第四章 主应力法 计算题
计算题1、已知应力状态如图所示,求主应力及最大切应力(图示单位为
计算题:1、已知应力状态如图所示，求主应力及最大切应力（图示单位为MPa）。
（10分）2、已知应力状态如图所示，求主应力及最大切应力。
（10分）3、已知应力状态如图所示，求主应力及最大切应力（图示单位为MPa）。
（10分）4、已知应力状态如图所示，求主应力及最大切应力（图示单位为MPa）。
（10分）5、已知应力状态如图示，图中应力单位皆为MPa，试求：（1）主应力的大小，主平面的方位；（2）最大切应力；（10分）6、已知应力状态如图示，图中应力单位皆为MPa ，试求：（3） 主应力的大小，主平面的位置； （4） 最大切应力。
（10分）7、（10分）已知三向应力状态如图所示（图中应力单位：MPa ）， 试求： 1） 主应力；2）主切应力；3）形变应变能密度f e 。
8、（14分）已知K 点处为二向应力状态，过K 点两个截面上的应力如图所示（应力单位为MPa ）。
试用解析法（用图解法无效）确定该点的三个主应力。
9、（8分）图示为某构件内危险点的应力状态（图中应力单位为MPa ），试分别求其第二、第四强度理论的相当应力2r σ、4r σ（3.0=μ）。
10、（8分）图示为某构件内危险点的应力状态（图中应力单位为MPa ），试分别求其第二、第四强度理论的相当应力2r σ、4r σ（3.0=μ）。
11、（4分）矩形截面细长悬臂梁如图所示。
试求A 、B 、C 三点的应力，并 用单元体分别表示这三点的应力状态。
12、（4分）已知构件内某点处的应力状态为两种应力状态的叠加结果，试求叠加后该点该平面内的（1）主应力与主应变； （2）主切应力；（3）该点的形变应变能密度fe 。
（已知材料的弹性模量GPa 200=E ，横向变形系数3.0=ν）13、图示板件，微体处于纯剪切应力状态，试计算沿对角线AC 与BD 方位的正应力，以及所对应力正应变045ε与045-ε，沿板厚方向的正应变z ε。
材料的弹性常数E 与μ均为已知。
材料力学典型例题及解析7.应力应变状态典型习题解析
应力、应变状态分析典型习题解析1 已知矩形截面梁，某截面上的剪力F S =120 kN 及弯矩m kN 10⋅=M 。
绘出表示1、2、3及4点应力状态的微体，并求出各点的主应力。
b = 60 mm ，h = 100 mm 。
解题分析：从图中可分析1、4点是单向应力状态，2点在中性轴上为纯剪切应力状态，31取平行和垂直与梁横截面的六个平面，构成微体。
则各点处的应力状态如图示。
2、梁截面惯性矩为点微体上既有正应力又有切应力。
解：、画各点处微体的应力状态图计算各点处主应力4843333m 1050012m 10100(106012−−−×=×××==）bh I z 1点处弯曲正应力（压应力）MPa 100Pa 10100m10500m 1050m N 101064833−=×=×××⋅×==−−z I My σ1点为单向压缩受力状态，所以021==σσ，MPa 1003−=σ2点为纯剪切应力状态，MPa 30Pa 1030m10100602N1012036263=×=×××××=−τ（向下）容易得到，MPa 301=σ，02=σ，MPa303−=σ3点为一般平面应力状态弯曲正应力MPa50Pa 1050m 10500m 1025m N 101064833=×=×××⋅×==−−z I My σ弯曲切应力σ14τ2F S =120 kN题图1中性轴324hστ25 mm 31b M =10 kN·mσ3150 mm 1MPa 5.22Pa 1050.22m10500m 1060m 105.372560N 101206483393*S =×=××××××××==−−−zz bI S F τMPa6.8MPa6.58Pa)10522()2Pa 1050(2Pa 1050)2(22626622minmax −=×+×±×=+−±+=x y x yx τσσσσσσ所以 MPa 6.581=σ，02=σ，MPa 6.83−=σ4点为单向拉伸应力状态，拉伸正应力的大小与1点相等。
材料力学习题
材料力学习题第2章2-1 试求出图示各杆件中Ⅰ—Ⅰ截面上的力。
2-2图示矩形截面杆，横截面上正应力沿截面高度线性分布，截面顶边各点处的正应力均为MPa100max=σ，底边各点处的正应力均为零。
杆件横截面上存在何种力分量，并确定其大小〔C 点为截面形心〕。
2-3 试指出图示各单元体表示哪种应力状态。
2-4 应力状态如下图〔应力单位为MPa〕，试用解析法计算图中指定截面的应力。
2-5 试作应力圆来确定习题2-4图中指定截面的应力。
2-6应力状态如下图〔应力单位为MPa 〕，试用解析法求：〔1〕主应力及主方向；〔2〕主切应力及主切平面；〔3〕最大切应力。
2-7 应力状态如习题2-6图所示，试作应力圆来确定：〔1〕主应力及主方向； 〔2〕主切应力及主切平面；〔3〕最大切应力。
2-8构件某点处的应力状态为两种应力状态的叠加结果，试求叠加后所得 应力状态的主应力、主切应力。
2-9图示双向拉应力状态，σσσ==y x 。
试证明任一斜截面上的正应力均等于σ，而切应力为零。
2-10K 点处为二向应力状态，过K 点两个截面上的应力如下图〔应力单位为MPa 〕。
