最新锐角三角函数特殊三角函数值

(完整版)三角函数特殊角值表

角度函数 0 30 45 60 90 120 135 150 180 270 360 角a 的弧度0 π/6 π/4 π/3 π/2 2π/3 3π/4 5π/6 π 3π/2 2π sin 0 1/2 √2/2 √3/2 1 √3/2 √2/2 1/2 0 -1 0 cos 1 √3/2 √2/2 1/2 0 -1/2 -√2/2 -√3/2 -1 0 1 tan√3/31√3-√3-1-√3/31、图示法：借助于下面三个图形来记忆，即使有所遗忘也可根据图形重新推出： sin30°=cos60°=21，sin45°=cos45°=22， tan30°=cot60°=33， tan 45°=cot45°=1正弦函数 sinθ=y/r 余弦函数 cosθ=x/r 正切函数 tanθ=y/x 余切函数 cotθ=x/y 正割函数 secθ=r/x 余割函数 cscθ=r/y2、列表法：说明：正弦值随角度变化，即0˚ 30˚ 45˚ 60˚ 90˚变化；值从02122 23 1变化，其余类似记忆．3、规律记忆法：观察表中的数值特征，可总结为下列记忆规律：① 有界性：（锐角三角函数值都是正值）即当0°＜α＜90°时，则0＜sin α＜1； 0＜cos α＜1 ； tan α＞0 ； cot α＞0。

②增减性：（锐角的正弦、正切值随角度的增大而增大；余弦、余切值随角度的增大而减小），即当0＜A ＜B ＜90°时，则sin A ＜sin B ；tan A ＜tan B ； cos A ＞cos B ；cot A ＞cot B ；特别地：若0°＜α＜45°，则sin A ＜cos A ；tan A ＜cot A 若45°＜A ＜90°，则sin A ＞cos A ；tan A ＞cot A ． 4、口决记忆法：观察表中的数值特征正弦、余弦值可表示为2m 形式，正切、余切值可表示为3m 形式，有关m 的值可归纳成顺口溜：一、二、三；三、二、一；三九二十七．30˚ 123145˚ 1212 60˚ 3函数名正弦余弦正切余切正割余割符号sin cos tan cot sec csc正弦函数sin（A）=a/c余弦函数cos（A）=b/c正切函数tan（A）=a/b余切函数cot（A）=b/a其中a为对边，b为邻边，c为斜边三角函数对照表三角函数SIN COS TAN 三角函数SIN COS TAN 0°0 1 0 90° 1 0 无1°0.0174 0.9998 0.0174 89°0.9998 0.0174 57.2899 2°0.0348 0.9993 0.0349 88°0.9993 0.0348 28.6362 3°0.0523 0.9986 0.0524 87°0.9986 0.0523 19.0811 4°0.0697 0.9975 0.0699 86°0.9975 0.0697 14.3006 5°0.0871 0.9961 0.0874 85°0.9961 0.0871 11.4300 6°0.1045 0.9945 0.1051 84°0.9945 0.1045 9.5143 7°0.1218 0.9925 0.1227 83°0.9925 0.1218 8.1443 8°0.1391 0.9902 0.1405 82°0.9902 0.1391 7.1153 9°0.1564 0.9876 0.1583 81°0.9876 0.1564 6.3137 10°0.1736 0.9848 0.1763 80°0.9848 0.1736 5.6712 11°0.1908 0.9816 0.1943 79°0.9816 0.1908 5.1445 12°0.2079 0.9781 0.2125 78°0.9781 0.2079 4.7046 13°0.2249 0.9743 0.2308 77°0.9743 0.2249 4.3314 14°0.2419 0.9702 0.2493 76°0.9702 0.2419 4.0107 15°0.2588 0.9659 0.2679 75°0.9659 0.2588 3.7320二倍角的正弦、余弦和正切公式三倍角的正弦、余弦和正切公式sin 22sin cos cos 2cos 2sin 22cos 2112sin 2αααααααα==-=-=-2tan tan 21tan 2ααα=--sin 33sin 4sin 3cos34cos33cos .3tan tan 3tan 313tan 2αααααααααα=-=--=--三角函数的和差化积公式三角函数的积化和差公式sin sin 2sincos 22sin sin 2cos sin22cos cos 2cos cos22cos cos 2sin sin22αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ+-+=⋅+--=⋅+-+=⋅+--=-⋅[][][][]1sin cos sin()sin()21cos sin sin()sin()21cos cos cos()cos()21sin sin cos()cos()2αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ⋅=++-⋅=+--⋅=++-⋅=-+--化asinα ±bcosα为一个角的一个三角函数的形式（辅助角的三角函数的公式）22sin cos sin()a x b x a b x φ±=+±其中φ角所在的象限由a 、b 的符号确定，φ角的值由tan ba φ=确定六边形记忆法：图形结构“上弦中切下割，左正右余中间1”；记忆方法“对角线上两个函数的积为1；阴影三角形上两顶点的三角函数值的平方和等于下顶点的三角函数值的平方；任意一顶点的三角函数值等于相邻两个顶点的三角函数值的乘积。

每一个角度的三角函数值表

（1）特殊角三角函数值sin0=0sin30=0.5sin45=0.7071 二分之根号2sin60=0.8660 二分之根号3sin90=1cos0=1cos30=0. 二分之根号3cos45=0. 二分之根号2cos60=0.5cos90=0tan0=0tan30=0. 三分之根号3tan45=1tan60=1. 根号3tan90=无cot0=无cot30=1. 根号3cot45=1cot60=0. 三分之根号3cot90=0（2）0°～90°的任意角的三角函数值，查三角函数表。

