电动力学第三版课后答案

= (av ⋅∇)rv + rv × (∇ × av) + (rv ⋅ ar) ⋅ av
= av + rv × (∇ × av) + (rv ⋅ ∇) ⋅ av ∇ ⋅[Er0 sin(kr ⋅ rr)] = [∇(sin(kr ⋅ rr)] ⋅ Er0 + sin(kr ⋅ rr)(∇ ⋅ Er0 )
−
∂φ ∂y
dS z
)ir
+
(
∂φ ∂x
dS z
−
∂φ ∂z
dS x
) rj
+
(
∂φ ∂y
dS x
−
∂φ ∂x
dS y
)kr
∫=
(
∂φ ∂y
kr −
∂φ ∂z
rj )dS x
+
(
∂φ ∂z
ir −
∂φ ∂x
kr)dS y
+
(
∂φ ∂x
rj −
∂φ ∂y
ir)dS z
若令 f x = φi , f y = φ j , f z = φk
电动力学习题解答
第一章 电磁现象的普遍规律
1. 根据算符 ∇ 的微分性与矢量性 推导下列公式 ∇( Ar ⋅ Br) = Br × (∇ × Ar) + (Br ⋅ ∇) Ar + Ar × (∇ × Br) + ( Ar ⋅ ∇)Br
Ar ×
(∇ ×
Ar)
=
1 2
∇Ar 2
−
( Ar ⋅ ∇) Ar
−
∂ ∂z
fy
)dS x
+
(
∂ ∂z
fx
−
∂ ∂x
f z )dS y
+
(
∂ ∂x
fy
−
∂ ∂y
f x )dS z
∫ ∫ 而
dlrφ =
l
l (φi dlx + φ j dl y + φk dlz )
-3-
电动力学习题解答
第一章 电磁现象的普遍规律
∫ ∫ dSr × ∇φ = S
S
(
∂φ ∂z
dS y
证明
∇×
Av
=
∇
×
(
mv
× Rv) R3
=
−∇ ×[mv × (∇
1 R
)]
=
(∇
⋅
mv )∇
1 r
+
(mv ⋅ ∇)∇
1 r
− [∇ ⋅ (∇
1 r
)]mv
− [(∇
1r ) ⋅ ∇]mv
-4-
电动力学习题解答
第一章 电磁现象的普遍规律
=
(mv
⋅ ∇)∇
1 r
, (r
≠
0)
∇ϕ
=
∇(
mv ⋅ Rv R3
=
∂(x − ∂x
x')
+
∂(y − ∂y
y'
)
+
∂(z − ∂z
z')
=
3
erx
∇ × rr =
Байду номын сангаас
∂ ∂x
x − x'
ery ∂
∂y y − y'
erz
∂ ∂z
=0
z − z'
(av ⋅ ∇)rr
= [(axevx
+
a y evy
+
a
z
evz
)
⋅
(
∂ ∂x
evx
+
∂ ∂y
evy
+
∂ ∂z
evz
)][(x
第一章 电磁现象的普遍规律
σP
=
P1n
= (ε
−
ε
0
)
r
3− 3εr
r13
3
ρ f rr
r =r2
=
(1
−
ε0 ε
)
r23 − r13 3r23
ρf
考虑到内球壳时 r r2
σP
=
−(ε
−
ε
0
)
r
3− 3εr
r13
3
ρ f rr
r =r1
=0
8 内外半径分别为 r1 和 r2 的无穷长中空导体圆柱 沿轴向流有恒定均匀自由电流 Jf 导体
−
x' )evx
+
(y
−
y' )ery
+
(z
−
z' )evz
]
=
(ax
∂ ∂x
+
ay
∂ ∂y
+
az
∂ ∂z
)[(x
−
x' )evx
+
(y
−
y' )ery
+ (z
−
z')evz ]
= axevx + a y evy + az evz = av ∇(av ⋅ rv) = av × (∇ × rv) + (av ⋅ ∇)rv + rr × (∇ × av) + (rv ⋅ ∇) ⋅ av
∇ ×[Er0 sin(kr ⋅ rr)] = [∇ sin(kr ⋅ rr)]×Er 0+ sin(kr ⋅ rr)∇ × Er0
4. 应用高斯定理证明
∫V dV∇ × fr = ∫S dSr × fr
应用斯托克斯 Stokes 定理证明
∫S dSr × ∇φ = ∫L dlrφ
证明 1)由高斯定理
⋅
∂u ∂z
=
∇u ⋅
dAr du
3
erx
∇ × Ar(u) =
∂ Ar∂xx(u )
ery ∂
Ar∂y (yu)
erz ∂
Ar∂z (zu)
=
( ∂Arz ∂y
−
∂Ar y ∂z
)erx
+
(
∂Ar x ∂z
−
∂Ar z ∂x
)ery
+
(
∂Ar y ∂x
−
∂Ar x ∂y
)erz
=
-1-
电动力学习题解答
的磁导率为 µ 求磁感应强度和磁化电流
解
