《导数在研究函数中的应用—函数的单调性与导数》说课稿
函数的单调性与导数 说课稿 教案 教学设计
导数在研究函数中的应用一、教学目标：知识与技能：1．结合实例，直观探索并掌握函数的单调性与导数的关系．2.会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)．过程与方法：能利用导数研究函数的单调性，并能够利用单调性证明一些简单的不等式．情感、态度与价值：让学生探索、发现数学知识和掌握数学知识的内在规律的过程中不，不断获得成功积累愉快的体验，不断增进学习数学的兴趣，同时还通过探索这一活动培养学生善于和他人合作的精神.二、教学重点、难点重点：掌握函数的单调性与导数的关系．难点：能利用导数研究函数的单调性，并能够利用单调性证明一些简单的不等式三、教学模式与教法、学法教学模式：本课采用“探究——发现”教学模式．教师的教法：利用多媒体辅助教学，突出活动的组织设计与方法的引导．“抓三线”，即(一)知识技能线（二）过程与方法线（三）能力线.“抓两点”,即一抓学生情感和思维的兴奋点，二抓知识的切入点.学法：突出探究、发现与交流．四、教学过程（一）温故知新以前，我们用定义来判断函数的单调性，在假设x1<x2的前提下，比较f(x1)与f(x2)的大小．但在函数y ＝f(x)比较复杂的情况下，比较f(x1)与f(x2)的大小并不很容易．如果利用导数来判断函数的单调性就比较简单．本节我们就来研究这个问题．解析：请同学思考并回顾以前所学知识并积极回答之.（二）新知探究探究点一函数的单调性与导函数正负的关系思考1观察高台跳水运动员的高度h随时间t变化的函数h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10的图象，及运动员的速度v随时间t变化的函数v(t)＝h′(t)＝－9.8t＋6.5的图象，思考运动员从起跳到最高点，从最高点到入水的运动状态有什么区别．思考2观察下面四个函数的图象，回答函数的单调性与其导函数的正负有何关系？答(1)在区间(－∞，＋∞)内，y′＝1>0，y是增函数；(2)在区间(－∞，0)内，y′＝2x<0，y是减函数；在区间(0，＋∞)内，y′＝2x>0，y是增函数；(3)在区间(－∞，＋∞)内，y′＝3x2≥0，y是增函数；(4)在区间(－∞，0)，(0，＋∞)内，y′＝－1x2<0，y是减函数．小结一般地，函数的单调性与其导函数的正负有如下关系：在某个区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减．思考3若函数f(x)在区间(a，b)内单调递增，那么f′(x)一定大于零吗？答不一定．由思考2中(3)知f′(x)≥0恒成立．思考4(1)如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，那么如何表示这些区间？试写出思考2中(4)的单调区间．(2)函数的单调区间与其定义域满足什么关系？例1已知导函数f′(x)的下列信息：当1<x<4时，f′(x)>0；当x >4，或x <1时，f ′(x )<0；当x ＝4，或x ＝1时，f ′(x )＝0.试画出函数f (x )图象的大致形状． 解 当1<x <4时，f ′(x )>0，可知f (x )在此区间内单调递增； 当x >4，或x <1时， f ′(x )<0，可知f (x )在这两个区间内单调递减；当x ＝4，或x ＝1时，f ′(x )＝0，这两点比较特殊，我们称它们为“临界点”． 综上，函数f (x )图象的大致形状如图所示．反思与感悟 本题具有一定的开放性，图象不唯一，只要能抓住问题的本质，即在相应区间上的单调性符合题意就可以了．跟踪训练1 函数y ＝f (x )的图象如图所示，试画出导函数f ′(x )图象的大致形状．解 f ′(x )图象的大致形状如下图：注：图象形状不唯一． 例2 求下列函数的单调区间：(1)f (x )＝2x 3＋3x 2－36x ＋1；(2)f (x )＝sin x －x (0<x <π)； (3)f (x )＝3x 2－2ln x ；(4)f (x )＝3tx －x 3单调递减区间是(－3,2)．(2)f ′(x )＝cos x －1≤0恒成立，故函数f (x )的单调递减区间为(0，π) (3)函数的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝6x －2x ＝2·3x 2－1x .令f ′(x )>0，即2·3x 2－1x >0，解得－33<x <0或x >33.又∵x >0，∴x >33.令f ′(x )<0，即2·3x 2－1x<0，解得x <－33或0<x <33.又∵x >0，∴0<x <33. ∴f (x )的单调递增区间为(33，＋∞)，单调递减区间为(0，33)． (4)f ′(x )＝3t －3x 2.令f ′(x )≥0时，得3t －3x 2≥0，即t ≥x 2，∴当t ≤0时，无解；当t >0时，函数的单调递增区间是[－t ，t ]． 令f ′(x )≤0时，得3t －3x 2≤0，即t ≤x 2， 当t ≤0时，f ′(x )≤0恒成立，函数的单调递减区间是(－∞，＋∞)；当t >0时，函数的单调递减区间是(－∞，－t ]，[t ，＋∞)．综上所述，当t ≤0时，函数的单调减区间是(－∞，＋∞)，无单调增区间；当t >0时，函数的单调增区间是[－t ，t ]，单调减区间是(－∞，－t ]，[t ，＋∞)． 反思与感悟 求函数的单调区间的具体步骤是(1)优先确定f (x )的定义域；(2)计算导数f ′(x )；(3)解f ′(x )>0和f ′(x )<0；(4)定义域内满足f ′(x )>0的区间为增区间，定义域内满足f ′(x )<0的区间为减区间． 跟踪训练2 求下列函数的单调区间： (1)f (x )＝x 2－ln x ；(2)f (x )＝x 3－x 2－x .又∵x >0，∴x >22，∴函数f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫22，＋∞； 由f ′(x )<0得x <－22或0<x <22，又∵x >0，∴0<x <22， ∴函数f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫0，22. (2)f ′(x )＝3x 2－2x －1＝(3x ＋1)(x －1)．由f ′(x )>0得x <－13或x >1；由f ′(x )<0得－13<x <1，故函数f (x )的单调递增区间为(－∞，－13)和(1，＋∞)，单调递减区间为(－13，1)．探究点二 函数的变化快慢与导数的关系思考 我们知道导数的符号反映函数y ＝f (x )的增减情况，怎样反映函数y ＝f (x )增减的快慢呢？能否从导数的角度解释变化的快慢呢？例3如图，水以恒速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图象．解(1)→B，(2)→A，(3)→D，(4)→C.反思与感悟通过函数图象，不仅可以看出函数的增减，还可以看出函数增减的快慢．从导数的角度研究了函数的单调性及增减快慢后，我们就能根据函数图象大致画出导函数的图象，反之也可行．跟踪训练3已知f′(x)是f(x)的导函数，f′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象只可能是()【答案】 D（三）当堂达标1．函数f (x )＝x ＋ln x 在(0,6)上是( )A ．单调增函数B ．单调减函数C ．在⎝⎛⎭⎫0，1e 上是减函数，在⎝⎛⎭⎫1e ，6上是增函数 D ．在⎝⎛⎭⎫0，1e 上是增函数，在⎝⎛⎭⎫1e ，6上是减函数 【答案】 A【解析】 ∵f ′(x )＝1＋1x>0，∴函数在(0,6)上单调递增．2．f ′(x )是函数y ＝f (x )的导函数，若y ＝f ′(x )的图象如图所示，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )【答案】 D【解析】 由导函数的图象可知，当x <0时，f ′(x )>0，即函数f (x )为增函数；当0<x <2时，f ′(x )<0，即f (x )为减函数；当x >2时，f ′(x )>0，即函数f (x )为增函数．观察选项易知D 正确．3．命题甲：对任意x ∈(a ，b )，有f ′(x )>0；命题乙：f (x )在(a ，b )内是单调递增的．