有限元法基本原理及应用第四章重庆大学龙雪峰
有限元原理与应用
第一节 引言
第二节 空间问题有限元法
一、结构离散 二、单元分析 三、总刚矩阵集成 四、载荷移置 五、约束处理和求解线形方程组
第二节 空间问题有限元法
一、结构离散
第二节 空间问题有限元法
二、单元分析
第二节 空间问题有限元法
二、单元分析
第二节 空间问题有限元法
二、单元分析
第二节 空间问题有限元法
第二节 平面刚架有限元法
三、坐标变换
第二节 平面刚架有限元法
三、坐标变换
[T ]e ([T ]e )T E
第二节 平面刚架有限元法
四、总刚矩阵集成
五、节点矩阵列阵
第二节 平面刚架有限元法
六、约束处理和求解线形方程组
第五章 空间问题有限元法
第一节 引言 第二节 空间问题有限元法
第一节 引言
第二节 轴对称问题有限元法
六、约束处理和求解线形方程组
第四章 杆件系统有限元法
第一节 引言 第二节 平面刚架有限元法
第一节 引言
第一节 引言
第一节 引言
第二节 平面刚架有限元法
一、结构离散
第二节 平面刚架有限元法
二、单元分析
第二节 平面刚架有限元法
二、单元分析
不对称原因:U方向主要 是平动;V方向除了平动 还有转动
第十节 间隙单元
第十节 间隙单元
第十一节 界面单元
第十一节 界面单元
第十六章 网格划分方法
第二节 平面问题有限元法
八 计算结果处理
第二章 总结
研究对象的离散，将无穷自由度的研究问题转化为有限自由 度的问题，以位移为未知量，节点的位移数，即为自由度的个 数；
以位移为参数，选取一定的插值函数来表示位移，主要目的 是将单元中的位移形式表达成节点位移的函数或节点位移与节 点坐标的函数；
第二章有限元法的基本原理
第二章有限元法的基本原理1. 引言有限元法(Finite Element Method, FEM)是一种数值分析方法，用于解决工程和科学领域中的复杂物理问题。
它通过将连续的物理领域离散化成许多小元素，通过求解代表元素之间关系的离散方程来近似解决原问题。
本章将介绍有限元法的基本原理。
2. 有限元法的基本思想有限元法的基本思想是将复杂的问题分割成更小的、易于处理的部分，通过求解这些部分的解，并通过它们之间的关系来得到整体解。
在有限元法中，将连续问题离散化为有限元模型，分为以下几个步骤：2.1 建立几何模型首先，根据实际问题建立几何模型。
几何模型可以是二维或三维的，通常使用节点和单元表示。
节点表示模型中的离散点，单元表示连接节点的几何形状。
2.2 确定节点自由度每个节点都有与之关联的自由度，它们是用来表示节点状态的参数。
常见的自由度有位移、温度等。
2.3 建立单元和节点之间的关系根据单元类型和节点连接关系，建立单元与节点之间的关系。
通常，一个单元由若干个节点组成。
2.4 建立元素刚度矩阵根据单元类型和材料参数，建立元素刚度矩阵。
2.5 建立整体刚度矩阵利用单元刚度矩阵和节点关系，建立整体刚度矩阵。
整体刚度矩阵由元素刚度矩阵按照节点自由度的排列组成。
2.6 施加边界条件和载荷根据实际问题，施加边界条件和载荷。
边界条件可以是位移、力或温度等。
2.7 求解方程通过将边界条件和载荷应用于整体刚度矩阵，可以得到未知节点的解答。
3. 有限元法的优缺点3.1 优点•适用于复杂几何形状和复杂边界条件的问题。
有限元法可以通过将问题离散化为小元素来逼近实际几何形状和边界条件。
•高精度的数值解。
有限元法通过增加节点数量和使用高阶元素可以得到更精确的数值解。
•灵活性。
有限元法可以灵活地处理不同类型的物理问题，例如结构力学、热传导、电磁场等。
3.2 缺点•需要大量的计算资源。
有限元法需要求解大型稀疏矩阵，这导致了计算资源的要求较高。
第4章 轴对称问题和空间问题有限元法
(1 )(1 2) 1 1
1
0
0
0
0
1 2 2(1 )
7
轴对称单元的特点(与平面三角形单元的区别)
轴对称单元为圆环体，单元与单元间为节圆相连接；
节点力与节点载荷是施加于节圆上的均布力；
单元边界是一回转面；
应变分量 中出现了 ur r ，即应变不是常量；
且应变矩阵在r→0时，存在奇异点，需特殊处
由于几何矩阵中的元素不是常量，单元刚度矩阵需要通过积分得到，
为简化计算可以用三角形单元形心位置的坐标 rc , zc代替 B 矩阵中的变
量 。r, z
rc
1 3
(ri
rj
rm )
zc
1 3
(
zi
zj
zm )
实践证明采用近似积分也能达到一定的精度，具体对于三角形环单元