试分别用解析法与图解法确定该点的主应力。
2-11 一点处的应力状态在两种坐标系中的表示方法分别如图 a)和b)所示。
试确定未知的应力分量y y x xy '''σττ、、的大小与方向。
2-12 图示受力板件，试证明尖角A 处各截面的正应力与切应力均为零。
2-13应力状态如下图〔单位为MPa 〕，试求其主应力及第一、第二、第三不变量321I I I 、、。
2-14应力状态如下图〔单位为MPa 〕，试画三向应力圆，并求主应力、最大正应力与最大切应力。
第3章3-1某点的位移分量u = A ， v = Bx +Cy +Dz ， w = Ex 2+Fy 2+Gz 2+Ixy +Jyz +Kzx 。
A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 、I 、J 、K 均为常数，求该点处的应变分量。
工程力学材料力学第四完整版本习题答案解析
工程力学材料力学（北京科技大学与东北大学）第一章轴向拉伸和压缩1-1：用截面法求下列各杆指定截面的内力解：(a):N1=0,N2=N3=P(b):N1=N2=2kN(c):N1=P,N2=2P,N3= -P(d):N1=-2P,N2=P(e):N1= -50N,N2= -90N(f):N1=0.896P,N2=-0.732P注（轴向拉伸为正，压缩为负）1-2：高炉装料器中的大钟拉杆如图a所示，拉杆下端以连接楔与大钟连接，连接处拉杆的横截面如图b所示；拉杆上端螺纹的内径d=175mm。
以知作用于拉杆上的静拉力P=850kN，试计算大钟拉杆的最大静应力。
解：σ1=2118504P kNS dπ==35.3Mpaσ2=2228504P kNS dπ==30.4MPa∴σmax=35.3Mpa1-3：试计算图a所示钢水包吊杆的最大应力。
以知钢水包及其所盛钢水共重90kN，吊杆的尺寸如图b所示。
解：下端螺孔截面：σ1=19020.065*0.045P S=15.4Mpa上端单螺孔截面：σ2=2P S =8.72MPa上端双螺孔截面：σ3= 3P S =9.15Mpa∴σmax =15.4Mpa1-4：一桅杆起重机如图所示，起重杆AB为一钢管，其外径D=20mm,内径d=18mm;钢绳CB 的横截面面积为0.1cm2。
已知起重量P=2000N，试计算起重机杆和钢丝绳的应力。
解：受力分析得：F1*sin15=F2*sin45F1*cos15=P+F2*sin45∴σAB=11FS=-47.7MPaσBC=22FS=103.5 MPa1-5：图a所示为一斗式提升机.斗与斗之间用链条连接,链条的计算简图如图b 所示,每个料斗连同物料的总重量P=2000N.钢链又两层钢板构成,如c所示.每个链板厚t=4.5mm,宽h=40mm,H=65mm,钉孔直径d=30mm.试求链板的最大应力.解:F=6PS 1=h*t=40*4.5=180mm 2S2=(H-d)*t=(65-30)*4.5=157.5mm 2∴σmax=2F S =38.1MPa1-6:一长为30cm 的钢杆,其受力情况如图所示.已知杆截面面积A=10cm2,材料的弹性模量E=200Gpa,试求;(1) AC. CD DB 各段的应力和变形.(2) AB 杆的总变形.解: (1)σAC =-20MPa,σCD =0,σDB =-20MPa;△ l AC =NL EA =AC LEA σ=-0.01mm△l CD =CD LEA σ=0△L DB =DB LEA σ=-0.01mm(2) ∴ABl ∆=-0.02mm1-7:一圆截面阶梯杆受力如图所示,已知 材料的弹性模量E=200Gpa,试求各段的应力和应变. 解:31.8127AC ACCB CBPMPa S PMPa S σσ====AC AC AC LNL EA EA σε===1.59*104,CB CB CB LNL EA EA σε===6.36*1041-8:为测定轧钢机的轧制力,在压下螺旋与上轧辊轴承之间装置一测压用的压头.压头是一个钢制的圆筒,其外径D=50mm,内径d=40mm,在压头的外表面上沿纵向贴有测变形的电阻丝片.若测得轧辊两端两个压头的纵向应变均为ε=0.9*10-2,试求轧机的总轧制压力.压头材料的弹性模量E=200Gpa. 解:NllEAllε∆=∆=∴NEAε=62.54*10N EA Nε∴==1-9：用一板状试样进行拉伸试验，在试样表面贴上纵向和横向的电阻丝来测定试样的改变。
岩石力学第四章计算题
岩石力学第四章计算题精炼1、已知σ1＝50MPa，σ＝10MPa。
3及剪应力τn。
（1）求与X轴夹角40°的EF斜面上的法向应力σn（2）作出相应的莫尔应力圆，并写出莫尔应力圆的方程。
2、将一个岩石试件置于压力机上施加压力，直到1MPa时发生破坏。
已知破坏面与最大主应力所在的平面成60°，并假定抗剪强度随正应力呈线性变化。
试求：（1）在正应力为零的那个面上的抗剪强度等于多少？（2）破坏面上的正应力和剪应力。
3、某岩石的室内剪切试验成果如下，当正应力分别为6MPa和10MPa 时，剪切强度分别为19.2MPa和22MPa，假设该岩石强度服从莫尔斜直线理论，试求：(1)该岩石的剪切强度参数；(2)当侧限压力σ3=10MPa时该岩石的三轴压缩强度。