则甲是乙的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】 A【解析】 f (x )＝x 3在(－1,1)内是单调递增的，但f ′(x )＝3x 2≥0(－1<x <1)，故甲是乙的充分不必要条件，选A.4．函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间是( )．A ．(0,1)B ．(0,1)∪(－∞，－1)C ．(－∞，1)D ．(－∞，＋∞)【答案】 A5．已知函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象经过点P (0,2)，且在点M (－1，f (－1))处的切线方程为 6x －y ＋7＝0.(1)求函数y ＝f (x )的解析式； (2)求函数y ＝f (x )的单调区间．【解析】 (1)由y ＝f (x )的图象经过点P (0,2)，知d ＝2， ∴f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋2，f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c .由在点M (－1，f (－1))处的切线方程为6x －y ＋7＝0， 知－6－f (－1)＋7＝0，即f (－1)＝1，f ′(－1)＝6.∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3－2b ＋c ＝6－1＋b －c ＋2＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧2b －c ＝－3b －c ＝0.解得b ＝c ＝－3. 故所求的解析式是f (x )＝x 3－3x 2－3x ＋2.(2)f ′(x )＝3x 2－6x －3.令f ′(x )>0，得x <1－2或x >1＋2；令f ′(x )<0，得1－2<x <1＋ 2.故f (x )＝x 3－3x 2－3x ＋2的单调递增区间为(－∞，1－2)和(1＋2，＋∞)，单调递减区间为(1－2，1＋2)． 6．设函数f (x )＝x 3－3ax 2＋3bx 的图象与直线12x ＋y －1＝0相切于点(1，－11)． (1)求a 、b 的值；(2)讨论函数f (x )的单调性．(2)由a ＝1，b ＝－3得f ′(x )＝3x 2－6ax ＋3b ＝3(x 2－2x －3)＝3(x ＋1)(x －3)． 令f ′(x )>0，解得x <－1或x >3；又令f ′(x ) <0，解得－1<x <3. 所以当x ∈(－∞，－1)时，f (x )是增函数；当x ∈(3，＋∞)时，f (x )也是增函数；当x ∈(－1,3)时，f (x )是减函数． 五、小结。
《导数在研究函数中的应用》说课稿
《导数在研究函数中的应用》说课稿一、教材分析1教材的地位和作用“函数的单调性和导数”这节新知在教材是选修2—1，本节计划两个课时完成。
作为高三总复习课首先明确考纲的要求了解函数的单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性；会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）。
在高考中常利用导数研究函数的单调性，并求单调区间、极值、最值、以及利用导数解决生活中的优化问题。
其中利用导数判断单调性起着基础性的作用，形成初步的知识体系，培养学生掌握一定的分析问题和解决问题的能力。
激发学生独立思考和创新的意识，让学生有创新的机会，充分体验成功的喜悦，开发了学生的自我潜能。
2教学内容本节课的主要教学内容是导数在研究函数中的应用（1）—函数的单调性与导数。
在练习解二次不等式、含参数二次不等式的问题后，结合导数的几何意义回忆函数的单调性与函数的关系。
例题精讲强化函数单调性的判断方法，例题的选择有梯度，由无参数的一般问题转化为解关于导函数的不等式，再解关于含参数的问题，最后提出函数单调性与导数关系逆推成立。
培养学生数形结合思想、转化思想、分类讨论的数学思想。
3教学目标（一）知识与技能目标：1、能探索并应用函数的单调性与导数的关系求单调区间；2、能解决含参数函数的单调性问题以及函数单调性与导数关系逆推。
（二）过程与方法目标：1、通过本节的学习，掌握用导数研究函数单调性的方法。
2、培养学生的观察、比较、分析、概括的能力，数形结合思想、转化思想、分类讨论的数学思想。
（三）情感、态度与价值观目标：1、通过在教学过程中让学生多动手、多观察、勤思考、善总结，2、培养学生的探索精神，渗透辩证唯物主义的方法论和认识论教育。
4教学重点，难点利用导数研究函数的单调性、求函数的单调区间。
教学难点：探求含参数函数的单调性的问题。
二、教法分析针对本知识点在高考中的地位、作用，以及学生前期预备基础，应注重理解函数单调性与导数的关系，进行合理的推理，引导学生明确求可导函数单调区间的一般步骤和方法，无参数的一般问题转化为解关于导函数的不等式。
导数的应用说课稿
《导数的几何惡义》说课隔《导数在研究函数中的应用一一导数与单调性》说课稿各位评委，大家好！我今天说课的内容是高三的一节复习课，是人教版选修2-2第一章第三节《导数在研究函数中的应用》，用于高三第一轮复习。
我的说课分为以下几个部分：教材分析、学情分析、教学方法、教学过程、说预期效果五个方而来说课。
一、教材分析导数是髙中数学的新增内容，是进一步学习数学和其他自然科学的基础，是现代化科学技术研究必不可少的工具。
因此，高考中常将导数与向量、不等式、集合一样作为工具与英他知识相综合考査。
是高考命题的热点内容之一。
导数主要分为导数的概念、导数的运算、导数的应用三部分。
在高考中常利用导数研究函数的单调性，并求单调区间、极值、最值、以及利用导数解决生活中的优化问题。
其中利用导数判断单调性起着基础性的作用。
因此学习好本石内容，能加深学生对函数性质的理解, 进一步体会数形结合、分类讨论、函数与方程的数学思想，而且能在高考中起到四两拨千金的作用。
二、教学目标1、知识与技能目标（1）能探索并应用函数的单调性与导数的关系求单调区间：（2）能解决含参数函数的单调性问题以及函数单调性与导数关系逆推。
2、过程与方法目标（1）通过本节的学习、掌握用导数研究函数单调性的方法：（2）培养学生的观察、比较、分析、概括的能力，数形结合思想、转化思想、分类讨论的数学思想。
3、情感、态度与价值观目标（1）通过在教学过程中上学生多动手、多观察、勤思考、善总结；（2）培养学生的探索精神，感受成功的体验。
三、教学重难点教学重点：利用导数研究函数的单调性、求函数的单调区间。
教学难点：探求含参函数的单调性的问题。
四、学情分析本课是高考的热点并且知识点较多，但难度并不是很大，经过扎实的训练我校学生是可以在高考中得分的。
但是我校学生在解方程、解不等式方而的运算能力较弱，并且对导数的概念和导数的几何意义理的理解有因难，所以复习用导数研究有关函数问题时,在课题引入、复习和练习中鼓励学生参与，要让学生亲自体验发现知识、应用知识的快乐，增强学生的学习主动性和有效性。
《导数在研究函数中的应用》说课稿
《导数在研究函数中的应用》说课稿一、说教材1．说背景：导数及其应用这一章复习内容分为4节和一个专题，第一节导数的概念几何意义及运算；第二节导数在研究函数中的运用；第三节导数的综合应用；第四节定积分。
专题是导数的工具性质作用值研究。
第一节复习结束，今天进入第二节。
2．说本课的地位和作用导数是高中数学新增内容，它在解决数学问题中起到工具的作用，其地位十分重要。
在近年来年的安徽高考题都必涉及这个知识点。
导数主要用来解决与函数相关的一类问题，难度较大，涉及面广，如在研究函数单调性，讨论函数图象的变化趋势、求极值和最值、不等式恒成立等。
运用导数解决这类问题能化繁为简，起事半功倍的作用。
二、说教学目标1.知识与技能：通过本节课的学习让学生进一步巩固利用导数解决与函数有关问题的意识。
并要掌握以下三个方面：第一：导数与函数单调性的关系，会求函数单调区间及参数取值范围。
第二：导数与函数的极值、极值与最值的关系，会求函数的极值，最值及参数范围。
第三：综合考查，将导数内容和传统内容，函数的单调性、不等式的恒成立相结合，提高学生分析问题解决问题的能力。
2.教学方法：多媒体教学与诱导法，作为复习课学生提前准备，在教学过程中与学生进行互动式教学3.情感、态度、价值观：通过本节学习让学生体会数学的理性、严谨及数与形的和谐统一美三、说重点与难点及突破方法教学重点：导数在解决函数有关问题的应用教学难点：分类讨论的思想，转化的思想与数形结合的思想的运用在分析例题时，引导学生抓住重点，突破难点，提高分析问题和解决问题的能力，并要形成一定的经验，理解并掌握针对此类题目的常规解题思路。