（见下）（3）锐角三角函数值的变化情况（i）锐角三角函数值都是正值（ii）当角度在0°～90°间变化时，正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）（iii）当角度在0°≤α≤90°间变化时，0≤sinα≤1, 1≥cosα≥0,当角度在0°<α<90°间变化时，tanα>0, cotα>0.“锐角三角函数”属于三角学，是《数学课程标准》中“空间与图形”领域的重要内容。

从《数学课程标准》看，中学数学把三角学内容分成两个部分，第一部分放在义务教育第三学段，第二部分放在高中阶段。

在义务教育第三学段，主要研究锐角三角函数和解直角三角形的内容，本套教科书安排了一章的内容，就是本章“锐角三角函数”。

在高中阶段的三角内容是三角学的主体部分，包括解斜三角形、三角函数、反三角函数和简单的三角方程。

无论是从内容上看，还是从思考问题的方法上看，前一部分都是后一部分的重要基础，掌握锐角三角函数的概念和解直角三角形的方法，是学习三角函数和解斜三角形的重要准备。

附：三角函数值表sin0=0,sin15=（√6-√2)/4 ,sin30=1/2,sin45=√2/2,sin60=√3/2,sin75=(√6+√2)/2 ,sin90=1,sin105=√2/2*(√3/2+1/2)sin120=√3/2sin135=√2/2sin150=1/2sin165=（√6-√2)/4sin180=0sin270=-1sin360=0sin1=0. sin2=0. sin3=0.sin4=0.41253 sin5=0. sin6=0.sin7=0. sin8=0. sin9=0.sin10=0. sin11=0.65448 sin12=0.sin13=0. sin14=0. sin15=0.sin16=0. sin17=0.27367 sin18=0.49474sin19=0.71567 sin20=0.56687 sin21=0.sin22=0.5912 sin23=0.92737 sin24=0.sin25=0. sin26=0.90774 sin27=0.sin28=0.58908 sin29=0. sin30=0.sin31=0.00542 sin32=0.32049 sin33=0.5027 sin34=0.07468 sin35=0.1046 sin36=0.24731 sin37=0.20483 sin38=0.56583 sin39=0.98375 sin40=0.65392 sin41=0.05073 sin42=0.88582 sin43=0.24985 sin44=0.89972 sin45=0.65475 sin46=0.86511 sin47=0.91705 sin48=0.73941 sin49=0.27719 sin50=0.8978 sin51=0.69708 sin52=0.67219 sin53=0.72928 sin54=0.49474 sin55=0.89918 sin56=0.50417 sin57=0.54239 sin58=0.6426 sin59=0.21122 sin60=0.44386 sin61=0.93957 sin62=0.89269 sin63=0.83678 sin64=0.9167 sin65=0.66499 sin66=0.26009 sin67=0.24404 sin68=0.67873 sin69=0.72017 sin70=0.59083 sin71=0.93167 sin72=0.51535 sin73=0.30354 sin74=0.83189 sin75=0.90683 sin76=0.59965 sin77=0.52352 sin78=0.38057 sin79=0.7664 sin80=0.2208 sin81=0.51378 sin82=0.15704 sin83=0.1322 sin84=0.82733 sin85=0.17455 sin86=0.98242 sin87=0.45738 sin88=0.90958 sin89=0.63913sin90=1cos1=0.63913 cos2=0.90958 cos3=0.45738 cos4=0.98242 cos5=0.17455 cos6=0.82733 cos7=0.1322 cos8=0.15704 cos9=0.51378cos10=0.2208 cos11=0.7664 cos12=0.38057 cos13=0.52352 cos14=0.59965 cos15=0.90683 cos16=0.83189 cos17=0.30355 cos18=0.51535 cos19=0.93168 cos20=0.59084 cos21=0.72017 cos22=0.67874 cos23=0.24404 cos24=0.26009 cos25=0.66499 cos26=0.9167 cos27=0.83679 cos28=0.8927 cos29=0.93957 cos30=0.44387 cos31=0.21123 cos32=0.6426 cos33=0.5424 cos34=0.50417 cos35=0.89918 cos36=0.49474 cos37=0.72928 cos38=0.67219 cos39=0.69709 cos40=0.8978 cos41=0.2772 cos42=0.73942 cos43=0.91705 cos44=0.86512 cos45=0.65476 cos46=0.89974 cos47=0.24985 cos48=0.88582 cos49=0.05074 cos50=0.65394 cos51=0.98375 cos52=0.56583 cos53=0.20484 cos54=0.24731 cos55=0.10462 cos56=0.07468 cos57=0.50272 cos58=0.32049 cos59=0.00544 cos60=0.00001 cos61=0.63371 cos62=0. cos63=0.95468cos64=0. cos65=0. cos66=0.58004cos67=0.92737 cos68=0.59122 cos69=0.cos70=0.56688 cos71=0. cos72=0.cos73=0. cos74=0. cos75=0.cos76=0. cos77=0. cos78=0.cos79=0. cos80=0. cos81=0.cos82=0. cos83=0. cos84=0.cos85=0. cos86=0. cos87=0.cos88=0. cos89=0.72836cos90=0tan1=0. tan2=0. tan3=0.tan4=0. tan5=0. tan6=0.tan7=0.29046 tan8=0. tan9=0.tan10=0. tan11=0. tan12=0.00221tan13=0.55631 tan14=0. tan15=0.11227tan16=0.88079 tan17=0. tan18=0.29063tan19=0. tan20=0. tan21=0.54158tan22=0.51568 tan23=0.96047 tan24=0.85361 tan25=0.49986 tan26=0.58614 tan27=0.44288 tan28=0.14788 tan29=0.2769 tan30=0.96257 tan31=0.75604 tan32=0.93275 tan33=0.75104 tan34=0.24265 tan35=0.97097 tan36=0.53609 tan37=0.27942 tan38=0.67174 tan39=0.50072 tan40=0.72799 tan41=0.62267 tan42=0.78399 tan43=0.76618 tan44=0.70739 tan45=0.99999 tan46=1.05693 tan47=1.46826 tan48=1.91927 tan49=1.10092 tan50=1.421 tan51=1.5051 tan52=1.30785 tan53=1.04098 tan54=1.11733 tan55=1.21144 tan56=1.27403 tan57=1.45827 tan58=1.10506 tan59=1.05173 tan60=1.88767 tan61=1.14235 tan62=1.63318 tan63=1.51503 tan64=2.9296 tan65=2.95586 tan66=2.4215 tan67=2.3753 tan68=2.62946 tan69=2.38023 tan70=2.46216 tan71=2.5822 tan72=3.52526 tan73=3.41404 tan74=3.09087 tan75=3.88776 tan76=4.58455 tan77=4.4153 tan78=4.8456 tan79=5.0307 tan80=5.7707 tan81=6.5041 tan82=7.4207 tan83=8.4593 tan84=9.2587 tan85=11.132 tan86=14.1942 tan87=19.816 tan88=28.5515 tan89=57.9144tan90=无取值。