∫ ∫ l Hr ⋅ dlr = I f
+
d dt
Dr
S
⋅
dSr
=I
f
当 r < r1时, I f = 0,故Hr = Br = 0
∫ ∫ 当 r2>r>r1 时
Hr ⋅ dlr = 2πrH =
l
S rj f
⋅ dSr =
j f π (r 2 − r12 )
∫ ∫ ∫ (
∂Pr ∂t
)
x
= − ∇' rj ' x'dV ' V
=−
[∇' ⋅ (x' rj ' ) − (∇' x' ) ⋅ rj ' ]dV '
=
V
(
j
' x
−
∇'
⋅ (x'
rj ' )dV
'
∫ ∫ =
jx dV ' −
xrj ⋅ dSr
S
∫ 若 S → ∞,则 (xrj ) ⋅ dSr = 0, ( rj S = 0)
∫V dV∇ ⋅ gr = ∫S dSr ⋅ gr
∫ ∫ 即
( ∂g x V ∂x
+
∂g y ∂y
+
∂g z ∂z
)dV
=
g x dS x + g y dS y + g z dS z
S
∫ ∫ 而 ∇ × frdV = V
[( ∂∂y
fz
−
∂ ∂z
f
y
)ir
+
(
∂ ∂z
fx
−
∂ ∂x
f
z
)
rj
+
(
∂ ∂x
1 空间各点的电场
2 极化体电荷和极化面电荷分布
解 1 ∫SDr ⋅ dSr = ∫ ρ f dV ,
(r2>r>r1)
即
D ⋅ 4πr 2
=
4π 3
(r 3
− r13 )ρ
f
∴ Er =
(r 3
− r13 )ρ f 3εr 3
rr, (r2
> r > r1)
∫由
Er ⋅ dSr = Q f
S
ε0
=
Bv
=
µj f
(r 2 − r12 ) 2r
=
µ(r 2 − r12 ) 2r 2
rj f
× rr
当 r>r2 时 2πrH = πj f (r22 − r12 )
Br
=
µ0 (r22 − r12 ) 2r 2
rj f
× rr
JM
= ∇ × Mr
=
∇
×
(χ
M
Hr
)
=
∇
×
(
µ
− µ0 µ0
)
)Hr
=( µ µ0
解 1 ∇( Av ⋅ Bv) = Bv × (∇ × Av) + (Bv ⋅ ∇) Av + Av × (∇ × Bv) + ( Av ⋅ ∇)Bv
首先 算符 ∇ 是一个微分算符 其具有对其后所有表达式起微分的作用 对于本题 ∇ 将作用于 Av和Bv
又 ∇ 是一个矢量算符 具有矢量的所有性质 因此 利用公式 cv × (av × bv) = av ⋅ (cv ⋅ bv) − (cv ⋅ av)bv 可得上式 其中右边前两项是 ∇ 作用于
)
=
−∇[mv
⋅ (∇
1r )]
=
−mv ×[∇ × (∇
1 r
)]
−
(∇
1 r
)
×
(∇ ×
mv )
−
(mv ⋅ ∇)∇
1 r
−
[(∇
1r )
⋅
∇]mv
=
−(mv
⋅
∇)∇
1 r
∴∇ × Av = −∇ϕ
7 有一内外半径分别为 r1 和 r2 的空心介质球 介质的电容率为 ε 由电荷 ρ f 求
使介质内均匀带静止自
4π 3ε 0
(r23
−
r13 )ρ
f
, (r
>
r2 )
∴
Er
=
(r23 − r13 ) 3ε 0r 3
ρ
f
rr, (r
>
r2 )
r < r1时 Er 0
2) Pr
ε 0 χ e Er
= ε0
ε
−ε0 ε0
Er
=
(ε
− ε 0 )Er
∴ρP
=
−∇ ⋅ Pr
=
−(ε
− ε 0 )∇ ⋅ Er
=
−(ε
−
∫ ∫ ∇ ⋅ HrdV = dSr ⋅ Hr ,高斯定理
V
S
2)由斯托克斯公式有
∫l fr ⋅ dlr = ∫S ∇ × fr ⋅ dSr
∫ ∫ fr ⋅ dlr =
l
l ( f x dlx + f y dl y +
f z dlz )
则证毕
∫ ∫ ∇ × fr ⋅ dSr = S
(∂ S ∂y
fz
−1)∇ × ( rj f
×
rr
r
2 − r12 2r 2
)
=
(µ µ0
−1)∇ × Hr
=
(µ µ0
−1) rj f
, (r1
<
r
<
r2 )
αrM = nr × (Mr 2 − Mr 1), (n从介质1指向介质2
在内表面上
M1
=
0, M 2
=
(µ µ0
−
1)
r
2 − r12 2r 2
)
r=r1 = 0
Av 后两项是 ∇ 作用于 Bv 2 根据第一个公式 令 Av
Bv 可得证
2. 设 u 是空间坐标 x y z 的函数 证明
∇∇∇f×⋅ (AruAr()(uu=))=dd=uf∇∇∇uuu⋅×ddAuddrAur .
