高三第一轮复习等比数列教案
高三 一轮复习 等比数列 教案
等比数列及其前n 项和1．等比数列的有关概念 (1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示，定义的表达式为a n ＋1a n ＝q .(2)等比中项：如果a 、G 、b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即：G 是a 与b 的等比中项⇔a ，G ，b 成等比数列⇒G 2＝ab . 2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1q n －1.(2)前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1(1－q n )1－q＝a 1－a n q 1－q ，q ≠1.1．在等比数列中易忽视每项与公比都不为0.2．在运用等比数列的前n 项和公式时，必须对q ＝1与q ≠1分类讨论，防止因忽略q ＝1这一特殊情形导致解题失误． [试一试]1．在1和9之间插入三个正数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的和为________．2．(2014·徐州摸底)已知各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＝18，S 3＝26，则{a n }的公比q ＝________.1．等比数列的三种判定方法(1)定义：a n ＋1a n＝q (q 是不为零的常数，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列．(2)通项公式：a n ＝cq n －1(c 、q 均是不为零的常数，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列．(3)等比中项法：a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(a n ·a n ＋1·a n ＋2≠0，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列． 2．等比数列的常见性质(1)若m ＋n ＝p ＋q ＝2k (m ，n ，p ，q ，k ∈N *)，则a m ·a n ＝a p ·a q ＝a 2k ；(2)若数列{a n }、{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n }、⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 、{a 2n }、{a n ·b n}、⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n bn (λ≠0)仍然是等比数列；(3)在等比数列{a n }中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即a n ，a n ＋k ，a n ＋2k ，a n ＋3k ，…为等比数列，公比为q k ；(4)公比不为－1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为q n ，当公比为－1时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 不一定构成等比数列． 3．求解等比数列的基本量常用的思想方法(1)方程的思想：等比数列的通项公式、前n 项和的公式中联系着五个量：a 1，q ，n ，a n ，S n ，已知其中三个量，可以通过解方程(组)求出另外两个量；其中基本量是a 1与q ，在解题中根据已知条件建立关于a 1与q 的方程或者方程组，是解题的关键．(2)分类讨论思想：在应用等比数列前n 项和公式时，必须分类求和，当q ＝1时，S n ＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 1(1－q n )1－q ；在判断等比数列单调性时，也必须对a 1与q 分类讨论．[练一练]1．(2010·江苏高考)函数y ＝x 2(x >0)的图像在点(a k ，a 2k )处的切线与x 轴交点的横坐标为a k ＋1，其中k ∈N *.若a 1＝16，则a 1＋a 3＋a 5的值是________．2．已知数列{a n }是公比q ≠±1的等比数列，则在{a n ＋a n ＋1}，{a n ＋1－a n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n a n ＋1，{na n }这四个数列中，是等比数列的有________个． 答案：3考点一等比数列的基本运算1.(2013·盐城三调)在等比数列{a n }中，若a 2＝－2，a 6＝－32，则a 4＝________.2．(2014·扬州模拟)已知等比数列{a n }中，公比q >1，且a 1＋a 4＝9，a 2a 3＝8，则a 2 013＋a 2 014a 2 011＋a 2 012＝________.3．设等比数列{a n}的公比q<1，前n项和为S n，已知a3＝2，S4＝5S2，求{a n}的通项公式．[类题通法]1．对于等比数列的有关计算问题，可类比等差数列问题进行，在解方程组的过程中要注意“相除”消元的方法，同时要注意整体代入(换元)思想方法的应用．2．在涉及等比数列前n项和公式时要注意对公比q是否等于1进行判断和讨论．考点二等比数列的判定与证明[典例]已知数列{a n}的前n项和为S n，且a n＋S n＝n.(1)设c n＝a n－1，求证：{c n}是等比数列；(2)求数列{a n}的通项公式．在本例条件下，若数列{b n}满足b1＝a1，b n＝a n－a n－(n≥2), 证明{b n}是等比数列.1证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可． [针对训练]已知数列{a n }满足：a 1＝1，a 2＝a (a ≠0)，a n ＋2＝p ·a 2n ＋1a n(其中p 为非零常数，n ∈N *)．(1)判断数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1a n 是不是等比数列； (2)求a n .