。
信源熵
0.2P(s1 ) 0.5P(s3 ) 0 0.2P(s1 ) P(s 2 ) 0.5P(s3 ) 0 0.5P(s 2 ) P(s3 ) 0.2P(s 4 ) 0 0.5P(s 2 ) 0.2P(s 4 ) 0
完备性
P(s1 ) P(s2 ) P(s3 ) P(s4 ) 1
信源熵
定义
信源的m阶极限熵Hm+1与N-1阶极限熵H∞的相对差 为该信源的冗余度，也叫剩余度。
信源熵
马尔可夫链的应用 排队理论和统计学中的建模，还可作为信号模型用 于熵编码技术，如算术编码 著名的LZMA数据压缩算法就使用了马尔可夫链与 类似于算术编码的区间编码。 生物学应用， 人口过程，可以帮助模拟生物人口过程的建模。 隐蔽马尔可夫模型还被用于生物信息学，用以编 码区域或基因预测。 马尔可夫链最近的应用是在地理统计学 （geostatistics）中,被称为是“马尔可夫链地理 统计学”。仍在发展过程中。
第二篇基本信息论4_马尔可夫信源
2）信源某时刻 t 所处的状态，由当前的输出符号 和前一时刻 (t-1) 信源所处的状态唯一确定。
态一步转移概率矩
阵，可写出：
e2 01
0: 0.8
00 e1
0: 0.5
0: 0.5 1: 0.5
10 e3
1: 0.5 当信源处于状态e1 00时：
0: 0.2
11 e4
1: 0.8
p(0 / 00) p( x1 / e1) p(e1 / e1) 0.8
p(1/ 00) p( x2 / e1) p(e2 / e1) 0.2
2.4 马尔可夫信源
一、马尔可夫链
设信源所处的状态为：S e1,e2,...,enm
信源每一状态下可能输出的符号：X x1, x2,..., xn
每一时刻信源发出一个符号后，所处的状态发生 转移
信源输出的随机符号序列为： X1, X 2 ,..., X t1, X t ,... 信源所处的状态序列为： S1, S2 ,..., St1, St ,...
若马尔可夫信源的状态数为m， 则称为m阶马尔可夫信源
m阶马尔可夫信源的熵：
H
lim
N
H
(
X
N
/
X1X 2...X N1)
Hm1 H ( X m1 / X1 X 2...X m )
nn
n
...
p( xk1 xk2 ...xkm1 ) lb p( xkm1 / xk1 xk2 ...xkm )
例4二元2阶马尔可夫信源
第五节 离散平稳信源 根据信息熵的定义，可得： （1）联合熵
H ( X1 X 2 ) P(ai a j ) logP(ai a j )
i 1 j 1
q
q
可以表征信源输出长度为2的平均不确定性，或所含 有的信息量。因此可以用 1/ 2H ( X1 X 2 )作为二维平稳信 源的信息熵的近似值
A1=a1a1
A4=a2a1 A7=a3a1
A2=a1a2 A5=a2a2 A8=a3a2
A3=a1a3 A6=a2a3 A9=a3a3
第四节 离散无记忆的扩展信源 其概率关系为 :
A1
A2
A3
A4
A5 1/4
A6 1/8
A7
A8
A9 1/16
1/16 1/8
1/16 1/8
1/16 1/8
计算可知 H ( X 2 ) 3bit
第四节 离散无记忆的扩展信源
其中：
P(i ) P(ai1 ) P(ai 2 )...P(aiN )
根据信息熵的定义：
H ( X N ) P( X N )log P( X N )
XN
可以证明，对于离散无记忆的扩展信源
H ( X N ) NH ( X )
第四节 离散无记忆的扩展信源 例: 离散无记忆信源的N次扩展信源 离散无记忆信源为：X:{a1,a2,a3}; P(X):{1/4, 1/2, 1/4} 2次扩展信源为：X2:{A1…A9} 信源的9个符号为：
第二节 离散信源的信息熵 例：天气预报，有两个信源
X 1 a1, p( x) 1/ 4,
则：
a2 X 2 a1, 3/ 4 p( x) 1/ 2,
马尔可夫信源
从而得到马尔可夫信源状态空间
e1
e2
...