本节课设计了三道例题，重点都放在导数在解决函数有关问题的应用上。
转化与数形结合的思想相辅，化难为简。
四、说学情：本节内容是高考的热点并且知识点较多，所以学生容易在知识点掌握不全和理解不清的情况下会出现一些错误。
由于学生个体的差异，他们对知识的掌握和理解肯定存在差距，毕竟这些知识学生已有一定的基础，在复习和练习中鼓励学生参与，要让学生亲自体验到学习的成就感，增强其学习的主动性，有效提高学习效果。
高中数学《导数在研究函数中的应用-函数的单调性与导数》教案
1.3.1函数的单调性与导数（一）一、教学目标：了解可导函数的单调性与其导数的关系.掌握利用导数判断函数单调性的方法.二、教学重点：利用导数判断一个函数在其定义区间内的单调性.教学难点：判断复合函数的单调区间及应用；利用导数的符号判断函数的单调性.三、教学过程（一）复习引入1．增函数、减函数的定义一般地，设函数f(x) 的定义域为I：如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是增函数．当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说 f(x) 在这个区间上是减函数．2．函数的单调性如果函数y＝f(x) 在某个区间是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x) 在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做y＝f(x) 的单调区间．在单调区间上增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的．例1讨论函数y＝x2－4x＋3的单调性．解：取x1＜x2，x1、x2∈R，取值f(x1)－f(x2)＝(x12－4x1+3)－(x22－4x2+3) 作差＝(x1－x2)(x1＋x2－4) 变形当x1＜x2＜2时，x1＋x2－4＜0，f(x1)＞f(x2)，定号∴y＝f(x)在(－∞, 2)单调递减．判断当2＜x1＜x2时， x1＋x2－4＞0，f(x1)＜f(x2)，∴y＝f(x)在(2, ＋∞)单调递增．综上所述y＝f(x)在(－∞, 2)单调递减，y＝f(x)在(2, ＋∞)单调递增。
能否利用导数的符号来判断函数单调性？一般地，设函数y ＝f (x )在某个区间内可导，如果f (x )'＞0，则f (x )为增函数； 如果f (x )'＜0，则f (x )为减函数． 例2．教材P24面的例1。
例3．确定函数f(x)＝x 2－2x ＋4在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数． 解： f(x)'＝2x －2．令2x －2＞0，解得x ＞1．因此，当x ∈(1, +∞)时，f (x )是增函数． 令2x －2＜0，解得x ＜1．因此，当x ∈(－∞, 1)时，f (x )是减函数．例4．确定函数f (x )＝2x 3－6x 2＋7在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数． 解：f (x )'＝6x 2－12x ．令6x 2－12x ＞0，解得x ＜0或x ＞2．因此，当x ∈(－∞, 0)时，函数f(x)是增函数，当x ∈(2, ＋∞)时，f (x )也是增函数． 令6x 2－12x ＜0，解得0＜x ＜2．因此，当x ∈(0, 2)时，f (x )是减函数． 利用导数确定函数的单调性的步骤： (1) 确定函数f (x )的定义域； (2) 求出函数的导数；(3) 解不等式f '(x )＞0，得函数的单调递增区间；解不等式f '(x )＜0，得函数的单调递减区间．练习1：教材P24面的例2 利用导数的符号来判断函数单调性: 设函数y ＝f (x )在某个区间内可导(1)如果f '(x )＞0 ，则f (x )为严格增函数； (2)如果f '(x )＜0 ，则f (x )为严格减函数． 思考：（1）若f '(x )＞0是f (x )在此区间上为增函数的什么条件？若f '(x )＞0是f (x )在此区间上为增函数的充分而非必要条件．例如 f (x )＝x 3，当x =0，f'(x )=0，x ≠0时，f'(x )>0，函数f (x )＝x 3在(－∞,＋∞)上是增函数．（2）若f '(x ) ＝0在某个区间内恒成立，f (x )是什么函数？若某个区间内恒有f '(x )＝0，则f (x )为常数函数．练习2. 教科书P.26练习(1)（三）课堂小结1．判断函数的单调性的方法； 2．导数与单调性的关系； 3．证明单调性的方法. （四）作业《习案》作业七。
函数单调性与导数说课稿
（三）新课讲解
1、函数的单调性与导数正负的关系 、 （1）观察： ）观察： （2）问题： ）问题：
o y o h v o a y b
t
y
a y
b
t
（3）分组讨论四种函数图形： ）分组讨论四种函数图形： x x
o
o
x
o
x
（4）再观察图 由教师对一般情况作出归纳总结 ） 观察图3由教师对一般情况作出归纳总结
二、教学目标
1、知识与技能： 知识与技能： （1）要求学生会用导数的正负判断函数的单调性； 要求学生会用导数的正负判断函数的单调性； （2）会求不超过三次的多项式函数的单调区间。 会求不超过三次的多项式函数的单调区间。 2、过程与方法： 、过程与方法： （1）利用图象为结论提供直观支持，把函数的解析表示 利用图象为结论提供直观支持， 与图象有机地结合 （2）学会由图形——性质 学会由图形 性质——一般性的数学思维，把它 一般性的数学思维， 性质 一般性的数学思维 应用到数学乃至其它学科，切身体会一叶知秋的深意！ 应用到数学乃至其它学科，切身体会一叶知秋的深意！ 3、情感与价值观： 、情感与价值观： （1）增强对数学的好奇心与求知欲 （2）培养学生勇于探索善于发现的创新思想。 返回 培养学生勇于探索善于发现的创新思想。
三、教学的重点与难点
1、 重点：函数的单调性与导数正负的关系； 、 重点：函数的单调性与导数正负的关系； 2、难点： 、难点： （1）利用导数在图形中探究函数的单调性，准确判断 ）利用导数在图形中探究函数的单调性， 不同函数的单调区间。 不同函数的单调区间。 （2）根据已知导数信息画出函数的大致形状。 ）根据已知导数信息画出函数的大致形状。
六、教学过程
（一）复习导入 问题： 问题： 导数 f (x ) 在 x = x 0 时与在 ( x0 , y0 ) 点的切线有什 么关系？ 么关系？
部编《导数在研究函数单调性中的应用》说课稿课件
通过探究函数图象的升降与导数的正负之间的关系，得出可用导数判断函
数单调性的结论与方法，这一过程中蕴含着数形结合的思想。利用函数的导数
及其运算，将判断函数的单调性这一复杂问题，转化为步骤明确的运算问题，
这又蕴含了重要的算法思想。用导数研究函数的单调性，对于培养学生利用函
数模型描述客观事物的变化规律、解决优化等实际问题有着非常重要的意义，
(2)如果函数f(x)在区间I是从左到右上升的，那么f(x)在区间I上是是单调递增的。
（3）如果对于区间I内的任意两个值x1,x2,当x1<x2 时，都有f(x1)<f(x2),则f(x)在区间I上是单调递增的。
追问1：用定义法判断函数单调性的步骤？
（1）在给定区间内任取x1，x2，x1<x2;（2）作差f(x1)-f(x2);（3）变形;（4）判断符号;（5）下结论。
b
(2)
问题:我们看到，函数的单调性与导数的正负有内在联系。那么，能否由函数导数的正负
来判断函数的单调性呢？
v
h
追问1：对于高台跳水问题，是否有下列结论？
在区间（0，a）上，
>0 ，函数h(t)在（0，a）上单调递增
在区间（a，b）上，
<0 ，函数h(t)在（a,b）上单调递减
t
O
a
b
t
O
a
(1)
从起跳到最高点，及从最高点到入水这两段时间，运动员离水面的高度发生什么变化？
v
h
追问：你能从上述两个图形中发现函数的单调性与函数导
数的正负有什么关系？
t
O
a
b
在区间（a，b）上，h(t)是单调递减的，相应的v(t)=h´ (t)<0
导数在研究函数中的应用单调性教案
