网络流算法(Ford-Fulkerson算法)
网络流算法——精选推荐
⽹络流算法2018-03-13 19:02:13在图论中，⽹络流（英语：Network flow）是指在⼀个每条边都有容量（capacity）的有向图分配流，使⼀条边的流量不会超过它的容量。
通常在运筹学中，有向图称为⽹络。
顶点称为节点（node）⽽边称为弧（arc）。
⼀道流必须匹配⼀个结点的进出的流量相同的限制，除⾮这是⼀个源点（source）──有较多向外的流，或是⼀个汇点（sink）──有较多向内的流。
⼀个⽹络可以⽤来模拟道路系统的交通量、管中的液体、电路中的电流或类似⼀些东西在⼀个结点的⽹络中游动的任何事物。
⼀、最⼤流最⼩割定理最⼤流最⼩割定理提供了对于⼀个⽹络流，从源点到⽬标点的最⼤的流量等于最⼩割的每⼀条边的和。
这个定理说明，当⽹络达到最⼤流时，会有⼀个割集，这个割集中的所有边都达到饱和状态。
这等价于在⽹络中再也找不到⼀个从s到t的增⼴路径。
因为只要能找到⼀条增⼴路径，这条增⼴路径肯定要经过最⼩割集中的⼀条边，否则这个割集就不能称之为割集了。
既然这个割集中所有的边都饱和了，因此也就不会存在这样的增⼴路径了。
这个定理的意义在于给我们指明了⽅向：任何算法，只要最后能达到“再也找不到⼀条增⼴路径”，就可以说明这个算法最后达到了最⼤流。
⼆、最⼤流问题在优化理论中,最⼤流问题涉及到在⼀个单源点、单汇点的⽹络流中找到⼀条最⼤的流。
最⼤流问题可以被看作是⼀个更复杂的⽹络流问题（如循环问题（circulation problem））的特殊情况,。
s-t流（从源点s到汇点t）的最⼤值等于s-t割的最⼩容量，这被称为最⼤流最⼩割定理。
下⾯举例来说明这个问题：问题描述：给定⼀个有向图G=(V,E)，把图中的边看作管道，每条边上有⼀个权值，表⽰该管道的流量上限。
给定源点s和汇点t，现在假设在s处有⼀个⽔源，t处有⼀个蓄⽔池，问从s到t的最⼤⽔流量是多少。
这个问题有如下的⼀些限制：容量限制：也就是在每条通路上的流量都不能超过其capacity。
最大流的概念
最大流的概念最大流（Maximum Flow）是指在一个有向图中，给每条边一个容量限制，然后寻找一条从源点到汇点的路径，使得路径上的每条边的流量都不超过其容量限制的最大值。
最大流问题是网络流理论中的一种经典问题，具有广泛的应用领域，如网络优化、流量分配、资源调度等。
最大流问题可以用图论中的图来进行模型表示，其中图中的节点表示流经的位置，边表示流量通路，每条边还有一个容量值，表示该边所能承载的最大流量。
图中通常包括一个源点（Source）和一个汇点（Sink），各个节点与源点和汇点之间的连接关系构成了一个流量网络。
每个节点上的流量是指通过该节点的流量总和，而边上的流量是指该边上的实际流量。
最大流问题的求解可以采用不同的算法，其中最常见的是Ford-Fulkerson算法和Edmonds-Karp算法。
下面将对这两种算法进行详细介绍。
1. Ford-Fulkerson算法Ford-Fulkerson算法是最大流问题的经典算法，它的思想是不断寻找增广路径，并通过增加该路径上各边的流量来增加整个流量网络的流量。
算法的基本步骤如下：(1) 初始化流量网络的流量为0。
(2) 通过任意的路径查找算法（如深度优先搜索）找到一条从源点到汇点的增广路径。
(3) 在该增广路径上增加流量的值为该路径上残余容量的最小值。
(4) 更新整个流量网络中各边的残余容量和反向边的流量。
(5) 重复步骤2至4，直到无法找到增广路径为止。
2. Edmonds-Karp算法Edmonds-Karp算法是Ford-Fulkerson算法的一种改进，它通过使用广度优先搜索来寻找增广路径，使得算法的时间复杂度优于Ford-Fulkerson算法。
算法的具体步骤如下：(1) 初始化流量网络的流量为0。
(2) 通过广度优先搜索查找一条从源点到汇点的最短增广路径。
(3) 在该增广路径上增加流量的值为该路径上残余容量的最小值。
(4) 更新整个流量网络中各边的残余容量和反向边的流量。
网络流fordfulkerson算法
13
Ford-Fulkerson 最大流
2
32 1
43 1 11
5
1 1
s
21 12
4
12
t
1
12
3
12
这些是从结点 s 可达的结点.
