初中数学用几何图示法解代数问题 学法指导
用图示法解决代数问题
用图示法解决代数问题代数问题在初中数学中占据重要的地位，学生们常常感到困惑和无从下手。
然而，通过运用图示法，我们可以更加直观地理解和解决这些问题。
本文将通过几个例子，向中学生和他们的父母展示如何用图示法解决代数问题。
例子一：线性方程假设我们有一个线性方程：2x + 3 = 7。
我们可以通过图示法来解决这个方程。
首先，我们可以画一条代表x的直线，然后在y轴上标出常数项3和7。
接下来，我们需要找到这两个点的交点，即解决方程的解。
通过观察图示，我们可以发现交点的x坐标为2，因此解为x = 2。
通过这个例子，我们可以看到图示法可以帮助我们更好地理解线性方程的解决过程。
学生们可以通过画图的方式更加直观地理解方程的意义和解的含义。
例子二：二次方程现在让我们来看一个稍微复杂一些的例子：x^2 + 2x - 3 = 0。
同样地，我们可以通过图示法来解决这个二次方程。
首先，我们可以画一条代表x的直线，并在y 轴上标出常数项-3。
然后，我们需要找到这个二次方程的解，即交点的x坐标。
通过观察图示，我们可以发现交点的x坐标分别为1和-3，因此解为x = 1和x = -3。
通过这个例子，我们可以看到图示法在解决二次方程时的作用。
通过画图，学生们可以更好地理解二次方程的解的个数和位置。
例子三：比例问题除了解决方程，图示法还可以用于解决比例问题。
假设我们有一个比例问题：如果5个苹果需要10分钟煮熟，那么15个苹果需要多长时间煮熟？我们可以通过图示法来解决这个问题。
首先，我们可以画一条代表苹果数量的直线，并在时间轴上标出10分钟。
然后，我们需要找到15个苹果所对应的时间。
通过观察图示，我们可以发现15个苹果所对应的时间为30分钟。
通过这个例子，我们可以看到图示法在解决比例问题时的作用。
通过画图，学生们可以更好地理解比例的关系和计算方法。
总结起来，图示法是解决代数问题的一种有力工具。
通过画图，我们可以更加直观地理解和解决各种代数问题，无论是线性方程、二次方程还是比例问题。
初三数学解决几何问题的基本方法与技巧
初三数学解决几何问题的基本方法与技巧在初中数学学习中，几何问题一直是学生们较为头疼的一个部分。
而对于初三学生而言，解决几何问题是他们需要掌握的基本技巧之一。
本文将介绍初三数学解决几何问题的基本方法与技巧，帮助学生们更好地应对几何问题。
一、画图是解决几何问题的关键在解决几何问题时，画图是非常重要的一步。
通过将问题抽象为图形，我们可以更直观地理解并分析问题，为接下来的解答提供便利。
在画图时，我们需要注意以下几点技巧：1. 选择合适的坐标系：根据题目的要求与条件，选择合适的坐标系能够更好地理解问题的几何性质。
2. 使用适当的标记：通过标记线段、角度等几何元素，能够更清晰地表达问题中的条件与要求。
3. 勾勒主要形状：将问题所给的图形重点勾勒出来，有助于我们更好地理解问题并进行分析。
二、掌握常见几何定理解决几何问题需要熟练掌握一些常见的几何定理，下面是一些常见的几何定理与技巧：1. 直角三角形与勾股定理：通过勾股定理，可以计算直角三角形中缺失的边长，帮助我们求解问题。
2. 平行线定理与转角定理：在解决平行线问题时，我们需要掌握平行线定理与转角定理，辅助我们分析线段之间的关系。
3. 相似三角形：通过相似三角形的性质，我们可以利用已知条件求解未知的边长比例或角度大小。
4. 圆的性质：掌握圆的切线、弦、弧等性质，可以帮助我们理解并解决与圆相关的几何问题。
三、运用代数方法解决几何问题在解决几何问题时，我们有时可以运用代数方法辅助求解。
例如，通过引入未知量并建立方程，我们可以将几何问题转化为代数问题，并通过代数运算解决。
在运用代数方法时，需要注意以下几点：1. 合理引入未知量：在建立方程时，引入合适的未知量能够使问题得到更好的解决。
2. 建立等式方程：根据问题所给的条件，建立等式方程，然后解方程，找到未知量的值。
3. 检验结果：在得到代数解后，回到几何问题中检验结果的合理性，确保解答正确。
四、多做练习提高解决几何问题的能力最后，多做练习是提高解决几何问题的能力的重要途径。
中学数学教案：学习使用图形解决代数问题
中学数学教案：学习使用图形解决代数问题一、引言二、理论知识2.1 代数问题与图形解决方法的关系2.2 图形解决代数问题的基本步骤三、教学设计3.1 教学目标3.2 教学内容3.3 教学方法与策略3.4 教学步骤四、课堂实施4.1 教师指导与引导4.2 学生互动与合作4.3 个案分析与讨论五、教学反思六、课后作业与延伸阅读一、引言在中学数学教学中，代数问题在学生的学习中常常成为难点和痛点。
为了帮助学生更好地理解和解决代数问题，本教案旨在引导学生使用图形方法解决代数问题，提高学生的数学思维能力和问题解决能力。
二、理论知识2.1 代数问题与图形解决方法的关系代数问题是指用字母、符号和运算符号来描述数学问题的一种表示方法。
图形解决方法则是将代数问题转化为图形问题，并通过图形的性质和特点来解决。
图形解决方法能够直观地展示问题的本质以及问题之间的关系，有助于学生更好地理解和解决代数问题。
2.2 图形解决代数问题的基本步骤图形解决代数问题的基本步骤包括：理解问题、建立模型、确定变量、列方程、求解方程、验证答案。
首先，学生需要准确理解问题的含义和要求，明确问题的目标。
然后，学生通过建立适当的模型，将代数问题转化为图形问题，以便更直观地进行分析和解决。
接下来，学生需要确定适当的变量，并根据问题中的条件列出方程。
通过解方程，学生可以求得问题的解，并最后通过验证来确定解的正确性。
三、教学设计3.1 教学目标1. 理解代数问题与图形解决方法的关系，认识到图形解决方法的优势和应用价值。
2. 掌握图形解决代数问题的基本步骤，并能够独立运用这些步骤解决实际问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力、空间想象能力和问题解决能力。
3.2 教学内容1. 代数问题与图形解决方法的关系及应用示例。
2. 图形解决代数问题的基本步骤及其具体操作。
3.3 教学方法与策略1. 启发式教学法：通过提问、讨论和实例引导学生主动思考，激发学生的学习兴趣和求知欲。
解题技巧初中代数中的方程组求解方法
解题技巧初中代数中的方程组求解方法代数是数学的一个分支，探究了数与符号之间的关系。
方程组是代数中的一种重要的概念，它描述了多个方程同时满足的情况。
在初中代数学习中，掌握解题技巧对于解决方程组问题至关重要。
本文将介绍一些初中代数中的方程组求解方法，帮助同学们提高解题能力。
一、图解法图解法主要适用于二元一次方程组的求解。
我们可以将每个方程表示为一条直线，并通过观察这些直线的交点来找到方程组的解。
具体操作步骤如下：1. 将每个方程表示为直线的标准形式，如y = mx + c。
2. 根据直线的斜率和截距，画出每条直线。
3. 观察直线的交点，并确定方程组的解。
图解法的优点在于可以直观地理解方程组的解，但是当方程组较复杂或存在更多未知数时，图解法的可行性就受到限制。
二、代入法代入法是一种常用的求解方程组的方法，适用于解二元一次方程组。
其基本思想是通过将一个方程中的一个未知数表示为另一个方程的式子，并进行代入计算，从而求解方程组。
步骤如下：1. 选取一个方程，将其中一个未知数表示为其他方程中的式子（可以通过将未知数代入其他方程消去）。
2. 将代入后的式子代入另一个方程中，得到一个只含有一个未知数的方程。
3. 解这个含有一个未知数的方程，得到一个解。
4. 将该解代入任意一个方程，计算出另一个未知数的值。
代入法的优点在于简单易懂，适用范围较广，但是当方程组较复杂或存在更多未知数时，代入法的计算量会增大。
三、消元法消元法是一种常用的求解方程组的方法，适用于解二元一次方程组。
通过对方程进行加减、乘除等运算，可以将方程组化简为含有一个未知数的方程，并依次求解未知数。
步骤如下：1. 确定一个方程，使其系数或常数项的系数为1，并将该方程称为主方程。
2. 将主方程的某一个系数或常数项的系数的倒数与另一个方程相乘，并将结果代入另一个方程中，得到一个新的方程。
3. 将原方程组的所有方程通过操作2逐步化简为含有一个未知数的方程。