考点三等比数列的性质[典例] (1)(2014·苏州期末)在等比数列{a n }中，若a 3a 5a 7＝－8，则a 2a 8＝________.(2)(2014·盐城二模)若等比数列{a n }满足a m －3＝4且a m a m －4＝a 24(m ∈N *且 m >4)，则a 1a 5的值为________．等比数列常见性质的应用等比数列的性质可以分为三类：①通项公式的变形，②等比中项的变形，③前n 项和公式的变形．根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口． [针对训练]1．(2014·苏北四市调研)已知在等比数列{a n }中，a 1＋a 2＝12，a 3＋a 4＝1，则a 7＋a 8＋a 9＋a 10＝________.2．(2014·南京二模)已知等比数列{a n }的公比q >0，a 2＝1，a m ＋2＋a m ＋1＝6a m ，则{a n }的前4项和是________．[课堂练通考点]1．(2014·南京学情调研)已知等比数列{a n }的公比q ＝－12，S n 为其前n 项和，则S 4a 4＝________.2．(2014·连云港期末)在正项等比数列{a n }中，a 3a 11＝16，则log 2a 2＋log 2a 12＝________.3．已知等比数列{a n }的各项均为正数，且a 1＋2a 2＝3，a 24＝4a 3a 7，则数列{a n }的通项公式为________．4．已知数列{a n }是等比数列，a 1，a 2，a 3依次位于下表中第一行，第二行，第三行中的某一格内，又11。
高三第一轮复习等比数列教案
高三第一轮复习 《数列》5.3 等比数列一、考点分布1. 等比数列的概念（B ）2. 等比数列的通项公式与前n 项和的公式（C ） 二、考试要求1. 理解等比数列的概念；2. 掌握等比数列的通项公式与前n 项和的公式3. 能在具体问题情境中识别数列的等比关系，并能有关知识解决问题；4. 了解等比数列与指数函数的关系. 三、重点与难点1. 熟练运用等比数列的通项公式求解问题是复习重点；2. 判断或证明数列的等比关系是复习的难点. 四、复习过程2. 基础练习（1）在等比数列{}n a 中，已知3331,4a S ==，则6a =__________. 提示：-8 方法一：基本量法列出1,a d 方程组；方法二：求和公式（2）在等比数列{}n a 中，已知1S ，22S ，33S 成等差数列，则公比q =_________. 提示：由题意，得21111114()3()a a q a a a q a q +=+++，故(31)0q q -=.又0q ≠,所以13q =.说明：等比数列通项公式与和n S 之间的联系，注意0,0.n a q ≠≠ （3）已知数列{}n a 是等比数列,且>0n a ,*n N ∈,354657281a a a a a a ++=，则46a a += 9 ．（4）设4710310()22222()n f n n N +=+++++∈，则()f n 等于（A ）2(81)7n - （B ）12(81)7n +- （C ）32(81)7n +- （D ）42(81)7n +- 3. 典型例题例1.（1） 若等比数列{a n }的公比q ＜0，前n 项和为S n ，则S 2a 3与S 3a 2的大小关系是(A) S 2a 3＞S 3a 2(B) S 2a 3＜S 3a 2 (C) S 2a 3= S 3a 2 (D)不确定（2）已知数列满足a 1=1，a n ＋1=2a n ＋3(n ∈N *)，则{a n }的通项公式为_______．例2.若数列}{n a {}:n b 满足1211,(),(1,2,3,).n n n a a a a b a a n +===⋅=⋅⋅⋅为常数且 （Ⅰ）若{a n }是等比数列，试求数列{b n }的前n 项和S n 的公式；（Ⅱ）当{b n }是等比数列时，甲同学说：{a n }一定是等比数列；乙同学说：{a n }一定不是等比数列．你认为他们的说法是否正确？为什么？ 解：（1）因为{a n }是等比数列a 1=1,a 2=a .∴a ≠0，a n =a n －1. 又1n n n b a a +=⋅，12112211211,n n n n n n n n n n b a a a a b a a a a b a a a a +++++-+⋅=⋅=====⋅则,即}{n b 是以a 为首项, a 2为公比的等比数列.22(||1),(1)(||1).1n n naa S a a a a =⎧⎪∴=⎨-≠⎪-⎩（II ）甲、乙两个同学的说法都不正确，理由如下： 设{b n }的公比为q ，则112210n n n n n n n nb a a a q a b a a a +++++===≠且 又a 1=1,a 2=a , a 1, a 3, a 5,…，a 2n －1，…是以1为首项，q 为公比的等比数列；而a 2, a 4, a 6, …, a 2n , …是以a 为首项，q 为公比的等比数列， 即{a n }为：1，a , q, a q , q 2, a q 2, ….当q=a 2时，{a n }是等比数列；当q≠a 2时，{a n }不是等比数列.例3. 数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1=1，113n n a S +=，n =1，2，3，……，求 （I ）a 2，a 3，a 4的值及数列{a n }的通项公式；（II ）13521n a a a a -++++的值.解：（Ⅰ）由得,,3,2,1,31,111 ===+n S a a n n .313131112===a S a321243123111222114(),3391116().332711()(2),334,(2),3114,()(2).3331,1,,{}14(), 2.33n n n n n n n n n n n n a S a a a S a a a a a S S a n a a n a a n n a a n +-+--==+===++=-=-=≥=≥==≥=⎧⎪=⎨≥⎪⎩由得又所以所以数列的通项公式为（Ⅱ）由（I ）可知a 3，a 3，…，a 2n -1，是首项为4,9公比为（34）2的等比数列，所以11135212161()4341691().497791()3n n n a a a a ----++++=+⋅=+- 例4. （备选）设数列{a n }的首项a 1=a ≠41，且11为偶数21为奇数4n n n a n a a n +⎧⎪⎪=⎨⎪+⎪⎩,记2114n n b a -=-，n ＝＝l ，2，3，…·． （I ）求a 2，a 3；（II ）判断数列{b n }是否为等比数列，并证明你的结论；4. 