用形心处坐标代替应变矩阵中的坐标变量。
uj wj
N
q
um
wm
单元应变：
将单元位移函数代入几何方程得：
u r
1 2A (biuiBiblioteka bju jbmum )
u r
1 2A
(
fi
ui
f
ju j
f mum )
11
其中，
fs
as r
bs
cs zs r
(s i, j, m)
w z
1 2A
(ci
wi
cjwj
cmwm )
u z
1 2A (ciui
Fe
Fir
Fiz
＝
２A
15
9rc2
0
2ri2
rjrm
(3) 分布面力移置
有限元法的基本原理
有限元法的基本原理
有限元法是一种用于求解物体结构和材料行为的数值分析方法。
它将连续的物理问题离散化为一个由一系列小的单元构成的简化模型，每个单元都有自己的特性和行为。
有限元法的基本原理是将物体分割成离散的有限元素，并在每个元素上建立适当的数学模型。
这些数学模型可以描述元素的行为以及相邻元素之间的相互作用。
然后，通过在元素级别上求解这些模型，得到整个物体的行为。
在有限元法中，首先将物体网格化成一系列有限元素。
常用的有限元素包括三角形、四边形和六面体等。
然后，在每个元素上构建适当的数学模型，通常使用微分方程或代数方程来描述元素的行为。
这些方程可以是弹性、塑性、热传导等物理现象的方程。
为了求解整个物体的行为，有限元法需要在每个元素上求解数学模型。
一般来说，这涉及到在每个元素的内部和边界上施加恰当的边界条件，并使用数值方法进行求解。
常用的数值方法包括有限差分方法、有限体积方法和有限元法等。
通过在每个元素上求解数学模型，并根据元素之间的相互作用来求解整个物体的行为，有限元法可以提供物体的应力、应变、位移等各种物理量的分布和变化情况。
这对于分析和设计工程结构、优化材料性能等都具有重要意义。
总的来说，有限元法的基本原理是将物体离散化，并在每个元
素上构建适当的数学模型，然后通过数值方法求解这些模型，以获得整个物体的行为。
它是一种强大的工具，可以在工程和科学领域中广泛应用。
有限元法原理
有限元法原理
有限元法是一种工程计算方法，主要用于求解连续介质的力学问题。
它的基本原理是将连续介质离散成有限个小单元，然后利用有限元的形状函数对每个小单元进行近似，最终利用这些近似解来求解整个连续介质的力学问题。
有限元法的主要思想是将问题的解表示为一个有限个数的基函数的线性组合。
这些基函数与小单元的形状函数相联系，通过对小单元的形状函数进行合适的选取和调整，可以确保解在小单元内满足边界条件。
然后，通过将所有的小单元的解进行组合，就可以得到整个连续介质的解。
在实际的计算中，有限元法通常分为以下几个步骤：首先，需要根据实际问题确定合适的有限元模型，包括选择适当数量和类型的有限元单元。
然后，需要确定边界条件，即确定整个连续介质的边界约束条件。
接下来，根据小单元的形状函数和基函数，可以建立刚度矩阵和荷载向量。
最后，通过求解线性方程组，可以得到整个连续介质的解。
有限元法具有广泛的应用范围，在工程领域中可以用于求解各种静力学、动力学、热力学、流体力学等问题。
它不仅能够提供精确的解，同时也具有较高的计算效率和灵活性。
因此，有限元法已经成为工程计算领域中一种非常重要的数值分析方法。
有限元法基本原理及应用第1章重庆大学龙雪峰
1.5 有限单元法基本步骤
(1) 待求解域离散化 (2) 选择插值函数 (3) 形成单元性质的矩阵方程 (4) 形成整体系统的矩阵方程 (5) 约束处理，求解系统方程
(6) 其它参数计算
1.5 有限单元法基本步骤
1.6应用实例
(a) KOMATSU液压挖掘机
(b) 某液压挖掘机动臂限元分析
图1 -1 液压挖掘机
1.3 有限元法的发展及其应用领域
1.3.2 有限元法的应用领域 目前的商用有限元软件不仅分析功能几乎覆盖了所有 的工程领域，其程序使用也非常方便。 当前，在我国工程界比较流行、被广泛使用的大型有 限元分析软件主要有：MSC /Nastran、ANSYS、Abaqus、 Marc、Adina和Algor等。 其应用领域主要包括: 1. 静力分析 包括线性和非线性静力分析。线性静力分 析研究线弹性结构的变形和应力，它是工程结构分析和设 计中最基本的方法。非线性结构静力分析主要研究外载作 用下引起的非线性响应，其中非线性来源主要是材料非线 性、几何非线性和边界条件非线性三大类。
1．有限元法是一种有限与无限统一的思想