4. 解这个含有一个未知数的方程，得到一个解。
用几何图示法解代数问题
也谈用几何图示法解代数问题很多代数问题用纯代数知识来解答很繁琐，也很难解决。
因此，许多代数问题用几何图示法来解决非常容易，下面举几例进行探讨。
一、线段图示法例1、甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行，相遇时，甲车在已过中点15千米处，相遇后甲车再行89时到达B地，乙车又行了2时到达A地，求甲、乙两车每时各行多少千米？分析：行程问题有三个基本量：路程、速度、时间，且有基本关系：路程=速度×时间。
本题设甲车的速度为x千米/小时，乙车的速度为y千米/小时，由于同时出发到相遇时，甲车在已过（如图1）所示的线段AB中点M的15千米处C点，继续前进后，甲车行的距离为CB=89x千米，乙车行的距离为CA=2y千米。
因此，甲车开始行驶的距离BC的时间为yx89时所用时间相同，而M是AB的中点，即AM=BM，MC=15千米，则AM=2y－15，BM=89x+15，由图所示易知：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=-y x xy x y 8921589152，解这个方程组，得⎩⎨⎧==608011y x ，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=76078022y x ，经检验，⎩⎨⎧==608011y x ，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=76078022y x 都是原方程组的解，但⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=76078022y x 不合题意，舍去。
所以，甲车的速度为80千米/小时，乙车的速度为60千米/小时。
二、三角形图法法例2、已知正数x ，y 满足条件x+y=4，求1122++y x 的最小值。
分析：若直接求解，比较困难，但注意到所求式子的特点，则可构造直角三角形求解，就容易多了。
建立（如图2）所式的两个直角三角形。
由图3可知三角形面积关系：S △ABC =21BC ·AD=21AB ·ACsin ∠BAC.即21（x+y)×1=211122++y x sin ∠BAC ，∴1122++y x=BAC y x sin +=BACsin 4≥4. 可见，当且仅当∠BAC=90°，即sin ∠BAC=1时所求的式子有最小值4.三、矩形图示法例3、证明平方差公式a2－b2=(a+b)(a－b)分析：通过计算（图3）两个图形（阴影部分）的面积相等，验证平方差公式。
初中数学知识归纳几何题的解题思路与方法
初中数学知识归纳几何题的解题思路与方法几何题在初中数学中占据着重要的地位，它不仅考察了学生对几何概念的理解，还需要运用一些解题技巧和方法。
本文将从几何题的解题思路和方法两个方面进行阐述，希望能够帮助读者更好地理解和应对几何题。
一、几何题的解题思路解决几何题首先要理解题意，弄清楚题目中给出的条件和要求。
在这个过程中，我们需要运用数学知识进行分析和归纳。
下面是一些常见的解题思路：1. 图形识别法：通过观察题目中给出的图形，识别出可能与之相关的几何性质。
例如，如果题目中出现了平行线、垂直线、等腰三角形等关键词，可以进一步研究它们的性质，从而找到解题的线索。
2. 形状比较法：有时候题目中给出了多个图形，要求我们比较它们的大小、面积或者其他性质。
这时，我们可以通过计算或者直观的对比来找出它们之间的关系。
3. 数字推理法：一些几何题目中给出了具体的数字或者比例关系，我们可以根据这些信息进行推理。
例如，通过求解比例、利用勾股定理等方法来计算出未知的长度、角度等。
4. 分类讨论法：有些几何题目可能存在多种条件或者情况，我们可以根据题目中的关键信息进行分类讨论。
通过分别解决每一种情况，再综合得出最后的结论。
二、几何题的解题方法在掌握了解题思路后，我们还需要掌握一些具体的解题方法，这些方法是根据几何性质和常见的解题模式总结得出的。
下面是一些常见的解题方法：1. 几何性质运用：几何题目中常常涉及到点、线、面的性质。
因此，我们需要牢记一些常见的几何性质，如平行线的性质、垂直线的性质、等腰三角形的性质等。
这些性质在解题过程中起着重要的作用，可以帮助我们找到解题的线索。
2. 分割图形法：有时候题目中给出的图形比较复杂，我们可以通过分割图形来简化问题。
将复杂的图形分割为若干简单的几何形状，然后对每个简单的几何形状进行分析和运算，最后再综合得出最终的结论。
3. 利用相似性：在一些几何题中，图形之间存在相似性。
我们可以通过相似三角形的性质来求解未知的长度、角度等。
几何图形中函数解析式的求法(学法指导)
几何图形中函数解析式的求法(学法指导)几何图形中函数解析式的求法函数是初中数学的重要内容，也是初中数学和高中数学有相关联系的细节，在历年的中考试题中都占有重要的份量，而求函数的解析式则成为中考的热点。
求函数的解析式的方法是多种多样的，但是学生往往把思维固定在用“待定系数法”去求函数的解析式。
而使用待定系数法去求函数的解析式的大前提是必须根据题目的条件，选用恰当函数（如正、反比例函数，一次、二次函数）的表达式。
如果题目中能根据直接条件或间接条件给出函数的类型，当然是选用待定系数法求函数的解析式。
但我们发现，在几何图形中求函数解析式却成为初中数学考试的常见题、压轴题。
同时我们也发现，在几何图形中求函数解析式往往是无法确定所求函数的类型，因此用待定系数法进行解题是行不通的。
我们知道，函数的解析式也是等式，要建立函数解析式，关键是运用已知条件在几何图形中找出等量关系，列出以变量有关的等式。
下面以几个例子来探求在几何图形中建立函数解析式的常见类型和解题途径。
一、 用图形的面积公式确立等量关系例1、如图1，正方形ABCD 的边长为2，有一点P 在BC 上运动，设PB=x ，梯形APCD 的面积为y （1）求y 与x 的函数关系式；（2）如果S △ABP =S 体型APCD 请确定P 的位置。
分析：本题所给的变量y 是梯形的面积，因此可根据梯形面积公式B CADP图1即222)2(y y x =-+ 整理得1412+=x y在Rt ΔABC 中，∠B=90°，∠BAC=30°，AB=2 ， ∴BC=332 ，∴0<x <332。
于是1412+=x y (0<x <332)为所求的函数解析式。
(2)略二、 用平行线截线段成比例，利用比例式确立等量关系例4、如图4，在ΔABC 中，AB=8，AC=6，⊙O 是ΔABC 的外接圆，且BC 是直径，⊙O 与⊙O ’内切于点A ，与边AB 、AC 分别交于点D 、E 。
运用几何图形解决简单的代数方程
运用几何图形解决简单的代数方程代数方程是数学中一种常见的问题形式，通过运用几何图形的方法来解决代数方程问题，不仅可以提高问题的可视化程度，还可以帮助我们更好地理解和解决问题。
本文将通过几个简单的例子，探讨如何运用几何图形解决代数方程。
例一：解一元一次方程假设我们要解方程2x + 3 = 7，可以通过几何图形的方法来求解。
我们可以将该方程转化为一个几何问题：找到一条直线，使得直线上的点的横坐标乘以2再加上3的结果等于7。
我们可以将直线的横坐标设为x，纵坐标设为y，那么直线上的点可以表示为(x, y)。
根据题目要求，我们可以得到方程y = 2x + 3。
现在，我们可以画出这条直线的图形。
通过观察图形，我们可以发现直线与y轴的交点为(0, 3)，与x轴的交点为(2, 0)。
而题目要求的解即为直线与x轴的交点的横坐标，即x = 2。
通过几何图形的方法，我们成功地解决了一元一次方程2x + 3 = 7，得到了x =2的解。
例二：解一元二次方程接下来，我们来解决一个稍微复杂一些的问题，解一元二次方程x^2 - 4x + 3 = 0。
同样地，我们可以通过几何图形的方法来求解。
首先，我们可以将该方程转化为一个几何问题：找到一条抛物线，使得抛物线上的点的横坐标的平方再减去4倍横坐标再加上3的结果等于0。
我们可以将抛物线上的点表示为(x, y)。
根据题目要求，我们可以得到方程y = x^2 - 4x + 3。
现在，我们可以画出这条抛物线的图形。