规律总结：①深刻理解等比数列的定义，紧扣“从第二项起”和“比是同一常数”，特别注意0,0.n a q ≠≠②判断或证明等比数列的两种思路： 利用定义，证明1n na q a +=为常数; 利用等比中项，证明212n n n a a a ++=对*n ∈N 成立.③方程思想：在1,,,,n n a a q S n 五个两种，运用待定系数法“知三求二”；函数思想与分类讨论：当a 1＞0，q ＞1或a 1＜0，0＜q ＜1时为递增数列;当a 1＜0，q ＞1或a 1＞0，0＜q ＜1时为递减数列； 当q ＜0时为摆动数列； 当q =1时为常数列.④掌握等比数列的有关性质:若 {}n a 是公比为q 等比数列，则22311{},{},{},{},{}n n m m nka a a a a +等还成等比数列，公比分别是2231,,,,kq q q q q，其中为非零常数. 若*(,,,)m n s t m n s t N +=+∈,则m n s t a a a a ⋅=⋅.5. 课外作业：海淀总复习检测P46 5.3等比数列每课作业1．选择题（1）等比数列{}n a 的各项都是正数，若181a =,516a =,则它的前5项和是 ( ) (A)179 (B)211 (C)243 (D)275 (2)设{a n }是由正数组成的等比数列，公比q =2，且a 1·a 2·a 3·…·a 30=230，那么a 3·a 6·a 9·…·a 30等于( ) (A)210 (B)220 (C)216 (D)215 (3) 给定正数p,q,a,b,c ，其中p ≠q ，若p,a,q 成等比数列，p,b,c,q 成等差数列, 则一元二次程bx 2－2ax +c=0（ ） (A)无实数根(B)有两个相等的实数根 (C)有两个同号的相异的实数根(D)有两个异号的相异的实数根2．填空题(4)一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列，其最小内角是__________. (5)在1n和1n +之间插入n 个正数,使这2n +个正数成等比数列,则插入的n 个正数之积为_________.(6)一张报纸，其厚度为a ，面积为b .现将报纸对折(即沿对边中点点连线折叠)7次,报纸的厚度为_______,报纸的面积为 . 3．解答题（7）在数列{}n a 中，已知1221-=+++n n a a a ，求数列2{}n a 前n 项的和.(8)三个互不相等的数成等差数列，如果适当排列这三个数，也可成等比数列，已知这三个数的和等于6，求此三个数.(9)数列{}n a 中，12a =，1n n a a cn +=+（c 是常数，123n =，，，），且123a a a ，，成公比不为1的等比数列． （I ）求c 的值；（II ）求{}n a 的通项公式．参考答案（1） B （2）B （3）A（4）设Rt △ABC 中，C =2π，则A 与B 互余且A 为最小内角.又由已知得sin 2B =sin A ，即cos 2A =sin A ，1－sin 2A =sin A ，解之得sin A =215-或sin A =215--（舍）.故最小内角是. （5）(5)21()nn n+ (6)128128b a （7）解:由由已知得 ,21-=n n a 所以数列2{}n a 前n 项的和为)14(31-n（8）解：设三个数分别为 a-d,a,a+d 则 （a －d ）＋a ＋(a ＋d )=3a ＝6 a =2三个数分别为 2－d,2,2＋d ∵它们互不相等 ∴分以下两种情况： 当(2－d)2=2(2＋d)时， d=6 三个数分别为-4,2,8 当(2＋d)2=2(2－d)时， d=-6 三个数分别为8,2,-4 因此，三个数分别为-4,2,8 或8,2,-4 (9)（I ）12a =，22a c =+，323a c =+， 因为1a ，2a ，3a 成等比数列， 所以2(2)2(23)c c +=+， 解得0c =或2c =．当0c =时，123a a a ==，不符合题意舍去，故2c =． （II ）当2n ≥时，由于21a a c -=， 322a a c -=，1(1)n n a a n c --=-，所以1(1)[12(1)]2n n n a a n c c --=+++-=． 又12a =，2c =，故22(1)2(23)n a n n n n n =+-=-+=，，． 当1n =时，上式也成立，所以22(12)n a n n n =-+=，，．。
高三数学第一轮复习第讲教案等比数列
芯衣州星海市涌泉学校沙城中学补习班数学第一轮复习教案第二十讲3．4等比数列一、知识网络1．等比数列定义：从第二项起,每一项与它前一项的比等于同一个常数的数列称作等比数列.10n na q a +=≠为常数,且第每项不为零.2．通项公式11-=n n q a a ,推广:mn m n q a a -=,3．前n 项和111(1)(1)(01)11n n n na q S a q a a qq q q =⎧⎪=--⎨=≠⎪--⎩、,q≠1时，m n S S =mnq q --11.注:应用前n 项和公式时,一定要区分q=1与q≠1的两种不同情况,必要的时候要分类讨论. 4．等比中项:假设a 、b 、c 成等比数列,那么b 是a 、c 的等比中项,且ac b ±=5．等比数列{an}的性质:(1)假设qp n m a a a a N q p n m q p n m ⋅=⋅∈+=+*则,,,,(2)下标成等差数列的项构成等比数列(3)连续假设干项的和也构成等比数列. 6．证明数列为等比数列的方法:(1)定义法:假设{}为等比数列数列n n n a N n q a a ⇔∈=*+)(1(2)等比中项法:假设{}2120,()n n n n a a a n N a *++=⋅≠∈⇔数列为等比数列(3)通项法:假设{}为等比数列数列的常数均是不为n n n a N ，n q c cq a ⇔∈=*)0,( (4)前n 项和法:假设(,0,1)nn S Aq A A q q q =-≠≠⇔为常数,且数列{}n a 为等比数列。