14
Ford-Fulkerson 最大流
2
1
2
s
2
1
5
2
4
2
1
t
3
这是最优流.
15
寻找任何 s-t 路径
11
Ford-Fulkerson 最大流
2
32 1
43 1 11
5
1 1
s
21 12
4
12
t
1
12
3
12
判定路径的容量 D
在路径中发送 D 单位的流. 更新剩余网络
12
Ford-Fulkerson 最大流
2
32 1
43 1 11
5
1 1
s
21 12
4
12
t
1
12
3
12
在剩余网络中没有 s-t 路径. 此流是最优的.
在路径上发送 D 单位的流.
更新剩余容量.
4
Ford-Fulkerson最大流
4
2
5
3
11
1
2
12
s
23
4 21
t
1
1
3
寻找任何s-t 路径
5
Ford-Fulkerson 最大流
4
2
5
3
11
1
21
11
s
网络流——求网络最大流
4 1 4 8
4 2 2 6
7
9
(1,4) V2 (0,+∞) V1
(2,4) V4 (4,4) V6
(1,8)
V3
V5 (2,1)
4 1 4 8
4 2 2 6
7
9
(-4,2) V2 (0,+∞) V1 4 4
(3,2) V4 4
(4,2) V6
(1,8)
V3
V5 (3,2)
4 1 4 8
4 2 2 6
7
9
(5,2) V2 (0,+∞) V1 2 4 4 V4 6
(5,2) V6
2
(1,6)
V3
V5 (3,2)
4 1 4 8
4 2 2 6
7
9
V2 (0,+∞) V1 4 4
4
V4
6 V6 2
2 2
(1,4)
V3
V5
存储结构
const maxn=100; type nodetype=record{可改进路顶点类型 可改进路顶点类型} 可改进路顶点类型 l,p:integer;{标号、检查标志 标号、 标号 检查标志} end; arctype=record{网顶点类型 网顶点类型} 网顶点类型 c,f:integer;{容量、流量 容量、 容量 流量} end; gtype=array[0..maxn,0..maxn] of arctype; ltype=array[0..maxn] of nodetype; var lt:ltype; g:gtype; n,s,t:integer;{顶点数、源点、汇点 顶点数、 顶点数 源点、汇点} f:text;
增广后的F
Ford-Fulkerson算法
1、Ford-Fulkerson 算法 算法描述： STEP0：置初始可行流。
STEP1：构造原网络的残量网络，在残量网络中找s －t 有向路。
如果没有，算法得到最大流结束。
否则继续下一步。
STEP2：依据残量网络中的s －t 有向路写出对应到原网络中的s －t 增广路。
对于增广路中的前向弧，置s(e) ←u(e)- f(e)。
对于反向弧，置s(e) ←f （e ）。
STEP3：计算crement=min{s （e 1），s （e 2），…，s （e k ）}；STEP4：对于增广路中的前向弧，令f(e) ←f(e)＋crement ；对于其中的反向弧，令f(e)←f(e)-crement ，转STEP1。
这里f 代表弧上的当前流量，s 表示弧上可增广的量。
在STEP2的残量网络中，寻找s －t 有向路的算法有两种，DFS 和BFS ，即深度优先和宽度优先算法。
算法的时间复杂度为O(mnU)。
其中m 为弧的数目，U 为弧上容量的最大上界，是伪多项式算法。
邻接表表示图，空间复杂度为O(n+m)。
DFS 和BFS 的比较例子：图4.8.6假设M 是弧上的最大容量，且是一个非常大的整数，DFS 算法的最坏情况会选择S －>A －>B －>T 和S －>B －>A －>T 进行增广，增广的次数为2M ，这个问题用BFS 算法，沿S －>A －>T 和S －>B －>T 增广两次就可以完成。
见图4.8.6。
2、最大容量增广路算法Ford-Fulkerson 算法每次只是在所有增广路中随机地找一条增广路进行增广，因此增广的次数可能很多。
如果每次都找到一条可增广的容量最大的增广路，则总的增广次数应当减少，这样的算法称为最大容量增广路算法。
最大容量增广路算法寻找增广路的步骤如下：STEP0：将s 点可增广值maxf 标记为一个非常大的数，其他节点的maxf 值为0，所有节点标记为未扩展。
交通网络两个结点之间有流量约束条件的最大流分配算法
交通网络两个结点之间有流量约束条件的最大流分配算法寇玮华(西南交通大学交通运输学院, 四川成都 610031)摘要对交通网络最大流的分配是基于容量限制条件和流量守恒条件进行的，但在实际应用中，往往对交通网络中两个结点之间的流量有具体的要求和约束限制条件。
本文针对交通网络中两个结点之间的流量约束问题进行了分析，总结了两个结点之间的流量不能超过限制值、不能低于限制值以及在一定范围之内的三种约束条件。
基于寻找增流链的算法，构造了这三种约束限制条件下的最大流分配算法。
利用这些算法，可以解决交通网络中两个结点之间有流量约束的最大流分配问题。
在交通运输领域，两个结点之间有流量约束的问题普遍存在，这些算法也为解决实际的运输问题提供了应用基础。
关键词最大流；增流链；流量约束条件；交通网络。