特殊角三角函数值表Word版

特殊角三角函数值表：函数名在平面直角坐标系xOy中，从点O引出一条射线OP，设旋转角为θ，设OP=r，P点的坐标为（x，y）有正弦函数sinθ=y/r余弦函数cosθ=x/r正切函数tanθ=y/x余切函数cotθ=x/y 正弦（sin）:角α的对边比斜边余弦（cos）:角α的邻边比斜边正切（tan）:角α的对边比邻边余切（cot）:角α的邻边比对边特殊函数人倒数关系: tanα •cotα=1sinα •cscα=1cosα •secα=1特殊函数人商数关系:tanα=sinα/cosαcotα=cosα/sinα特殊函数人平方关系：sinα²+cosα²=11+tanα²=secα²1+cotα=cscα²以下关系，函数名不变，符号看象限sin（π+α）=-sinα cos（π+α）=-cosαtan（π+α）=tanα cot（π+α）=cotαsin（π－α）=sinα cos（π－α）=-cosαtan（π－α）=-tanα cot（π－α）=-cotαsin（2π－α）=-sinα cos（2π－α）=cosαtan（2π－α）=-tanα cot（2π－α）=-cotα以下关系，奇变偶不变，符号看象限sin（90°-α）=cosα cos（90°-α）=sinαtan（90°-α）=cotα cot（90°-α）=tanαsin（90°+α）=cosα cos（90°+α）=sinαtan（90°+α）=-cotαcot（90°+α）=-tanα特殊三角函数人积化和差的关系：sinα •cosβ=（1/2）*[sin（α+β）+sin（α－β）]cosα •sinβ=（1/2）*[sin（α+β）－sin（α－β）]cosα •cosβ=（1/2）*[cos（α+β）+cos（α－β）]sinα •sinβ=（1/2）*[cos（α+β）－cos（α－β）]特殊三角函数 - 和差化积公式sinα+sinβ=2*[sin(α+β)/2]*[cos(α-β)/2]sinα-sinβ=2*[cos(α+β)/2]*[sin(α-β)/2]cosα+cosβ=2*[cos(α+β)/2]*[cos(α-β)/2]cosα-cosβ=-22*[sin(α+β)/2]*[sin(α-β)/2]特殊三角函数 - 两角和与差的三角函数公式sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβcos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβtan（α+β）==(tanα+tanβ )/(1－tanα •tanβ) sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβcos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβtan（α－β）=(tanα-tanβ )/(1+tanα •tanβ)。

锐角三角函数特殊三角函数值PPT资料(正式版)

C.5 3 m 3
D.4m
小结
30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表：
sinA cosA tanA
30°
1 2
3 2
3 3
45°
2 2 2 2
1
60°
3 2
1 2
3
谢谢观看
（1）cos260°＋sin260°
（2）
cos45 s in45
tan45
求下列各式的值：
（ 1 ） 12si3n0 co 3s ； 0
（ 2 ） 3 ta 3 n 0 ta 4 n 5 2 s6 i n ； 0
（3）co6s0 1 ； 1sin60 tan30
例题例2 （1）如图，在Rt△ABC中，
5
B 则tanB＝（）
A. 4
B. 3
C. 3
D. 4
C
3
4
5
5
8.（ ·丹东中考）如图，小颖利用有一 30
°A
D
个锐角是30°的三角板测量一棵树的高度， B
E
已知她与树之间的水平距离BE为5m，AB为
（即小颖的眼睛距地面的距离），那
A 么这棵树高是（）
A.( 5 3 3 )m 32
B.(5 3 3 )m 2
个锐角是30°的三角板测量一棵树的高度，
2 c os1 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，
（即小颖的眼睛距地面的距离），那
( 3 ) 1 ∠C＝90°，
，
2 ，
锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数.
3、已知2 c o s 3 0（为锐角），
求t a n的值。
A
练习 4、如图，△ABC中，∠C=90°，

九个三角函数值

九个三角函数值
1 三角函数基本概念
三角函数是数学中最常见的函数之一，它主要是以正弦、余弦及正切形式表示的。

它常用来计算几何图形特性，也用来解决物理中常见问题。

2 基本三角函数值
正弦函数sin(x)：
45°时，sin(45°)=√2/2
90°时，sin(90°)=1
180°时，sin(180°)=0
余弦函数cos(x)：
45°时，cos(45°)=√2/2
90°时，cos(90°)=0
180°时，cos(180°)=-1
正切函数tan(x)：
45°时，tan(45°)=1
90°时，tan(90°)=无穷
180°时，tan(180°)=0
3 应用
三角函数广泛用于几何和物理中，其中最主要的是几何学研究的线性几何学和曲线几何学。