通过观察图形，我们可以发现抛物线与x轴的交点为(1, 0)和(3, 0)。
而题目要求的解即为抛物线与x轴的交点的横坐标，即x = 1和x = 3。
通过几何图形的方法，我们成功地解决了一元二次方程x^2 - 4x + 3 = 0，得到了x = 1和x = 3的解。
例三：解多元方程组最后，我们来解决一个多元方程组的问题，解方程组2x + y = 5x - y = 1同样地，我们可以通过几何图形的方法来求解。
初中数学 数形结合验证代数恒等式学法指导
初中数学 数形结合 验证代数恒等式学法指导赵军数形结合思想就是将数（量）与形（图）结合起来解决问题的一种数学思想。
我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”，可见数形结合对解题的重要性。
如何从一个图形中挖掘提炼一个抽象的代数恒等式，用图形来展示代数式的几何意义，体现数形结合的思想呢？下面列举几例，供大家参考。
一、验证平方差公式例l. 从边长为a 的大正方形纸板中挖去一个边长为b 的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形（如图l －l ），然后拼成一个平行四边形（如图l －2）。
那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式为____________。
简析：从边长为a 的大正方形纸板中挖去一个边长为b 的小正方形，则图1-1阴影部分的面积为22b a -；每个等腰梯形的高为：2b a -；每个等腰梯形的面积为： 2b a 2a b -⨯+。
因为两个图形中阴影部分的面积相等 所以2b a 2b a 4b a 22-⨯+⨯=-， 所以验证成立的公式为：)b a )(b a (b a 22-+=-。
例2. 如图2，在边长为a 的正方形中剪去一个边长为b 的小正方形)b a (>，然后将阴影部分拼成一个长方形，分别计算这两个阴影部分的面积，验证的公式是__________。
简析：从边长为a 的正方形中剪去一个边长为b 的小正方形，则左图面积表示为22b a -；将阴影部分拼成一个长方形，则右图的面积表示为)b a )(b a (-+，因为这两个阴影部分的面积相等，所以)b a )(b a (b a 22-+=-，即验证的公式为：)b a )(b a (b a 22-+=-。
二、验证完全平方公式例3. 如图3，将边长为b a +的正方形分割成四个部分：两个边长分别为a 和b 的正方形、长为a 宽为b 的两个长方形，请你分别计算分割前和分割后的图形的面积，写出一个代数恒等式：___________。
利用图形解决代数问题
利用图形解决代数问题代数是数学中的重要分支，它涉及到各种数学概念和运算符号。
对于初中生来说，代数问题可能会让他们感到困惑和无从下手。
然而，通过利用图形，我们可以更加直观地理解和解决代数问题。
一、图形化代数方程在解决代数方程时，我们可以使用图形来帮助我们理解问题并找到解的方法。
例如，考虑以下方程：2x + 3 = 9我们可以通过绘制一条直线和一条水平线来解决这个方程。
首先，我们可以将方程转化为斜截式方程，即y = 2x + 3。
然后，我们可以绘制这条直线，并找到与水平线y = 9相交的点。
这个点的横坐标就是方程的解。
通过这种图形化的方法，我们可以更加直观地理解方程的解，并且可以通过观察图形来找到解的方法。
这对于初学代数的学生来说是非常有帮助的。
二、图形解决代数问题除了解决代数方程外，我们还可以利用图形来解决其他类型的代数问题。
例如，考虑以下问题：甲和乙两人的年龄之和是40岁，甲的年龄是乙的年龄的两倍。
请问甲和乙各是多少岁？我们可以通过绘制一个图形来解决这个问题。
我们可以设甲的年龄为x岁，乙的年龄为y岁。
根据题目中的条件，我们可以得到以下两个方程：x + y = 40x = 2y我们可以将这两个方程转化为直线的形式，并找到它们的交点。
这个交点的坐标就是甲和乙的年龄。
通过观察图形，我们可以很容易地找到交点的坐标，从而得到甲和乙的年龄。
通过这种图形化的方法，我们可以更加直观地解决代数问题，并且可以通过观察图形来找到问题的解决方法。
这对于初中生来说是非常有帮助的。
三、图形化解决复杂代数问题除了简单的代数问题外，我们还可以利用图形来解决更加复杂的代数问题。
例如，考虑以下问题：一个长方形的周长是24厘米，它的长度是宽度的3倍。
请问长方形的长度和宽度各是多少厘米？我们可以通过绘制一个图形来解决这个问题。
我们可以设长方形的长度为x厘米，宽度为y厘米。
根据题目中的条件，我们可以得到以下两个方程：2x + 2y = 24x = 3y我们可以将这两个方程转化为直线的形式，并找到它们的交点。
构造几何图形巧解代数问题
构造几何图形巧解代数问题
今天，越来越多的学生通过构造几何图形来解决代数问题。
几何图形的构造是一种灵活的数学技术，它可以帮助我们解决各种复杂的数学问题，特别是平面几何中的许多代数问题。
本文将讨论使用几何图形构造解决代数问题的优势和局限性，以及构造几何图形以解决代数问题的一般方法。
使用几何图形解决代数问题的优势很明显。
最重要的是，它有助于我们更好地理解和记住代数问题的解决过程。
求解代数问题时，学生可以藉由几何图形的构造来更好地理解每步操作。
另外，利用图形构建办法，学生可以更轻松地发现问题解决的可能性，以求得最终结果。
尽管构造几何图形解决代数问题有很多优势，但也存在一些局限性。
首先，学生必须掌握几何图形的构建方法，以使用几何图形解决数学问题。
其次，学生必须熟悉数学基础知识，有能力熟练使用数学符号和概念，才能够有效地利用几何图形来解决代数问题。
构造几何图形以解决代数问题有一般的方法，包括以下步骤。
首先，学生应了解问题的背景并熟悉和分析问题中所涉及的数学概念。
接下来，学生定义必要的几何图形，根据代数表达式在图形中构成特定的点。
随后，学生应该绘制数学表达式中出现的所有元素，如直线、圆等，以构建几何图形。
最后，学生利用几何图形来解决给定的问题，并可以得出结果。
总的来说，使用几何图形来解决代数问题是一种有效的方法，可
以更好地帮助学生掌握数学概念，促进学生对数学问题的解决理解。
因此，老师可以把构造几何图形来解决代数问题纳入学生的学习计划，以帮助学生更好地掌握数学知识，提升数学技能。
用几何图示法解代数问题
也谈用几何图示法解代数问题很多代数问题用纯代数知识来解答很繁琐，也很难解决。
因此，许多代数问题用几何图示法来解决非常容易，下面举几例进行探讨。
一、线段图示法例1、甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行，相遇时，甲车在已过中点15千米处，相遇后甲车再行89时到达B地，乙车又行了2时到达A地，求甲、乙两车每时各行多少千米？分析：行程问题有三个基本量：路程、速度、时间，且有基本关系：路程=速度×时间。
本题设甲车的速度为x千米/小时，乙车的速度为y千米/小时，由于同时出发到相遇时，甲车在已过（如图1）所示的线段AB中点M的15千米处C点，继续前进后，甲车行的距离为CB=89x千米，乙车行的距离为CA=2y千米。
因此，甲车开始行驶的距离BC的时间为yx89时所用时间相同，而M是AB的中点，即AM=BM，MC=15千米，则AM=2y－15，BM=89x+15，由图所示易知：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=-y x xy x y 8921589152，解这个方程组，得⎩⎨⎧==608011y x ，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=76078022y x ，经检验，⎩⎨⎧==608011y x ，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=76078022y x 都是原方程组的解，但⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=76078022y x 不合题意，舍去。
所以，甲车的速度为80千米/小时，乙车的速度为60千米/小时。