导数在研究函数中的应用——单调性教学目标：①能探索并应用函数的单调性与导数的关系；②求一些简单的非初等函数的单调区间；③能由函数的单调性绘制函数图象．教学重点：利用导数研究函数的单调性，会求一些简单的非初等函数的单调区间．教学难点：导数与单调性之间的联系，利用导数绘制函数的大致图象．教学设计：一、问题情境问题一 求函数342+-=x x y 的单调区间．问题二 判断或证明函数的单调性常用方法有那些？问题三 你能确定函数762)(23+-=x x x f 的单调区间吗？问题四 除了单调性是对函数变化趋势（上升或下降的陡峭程度）的刻画，还有什么知识也刻画了函数变化的趋势？设计意图：以问题形式复习相关的旧知识，同时引出新问题：三次函数或非初等函数判断单调性，在用定义法、图象法很不方便时，如何思考、化未知为已知，让学生积极主动地参与到学习中来．二、数学建构问题五 能不能利用导数研究函数的单调性呢？问题六 导数与单调性有何联系？如何寻找？导数与函数的单调性的关系一般地， 对于函数y ＝f （x ），如果在某区间上f ′(x )＞0，那么f （x ）为该区间上的增函数；如果在某区间上f ′(x )＜0，那么f （x ）为该区间上的减函数．设计意图：通过观察、猜想到归纳、总结，让学生体验知识的发现、发生过程，变灌注知识为学生主动获取知识，从而使之成为课堂教学活动的主体．三、数学应用例1.确定下列函数的单调区间：（1）x x y ln -= （2）xx y ln =（3）x xe y =总结利用导数讨论函数单调性的步骤：①求函数的定义域；②求函数f (x )的导数f ′(x )；③令f ′(x )＞0解不等式，得x 的范围就是递增区间.令f ′(x )＜0解不等式，得x 的范围，就是递减区间.④书写答案注意连接词.问题六 确定函数762)(23+-=x x x f 的单调区间，并作出草图.问题七 画出下列函数的草图①71862)(23++-=x x x x f ②7662)(23++-=x x x x f设计意图：通过具有开放性问题的设计，可以拓展学生思维，有利于学生对函数单调性与导数关系的更深层次的理解，进一步培养学生作函数图象与使用数形结合解决问题的意识．课后思考题 ①求函数xa x y +=)(R a ∈的单调区间. ②画出3x y =的图象，试问导函数0)(>'x f 是函数)(x f y =单调递增的 的条件.设计意图：这个问题是个难点，课上如果讲是讲不透的，课后让学生思考，可以有足够的时间去理解．另外，在给定函数下思考，可以使得问题的针对性更强，否则学生不知如何入手．对由已知单调增（减）的导数应该大于（小于）或等于零这个结论，只要让学生通过实例感受到为什么，在以后的使用中不漏解即可，而不必要做理论上的论证．四、课堂小结；通过本节课的学习，你学到了哪些新知识？能解决哪些问题？本节课我们用到了哪些数学思想方法？设计意图：通过小结，培养学生学习——总结——反思的良好习惯，使学习更上一个台阶．五、课堂练习1.确定下列函数的单调区间（1）2x x y -= （2）3x y -=2.讨论函数的单调性（1）b kx y += （2）xk y =（3）)0(2≠++=a c bx ax y 3.用导数证明：（1）x e x f =)(在区间()+∞∞-,上是增函数； （2）x e x f x-=)(在区间()0,∞-上是减函数.。
函数的单调性与导数 说课稿 教案 教学设计
4.教学情境设计
问题
设计意图
师生活动
备注
（1）回顾函数的单调性与其导函数的正负的关系。
（1）让学生认识到判断函数的单调性，就是判断导函数的正负，
（2）让学生产生进一步学习的需求，即如何利用函数的单调性证明不等式。
组织学生复习回顾。
此问题的设计基于学生在学习了函数的单调性与其导函数的正负的关系后的复习。
迁移的基础是两个问题具有共同的特征。
（7）证明不等式
ex≥x+1
(1)使学生更进一步熟练构造函数，证明不等式的方法。
（2）体会指数函数与一次函数的交汇。
（3）体会曲线的切线。
教师引导，学生证明。引导学生认识不等式的代数特征与几何特征。
数形结合是数学中的重要方法。
（8）不等式ex≥x+1还有那些变形？它与不等式lnx≤x-1有什么内在的联系？
导数在研究函数中应用——构造函数，证明不等式
1.教学任务分析
本节课的中心任务是利用导数工具证明函数不等式，通过本节课的教学，使学生形成两方面的能力：
（1）借助函数图象，直观认识函数不等式。
（2）会构造恰当的函数，通过判断函数的单调性已及函数的极值，证明不等式。
2.教学重点、难点
构造具体的函数，利用导数工具，求函数的单调区间及极值，证明不等式。
注意对学生的个别指导
（10）归纳小结
教师引导学生从以下几个方面进行归纳小结：
（1）证明函数不等式问题，可转化为判断函数的单调性问题。
（2）构造函数，证明不等式时，一定要注意函数的定义域。
（3）研究问题的步骤--------提出问题、寻求想法、确定想法、实施操作、发现规律。
（4）数形结合的数学思想方法。
高中数学《导数在研究函数中应用函数单调性与导数》教案2新人教A版选修22
函数的单调性与导数〔二〕一、教学目标：了解可导函数的单调性与其导数的关系.掌握利用导数判断函数单调性的方法.二、教学重点：利用导数判断一个函数在其定义区间内的单调性.教学难点：判断复合函数的单调区间及应用；利用导数的符号判断函数的单调性.三、教学过程⑴〔一〕复习1．确定以下函数的单调区间：y＝x3－9x2＋24x；⑵y＝x－x3．〔4〕f(x)＝2x3－9x2＋12x－32．讨论二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的单调区间．3．在区间(a, b)内f'(x)＞0是f (x)在(a,b)内单调递增的A．充分而不必要条件 B ．必要但不充分条件C．充要条件 D ．既不充分也不必要条件( A)〔二〕举例例1．求以下函数的单调区间(1) f (x)＝x－lnx(x＞0)；(2)(log(3x2)x(3)3(2x1)(1x)2〔4〕f(x)ln(3xb)〔b>0〕〔5〕判断f(x)lg(xx2)的单调性。
分三种方法：〔定义法〕〔复合函数〕〔导数〕例2．〔1〕求函数y1x31(aa2)x2a3xa2的单调减区间.2〔2〕讨论函数f(x)bx(11,b0)的单调性.x2〔3〕)a–+1x+1)，≥–)的单调设函数=x()ln(其中1，求区间.a〔1〕解：y′=2–(a+a2)x+a3=(x–a)(x–a2)，令y′＜0得(x–a)(x–a2)＜0.〔1〕当a＜0时，不等式解集为a＜x＜a2此时函数的单调减区间为(a,a 2)；〔2〕当0＜a＜1时，不等式解集为a2＜x＜a此时函数的单调减区间为(a2,a)；3〕当a＞1时，不等式解集为a＜x＜a2此时函数的单调减区间为(a,a2)；4〕a=0，a=1时，y′≥0此时，无减区间.综上所述：当a＜0或a＞1时的函数y1x3aa2)x2a3xa2的单调减区间为(a,a2)；3当0＜a＜1时的函数y 112322a)；x(aa)xax的单调减区间为(a,32当a=0，a=1时，无减区间.〔2〕解：∵f(x)bxbx f(x)，∴f(x)在定义域上是奇函数.(x)21x21在这里，只需讨论f(x)在(0,1)上的单调性即可.当0＜x＜1时，f′(x)=b(xbx21x(x21)bx22x21=bx22(x21)2(x21)2(x21)2假设b＞0，那么有f ′(x)＜0，∴函数fx)在(0,1)上是单调递减的；假设b＜0，那么有f ′(x)＞0，∴函数fx)在(0,1)上是单调递增的.由于奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性，从而有如下结论：当b＞0时，函数f(x)在(–1,1)上是单调递减的；当b＜0时，函数f(x)在(–1,1)上是单调递增的.〔3〕解：由得函数f(x)的定义域为(–1,+∞)，且f(x)ax1(a≥–1).x1〔1〕当–1≤a≤0时，f′(x)＜0，函f(x)在(–1,+∞)上单调递减.1〔2〕当a＞0时，由f′(x)=0，解得x.a′(x)、f(x)随x的变化情况如下表：x(1,1)1(1, )a a af′(x)–0+f(x)↘极小值↗从上表可知，当x∈(1,1a)时，f ′(x)＜0，函数f(x)在(1,1)上单调递减a.当x ∈( 1, a )时，f′(x)＞0，函数f(x)在(1,a)上单调递增.综上所述，当–1≤a≤0时，函数f(x)在(–1,+∞)上单调递减；当a＞0时，函数f(x)在(1,1)上单调递减，函数a f(x)在(1,a)上单调递增.作业：?习案?作业八。
函数的单调性与导数(说课)
05 课程总结
本节课的收获
01
理解了函数的单调性与导数的关系
通过本节课的学习，学生们能够理解函数的单调性与其导数之间的关系，
掌握利用导数判断函数单调性的方法。
02
掌握了求导的基本法则
学生们学会了使用求导的基本法则，如链式法则、乘积法则、商的求导
法则等，能够熟练地求出函数的导数。
03
增强了数学思维能力
04 导数与函数的单调性
导数与单调性的关系