它可以用来描述形状大小的变化，用来解决界内所有几何计算问题。

此外，三角函数还可以用来计算物理学中各种实际情况下物体运动期间的加速度、力和功等参数，以及描述电磁学和光学运动等电磁学和光学现象。

特殊三角函数值对照表(特殊角的三角函数值)

特殊三角函数值对照表（特殊角的三角函数值）《特殊角的三角函数值》是人教版数学九年级下册第二十八章的内容，特殊三角函数值一般指在0，30°，45°，60°，90°，180°角下的正余弦值。

这些角度的三角函数值是经常用到的。

并且利用两角和与差的三角函数公式，可以求出一些其他角度的三角函数值。

具体的三角函数值如下表：扩展资料：黄金三角函数介绍：α=18°(π/10) sinα=(√5-1)/4 cosα=√(10+2√5)/4tαnα=√(25-10√5)/5cscα=√5+1 secα=√(50-10√5)/5 cotα=√(5+2√5)α=36°(π/5) sinα=√(10-2√5)/4 cosα=(√5+1)/4tαnα=√(5-2√5)cscα=√(50+10√5)/5 secα=√5-1 cotα=√(25+10√5)/5α=54°(3π/10) sinα=(√5+1)/4 cosα=√(10-2√5)/4 tαnα=√(25+10√5)/5是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数。

它们的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。

通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的，其定义域为整个实数域。

另一种定义是在直角三角形中，但并不完全。

扩展资料：三角函数在复数中有重要的应用。

三角函数也是物理学中的常用工具。

它有六种基本函数函数名正弦余弦正切余切正割余割符号 sin cos tan cot sec csc正弦函数sin（A）=a/c余弦函数cos（A）=b/c正切函数tan（A）=a/b余切函数cot（A）=b/a其中a为对边，b为邻边，c为斜边特殊角的值如下表：在直角三角形中，任意一锐角∠A的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA（由英语sine一词简写得来），即sinA=∠A的对边/斜边。

扩展资料：sinα = tanα × cosα（即sinα / cosα = tanα ）cosα = cotα × sinα （即cosα / sinα = cotα）tanα = sinα × secα (即tanα / sinα = secα)sin ( α ± β ) = sinα · cosβ ± cosα · sinβsin ( α + β + γ ) = sinα · cosβ · cosγ +cosα · sinβ · cosγ + cosα · cosβ · sinγ - sinα · sinβ · sinγcos ( α ± β ) = cosα cosβ ∓ sinβ sinαtan ( α ± β ) = ( tanα ± tanβ ) / ( 1 ∓ tanα tanβ )完整初中三角函数值表如下图所示：常见的三角函数有正弦函数、余弦函数和正切函数。

2813锐角三角函数特殊三角函数值2

2813锐角三角函数特殊三角函数值2 2813锐角三角函数特殊三角函数值2锐角三角函数是指在单位圆上，角度小于90°的三角函数。

常见的锐角三角函数有正弦函数sinθ、余弦函数cosθ、正切函数tanθ、余切函数cotθ、正割函数secθ和余割函数cscθ。

在本文中，我们将讨论这些函数的特殊角度的值。

1. 正弦函数sinθ：正弦函数的定义是：sinθ = 对边/斜边。

在单位圆上，斜边的长度为1，所以可以简化为sinθ = 对边。

特殊角度的sin值：sin0° = 0sin30° = 1/2sin45° = √2/2sin60° = √3/2sin90° = 12. 余弦函数cosθ：余弦函数的定义为：cosθ = 邻边/斜边。

在单位圆上，斜边的长度为1，邻边的长度为√(斜边^2 - 对边^2) = √(1 - 对边^2)。

特殊角度的cos值：cos0° = 1cos30° = √3/2cos45° = √2/2cos60° = 1/2cos90° = 03. 正切函数tanθ：正切函数的定义为：tanθ = 对边/邻边。

注意，在θ = 90°时，tanθ为无穷大。

特殊角度的tan值：tan0° = 0tan30° = 1/√3 = √3/3tan45° = 1tan60° = √3tan90°不存在4. 余切函数cotθ：余切函数的定义为：cotθ = 邻边/对边。

注意，在θ = 0°时，cotθ为无穷大。

特殊角度的cot值：cot0°不存在cot30° = √3cot45° = 1cot60° = 1/√3 = √3/3cot90° = 05. 正割函数secθ：正割函数的定义为：secθ = 斜边/邻边。

2023 数学浙教版新中考考点29锐角三角函数(解析版)