4、若σ1为最大主应力，σ3为最小主应力，C为粘聚力，φ为岩石的内摩擦角，导出以极限主应力表达的岩石强度方程。
6、已知岩块C=10MPa，φ=60°，用库仑—莫尔准则计算当围压为0和5MPa时试件破坏时的轴压。
12、有一个花岗岩岩柱，该花岗岩抗剪强度指标：凝聚力C=20MPa，φ＝30°。
岩柱的横截面积A=5000cm2，柱顶承受荷载p＝30MN，自重忽略不计。
(1)试问：是否会发生剪切破坏？(2)若岩柱中有一软弱结构面，其法线与轴线成75°角，试问：是否会沿此面发生破坏？7、某矿石灰岩试验成果如下：其单向抗压强度σc=10MPa；当侧压力σ1＝σ2＝30MPa，其破坏时σ1=210MPa；当侧压力σ2＝σ3＝60MPa时，其破坏时σ1＝320MPa。
试问，当侧压力σ2＝σ3＝50MPa时，其破坏时的最大主应力σ1应等于多少？8、某岩石室内抗剪试验成果为当正应力分别为6MPa和10MPa时，剪切强度为19.2MPa和22MPa。
设岩石强度服从直线型莫尔强度判据：①求该岩石的抗剪强度参数（C、φ值）；②当侧限压力σ3为5MPa时，求该岩石的三轴压缩强度（σ1m）。
应力状态和强度理论 习题及答案
应力状态和强度理论一、判断题1.若单元体某一截面上的剪应力为零，则该截面称为主平面。
（）2.主平面上的剪应力称为主应力。
（）3.当单元体上只有一个主应力不为零时，称作二向应力状态。
（）5.图2所示单元体最大剪应力为25Mpa。
（）6.图3所示单元体为单向应力状态。
（）图2图3图47. 向应力状态如图4所示，其最大主应力σ1=3σ（）。
8. 任一单元体，在最大正应力作用面上，剪应力为零。
（）9. 主应力是指剪力为零的截面上的正应力。
（）10.力圆上任一点的横坐标值对应单元体某一截面上的正应力。
（）二、选择题1.图1所示应力圆对应的单元体为图（）。
图 5三、选择题1.若一点的应力状态为平面应力状态，那么该点的主应力不可能为：（）。
A 、σ1> 0 σ2=σ3=0 B、σ1> 0 σ2 =0 σ3 < 0C、σ1>σ2>0 σ3=0D、σ1>σ2>σ3>0２.已知单元体各面上的应力如图，则其主平面方位为（）。
A、B、C、D、四、填空题１.图示为一平面应力状态的单元体及其应力圆，试在应力圆上表示０－１，０－２，０－３平面的位置。
图 62.试验表明，材料受力后的破坏主要有两种形式，一种是，是由于或所引起；另一种是，是由于所引起的。
3.一单元体如图所示，则单元体的主应力为__________ ，为__________ ，为__________ ，最大主应力与x 轴的夹角为__________ 。
五、简单计算1.单元体上的应力如图7所示，试求其它应力和最大剪应力。
2.图8所示单元体，试求图示斜截面上的正应力和剪应力。
图7图8 3.试求图示单元体o斜截面应力。
已知：。
图 9。
土力学习题(按新教材)
《土质土力学》复习思考题第一章土的物理性质及工程分类一．思考题3．土的结构通常分为哪几种它和矿物成分及成因条件有何关系4．在土的三相比例指标中，哪些指标是直接测定的7．地基土分几大类各类土的划分依据是什么10．土的压实性与哪些因素有关何谓土的最大干密度和最优含水率二．填空题1．确定各粒组相对含量的方法称为颗粒分析试验，分为法和法。
2．砂粒与粉粒的分界粒径是mm。
3．当砾类土或砂类土同时满足C u≥C c = 两个条件时，视为良好级配。
4．土的结构可分为、和三种基本类型。
5．粘性土随着含水量的增加而分别处于、、及流动状态。
6．土粒的矿物成分取决于母岩的矿物成分及风化作用，可分为矿物和矿物。
7．土的物理性质指标中有三个基本指标可直接通过土工试验测定，它们分别是、和。
8．土的物理性质指标中可描述土体中孔隙被水充满的程度。
9．土中孔隙体积与土的总体积之比称为。
10．土中孔隙体积与土的土粒体积之比称为。
11．依相对密度的公式D r =（e max－e）/(e max－e min)可知，当D r = 时，表示土处于最疏松状态。
12．依相对密度的公式D r =（e max－e）/( e max－e min)可知，当D r = 时，表示土处于最密实状态。
三．单项选择题1．某土的液限为40%，塑限为20%，则该土为（）。
A．砂土B．粉土C．粉质粘土D．粘土2．某土的液性指数为2，则该土处于（）状态。
A．坚硬B．可塑C．流动3．对粘性土的性质影响最大的水是（）。
A．强结合水B．弱结合水C．气态水4．对土体性质影响较大的气体是（）A．非封闭气体B．封闭气体5．砂土和碎石土的主要结构形式是（）A．单粒结构B．蜂窝结构C．絮状结构6．下列哪个物理性质指标可直接通过土工试验测定（）。
A．孔隙比e B．孔隙率n C．饱和度S r D．土粒比重d s7．常用来控制填土工程施工质量的指标是：（）A．孔隙比e B．孔隙率n C．饱和度S r D．干密度ｄ8．在土工试验室中，通常用（）测定土的密度A．联合测定法B．环刀法C．比重计法D．击实仪9．若某砂土的天然孔隙比与其能达到的最大孔隙比相等，则该土（）A．处于最疏松状态B．处于中等密实状态C．处于最密实状态D．无法确定其状态10．对粘性土进行分类定名的依据是（）A．液限B．塑性指数C．液性指数D．塑限四．判断题1．砾与砂的分界粒径是1mm。
材料力学典型例题及解析 7.应力应变状态典型习题解析