二、三角形图法法例2、已知正数x ，y 满足条件x+y=4，求1122++y x 的最小值。
分析：若直接求解，比较困难，但注意到所求式子的特点，则可构造直角三角形求解，就容易多了。
建立（如图2）所式的两个直角三角形。
由图3可知三角形面积关系：S △ABC =21BC ·AD=21AB ·ACsin ∠BAC.即21（x+y)×1=211122++y x sin ∠BAC ，∴1122++y x=BAC y x sin +=BACsin 4≥4. 可见，当且仅当∠BAC=90°，即sin ∠BAC=1时所求的式子有最小值4.三、矩形图示法例3、证明平方差公式a2－b2=(a+b)(a－b)分析：通过计算（图3）两个图形（阴影部分）的面积相等，验证平方差公式。
初中数学教案：学习代数和几何知识,提高数学问题解决能力和数学建模能力
初中数学教案：学习代数和几何知识，提高数学问题解决能力和数学建模能力一、引言近年来，随着教育领域的不断发展和变革，数学教育也逐渐加强了对学生数学问题解决能力和数学建模能力的培养。
作为初中数学教案，学习代数和几何知识是提升学生解决实际问题能力的关键环节。
本文将重点探讨如何通过教学设计来帮助初中生提高他们的数学问题解决能力和数学建模能力。
二、通过代数知识培养数学问题解决能力1. 基础知识概念的深入理解代数是数学中非常重要的一个分支，它研究使用字母表示未知量，并通过运算来探究其性质。
对于初中生而言，首先需要深入理解代数基础知识概念。
例如：方程式、变量、系数等。
（段落拆分）2. 解题思路与方法在教学过程中，我们应该注重培养学生对代数问题解题思路与方法的掌握。
通过示例引导，让他们意识到使用代数公式可以简化复杂的计算或问题求解过程。
同时，引导他们形成从已知条件到待求结论的逻辑思维能力。
3. 针对实际问题的运用代数知识可以帮助学生解决现实生活中的问题，从而提高他们的数学问题解决能力。
我们可以设计一些与实际紧密相关的示例或项目，让学生将代数知识运用到解决具体问题上。
例如：利用速度、时间和距离的关系计算旅行时间等。
三、通过几何知识培养数学建模能力1. 几何概念及属性的掌握初中阶段是几何知识掌握的重要时期。
教师应该注重培养学生对基本几何概念及其性质的理解。
例如：平行线、垂直线、角度等。
只有打牢了基础，才能在后续学习中更好地应用于模型建构与分析。
2. 规则图形拼凑和构造为了提高学生对几何图形拼凑和构造的能力，并增加他们对模型建立过程的理解，教师可以设计一些有趣且具有挑战性的任务。
例如：利用直尺和指南针来构造一个给定长度为5cm 的正方形。
（段落拆分）3. 实际问题的建模与解答几何知识不仅可以帮助学生解决几何问题，还可以在数学建模中发挥重要作用。
教师可以引导学生将几何知识运用到解决实际问题上，让他们理解数学模型在实际中的应用价值。
几何直观在初中代数中的表现形式及教学策略
摘要：直观想象是《新课标》中所提出的六大核心素养之一。
《新课标》给出的定义是：借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用空间形式特别是图形，理解和解决数学问题的素养。
以几何直观作为解决代数问题的手段，促进学生对于代数知识的理解程度，增加学生的直观想象力，因此本文将探讨其在初中代数教学中的应用。
关键词：初中数学几何直观代数教学一、几何直观在代数中的表现形式1.方形图（切割补充法）切割补充法即利用现有图形对其进行切割补充成为我们熟知的图形，这样就可以便于计算和理解。
任何一个数学概念、公式及其定理都能找到一个原型。
在《从面积到乘法公式》这一节中，教材利用了这一方法对乘法公式进行了直观的分析和推理。
培养学生能够采用割补的方法，丰富学生的想象力和空间构造能力。
例如：a2-b2=（a+b）（a-b）这一个式子中，学生可以画一个边长为a的正方形，再取其中边长为b的正方形。
可以观察到，大的正方形有两条边变成了a-b，可以割下一个长宽为（a-b）和b的小长方形，补到剩下的大长方形上，这样就很明显的能够观察到图形的变化，式子之间的关系也显而易见了。
2.数轴设计法数轴是数学教学中最重要的一个手段，在建立数轴时，数轴的三要素：原点、正方向、单位长度缺一不可。
数轴可以描述相反数、绝对值，在遇到这类方程时，可以利用数轴把式子用它表示出来。
利用这样的几何直观来解决复杂的方程式，会让问题简单化，学生更容易理解和解决问题。
例如求|x-1|+|x+2|+|x-3|+|x-5|的最小值，则在数轴上找到1、-2、3、5几个值。
求1、-2、3、5之间距离之和最小的值，我们可以发现从-2到5之间的距离是定值7，从1到3之间是定值2，此时它们之间的距离之和最小，所以3≥x≥1时有最小值，最小值是9。
3.函数图像函数图像是初中数学最核心部分[1]，有很多同学因为函数的难懂会对数学失去信心，所以函数图像的表示和应用就至关重要了。
借助函数图像，学生可以更加深入了解到函数的表达和解决方法，而不再是“闻面不识人”的现象。
用形解决方程和代数式问题
用形解决方程和代数式问题在数学领域里，方程和代数式问题是常见的挑战。
为了解决这些问题，数学家们常常采用各种形式的方法。
本文将介绍几种用形状解决方程和代数式问题的方法。
一、图形解方程1.1 正方形和矩形问题在解正方形和矩形问题时，可以通过构建几何图形来辅助求解。
例如，已知一个正方形的面积是16平方单位，我们可以设每条边的长度为x，那么面积就可以表示为x^2=16。
通过求解这个方程，我们可以得到x=4，从而确定了该正方形的边长为4。
1.2 三角形问题类似地，在解三角形问题时，可以通过绘制三角形的图形来帮助求解。
例如，已知一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，我们可以设斜边的长度为x，那么根据勾股定理可得到方程3^2+4^2=x^2。
通过求解这个方程，我们可以得到x=5，从而确定了该直角三角形的斜边的长度为5。
二、图形解代数式问题2.1 长方形面积问题在解决与长方形面积相关的问题时，可以通过绘制长方形图形来辅助求解。
例如，已知长方形的宽度是x-2，长度是2x+3，我们可以根据面积公式得到方程(x-2)(2x+3)=12。
通过求解这个方程，我们可以确定了该长方形的尺寸，并进一步计算出面积。
2.2 多边形周长问题类似地，在求解多边形周长问题时，可以通过绘制多边形的图形来辅助求解。
例如，已知一个五边形的边长分别为x的倍数，我们可以设每条边的长度为x，那么周长就可以表示为5x。
通过求解这个方程，我们可以确定了该五边形的周长。
三、利用图形解决方程组问题有时候，数学问题中会涉及多个方程的解，也就是方程组问题。
利用图形的方法可以更好地理解和解决这类问题。
例如，假设有两个方程x+y=5和2x-y=1，我们可以通过绘制这两个方程所对应的直线来找到它们的交点，即方程组的解。
通过观察图形交点的坐标，我们可以求解出x和y的值，从而解决方程组问题。
综上所述，图形是一种有效的工具，能够帮助我们理解、解决方程和代数式问题。
在解题过程中，通过绘制各种形状的图形，我们可以更加直观地理解问题，从而找到解的方法。
初中数学教案解决实际问题的代数和几何方法
初中数学教案解决实际问题的代数和几何方法数学作为一门抽象的学科，经常难以联系到实际生活当中。
然而，在初中阶段，教师应该注重培养学生解决实际问题的能力。
本文将介绍一些数学教案，以代数和几何的方法来解决实际问题。
一、代数方法在初中数学教学中，代数是一个重要的内容。
通过引入代数的符号和运算，可以将实际问题转化为抽象的表达式，从而更容易进行分析和计算。
例如，在解决线性方程问题时，可以用代数方法来建立方程并求解。
如下所示：题目：一个图片展览中，门票的成人票和学生票的总价为280元。
已知成人票的价格是学生票的3倍，求成人票和学生票的单价各是多少？解题思路：设成人票的单价为x元，学生票的单价为y元。
根据题意可得以下方程：x + y = 280 （成人票和学生票总价为280元）x = 3y （成人票的价格是学生票的3倍）通过解方程，可以得到成人票的单价x = 210元，学生票的单价y = 70元。
通过代数的方法，我们可以将实际问题转化为数学问题，并通过运算求解得到答案。