考点29锐角三角函数考点总结1．锐角三角函数的意义：如图，在Rt △ABC 中，设∠C ＝90°，∠α为Rt △ABC 的一个锐角，则： ∠α的正弦sin α＝∠α的对边斜边；∠α的余弦cos α＝∠α的邻边斜边；∠α的正切tan α＝∠α的对边∠α的邻边2．同角三角函数之间的关系： sin 2A ＋cos 2A ＝ 1 ，tan A ＝s inA cos A ．3．互余两角三角函数之间的关系：(1)sin α＝cos (90°－α)，cos α＝sin (90°－α)． (2)tan α·tan (90°－α)＝1.(3)锐角的正弦值或正切值随着角度的增大而增大，锐角的余弦值随着角度的增大而减小．(4)对于锐角A 有0＜sin A ＜1，0＜cos A ＜1，tan A ＞0. 4．特殊的三角函数值：5．如图，直角三角形的三条边与三个角这六个元素中，有如下的关系：(1)三边的关系(勾股定理)：a 2＋b 2＝c 2． (2)两锐角间的关系：∠A ＋∠B ＝90°． (3)边与角的关系：sin A ＝cos B ＝a c， cos A ＝sin B ＝b c ，tan A ＝a b ，tan B ＝b a．6．直角三角形的边角关系在现实生活中有着广泛的应用，它经常涉及测量、工程、航海、航空等，其中包括了一些概念，一定要根据题意理解其中的含义才能正确解题． (1)仰角：向上看时，视线与水平线的夹角，如图．(2)俯角：向下看时，视线与水平线的夹角， (3)坡角：坡面与水平面的夹角．(4)坡度：坡面的铅直高度与水平宽度的比叫做坡度(或坡比)，一般情况下，我们用h 表示坡的铅直高度，用l 表示坡的水平宽度，用i 表示坡度，即i ＝hl＝tan α，显然，坡度越大，坡角就越大，坡面也就越陡，如图．(5)方向角：指北或指南的方向线与目标方向线所成的小于90°的锐角叫做方向角，如图324．真题演练一、单选题1．（2021·浙江台州·中考真题）如图，将长、宽分别为12cm ，3cm 的长方形纸片分别沿AB ，AC 折叠，点M ，N 恰好重合于点P ．若∠α＝60°，则折叠后的图案（阴影部分）面积为（）A ．（36-cm 2B ．（36-cm 2C ．24 cm 2D ．36 cm 2【答案】A 【分析】过点C 作CF MN ⊥，过点B 作BE MN ⊥，根据折叠的性质求出60PAC α∠=∠=︒，30EAB PAB ∠=∠=︒，分别解直角三角形求出AB 和AC 的长度，即可求解．【详解】解：如图，过点C 作CF MN ⊥，过点B 作BE MN ⊥，∵长方形纸片分别沿AB ，AC 折叠，点M ，N 恰好重合于点P ， ∵60PAC α∠=∠=︒， ∵30EAB PAB ∠=∠=︒，∵90BAC ∠=︒，6cm sin BE AB EAB ==∠，sin CFAC α==，∵12ABCSAB AC =⋅=∵(212336cm ABCS S S=-=⨯-=-阴矩形，故选：A ．2．（2021·浙江金华·中考真题）如图是一架人字梯，已知2AB AC ==米，AC 与地面BC 的夹角为α，则两梯脚之间的距离BC 为（）A ．4cos α米B ．4sin α米C ．4tan α米D ．4cos α米【答案】A 【分析】根据等腰三角形的性质得到12BD DC BC ==，根据余弦的定义即可，得到答案．【详解】过点A 作AD BC ⊥，如图所示：∵AB AC =，AD BC ⊥， ∵BD DC =， ∵DCco ACα=， ∵cos 2cos DC AC αα=⋅=， ∵24cos BC DC α==，故选：A ．3．（2021·浙江温州·中考真题）图1是第七届国际数学教育大会（ICME ）的会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形OABC ．若1AB BC ==．AOB α∠=，则2OC 的值为（）A ．211sin α+ B ．2sin 1α+ C ．211cos α+ D ．2cos 1α+【答案】A 【分析】根据勾股定理和三角函数求解．【详解】∵在Rt OAB 中，AOB α∠=，1AB = ∵1=sin sin AB OB αα= 在Rt OBC 中，1BC =，2222221111sin sin OC OB BC αα⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭故选：A ．4．（2021·浙江·中考真题）如图，已知在矩形ABCD 中，1,AB BC ==P 是AD 边上的一个动点，连结BP ，点C 关于直线BP 的对称点为1C ，当点P 运动时，点1C 也随之运动．若点P 从点A 运动到点D ，则线段1CC 扫过的区域的面积是（）A ．πB ．π+C D ．2π【答案】B 【分析】先判断出点Q 在以BC 为直径的圆弧上运动，再判断出点C 1在以B 为圆心，BC 为直径的圆弧上运动，找到当点P 与点A 重合时，点P 与点D 重合时，点C 1运动的位置，利用扇形的面积公式及三角形的面积公式求解即可．【详解】解：设BP 与CC 1相交于Q ，则∵BQC =90°，∵当点P 在线段AD 运动时，点Q 在以BC 为直径的圆弧上运动，延长CB 到E ，使BE =BC ，连接EC ， ∵C 、C 1关于PB 对称， ∵∵EC 1C =∵BQC =90°，∵点C 1在以B 为圆心，BC 为直径的圆弧上运动，当点P 与点A 重合时，点C 1与点E 重合，当点P 与点D 重合时，点C 1与点F 重合，此时，tanPC AB PBC BC BC ∠=== ∵∵PBC =30°，∵∵FBP =∵PBC =30°，CQ =12BC =BQ 32=，∵∵FBE =180°-30°-30°=120°，11322BCFS CC BQ =⨯==线段1CC 扫过的区域的面积是2120360BCFSππ⨯+=故选：B ．5．（2021·浙江丽水·中考真题）如图，AB 是O 的直径，弦CD OA ⊥于点E ，连结,OC OD ．若O 的半径为,m AOD α∠=∠，则下列结论一定成立的是（）A ．tan OE m α=⋅B ．2sin CD m α=⋅C ．cos AE m α=⋅D ．2sin CODSm α=⋅【答案】B 【分析】根据垂径定理、锐角三角函数的定义进行判断即可解答．【详解】解：∵AB 是O 的直径，弦CD OA ⊥于点E ， ∵12DE CD =在Rt EDO ∆中，OD m =，AOD α∠=∠ ∵tan =DEOEα ∵=tan 2tan DE CDOE αα=，故选项A 错误，不符合题意；又sin DEODα=∵sin DE OD α=∵22sin CD DE m α==，故选项B 正确，符合题意；又cos OEODα=∵cos cos OE OD m αα== ∵AO DO m ==∵cos AE AO OE m m α=-=-，故选项C 错误，不符合题意； ∵2sin CD m α=，cos OE m α=∵2112sin cos sin cos 22COD S CD OE m m m αααα∆=⨯=⨯⨯=，故选项D 错误，不符合题意；故选B ．6．（2021·浙江宁波·中考真题）如图，在ABC 中，45,60,B C AD BC ∠=︒∠=︒⊥于点D ，BD =E ，F 分别为AB ，BC 的中点，则EF 的长为（）A B C ．1 D 【答案】C 【分析】根据条件可知∵ABD 为等腰直角三角形，则BD =AD ，∵ADC 是30°、60°的直角三角形，可求出AC 长，再根据中位线定理可知EF =2AC。