应力、应变状态分析典型习题解析1 已知矩形截面梁，某截面上的剪力F S =120 kN 及弯矩m kN 10⋅=M 。
绘出表示1、2、3及4点应力状态的微体，并求出各点的主应力。
b = 60 mm ，h = 100 mm 。
解题分析： 从图中可分析1、4点是单向应力状态，2点在中性轴上为纯剪切应力状态，31取平行和垂直与梁横截面的六个平面，构成微体。
则各点处的应力状态如图示。
2、 梁截面惯性矩为 点微体上既有正应力又有切应力。
解：、画各点处微体的应力状态图计算各点处主应力4843333m 1050012m 10100(106012−−−×=×××==）bh I z1点处弯曲正应力（压应力）MPa 100Pa 10100m 10500m1050m N 101064833−=×=×××⋅×==−−zI My σ 1点为单向压缩受力状态，所以 021==σσ，MPa 1003−=σ 2点为纯剪切应力状态， MPa 30Pa 1030m10100602N 1012036263=×=×××××=−τ（向下）容易得到，MPa 301=σ，02=σ，MPa 303−=σ 3点为一般平面应力状态弯曲正应力MPa 50Pa 1050m 10500m 1025m N 101064833=×=×××⋅×==−−zI My σ 弯曲切应力F S =120 kN题图1MPa 5.22Pa 1050.22m10500m 1060m 105.372560N 101206483393*S =×=××××××××==−−−z z bI S F τ MPa 6.8MPa 6.58Pa)105.22()2Pa 1050(2Pa 1050)2(22626622min max −=×+×±×=+−±+=xy x y x τσσσσσσ所以 MPa 6.581=σ，02=σ，MPa 6.83−=σ4点为单向拉伸应力状态，拉伸正应力的大小与1点相等。
弹塑性力学习题集 很全有答案
图中有虚线所示的剪应力τ ′ 时，能否应用平面应力圆求解。
题 2—26 图
2—27* 试求：如(a) 图所示，ABC 微截面与 x、y、z 轴等倾斜，但τ xy ≠ 0, τ yz ≠ 0, τ zx ≠ 0, 试问该截面是否为八面体截面？如图(b) 所示，八面体各截面上的τ 8 指向是否垂直棱边？
2—21*
证明等式：
J3
=
1 3
S ik
S km S mi
。
2—22* 试证在坐标变换时， I1 为一个不变量。要求：(a) 以普通展开式证明； (b) 用
张量计算证明。
5 3 8 2—23 已知下列应力状态： σ ij = 3 0 3 MPa ，试求八面体单元的正应力 σ 8 与剪
8 3 11
应力τ 8 。 2—24* 一点的主应力为： σ1 = 75a, σ 2 = 50a, σ 3 = −50a ，试求八面体面上的全应力
题 2—27 图
2—28 设一物体的各点发生如下的位移：
u = a0 + a1x + a2 y + a3 z v = b0 + b1x + b2 y + b3 z w = c0 + c1x + c2 y + c3 z 式中 a0 L, a1 L, a2 L 为常数，试证各点的应变分量为常数。 2—29 设已知下列位移，试求指定点的应变状态。
ε x = a0 + a1 (x 2 + y 2 ) + x 4 + y 4 , ε y = b0 + b1 (x 2 + y 2 ) + x 4 + y 4 , γ xy = c0 + c1 xy(x 2 + y 2 + c2 ), ε z = γ zx = γ yz = 0.
第四章 主应力法 计算题
zr
2 c
h2
rz
Y h2
rz
h
z
p
P
τf
oc rc=h rb
D=2R P
b ar
zr
2 c
h2
rz
Y h2
rz
r zr 0
r z
r Y r 0
r h2
d r Y r 0
dr h2
d r d z
d z
dr
Y h2
r
0
d z
Y h2
rdr
z
Y 2h2
r2
C
在c点处， r=rc ≈h，根据bc区
r
r zr 0
r z
f z
设切应力在z向线性分布
zr
2 z
h
z
h
r 2 z 0
r h
z P
σz τf=μσz
τzr
r
D=2R P
σz τf=μσz
r 2 z 0
r h
设σr 仅随r轴变化而与z轴无关，即：
r 0, r d r
z
r dr
d r 2 z 0
2
2
2R e h
2R
h
1
p
P
R2
Y 1
3
d h
n
p Y
1
3
d h
p
z
Y
Y h
R r
f K 0.5Y
R
P 0 p2 rdr
R
0
Y
Y h
R
r
2
rdr
Y
R2
1
1 3
R h
p
P
R2
应力状态分析和强度理论(例题)
t
3 pD
4
0.0285m
p.7
例题
例7-5 .在图示各单元体中，试用解析法和应力圆求斜面ab上的应力。应力单位为MPa。
例题
解：（a） （1）应力分量
（2）用解析法求斜截面上的应力
（3）应力圆
（-70、0）
τ (35,36.5)
600
σ （70、0）
p.8
例题
例7-5 .在图示各单元体中，试用解析法和应力圆求斜面ab上的应力。应力单位为MPa。
（5）三个方向的线应变和变形
p.17
例题
例题