enm
p ej / ei
13
HUST --- Information and Coding Theory
马尔可夫信源与马尔可夫链
其状态e由（x
i
i1
,
xi2
,
L
, xim）唯一确定，
因此p(xkm1 xkm ,L , xk1 ) p(xkm1 ei ) 信源发出xkm1 ,状态变为ej ,
其意义是： 系统在现在时刻n 1处于状态Sin 1，那么将来时刻n的状态Sin 与过去时刻n 2, n 3,...,1的状态Sin 2,..., Si1无关， 仅与现在时刻n 1的状态Sin 1有关。 即，已知系统的现在，那么系统的将来与过去无关。 这种特性称为马尔可夫特性。
2
HUST --- Information and Coding Theory
基本（一步）转移概率
当n m 1时，pij(m, m 1)即为一步转移概率。 一般， 把pij(m, m 1)记为pij(m)，m 0, 称为基本转移概率。
pij(m)=P X m1 j | X m i i, j S
pij(m)中m表示基本转移概率与时刻m有关。
4
HUST --- Information and Coding Theory
18
HUST --- Information and Coding Theory
马尔可夫信源-例题
例 设有一个二进制二阶马尔可夫信源， 信源符号集为{0,1}，条件概率为 p(0 00) p(111) 0.8， p(1 00) p(0 11) 0.2， p(0 01) p(0 10) p(1 01) p(110) 0.5 试求其平稳分布和极限熵。
马尔可夫过程在信源编码中的应用(推荐文档)
河南城建学院马尔科夫过程在信源编码中的应用信息论基础姓名：王坤专业名称：电子信息工程专业班级：0934121指导老师：贺伟所在院系：电气与信息工程学院2014年12月20日摘要首先主要讲述了马尔科夫过程，对马尔科夫过程进行了简介，介绍了马尔科夫过程的数学描述方法并对马尔科夫过程的发展历史进行了简述。
在第二章节对马尔科夫过程在信源编码中的应用进行了简单的论述及讲解。
信息论中的编码主要包括信源编码和信道编码。
信源编码的主要目的是提高有效性，通过压缩每个信源符号的平均比特数或降低信源的码率来提高编码效率；信道编码的主要目标是提高信息传输的可靠性，在信息传输率不超过信道容量的前提下，尽可能增加信源冗余度以减小错误译码概率。
研究编码问题是为了设计出使通信系统优化的编译码设备随机过程是与时间相关的随机变量，在确定的时刻它是随机变量。
随机过程的具体取值称作其样本函数，所有样本函数构成的集合称作随机过程的样本函数空间，所有样本函数空间及其统计特性即构成了随机过程。
目录1引言 (1)2马尔科夫过程 (2)3马尔科夫过程在信源编码中的应用 (4)4参考文献 (13)1 引言随着现代科学技术的发展，特别是移动通信技术的发展，信息的传输在社会科学进步的地位越来越重要。
因此如何更加高效的传输信息成了现代科技研究的重要目标。
马尔可夫过程是一类非常重要的随机过程。
很多在应用中出现的马氏过程模型的研究受到越来越多的重视。
在现实世界中，有很多过程都是马尔可夫过程，马尔可夫过程在研究质点的随机运动、自动控制、通信技术、生物工程等领域中有着广泛的应用。
我们可以通过对马尔可夫过程的研究来分析马尔可夫信源的特性。
由于研究马尔科夫过程在信源编码中的作用，可以利用马尔科夫模型减少信息传输的冗余，提高信息传输的效率。
马尔可夫信源是一类有限长度记忆的非平稳离散信源，信源输出的消息是非平稳的随机序列，它们的各维概率分布可能会随时间的平移而改变。
由于马尔可夫信源的相关性及可压缩性，它已成为信息领域的热点问题。
一阶马尔可夫信源的例子
一阶马尔可夫信源的例子
一阶马尔可夫信源是指当前状态只依赖于前一个状态的信源模型。
以下是一些常见的一阶马尔可夫信源的例子：
1. 天气模型：假设天气只有晴天（S）和雨天（R）两种状态，每天的天气只与前一天的天气有关，存在转移概率P(R|S)和P(S|R)。