01
02
03
导数大于零
函数在该区间内单调递增。
导数小于零
函数在该区间内单调递减。
导数等于零
函数可能存在拐点或极值 点。
单调性判定定理的应用
判断函数单调性
通过求导数并分析导数的 正负来判断函数的单调性。
确定极值点
通过导数为零的点来确定 可能的极值点，并结合单 调性判断是否为极值点。
通过本节课的学习，学生们不仅掌握了相关的数学知识，更重要的是培
养了他们的数学思维能力，如逻辑推理、抽象思维和归纳演绎等。
课程中的不足与改进
部分学生对于求导法则的运用还不够熟练
在练习过程中，发现部分学生对于求导法则的运用还不够熟练，需要在课后加强练习和巩固。
部分学生对单调性与导数的关系理解不够深入
在讨论单调性与导数的关系时，发现部分学生对其理解不够深入，需要在后续课程中加强这方面的讲解和练习。
详细描述
基本初等函数的导数公式包括指数函数、对数函数、幂函数、三角函数和反三 角函数的导数。复合函数的导数法则涉及到内外函数的导数计算，以及链式法 则的应用。
导数的几何意义
总结词
导数的几何意义是函数图像在某一点处的切线斜率。
高中数学《导数在研究函数中的应用1.3.1单调性》说课稿
普通高中课程标准实验教科书数学选修2-2
1.3.1单调性
尊敬的各位领导、专家：大家好！
我是来自某中学的某。
我向大家汇报的内容是《导数在研究函数中的应用1.3.1单调性》。
这节内容来自于普通高中课程标准实验教科书《数学选修2-2》第一章第1节。
下面我从：教学理念与追求、教材分析与定位、教学过程与反思三大方面进行汇报。
一、教学理念与追求
我们南通中学毕业的著名校友数学家杨乐和李大潜院士推崇这样的数学理念：让抽象成为一种意识，让探究成为一种习惯，让回归成为一种理念。
我力求把这样的理念渗透在这节课的教学设计中。
数学源于生活，我们要用数学的眼光认识世界，用数学知识分析问题、解决问题，这就要求我们让抽象成为一种意识，这节课问题发现的过程中处处体现着这种抽象的意识。
在导数与函数单调性关系的探究与发现过程中，我们经历了三个阶段的探究历程：第一阶段从实际问题中猜想发现，第二阶段通过具体函数验证猜想；第三阶段回归定义，揭示本质。
数学问题的发现过程，我们始终注重回归数学的本真和科学思维能力的培养，这将是我们不懈的追求。
二、教材分析与定位
1. 教材分析
（1）导数这个概念是高等数学的基本概念，又是中学阶段数学学习的一个主干知识，它是进一步学习数学和其他自然科学的基础，更是研究函数相关性质的重要工具之一。
（2）单调性作为函数的主要性质之一，主要用来刻画图象的变化趋势，在必修1的学习中定义了单调性，并且在学习幂指对及三角函数时，能够借助于函数图象特征和单调性的定义来研究函数的单调性.
（3）这节课我们是在学习了导数的平均变化率、瞬时变化率、导数的定义。
导数说课稿
（一）教材的地位与作用“函数的单调性与导数”这节课是高中数学选修2—2第一章1.3“导数在研究函数中的应用”第一小节的内容。
利用导数来研究函数的单调性是非常具有优越性与可比性的，而且也会涉及到最值等问题，具有良好的承上启下的作用。
导数是学习高等数学的基础，作为解决数学问题的一种工具，它为高中数学注入了新的活力。
导数方法的基础工具性作用，凸现了它在整个教材和高考中的重要地位，在近几年的高考中都把它作为重点内容进行考查．（一）教学方法本节课我采用观察发现、启发引导相结合的教学方法，在教学中我通过创设问题情境，启发引导学生运用科学的思维方法进行自主探索。
将学生的独立思考、自主探究、交流讨论等探究活动贯穿于课堂活动的全过程，突出学生的主体地位。
（二）学法指导学生通过观察、分析、探究的方法概括出函数的单调性与导数的关系。
以问题形式复习相关的旧知识，同时引出新问题：要判断三次函数的单调性，用定义法、图象法很不方便，有没有捷径？通过创设问题情境，使学生产生强烈的问题意识和求知欲望，积极主动地参与到学习中来我对具体例子进行动态演示，学生通过观察，探究函数单调性与导数的关系，这样不仅能使学生直观地来探究问题，而且可以增加学生的学习兴趣。
这部分主要是通过学生的观察，分组讨论的方法进行。
让学生体验知识的发现、发生过程，变灌注知识为学生主动获取知识，从而使之成为课堂教学活动的主体。
这部分主要是通过学生的观察，分组讨论的方法进行。
让学生体验知识的发现、发生过程，变灌注知识为学生主动获取知识，从而使之成为课堂教学活动的主体。
这部分主要是在老师的引导下，通过同学们的讨论和类比总结出函数单调性与导数的关系。
我想这样不但可以培养学生的归纳总结能力和学生的合作意识，而且可以增加学生之间的感情。
通过这两道例题的讲解，不仅加强了学生对结论的理解与记忆，而且由例2可以引导学生得出用导数法求函数单调区间的一般步骤选用了此高考题可以进一步加强学生对用“导数法”求函数单调区间的掌握。
《导数在研究函数中的应用—函数的单调性与导数》说课稿
《导数在研究函数中的应用—函数的单调性与导数》说课稿一、教材分析1教材的地位和作用“函数的单调性和导数”这节新知在教材是选修2—1，本节计划两个课时完成。
作为高三总复习课首先明确考纲的要求了解函数的单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性；会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）。
在高考中常利用导数研究函数的单调性，并求单调区间、极值、最值、以及利用导数解决生活中的优化问题。
其中利用导数判断单调性起着基础性的作用，形成初步的知识体系，培养学生掌握一定的分析问题和解决问题的能力。
激发学生独立思考和创新的意识，让学生有创新的机会，充分体验成功的喜悦，开发了学生的自我潜能。
2教学内容本节课的主要教学内容是导数在研究函数中的应用（1）—函数的单调性与导数。
在练习解二次不等式、含参数二次不等式的问题后，结合导数的几何意义回忆函数的单调性与函数的关系。
例题精讲强化函数单调性的判断方法，例题的选择有梯度，由无参数的一般问题转化为解关于导函数的不等式，再解关于含参数的问题，最后提出函数单调性与导数关系逆推成立。
培养学生数形结合思想、转化思想、分类讨论的数学思想。
3教学目标（一）知识与技能目标：1、能探索并应用函数的单调性与导数的关系求单调区间；2、能解决含参数函数的单调性问题以及函数单调性与导数关系逆推。
（二）过程与方法目标：1、通过本节的学习，掌握用导数研究函数单调性的方法。
2、培养学生的观察、比较、分析、概括的能力，数形结合思想、转化思想、分类讨论的数学思想。
（三）情感、态度与价值观目标：1、通过在教学过程中让学生多动手、多观察、勤思考、善总结，2、培养学生的探索精神，渗透辩证唯物主义的方法论和认识论教育。
4教学重点，难点教学重点：利用导数研究函数的单调性、求函数的单调区间。
探求含参数函数的单调性的问题。
二、教法分析1“ 以”, 针对本知识点在高考中的地位、作用，以及学生前期预备基础，应注重理解函数单调性与导数的关系，进行合理的推理，引导学生明确求可导函数单调区间的一般步骤和方法，无参数的一般问题转化为解关于导函数的不等式。
导数在研究函数中应用-单调性教案
课题：导数在研究函数中的应用—单调性教材：苏教版 选修2-2 1.3.1导数在研究函数中的应用第1课时单调性1.教学目标：(1)知识与技能：了解函数单调性与导数的关系,会求不超过3次的多项式函数的单调区间.(2)过程与方法：通过初等方法与导数方法在研究函数过程中的比较，体会导数方法在研究函数性质中的一般性与有效性，同时感受和体会数学自身发展的一般规律.(3)情感、态度与价值观：使学生对变量数学的思想方法有新的感悟，进一步发展学生的思维能力、应用意识，促进学生全面认识数学价值，体会数学的广泛应用！2.教学重点：利用导数研究函数的单调性.教学难点：引导学生发现函数的单调性与其导数的关系.3.教学方法：本节课采用以问题为主线引发学生数学思维活动，探索概念并加以完善和应用.教学手段：运用多媒体辅助教学.4.教学过程：（一）课前导入，巩固已学方法概念，点明课题问题1：我们刚刚经过二十四节气的大雪，那下一个节气是什么？冬至：俗话说‘夏至短，冬至长’，所以，冬至这一天白昼时间最短，夜的时间最长，从冬至起，夜间变短，白天变长。