The distributing maximum flow algorithm under the condition that the flow is limited between the two sites in the transportation networkWeihua KOU(College of Traffic & Transportation, Southwest Jiaotong University, Chengdu 610031, China)Abstract In aspect of thetransportation network,the distributing maximum flow is based entirely on the condition of the capacity restriction and the condition of the flow conservation,but in practical application of the distributing maximum flow,the especial requirement or the restrictive condition is demanded between the two sites.In this article,by describing and analyzing,three restrictive conditions are classified,they are that,between the two sites,the flow does not exceed the limit, the flow must not be less than the limit,the flow must be within the confines of the limit.In addition,basing on finding the add-flow-path algorithm and these restrictive conditions,three optimization algorithms of the distributing maximum flow are put forward on thetransportation network.Utilizing these optimization algorithms may solve the distributing maximum flow under three restrictive conditions in thetransportation network.In thetransportation field,it is ubiquitous to distribute maximum flow under the condition of the restriction,so these algorithms are be likely to offer the applied method for framing thetransportation project.Keywords maximum flow; add-flow-path; condition of the limited flow; transportation network.本课题得到国家自然科学基金项目(60474022)和教育部博士点专项科研基金项目(20060613007)资助.寇玮华，男，1967年生，蒙古族，博士，副教授，硕士导师，主要研究方向为交通运输网络控制及应用、交通信息工程及控制。
图的知识点总结归纳
图的知识点总结归纳图是计算机科学中常用的数据结构之一，它由节点和边组成。
在图论中，图被用于描述各种实际问题，如社交网络、路线规划、电子电路等。
本文将对图的基本概念、表示方法、遍历算法和常见应用进行总结和归纳。
一、基本概念1. 节点（Vertex）：图中最基本的元素，也称为顶点。
每个节点可以有零个或多个与之相连的边。
2. 边（Edge）：连接节点的线段，表示节点之间的关系。
边可以有方向，即有向边，也可以无方向，即无向边。
3. 路径（Path）：通过一系列节点和边依次连接起来的序列，用于描述节点间的连通性。
4. 路径长度（Path Length）：路径上经过的边的数量。
若路径上没有重复节点，则路径长度即为路径经过的节点数量减一。
5. 环（Cycle）：起点和终点相同的路径，也称为回路。
6. 连通图（Connected Graph）：图中任意两个节点之间都存在路径的图。
7. 强连通图（Strongly Connected Graph）：有向图中，任意两个节点之间都存在双向路径的图。
8. 网络（Network）：带有权值的图，边上的权值代表节点间的相关程度或距离。
二、表示方法1. 邻接矩阵（Adjacency Matrix）：使用二维数组来表示节点之间的关系。
矩阵中的元素表示边的存在与否，可以是布尔值或权值。
2. 邻接表（Adjacency List）：使用链表等数据结构来表示每个节点相邻节点的集合。
每个节点存储一个指向相邻节点的指针。
三、遍历算法1. 深度优先搜索（Depth First Search，DFS）：从起始节点开始，不断沿着一条路径探索直到无法继续，然后回溯到前一个节点继续探索其他路径。
2. 广度优先搜索（Breadth First Search，BFS）：从起始节点开始，逐层遍历相邻节点，保证先访问离起始节点近的节点。
四、常见应用1. 最短路径算法：用于寻找两个节点之间路径长度最短的算法，如迪杰斯特拉算法（Dijkstra's Algorithm）和弗洛伊德算法（Floyd's Algorithm）。
运筹学最大流问题例题
运筹学最大流问题例题摘要：一、运筹学最大流问题的基本概念二、最大流问题的求解方法三、最大流问题例题详解四、总结与展望正文：一、运筹学最大流问题的基本概念运筹学最大流问题是一种在网络中寻找最大流量的问题。