有限与无限是一个对立的统一体。 数学模型中的极限、级数等是这方面的典型代表。 有限元法就是 这一思想的具体体现。 有限元法将研究对象划分为有限个相互联系的个体（单元），采 用单元数越多，越接近无限多的情况，越接近精确解。 理论上，当单元数趋于无穷时，计算结果就收敛于精确解。但是， 随着单元数、节点数的增加，计算工作量、存储信息量就会迅速地增 加，因此一般都是根据具体问题对精度的要求，选取一定数量（有限 个)的单元和节点进行分析。由于这种方法需要求解大型联立方程组， 因此，只有在解决了计算机的运算速度和存储容量等问题后，这种方 法才有实用意义并得到迅速发展。
有限元法基本原理及应用课程设计
有限元法基本原理及应用课程设计简介有限元法（Finite Element Method，FEM）是一种基于数值逼近的工程分析方法，已经成为现代工程设计中不可或缺的一部分，其在结构、流体、电磁等领域广泛应用。
本文主要介绍有限元法基本原理、方法及其在工程计算中的应用。
基本原理有限元法是将要分析的区域（物体）离散化成为若干个小的部分——有限元，这些小的部分可以是固体、流体或电磁场等。
将连续的区域离散化成为有限元后，可以得到一个巨大的矩阵，这个矩阵中有很多的未知数，利用解代数方程的方法求解这个用数值计算得到的矩阵，可以得到每一小块上的数值解，再利用数学方法进行插值回归即可得到计算区域内的解函数。
有限元法的基本流程如下： 1. 划分有限元网格； 2. 建立局部坐标系及本地变量； 3. 建立单元刚度矩阵和全局刚度矩阵； 4. 确定位移边界条件和荷载边界条件； 5. 求解结构刚度方程组； 6. 确定应力、应变及其他工程量。
有限元法的应用结构力学分析有限元法在结构力学分析中的应用，可以计算出构件的应力、应变、变形、自然振动频率和模态形态等，是一种全面分析结构的方法。
有限元法用于结构力学分析过程中，流体介质可以用等效边界方法、密闭法等方法进行处理。
针对工程中常见的均匀悬臂梁、不均匀悬臂梁、悬臂梁等，有限元法都能够比较容易的完成分析。
流体力学分析有限元法在流体力学分析中的应用，可以计算出流场的速度、压力、温度和经过流场的固体或液滴的流动运动情况和流体中的一些特殊现象等，是流体力学计算的主要方法之一。
有限元法在流体流动分析中的应用可以采用有限元法的稳定性运动和耦合运动，基于数值流体力学（Computational Fluid Dynamics，CFD）所设定的流体边界有限元法、流体的单元体系等实现。
电磁场分析有限元法在电磁场分析中的应用，可以计算出电磁场的电场强度、磁场强度、电势、电流分布和电容分布等，是电磁场计算的主要方法之一。
有限元法概述
5
2、有限元法的发展
有限单元法基本思想的提出，可以追溯到Courantl在1 943年的工作，他第一次尝试应用定义在三角形区域上的 分片连续函数和最小位能原理相结合，来求解St·Venant 扭转问题。相继一些应用数学家、物理学家和工程师由于 各种原因都涉足过有限单元的概念。
但真正的应用实际问题是到1960年以后，随着电子 数值计算机的广泛应用和发展，有限单元法的发展速度才 显著加快。现代有限元法第一个成功的尝试，是将刚架位 移法推广应用于弹性力学平面问题，这是Turner，Cloug h等人在分析飞机结构时于1956年得到的成果。他们第一 次给出了用三角形单元求得平面应力问题的正确解答。
2021/10/10
24
兼有静力分析功能（如动力分析前的预应力计算和薄板冲 压成形后的回簧计算）；军用和民用相结合的通用结构分 析非线性有限元软件。 LS-DYNA利用ANSYS、 LS-INGRID、 ETA/FEMB及LS-POST强大的前后处理模块，具有多种自动网 格划分选择，并可与大多数的CAD/CAE软件集成并有接口。
2021/10/10
20
能力，可以进行线性和非线性结构分析，如线性/非线性 静力分析、模态分析、简谐响应分析、频谱分析、随机 振动分析、动力响应分析、静/动力接触、屈曲/失稳、失 效与破坏分析等。它提供了丰富的结构单元、连续单元、 特殊单元的单元库，几乎每种单元都具有处理大变形几 何非线性、材料非线性和包括接触在内的边界条件非线 性以及组合的高度非线性的能力。MARC的结构分析材 料库提供了模拟金属、非金属、聚合物、岩土、复合材 料等多种线性和非线性复杂材料行为的材料模型、MAR C软件还提供了多种加载步长自适应控制技术，能够自动 确定分析屈曲、蠕变、热弹塑性和动力响应的加载步长。 此外，它还具有分析非结构场问题（温度场、流场、电 场、磁场）、模拟流-热-固、土壤渗流、声-结构、耦合 电磁、电-热、电-热-结构、以及热-结构等多种耦合场的 能力。
