广东省河源市龙川县第一中学高中数学 2.1.1 指数与指数幂的运算(三课时)教案 新人教A版必修1

2.1.1 指数与指数幂的运算（三课时）教学目标：1.理解n 次方根、根式、分数指数幂的概念；2.正确运用根式运算性质和有理指数幂的运算性质；3.培养学生认识、接受新事物和用联系观点看问题的能力。

教学重点：根式的概念、分数指数幂的概念和运算性质 教学难点：根式概念和分数指数幂概念的理解 教学方法：学导式 教学过程：第一课时：9月20日星期一 （I ）复习回顾 引例：填空n m na+= (m,n ∈Z)； _____=（II ）讲授新课 1.引入：（1）填空（1），（2）复习了整数指数幂的概念和运算性质（其中：因为m n a a ÷可看作m na a -⋅,所以mnm na a a-÷=可以归入性质m n m na a a+⋅=；又因为nba )(可看作m na a -⋅，所以n nn ba b a =)(可以归入性质()n n n ab a b =⋅(n ∈Z)）,这是为下面学习分数指数幂的概念和性质做准备。

为了学习分数指数幂，先要学习n 次根式（*N n ∈）的概念。

5次方根，类似地，若2n=a ，则2叫a 的n 次方根。

由此，可有：问题1：n 次方根的定义给出了，x 如何用a 表示呢？n a x =是否正确？ 分析过程：解：因为33=27，所以3是27的3次方根；因为5)2(-=-32，所以-2是-32的5次方根；因为632a )a (=，所以a 2是a 6的3次方根。

结论1：当n 为奇数时（跟立方根一样），有下列性质：正数的n 次方根是正数，负数的n 次方根是负数,任何一个数的方根都是唯一的。

此时，a 的n 次方根可表示为n a x =。

从而有：3273=，2325-=-，236a a =解：因为4216=，16)2(4=-，所以2和-2是16的4次方根；因为任何实数的4次方都是非负数，不会等于-81，所以-81没有4次方根。

结论2：当n 为偶数时（跟平方根一样），有下列性质：正数的n 次方根有两个且互为相反数，负数没有n 次方根。

此时正数a 的n 次方根可表示为：)0a (a n >± 其中n a 表示a 的正的n 次方根，n a -表示a 的负的n 次方根。

解：因为不论n 为奇数，还是偶数，都有0=0，所以0的3次方根，0的4次方根均为0。

结论3：0的n 次方根是0，记作n n a ,00即=当a=0时也有意义。

这样，可在实数范围内，得到n 次方根的性质： 3.n 次方根的性质：（板书）*)(2,12,N k kn a k n a x n n ∈⎪⎩⎪⎨⎧=±+== 其中叫根式，n 叫根指数，a 叫被开方数。

注意：根式是n 次方根的一种表示形式，并且，由n 次方根的定义，可得到根式的运算性质。

4.根式运算性质：（板书） ①a a nn =）（，即一个数先开方，再乘方（同次），结果仍为被开方数。

由所得结果，可有：（板书）②⎩⎨⎧=为偶数为奇数；n a n a a nn|,|,性质的推导如下：na注意：性质②有一定变化，大家应重点掌握。

（III）课堂练习：求下列各式的值通过本节学习，大家要能在理解根式概念的基础上，正确运用根式的运算性质解题。

（V）课后作业1、书面作业：b.书P69习题2.1 A组题第1题。

2、预习作业：a.预习内容：课本P59—P62。

b.预习提纲：（1）根式与分数指数幂有何关系？（2）整数指数幂运算性质推广后有何变化？第二课时：9月21日星期二（I）复习回顾1.填空分析：对于“填空”中的第四题，既可根据n 次方根的概念来解：25101052a a ,a )a (=∴= ； 也可根据n 次方根的性质来解：2552510a )a (a ==。

问题1：观察34122510a a ,a a ==，结果的指数与被开方数的指数，根指数有什么关系？43124122510510a aa,a aa====⇒，即：当根指数的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以写成分数指数幂的形式。

问题2：当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时，根式是否可以写成分数指数幂的形式？如：3232a a =是否可行？分析：假设幂的运算性质mnnm a)a (=对于分数指数幂也适用，那么2332332a a)a (==⨯，这说明32a 也是2a 的3次方根，而32a 也是a 2的3次方根（由于这里n=3，a 2的3次方根唯一），于是3232a a =。