二、几何方法几何是另一种解决实际问题的常用方法。
通过几何图形的构建和性质的运用，可以对实际问题进行可视化分析。
例如，在解决三角形问题时，可以运用几何方法来分析和求解。
如下所示：题目：一个含有直角的等腰三角形的面积为24平方厘米，求这个三角形的周长。
解题思路：设等腰三角形的底边长度为x，高为h。
根据题意可得以下关系：x^2/2 = 24 （三角形的面积为24平方厘米）h = x （三角形的底边上的高等于底边长度）通过几何的方法，可以将已知条件转化为图形中的关系，并通过计算得到底边长度x = 8厘米，从而可以求得三角形的周长为16厘米。
通过代数和几何的方法，我们可以灵活地解决各种实际问题。
同时，我们还可以将代数和几何相结合，通过建立代数模型和运用几何图形的思维，更加全面地解决实际问题。
三、综合运用在数学教学中，代数和几何这两种方法并非彼此独立，而是可以相互影响和补充的。
初中数学代数、几何解题技巧
如何用好题目中的条件暗示之五兆芳芳创作有一类题目，我们在解前面几小题时，其解题思路和办法往往对解前面问题起着很好的暗示作用，现以一次函数中出现的两道题目为例予以说明，供同学们在学习进程中参考.【例1】直线与x轴、y轴辨别交于B、A两点，如图1.图1（1）求B、A两点的坐标；（2）把△AOB以直线AB为轴翻折，点O落在平面上的点C处，以BC为一边作等边△BCD.求D点的坐标.解析：（1）容易求得，A（0，1）.（2）如图2，图2∵，A（0，1），∴OB=，OA=1.∴在Rt△AOB中，容易求得∠OBA=30°∵把△AOB以直线AB为轴翻折，∴∠OBC=2∠OBA=60°，BO=BC.∴△OBC是等边三角形以BC为一边作等边△BCD，则D的落点有两种情形，可辨别求得D的坐标为（0，0），.反思：在求得第（1）小题中B、A两点的坐标辨别为B（，0），A（0，1），实质上暗示着Rt△AOB中，OA=1，OB=，即暗示着∠OBA=30°，为解第（2）小题做了很好的铺垫.【例2】直线与x轴、y轴辨别交于A、B，以线段AB为直角边在第一象限内作等腰Rt△ABC，∠BAC=90°，且点P（1，a）为坐标系中的一个动点，如图3.图3（1）求三解形ABC的面积.（2）证明不管a取任何实数，三角形BOP的面积是一个常数；（3）要使得△ABC和△ABP的面积相等，求实数a的值.解析：（1）容易求得：A（，0），B（0，1），∴.（2）如图4，连接OP、BP，过点P作PD垂直于y轴，垂足为D，则三角形BOP的面积为，故不管a取任何实数，三角形BOP的面积是一个常数.图4（3）如图4，①当点P在第四象限时由第（2）小题中的结果：，和第（3）小题的条件可得：∴，∵，∴，∴.②如图5，当点P在第一象限时，用类似的办法可求得a=.图5反思：由第（1）小题中求得的和第（2）小题中证明所得的结论：三角形BOP的面积是一个常数，实质上暗示着第（3）小题的解题思路：利用来解.通过这两道题目的阐发可以发明，在解题进程中，如果经常回头看一看、想一想，我们往往会发明，良多题目的解题思路原来就在题目之中.分式运算的几点技能分式运算的一般办法就是按分式运算法例和运算顺序进交运算.但对某些较庞杂的题目，使用一般办法有时计较量太大，导致出错，有时甚至算不出来，下面列举几例介绍分式运算的几点技能.一. 分段分步法例 1. 计较：解：原式说明：若一次通分，计较量太大，注意到相邻分母之间，依次通分组成平方差公式，采取分段分步法，则可使问题复杂化.同类办法练习题：计较（答案：）二. 割裂整数法例2. 计较：解：原式说明：当算式中各分式的份子次数与分母次数相同次数时，一般要先利用割裂整数法对份子降次后再通分；在解某些分式方程中，也可使用割裂整数法.同类办法练习题：有一些“幸福”牌的卡片（卡片数目不为零），团团的卡片比这些多6张，圆圆的卡片比这些多2张，且知团团的卡片是圆圆的整数倍，求团团和圆圆各多少张卡片？（答案：团团8张，圆圆4张）三. 拆项法例 3. 计较：解：原式说明：对形如上面的算式，分母要先因式分化，再逆用公式，各个分式拆项，正负抵消一部分，再通分.在解某些分式方程中，也可使用拆项法.同类办法练习题：计较：（答案：）四. 活用乘法公式例4. 计较：解：当且时，原式说明：在本题中，原式乘以同一代数式，之后再除以同一代数式复原，就可连续使用平方差公式，分式运算中若恰当使用乘法公式，可使计较简洁.同类办法练习题：计较：（答案：）五. 巧选运算顺序例 5. 计较：解：原式说明：此题若按两数和（差）的平方公式展开前后两个括号，计较将很麻烦，一般两个分式的和（差）的平方或立方不克不及按公式展开，只能先算括号内的.同类办法练习题：解方程（答案：）六. 见繁化简例 6. 计较：解：原式说明：若运算中的分式不是最简分式，可先约分，再选用适当办法通分，可使运算简洁.同类办法练习题：解方程（答案：）在分式运算中，应按照分式的具体特点，灵活灵活，活用办法.方能起到事半功倍的效率.多边形内角和问题的求解技能1、多边形的每个内角与和它相邻的外角互为补角.这个条件在题目中一般不会作为已知条件给出，因此，在解题时应按照需要加以利用.例1 一个正多边形的每个内角都比与它相邻的外角的3倍还多20°，求此正多边形的边数.阐发：由于这个正多边形的每个外角与和它相邻的内角互为邻补角，按照题意，可先求出外角的大小，再求边数.解：设每个外角的大小为x°，则与它相邻的内角的大小为（3x+20）度.按照题意，得解得，即每个外角都等于40°.所以，即这个正多边形的边数为9.2、利用多边形内角和公式求多边形的边数时，经常设边数为n，然后列出方程或不等式，利用代数办法解决几何问题. 例2 已知一个多边形的每个内角都等于135°，求这个多边形的边数.解法1：设多边形的边数为n，依题意，得解得n=8，即这个多边形的边数为8.解法2：依题意知，这个多边形的每个外角是180°－135°=45°.所以，多边形的边数，即这个多边形的边数为8.3、正多边形各内角相等，因此各外角也相等.有时利用这种隐含关系求多边形的边数，比直接利用内角和求边数简捷（如上题解法2）.解题时要注意这种逆向思维的运用.例3 一个多边形除去一个内角后，其余内角之和是2570°，求这个多边形的边数.阐发：从已知条件可知这是一个与多边形内角和有关的问题.由于除去一个内角后，其余内角之和为2570°，故该多边形的内角和比2570°大.又由相邻内、外角间的关系可知，内角和比2570°+180°小.可列出关于边数n的不等式，先确定边数n的规模，再求边数.解：设这个多边形的边数为n，则内角和为（n－2）·180°.依题意，得解这个不等式，得.所以n=17，即这个多边形的边数为17.说明：这类题都隐含着边数为正整数这个条件.4、把不法则图形转化为法则图形是研究不法则图形的经常使用办法，其解题关头是机关适合的图形.例4 如图1，求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7的大小.图1阐发：解题关头是把该图形与凸多边形联系起来，从而利用多边形内角和定理来解决，因此可考虑连接CF.解：连接CF.∵∠COF=∠DOE∴∠1+∠2=∠OCF+∠OFC∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=∠OCF+∠OFC+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=（5－2）×180°证明三角形全等的一般思路一、当已知两个三角形中有两边对应相等时，找夹角相等（SAS）或第三边相等（SSS）.例 1. 如图1，已知：AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，且B、C、D在同一条直线上.求证：AD＝BE阐发：要证AD＝BE注意到AD是△ABD或△ACD的边，BE是△DEB 或△BCE的边，只需证明△ABD≌△DEB或△ACD≌△BCE，显然△ABD和△DEB不全等，而在△ACD 和△BCE中，AC＝BC，CD＝CE，故只需证它们的夹角∠ACD＝∠BCE便可.而∠ACD＝∠ACE＋60°，∠BCE＝∠ACE＋60°故△ACD≌△BCE（SAS）二、当已知两个三角形中有两角对应相等时，找夹边对应相等（ASA）或找任一等角的对边对应相等（AAS）例2. 