初中数学用几何图示法解代数问题 学法指导

初中数学用几何图示法解代数问题

很多代数问题用纯代数知识来解答很繁琐，也很难解决。因此，许多代数问题用几何图示法来解决非常容易，下面列举几例进行探讨。

一. 线段图示法

例1. 甲、乙两车分别从A 、B 两地同时出发，相向而行，相遇时，甲车在已过中点15千米处，相遇后甲车再行8

9时到达B 地，乙车又行了2时到达A 地，求甲、乙两车每时各行多少千米？

分析：行程问题有三个基本量：路程、速度、时间，且有基本关系：路程=速度×时间。本题设甲车的速度为x 千米/小时，乙车的速度为y 千米/小时，由于同时出发到相遇时，甲车在已过（如图1）所示的线段AB 中点M 的15千米处C 点，继续前进后，甲车行的距离为x 89CB =

千米，乙车行的距离为CA=2y 千米。因此，甲车开始行驶的距离AC 的时间为x

y 2时与乙车开始行驶的距离BC 的时间为y x

89时所用时间相同，而M 是AB 的中点， 即AM=BM ，MC=15千米， 则15x 8

9BM ,15y 2AM +=-=，由图所示易知： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=-y x 89x

y 215x 8915y 2 解这个方程组，得⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧=-=⎩⎨⎧==760y 780x ,60y 80x 2211 经检验，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=⎩⎨⎧==760y 780x ,60y 80x 2211都是原方程组的解，但⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧=-=760y 780x 22，不合题意，舍去。 所以，甲车的速度为80千米/小时，乙车的速度为60千米/小时。

图1

二. 三角形图示法

例2. 已知正数，x ，y 满足条件x+y=4，求1y 1x 22++的最小值。

分析：若直接求解，比较困难，但注意到所求式子的特点，则可构成直角三角形求解，就容易多了。建立（如图2）所示的两个直角三角形。由图2可知三角形面积关系：

BAC sin AC AB 21AD BC 21S ABC ∠⋅=⋅=∆。 即：1)y x (2

1⨯+ BAC sin 1y 1x 2

122∠++= 所以4BAC

sin 4BAC sin y x 1y 1x 22≥∠=∠+=++ 可见，当且仅当∠BAC=90°，即sin ∠BAC=1时所求的式子有最小值4。

图2

三. 矩形图示法

例3. 证明平方差公式)b a )(b a (b a 22-+=-。

分析：通过计算（图3）两个图形（阴影部分）的面积相等，验证平方差公式。

甲图的面积等于22b a -，乙图的面积等于)b a )(b a (-+，而甲图的面积等于乙图的面积。

则)b a )(b a (b a 22-+=-。

图3

例4. 验证完全平方公式222)b a (b ab 2a +=++。

分析：通过计算（图4）四块面积的和等于大正方形面积，验证完全平方公式。 大正方形的面积等于2)b a (+，四块面积的和等于2222b ab 2a b ab ab a ++=+++，

所以222)b a (b ab 2a +=++。

图4

例5. 试证mn 4)n m ()n m (22-+=-的关系式。

分析：通过计算（图5）小正方形（阴影面积）2)n m (-等于大正方形面积2)n m (+减去四个相等的矩形面积4mn 。即可得到：mn 4)n m ()n m (22-+=-。

图5

例6. 证明：++++16

1814121……=1。 分析：构造（图6）边长为1的正方形，由于该正方形的面积为1，显然有

++++16

1814121……=1

图6

例7. 一项工程，甲单独做需15天完成，乙单独做需25天完成。这项工程由甲、乙合成，并且施工期间乙休息7天，问需要几天完成？

分析：设总工作量为1，则甲的工作效率为151，乙的工作效率为25

1；设甲、乙合做而且施工期间乙休息7天，需x 天完成。

如图7，先画矩形ABCD ，它的面积表示甲、乙合做x 天所能完成的工作量。再画矩形EFGH ，它的面积表示乙单独做7天所能完成的工作量。那么图中的阴影部分是这项工程的

总工作量，可用1表示。这样就得到了等量关系：矩形ABCD 面积－矩形EFGH 面积=阴影部分面积。

根据这一等量关系就可列出方程：

1725

1x )251151(=⨯-+ 解这个方程，得12x =（天）。

因此，这项工程需12天完成。

图7