有限元法基本原理
• 所有单元组集后有:
对(3.8)式施加位移边界条件后，即可求解出 待定参数d。求出d后，即可由(3.4)式求出位 移场分布，然后由(2.2)式和(2.25)式求得应变 场和应力场分布。
3.2 单元位移模式和试探函数
3.3 应变矩阵与应力矩阵
3.4 单元势能表达与单元刚度矩阵
3.5 单元等效节点载荷
假定单元位移试探函数为：
N为试探函数，d为待定参数，一般待定参数为节点位移
• 这就得到了单元e内的关于待定参数de的 代数方程组。由于相邻单元之间的场变 量并非相互独立，而是与周围的单元相 互联系，因此，单个单元内的方程组不 能单独求解，必须将所有单元内的方程 组集起来，得到全域上的关于待定参数 de的方程组，然后施加必要的边界约束， 才能求解。
(a) 均布边界力
(b)三角形分布边界力
pxtl T P 1 0 1 0 0 0 2
e T
px tl 1 P 0 2 3
e T
2 3
0 0 0
T
u
图 3.4 均布体力等效节点载荷
tA P f x 3
e f
fy
fx
fy
fx
fy
T
3.6 整体刚度矩阵集成
• 在3.4节中建立了单元级的刚度方程，但 单个单元的方程不能求解，因为单元是 人为的假想划分，作用在该单元边界上 的力以及单元的位移边界条件都是未知 的。而作用在整个结构上的外力和边界 条件是已知的，为此，必须将单元组集 合成整体结构后才能求解。
1 1 K11 1 2 K 21 1 K 1 3 K 31 4 5 1
32单元位移模式和试探函数33应变矩阵与应力矩阵34单元势能表达与单元刚度矩阵35单元等效节点载荷a均布边界力b三角形分布边界力36整体刚度矩阵集成在34节中建立了单元级的刚度方程但单个单元的方程不能求解因为单元是人为的假想划分作用在该单元边界上的力以及单元的位移边界条件都是未知的
第4章有限元法讲解
2
石家庄铁道大学
第4章 有限元法
4.1 有限元法概述
有限元法诞生于20世纪中叶，随着计算机技术和计算 方法的发展，已成为计算力学和计算工程科学领域里最 为有效的方法，几乎适用于求解所有连续介质和场的问 题。
概念：有限元法是将连续体理想化为有限个单元集 合而成，这些单元仅在有限个节点上相连接，即用 有限个单元的集合来代替原来具有无限个自由度的 连续体。
0 0
0 k2 k2 k3 k3
0
0 0 k3 k3 k4 k4
0
0
0
k4
k4
10
石家庄铁道大学
第4章 有限元法
4.1.2 有限元法的历史
• 1943年Courant第一次尝试应用定义在三角形区域上的分片 连续函数和最小位能原理相结合研究了St.Venant体扭转问 题,这是有限元思想的提出。但当时没有引起人们4
uu43
0 0
0
0
0
k4 k4 u5 P
6
石家庄铁道大学
第4章 有限元法
R1 k1
0
k1
0 0
0
0
0 0
k1 k1 k2 k2
0
0
0 k2 k2 k3 k3
0
0 0 k3 k3 k4 k4
0 u1 0
0
u2
0
0 k4
uu43
0 0
k4 u5 P
反作用 力矩阵
刚度 矩阵
位移矩阵
负荷矩阵
应用边界条件： u1 = 0
7
R = KU - F
1 0
0
k1 k1 k2 k2
0
0
空间问题有限元法
2010年3月 郑玲 教授
重庆大学 汽车工程系
力与位移
单元内各点位移
u ( x, y, t ) {f}= v ( x , y , t )
注意: 注意: 位移是时间的连续函数 单元内各点应变
（5-2）
{ε } = [ B]{δ }e
（5-3）
2010年3月 郑玲 教授
重庆大学 汽车工程系
2010年3月 郑玲 教授 重庆大学 汽车工程系
(4-14)
等效节点力
四面体单元节点力
[ F ]e = {{Fi e }T
{F je }T
e T {Fm }
e T T {F p } }
四面体单元等效节点力
体积力
{F p }e = ∫∫∫[ N ]T {FV }dV
V
表面力
{Fp }e = ∫∫ [ N ]T {F }dS
2010年3月 郑玲 教授