二、经典例题【例1】(2021)正项数列{an}，其前n 项和Sn 满足10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比数列，求数列{an}的通项an解:∵10Sn=an2+5an+6，①代n=1得10a1=a12+5a1+6，a1=2或者者a1=3又10Sn －1=an －12+5an －1+6(n≥2)，②由①－②得10an=(an2－an －12)+6(an －an －1)，即(an+an －1)(an －an －1－5)=0 ∵an+an－1>0，∴an－an －1=5(n≥2)当a1=3时，a3=13，a15=73 a1，a3，a15不成等比数列∴a1≠3;当a1=2时，a3=12，a15=72，有a32=a1a15，∴a1=2，∴an=5n－3【例2】等比数列{an}的各项均为正数，其前n 项中，数值最大的一项是哪一项哪一项54，假设该数列的前n 项之和为Sn ，且Sn=80，S2n=6560，求：〔1〕前100项之和S100.〔2〕通项公式an. 解：设公比为q ，由得Sn=q q a n --1)1(1=80，①S2n=q q a n --1)1(21=6560，②由②÷①解得,qn=81,q>1,〔∵an＞0〕,可知最大项为an=a1qn －1③qn=81代入①③得a1=2，q=3，〔1〕前100项之和S100=13)13(2100--=3100－1.〔2〕通项公式为an=2·3n－1. 提炼方法:1.转化为根本量;2.解方程次数较高时除一下可降次.3.断定最大项的方法.【例3】〔2021全国Ⅲ〕在等差数列{an}中，公差d≠0,且a2是a1和a4的等比中项,a1,a3,,a ,a ,a ,a n321k k k k 成等比数列，求数列k1,k2,k3,…,kn 的通项kn解：由题意得：4122a a a =即)3()(1121d a a d a +=+又0,d ≠d a =∴1an=na1 又,,,,,,2131n k k k a a a a a 成等比数列,∴该数列的公比3313===d da a q ，其中第n+2项:113+⋅=n k a a n 又1n k n a k a =13+=∴n n k 所以数列}{n k 的通项为13+=n n k【例4】12a =，点1(,)n n a a +在函数2()2f x x x =+的图象上(1,2,3,n =)〔1〕证明数列{lg(1)}n a +是等比数列；〔2〕设12(1)(1)(1)n n T a a a =+++，求n T 及数列{}n a 的通项；解：〔Ⅰ〕由212n n n a a a +=+，211(1)n n a a +∴+=+12a =11n a ∴+>，两边取对数得1lg(1)2lg(1)n n a a ++=+，即1lg(1)2lg(1)n n a a ++=+{lg(1)}n a ∴+是公比为2的等比数列. 〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知11lg(1)2lg(1)n n a a -+=⋅+ 1122lg 3lg 3n n --=⋅=1213n n a -∴+=〔*〕12(1)(1)n T a a ∴=++n …(1+a )012222333=⋅⋅⋅⋅n-12…321223+++=n-1…+2=n 2-13由〔*〕式得1231n n a -=- 【研讨.欣赏】设数列｛an ｝，a1＝65，假设以a1，a2，…，an 为系数的二次方程：an －1x2－anx ＋1＝0〔n∈Ｎ*且n≥2〕都有根α、β满足3α－αβ＋3β＝1.〔1〕求证:｛an －21｝为等比数列；〔2〕求an ；〔3〕求｛an ｝的前n 项和Sn.证明〔1〕∵α＋β＝1-n n a a ，αβ＝11-n a 代入3α－αβ＋3β＝1得an ＝31an －1＋31，∴21211---n n a a ＝2121313111--+--n n a a ＝31为定值.∴数列｛an －21｝是等比数列.解〔2〕∵a1－21＝65－21＝31，∴an－21＝31×〔31〕n －1＝〔31〕n.∴an＝〔31〕n ＋21. 解〔3〕Sn ＝〔31＋231+…+n31)+2n ＝311)311(31--n +2n ＝21+n －n 321⨯. 三、双基题目1.(2021)假设互不相等的实数a 、b 、c 成等差数列，c 、a 、b 成等比数列，且a+3b+c=10，那么a=〔〕A.4B.2 C.-2D.-42.银行一年定期的年利率为r ，三年定期的年利率为q ，银行为吸收长期资金，鼓励储户存三年定期的存款，那么q 的值应略大于()A.1)1(3-+rB.31［〔1+r 〕3－1］C.〔1+r 〕3－1D.r3.〔2021〕在等比数列{}n a 中,12a =,前n 项和为n S ,假设数列{}1n a +也是等比数列,那么Sn 等于()〔A 〕122n +-〔B 〕3n 〔C 〕2n 〔D 〕31n-4.〔2021〕设4710310()22222()n f n n N +=+++++∈，那么()f n 等于()〔A 〕2(81)7n- 〔B 〕12(81)7n +-〔C 〕32(81)7n +- 〔D 〕42(81)7n +-5.在2与6之间插入n 个数，使它们组成等比数列，那么这个数列的公比为6.等比数列{an}中，a1+a2+a3=7，a1a2a3=8，那么通项公式为简答:1-4.DBCD;2.由题意得〔1+r 〕3＜1+3q ，故q ＞31［〔1+r 〕3－1］;4.通项an=23n-2,f(n)是前n+4项的和;5.13+n 6.转化为根本量a1，q ，an=2n －1或者者an=23－n.。
高考数学第一轮复习第三章 数列第三课时等比数列教案 人教版 教案
高考数学第一轮复习第三章 数列第三课时等比数列教案教学目的：理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式，并能运用公式解决简单的问题．教学重点：等比数列的通项公式及前n 项和公式的的运用。
教学难点：函数与方程思想及等价转化的思想；错位减法的运用。
考点分析及学法指导：等差与等比数列的考察题型即有选择题、填空题，又有解答题；难度即有容易题、中等题，也有难题。
这与每年试卷的结构布局有关。
客观是突出“小而巧”，主观是为“大而全”，着重考察函数与方程、等价转换、分类讨论等重要的数学思想，以及配方法、换元法、待定系数法等基本数学方法，加强与函数、方程、不等式等支撑数学笠体系的重点内容的结合，在知识网络交汇点设计命题。