这个例子可以用来模拟天气预测。
2. 文字生成模型：假设从一个文本中提取出每个字符作为信号，每个字符出现的概率只与前一个字符有关。
通过观察前一个字符可以对下一个字符进行预测。
3. 股票模型：假设某只股票的涨跌只与前一天的涨跌有关，存在涨的概率P(涨|涨)和跌的概率P(跌|涨)。
通过观察前一天的涨跌情况可以对未来的涨跌进行预测。
这些例子中，当前状态只与前一个状态有关，而与更早的状态无关。
因此，它们都属于一阶马尔可夫信源的模型。
信息论之马尔可夫信源
q
( k, k −1 = 1, 2K, q )
其马尔科夫链的状态空间也为 得 P ( ak | Ei ) = P ( ak | ak −1 )( k , = 1, 2K, q; i = k −1 = 1, 2,K, q )
而状态极限概率Q ( Ei ) = Q ( ak −1 )( i = k −1 = 1,2,K, q ) 因此，一阶马尔科夫信源的信息熵
对q元m阶马尔可夫信源来说只有状态极限概率j12?q离散平稳信源m阶马尔可夫信源一阶马尔可夫信源实际信源离散无记忆信散无记忆信源1关于离散信源熵实际信源可能是非平稳离散有记忆随机序列信源其信息熵不一定存在
第二章 离散信源及其信息测度
2.7 马尔可夫信源 2.8 信源剩余度与自然语言的熵 *2.9 信息意义和加权熵
∑ K∑ ∑ Q( a Ka )P( a
q q q km =1 km+1 =1 k1 km
km+1
| ak1 Kakm log P akm+1 | ak1 Kakm
)
(
)
= H ( Xm+1 | X1 X2 KXm )
由此得时齐、遍历的m阶马尔可夫信源的熵等于有限记忆长度为 m的条件熵。但必须注意它不同于有限记忆长度为m的离散平稳 信源。时齐、遍历的m阶马尔可夫信源并非是记忆长度为m的离 散平稳信源。只有当时间N足够长以后，信源所处的状态链达到 稳定，这时由m个符号组成的各种可能的状态达到一种稳定分布 后，才可将时齐、遍历的m阶马尔可夫信源作为记忆长度为m的 离散平稳信源。
P (1| 00 ) = P ( 0 |11) = 0.2
根据给定的条件概率，可以求得状态 之间的转移概率 ( 一步转移概率 ) 为 P ( E1 | E1 ) = P ( E4 | E4 ) = 0.8
2.4马尔可夫信源
2.4马尔可夫信源如果信源的前个不同的序列值，决定信源下一时刻发送某个符号的概率，这类信源输出符号时不仅与信源的符号集有关（与普通信源类似），而且还与信源状态有关（即前m 个符号有关）,所以要引入信源状态的概念。
设信源所处的状态为：}{ej e e S ,...2,1∈在信源每一状态下可能输出的符号为：{}n x x x X ,...2,1∈而且一般每一时刻信源发出一个符号后，所处的状态发生转移，信源输出的随机符号序列为：X1,X2,…X t-1, X t ,…信源所处的状态序列为： S1,S2,…S t-1, S t ,…设在第时刻信源处于状态时，输出符号的概率给定（在马尔可夫信源中这是已知值）为： p t (x k /e i )= p(X t =x k /S t =e i )另外设信源在的前一时刻时刻处于状态，而在时刻转移到的状态，转移概率为：p t(e j/e i)= p(S t=e j/S t-1=e i)如果信源输出的符号和所处的状态满足下面两条，则称为马尔可夫信源:1．某时刻信源输出哪个符号只与此时信源所处的状态有关，而与以前的状态以及以前的输出符号均无关。
2．信源某时刻所处的状态，由当前的输出符号和前一时刻信源的状态唯一确定。
可见状态的转移依赖于发出的信源符号和此时的信源序列的状态，因为条件概率是已经给定的，所以状态的转移必以一定的概率进行。
在确定的情况下，原状态转换到下一状态，则显然状态的一步转移概率与有下列关系：p(e j/e i)= p t(x k/e i)可以用状态转移图，条件概率矩阵以及状态的一步转移概率矩阵描述马尔可夫信源特性。