师点明课题：函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，刻画函数变化趋势的知识就是函数的单调性，这节课我就和同学们一起来再研究函数的单调性（板书：单调性）问题2：我们已学过的函数有哪些？教师从中选取几个，并列表呈现出来： y x =，2y x =，1y x=，ln y x = 问题3：已学过哪些确定函数单调区间的方法？问题4：函数单调性的定义内容是什么？（学生活动：思考，并回答）设计意图：引导学生复习巩固已学过的函数以及确定函数单调区间的方法、函数单调性的定义——刻画函数变化趋势的本质和理论依据！（二）创设情境，引出问题.问题1：你能确定函数：3y x x =-，ln x y x=的单调区间吗？ （学生活动：利用定义法和图像法去尝试！）教师点明：这些简单函数通过四则运算构造出的函数拓宽了我们研究的范围，但是已有的研究函数单调性方法呈现了局限性，看来我们要寻找—新的解决方法！设计意图：奥苏贝尔认为，有意义的学习需要把学生的学习建立在已有的学习经验基础上，本节课的情境设置着眼于学生最近发展区，以学生熟悉的函数通过简单的四则运算组合出新函数去研究单调性，制造强烈认知冲突，从而引发学生积极思考，体现了用导数研究函数单调性的必要性，同时也让学生感受数学自身发展的一般规律。
导数在研究函数中的应用 精品教案
《导数在研究函数中的应用》【教材分析】导数及其应用内容分为三部分：1.函数的单调性与导数2.函数的极值与导数3函数的最值与导数。
在“利用导数判断函数的单调性”中介绍了利用求导的方法来判断函数的单调性；在“利用导数研究函数的极值”中介绍了利用函数的导数求极值和最值的方法。
【考纲解读】1.了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间。
2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件，会用导数求函数的极值，会求闭区间上函数的最值。
3.会利用导数解决某些实际问题。
【教学目标】1.能熟练应用导数的几何意义求解切线方程2.掌握利用导数知识研究函数的单调性及解决一些恒成立问题【教学重点】理解并掌握利用导数知识研究函数的单调性及解决一些恒成立问题【教学难点】原函数和导函数的图像“互译”，解决一些恒成立问题【学 法】本节课是在学习了导数的概念、运算、导数的应用的基础上来进行小结复习，学生已经了解了一些解题的基本思想和方法，应用导数的基本知识来解决实际问题对学生来说应该不会很陌生，所以对本节的学习应让学生能够多参与、多思考，培养他们的分析解决问题和解决问题的能力，提高应用所学知识的能力。
在课堂教学中，应该把以教师为中心转向以学生为中心，把学生自身的发展置于教育的中心位置，为学生创设宽容的课堂气氛，帮助学生确定适当的学习目标和达到目标的最佳途径,指导学生形成良好的学习习惯、掌握学习策略和发展原认知能力,激发学生的学习动机，培养学习兴趣，充分调动学生的学习积极性,倡导学生采用自主、合作、探究的方式学习。
【教 法】数学是一门培养人的思维、发展人的思维的重要学科，本节课的内容是导数的应用的复习课，所以应让学生多参与，让其自主探究分析问题、解决问题，尝试归纳总结，然后由老师启发、总结、提炼，升华为分析和解决问题的能力。
【授课类型】复习课【教学过程】一、要点梳理温馨提醒：若函数y ＝f (x )在(a ，b )内单调递增，则f ′(x )≥0,而f ′(x )>0是y ＝f (x )1．函数的单调性与导数在区间(a ，b )内,函数的单调性与其导数的正负有如下的关系: 如果__________，那么函数y ＝f (x )在这个区间单调递增;如果____________，那么函数y ＝f (x )在这个区间单调递减; f ′(x )＞0 f ′(x )＜0在(a ，b )内单调递增的充分不必要条件．2．函数的极值与导数函数y ＝f (x )在点x ＝a 的函数值f (a )比它在点x ＝a 附近其他点的函数值都小，f ′(a )＝0；而且在点x ＝a 附近的左侧___f ′(x )＜0_______，右侧__ f ′(x )>0_____，则点a 叫做函数y ＝f (x )的__极小值点___，f (a )叫函数y ＝f (x )的极小值．函数y ＝f (x )在点x ＝b 的函数值f (b )比它在点x ＝b 附近其他点的函数值都大，f ′(b )＝0；而且在点x ＝b 附近的左侧__ f ′(x )>0_____，右侧___f ′(x )＜0_______，则点b 叫做函数y ＝f (x )的极大值点，f (b )叫函数y ＝f (x )的极大值．极大值点、极小值点统称为极值点，极大值、极小值统称为极值．温馨提醒：导数为0的点不一定是极值点，只有在该点两侧导数的符号相反，即函数在该点两侧的单调性相反时，该 点 才是函数的极值点，另一方面，极值点处的导数 也不一定 为0,还要考察函数在该点处的导数是否存在．3．函数的最值与导数假设函数y ＝f(x)在闭区间[a ，b]上的图象是一条_连续不间断的曲线，则该函数在[a ，b]上一定能够取得最大值与最小值．若函数在(a ，b)内是可导 的，该函数的 最 值必在极值点或区间端点处取得．温馨提醒：最值与极值的区别与联系：(1)“极值”是个局部概念，是一些较邻近的点之间的函数值 大小的比较，具有相对性；“最值”是个整体概念，是整个 定 义域上的最大值和最小值，具有绝对性．(2)最值和极值都不一定存在，若存在，函数在其定义域上 的最值是唯一的，而极值不一定唯一．二、课前热身1．(2012·高考陕西卷)设函数f (x )＝x e x ，则( )A ．x ＝1为f (x )的极大值点B ．x ＝1为f (x )的极小值点C ．x ＝－1为f (x )的极大值点D ．x ＝－1为f (x )的极小值点2．(2012·高考辽宁卷)函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间为( ) A ．(－1，1] B ．(0，1]C ．[1，＋∞)D ．(0，＋∞)3．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处有极值10，则f (2)等于( )A ．11或18B ．11C ．18D ．17或184．函数f (x )＝x 33＋x 2－3x －4在[0，2]上的最小值是________． 5．已知a ＞0，函数f (x )＝x 3－ax 在[1，＋∞)上是单调增函数，则a 的最大值是________． 答案:1.D; 2.B; 3.C; 4.－173 5.3 三、例题讲解考点一：利用导数研究函数的单调性例1、已知函数f (x )＝4x 3＋3tx 2－6t 2x ＋t －1，x ∈R ，其中t ∈R.(1)当t ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程；(2)当t >0时，求f (x )的单调区间．【解】(1)当t ＝1时，f (x )＝4x 3＋3x 2－6x ，f (0)＝0，f ′(x )＝12x 2＋6x －6，f ′(0)＝－6.所以曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝－6x .(2)f ′(x )＝12x 2＋6tx －6t 2.令f ′(x )＝0，解得x ＝－t 或x ＝t 2. 方法感悟：(1)导数法证明函数f (x )在(a ，b )内的单调性的步骤：①求f ′(x )；②确认f ′(x )在(a ，b )内的符号；③作出结论：f ′(x )＞0时为增函数；f ′(x )＜0时为减函数．(2)导数法求函数单调区间的一般步骤：①确定函数f (x )的定义域；②求导数f ′(x )；③在函数f (x )的定义域内解不等式f ′(x )＞0和f ′(x )＜0；④根据(3)的结果确定函数f (x )的单调区间．考点二：由函数的单调性求参数的取值范围因为t >0，则－t <t 2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以f (x )的单调递增区间是(－∞，－t )，⎝⎛⎭⎫t 2，＋∞；f (x )的单调递减区间是⎝⎛⎭⎫－t ，t 2.例2、(2014·安徽合肥市质量检测)已知函数f (x )的图象与函数h (x )＝x ＋1x＋2的图象关于点A (0，1)对称．(1)求f (x )的解析式；(2)若g (x )＝x 2·[f (x )－a ]，且g (x )在区间[1，2]上为增函数，求实数a 的取值范围．【解】(1)设f (x )图象上任一点的坐标为P (x ，y )，点P 关于点A(0，1)的对称点P ′(－x ，2－y )在h (x )的图象上，∴2－y ＝－x ＋1－x＋2， ∴y ＝x ＋1x ，即f (x )＝x ＋1x. (2)g (x )＝x 2·[f (x )－a ]＝x 3－ax 2＋x ，方法感悟：函数单调性确定参数范围的方法：(1)利用集合间的包含关系处理：y ＝f (x )在(a ，b )上单调，则区间(a ，b )是相应单调区间的子集．