高三第一轮复习等比数列教案

高三第一轮复习 《数列》5.3 等比数列

一、考点分布

1. 等比数列的概念（B ）

2. 等比数列的通项公式与前n 项和的公式（C ） 二、考试要求

1. 理解等比数列的概念；

2. 掌握等比数列的通项公式与前n 项和的公式

3. 能在具体问题情境中识别数列的等比关系，并能有关知识解决问题；

4. 了解等比数列与指数函数的关系. 三、重点与难点

1. 熟练运用等比数列的通项公式求解问题是复习重点；

2. 判断或证明数列的等比关系是复习的难点. 四、复习过程

2. 基础练习

（1）在等比数列{}n a 中，已知333

1,4

a S ==

，则6a =__________. 提示：-8 方法一：基本量法列出1,a d 方程组；方法二：求和公式

（2）在等比数列{}n a 中，已知1S ，22S ，33S 成等差数列，则公比q =_________. 提示：由题意，得21111114()3()a a q a a a q a q +=+++，故(31)0q q -=.

又0q ≠,所以13

q =

.

说明：等比数列通项公式与和n S 之间的联系，注意0,0.n a q ≠≠ （3）已知数列{}n a 是等比数列,且>0n a ,*n N ∈,354657281a a a a a a ++=，则

46a a += 9 ．

（4）设4710310()22222()n f n n N +=++++

+∈，则()f n 等于

（A ）

2(81)7n - （B ）12(81)7n +- （C ）32(81)7n +- （D ）42

(81)7n +- 3. 典型例题

例1.（1） 若等比数列{a n }的公比q ＜0，前n 项和为S n ，则S 2a 3与S 3a 2的大小关系是

(A) S 2a 3＞S 3a 2

(B) S 2a 3＜S 3a 2 (C) S 2a 3= S 3a 2 (D)不确定

（2）已知数列满足a 1=1，a n ＋1=2a n ＋3(n ∈N *)，则{a n }的通项公式为_______．

例2.若数列}{n a {}:n b 满足1211,(),(1,2,3,).n n n a a a a b a a n +===⋅=⋅⋅⋅为常数且 （Ⅰ）若{a n }是等比数列，试求数列{b n }的前n 项和S n 的公式；

（Ⅱ）当{b n }是等比数列时，甲同学说：{a n }一定是等比数列；乙同学说：{a n }一定不是等比数列．你认为他们的说法是否正确？为什么？ 解：（1）因为{a n }是等比数列a 1=1,a 2=a .∴a ≠0，a n =a n －1. 又1n n n b a a +=⋅，

1

2112211211,n n n n n n n n n n b a a a a b a a a a b a a a a +++++-+⋅=⋅=====⋅则,

即}{n b 是以a 为首项, a 2为公比的等比数列.

22

(||1),(1)

(||1).

1n n na

a S a a a a =⎧⎪

∴=⎨-≠⎪

-⎩

（II ）甲、乙两个同学的说法都不正确，理由如下： 设{b n }的公比为q ，则

1122

10n n n n n n n n

b a a a q a b a a a +++++===≠且 又a 1=1,a 2=a , a 1, a 3, a 5,…，a 2n －1，…是以1为首项，q 为公比的等比数列；

而a 2, a 4, a 6, …, a 2n , …是以a 为首项，q 为公比的等比数列， 即{a n }为：1，a , q, a q , q 2, a q 2, ….

当q=a 2时，{a n }是等比数列；当q≠a 2时，{a n }不是等比数列.

例3. 数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1=1，11

3

n n a S +=，n =1，2，3，……，

求 （I ）a 2，a 3，a 4的值及数列{a n }的通项公式；

（II ）13521n a a a a -+++

+的值.

解：（Ⅰ）由得,,3,2,1,31,111 ==

=+n S a a n n .3

1

3131112===a S a

321243123111222

114(),

3391116().

3327

11

()(2),

334,(2),

3114

,()(2).

333

1,

1,,{}14(), 2.33

n n n n n n n n n n n n a S a a a S a a a a a S S a n a a n a a n n a a n +-+--==+===++=-=-=≥=≥==≥=⎧⎪

=⎨≥⎪⎩由得又所以所以数列的通项公式为

（Ⅱ）由（I ）可知a 3，a 3，…，a 2n -1，是首项为4

,9

公比为（

3

4）2

的等比数列，

所以11135212161()4341691().49779

1()3

n n n a a a a ----+++

+=+⋅=+- 例4. （备选）设数列{a n }的首项a 1=a ≠4

1，且1

1为偶数21为奇数

4

n n n a n a a n +⎧⎪⎪=⎨⎪+⎪⎩,

记211

4

n n b a -=-，n ＝＝l ，2，3，…·． （I ）求a 2，a 3；

（II ）判断数列{b n }是否为等比数列，并证明你的结论；

4. 规律总结：

①深刻理解等比数列的定义，紧扣“从第二项起”和“比是同一常数”，特别注意0,0.n a q ≠≠

②判断或证明等比数列的两种思路： 利用定义，证明

1

n n

a q a +=为常数; 利用等比中项，证明212n n n a a a ++=对*n ∈N 成立.

③方程思想：在1,,,,n n a a q S n 五个两种，运用待定系数法“知三求二”；