这说明3232a a =可行。

由此可有：1.正数的正分数指数幂的意义：<板书>1*,,,0(>∈>=n N n m a a a n m nm 且)注意两点:一是分数指数幂是根式的另一种表示形式；二是要注意被开方数a n的幂指数n 与根式的根指数n 的一致性。

根式与分数指数幂可以进行互化。

问题3：在上述定义中，若没有“a>0”这个限制，行不行？ 分析：正例：32322510510331)2()2(,4)2()2()2(,28)8(-=-=-=-=--=-=-等等；反例：6231,2)8()8(,28)8(6262331==-=--=-=-而实际上；又如：，）（）（）（3412412888-=-=-34434124128888===-）（）（。

这样就产生了混乱，因此“a>0”这个限制不可少。

至于28)8(331-=-=-，这是正确的，但此时31)8(-不能理解为分数指数幂，31不能代表有理数（因为不能改写为62），这只表示一种上标。

而323251055)2()2(,)2()2(-=--=-，那是因为2210102)2(,2)2(=-=-，负号内部消化了。

问题4：如何定义正数的负分数指数幂和0的分数指数幂？分析：正数的负分数指数幂的定义与负整数指数幂的意义相仿；0的分数指数幂与0的非0整数幂的意义相仿。

2.负分数指数幂：<板书>)1*,,,0(1>∈>=-n N n m a aanm nm 且3.0的分数指数幂：（板书）0的正分数指数幂为0，0的负分数指数幂无意义（为什么？）。

说明：（1）分数指数幂的意义只是一种规定，前面所举的例子只表示这种规定的合理性； （2）规定了分数指数幂的意义以后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数； （3）可以验证整数指数幂的运算性质，对于有理数幂也同样适用，即（板书）(0,,)r s r s a a a a r s Q +=>∈； ()(0,,)r s rs a a a r s Q =>∈ ()(0,0,)r r r ab a b a b r Q =>>∈(4) 根式与分数指数幂可以进行互化:分式指数幂可以直接化成根式计算，也可利用m nm n nm n a a)a (==⋅来计算；反过来，根式也可化成分数指数幂来计算。

（5）同样可规定是无理数）的意义：p ,0p (a p >① a p表示一个确定的实数；② 上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用，有关念和证明从略； ③ 指数概念可以扩充到实数指数（为下一小节学习指数函数作铺垫）。

（III ）例题讲解（投影2）分析：此题主要运用有理指数幂的运算性质。

解：。

＝）＝（）＝（）；（＝＝＝）＝（）（；＝＝＝）＝（；＝＝＝）＝（－）（－－）（－）（－－－－－）（－－－82732328116642224110110101010042228343443632323121221221232332332⨯⨯⨯⨯分析：此题应结合分数指数幂意义与有理指数幂运算性质。

解：11522222222113333331131322224;;()().a a a a aa a a a aa a a a++=⋅===⋅===⋅==（IV）课堂练习课本P63练习：1、2、3、4（V）课时小结通过本节学习，要求大家理解分数指数幂的意义，掌握分数指数幂与根式的互化，熟练运用有理指数幂的运算性质。

（V）课后作业1、书面作业：课本P69习题2.1A组题第2,3,4.第三课时：9月22日星期三教学目标1.掌握根式与分数指数幂的互化；2.熟练运用有理指数幂运算性质进行化简、求值；3.培养学生的数学应用意识。

教学重点：有理指数幂运算性质运用。

教学难点：化简、求值的技巧教学方法：启发引导式教学过程（I）复习回顾1.分数指数幂的概念，以及有理指数幂的运算性质2.用分数指数幂表示下列各式（a>0,x>0）52a4x16xx3)a(（II）讲授新课例1．计算下列各式（式中字母都是正数）且要注意符号。

（2）题先按积的乘方计算，后按幂的乘方计算，等熟练后可简化计算步骤。

对于计算的结果不强求统一用什么形式来表示，没有特别要求，就用分数指数幂的形式表示。

如果有特殊要求，可根据要求给出结果，但：①结果不能同时含有根式和分数指数；②不能同时含有分母和负指数；③ 根式需化成最简根式。

（2）题先把根式化成分数指数幂的最简形式，然后计算。

例3．求值：要求：例3学生先练习，后讲评，讲评时需向学生强调求值过程中的变形技巧。

（III ）课堂练习 计算下列各式：要求：学生板演练习，做完后老师讲评。

（IV）课时小结通过本节学习，要求大家能够熟练运用有理数幂运算性质进行化简、求值，并掌握一定的解题技巧，如凑完全平方、寻求同底幂等方法。