例7-10. 铸铁薄管如图所示。若管的外径为200mm，厚度 t=15mm，内压力p=4MPa，P=200kN。 铸铁的抗拉许用压力[t]=30MPa，=0.25。试用第二强度理论和第一强度理论校核薄管的强度。
解：（1）应力状态
（2）计算应力
（4）用第二强度理论校核
(3)求剪应力的极值和位置
40MPa 60MPa
m m
ax in
x
y
2
2
xy2
80MPa
80
40 2
602
2
84.9MPa 84.9MPa
α1 = α0+45 0 = 67.5 0 , 对应τma0
1
20 450 0 22.50 0 90 112 .50
40MPa 60MPa 80MPa
(2)求主应力：
m a x m in
最大主应力计算题
最大主应力计算题最大主应力计算前言最大主应力是材料在力学加载下产生的一种应力状态。
它是与材料性能以及外力加载方式密切相关的重要参数。
在这篇文章中，我们将详细介绍最大主应力的计算方法。
1. 弹性力学概述弹性力学是研究物体在力学加载下的弹性变形与应力分布的科学。
它的基本原理是胡克定律，即应力与应变之间的线性关系。
胡克定律可以表示为：σ = Eε其中，σ是应力，E是杨氏模量，ε是应变。
2. 最大主应力的定义最大主应力是在三维空间内对应于最大应力的正交应力状态。
在这个应力状态下，物体的体积保持不变，只发生形状的变化。
由于应力是一个3x3的对称张量，它可以通过求解线性代数方程进行分解。
具体来说，我们可以求解一个特征值方程，它给出了物体的主应力和主应力方向。
3. 最大主应力的计算方法3.1. 步骤一：计算材料的应力张量首先，我们需要计算材料的应力张量。
应力张量是一个矩阵，它描述了物体在不同方向受到的应力。
在三维空间中，应力张量可以表示为：⎡ σxx σxy σxz ⎤⎢ σyx σyy σyz⎥⎣ σzx σzy σzz ⎦其中，σxx, σyy和σzz是物体在坐标轴上的正应力，σxy, σxz, σyz和σyx, σzx, σzy是物体在坐标轴上的剪切应力。
3.2. 步骤二：求解特征值方程接下来，我们需要求解特征值方程，得到应力张量的特征值和特征向量。
特征值表示主应力的大小，特征向量表示主应力的方向。
特征值方程可以表示为：| σxx-λ σxy σxz | | θ1x | | 0 || σyx σyy-λ σyz | * | θ1y | = | 0 || σzx σzy σzz-λ | | θ1z | | 0 |其中，λ是特征值，θ1是特征向量。
3.3. 步骤三：计算最大主应力最大主应力是特征值中的最大值。
一旦我们得到了主应力的大小和方向，我们就可以计算最大主应力了。
4. 实例为了更好地理解最大主应力的计算方法，我们来看一个实际的例子。
应力、应力状态分析(习题解答)
8-9 矩形截面梁如图所示，绘出1、2、3、4点的应力单元体，并写出各点的应力计算式。
解：(1)求支反力R A =,R B = (2)画内力图如图所示。
xPl(-)(+)PlMkN ·m)PPy(-)(-)(+)VkN)题8-9图(3) 求梁各点的正应力、剪应力：(4)画各点的应力单元体如图所示。
9-1 试用单元体表示图示构件的A 、B 的应力单元体。
（a ）解：（1）圆轴发生扭转变形，扭矩如图所示。
111max 222222333333max 442330,22(')[()]448114()121200(0,0)16ZZZ ZzV pA b hh h hP P b M V S Pl hy I I bb h b h b M SM PlW b h σττστστστ==-=-⋅=-⋅⋅-⋅⨯⨯-⋅=⋅=⋅==⋅⨯⨯⨯⨯⋅=====-=-=⨯⨯80A-+16080T (kN ·m )（2）绘制A 、B 两点的应力单元体：A 、B 两点均在圆轴最前面的母线上，横截面上应力沿铅垂方向单元体如图所示：331601020.21680510.216A A t bB t T Pa kPa W T Pa kPaW τπτπ===⨯===-⨯（b ）解：（1）梁发生弯曲变形，剪力、弯矩图如图所示。
-+120VkN)40MkN ·m)+120402060题9-1（b ）（2）绘制A 、B 两点的应力单元体：A 点所在截面剪力为正，A 点横截面的剪力为顺时针，同时A 点所在截弯矩为正下拉，而A 点是压缩区的点。
B 点所在截面剪力为负，B 点横截面的剪力为逆时针，同时B 点所在截弯矩为正下拉，而B 点是拉伸区的点。
单元体如图所示：333.3333.60100.0537.50.1200.21212010(0.1200.050.075) 5.6250.1200.20.1201220100.0512.50.1200.2124010(0.1200.05A A A tA z A A tB B B t B z B B t M y Pa MPaI V S Pa MPaI b M y Pa MPaI V S I bστστ⨯=-⋅=-⨯=-⨯⋅⨯⨯⨯⨯=⋅==⋅⨯⨯⨯=⋅=⨯=⨯⋅-⨯⨯⨯⨯=⋅=⋅g g 30.075) 1.8750.1200.20.12012Pa MPa=-⨯⨯9-2（c解：(1)由题意知：30,20.5030ox x y MP MPa MP στσα==-==，，。
切块法-主应力法例题