给定一个有向图G（V，E），其中仅有一个点的入次为零，称为发点（源），记为vs；仅有一个点的出次为零，称为收点（汇），记为vt；其余点称为中间点。
对于G 中的每一条边（vi，vj），相应地给一个数cij（cij≥0），称为边（vi，vj）的容量。
最大流问题的目标是找到从源点到汇点的最大流量。
二、最大流问题的求解方法求解最大流问题的方法有很多，其中最著名的方法是Ford-Fulkerson 算法。
该算法的基本思想是寻找增广链，即在网络中找到一条从源点到汇点的路径，使得路径上的每条边的容量都没有被完全利用。
通过不断地寻找增广链并更新流量，最终可以得到最大流量。
另一种求解最大流问题的方法是最小费用最大流问题。
该方法通过将流量问题转化为费用问题，利用最小费用最大流问题的求解方法求解最大流问题。
在最小费用最大流问题中，每条边的容量被视为费用，目标是找到从源点到汇点的最大流量，同时使总费用最小。
三、最大流问题例题详解假设有如下网络图：```A -- 1 --B -- 2 --C -- 3 --D -- 4 --E -- 5 -- F| | | | | | | | | |4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5```其中，箭头表示流向，数字表示容量。
从A 点到F 点的最大流量是多少？通过Ford-Fulkerson 算法，我们可以得到如下的增广链：A ->B ->C ->D ->E -> F该链的容量为：4 + 3 + 2 + 1 + 0 = 10当前流量为：4 + 3 + 2 + 1 = 10由于该链的容量等于当前流量，所以无法继续寻找增广链。
因此，从A 点到F 点的最大流量为10。
常见算法
A*搜索算法评价函数：F = G + H*G已知的到达某点g的距离*H从g达到目标点的估计距离1，把起始格添加到开启列表。
2，重复如下的工作：a) 寻找开启列表中F值最低的格子。
我们称它为当前格。
b) 把它切换到关闭列表。
c) 对相邻的格中的每一个？* 如果它不可通过或者已经在关闭列表中，略过它。
否侧继续。
* 如果它不在开启列表中，把它添加进去。
把当前格作为这一格的父节点。
记录这一格的F,G和H值。
* 如果它已经在开启列表中，用G值为参考检查新的路径是否更好。
更低的G值意味着更好的路径。
如果是这样，就把这一格的父节点改成当前格，并且重新计算这一格的G和F值。
如果你保持你的开启列表按F值排序，改变之后你可能需要重新对开启列表排序。
d) 停止，当你* 把目标格添加进了关闭列表，这时候路径被找到，或者* 没有找到目标格，开启列表已经空了。
这时候，路径不存在。
3.保存路径。
从目标格开始，沿着每一格的父节点移动直到回到起始格。
这就是你的路径。
计算时还需考虑多源同时搜索，CPU耗时。
方法有采用二差堆、分层搜索（宏观密度小，微观密度大）。
二分查找二分查找又称折半查找，优点是比较次数少，查找速度快，平均性能好；其缺点是要求待查表为有序表，且插入删除困难。
因此，折半查找方法适用于不经常变动而查找频繁的有序列表。
首先，假设表中元素是按升序排列，将表中间位置记录的关键字与查找关键字比较，如果两者相等，则查找成功；否则利用中间位置记录将表分成前、后两个子表，如果中间位置记录的关键字大于查找关键字，则进一步查找前一子表，否则进一步查找后一子表。
重复以上过程，直到找到满足条件的记录，使查找成功，或直到子表不存在为止，此时查找不成功。
分支界定算法1、基本思想分枝定界法是一个用途十分广泛的算法，运用这种算法的技巧性很强，不同类型的问题解法也各不相同。
分支定界法的基本思想是对有约束条件的最优化问题的所有可行解（数目有限）空间进行搜索。
几类求解最大流问题算法在运输问题中的应用
几类求解最大流问题算法在运输问题中的应用摘要：本文将介绍几种求解最大流问题的算法在运输问题中的应用，包括Ford-Fulkerson算法、Edmonds-Karp算法、Dinic 算法和Push-Relabel算法。
通过比较几种算法在运输问题中的效率和计算复杂度，找出适用于不同场景的最佳算法。
本文还将列举实际案例，展示这些算法在实际应用中的效果。
关键词：最大流问题；运输问题；Ford-Fulkerson算法；Edmonds-Karp算法；Dinic算法；Push-Relabel算法；计算复杂度正文：1. 引言最大流问题是图论中的经典问题之一，其应用广泛，尤其是在运输问题中。
运输问题是指在一定的限制条件下，如何通过最小的代价（费用）将各种物品从一些供给点运输到一些需求点上的问题。
这里的限制条件可能是供应量、需求量、容量等，因此求解最大流问题对解决运输问题具有重要意义。
目前，常见的求解最大流问题的算法包括Ford-Fulkerson算法、Edmonds-Karp算法、Dinic算法和Push-Relabel算法。
2. Ford-Fulkerson算法Ford-Fulkerson算法是最早被提出的求解最大流问题的算法之一。
该算法通过不断寻找增广路径（即残量网络中一条从源点到汇点的路径，其边权的最小值称为该路径的剩余容量）来不断增加流量，直到无法找到增广路径为止。
该算法的时间复杂度取决于增广路径的数量，因此时间复杂度可能非常高，且可能存在无穷增广路径的情况。
尽管如此，Ford-Fulkerson算法仍然是求解最大流问题的基础，而且可以通过改进来提高其效率，如通过贪心算法选择增广路径。
3. Edmonds-Karp算法Edmonds-Karp算法是在Ford-Fulkerson算法的基础上进一步优化而来的算法。