(2)转化为不等式的恒成立问题，即“若函数单调递增，则f ′(x )≥0；若函数单调递减，则f ′(x )≤0”来求解．考点三：利用导数研究函数的极值(最值)例3、(2013·高考福建卷)已知函数f (x )＝x －a ln x (a ∈R)．(1)当a ＝2时，求曲线y ＝f (x )在点A (1，f (1))处的切线方程；(2)求函数f (x )的极值．【解】函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1－a x. (1)当a ＝2时，f (x )＝x －2ln x ，f ′(x )＝1－2x(x >0)， 因而f (1)＝1，f ′(1)＝－1，所以曲线y ＝f (x )在点A(1，f (1))处的切线方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0. 又g (x )在区间[1，2]上为增函数，∴g ′(x )＝3x 2－2ax ＋1≥0在[1，2]上恒成立，即2a ≤3x ＋1x 对任意的x ∈[1，2]恒成立． 注意到函数r (x )＝3x ＋1x 在[1，2]上单调递增， 故r (x )min ＝r (1)＝4. 于是2a ≤4，a ≤2.即实数a 的取值范围是(－∞，2]．(2)由f′(x)＝1－ax＝x－ax，x>0知：①当a≤0时，f′(x)>0，函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，函数f(x)无极值；②当a>0时，由f′(x)＝0，解得x＝a.又当x∈(0，a)时，f′(x)<0；当x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，从而函数f(x)在x＝a处取得极小值，且极小值为f(a)＝a－a ln a，无极大值．综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；当a>0时,函数f(x)在x＝a处取得极小值a－a ln a,无极大值.方法感悟：(1)求函数f(x)极值的步骤：①确定函数的定义域；②求导数f′(x)；③解方程f′(x)＝0，求出函数定义域内的所有根；④列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧值的符号，如果左正右负，那么f(x)在x0处取极大值，如果左负右正，那么f(x)在x0处取极小值．(2)求函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤：①求函数在(a，b)内的极值；②求函数在区间端点的函数值f(a)，f(b)；③将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．【课堂小结】1.函数的单调性与导数2.函数的极值与导数3函数的最值与导数【布置作业】练习册60练 p19【板书设计】课题一、要点梳理三、例题讲解二、课前热身四、课堂小结【教学反思】以题目引导教学，让学生先有所思，思有所获，获有所感。
函数的单调性与导数(说课)正式
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REPORTING
• 引言 • 函数的单调性 • 导数的概念与性质 • 导数与函数的单调性 • 教学方法与手段 • 教学评价与反馈 • 结语
目录
PART 01
引言
REPORTING
WENKU DESIGN
主题简介
• 函数的单调性与导数是微积分中的重要概念，它们在数学、物 理、工程等领域有着广泛的应用。单调性描述了函数值随自变 量变化的趋势，而导数则是函数值变化率的量度。理解并掌握 这两个概念对于提高学生的数学素养和解决实际问题具有重要 意义。
单调性的判定定理
定理一
如果函数$f(x)$在区间$I$上可导，且 在$I$上$f'(x) > 0$，则$f(x)$在$I$上 单调增；如果$f'(x) < 0$，则$f(x)$在 $I$上单调减。
定理二
如果函数$f(x)$在区间$I$上连续，且 在$I$上存在导数，那么函数在区间 $I$上单调的充要条件是其一阶导数在 $I$上不改变符号。
单调性的应用实例
应用一
求函数的极值点。根据单调性定理，如果函数在某点的导数为零且该点两侧的导数符号相 反，则该点为函数的极值点。
应用二
研究函数的图像。通过判断函数的单调性，可以大致描绘出函数的图像变化趋势，从而更 好地理解函数的性质。
应用三
解决实际问题。例如，在经济学中，通过研究需求函数或供给函数的单调性，可以分析市 场价格的变动趋势；在物理学中，通过研究速度函数或加速度函数的单调性，可以分析物 体的运动状态。
教学目标
01
02
03
04
1. 理解函数单调性的定义和 判定方法。
函数的单调性与导数说课教师教材
通过情景和问题激发学生的兴趣，在合作交 流中体验探索的乐趣与成功的喜悦，从而养 成实事求是态度和合作精神
青苗辅导
6
教材学情 教学目标 教法学法 教学过程 教学评价
三、教法学法
教启
法
发 诱
导
(
创设情境 引导探索 鼓励运用
自主探究
(
观察发现
学
探 索
合作交流 法
青苗辅导
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教材学情 教学目标 教法学法 教学过程 教学评价
问题2: 对于一般的函数是否具有此特征？
青苗辅导
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教材学情 教学目标 教法学法 教学过程 教学评价
请完成下表，思考函数的单调性与导数的正负有什么关系
函数及图象
单调性
导数的正负
y=x 在R上单调递增
y=x2
y=x3
y=
11 xx
在R上导数是正的
说课流程
教教 教 教 教
材学 析学
情目
法 学
学 过
学 评
分标 法 程 价
青苗辅导
1
教材学情 教学目标 教法学法 教学过程 教学评价
一、教材学情分析
1 教材地位与作用
2
学情分析
3 教学重点难点
青苗辅导
2
教材学情 教学目标 教法学法 教学过程 教学评价
1、教材地位与作用
本节课选自人教版选修2-2第一章1.3《导数在研究函数中 的应用》第一小节，本节的教学内容属于导数的应用，是在学 生学习了导数的概念、计算、几何意义的基础上学习的内容， 学好它既可加深对导数的理解，又可为后面研究函数的极值和 最值打好基础。因此它在本章起承上启下的作用 。
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《导数在研究函数中的应用—函数的单调性与导数》说课稿周国会一、教材分析1教材的地位和作用“函数的单调性和导数”这节新知识是在教材选修1—1，第三章《导数及其应用》的函数的单调性与导数.本节计划两个课时完成。
在练习解二次不等式、含参数二次不等式的问题后，结合导数的几何意义回忆函数的单调性与函数的关系。
例题精讲强化函数单调性的判断方法，例题的选择有梯度，由无参数的一般问题转化为解关于导函数的不等式，再解关于含参数的问题，最后提出函数单调性与导数关系逆推成立。
培养学生数形结合思想、转化思想、分类讨论的数学思想。
能利用导数研究函数的单调性；会求函数的单调区间.在高考中常利用导数研究函数的单调性，并求单调区间、极值、最值、以及利用导数解决生活中的优化问题。
其中利用导数判断单调性起着基础性的作用，形成初步的知识体系，培养学生掌握一定的分析问题和解决问题的能力。
（一）知识与技能目标：1、能探索并应用函数的单调性与导数的关系求单调区间；2、能解决含参数函数的单调性问题以及函数单调性与导数关系逆推。
（二）过程与方法目标：1、通过本节的学习，掌握用导数研究函数单调性的方法。
2、培养学生的观察、比较、分析、概括的能力，数形结合思想、转化思想、分类讨论的数学思想。
（三）情感、态度与价值观目标：1、通过在教学过程中让学生多动手、多观察、勤思考、善总结，2、培养学生的探索精神，渗透辩证唯物主义的方法论和认识论教育。
激发学生独立思考和创新的意识，让学生有创新的机会，充分体验成功的喜悦，开发了学生的自我潜能。
（四）教学重点，难点教学重点：利用导数研究函数的单调性、求函数的单调区间。
教学难点：探求含参数函数的单调性的问题。
二、教法分析针对本知识点在高考中的地位、作用，以及学生前期预备基础，应注重理解函数单调性与导数的关系，进行合理的推理，引导学生明确求可导函数单调区间的一般步骤和方法，无参数的一般问题转化为解关于导函数的不等式。
