第10章统计决策解析

2018/10/6
《统计学》第10章统计决策
10-6
10.1.2 损益矩阵表
表10.1 收益矩阵表
状 态 概 率 方案一 a1 方案二 a 2 方案 m am
s1 p1 q11 q21 qm1
s2 p2 q12 q22 qm 2
… …
sn pn q1n q2 n qmn
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《统计学》第10章统计决策
公司面临两个自然状态： s1 ：一批不合格率是20%的产品； s 2 ：一批不合格率是40%的产品。 同时，公司面临两个行动方案： a1 ：不检验； a 2 ：对每个出厂产品进行检验。
10-7
损益矩阵表的构成
行动(act)空间:
A (a1 , a2 , , am )
事件(event)空间或状态空间:
S (s1 , s 2 , , s n )
状态空间的概率(probability)分布:
P ( p1 , p2 , , pn )
损益值(payoff):
qij Q(ai , s j )
E(Q(a3 )) 0.5 9000 0.3 9000 0.2 4000 8000
根据收益期望值准则，应选择方案一，即订购空 调100台。
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【例10.8】给出引例的损益矩阵表，并根 据收益期望值准则判断公司应该对每个出 厂的产品进行检验吗？ 解：
E(Q(a3 )) 0.6 9000 (1 0.6) 4000 7000
方案一的收益期望值最大，所以，根据折中原则， 应选择方案一。
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《统计学》第10章统计决策
10-22
10.2.2 各种决策准则比较
表10.4 各种准则决策结果
依据准则 最大最大准则 最大最小准则 最小最大后悔值准则 等可能性准则 折中准则 最佳方案 方案一 方案三 方案二 方案二 方案一
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10.3.2 风险型决策的准则
1. 最大概率准则
【例10．6】利用例10.1中的损益矩阵表，根据 最大概率准则选择最佳行动方案。 解：该例的各种自然状态中，“市场需求大”的 可能性最大，因此，该状态为最可能状态。所以， 根据最大概率准则，应选择方案一，即订购的空 调数为100台。
1.统计决策的概念 决策：目标→决策→行动→结果 统计决策：在决策这一动态过程中，采用 统计方法，利用有关的统计信息和相应的 统计分析方法在不确定情况下进行决策。
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《统计学》第10章统计决策
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2.统计决策的特征
它主要研究不确定型和风险型的决策问题。 它是研究非对抗型决策问题的一种主要方 法。 它是一种定量决策。
方案 a i 在状态 s j 下的后悔值计算式子：
rij maxQ(ai , s j ) qij
i
（10.4）
Q(ai , s j ) 表示在状态 s j下，正确决策可能得到的最 其中， 大收益。
最优选择方案：
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a* min max(rij )
i j
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（10.1）
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【例10.1】 订购空调
假设某承销商在夏季到来之前将订购一批空调。在考虑了 以往各个夏天的销售情况、当前人们的消费能力以及市场 竞争等因素之后，该承销商估计今年市场需求有大、中、 小3种可能，其概率分别为0.5、0.3、0.2。其中：需求量 大是指平均可以销售空调100台，需求量中是指平均销售 量只能达到60台，而需求量小是指平均销售量只有20台。 现在，对于订购数量提出了三个备选方案：一是订购100 台，二是订购70台；三是订购30台。每台空调的成本是 1000元，零售价1300元（包括装配费用）。季末没有卖 出的空调可以每台800元退回制造商。试写出该承销商订 购空调的损益矩阵表。
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解：
表10.2某承销商订购空调的损益矩阵表（单位：元）
状 态 概 率 方案一 方案二 方案三
需求大 0.5 30000 21000 9000
需求中 0.3 10000 16000 9000
需求小 0.2 -10000 -4000 4000
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说明，可考虑选择订购72台，或是接近72台的方 案。
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3.收益期望值准则
首先,计算各行动方案的收益期望值
E (Q(ai )) p j qij
j 1 n
（10.10）
其次，比较各方案收益的期望值大小，从中选出 最大的方案作为最佳方案。
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2.自然状态概率已知
a* max E(Q(ai ))
i
（10.6）
（10.7）
（1）等概率准则 n
1 其中， E (Q(ai )) qij (i 1,2, , m) n j 1
（2）折中准则
其中， E (Q(a i )) Max (q ij ) (1 ) Min (q ij ) (i 1,2, , m) i i （10.8） 和1- 表示最大收益值和最小收益值的权数。
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10-28
【例10．7】 利用例10.1中的损益矩阵表， 根据收益期望值准则选择最佳行动方案。
解：
E(Q(a1 )) 0.5 30000 0.3 10000 0.2 (10000 ) 16000 E(Q(a2 )) 0.5 21000 0.3 16000 0.2 (4000 ) 14500
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2.概率期望值准则