数列的应用题，考察的侧重点是现实客观事的确良数学化。
旨在通过阅读，理解命题的背景材料，运用数学的思想和方法分析题目中多种数量之间的关系，构造数列模型，将现实问题转化为数学问题解决。
资料 教学过程： 一、知识讲解：1．m n m n q a a -=2．若q p n m +=+，m 、n 、p 、q ∈N *，则q p n m a a a a =特别地，当p n m 2=+时，2p n m a a a =3．n n n q qa q a q q a S ⋅---=--=111)1(111(q≠1)，则nn q k k S ⋅-=，其中q 为公比，q ≠0，q ≠1，qa k -=11。
4．若首项1a ＞0，公比q ＞1，或首项1a ＜0，公比0＜q ＜1，则数列为递增数列；若首项1a ＞0，公比0＜q ＜1，或首项1a ＜0，公比q ＞1，则数列为递减数列；公比q ＝1，数列为常数列；公比q ＜0，数列为摆动数列．公比q 不等于零是一大特点．5．在等比数列中，下标成等差数列的项构成等比数列； 6．连续相同个数项的积也构成等比数列；7．在等比数列中{}2n a ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1也成等比数列； 8．若{}n a 为等比数列，则{}n a lg 成等差数列． 二、例题分析 （一）基础知识扫描1．等比数列{}n a 的通项公式为n a =，可推广为 n a =⋅m a ；等比数列前n 项和公式为n S =，其中n ，m ∈N *．2．若等比数列{}n a 中，3021=+a a ，6043=+a a ，则87a a +=. 3．ac b =2是三个数a ，b ，c 成等比数列的() A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．一条信息，若一人得知后用一小时将信息传给两个人，这两个人又用一小时各传给未知此信息的另外两人，如此继续下去，要传遍100万人口的城市，所需的时间大约为( )A ．三个月B ．一个月C ．10天D ．20天 5．给出下面五个命题：①若{}n a 是等比数列，且l k n m +=+，则l k n m a a a a +=+②若{}n a 是等比数列，其前n 项和为n S ，则()()n n n n n S S S S S 2322-⋅=-③{}n a 是等比数列的一个充要条件是()1-⋅=nn b a S ，常数a ≠0，b ≠1；④若{}k n 成等差数列，则{}kn a成等比数列，其中a >0，a ≠1；⑤若{}n a 成等差数列，则{}n a lg 成等比数列。
高三数学《等比数列》教学设计[推荐五篇]
![高三数学《等比数列》教学设计[推荐五篇]](https://img.taocdn.com/s3/m/4fc4a5315e0e7cd184254b35eefdc8d376ee14ad.png)
高三数学《等比数列》教学设计[推荐五篇]第一篇：高三数学《等比数列》教学设计作为一名辛苦耕耘的教育工作者，通常会被要求编写教学设计，教学设计是对学业业绩问题的解决措施进行策划的过程。
教学设计应该怎么写才好呢？下面是小编为大家收集的高三数学《等比数列》教学设计，仅供参考，希望能够帮助到大家。
教学重点：理解等比数列的概念，认识等比数列是反映自然规律的重要数列模型之一，探索并掌握等比数列的通项公式。
教学难点：遇到具体问题时，抽象出数列的模型和数列的等比关系，并能用有关知识解决相应问题。
教学过程：一.复习准备1.等差数列的通项公式。
2.等差数列的前n项和公式。
3.等差数列的性质。
二.讲授新课引入：1“一尺之棰，日取其半，万世不竭。
”2细胞分裂模型3计算机病毒的传播由学生通过类比，归纳，猜想，发现等比数列的特点进而让学生通过用递推公式描述等比数列。
让学生回忆用不完全归纳法得到等差数列的通项公式的过程然后类比等比数列的通项公式注意：1公比q是任意一个常数，不仅可以是正数也可以是负数。
2当首项等于0时，数列都是0。
当公比为0时，数列也都是0。
所以首项和公比都不可以是0。
3当公比q=1时，数列是怎么样的，当公比q大于1，公比q小于1时数列是怎么样的？4以及等比数列和指数函数的`关系5是后一项比前一项。
列：1，2，（略）小结：等比数列的通项公式三.巩固练习：1.教材P59练习1，2，3，题2.作业：P60习题1，4。
第二课时5.2.4等比数列（二）教学重点：等比数列的性质教学难点：等比数列的通项公式的应用一.复习准备：提问：等差数列的通项公式等比数列的通项公式等差数列的性质二.讲授新课：1.讨论：如果是等差列的三项满足那么如果是等比数列又会有什么性质呢？由学生给出如果是等比数列满足2练习：如果等比数列=4，=16，=？(学生口答)如果等比数列=4，=16，=？(学生口答)3等比中项：如果等比数列.那么，则叫做等比数列的等比中项（教师给出）4思考：是否成立呢？成立吗？成立吗？又学生找到其间的规律，并对比记忆如果等差列，5思考：如果是两个等比数列，那么是等比数列吗？如果是为什么？是等比数列吗？引导学生证明。
高三第一轮复习《等比数列》教学设计
高三第一轮复习《等比数列》教学设计教学目标：1.使学生理解等比数列的概念，掌握其通项公式，并能运用定义及其通项公式解决一些简单的实际问题。
2.能在具体的问题情境中,发现数列的等比关系3.用类比的方法研究等比数列 ,使学生对数列建立起一个知识体系,培养用不完全归纳法去发现并解决问题的能力和计算能力,多让学生动手,让学生在解题中,体会成功的快乐教学重点：1.等比数列的通项公式及其推导过程2.等比数列性质的应用教学难点：等比数列的实际应用问题或与其他知识交汇题的题目 教学方法：自主探究、合作学习教学过程：一、知识点的整理:1．等比数列的定义:2．等比数列的通项公式设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，则它的通项a n ＝11-n q a3.等比中项：若xy G =2，那么G 叫做x 与y 的等比中项．4．等比数列的常用性质5．等比数列的前n 项和公式二、典例分析练习 （口答) 性质的应用(1)．在等比数列{a n }中，a 1＋a 2＝30，a 3＋a 4＝60，则a 7＋a 8＝________.(2)．若互不相等的实数a 、b 、c 成等差数列，c 、a 、b 成等比数列，且a ＋3b ＋c ＝10，则a ＝________.(3)．