该算法在寻找增广路径时，使用BFS（广度优先搜索）替代了Ford-Fulkerson算法中的DFS（深度优先搜索），从而保证了每次找到的增广路径具有最小距离，其时间复杂度为O(V*E^2)，其中V为节点数，E为边数。
网络流算法(NetworkFlow)
网络流算法（NetworkFlow）网络流算法，是指寻找网络流问题的解的算法，它是一类重要的组合优化问题，被广泛应用于计算机科学及工程领域。
网络流是个有向图，它模拟了许多实际问题，如输电方案、货物运输、油管输送和信息传输等。
网络流算法的目的是在给定的网络流中，尽可能地将流量从源点流向汇点，同时满足各个节点的容量约束和流量平衡约束。
本文将介绍网络流模型的构建和基本算法。
一、网络流模型的构建网络流模型是一个有向图G=(V,E)，其中V表示节点集合，E表示边集合。
每条边都有一个容量c(e)表示其流量的最大值。
设源点为s，汇点为t，则网络流模型可以表示为一个三元组(N,s,t)，即：N=(V,E) s∈V t∈V s≠t在网络流模型中，源点始终是起点，汇点始终是终点。
我们在模型中引入一个源汇节点s'和汇源节点t'，并连接源点和汇点，得到源汇图G'=(V,E')，其中：E'=E∪{(s',s,c(s,t))}∪{(t,t',c(s,t))}即，在原图的基础上，加入两个新的虚拟节点s'和t'，并连接到源点和汇点。
这样构造的网络流模型中，所有的节点都满足容量和流量平衡约束。
在网络流问题中，我们需要求解最大流或最小割，以满足约束条件，并且尽可能地提高网络的利用率。
二、网络流的基本概念和算法1. 流量和容量网络流图中，首先需要确定每条边的容量和流量。
流量指的是通过该边的流量大小，容量指的是该边能够承受的最大流量。
在网络流模型中，每条边的容量是一个正实数，而流量可以是任意实数。
流量和容量通常表示为f(e)和c(e)。
2. 割在网络流模型中，割是一种对源汇图做出的划分，其中源点s和汇点t被分为两个集合S和T。
网络流通过割的概念来定义障碍物，即对流量的限制。
在网络流图中，割C(S,T)是指将源点s和汇点t割成两部分的划分，C(S,T)满足：s∈S t∈T S∩T=∅根据割的定义，可将所有割分为最小割和最大割。
三种网络流（最大流）的实现算法讲解与代码
三种⽹络流（最⼤流）的实现算法讲解与代码[洛⾕P3376题解]⽹络流（最⼤流）的实现算法讲解与代码定义对于给定的⼀个⽹络，有向图中每个的边权表⽰可以通过的最⼤流量。
假设出发点S⽔流⽆限⼤，求⽔流到终点T后的最⼤流量。
起点我们⼀般称为源点，终点⼀般称为汇点内容前置1.增⼴路在⼀个⽹络从源点S到汇点T的⼀条各边剩余流量都⼤于0(还能让⽔流通过,没有堵住)的⼀条路。
2.分层预处理出源点到每个点的距离(每次寻找增⼴路都要,因为以前原本能⾛的路可能因为⽔灌满了,导致不能⾛了).作⽤是保证只往更远的地⽅放⽔,避免兜圈⼦或者是没事就⾛回头路(正所谓⼈往⾼处⾛⽔往低处流).3.当前弧优化每次增⼴⼀条路后可以看做“榨⼲”了这条路，既然榨⼲了就没有再增⼴的可能了。
但如果每次都扫描这些“枯萎的”边是很浪费时间的。
那我们就记录⼀下“榨取”到那条边了，然后下⼀次直接从这条边开始增⼴，就可以节省⼤量的时间。
这就是当前弧优化具体怎么实现呢，先把链式前向星的head数组复制⼀份，存进cur数组，然后在cur数组中每次记录“榨取”到哪条边了。
[#3 引⽤⾃]()解决算法Ford-Fulkerson 算法(以下简称FF算法)FF算法的核⼼是找增⼴路,直到找不到为⽌。
(就是⼀个搜索，⽤尽可能多的⽔流填充每⼀个点，直到没有⽔⽤来填充，或者没有多余的节点让⽔流出去)。
但是这样的⽅法有点基于贪⼼的算法，找到反例是显⽽易见的，不⼀定可以得到正解。
为了解决这种问题，我们需要⼀个可以吃后悔药的⽅法——加反向边。
原本我们的DFS是⼀条路⾛到⿊的，现在我们每次进⼊⼀个节点，把⽔流送进去，同时建⽴⼀个权值与我们送⼊的⽔流量相等，但是⽅向相反的路（挖⼀条路让⽔流能够反向流回来，相当于给⽔流吃⼀颗后悔药）。
我们给了FF算法⼀颗后悔药之后就可以让他能够找到正确的最⼤流。
Ford-Fulkerson算法的复杂度为O(e×f) ,其中 e 为边数, f为最⼤流上代码。
《运筹学》期末考试试题及参考答案
《运筹学》期末考试试题及参考答案《运筹学》期末考试试题及参考答案一、填空题1、运筹学是一门新兴的_________学科，它运用_________方法，研究有关_________的一切可能答案。
2、运筹学包括的内容有_______、、、_______、和。
3、对于一个线性规划问题，如果其目标函数的最优解在某个整数约束条件的约束范围内，那么该最优解是一个_______。
二、选择题1、下列哪一项不是运筹学的研究对象？( ) A. 背包问题 B. 生产组织问题 C. 信号传输问题 D. 原子核物理学2、以下哪一个不是运筹学问题的基本特征？( ) A. 唯一性 B. 现实性 C. 有解性 D. 确定性三、解答题1、请简述运筹学在日常生活中的应用实例，并就其中一个进行详细说明。
2、某企业生产三种产品，每种产品都可以选择用手工或机器生产。
假设生产每件产品手工需要的劳动时间为3小时，机器生产为2小时，卖价均为50元。
此外，手工生产每件产品的材料消耗为10元，机器生产为6元。
已知每个工人每天工作时间为24小时，可生产10件产品，每件产品的毛利润为50元。
请用运筹学方法确定手工或机器生产的数量，以达到最大利润。
参考答案：一、填空题1、交叉学科；数学；合理利用有限资源，获得最大效益2、线性规划、整数规划、动态规划、图论与网络、排队论、对策论3、整点最优解二、选择题1、D 2. A三、解答题1、运筹学在日常生活中的应用非常广泛。