如图2，已知点A、B、C、D在同一直线上，AC＝BD，AM∥CN，BM∥DN.求证：AM＝CN阐发：要证AM＝CN只要证△ABM≌△CDN，在这两个三角形中，由于AM∥CN，BM∥DN，可得∠A＝∠NCD，∠ABM＝∠D可见有两角对应相等，故只需证其夹边相等便可.又由于AC＝BD，而故AB＝CD故△ABM≌△CDN（ASA）三、当已知两个三角形中，有一边和一角对应相等时，可找另一角对应相等（AAS，ASA）或找夹等角的另一边对应相等（SAS）例3. 如图3，已知：∠CAB＝∠DBA，AC＝BD，AC交BD于点O.求证：△CAB≌DBA阐发：要证△CAB≌△DBA在这两个三角形中，有一角对应相等（∠CAB＝∠DBA）一边对应相等（AC＝BD）故可找夹等角的边（AB、BA）对应相等便可（利用SAS）.四、已知两直角三角形中，当有一边对应相等时，可找另一边对应相等或一锐角对应相等例4. 如图4，已知AB＝AC，AD＝AG，AE⊥BG交BG的延长线于E，AF⊥CD交CD的延长线于F.求证：AE＝AF阐发：要证AE＝AF只需证Rt△AEB≌Rt△AFC，在这两个直角三角形中，已有AB ＝AC故只需证∠B＝∠C便可而要证∠B＝∠C需证△ABG≌△ACD，这显然易证（SAS）.五、当已知图形中无现存的全等三角形时，可通过添作帮助线组成证题所需的三角形例5. 如图5，已知△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BD是中线，AE⊥BD于F，交BC于E.求证：∠ADB＝∠CDE阐发：由于结论中的两个角分属的两个三角形不全等，故需作帮助线.注意到AE⊥BD，∠BAC＝90°，有∠1＝∠2，又AB＝AC.故可以∠2为一内角，以AC为一直角边机关一个与△ABD全等的直角三角形，为此，过C作CG⊥AC交AE的延长线于G，则△ABD≌△CAG，故∠ADB＝∠CGA.对照结论需证∠CGA ＝∠CDE又要证△CGE≌△CDE，这可由CG＝AD＝CD，∠ECG＝∠EBA＝∠ECD，CE＝CE而获证.计较线段长度的办法技能线段是根本的几何图形，是三角形、四边形的组成元素.初一同学对于线段的计较感应有点摸不着头绪.这是介绍几个计较办法，供同学们参考.1. 利用几何的直不雅性，寻找所求量与已知量的关系例1. 如图1所示，点C分线段AB为5：7，点D分线段AB为5：11，若CD＝10cm，求AB.图1阐发：不雅察图形可知，DC＝AC－AD，按照已知的比例关系，AC、AD均可用所求量AB暗示，这样通过已知量DC，便可求出AB.解：因为点C分线段AB为5：7，点D分线段AB为5：11所以又又因为CD＝10cm，所以AB＝96cm2. 利用线段中点性质，进行线段长度变换例2. 如图2，已知线段AB＝80cm，M为AB的中点，P在MB上，N为PB的中点，且NB＝14cm，求PA的长.图2阐发：从图形可以看出，线段AP等于线段AM与MP的和，也等于线段AB与PB的差，所以，欲求线段PA的长，只要能求出线段AM与MP的长或求出线段PB的长便可.解：因为N是PB的中点，NB＝14所以PB＝2NB＝2×14＝28又因为AP＝AB－PB，AB＝80所以AP＝80－28＝52（cm）说明：在几何计较中，要结合图形中已知线段和所求线段的位置关系求解，要做到步步有按照.3. 按照图形及已知条件，利用解方程的办法求解例3. 如图3，一条直线上顺次有A、B、C、D四点，且C为AD的中点，，求BC是AB的多少倍？图3阐发：题中已给出线段BC、AB、AD的一个方程，又C为AD的中点，即，不雅察图形可知，，可得到BC、AB、AD又一个方程，从而可用AD辨别暗示AB、BC.解：因为C为AD的中点，所以因为，即又由<1>、<2>可得：即BC＝3AB例4. 如图4，C、D、E将线段AB分红2：3：4：5四部分，M、P、Q、N辨别是AC、CD、DE、EB的中点，且MN＝21，求PQ的长.图4阐发：按照比例关系及中点性质，若设AC＝2x，则AB上每一条短线段都可以用x的代数式暗示.不雅察图形，已知量MN＝MC＋CD＋DE＋EN，可转化成x的方程，先求出x，再求出PQ.解：若设AC＝2x，则于是有那么即解得：所以4. 分类讨论图形的多样性，注意所求结果的完整性例5. 已知线段AB＝8cm，在直线AB上画线段BC＝3cm，求AC的长.阐发：线段AB是固定不变的，而直线上线段BC的位置与C点的位置有关，C点可在线段AB上，也可在线段AB的延长线上，如图5.图5解：因为AB＝8cm，BC＝3cm所以或综上所述，线段的计较，除选择适当的办法外，不雅察图形是关头，同时还要注意标准书写格局，注意几何图形的多样性等.【练习】1. 已知如图6，B、C两点把线段AD分红2：3：4三部分，M是线段AD的中点，CD＝16cm.求：（1）MC的长；（2）AB：BM的值.图62. 如图7所示，已知AB＝40cm，C为AB的中点，D为CB 上一点，E为DB的中点，EB＝6cm，求CD的长.图7【答案】1. （1）2cm；（2）4：52. 8 cm列方程解应用题的办法一. 直译法设元后，视元为已知数，按照题设条件，把数学语言直译为代数式，便可列出方程.例1. （2004年山西省）甲、乙两个修建队完成某项工程，若两队同时开工，12天就可以完成工程；乙队单独完成该工程比甲队单独完成该工程多用10天.问单独完成此项工程，乙队需要多少天？解：设乙单独完成工程需x天，则甲单独完成工程需（x－10）天.按照题意，得去分母，得解得经查验，都是原方程的根，但当时，，当时，，因时间不克不及为正数，所以只能取.答：乙队单独完成此项工程需要30天.点评：设乙单独完成工程需x天后，视x为已知，则按照题意，原原本本的把语言直译成代数式，则方程很快列出.二. 列表法设出未知数后，视元为已知数，然后综合已知条件，掌控数量关系，辨别填入表格中，则等量关系不难得出，进而列出方程（组）.例2. （2004年海淀区）在某校举办的足球角逐中法则：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分.某班足球队介入了12场角逐，共得22分，已知这个队只输了2场，那么此队胜几场？平几场？解：设此队胜x场，平y场由列表与题中数量关系，得解这个方程组，得答：此队胜6场，平4场.点评：通过列表格，将题目中的数量关系显露出来，使人明白，从胜、平、负的场数之和等于12，总得分22分是胜场、平场、负场得分之和.成立方程组，利用列表法求解使人易懂.三. 参数法对庞杂的应用题，可设参数，则往往可起到桥梁的作用.例3. 从A、B两汽车站相向各发一辆车，再隔相同时间又同时收回一辆车，按此纪律不竭发车，且知所有汽车的速度相同，A、B间有骑自行车者，觉察每12分钟，前面追来一辆汽车，每隔4分钟迎面开来一辆汽车，问A、B两站每隔几分钟发车一次？解：设汽车的速度为x米/分；自行车的速度为y米/分，同一车站收回的相邻两辆汽车相隔m 米.A、B两站每隔n分钟发一次车.则从A站发来的两辆汽车间的距离为12［（汽车行进速度）－（自行车行进速度）］，从B站发来的两辆汽车间的距离为：4［（汽车行进速度）＋（自行车行进速度）］.由题意，得得：所以由（3）得，又由（4）得答：A、B两站相隔6分钟发车一次.点评：本例不必直接设元，因为无从着手，需要的已知量较多，但又是未知的，而选用x、y、m、n的参数，从而很容易列出方程组，使庞杂的问题迎刃而解.四. 线示法运用图线，把已知和未知条件间的数量关系，用线性图暗示出来，则等量关系可一目了然.例4. A、B两地间的路程为36里，甲从A地，乙从B地同时出发相向而行，二人相遇后，甲再走2小时30分钟到达B地，乙再行走1小时36分钟到达A地，求二人的速度？解：设甲的速度为x里/小时，乙的速度为y里/小时，2小时30分小时，1小时36分小时.从出发到相遇时间小时，甲从A到相遇点C要走里，乙从C地到A走了里；乙从B到C要走里，甲从C到B走里，从图1可以看清.图1于是解得答：甲、乙二人的速度辨别是8里/小时，10里/小时.点评：把速度、时间、距离三者关系用线性图暗示，再把数量关系写在直线图上，则等量关系一目了然.圆与圆位置关系中罕有帮助线的作法1. 作相交两圆的公共弦利用圆内接四边形的性质或公共圆周角，沟通两圆的角的关系.例1. 