在等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，若S 3＝7，S 6＝63，则公比q 的值是( )A ．2B ．－2C ．3D ．－3(4)．在数列{a n }中，a n ＋1＝ca n (c 为非零常数)，且前n 项和S n ＝3n ＋k ，则实数k ＝________.例1等比数列的基本量的运算（1）已知等比数列{a n }中，a 1＋a 2＋a 3＝7，a 1a 2a 3＝8，求a n（2）在等比数列中，若.14321=a a a a ，816151413=a a a a ，求44434241a a a a 例2等比数列的判定与证明已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }中，b 1＝a 1，b n ＝a n －a n －1 (n ≥2)，且a n ＋S n ＝n .(1)设c n ＝a n －1，求证：{c n }是等比数列；(2)求数列{b n }的通项公式．变式:设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋2.(1)设b n ＝a n ＋1－2a n ，证明：数列{b n }是等比数列；(2)求数列{a n }的通项公式课堂小结通过本节课的学习，你对等比函数有什么认识？你有什么收获？1.设计意图：等比数列在高中数学中占有很重要的位置.这一节的难点是对公式的理解及灵活应用,如何突破这一难点,就要让学生理解公式的由来和涉及的数学思想,比如累乘法.然后讲一些典型题,易错易漏题.本节课，力图让学生从不同的角度去研究数列，对等比数列进行一个全方位的研究，并通过类比的方法,把研究等差数列的方法迁移过来.本课的教学中我努力实践以下两点：（1）.在课堂活动中通过同伴合作、自主探究培养学生积极主动、勇于探索的学习方式.（2）.在教学过程中努力做到生生对话、师生对话，并且在对话之后重视体会、总结、反思，力图在培养和发展学生数学素养的同时让学生掌握一些学习、研究数学的方法.（3）.通过课堂教学活动向学生渗透数学思想方法.教学流程：2.预期目标完成：本节课无论是等比数列的概念还是通项公式的推导及其应用，还是例题练习，都是通过学生的自主探究或学生交流或师生交流的方式进行教学。
(新人教)高三数学第一轮复习教案3.4.1等比数列1
一．课题：等比数列（1）二．教学目标：1. 明确等比数列的定义；2．掌握等比数列的通项公式。
三．教学重、难点：等比数列定义和等比数列通项公式。
四．教学过程：（一）复习：前面我们共同探讨了等差数列，现在我们再来回顾一下主要内容。
（二）新课讲解：1．引入：观察下面几个数列，看其有何共同特点？（1）1，2，4，8，16， (263)（2）5，25，125，625，…（3）111,,,248--…2．等比数列定义：一般地，如果一个数列从第二项起．．．．，每一项与它的前一项的比等于同一个常数．．，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q 表示(0)q ≠，即：1n a +∶(0)n a q q =≠数列对于数列（1）（2）（3）都是等比数列，它们的公比依次是2，5，21-．（注意：“从第二项起”、“常数”q 、等比数列的公比和项都不为零） 3．等比数列的通项公式： 由定义式可得：(1)n -个等式21a q a =，32 a q a =，……，1 n n a q a -=， 若将上述1n -个等式相乘，便可得：11342312--=⨯⨯⨯n n n q a a a a a a a a Λ， 即：11-⋅=n n q a a （n ≥2） 当1n =时，左边=1a ，右边=1a ，所以等式成立，∴等比数列通项公式为：)0(111≠⋅⋅=-q a q a a n n ．或者由定义得：q a a 12=； 21123)(q a q q a q a a ===；234311()a a q a q q a q ===；……；)0(1111≠⋅⋅==--q a q a q a a n n n1n =时，等式也成立，即对一切*∈N n 成立。
（不完全归纳法） 说明：1．由等比数列的通项公式可以知道：当公比1d =时该数列既是等比数列也是等差数列；2．等比数列的图象：如数列①，121-⨯=n n a （64n ≤）（图象略）．4．例题分析：例1．一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，求它的第1项、第2项、公比和通项公式。
高中数学一轮复习等比数列教案 苏教版必修5高三
§22.2等比数列的概念【复习目标】1． 理解等比数列的概念，掌握其通项公式； 2． 掌握等比数列的性质及简单应用 【重点难点】理等比数列的概念，建立分类讨论的思想 【知识梳理】（1）等比数列的定义： 数列{}n a 中，若q a a nn =+1(常数)，0≠q ，对*∈N n 都成立，则数列{}na 叫等比数列，常数q 叫等比数列的公比。
等比数列的通项公式为11-=n n q a a通项公式推广：m n m n q a a -= （2）等比数列}{n a 的简单性质： 1、对于任意的正整数n ，均有1n na q a +=（常数）； 2、对于任意的正整数2≥n ，有112+-=n n n a a a3、对于任意的正整数n m q p ,,,,如果n m q p +=+，则n m q p a a a a =（3）等比中项的概念三数a,b,c 成等比ac b =⇒2，即b 是a,c 的等比中项。
【课前预习】1．数列{}n a 中，若 对*∈N n 都成立，则数列{}n a 叫等比数列，等比数列的通项公式为 . . 2. 判断命题真假：（1） 在数列{}n a 中，若q a a n n 1-=（q 是常数，)2,≥∈*n N n ，则数列是等比数列 （2） 数列{}n a 成等比数列的充要条件是对于任意的正整数n 都有221++=n n n a a a 3．制造某机器配件的一道工序是：用汽锤把厚度为a 厘米的金属工件锻造成厚度不多于原厚度的83％的工件．现知汽锤每冲击一次后，工件的厚度就比这次冲击前的厚度降低 3％，则至少需冲击 次． 4．在等比数列{}n a 中，首项01<a ，则{}n a 是递增数列的充要条件是公比q 满足： A ．q>1 B ．q<1 C ．0<q<1 D ．q<05. 若四个正数a ，b ，c ，d 成等差数列，x 是a 和d 的等差中项，y 是b 和c 的等比中项，则x 和y 的大小关系是 .