ε x = ∂u ∂x , γ xy = ∂v ∂x + ∂u ∂y ε y = ∂v ∂y , γ yz = ∂w ∂y + ∂v ∂z ε z = ∂w ∂z , γ zx = ∂u ∂z + ∂w ∂x
0 ∂N j ∂y 0 ∂N j ∂y ∂N j ∂z 0 0 0 ∂N j ∂z 0 ∂N j ∂y ∂N j ∂x ∂N m ∂x 0 0 ∂N m ∂y 0 ∂N m ∂z 0 ∂N m ∂y 0 ∂N m ∂x ∂N m ∂z 0 0 0 ∂N m ∂z 0 ∂N m ∂y ∂N m ∂x ∂N p ∂x 0 0 ∂N p ∂y 0 ∂N p ∂z 0 ∂N p ∂y 0 ∂N p ∂x ∂N p ∂z ui 0 vi wi 0 u j vj ∂N p ∂z w j um 0 vm ∂N p w m ∂y u p ∂N p vp ∂x w p
有限元法的基本原理
有限元法的基本原理嘿，朋友们！今天咱来唠唠有限元法的基本原理。
你说这有限元法啊，就像是搭积木！把一个复杂的大东西，拆分成好多好多小的部分，就像把一个大积木拆成好多小块。
然后呢，对这些小部分分别进行分析和处理。
这多厉害呀！咱想想看，要是遇到一个超级复杂的结构，比如一座大桥，那直接去研究它得多难啊！但是用有限元法就不一样啦。
就好比你要了解一个大拼图的全貌，你不会一下子去看整个拼图，而是一块一块地去研究，最后再把它们拼起来，不就清楚啦！这些小部分呢，就叫做有限元。
每个有限元都有自己的特性和规则。
咱就像是给每个小积木都贴上了标签，知道它们能干啥，不能干啥。
然后通过一些数学魔法，把这些小部分的信息整合起来，就能知道整个大结构的情况啦。
这就好像你知道了每一块积木的形状和颜色，那你就能想象出整个搭好的积木是什么样子啦！是不是很神奇？而且啊，有限元法还特别灵活。
你可以根据需要，把一个大东西分成不同大小和形状的有限元。
这就像是你可以根据自己的喜好，把积木搭成不同的形状和样子。
你想怎么分就怎么分，多自由！再比如说，你要研究一个机器零件的受力情况。
如果不用有限元法，那简直就是一团乱麻，根本搞不清楚嘛！但有了有限元法，就把这个零件分成好多小块，分别看看它们受力会怎样，最后加起来，不就清楚整体的情况啦？有限元法还能帮助我们发现一些隐藏的问题呢！就像你在搭积木的时候，可能会发现有些地方不太稳，那你就能及时调整。
同样的，通过有限元法分析，我们能提前发现结构中可能存在的弱点，然后想办法改进呀。
这有限元法的用处可太大啦！在工程领域，那简直就是不可或缺的宝贝。
从飞机到汽车，从桥梁到高楼，哪里都有它的身影。
它让我们能更准确地了解和设计各种结构，让我们的生活变得更安全、更美好。
总之呢，有限元法就像是一把神奇的钥匙，能打开复杂结构的秘密之门。
它让我们能更轻松地面对那些看似难以解决的问题，让我们在科技的道路上越走越远。
难道你不觉得这真的很了不起吗？原创不易，请尊重原创，谢谢!。
《有限元法》课程教学大纲
《有限元法》教学大纲开课单位：机电工程学院过程装备系课程编号：21040121课程名称：有限元法英文名称：Finite Element Method学时：32学分：2适用专业：过程装备与控制工程课程性质：必修先修课程：高等数学、线性代数、大学物理、材料力学一、课程教学目标1. 对专业人才培养目标支撑本课程培养学生应用基础理论知识和所学的专业知识，进行应力分析的设计，并能分析和解决实际生产中的有关问题，适应科研、设计和生产实践等方面的需要。
本课程根据过程设备的生产特点，以数学和力学知识为基础，通过工程问题建模过程进行学习，使学生对过程生产中典型设备力的特点有一个深层次的了解，为将来从事新设备的开发、典型设备的分析与设计、设备运行管理等工作奠定基础。
2. 在课程体系中地位、作用有限元法课程是过程装备与控制工程专业的一门重要的本科专业课。
它是为培养满足化工高等人才的需要而设置的。
有限元法是一门研究机械工程问题的科学。
有限元法运用力学等知识，结合计算机的分析操作，进行力的解析、关键零部件的分析与设计，研究力学特性，结合关键尺寸的控制，实现优化设计，从而提高设备工程和工艺水平。
因为力的分析是过程装备核心内容，所以，有限元法在过程装备与控制工程专业的课程中处于重要地位。