在平行模板间镦粗矩形截面的钢坯，其长度为 1，宽度为a ，高度为h ，且1 •• a ，接触面摩擦条件为s ,试使用切块法推导接触面上的二z 。
解：（1）、切取基元体。
切取包括接触面在内的高度为坯料瞬时高度 （图中阴影部分）。
（2）、沿x 抽方向的平衡微分方程。
（3 ）、确定摩擦条件采用常摩擦条件:（4）、确定▽ X 、▽ z 的关系(6)、由边界条件定 C由边界条件知 Ja=°x 二2代入（6.25 ）可得边界常数h 、宽度为dx 的基元体化简后得:二 x hl 一；「x . d ；「x hl 「2 1dx-0 —dxh(6.22)(6.23)采用平面变形条件下的屈服准则，当取(T 3和 （T 1的绝对值时，该式为 ,s(6.24)6.22)d ；「z = -2 ■七s dxh x ；「-2^s Ch（5）、将（ 6.23）、（ 6.24）代入（ 积分上式得(6.25)23亠2心易(6.26)（7）、将（6.26）代入（6.25）即得▽ z a - 2x2h (6.27)已知圆柱形坯料墩粗至高度 h ,直径d （假设侧表面为平直的），设丨T | = o S /2，试使1、切取基元体2、列平衡方程（沿p 向）去高次项得(6.1)3、 找c p 与八的关系可以从£卩与£ 0的关系再利用应力应变关系式判别出。
对于实心圆柱体镦粗， 径向应变d-2 J ；亠d ：；「2二r d ?，而切向应变是两者相等，根据应力应变关系理论P2兀 P P必然有；「..•-；「.J（6.2）2x将（6.2）带入（6.1）可得 dd 「（6.3）h4、 带入边界摩擦条件 边界上S带入（6.3）式可得2CTd ， sd 「（6.4）h5、引入塑性屈服条件用切块法推导接触面上的 匚z 。
解：i'■ !，亠d'■ “ 屮亠d 「d v hd ： h —2；「.jSind22d^ h 2 -d^d^ =0 整理并略-0 CT |因，此时Mises屈服准则和Tresca准则是一致的。
应用弹塑性力学习题解答
应用弹塑性力学习题解答目录第二章习题答案 (2)第三章习题答案 (6)第四章习题答案 (9)第五章习题答案 (27)第六章习题答案 (38)第七章习题答案 (50)第八章习题答案 (55)第九章习题答案 (59)第十章习题答案 (60)第十一章习题答案 (63)第二章习题答案2.6设某点应力张量的分量值已知，求作用在过此点平面上的应力矢量，并求该应力矢量的法向分量。
解该平面的法线方向的方向余弦为而应力矢量的三个分量满足关系而法向分量满足关系最后结果为2.7利用上题结果求应力分量为时，过平面处的应力矢量，及该矢量的法向分量及切向分量。
解求出后，可求出及，再利用关系可求得。
最终的结果为2.8已知应力分量为，其特征方程为三次多项式，求。
如设法作变换，把该方程变为形式，求以及及的关系。
解求主方向的应力特征方程为式中：是三个应力不变量，并有公式代入已知量得为了使方程变为形式，可令代入，正好项被抵消，并可得关系代入数据得，，2.9已知应力分量中，求三个主应力。
解在时容易求得三个应力不变量为，，特征方程变为求出三个根，如记，则三个主应力为记2.10已知应力分量，是材料的屈服极限，求及主应力。
解先求平均应力，再求应力偏张量，，，，，。
由此求得然后求得，，解出然后按大小次序排列得到，，2.11已知应力分量中，求三个主应力，以及每个主应力所对应的方向余弦。
解特征方程为记，则其解为，，。
对应于的方向余弦，，应满足下列关系（a）（b）（c）由（a）,(b)式，得，，代入（c）式，得，由此求得对，，代入得对，，代入得对，，代入得2.12当时，证明成立。
解由，移项之得证得第三章习题答案3.5取为弹性常数，，是用应变不变量表示应力不变量。
解：由，可得，由，得3.6物体内部的位移场由坐标的函数给出，为，，，求点处微单元的应变张量、转动张量和转动矢量。
解：首先求出点的位移梯度张量将它分解成对称张量和反对称张量之和转动矢量的分量为，，该点处微单元体的转动角度为3.7电阻应变计是一种量测物体表面一点沿一定方向相对伸长的装置，同常利用它可以量测得到一点的平面应变状态。
计算题1、已知应力状态如图所示,求主应力及最大切应力(图示单位为
计算题:1、已知应力状态如图所示，求主应力及最大切应力（图示单位为MPa）。
（10分）2、已知应力状态如图所示，求主应力及最大切应力。
（10分）3、已知应力状态如图所示，求主应力及最大切应力（图示单位为MPa）。
（10分）4、已知应力状态如图所示，求主应力及最大切应力（图示单位为MPa）。
（10分）5、已知应力状态如图示，图中应力单位皆为MPa，试求：（1）主应力的大小，主平面的方位；（2）最大切应力；（10分）6、已知应力状态如图示，图中应力单位皆为MPa ，试求：（3） 主应力的大小，主平面的位置； （4） 最大切应力。
（10分）7、（10分）已知三向应力状态如图所示（图中应力单位：MPa ）， 试求： 1） 主应力；2）主切应力；3）形变应变能密度f e 。
8、（14分）已知K 点处为二向应力状态，过K 点两个截面上的应力如图所示（应力单位为MPa ）。
试用解析法（用图解法无效）确定该点的三个主应力。
9、（8分）图示为某构件内危险点的应力状态（图中应力单位为MPa ），试分别求其第二、第四强度理论的相当应力2r σ、4r σ（3.0=μ）。