各态历经定理：所谓各态历经性是指经过若干时间后，处于各状态的概率与初始状态无关，即稳定下来了。
具有各态历经性的阶马尔可夫信源，其状态极限概率可由式（2.4.3）求出，再进一步和已知的据式（2.4.2）求出阶马尔可夫信源的熵。
[例2.4.1]马尔可夫信源（在稳定后）是用状态概率分布及各状态下发出符号的概率作为已知条件来研究信源的熵，其状态概率只有在稳定以后才是确定的，也就是说马尔可夫信源的状态转移图（例如图2.4.1）原来是变的，经过一定时间才稳定下来（成为稳定的图），而马尔可夫信源各状态的概率，在起始时与到了后来稳定时完全可以不相同。
第二章基本信息论4_马尔可夫信源
概率给定，为： pt ( xk / ei ) = p ( X t = xk / St = ei )
♦ 设信源在 t 的前一时刻 (t-1) 时刻处于 ei 状态，而
在时刻 t 转移到 ej 状态，转移概率为：
pt ( e j / ei ) = p( St = e j / St −1 = ei )
上式的条件概率称为马尔可夫链在时刻 t 的 状态一步转移概率
j
[例]一个二元2阶马尔可夫信源，原始信源X 的符号 集为（x1 = 0, x2 = 1)，其状态空间具有n m = 22 = 4个 不同的状态e1 , e2 , e3 , e4 ,即 E :{e1 = 00, e2 = 01, e3 = 10, e4 = 11} 其状态转移图如下，求该马尔可夫信源熵。
+ p( e3 ) H (0.5,0.5) + p( e4 ) H (0.8,0.2)
5 1 = × ( −0.8lb0.8 − 0.2lb0.2) + × ( −0.5lb0.5 − 0.5lb0.5) 14 7 1 5 + × ( −0.5lb0.5 − 0.5lb0.5) + × ( −0.8lb0.8 − 0.2lb0.2) 7 14
= p( ei ) p ( xkm+1 / ei ) = p ( ei ) p( e j / ei )
H ∞ = H m +1 = − ∑∑ p ( ei ) p ( e j / ei )lb p ( e j / ei )
i =1 j =1
nm nm
其中：p ( ei ) (i = 1,2,..., n m ) 为m阶马尔可夫信源稳定后的状态极限概率
( j = 1,2,..., n m )
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如图所示是一个相对编码器。
输入的码r X ，1,2,r =是相互独立的，取值0或1，且已知()0P X p ==，()11P X p q ==-=，输
出的码是r Y ，显然有
11Y X =，221Y X Y =⊕，
r Y 是一个马尔可夫链，因1r Y +的概率分布只与r Y 有关，与12,,
r r Y Y --无关，r Y 的条件
概率为 ()()0021000p P Y Y P X p ====== ()()0121101p P Y Y P X q ====== ()()1021011p P Y Y P X q ====== ()()1121110p P Y Y P X p ======
即转移矩阵为p q q p ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，它与r 无关，则是齐次
的。
其状态转移图为：
由i
ij j i W p W =∑
其中
(){};0,1i W P X x x ==∈ {}1;0,1j j W
j =∈∑
得 0112W W ==，
则该马尔可夫链是遍历的。
遍历性的直观意义：
不论从哪一个状态出发，当转移步数k 足够大时，转移j s 的概率()k ij p 都 近似等于某个常数j W ；反过来认为，若转移步数k 足够大，可用常数j W 作为k 步转移概率 ()k ij p 的近似值。
意味着：马尔可夫信源有初始状态时刻可以处在任意状态，而信源状态之间可以转移。