锐角三角函数 1.2特殊角的三角函数值

（4）. 1－cos260°+ tan260°
（5）sin(30°+30°)+cos(60°－30°)
当心！
~~此题没意思~~
1.1 锐角三角函数 1.2 特殊角的三角函数值第 3 页
13.在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=2cm，AB= 5 cm，求 tanA 和 tanB。
14.在锐角△ABC 中，，AB=5cm，BC=11cm，AD 是 BC 边上的高，AD=4，求 sinC。
11.锐角 A 满足 2sin（A－15°）= 3 ，则∠ A= 三、简答题 12.计算或化简：（1）. 5tan30°－2(cos60°－sin60°)
（2）. (sin60°+cos45°)(sin60°－cos45°)
（3）.
2 (2cos45°－tan45°) －(tan60°+sin30°)0－(tan60°+sin30°)-1
1.1 锐角三角函数 1.2 特殊角的三角函数值第 1 页
它们默写在下表中。熟记！最好能推理算出！ 30° sinA cosA tanA 你能这样记吗？ sin30°＝cos60°＝ ◆知识检测一、选择题 45° 60°
, sin60°＝cos30°＝
.
1. 在 Rt△ABC 中，∠C=90°，若 tanA= A.
3 ，则 sinA 等于（ 4
）
4 3 5 3 B. C. D. 3 4 3 5 2.如果∠a 是等腰直角三角形的一个锐角，则 tana 的值是（
）
A.
1 2
B.
2 2
C. 1
D. 2
3 ,则 BC：AC：AB 等于（ 3
3.在 Rt△ABC 中，∠C=90°，tanA= A.1：2：5 B.1： 3 ： 5

三角函数特殊角值表(完整版)资料

不存在
0
说明：正弦值随角度变化，即0˚30˚ 45˚ 60˚ 90˚变化；值从0
1变化，其余类似记忆．
3、规律记忆法：观察表中的数值特征，可总结为下列记忆规律：
1有界性：（锐角三角函数值都是正值）即当0°＜＜90°时，
则0＜sin ＜1； 0＜cos ＜1 ； tan ＞0 ； cot ＞0。
②增减性：（锐角的正弦、正切值随角度的增大而增大；余弦、余切值随角度的增大而减小），即当0＜A＜B＜90°时，则sinA＜sinB；tanA＜tanB； cosA＞cosB；cotA＞cotB；特别地：若0°＜＜45°，则sinA＜cosA；tanA＜cotA
《三角函数的应用》
研究性学习开题报告
数学研究性学习小组
2021年11月
一、课题名称：三角函数的应用
二、课题提出的背景：
高一的数学重点是三角函数。他在生活中应用非常广泛，与物理，地理等学科也有密切的关系。为使学生更好的了解数学与生活的联系，以此为研究的课题：
三、课题研究的目的与意义：
1、研究性学习的原因：
若45°＜A＜90°，则sinA＞cosA；tanA＞cotA．
4、口决记忆法：观察表中的数值特征
正弦、余弦值可表示为形式，正切、余切值可表示为形式，有关m的值可归纳成顺口溜：一、二、三；三、二、一；三九二十七．
巧记特殊角的三角函数值
初学三角函数，记忆特殊角三角函数值易错易混。若在理解掌握的基础上，经过变形，使其呈现某种规律，再配以歌诀，则可浅显易记，触目成诵。
（2）教学课件，网站、文字网站
ENDFOR（3）学生研究活动记录，研究论文及研究报告等。
最终成果形式：（小论文、调查报告、课件、图片等）
（1）sin260°＋cos260 (2) -tan450

特殊锐角三角函数值

特殊锐角三角函数值
特殊锐角三角函数是指不完全属于圆角三角函数范畴的三角函数值，它们被称为特殊三角函数，并与圆角三角函数和不完全圆角三角函数构成一个完整的三角学框架。

特殊圆角三角函数的范围覆盖从0°到90°的角度，包括30°、45°、60°等特殊角度；但它们与一般圆角三角函数不同，在某些特殊角度上可以得到比圆角三角函数更精确的解。

特殊圆角三角函数一般指不对称的三角函数值，而不是对称的三角函数值。

对称的三角函数值包括正弦、余弦和正切，它们可以由180°、270°或360°旋转得到，因此可以使用0°~360°的角度来表示这些值。

非对称的三角函数值如锐角正切，它不能通过180°、270°或360°的旋转得到另一个值，仅能提供特定的特殊的角度的三角函数值。

正因如此，以上特殊角度的三角函数值可由特殊圆角三角函数表示：
•上正弦（Sin）：sin 30° = 0.5;
•上锐角正切（Cot）：cot 30° = 1.732;
•辅锐角正割（Sec）：sec 60° = 2。

特殊锐角三角函数在许多领域都有着广泛的应用，特别是在计算几何、机械、建筑和航海等工程技术领域。

它们的主要作用是用来解决三角函数方程及其他各种应用中的各种概念分析问题。

此外，它们在解决其他工程和数学问题方面更是尤为可观，如矩阵、经济学、建筑和微积分等。

专题01 锐角三角形函数和特殊角的三角函数值(解析版)(重点突围)