【典型例题】题型一：等比数列的判定例1数列{}n a 的前n 项和记为n S ，已知nn S nn a a 2,111+==+（n=1,2,3,…），求证：数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 是等比数列.题型二：等比数列中基本量的计算例2 (1)在等比数列{}n a 中，若21,31==q a ，则7a = ；若81,3273==a a ,则 q= ；若31,811-==q a ，则42,a a 的等比中项为 .(2)等比数列}{n a 中，各项均为正数，且4,418453106=⋅=⋅+⋅a a a a a a ，求84a a +.题型三：等差、等比数列的混合应用例3 有四个数，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，首末两数的和为21，中间两数的和为18，求这四个数.例4设数列{}n a 为等差数列，65=a .(1) 当33=a 时，请在数列{}n a 找一项m a ，使m a a a ,,53成等比数列； ★（2）当23=a 时，若自然数)(,,,,21*∈⋅⋅⋅⋅⋅⋅N t n n n t 满足⋅⋅⋅<<⋅⋅⋅<<<t n n n 215，使得⋅⋅⋅⋅⋅⋅tn n na a a a a ,,,,,2153成等比数列，求数列{}t n 的通项公式.题型四：等差、等比数列的实际应用例5某种细胞，开始时有2个，1小时以后，分裂成4个并死亡1个，2小时后，分裂成6个并死亡1个，3小时以后，分裂成10个并死亡1个，……，按此规律，10小时后，存活的细胞有多少个？【巩固练习】1.已知首项不为0的等差数列的第2，3，6项依次构成一个等比数列，则该数列的公比为 .2．设4321lg ,lg ,lg ,lg a a a a 成等差数列，公差为5，则=14a a .3．在3与24之间插入5个实数，使这7个数成等比数列，这个数列的第4项是 . 4．去年底我国工农业总产值为a 千亿元，要实现经过20年工农业总产值翻两翻的目标，年平均增长率至少应达到 （ ）(A) 14201- (B) 12201- (C) 14211- (D) 12211-5．在正项等比数列{a n }中，a 1、a 99是方程x 2－10x + 16 = 0的两个根，则a 40·a 50·a 60的值为（ ）A ．32B ．64C ．±64D ．256 ★6．在等差数列{}na 中，4,171==a a，数列{}n b 为等比数列，若23321,a b a b ==求满足801a b n<的最小的自然数n 的值【本课小结】【课后作业】 1．在等比数列{}na 中，已知7321=++a a a,8321=a a a ,求数列的通项公式.2．已知数列{}na 是各项为正数的等比数列，且1818212=⋅⋅⋅a aa ，若公比q=2， 求18963a a a a ⋅⋅⋅的值.3.在等差数列{}na 中，若010=a，求证：等式),19(192121*-∈<+⋅⋅⋅++=+⋅⋅⋅++N n n a a a a a a n n 成立；类比上述性质，相应地，在等比数列{}n b ，若19=b ，你能得到怎样的等式？并证明.4.已知数列{}n a 的前n 项和为nS，且)3(21n nS n a +=对一切正整数n 恒成立. （1）证明：数列{}n a +3是等比数列；（2）数列{}n a 中是否存在成等差数列的四项？若存在，请写出一组；若不存在，请说明理由.5．已知数列}{n a 是等比数列，数列}{n b 满足*121(lg lg lg )()n n b a a a n N n=++⋅⋅⋅+∈, (1)若数列}{n a 的首项10001=a ,公比q=101,求数列}{n b 的通项公式；★(2)是否存在实数k ，使得122311111lg lg lg lg lg lg lg lg n n nn ka a a a a a a a -+++⋅⋅⋅=+对于任意的正整数n 恒成立？若存在，请求出实数k 的值；若不存在，请说明理由.§22.2等比数列的概念参考答案（简答）【课前预习】……【典型例题】……【巩固练习】……6.n=7【课后作业】…… 1.n n n na a --==312,2 2. 2123. ),17(1722321*-∈<⋅⋅⋅=⋅⋅⋅N n n b b b b b b b n n 4.略5．(1)a n =a 1q n-1=1000×(101)n-1=104-n ［3+2+1+…（4-n ）］bn= n1 (lga 1+lga 2+…+lga n )= n 1 lg （a1·a2…an ）=n1lg[])4(12310n -+⋅⋅⋅+++=27n - (2)k=-1.【解析】由{an}的通项公式，利用对数运算求出{bn}的通项公式；第二问由条件逆推判断关系式成立，并求出k 的值。
等比数列一轮复习教学设计
等比数列一轮复习教学设计教学设计：等比数列一轮复习一、教学目标：1. 复习等比数列的概念和性质；2. 复习等比数列的通项公式和求和公式；3. 能够应用等比数列的知识解决实际问题。
二、教学内容与方法：1. 概念和性质的复习（1）复习等比数列的定义：若一个数列中，从第二项起，每一项与其前一项的比都相等，那么这个数列就是等比数列。
（2）复习等比数列的通项公式和求和公式。
（3）通过练习题巩固概念和性质的理解。
2. 应用题的解决方法（1）通过实际问题引入等比数列的应用，如利息问题、人口增长问题等。
（2）分析问题，找到规律，建立等比数列模型。
（3）利用等比数列的性质和公式求解问题，注意理解问题的实际意义。
（4）通过练习题巩固应用题的解题方法。
三、教学流程：1. 复习概念和性质（1）导入：通过提问、展示实际问题引入等比数列的概念。
（2）复习等比数列的定义和性质，包括公比与比例关系、前n项和公式等。
（3）例题演示和讲解，帮助学生理解等比数列的概念和性质。
（4）通过练习题让学生巩固概念和性质的理解。
2. 复习通项公式和求和公式（1）复习等比数列的通项公式和求和公式。
（2）例题演示和讲解，帮助学生掌握通项公式和求和公式的使用。
（3）通过练习题让学生巩固通项公式和求和公式的运用。
3. 应用题的解决方法（1）导入：通过提问、展示实际问题引入等比数列的应用。
（2）分析问题，找到规律，建立等比数列模型。
（3）利用等比数列的性质和公式求解问题，并注意理解问题的实际意义。
（4）通过练习题让学生巩固应用题的解题方法。
4. 综合练习（1）通过综合练习题复习等比数列的知识点和解题方法。