高等数学材料力学大学物理线性代数有限元法图1 有限元法与已学相关课程的关系过程设备设计过程流体机械工程流体力学理论力学分析设计分析设计流场分析模态分析有限元法材料力学分析计算图2 有限元法与过程装备与控制工程专业其他课程的关系3. 对专业培养要求支撑通过课程学习学生应获得以下几方面毕业要求中的知识、能力与素质： 1. 毕业要求3中的掌握工程基础知识和过程装备与控制工程相关的专业基础理论知识，具有系统的过程装备实践学习经历，了解过程装备与控制工程专业前沿发展现状和趋势；2. 毕业要求4中的具备设计和实施过程装备相关的工程实验能力，并能够对实验结果进行处理与分析；3. 毕业要求5中的掌握过程装备基本的创新方法，具有追求创新的态度和意识，具有综合运用过程装备与控制工程专业的理论和技术手段进行过程装备综合设计的能力，设计过程中能够综合考虑经济、环境、法律、安全、健康等制约因素；4. 毕业要求7中的了解过程工业及相关行业的生产、设计、研究与开发、环境保护和可持续发展等方面的方针、政策和法律、法规，能正确认识工程对于客观世界和社会的影响；5. 毕业要求9中的对终身学习有正确的认识，具有不断学习和适应发展的能力。
有限元法基本原理与应用
有限元法基本原理与应用有限元法（Finite Element Method, FEM）是一种数值计算方法，广泛应用于工程领域中的结构分析、流体力学、热传导等问题的数值模拟。
它的基本原理是将连续的物理问题转化为离散的有限元组装问题，通过对离散的有限元进行数值计算，得到问题的近似解。
有限元法的基本原理可以简要概括为以下几个步骤：1.建立问题的数学模型：将实际问题抽象为一个数学模型，例如线性弹性力学、热传导方程等。
模型包括物理量的表达式、边界条件和初始条件等。
2.离散化：将连续的物理问题离散化为一系列有限元。
有限元是由一些简单的几何形状（如三角形、四边形）组成的子区域，称为单元。
整个问题区域被划分为许多单元。
3.处理边界条件：在模型中，边界条件是非常重要的，它们描述了问题在边界上的行为。
有限元法通过施加适当的边界条件来模拟实际问题的边界行为。
4.建立单元模型：针对每个单元，建立其适当的数学模型。
常用的有线弹性力学的单元模型有三角形和四边形元素、梁单元、壳单元等。
5.组装方程：通过将所有单元的方程组合在一起，形成整个问题的方程组。
这个方程组通常是一个矩阵方程，可以通过求解该方程组来得到问题的数值解。
6.求解方程：有限元法适用于大规模、复杂的问题，可以通过迭代的方式求解。
常用的求解方法有直接法、迭代法、预处理共轭梯度法等。
7.后处理：对求解结果进行后处理，包括分析和可视化。
这些结果可以用来评估结构的安全性、优化设计等。
有限元法的应用非常广泛，涵盖了许多工程领域。
它可以用于结构分析，例如建筑物、桥梁、飞机等的强度和刚度分析、应变和位移分析等。
在流体力学中，有限元法可以用于模拟空气动力学、水动力学等。
在热传导问题中，有限元法可以用于计算物体在不同温度条件下的热传导情况。
有限元法的优点在于可以处理较为复杂的几何形状和边界条件，能够提供准确的数值结果。
它还具有良好的可扩展性，可以适应不同规模和复杂度的问题。
同时，有限元法还可以与其他数值方法相结合，如有限差分法和有限体积法，以提高数值计算的精度和效率。
第四章 有限元法优秀课件
2）热分析
热分析用于确定物体中 的温度分布。考虑的物理量 是：热量、热梯度、热通量。
有限元可模拟三种热传 递方式（热传导、热对流、 热辐射），可进行稳态分析 和瞬态分析，还可模拟相变 （蒸发与冷凝、熔化及凝固）
3）电磁分析
电磁分析用于计算电磁装置 中的磁场，考虑的物理量是：磁 通量密度、磁场密度、磁力和磁 力矩、阻抗、电感、涡流、能耗 及磁通量泄漏等。
单元形函数描述的是给定单元的一种假定的 特性。单元形函数与真实工作特性吻合好坏程度 直接影响求解精度。
响应值二次分布
.
.
二次曲线的线性近似 (不理想结果)
真实的二次曲线
.
.
1 节点
单元
2 节点
单元
线性近似(更理想的结果)
真实的二次曲线
.. . . .
二次近似 (接近于真实的二次近 似拟合) (最理想结果)
.
.
3 节点
单元
4 节点
单元
n如果单元形函数不能精确描述单元内部的响应， 就不能很好地得到导出数据，因为这些导出数据 是通过单元形函数推导出来的。 n当选择了某种单元类型时，也就十分确定地选择 并接受该种单元类型所假定的单元形函数。 n在选定单元类型并随之确定了形函数的情况下， 必须确保分析时有足够数量的单元和节点来精确 描述所要求解的问题。
载荷
信息是通过单元之间的公共节点传递的。
. . 2 nodes ...
1 node
...
A
B
.. .
A
B
...