如图1，⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，过A、B辨别作直线CD、EF，且CD//EF，与两圆相交于C、D、E、F.求证：CE＝DF.图1阐发：CE和DF辨别是⊙O1和⊙O2的两条弦，难以直接证明它们相等，但通过连结AB，则可得圆内接四边形ABEC和ABFD，利用圆内接四边形的性质，则易证明.证明：连结AB因为又所以即CE//DF又CD//EF所以四边形CEFD为平行四边形即CE＝DF2. 作两相交圆的连心线利用过交点的半径、公共弦、圆心距机关直角三角形，解决有关的计较问题.例 2. ⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，两圆的半径辨别为和，公共弦长为12.求的度数.图2阐发：公共弦AB可位于圆心O1、O2同侧或异侧，要求的度数，可利用角的和或差来求解.解：当AB位于O1、O2异侧时，如图2.连结O1、O2，交AB于C，则.辨别在和中，利用锐角三角函数可求得故当AB位于O1、O2同侧时，如图3图3则综上可知或3. 两圆相切，作过切点的公切线利用弦切角定理沟通两圆中角的关系例3. 如图4，⊙O1和⊙O2外切于点P，A是⊙O1上的一点，直线AC切⊙O2于C，交⊙O1于B，直线AP交⊙O2于D.求证PC平分.图4阐发：要证PC平分，即证而的边散布在两个圆中，难以直接证明.若过P作两圆的公切线PT，与AC交于T易知由弦切角定理，得又是的一个外角所以又从而有即PC平分4. 两圆相切，作连心线利用连心线经过切点的性质，解决有关计较问题.例4. 如图5，⊙O1与半径为4的⊙O2内切于点A，⊙O1经过圆心O2，作⊙O2的直径BC，交⊙O1于点D，EF为过点A的公切线，若，求的度数.图5阐发：是弦切角，要求其度数，需将其转化为圆周角或圆心角，因此连结O1O2、O1A，则O1O2必过点A，且O2A为⊙O1的直径，易知.连结DA，则于是又为锐角所以从而有5. 太小圆圆心作大圆半径的垂线有关公切线问题常太小圆的圆心作大圆半径的垂线，机关直角三角形.例 5. 如图6，⊙O1与⊙O2外切于点O，两外公切线PCD和PBA切⊙O1、⊙O2于点C、D、B、A，且其夹角为，，求两圆的半径.图6阐发：如图6，连结O1O2、O1A、O2B，过点O2作，机关，下面很容易求出结果.请同学们自己给出解答.（答案：两圆的半径辨别为3和1）几何证明的几种特殊办法一、分化法即把一个图形分化成几个复杂的图形或分红具有某种特殊关系的图形，然后借助于分化后的图形的性质来推导出所要证明的问题的一种办法.例1. 如图1，ABCD是任意四边形，E、F将AB分红三等分，G、H将CD分红三等分.求证：四边形EFGH的面积等于四边形ABCD面积的三分之一.阐发：四边形问题我们常联系成三角形问题来解决.于是考虑连结AC、AH、HF、FC，由题意和“等底等高的三角形面积相等”知：所以所以又所以故二、特殊化法即先考察命题的某些特殊情形，从特例中探索一般纪律，或从特例中得到启发，从而解决一般问题的一种办法.例2. 如图2，设P为∠AOB的平分线上一定点，以OP为弦作一圆，辨别交OA、OB于C、D.求证：OC与OD的和为定值.阐发：学生往往找不到定值是什么，若将“弦OP”特殊化为“直径OP”，则△OPC和△OPD是全等直角三角形，因而，OC＝OD＝，于是判断OC与OD的和为定值.故过P作PE⊥OA，PF⊥OB，连PC、PD，可证△PCE≌△PDF，所以CE＝DF，OE＝OF.所以即OC＋OD为定值.三、扩充法即把图形扩充为另一个图形，借助于扩充后图形的性质来推导出所要证明的问题的一种办法.例3. 如图3，已知AD为△ABC的边BC上的中线，O为AD 一点，BO、CO与AC、AB辨别交于E、F.求证：EF∥BC阐发：要证两线平行，考虑到平行线的判定，而这里只有BD＝DC，故考虑延长OD至G，使DG＝OD，扩充得到平行四边形BGCO，则，OF∥BG，所以，故EF∥BC.四、类比转换法行将所要论证的问题进行转换并与其类似的问题对比，从而得到启发，使问题得以解决的一种办法.例 4. 如图4，在△ABC中，已知AB＝AC，∠BAC＝108°，AH⊥BC于H，∠DAC＝.求证：阐发：这类问题常转换为：，而在直角三角形ADH和AEH中，和辨别为∠DAH的余弦和∠AEH的正弦，由题意可计较知∠DAH＝∠AEH＝18°，联想到，该问题得证.五、面积法即利用面积定理，结合图形中的面积关系，找到与问题相关的数量关系，使问题得到解决的一种办法.例5. 如图5，平行四边形ABCD中，E在AD上，F在AB上，且DF＝BE，DF与BE交于G.求证：CG平分∠BGD.阐发：证明角平分线有两种经常使用办法：这条射线分得的两个角相等或这条射线上一点到角两边的距离相等.连CE、CF，作高CH、CP，此题图中有，而DF＝BE，故高CP＝CH，于是CG 平分∠BGD.六、代数法即按照图形的有关性质布列方程、不等式或函数式等，再利用相关代数知识来解题的一种办法.例6. 如图6，在凸四边形ABCD中，AB＝2，P是AB边的中点，如果∠DAB＝∠ABC＝∠PDC＝90°，求证：四边形ABCD的面积的最小可能值是4.阐发：显然，四边形ABCD的面积的大小与AD、BC的大小有关.故令AD ＝x，BC＝a，四边形ABCD的面积＝y，DF⊥CB于F，由题意：AP＝PB＝1，BF＝AD＝x，DF＝AB＝2，.所以所以因x、y均为正实数，故由一元二次方程的根的判别式得。
初中数学_利用函数图象解决代数综合问题教学设计学情分析教材分析课后反思
第二环节：自主复习合作提升例1.如图表示一艘轮船和一艘快艇从甲港出发到乙港行驶过程中路程随时间变化的图象.轮船: 快艇：(1)当时间x为多少时，快艇追上轮船？(2)当时间x在什么范围内时，轮船在快艇的前面？(3)在快艇的行驶过程中，时间x为多少时，快艇和轮船相距20千米？1.图中有哪些特殊点？2.每个点的实际意义是什么？3.根据实际意义，结合图象解决问题（1）（2）4.引导学生根据图象分析问题（3）；5.去掉实际背景，引导学生根据图象自主创造实际背景1. 分析点的实际意义；2. 根据图象分析(2)(3)；3.独立完成导学案；4.组内交流想到的一次函数模型，创造合适的背景，完善本组内的背景描述，并选派代表发言；5.针对学生提出的背景解释其中特殊点的含义.ppt呈现题目pad投屏学生的书写步骤.通过自主解答，培养学生的读图、识图、用图能力，体会“数形结合”中“数的直观”，真正体会函数图象中所蕴含的函数、方程、不等式等之间的关系.通过观察图象、尝试给图象赋予实际问题背景，融会贯通，抓住图象本质.例 2.某研究所将某种材料加热到1000℃时停止加热，并立即将材料分为A、B两组，采用不同工艺做降温对比实验，设降温开始后经过x min时，A、B两组材料的温度分别为Ay℃、By℃，Ay、By与x的函数关系式分别为Ay kx b=+，21(60)4By x m=-+部分图象如图所示），当1.直接给出图象，学生读图中信息，并根据图象形状猜测函数类型；2.给出函数模型，学生尝试求解，引导学生分析求解顺序；3.引导学生结合图象分析问题（2）（3）.1.读图中信息，包括点和图象形状，并猜测所属初中的哪种函数模型；2.尝试求解（1），利用图象分析求解思路；3.结合图象，尝试解决实际问题（2）（3）pad 投屏学生的解答；ppt中结合图象分析从图象出发，让学生学会抓出图象本质，并利用图象解决实际问题.x=40时，两组材料的温度相同．（1）分别求Ay、By关于x的函数关系式；（2）当A组材料的温度降至120℃时，B组材料的温度是多少？（3）在0＜x＜40的什么时刻，两组材料温差最大？第三环节课堂小结：我学会了_______我还学会了_______1.参与到学生汇总中，实时评价；2.引导学生从知识、方法等各方面总结；3.呈现本节知识、方法思维导图.总结自己学会的知识和方法，小组内交流，选定发言人.通过汇总本节所学，系统掌握利用函数图象解代数综合问题.第四环节课堂检测如图，一次函数y1=mx+n（m≠0）与二次函数y2=ax2+bx+c（a≠0）的图象相交于两点A（-1，5）、B（9，3）（1）请你根据图象写出使y1=y2成立的x的值_______；（2）请你根据图象写出使y1≥y2成立的x的取值范围（）A．