10、（8分）图示为某构件内危险点的应力状态（图中应力单位为MPa ），试分别求其第二、第四强度理论的相当应力2r σ、4r σ（3.0=μ）。
11、（4分）矩形截面细长悬臂梁如图所示。
试求A 、B 、C 三点的应力，并 用单元体分别表示这三点的应力状态。
12、（4分）已知构件内某点处的应力状态为两种应力状态的叠加结果，试求叠加后该点该平面内的（1）主应力与主应变； （2）主切应力；（3）该点的形变应变能密度fe 。
（已知材料的弹性模量GPa 200=E ，横向变形系数3.0=ν）13、图示板件，微体处于纯剪切应力状态，试计算沿对角线AC 与BD 方位的正应力，以及所对应力正应变045ε与045-ε，沿板厚方向的正应变z ε。
材料的弹性常数E 与μ均为已知。
2.5-例题
1
＋
x 10， y 23， xy 11
23
max
11 10
min
x y
2
x y 2
2 x
2
29.8MPa 3.72MPa
(单位 MPa)
1 29.28MPa， 2 3.72MPa， 3 0
C.冰的温度较铸铁高； D.冰的应力等于零。 对于冰：
r 3 1 3 0
对于铸铁，因为采用第一强度准则，被拉断。
r
r1 1
r 2 1 ( 2 3 )
工程上常见的断裂破坏主要有三种类型:
无裂纹结构或构件的突然断裂. 由脆性材料制成的构件在绝大多数受力情形下都发生突然断裂,如受拉的铸铁,砼等构件的断裂. 具有裂纹构件的突然断裂. 这类断裂经常发生在由塑性材料制成的,且由于各种原因而具有初始裂纹的构件. 构件的疲劳断裂. 构件在交变应力作用下,即使是塑性材料,当经历一定次数的应力交变之后也会发生脆性断裂.
结构安全
现有两种说法：（1）塑性材料中若某点的最大拉应力 σmax=σs，则该点一定会产生屈服；（2）脆性材料中若某点的最 大拉应力σmax=σb，则该点一定会产生断裂，根据第一、第四强 度理论可知，说法( B ).
A.（1）正确、（2）不正确； B.（1）不正确、（2）正确； C.（1）、（2）都正确； D.（1）、（2）都不正确。
（应力单位 MPa ） 1 80.7
2
2 0 3 60.7
3）求主方向
3
1
0
tg20
2 xy
x y
确定主应力大小和方向问题分析
资料范本本资料为word版本，可以直接编辑和打印，感谢您的下载确定主应力大小和方向问题分析地点：__________________时间：__________________说明：本资料适用于约定双方经过谈判，协商而共同承认，共同遵守的责任与义务，仅供参考，文档可直接下载或修改，不需要的部分可直接删除，使用时请详细阅读内容确定主应力大小和方向问题分析基础部秦定龙一问题的提出在工程结构设计中，为了全面评价梁的强度安全，确保工程结构万无一失，经常要遇到计算结构中的主应力的大小和确定主应力的方向问题，以便于分析结构破坏的原因，或者合理布置结构形式，或者正确布置结构内的受力钢筋等。
图一(a)所示的钢筋混凝土简支梁，为什么会在轴线以下部分出现斜裂缝而破坏?图一(b)所示的铸铁试件在受到压缩或扭转时，为什么会沿与轴线成的斜面上发生破坏?这些都与结构内的主应力大小和方向有关。
在图二(a)中，钢筋混凝土简支梁的两组主应力轨迹线是根据主应力的方向绘制出来的，而图二(b)中梁内的弯起钢筋和纵向受力钢筋则是根据图二(a)中梁的主应力轨迹线布置的。
图一（a）q(a)图二(b)上述情况说明，在对结构进行强度分析或计算时，都要涉及到结构内主应力大小的计算和确定主应力方向的问题。
一般情况下，主应力的大小可按特定的公式算出来，而在确定应力的方向时，人们往往不容易正确确定出来。
本文就怎样快速准确确定主应力大小和方向作阐述和介绍。
二主应力大小及方向的确定方法图三表示从某一构件中取出的单元体，设它处于平面应力状态下。
假定在一对竖向平面上的正应力为,切应力为；在一对水平面上的正应力为y，切应力为y，它们的大小和方向已经求出。
现要求出这个单元体的最大正应力、最小正应力即主应力的大小和方向。
对应力、和角度的正负号规定如下：正应力(或主应力)以拉应力为正，压应力为负；切应力对单元体内的任一点以顺时针转为正，以反时针转时为负；角度以从x轴的正向出发量到截面的外法成n是反时针转为正，是顺时针转为负。
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y y
w
z z
xy
yx
1 2
u
y
v
x
yz
zy
1 2
v
z
w
y
zx
xz
1 2
w
x
u
z
x
x
1 2
y z
y
y
1 2
z
x
z
z
1 2
x y
xy
3 2
xy
yz
3 2
yz
zx
3 2
zx
x
(u) x
y
(v) y
xy
yx
1 2
P
R
p2 rdr
0
R 0
Y
Y h
R
r
2
rdr
Y
R2
1
1 3
R h
将镦粗力除以接触面面积，即得平均单位压力公式：
(u)
y
(v) x
x
x
1 2
y z
y
y
1 2
z
x
xy
3 2
xy
金属塑性成形的力学解析方法
第四章 主应力法 第五章 滑移线解法 第六章 上限法、有限元法等
第四章 金属塑性成形基本工序 的力学分析及主应力法