分离但节点重叠的单元 A和B之间没有信息传递
具有公共节点的单元 之间存在信息传递
3）有限元模型（node） 有限元模型真实系统理想化的数学抽象。由
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
解题规模--------有限元的计算时间----------节点数的多少有很大关系。 在保证计算精度的条件下，应采用各种手段减少节点数，以节约计算时间 和成本。
4.2.1 对称性和反对称性
结构的对称性， 是指结构的几何形状和支撑条件对某轴（面）对称， 同时截面和材料性质也对称于此轴（面）。 结构绕对称轴对折后，左右两部分完全重合。
第四章 有限元分析中的若干问题
• 一个复杂结构常常是由杆、梁、板、壳及二维体、三维体等多 种形式的构件组成。由于杆、梁、板、壳及二维体、三维体之 间的自由度个数不匹配，必须妥善加以处理。
如图4.2所示，平面梁每个节点有三个自由度，而平面应力单元 每个节点有两个自由度，当这两种构件连接在一起时，交点处的 自由度不协调，如果只约束两个平移自由度，不限制转动，则相 当于铰接，与原结构不符。
有限元原理及应用
第四章 有限元分析中的若干问题
4.1.2 边界条件的处理
对于基于位移模式的有限元法，在结构的边界上必须严 格满足已知的位移约束条件。
图a中，uA=vA=θA=0，
a 图b中，uA=vA=vB=0 b 图c中，uA=vA=0 uBx/UBy=tanφ c
有限元原理及应用
第四章 有限元分析中的若干问题
有限元原理及应用
第四章 有限元分析中的若干问题
对称边界条件，对于不同单元类型，具体会有所不同。如平面 问题中，每个节点两个自由度，对称边界条件：对称轴上节点 垂直于对称轴方向的位移等于零。 图4.6 中AB 边上节点y 方向位移等于零， AD 边上节点x 方向位移等于零。 图4.6 结构若作用的载荷垂直于板面，则为板壳元，板壳元中， 每个节点六个自由度，对称边界条件：对称轴上节点垂直于对 称轴方向的位移等于零，绕着对称轴和绕着法线的转角等于零。 AB 边上节点v=0,θx=0,θz=0。 一般三维情况中对称条件如表4.1 所示。
有限元原理及应用
第四章 有限元分析中的若干问题
对称结构如果作用对称载荷，则变形和应力也是对称的。只 需取一半的结构建模即可，对称轴上的节点给出对称边界条 件，算完后还可以根据对称性扩展出另一半结果。这样解题 规模可减小一半。 如图4.6 所示的一矩形板，两边受均布拉力作用，显然这个 问题属于结构对称、载荷也对称情况，而且有两个对称轴， 我们可以取四分之一来建模即可，计算工作量可节省约四分 之三。
有限元原理及应用
第四章 有限元分析中的若干问题
有了准确的力学模型，使有限元建模有了基础。 有限元建模过程包括： 选择单元类型， 确定单元的尺寸大小， 保证网格划分质量， 定义材料和单元特性， 处理载荷和边界条件， 确定计算方法和控制参数， 要求输出结果等
有限元原理及应用
第四章 有限元分析中的若干问题
有限元原理及应用
第四章 有限元分析中的若干问题
• （5) 认真选取单元，包括单元类型、形状、阶次，使之能够很 好地模拟几何形状、反映受力和变形情况。单元类型如杆单元、 梁单元、平面单元、板单元或空间单元等，空间块体又分四面 体块单元或六面体块单元，六面体块单元又分八节点六面体或 二十节点六面体等。选取单元时应综合考虑结构的类型、形状 特征、应力和变形特点、精度要求和硬件条件等因素。 • （6) 应根据结构特点、应力分布情况、单元的性质、精度要求 及其计算量的大小等仔细划分计算网格。 • （7) 在几何上要尽可能地逼近真实的结构体，其中特别要注意 曲线与曲面的逼近问题。 • （8) 仔细处理载荷模型，正确生成节点力，同时载荷的简化不 应该跨越主要的受力构件。 • （9) 质量的堆积应该满足质心及惯性矩等效要求。 • （10) 超单元的划分尽可能单级化并使剩余结构最小。
有限元原理及应用
第四章 有限元分析中的若干问题
4.2.2 周期性条件
有些结构可以划分为若干形状完全相同的子结构，当任意一 子结构绕对称轴旋转一定角度时，该子结构的形状将与其他 子结构完全重合，这种结构称为循环对称结构或直接称为周 期对称结构。 工程中如风扇叶片、花键、螺旋桨、齿轮、法兰盘等都是循 环对称结构，如图4.9所示。 如果结构所受载荷和 位移的约束也是周期 对称的，且各子结构 材料和物理特性也完 全相同，则应力和变 形关于同一轴周期对 称。
如图4.4 所示，滑动连接关系，两 物体在i 点沿法线方向位移相同， 切向可以不同。
有限元原理及应用
第四章 有限元分析中的若干问题
如图4.5 所示，梁和板紧贴在一起，而梁的节点和板的节点之间有一段 距离l，可以把节点之间看成刚性连接关系，即
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
有限元原理及应用
第四章 有限元分析中的若干问题
4.2 减小解题规模的常用措施
有限元原理及应用
第四章 有限元分析中的若干问题
对于周期对称问题，计算时可以只取一个子结构进行分析。 注意在取一个子结构时使应力集中区域在子结构内部而不 在边界，如图4.10 所示，取CD、C’D’，不取AB、A’B’。