解关于含参数的问题，注意分类讨论点的确认，灵活应用已知函数的单调性求参数的取值范围。
采用启发式教学，强调数形结合思想、转化思想、分类讨论的数学思想的应用，培养学生的探究精神，提高语言表达和概括能力，提高学生提出问题、分析问题、解决问题的能力，形成良好的思维品质。
启发诱导、研究探讨、类比联想、总结反思、学会应用、发展潜能、形成能力、提高素质。
同时给予存在着数学学科基础知识较为薄弱，对数学学习有一定的困难学生激励性评价调动参与的积极性，“面向全体学生”等教学思想，贯穿于课堂教学之中。
三、学法指导教师是教学的主导，学生是教学的主体。
教学矛盾的主要方面是学生的学。
学是中心，会学是目的。
因此，在教学中要不断指导学生学会学习。
学生经过会考复习对基本初等函数掌握较扎实，前面复习了函数的单调性的基本概念，判断方法、导数的概念，以及导数的计算，为综合应用导数与函数单调性作好充分的准备。
但学生学习基础还存在较大的分化，应抓住基本概念，强化基础知识、基本技能、基本方法的训练，循序渐进的提高，因此在引入和例题上注重梯度、注重类比、注重数学思想。
增加了学生主动参与的机会，增强了参与意识，教给学生获取知识的途径；思考问题的方法。
使学生真正成为教学的主体。
也只有这样做，才能使学生“学”有新“思”，“思”有所“得”，“练”有所“获”。
学生才会逐步感到数学美，体会成功的喜悦，从而提高学生学习数学的兴趣；也只有这样做，才能适应素质教育下培养“创新型”人才的需要。
四、教学流程【教学过程】一．回顾与思考1、判断函数的单调性有哪些方法？比如判断y=x 2的单调性，如何进行？（分别用定义法、图像法完成）2、如果遇到函数：y=x 3-3x 判断单调性呢？还有其他方法吗？二．新知探究 函数的单调性与导数之间的关系【情景引入】函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型，研究函数时，了解函数的增与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的．通过研究函数的这些性质，我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解．函数的单调性与函数的导数一样都是反映函数变化情况的，那么函数的单调性与函数的导数是否有着某种内在的联系呢?【思考】 如图（1），它表示跳水运动中高度h 随时间t 变化的函数2() 4.9 6.510h t t t =-++的图像，图（2）表示高台跳水运动员的速度v 随时间t 变化的函数'()()9.8 6.5v t h t t ==-+的图像．运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？【引导】 随着时间的变化，运动员离水面的高度的变化有什么趋势？是逐渐增大还是逐步减小？【探究】通过观察图像，我们可以发现：（1）运动员从起点到最高点，离水面的高度h随时间t的增加而增加，即()h t是增函数．相应地，'=>．v t h t()()0（2）从最高点到入水，运动员离水面的高h随时间t的增加而减少，即()h t是减函数．相应地，'=<．v t h t()()0【思考】导数的几何意义是函数在该点处的切线的斜率，函数图象上每个点处的切线的斜率都是变化的，那么函数的单调性与导数有什么关系呢？【引导】可先分析函数的单调性与导数的符号之间的关系.提出问题2：上例得出的结果是不是具有一般性？【设计意图】新课标强调，要“加强几何直观，重视图形在数学学习中的作用，鼓励学生借助直观进行思考。
”所以，我在此处让学生借助几何直观理解函数的单调性与导数的关系，并用几何画板动态演示，有效促进了学生探索问题的本质。
（三）追踪成果深入探究为突破本节课的难点,我通过继续举例,引导学生进一步探究：探讨：函数的单调性与其导函数正负的关系，进一步引导学生经历从具体实例揭示数学本质的过程，鼓励学生发现数学的规律和解决问题的途径，使他们经历知识的形成过程。
通过学案，展示学生的探究成果： 函数y=f(x) ()y f x '=导函数的正负y=x(,)()____0x f x '∈-∞+∞时， 函数y=f(x)单调 2y x = (,0)()____0x f x '∈-∞时，函数y=f(x)单调(0,)()____0x f x '∈+∞时， 函数y=f(x)单调3y x = (,0)()____0x f x '∈-∞时， 函数y=f(x)单调(0,)()____0x f x '∈+∞时， 函数y=f(x)单调1y x = (,0)()____0x f x '∈-∞时，函数y=f(x)单调 (0,)()____0x f x '∈+∞时， 函数y=f(x)单调 对所展示的学生成果予以及时的鼓励和肯定。
递减，那么 .【思考】函数在某个点处的导数值与函数在该点处的单调性是怎样的关系？【探究】如图，导数'0()f x 表示函数()f x 在点00(,)x y 处的切线的斜率．在0x x =处，'0()0f x >，切线是“ ”式的，这时，函数()f x 在0x 附近单调 ；在1x x =处，'0()0f x <，切线是“ ”式的，这时，函数()f x 在1x 附近单调 ．【设计意图】上述探究所得结论将是后面利用导数求函数单调区间的理论依据，重要性不言而喻。
而学生只学习了导数的意义和一些基本运算，要想得到严格的证明不现实。
因此，我采用由易到难，逐步过渡的教学策略，让学生进一步直观观察，并借助几何画板动态演示，分析问题的本质。
（四）归纳结论 揭示本质经历上述探究之后，将学生分成6小组，进行讨论交流，揭示函数的单调性与导数的本质关系，让小组派代表归纳结论。
对回答问题的学生进行及时鼓励。
在此基础上，我和学生共同完善结论，并板书结论：函数的单调性与其导函数正负的关系：在某个区间(a ，b )内，若f ' (x)>0，则f(x)在(a ，b )上是增函数；若f ' (x)<0，则在f(x)(a ，b )上是减函数.若0)(='x f ，则为 常数函数（与y 轴平行）强调正确理解“某个区间”的含义，它必须是在定义域内的某个区间。
考虑到本节课堂容量较大，这里没有提到函数在个别点处导数为零不影响单调性的情况（如y=x 3在x=0处），这一问题将在第二课时探究。
（二）例题精讲例1.判断下列函数的单调性，并求出单调区间：232(1)()23;(2)()231;(3)()sin ,(0,).f x x x f x x x f x x x x π=--=--=-∈【设计意图】求单调区间是导数的一个重要应用，也是本节重点.通过例1（1），引导学生得出用导数法求单调区间的解题步骤，并给学生示范； 通过例1（2），让学生在黑板解答，进一步规范解题步骤；通过例1（3），回答本节刚开始提出的问题，解决学生的疑惑.体会用导数解决函数单调性时的有效性、优越性.练习23)()1(23--=x x x f （2）x x x f ln )(⋅=分析：（1）学生动手解题，得出单调区间；（2）学生分析求可导函数单调区间的一般步骤和方法：①确定定义域； ②求)(x f '、令0)(=x f 得实根；③间断点与根分区间；④确定各开区间的符号，得出结论。
（3）提出可否直接解关于导函数的不等式，列出、解出。
例1．已知导函数f ' (x)的下列信息：当3<x<5时，f ' (x)<0；当x<3或x>5时，f ' (x)>0；当x=3或x=2时，f ' (x)=0.试画出函数 f ( x )图象的大致形状.【设计意图】应用所学，使具体知识形成方法和技能。
鼓励学生先自己动手，培养学生积极主动的学习态度.再通过教师示范，培养学生良好的作图习惯.对于学生在分析过程中出现的问题，及时指正.本题是一道开放性的题目，学生的答案也许图象可能向“内”弯曲，可能向“外”弯曲，也可能是条直线. 举典例进行说明：左图是折线图，右图是平滑的曲线，追问：两种做法是否都行呢？解决办法：让学生回顾前面所学习，导数为零的点的附近图象应该几乎没有升降变化，而“折点”附近图象升降变化很大，让学生再次动手操作，得到正确图如上，右图.例题2、求函数1)(23+-=mx x x f 的单调减区间。
分析：（1）学生观察题目，发现与上例不同之处？如何解决？（2）学生解题得出结果；（3）反思：解关于含参数的导函数问题，应对参数进行讨论（抓住“讨论点”以及其完整性）。
（三）课堂小结：导数与单调性的关系影响到后面函数与极值、最值的求法，对后续学习有着重要地位，再次强调掌握：（1）利用导数研究函数的单调性的步骤，并与不等式、不等式的解法相结合，注重对参数x的讨论;（2) 函数单调性与导数关系的充要性；（3）本节课用到的数学思想方法：数形结合、分类讨论、转化思想以及分离变量的方法。