4.1 主应力法基本原理 4.2 圆柱体镦粗 4.3 平面压缩矩形件 4.4 平辊轧制 4.5 挤压 4.6 拉拔
r h 设σr仅随r轴变化而与z轴无关，即：
r 0, r d r
z
r dr
d r Y 0
dr h r z Y
d z Y 0
dr h
d r d z
z P
σz τf=K=0.5Y
h
τzr
σr
σr +dσr
r
d z
Y h
dr
z
Y h
r C
D=2R P
στfz=K=0.5Y
代入边界条件，求得积分常数
4.2 圆柱体镦粗
1 全滑动摩擦条件下的镦粗力计算 2 全粘着摩擦条件下的镦粗力计算 3 混合摩擦条件下的镦粗力计算
1 全滑动摩擦条件下的镦粗力计算
全滑动即假设在整个接触表面上有相对滑动，其摩擦符合 库仑摩擦条件。
r 1 r zr r 0
r r z
r
r z 0
塑性力学问题——一般三维问题
x
x
yx
y
zx
z
0
xy
x
y
y
zy
z
0
xz
yz
z
0
x y z
u
x x
y
v
y
w
z z
xy
yx
1 2
u
y
v
x
yz
zy
1 2
v
z
w
y
zx
xz
1 2
w
x
u
z
x
x
1 2
y z
y
y
1 2
z
x
z
Y h
r
C
r z Y
在r =R处，有σr =0，代入屈服条件，则：
z Y
解得
z
P
σz
C Y Y R h
z
Y
Y h
R r
τf=K=0.5Y
h
τzr
σr
σr +dσr
r
p
z
Y
Y h
R r
D=2R P
στfz=K=0.5Y
镦粗力及平均单位压力公式
p
z
Y
Y h
R r
将单位压力在接触面上积分，即得镦粗力公式：
h
τzr
σr
σr +dσr
r
d z 2 z 0
dr h
D=2R P
σz τf=μσz
d z 2 z 0
dr h
ln z
2
h
r
ln C
d z 2 dr
z
h
2 r
z Ce h
r |rR 0
2 R
C Ye h
r z Y
z Y
z P
σz τf=μσz
h
τzr
σr
σr +dσr
r
塑性成形理论的根本任务
研究不同形状和性能的坯料，在不同形状的工模具和不同外 力作用下发生塑性变形时的应力、应变和流动状态。 知道坯料塑性变形时的应力状态，即可计算出其变形力和 功能消耗，为合理选择成形设备和合理设计模具提供依据； 根据变形体的应力状态，可分析变形过程中材料产生裂纹 的可能性，为防止开裂提供解决思路； 知道坯料塑性变形时的应变和流动状态，可预测变形体的 形状尺寸变化和模腔内金属的充填情况，从而为合理确定原 毛坯或预成形坯形状、工模具形状和优化工艺过程提供科学 依据。
2 全粘着摩擦条件下的镦粗力计算
全粘着即假设在整个接触表面上没有相对滑动，其摩擦符 合最大摩擦条件。
r zr 0
r z
f K 0.5Y
设切应力在z向线性分布
zr
2K h
z
Y h
z
r Y 0
r h
z P
σz τf=K=0.5Y
h
τzr
r
D=2R P
τf=K=0.5Y σz
r Y 0
ห้องสมุดไป่ตู้
r
r zr 0
r z
f z
设切应力在z向线性分布
zr
2 z
h
z
h
r 2 z 0
r h
z P
σz τf=μσz
τzr
r
D=2R P
σz τf=μσz
r 2 z 0
r h
设σr 仅随r轴变化而与z轴无关，即：
r 0, r d r
z
r dr
d r 2 z 0
z
z
1 2
x y
xy
3 2
xy
yz
3 2
yz
zx
3 2
zx
应力边界条件 位移边界条件
塑性力学问题——平面问题
x x
yx y
zx z
0
xy x
y y
zy z
0
xz
yz
z
0
x y z
x
x
yx
y
0
xy
x
y
y
0
u
x x
z
Y
exp
2
h
R r
D=2R P
σz τf=μσz
单位压力分布公式
z
Y
exp
2
h
R r
此即接触面正应力分布公式，该应力为压应力，故写为：
p
z
Y
exp
2
h
R r
称接触面单位压力分布公式。
p
z
P τf
另外可得接触面摩擦应力分布为：
f
z
Y
exp
2
h
R
r
h
r
D=2R P
镦粗力及平均单位压力公式
dr h
z P
σz τf=μσz
h
τzr
σr
σr +dσr
r
D=2R P
σz τf=μσz
简化屈服条件
对σr =σθ的轴对称问题，其屈服准则为
r z 2 3 zr2 Y 2
为简化求解，在应用屈服准则时不考虑切应力影响，即认
为坐标方向即为主方向:
r z Y
z P
σz τf=μσz
d r d z
4.1 主应力法的基本原理
主应力法的实质是将应力平衡微分方程和塑性条件 联立求解。又叫工程法、切块法、初等解析法。
为使问题简化，采用下列基本假设：工件均质、各 向同性、初应力为零、体积力为零、体积不变。
把问题简化成平面问题或轴对称问题。 简化塑性条件。 简化平衡方程。 简化接触摩擦条件。 简化变形区几何形状。
p
z
Y
exp
2
h
R r
将单位压力在接触面上积分，即得镦粗力P：
P
R
0
p2
rdr
R
0 Y
exp
2
h
R
r
2
rdr
2 Y
h
2
2
2R e h
2R
h
1
R2Y
1
3
2R h
平均单位压力公式：
p
P
R2
Y
1
3
d h
ex 1 x 1 x2 1 x3 2! 3!
p d
n Y 1 3 h