例如，在背包问题中，如何在有限容量的背包中选择最有价值的物品；在生产组织问题中，如何合理安排生产计划，以最小化生产成本或最大化生产效率；在信号传输问题中，如何设计最优的信号传输路径，以确保信号的稳定传输。
以下以背包问题为例进行详细说明。
在背包问题中，给定一组物品，每个物品都有自己的重量和价值。
现在需要从中选择若干物品放入背包中，使得背包的容量恰好被填满，同时物品的总价值最大。
这是一个典型的0-1背包问题，属于运筹学的研究范畴。
图论与网络流算法
图论与网络流算法一、课程目标知识目标：1. 让学生掌握图的基本概念，包括图的表示方法、顶点与边的性质；2. 使学生理解图论中的关键算法，如最短路径、最小生成树、网络流等；3. 培养学生运用图论知识解决实际问题的能力。
技能目标：1. 培养学生运用图论算法编程解决问题的能力；2. 提高学生分析问题、设计算法和解决问题的能力；3. 培养学生的团队协作和沟通能力。
情感态度价值观目标：1. 激发学生对图论和网络流算法的兴趣，培养其主动探索的精神；2. 培养学生面对复杂问题时，保持积极、严谨的态度；3. 引导学生认识到图论在网络科学、运筹学等领域的广泛应用，增强其社会责任感。
本课程针对高中年级学生，课程性质为选修课，旨在帮助学生拓展知识面，提高逻辑思维能力和解决问题的能力。
考虑到学生的年龄特点，课程内容将注重实际应用，结合生活实例，引导学生发现图论在网络流算法中的重要作用。
在教学过程中，注重启发式教学，鼓励学生主动思考、提问，培养其创新意识。
通过本课程的学习，期望学生能够掌握图论基本知识，运用网络流算法解决实际问题，并在此过程中，形成积极的学习态度和价值观。
二、教学内容1. 图的基本概念- 图的表示方法（邻接矩阵、邻接表）- 顶点与边的性质（度、路径、连通性）2. 图论关键算法- 最短路径算法（Dijkstra算法、Floyd算法）- 最小生成树算法（Prim算法、Kruskal算法）- 网络流算法（Ford-Fulkerson算法、Edmonds-Karp算法）3. 图论在实际问题中的应用- 交通网络分析- 电信网络设计- 社交网络分析4. 教学内容安排与进度- 第1周：图的基本概念及表示方法- 第2周：最短路径算法及其应用- 第3周：最小生成树算法及其应用- 第4周：网络流算法及其应用5. 教材章节及内容列举- 教材第3章：图的基本概念- 教材第4章：最短路径与最小生成树算法- 教材第5章：网络流算法及其应用教学内容根据课程目标进行选择和组织，注重科学性和系统性。
网络流算法详解
引理 1：在网络 G=<V,E>中，原点为 s，汇点为 t。Edmonds-Karp 算法中，对于任意顶 点 v V – {s, t}，在剩余网络 Gf 中的距离f (s, v)和 f (v, t)随着流的增加而单调递增。（每 次增加两个单位，这里要用到 BFS 生成最短路径的性质，由于这次的增广路径在剩余网络 中已经是最短路径了，在新的剩余网络中，通过(s, v)的最短路径要增加。证明略） 引理 2：流增加的总次数不超过 O(VE)。 证明（1）：若在剩余图 Gf 中的边(u, v)满足 c(u,v)=cf (u, v)，边(u, v)是一条关键边。每 次进行增广路径扩充后，关键边(u, v)不会在该次的剩余网络 Gf 中出现。每次扩充至少会有 一条关键边。可以证明网络中的每条边称为关键边至多|V|/2-1 次。所以流增加的总次数为 O(VE)。 证明（2）：当边(u, v)在上一次剩余网络 Gf 中第一次称为关键边时，有f (s, v)= f (s, u) + 1 成立。然后边(u, v)将不会在该次剩余网络 Gf’ 中，边(u, v)下一次出现在某个剩余网络中 的时候有，肯定有流通过边(v, u)。假设当这种情况发生时，有网络 Gf’’ 的流为 f’，我们有： 其中由引理 1： f ‘ (s, v)f (s, v)，有 f’ (s, u)= f ‘ (s, v)+1f (s, v)+1=f (s, u)+2 所以从 s 到 u 的路径中，当其中的一条边称两次为关键边的时候，s 到 u 的距离增加 2 个单位。s 到 v 的距离最长为 n-1，那么 s 到 u 的最长距离为 n-2。所以边(u, v)能成为关键 边的次数最多为 n/2-1 次。所以流增加的总次数为 O(VE)。 Edmonds-Karp 算法的时间复杂度：O(VE2) 由引理 2 可知，流增加的总次数不超过 O(VE)，又每次扩充增广路径的时间复杂度为 O(E)，故 Edmonds-Karp 算法的时间复杂度为 O(VE2)。 3. Dinic 算法 Dinic 算法要用到层次图的数据结构，即 MSN (Multi-Stage Network)。MSN 可由每次 计算得到的剩余网络 Gf 再计算得到。 定义 1：k-阶图，k-stage 图 (或网络) G = (V, E)是一个有向图，G 的顶点集合被分成 (k+1) 2 个不相交的集合 Vi，0 i k。如果有边(u, v)∈E，则有 u Vi 和 v Vi+1，对某
最大流算法
◆如果有一组流量满足条件： 源点s ： 流出量 = 整个网络的流量 汇点t ： 流入量 =整个网络的流量 中间点：总流入量 = 总流出量
2 ） 对与该增广路径上的边 若( u, v ) 是正向边，f ( u, v ) = f ( u, v ) + d; 若( u, v ) 是逆向边，f ( u, v ) = f ( u, v ) – d;
增广后，总流量增加了d
样例：
4
1
6
23
2
34