专题01锐角三角形函数和特殊角的三角函数值考点一正弦、余弦、正切的概念辨析考点二求角的正弦值、余弦值、正切值考点三已知正弦值、余弦值、正切值求边长考点四求特殊角的三角函数值考点一正弦、余弦、正切的概念辨析A．sinBCAAB=B．【变式训练】A．CDACB．BDCB【答案】C【分析】根据已知可得∠B=∠ACD 【详解】A．∵CD⊥AB，考点二求角的正弦值、余弦值、正切值【变式训练】【答案】5 5【分析】连接AC，根据格点特点得出答案．(1)求证：四边形OCEB是矩形；AB=，(2)连接DE，当5【答案】(1)见解析Q 四边形ABCD 是菱形，OA OC \=，OB OD =在Rt AOB △中，5AB =考点三已知正弦值、余弦值、正切值求边长Q ∠C ＝90°，AB ＝sin 8BC BC A AB \===解得：6BC =，故选：A ．【变式训练】【答案】5【分析】根据5sin 13A =，可设【详解】解：∵5sin A =，sin【点睛】本题考查锐角三角函数和勾股定理，熟练掌握锐角三角函数的定义和勾股定理的计算是解答本题的关键．3．（2022·安徽宿州【答案】46【分析】首先根据考点四求特殊角的三角函数值【点睛】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．【变式训练】化简．A．43B【答案】B【分析】依据折叠的性质以及矩形的性质，易得股定理易得BF的长．根据三角函数的定义，易得A．55【答案】D【分析】先根据圆周角定理可得【答案】1【分析】连接AB ，由勾股定理求得【详解】解：连接AB 由勾股定理得：AB ＝∴AB ＝AO ，22OA AB +∴△ABO 是以OB 为斜边的等腰直角三角形，∴tan tan 45AOB Ð°=＝【答案】53【分析】根据直角三角形的边角关系可求出MC NC MN 、、，再根据角平分线的定义以及等腰三角形的判定得出【详解】解：在ABC V 中，=90C Ð∴10BCAB ==，2AC AB BC =-【点睛】本题考查直角三角形的边角关系，角平分线的定义，相似三角形的判定和性质以及平行四边形的判定和性质，掌握直角三角形的边角关系以及相似三角形的判定和性质是解决问题的前提，用含有数式表示MC、NC、MN是正确解答的关键．三、解答题11．（2022·吉林·长春市第五十二中学九年级阶段练习）计算：【答案】4sin 5B =(1)求证：AE=AC；(2)若cos∠E=35，CE=12，求矩形【答案】(1)见解析(2)矩形ABCD的面积为48(1)求证：△ABE∽△DEC(2)当AD=25时，且AE＜DE时，求(3)当BP=9时，求BE·EF的值.【答案】(1)见详解1∥，BF=PG=BP=9，AB=12∵BE PG∴四边形BPGF是菱形，∥，GF=BP=9，∴BP GF∴∠GFE=∠ABE，(1)求证：AM FM=；(2)如图2，若点B¢恰好落在对角线AC上，求tan F的值；(3)当2BE CE=时，求线段AM的长．【答案】(1)见解析；(2)1 tan2F=；(3)线段AM的长为14518或736．由AB CF ∥，,ABE FCE BAE \Ð=ÐÐΔΔABE FCE \∽，\2AB BE CF CE ==，即6CF=由AB CF ∥：,ABE FCE BAE CFE\Ð=ÐÐ=ÐΔABE FCE \D ∽，\2AB BE CF CE ==，即62CF=，3CF \=，则633DF =-=，解题时注意分类思想与方程思想的运用．。

锐角三角函数特殊三角函数值教案

28.1锐角三角函数（第三课时）——特殊角三角函数值板书设计例2：课后反思1、三角函数值的记忆。

2、三角函数值的表示方法。

3、三角函数值的求法（必须放在直角三角形中）。

教学过程设计2+；60sin6045-．tan4545．本课时练习1求下列各式的值：课题 30°、45°、60°角的三角函数值一、教学目标1、能推导并熟记30°、45°、60°角的三角函数值，并能根据这些值说出对应的锐角度数。

2、能熟练计算含有30°、45°、60°角的三角函数的运算式二、教学重点、难点重点：熟记30°、45°、60°角的三角函数值，熟练计算含有30°、45°、60°角的三角函数的运算式难点：30°、45°、60°角的三角函数值的推导过程三、教学过程（一）复习引入还记得我们推导正弦关系的时候所到结论吗？即01sin 302=，02sin 452=你还能推导出0sin 60的值及30°、45°、60°角的其它三角函数值吗？（二）实践探索1.让学生画30°45°60°的直角三角形,分别求sia 30° cos45° tan60° 归纳结果30° 45° 60° siaA cosAtanA（三）教学互动例求下列各式的值：（1）00020245sin 30sin 245cos 60cos ++ （2）00000000cos 60sin 45cos 60cos 45cos 60sin 45sin 30cos 45+-+-+解（1）原式=22212222122⨯⨯+⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛45212141=++=（2）原式=22321212221222122212221--=-+=+-+-+说明：本题主要考查特殊角的正弦余弦值，解题关键是熟悉并牢记特殊角的正弦余弦值。

特殊角的锐角三角函数值

2
300
2
450
450
(7)tan450,tan600等于多少?
1
600
3
1
┌
1
┌
根据上面的计算,完成表格: <特殊角的锐角三角函数值表>
特殊角的锐角三角函数值表
锐角 A
锐角三角函数
30°
45°
60°
sin A cos A tan A
特殊角的锐角三角函数值表
找找规律，记住它！
锐角 A
锐角三角函数 sin A cos A tan A
• 课本P67练习，1、2题
等腰三角形腰长为10厘米，顶角是120°，则三角形底边长 10 3 厘米，面积是 25 3 平方厘米。
怎样做？
看谁做得快！
某商场有一自动扶梯，其倾斜角为３0°, 高为7米, 扶梯的长度是多少? ?
30°
7米
1、课本P69 习题28.1 第3题
2
300
0
tan 60 3
0
2、角A是多少度？
1 sin A 0 2 30
3 cos A 2 0 30 2 cos A 0 2 45
2 sin A 0 45 2
3 sin A 0 2 60
tan A 1 0 45
3 tan A 0 3 30
1 cos A 0 2 60
tan A 3 0 60
2
450
450
1
600
3
┌
┌
1 锐角 A
锐角三角函数
1
30°
45°
60°
sin A cos A tan A
解：在右图中，

