数学物理方程期末考试试题(A)答案

孝感学院

解：设)()(t T x X u =代于方程得：

0''=+X X λ，0)1(''2=++T a T λ(8’)

x C x C X λλsin cos 21+=，t a C t a C T 22211sin 1cos λλ+++= 由边值条件得：

22)(

,0l

n C πλ== l

x n t a A t a B u n n n πλλcos

)1sin 1cos (221+++=∑∞= ⎰=

l n dx l x n x l B 0cos )(2πϕ，⎰+=l n dx l

x n x a l A 02cos )(12πψλ(15’)

证明：设代入方程：

⎪⎩

⎪⎨⎧====-=).(),(),(),0()(02102t g t l v t g t v x v v a v t xx t ϕ

设21,v v 都是方程的解设21v v v -=代入方程得：

⎪⎩

⎪⎨⎧====-=0),(,),0(0002t l v t v v v a v t xx t

由极值原理得0=v 唯一性得证。(8’)由

≤-21v v ετ≤-2

1v v ，稳定性得证由u e v ct -=知u 的唯一性稳定性

得证。(15’)

解：设),(ηξp 是第一象限内一点，在该点放置单位点电荷，其对称点),(ηξ-p

格林函数：

22)()(1ln 21),,,(ηξπηξ-+-=

y x y x G 22)()(1ln 21ηξπ++--y x (8’) ]

)[(22220ηξπη+-=∂∂-=∂∂=x y G n G y 方程的解：dx x x f u ⎰+∞∞-+-=22)()(),(ηξπ

ηηξ(15’)

五、证明下列初边值问题解的唯一性.(20分)

),,,()(2t z y x f u u u a u zz yy xx tt =++-

),,,(0z y x u

t ϕ== ),,,(0

z y x u t t ψ== ).,,,(t z y x g u =Γ

其中,),,(,0Ω∈>z y x t Γ为Ω的边界.

解:设21,u u 都是方程的解设21u u u -=代入方程得：

0)(2=++-zz yy xx tt u u u a u

00==t u

00

==t t u .0=Γu

设dxdydz u u u a u t E z y x t ])([21)(22222⎰⎰⎰Ω

+++= =dt t dE )(dxdydz u u u u u u a u u zt z yt y xt x tt t ])([22⎰⎰⎰Ω

+++ dxdydz u u u a u u zz yy xx tt t ])([[2

2⎰⎰⎰

Ω++-= 0=(10’)

0)0()(==E t E ，C u =，由边值条件得：0=u 。(20’)

六 考察边值问题

∑==++∆n i x i

f u x c u x b u i 1)()(

.0=∂∂Γn u

试证)(x c 当充分负时,其解具有唯一性及在能量模意义下的稳定性.(20分) 证明：在原方程两边同乘以u 然后在Ω上积分：

⎰Ω∆u u ∑⎰=Ω

=++n i x i dx fu dx u x c u u x b i 12)()(

由格林公式dx u u ⎰Ω

∆⎰Ω∂-∂∂=ds n u dx Du 2⎰Ωdx Du 2⎰Ω-= 由Young 不等式≤⎰∑=dx u u n i x i 1dx u n i x i 212⎰∑=εdx u n ⎰+22ε

又⎰

⎰⎰+≤

dx u dx f fudx 222121故得估计： ⎰⎰∑≤+=dx f C dx u u n i x i 2221)((10’)

设21,u u 都是方程的解设21u u u -=代入方程并由估计式得：0=u 唯一性得证

≤-21u u ετ≤-2

1f f ，稳定性得证。(20’)