-1≤x≤9 B．-1≤x＜9 C．-1＜x≤9D．x≤-1或x≥9学生独立完成ppt呈现题目，订正答案通过一次函数与二次函数图象结合，检测学生对利用图象解决方程、不等式问题的掌握情况，并让学生体会函数的结合的多样化.“利用函数图象解决代数综合问题”学情分析九年级学生的抽象逻辑思维比较成熟，且学生经过近三年的初中学习，已经具有一定的自学能力和分组讨论的经验，知识方面已经学习了一次函数、反比例函数、二次函数相关知识，具有初步的“由数想形”和“借形推数”的“数形结合”能力.本次上课的对象是青岛市李沧区初级实验中学的A 班的学生，数学基础相对来说比较不错，最低分大约处于及格线上下；学生的一次课后作业：1. （必做）如图，1l 反映了某公司产品的销售收入与销售量的关系，2l 反映了该公司产品的销售成本与销售量的关系，根据图象填空. (1)当销售量为2吨时，销售收入=___元，销售成本=__元；(2)当销售量等于____时，销售收入等于销售成本；(3)当销售量___时，该公司盈利(收入大于成本)；当销售量__时，该公司亏损(收入小于成本)；(4) 1l 对应的函数表达式是______,2l 对应的函数表达式是______. 2. （*加餐）心理学家研究发现，一般情况下，在一节40分钟的课中，学生的注意力随教师讲课时间的变化而变化。
初中数学教案：《解二元一次方程组的几何与代数方法》
初中数学教案：《解二元一次方程组的几何与代数方法》一、引言二元一次方程组是初中数学中较为重要的内容之一。
通过解二元一次方程组，可以帮助学生培养代数思维能力和几何直观能力，并且学会应用代数方法解决几何问题。
本教案将介绍解二元一次方程组的几何与代数方法，帮助学生掌握解题的技巧和方法，提升数学解决问题的能力。
二、几何方法解二元一次方程组的原理及步骤1. 通过图形确定几何方法的原理解二元一次方程组的几何方法基于平面直角坐标系，通过绘制方程组所对应的直线图像，利用几何图形的性质和关系来解题。
例如，当两条直线相交于一点时，该点坐标就是方程组的解。
2. 几何方法解二元一次方程组的步骤步骤一：根据方程组的系数，求出两条直线的斜率和截距。
步骤二：通过斜率和截距绘制两条直线的图像。
步骤三：确定两条直线的交点，并求出该点的坐标。
步骤四：验证交点是否是方程组的解。
三、几何方法解二元一次方程组的示例1. 示例一：题目：解方程组{2x + 3y = 5 (①){x - 2y = -1 (②)解法：步骤一：根据系数，可以求出两条直线的斜率和截距：直线①的斜率为-2/3，截距为5/3；直线②的斜率为1/2，截距为-1/2。
步骤二：绘制两条直线的图像：直线①的图像为向下的斜线，通过点(0, 5/3)和(3, -1/3)；直线②的图像为向上的斜线，通过点(0, -1/2)和(2, 0)。
步骤三：确定交点并求解：通过交点，得到交点的坐标为(1, 1)。
步骤四：验证交点：将交点的坐标代入方程组中，可以发现交点坐标满足两方程式，故交点(1, 1)是方程组的解。
2. 示例二：题目：解方程组{3x - 2y = 8 (③){x + 4y = -2 (④)解法：步骤一：根据系数，可以求出两条直线的斜率和截距：直线③的斜率为3/2，截距为-8/2；直线④的斜率为-1/4，截距为-2/4。
步骤二：绘制两条直线的图像：直线③的图像为向上的斜线，通过点(0, -4)和(4, 8)；直线④的图像为向下的斜线，通过点(0, -1/4)和(-2, 0)。
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初中数学用几何图示法解代数问题
很多代数问题用纯代数知识来解答很繁琐，也很难解决。
因此，许多代数问题用几何图示法来解决非常容易，下面列举几例进行探讨。
一. 线段图示法
例1. 甲、乙两车分别从A 、B 两地同时出发，相向而行，相遇时，甲车在已过中点15千米处，相遇后甲车再行8
9时到达B 地，乙车又行了2时到达A 地，求甲、乙两车每时各行多少千米？
分析：行程问题有三个基本量：路程、速度、时间，且有基本关系：路程=速度×时间。
本题设甲车的速度为x 千米/小时，乙车的速度为y 千米/小时，由于同时出发到相遇时，甲车在已过（如图1）所示的线段AB 中点M 的15千米处C 点，继续前进后，甲车行的距离为x 89CB =
千米，乙车行的距离为CA=2y 千米。
因此，甲车开始行驶的距离AC 的时间为x
y 2时与乙车开始行驶的距离BC 的时间为y x
89时所用时间相同，而M 是AB 的中点， 即AM=BM ，MC=15千米， 则15x 8
9BM ,15y 2AM +=-=，由图所示易知： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=-y x 89x
y 215x 8915y 2 解这个方程组，得⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=-=⎩⎨⎧==760y 780x ,60y 80x 2211 经检验，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=⎩⎨⎧==760y 780x ,60y 80x 2211都是原方程组的解，但⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=-=760y 780x 22，不合题意，舍去。
所以，甲车的速度为80千米/小时，乙车的速度为60千米/小时。
图1
二. 三角形图示法
例2. 已知正数，x ，y 满足条件x+y=4，求1y 1x 22++的最小值。
分析：若直接求解，比较困难，但注意到所求式子的特点，则可构成直角三角形求解，就容易多了。
建立（如图2）所示的两个直角三角形。
由图2可知三角形面积关系：
BAC sin AC AB 21AD BC 21S ABC ∠⋅=⋅=∆。
即：1)y x (2
1⨯+ BAC sin 1y 1x 2
122∠++= 所以4BAC
sin 4BAC sin y x 1y 1x 22≥∠=∠+=++ 可见，当且仅当∠BAC=90°，即sin ∠BAC=1时所求的式子有最小值4。
图2
三. 矩形图示法
例3. 证明平方差公式)b a )(b a (b a 22-+=-。
分析：通过计算（图3）两个图形（阴影部分）的面积相等，验证平方差公式。
甲图的面积等于22b a -，乙图的面积等于)b a )(b a (-+，而甲图的面积等于乙图的面积。
则)b a )(b a (b a 22-+=-。
图3
例4. 验证完全平方公式222)b a (b ab 2a +=++。
分析：通过计算（图4）四块面积的和等于大正方形面积，验证完全平方公式。
大正方形的面积等于2)b a (+，四块面积的和等于2222b ab 2a b ab ab a ++=+++，
所以222)b a (b ab 2a +=++。
图4
例5. 试证mn 4)n m ()n m (22-+=-的关系式。
分析：通过计算（图5）小正方形（阴影面积）2)n m (-等于大正方形面积2)n m (+减去四个相等的矩形面积4mn 。
即可得到：mn 4)n m ()n m (22-+=-。
图5
例6. 证明：++++16
1814121……=1。
分析：构造（图6）边长为1的正方形，由于该正方形的面积为1，显然有
++++16
1814121……=1
图6
例7. 一项工程，甲单独做需15天完成，乙单独做需25天完成。
这项工程由甲、乙合成，并且施工期间乙休息7天，问需要几天完成？
分析：设总工作量为1，则甲的工作效率为151，乙的工作效率为25
1；设甲、乙合做而且施工期间乙休息7天，需x 天完成。
如图7，先画矩形ABCD ，它的面积表示甲、乙合做x 天所能完成的工作量。
再画矩形EFGH ，它的面积表示乙单独做7天所能完成的工作量。
那么图中的阴影部分是这项工程的
总工作量，可用1表示。
这样就得到了等量关系：矩形ABCD 面积－矩形EFGH 面积=阴影部分面积。
根据这一等量关系就可列出方程：
1725
1x )251151(=⨯-+ 解这个方程，得12x =（天）。
因此，这项工程需12天完成。
图7。