锐角三角函数的特殊值。

锐角三角函数是数学中常见的一类函数，它们在三角学和解析几何中有着重要的应用。

这些函数的特殊值在计算和解题中起着重要的作用，下面我们将详细介绍锐角三角函数的特殊值。

一、正弦函数的特殊值正弦函数是最基本的三角函数之一，它表示一个角的对边与斜边的比值。

在锐角三角函数中，正弦函数的特殊值主要集中在0°、30°、45°、60°和90°五个角度上。

1. 当角度为0°时，正弦函数的值为0。

这是因为0°角的对边为0，所以正弦函数的值也为0。

2. 当角度为30°时，正弦函数的值为1/2。

这是因为30°角的对边等于斜边的一半，所以正弦函数的值为1/2。

3. 当角度为45°时，正弦函数的值为√2/2。

这是因为45°角的对边等于斜边的一半，所以正弦函数的值为√2/2。

4. 当角度为60°时，正弦函数的值为√3/2。

这是因为60°角的对边等于斜边的一半，所以正弦函数的值为√3/2。

5. 当角度为90°时，正弦函数的值为1。

这是因为90°角的对边等于斜边，所以正弦函数的值为1。

二、余弦函数的特殊值余弦函数是三角函数中的另一个重要函数，它表示一个角的邻边与斜边的比值。

在锐角三角函数中，余弦函数的特殊值也主要集中在0°、30°、45°、60°和90°五个角度上。

1. 当角度为0°时，余弦函数的值为1。

这是因为0°角的邻边等于斜边，所以余弦函数的值为1。

2. 当角度为30°时，余弦函数的值为√3/2。

这是因为30°角的邻边等于斜边的一半，所以余弦函数的值为√3/2。

3. 当角度为45°时，余弦函数的值为√2/2。

这是因为45°角的邻边等于斜边的一半，所以余弦函数的值为√2/2。

特殊三角函数值

sin58=0.848048096156426 sin59=0.8571673007021122 sin60=0.8660254037844386
sin61=0.8746197071393957 sin62=0.8829475928589269 sin63=0.8910065241883678
sin40=0.6427876096865392 sin41=0.6560590289905073 sin42=0.6691306063588582
sin43=0.6819983600624985 sin44=0.6946583704589972 sin45=0.7071067811865475
正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）
余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）
（iii）当角度在0°≤α≤90°间变化时，
0≤sinα≤1, 1≥cosα≥0,
当角度在0°<α<90°间变化时，
tanα>0, cotα>0.
“锐角三角函数”属于三角学，是《数学课程标准》中“空间与图形”领域的重要内容。从《数学课程标准》看，中学数学把三角学内容分成两个部分，第一部分放在义务教育第三学段，第二部分放在高中阶段。在义务教育第三学段，主要研究锐角三角函数和解直角三角形的内容，本套教科书安排了一章的内容，就是本章“锐角三角函数”。在高中阶段的三角内容是三角学的主体部分，包括解斜三角形、三角函数、反三角函数和简单的三角方程。无论是从内容上看，还是从思考问题的方法上看，前一部分都是后一部分的重要基础，掌握锐角三角函数的概念和解直角三角形的方法，是学习三角函数和解斜三角形的重要准备。
cos7=0.992546151641322 cos8=0.9902680687415704 cos9=0.9876883405951378

锐角三角函数特殊角

锐角三角函数特殊角导言三角函数是数学中一门重要的分支，它们在几何、物理、工程等领域发挥着重要作用。

在三角函数中，有一类特殊的角度被称为锐角。

本文将详细介绍锐角三角函数的特殊角，包括定义、性质以及相关应用。

一、锐角三角函数的定义锐角指的是角度大小在0°和90°之间的角。

在三角函数中，主要涉及的三个函数是正弦函数（sin）、余弦函数（cos）和正切函数（tan）。

它们的定义如下：•正弦函数（sin）：在锐角ABC中，∠ABC的顶点位于单位圆的圆心O上，点A位于单位圆上，点C位于x轴上。

正弦函数sinA的值等于A点在单位圆上的y坐标值，即sinA=y。

•余弦函数（cos）：在锐角ABC中，∠ABC的顶点位于单位圆的圆心O上，点A位于单位圆上，点C位于x轴上。

余弦函数cosA的值等于A点在单位圆上的x坐标值，即cosA=x。

•正切函数（tan）：在锐角ABC中，∠ABC的顶点位于单位圆的圆心O上，点A位于单位圆上，点C位于x轴上。

正切函数tanA的值等于A点在单位圆上的y坐标值除以A点在单位圆上的x坐标值，即tanA=y/x。

二、锐角三角函数特殊角的定义在锐角三角函数中，存在一些特殊角，它们的值可以用简单的形式表示。

这些特殊角包括以下几个：1.0°：对应的三角函数值为sin0°=0，cos0°=1，tan0°=0。

2.30°：对应的三角函数值为sin30°=1/2，cos30°=√3/2，tan30°=√3/3。

3.45°：对应的三角函数值为sin45°=√2/2，cos45°=√2/2，tan45°=1。

4.60°：对应的三角函数值为sin60°=√3/2，cos60°=1/2，tan60°=√3。

5.90°：对应的三角函数值为sin90°=1，cos90°=0（定义无意义），tan90°=无穷（定义无意义）。