有限元原理及应用
第四章 有限元分析中的若干问题
另外两边线上划分的节点数量要相同、位臵也要对应相同，以便 于在边线上给出周期性边界条件。如在CD 和C’D’边上的节点， 应使它们每对对应点的环向位移和径向位移一一对应相等， 在以结构中心为原点的极坐标系中: ui1=ui2 ，vi1=vi2 若在直角坐标中位移条件可表示为：
式中ui1，vi1，θi1 为梁上i 点的位移及转角；ui2，vi2，uj2，vk2 为平面上i、 j、k 点的位移分量；l1 为平面上i、j 点距离，l2 为平面i、k 点距离。
有限元原理及应用
第四章 有限元分析中的若干问题
如图4.3 所示 ，两根梁在A 点用铰链 连接在一起形成交叉梁，这时在A 点梁一和梁二的位移应分别相等， 但转角可以不同，构成铰接关系。 uA1= uA2，vA1= vA2，其中uA1，vA1 为 梁一上A 点的位移分量； uA2， vA2， 为梁二上A 点的位移分量。
有限元原理及应用
第四章 有限元分析中的若干问题
• 4.1.1 有限元建模的准则 • 有限元建模的总则是根据工程分析的精度要求，建立合适的、 能模拟实际结构的有限元模型。在连续体离散化及用有限个参 数表征无限个形态自由度过程中不可避免的引入了近似。为使 分析结果有足够的精度，所建立的有限元模型必须在能量上与 原连续系统等价。具体应满足下述准则： • （1) 有限元模型应满足平衡条件。即结构的整体和任意一单元 在节点上都必须保持静力平衡。 • （2) 满足变形协调条件。交汇于一个节点上的各单元在受力变 形后也必须保持汇交于同一节点。 • （3) 满足边界条件和材料的本构关系。边界条件包括整个结构 的边界条件和单元间的边界条件。 • （4) 刚度等价原则。有限元模型的抗拉压、抗弯曲、抗扭转、 抗剪切刚度应尽可能与原来结构等价。
有限元原理及应用
第四章 有限元分析中的若干问题
• 为此可以采取两种解决办法， • 一是人为地将杆件向平面内延伸一段，使i、m两点处梁和平面 位移相一致， • 即ui1= ui2，vi1= vi2，um1= um2，vm1= vm2， • 其中：ui1，vi1，um1，vm1为梁上i、m两点的位移分量；ui2，vi2， um2，vm2为平面上i、m两点的位移分量。 • 从而满足两构件连接条件。 • 另一种是在连接处，梁和平面的变形之间，满足如下约束关系
有限元原理及应用
第四章 有限元分析中的若干问题
有时对称结构上作用的载荷既不是对称的也不是反对称的，如一个 齿轮的轮齿受到啮合力作用。可利用对称及反对称性计算这样的问 题。如图4.8所示。计算时可以先根据对称条件，计算一半结构， 载荷取原来的一半，给出对称约束条件，计算完后将结果赋值给另 一半，如图4.8a所示。再按反对称问题，计算一半结构，载荷也是 原来的一半，给出反对称约束条件，计算完后将结果按关系赋值给 另一半，如图4.8b所示。最后将两次计算结果叠加，就得出对称结 构只在左边有一集中力F作用下的位移及应力了。
有限元原理及应用
• •
第四章 有限元分析中的若干问题
建模之前，了解建模对象： 1、弄清结构几何特征、所受载荷性质、结构材料特性，而且初步 估计响应情况。 • 2、分析判断研究对象属于哪一类性质的问题———— ※是线性问题还是非线性问题： 在平衡方程、应力关系、应变位移关系、边界条件和连接条件中， 只要其中任意一关系式中变量之间出现非线性关系，则整个问题就 属于非线性问题。 ※是静力问题还是动力问题： 当物体变形的大小与物体某个几何尺寸可以相比拟时，应按大变形 来处理；当应变量大于0.3时，应按大应变问题处理。大变形、大 应变问题都属于几何非线性。当材料的应力应变关系不再是线性关 系，比如材料进入屈服以后，应按材料非线性问题处理。 ※是小变形问题还是大变形、大应变问题： 只有当所有变量和关系式都与时间无关时，才能算作静力问题，否 则应按动力问题处理。 ※根据物体的形状和受力情况，是否可以作为一维问题、二维问题， 还是三维问题；有无对称性、反对称性或周期对称等可利用。
有限元原理及应用
对称结构如果作用的载荷是反 对称的，即将结构绕对称轴对 折后，两载荷的作用点重合， 载荷大小相同，但载荷方向相 反。根据结构力学可知，在反 对称载荷作用下，结构的位移 及应力都将反对称于对称轴。 如图4.7 所示。一般三维情况 中反对称条件如表4.2 所示。
第四章 有限元分析中的若干问题
• 如果计算结果揭示事物的内在规律，说明有限元模型 和实际物理模型的力学性能是一致的，是个好模型。
• 如果计算结果不符合实际情况或者计算进行不下去， 可能出现的错误有单元类型不对、网格数量太少、材 料模型错误、约束和载荷的施加方式不对、接触定义 有问题、网格质量差、计算方法不对等，建模过程中 的每个因素都可能造成计算结果错误或计算困难。
其中θ 为一个子结构所夹圆心角，式中ui1，vi1 为CD 边上 节点的位移， ui2 ， vi2 为C’D’边上对应的节点的位移分量。 另外，还有一种周期对称结构可以看做由一个子结构沿某 一方向多次重复得到，称为重复对称结构，如图4.9b 中的 齿条。如果结构所受载荷和约束同样满足重复对称条件， 与循环对称类似，只需要模拟和分析一个子结构。