开始流量为:sum=0
4
5
5
23
4
4
1
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5
4 23 4
1 2 22
5
6
3
4
2
5
1、一条增广路径: 1235 d=min{4,2,4} =2 增加流量: 2 Sum=2
4 23 4
1
2
22
5
6
3
4
2
5
2 32
1
4
2
2
22
4
2
5
6
34
5
2
2、一条增广路径: 1245 d=min{4-2,3,5} =2 增加流量: 2 Sum=2+2=4
2 32
i:=b[i];
ห้องสมุดไป่ตู้
end;
inc(sum,d); {总流量增加d}
主程序：
for i:=1 to n do b[i]:= -1; {初始化增广路径} b[1]:=0; while findflow(1) do {增广流}
最大流问题经典例题
最大流问题经典例题最大流问题是图论中的一个经典问题，其目的是在一个有向图中找到一条从源点到汇点的路径，使得路径上的流量最大。
最大流问题有多种解法，其中最著名的是Ford-Fulkerson算法和Edmonds-Karp 算法。
下面介绍一个最大流问题的经典例题：给定一个有向图G=(V,E)，其中V表示节点集合，E表示边集合。
假设有源点s和汇点t，并且每条边都有一个容量c，表示该边最多可以通过的流量。
请找到从源点s到汇点t的最大流量。
解法：一种解法是使用Ford-Fulkerson算法。
该算法通过不断增广路径来寻找最大流，直到无法找到增广路径为止。
具体实现过程如下：1. 初始化流f=0。
2. 寻找一条增广路径，即从s到t的一条路径，使得路径上所有边的剩余容量都大于0。
3. 计算该路径上的最小剩余容量d。
4. 对该路径上的所有边e，将其流量增加d，同时将其反向边的流量减少d。
5. 将f增加d。
6. 重复步骤2-5，直到无法找到增广路径。
另一种解法是使用Edmonds-Karp算法。
该算法在Ford-Fulkerson算法的基础上优化了增广路径的选择，选择最短路作为增广路径，从而提高了算法的效率。
具体实现过程如下：1. 初始化流f=0。
2. 寻找一条从s到t的最短增广路径，即路径上所有边的剩余容量都大于0，且路径长度最短。
3. 计算该路径上的最小剩余容量d。
4. 对该路径上的所有边e，将其流量增加d，同时将其反向边的流量减少d。
5. 将f增加d。
6. 重复步骤2-5，直到无法找到增广路径。
无论使用哪种算法，最后得到的f即为从源点s到汇点t的最大流量。
leetcode最大流问题经典例题
LeetCode经典题目之最大流问题最大流问题是图论中经典而重要的问题之一，其在网络流、运筹学、信息传输等领域都有着重要的应用。
LeetCode上也有不少相关的经典题目，通过解答这些题目，不仅可以加深对最大流问题的理解，还可以提升对图论、算法和数据结构的应用能力。
本文将以LeetCode经典题目为例，深入探讨最大流问题的原理、算法和应用。
一、LeetCode经典题目概述在LeetCode上，最大流问题主要体现在如下几个经典题目中：《网络流问题》、《最大网络流》、《多源多汇最大流问题》等。
这些题目涵盖了最大流问题的基本原理和经典算法，对于深入理解最大流问题具有重要意义。
二、最大流问题原理最大流问题是指在网络流中，从源点到汇点的最大可传输流量。
其实质是求解网络中从源点到汇点的最大流量路径，其应用涵盖了网络传输优化、路径规划、通信网络设计等多个领域。
在LeetCode的相关题目中，最大流问题往往需要运用图论、网络流、动态规划等知识，通过合适的算法找到最大流量。
三、LeetCode最大流问题解题思路针对LeetCode的最大流问题，解题思路一般包括以下几个步骤：1. 构建图模型：将题目中的问题抽象成图，包括结点、边、容量等信息。
2. 寻找增广路径：通过合适的算法（如Ford-Fulkerson算法、Edmonds-Karp算法等），寻找源点到汇点的增广路径。
3. 更新流量：根据增广路径找到的最大流量，更新网络中的流量值。
4. 判断终止条件：判断是否已经达到最大流，如果未达到，则继续寻找增广路径。
四、LeetCode最大流问题算法分析在LeetCode的最大流问题中，经常会用到Ford-Fulkerson算法和Edmonds-Karp算法。
Ford-Fulkerson算法是一种基本的最大流算法，通过不断寻找增广路径，更新网络中的流量值，直到无法再找到增广路径为止。
而Edmonds-Karp算法在Ford-Fulkerson算法的基础上进行了优化，通过广度优先搜索来寻找增广路径，能够更有效地找到最大流。
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Ford-Fulkerson 最大流
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s
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t
判定路径的容量 D.
在路径上发送 D 单位的流.
更新剩余容量.
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Ford-Fulkerson最大流
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寻找任何s-t 路径
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Ford-Fulkerson 最大流