证明 1
∇f
(u)
=
∂f (u) ∂x
erx
+
∂f (u) ∂y
ery
+
∂f (u) ∂z
erz
=
df du
⋅
∂u ∂x
erx
+
df du
⋅
∂u ∂y
ery
+
df du
⋅
∂u ∂z
erz
=
df du
∇u
2
∇⋅
Ar(u)
=
∂Arx (u) ∂x
+
∂Ar y (u) ∂y
+
∂Arz z(u) ∂z
=
dArx (u) du
⋅
∂u ∂x
+
dAr y (u) du
⋅
∂u ∂y
+
dArz (u) dz
∫ ∫ 同理
(
∂ρr ∂t
)
y
=
j
y
dV
'
,
(
∂ρr ∂t
)
z
=
jz dV '
∫ 即
dPr dt
=
V
rj (xr ' , t)dV '
6. 若 mr 是常矢量
证明除 R
0 点以外
矢量
Ar
=
mr × Rr R3
的旋度等于标量 ϕ
=
mr ⋅ Rr R3
的梯
度的负值 即
∇ × Ar = −∇ϕ
其中 R 为坐标原点到场点的距离 方向由原点指向场点
ε
0
)∇
⋅
[
(r
3− 3εr
r13
3
)
ρf
rr] =
−ε
−ε0 3ε
ρ f ∇ ⋅ (rr
−
r13 r3
rr)
=
−ε
−ε0 3ε
ρ
f
(3 − 0)
=
−(ε
− ε
ε
0
)
ρ
f
σ P = P1n − P2n
考虑外球壳时 r r2 n 从介质 1 指向介质 2 介质指向真空 P2n = 0
-5-
电动力学习题解答
第一章 电磁现象的普遍规律
=
(
dAr z du
∂u ∂y
−
dAr y du
∂u ∂z
)erx
+
(
dAr x du
∂u ∂z
−
dAr z du
∂u ∂x
)ery
+
(
dAr y du
∂u ∂x
−
dAr x du
∂u ∂y
)erz
= ∇u ×
dAr du
3. 设 r = (x − x' )2 + ( y − y ' )2 + (z − z ' )2 为源点 x' 到场点 x 的距离 r 的方向规定为从
= −∇'
rr r3
= 0.(r
≠ 0)
(最后一式在人 r 0 点不成立 见第二章第五节)
2求
∇ ⋅ rr,∇ × rr, (ar ⋅ ∇)rr,∇(ar ⋅ rr),∇ ⋅[Er0 sin(kr ⋅ rr)]及∇ ×[Er0 sin(kr ⋅ rr)],其中ar, kr及Er0均为常矢量
证明
∇
⋅
rr
则证毕
5. 已知一个电荷系统的偶极矩定义为
∫ Pr(t) = ρ(xr ' ,t)xr 'dV ' , V
利用电荷守恒定律 ∇ ⋅ Jr
+
∂ρ ∂t
= 0 证明 Pr 的变化率为
∫ dPr
dt
=
Jr(xr ' , t)dV '
V
∫ ∫ 证明
∂Pr ∂t
=
∂ρr ' V ∂t
xr 'dV '
= − ∇' rj ' xr 'dV ' V
源点指向场点
1
证明下列结果
并体会对源变数求微商 (∇'
=
erx
∂ ∂x '
+ ery
∂ ∂y '
+ erz
∂ ∂z
'
)
与对场变数求
微商 (∇
=
erx
∂ ∂x
+
ery
∂ ∂y
+
erz
∂ ) 的关系 ∂z
∇r
= −∇'r
=
rr r
,
∇
1 r
= −∇'
1 r
rr = − r3
,
∇
×
rr r3
=
0,
∇
⋅
rr r3
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电动力学习题解答
第一章 电磁现象的普遍规律
=
[
∂ ∂x
sin(kr
⋅
rr)erx
+
∂ ∂y
sin(kr
⋅ rr)ery
+
∂ ∂z
sin(kr
⋅ rr)erz ]E0
= cos(kr ⋅ rr)(k xerx + k yery + k zerz )Er0 = cos(kr ⋅ rr)(kr ⋅ Er)
∫= ( f y kr − f z rj )dS x + ( f z ir − f x kr)dS y + ( f x rj − f yir)dS z
若令 H x = f y kr − f z rj , H y = f z ir − f x kr, H Z = f x rj − f y ir
则上式就是
故αrM = nr × Mr 2 = 0, (r = r1)
fy
−
∂ ∂y
f x )kr]dV
∫=
[
∂ ∂x
(
f
y
kr
−
fz
rj ) +
∂ ∂y
( f z ir
−
f x kr) +
∂ ∂z
( f x rj
−
f yir)]dV
∫ ∫ 又
dSr × fr =
S
[(
S
f z dS y
−
f y dS z )ir + ( f x dS z −
f z dS x ) rj + ( f y dS x − f x dS y )kr]