以例10.1说明，不考虑收益值，仅根据市场需求 的概率分布情况，计算市场需求量的期望值，以 此为标准来决定最佳的订购数量。此例中
E(si )) 0.5 100 0.3 60 0.2 20 72
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10.3 一般风险型决策
风险型决策：对未来可能出现的情况有一 定把握，决策是在信息不完全确定，即在 有一定风险情况下进行的。 目的：估计自然状态的概率分布，将风险 型决策转化为确定型决策。
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10-24
10.3.1 自然状态的概率分布估计
依赖事件发生的客观规律对未来形势出现的可能 性进行估计得到的概率称为客观概率。 例如，在一副扑克牌的游戏中，得到一个五张同 花顺的可能性是多少。 根据以往机器设备发生故障的频率来估计概率， 从而确定出合理的检修时间间隔。 依赖主观判断对未来形势出现的可能性进行估计 得到的概率称为主观概率。 例如，未来股票价格的走势的可能性。
（10.5）
10-13
【例10.2】 订购空调
在例10.1中，假设承销商对有关市场的状 态不能把握，即未来市场需求的概率是未 知的，试根据最大最大准则和最大最小准 则进行决策。
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10-14
解：
例10.1中，方案一在各种状态下的最大收益为30000元， 方案二在各种状态下最大收益为21000元，方案三在各种 状态下的最大收益为9000元，根据最大最大准则，最佳 行动是方案一。
a* max max(qij )
i j
（10.2）
其中，a * 表示最优选择方案。 （2）最大最小准则(maximin criterion)
a* max min(qij )
i j
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（10.3）
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（3）最小最大后悔值准则(minimax regret criterion) 后悔值(regret)：当某个特定事件发生时，它所产生的 经济后果与采取最佳行动带来的经济收益之间的差值。
方案二的收益期望值最大，所以根据等可能性准 则，应选择方案二。
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《统计学》第10章统计决策
10-20
【例10.5】 订购空调
在例 10.1 中，假设承销商根据经验判 断乐观系数为0.6，试根据折中准则进 行决策。
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10-21
解：
E(Q(a1 )) 0.6 30000 (1 0.6) (10000 ) 14000 E(Q(a2 )) 0.6 21000 (1 0.6) (4000 ) 11000
例10.1中，方案一在各种状态下的最小收益为-10000元， 方案二在各种状态下的最小收益为-4000万元，方案三在 各种状态下的最小收益值为4000 元，根据最大最小准则， 最佳行动是方案三。
2018/10/6
《统计学》第10章统计决策
10-15
【例10.3】 订购空调
在例10.1中，承销商对未来市场的需 求情况无法估计，请根据最小最大后 悔值准则进行决策。
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《统计学》第10章统计决策
10-16
解：
表10.3 某承销商订购空调的后悔值矩阵表（单位 ：元）
事 件 方案一 方案二 方案三
需求大 0 9000 21000
需求中 6000 0 7000
百度文库
需求小 14000 8000 0
由表10.3，方案一的最大后悔值为14000元，方案二的最 大后悔值为9000元。方案三的最大后悔值为21000元。根 据最小最大后悔值准则，应选择方案二。
统计学
主编：费宇，石磊
2018/10/6
《统计学》第10章统计决策
10-1
第10章 统计决策
10.1 统计决策的基本概念 10.2 完全不确定型决策 10.3 一般风险型决策 10.4 贝叶斯决策
2018/10/6 《统计学》第10章统计决策 10-2
【引例】
某电子公司生产一种使用在手机里的精密电子零件，每 500个为一批。由于这种零件的生产技术要求比较高，所 以产品的不合格率较高。据以往的统计数据显示，有80% 批量的产品不合格率达到20%，20%批量的产品不合格率 达到30%。即便如此，这种零件的市场需求还是比较大。 于是，公司与手机生产商协商达成一致，公司先把产品卖 给手机生产商，手机生产商负责将零件组装在手机里，如 果手机的使用顾客因该零件出现问题退回手机厂家维修， 那么公司必须召回所有不合格产品，并承担全部费用。假 设每召回一个的总费用为20元（包括手机生产商购买此产 品的费用10元/个，以及其他相关费用10元/个）。由于召 回的成本较高，公司考虑采取一定的措施有效降低出厂产 品的不合格品率。而最直接简便的方法就是，在产品出厂 前进行检查，发现有不合格产品就及时替换。据调查，产 品检查的成本是4元/个，替换的成本是1.5元/个。
2018/10/6 《统计学》第10章统计决策 10-18
【例10.4】 订购空调
在例10.1中，假设承销商对未来市场的需 求发生的可能性未知，但认为各种需求情 况出现的可能性大致相同，试根据等可能 性准则进行决策。
2018/10/6
《统计学》第10章统计决策
10-19
解：
1 E (Q(a1 )) (30000 10000 10000 ) 10000 3 1 E (Q(a 2 )) (21000 16000 4000 ) 11000 3 1 22000 E (Q(a3 )) (9000 9000 4000 ) 3 3
2018/10/6 《统计学》第10章统计决策 10-3
【引例】
两个决策的问题： 公司应该对每个出厂的产品进行检验吗？ 在决定是否进行100%的检验之前，是否对 每批产品进行样本容量为2的抽样检验更好 呢？
2018/10/6
《统计学》第10章统计决策
10-4
10.1 统计决策的基本概念
10.1.1 统计决策的概念及其基本特征
《统计学》第10章统计决策
10-10
10.2 完全不确定型决策
损益矩阵表中获知信息： 事件发生的概率和损益值
问题：概率获知存在困难
2018/10/6
《统计学》第10章统计决策
10-11
10.2.1 完全不确定型决策准则
1.自然状态概率未知 三大准则： （1）最大最大准则(maximax criterion)