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判定路径的容量 D
在路径中发送 D 单位的流. 更新剩余网络
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4 1 12
t
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寻找任何 s-t 路径
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Ford-Fulkerson 最大流
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1
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4 1 12
t
1
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3
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判定路径的容量 D
15.082 和 6.855J
最大流问题的Ford-Fulkerson 增广路 径算法
Ford-Fulkerson 最大流
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s
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2 1
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t
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这是初始网络以及初始剩余网络 .
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s
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在G(x)中寻找任何s-t 路径.
1
t
4
在路径中发送 D 单位的流. 更新剩余网络
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Ford-Fulkerson 最大流
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寻找任何 s-t 路径
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Ford-Fulkerson 最大流
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s
21 12
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t
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判定路径的容量 D
在路径中发送 D 单位的流. 更新剩余网络
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Ford-Fulkerson 最大流
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4
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t
1
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3
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在剩余网络中没有 s-t 路径. 此流是最优的.
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Ford-Fulkerson 最大流
2
32 1
43 1 11
ห้องสมุดไป่ตู้
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1 1
s
21 12
4
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t
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3
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这些是从结点 s 可达的结点.
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Ford-Fulkerson 最大流
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判定路径的容量 D
在路径中发送 D 单位的流. 更新剩余网络
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寻找任何 s-t 路径
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这是最优流.
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