（2）有难度的问题进行讲解和解答。
四、教学资源准备：1. 教材：配套教材的相关内容；2. 课件：概念、性质、公式的讲解与演示；3. 练习题：根据难易程度准备一些练习题。
五、教学评价方式：1. 课堂讨论与提问；2. 学生完成的练习题和应用题答案；3. 学生的思维能力和解题思路的表现。
高三数学第一轮复习 等比数列 教案
重点
难点
重点：等比数列的通项公式和前n项和公式
难点：等比数列性质的应用
学习过程
评价任务〔内容、问题、试题〕
学习活动〔方式、行为、策略〕
【模块一】等比数列的通项公式及前n项和公式
1、在等比数列{an}中
〔1〕假设 ，求
〔2〕假设 ，求 及
〔3〕假设 ，求
芯衣州星海市涌泉学校开县中学高三数学第一轮复习等比数列教案
课题名称
等比数列及其前n项和
约2课时
课型
回归复习课
课程标准
1、通过实例理解等比数列的概念
2、探究并掌握等比数列的通项公式与前n项和公式
3、能在详细的问题情境中，发现等比关系，并能用有关知识解决相应的问题
4、体会等比数列与指数函数的关系
考试大纲
【模块二】等比数列的性质及其应用
1、等比数列{an}的公比为正数，且
，那么a1＝
2、在等比数列{an}中，对任意正整数n，a1＋a2＋a3＋…＋an＝2n－1，那么a12＋a22＋…＋an2等于________
3、假设等比数列{an}各项都是正数， ，
,那么 的值是()
A．21B．42C．63D．84
3.在等比数列{an}中，a1＝1，公比|q|≠1，假设am＝a1a2a3a4a5，那么m＝()
A．9B．10C．11D．12
对应训练：
1、在等比数列{an}中，an>0，且a1·a2·…·a7·a8＝16，那么a4＋a5的最小值为________．
2、各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，假设Sn＝2，S3n＝14，那么S4n等于
1、理解等比数列的概念
高三数学一轮复习第30课时等比数列学案
高三数学一轮复习第30课时等比数列学案【学习目标】1．理解等比数列的概念．2．掌握等比数列的通项公式与前n项和公式．3．能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题．4．了解等比数列与指数函数的关系．【课本导读】1．基础知识(1)等比数列的定义：若数列{a n}满足，则称数列{a n}为等比数列．(2)通项公式a n＝＝a m·.(3)前n项和公式S n＝a1－q n1－q，成立的条件是，另一形式为．(4)M、N同号时它们的等比中项为 .2．性质(1)等比数列{a n}中，m、n、p、q∈N*，若m＋n＝p＋q，则a m·a n＝.(2)等比数列{a n}中，S n为其前n项和，当n为偶数时，S偶＝S奇· .(3)等比数列{a n}中，公比为q，依次k项和为S k，S2k－S k，S3k－S2k成(S k≠0)数列，新公比q′＝.3．常用技巧：(1)若{a n}是等比数列，且a n>0(n∈N*)，则{log a a n}(a>0且a≠1)成数列，反之亦然．(2)三个数成等比数列可设三数为，四个数成等比数列且公比大于0时，可设四个数为 .【教材回归】1．等比数列x,3x＋3,6x＋6，…的第四项等于( )A．－24 B．0 C．12 D．242．如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么( )A．b＝3，ac＝9 B．b＝－3，ac＝9C．b＝3，ac＝－9 D．b＝－3，ac＝－93．在等比数列{a n}中，a1＋a2＝30，a3＋a4＝60，则a7＋a8＝________.4．等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S3＝a2＋10a1，a5＝9，则a1＝( )A.13B．－13C.19D．－195．在1与4之间插入三个数使这五个数成等比数列，则这三个数分别是________．【授人以渔】题型一：等比数列的基本量例1 {a n}为等比数列，求下列各值．(1)已知a3＋a6＝36，a4＋a7＝18，a n＝12，求n；(2)已知a2·a8＝36，a3＋a7＝15，求公比q；(3)已知q＝－2，S8＝15(1－2)，求a1.思考题1 (1)设{a n}是公比为正数的等比数列，若a1＝1，a5＝16，则数列{a n}前7项的和为( ) A．63 B．64 C．127 D．128(2)在等比数列{a n}中，a3＝112，S3＝412，求a1和q.题型二：等比数列的性质例2 (1)若等比数列{a n}满足a2a4＝12，则a1a23a5＝________.(2)在等比数列{a n}中，若a3＝4，a9＝1，则a6＝________，若a3＝4，a11＝1，则a7＝________.(3)已知数列{a n}是等比数列，且S m＝10，S2m＝30，则S3m＝________(m∈N*)．思考题2 (1)公比为2的等比数列{a n}的各项都是正数，且a3a11＝16，则log2a10＝( ) A．4 B．5 C．6 D．7(2)已知等比数列{a n}，a1＋a2＋a3＝7，a1a2a3＝8，则a n＝________.题型三：等比数列的判定与论证例3 数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，S n＋1＝4a n＋2(n∈N*)．(1)设b n＝a n＋1－2a n，求证：{b n}是等比数列；(2)设c n＝a n3n－1，求证：{c n}是等比数列．思考题3 已知数列{a n}的前n项和为S n，且对任意的n∈N*有a n＋S n＝n.(1)设b n＝a n－1，求证：数列{b n}是等比数列；(2)设c1＝a1且c n＝a n－a n－1(n≥2)，求{c n}的通项公式．自助餐：1．等比数列{a n}中，公比q＝2，S4＝1，则S8的值为( )A．15 B．1 C．19 D．212．在等比数列{a n}中，S n表示前n项和，若a3＝2S2＋1，a4＝2S3＋1，则公比q等于( ) A．3 B．－3 C．－1 D．13．数列{a n}的前n项和为S n＝4n＋b(b是常数，n∈N*)，若这个数列是等比数列，则b等于( ) A．－1 B．0 C．1 D．44．若等比数列{a n}满足a2＋a4＝20，a3＋a5＝40，则公比q＝________；前n项和S n＝________.5．等比数列{a n}的前n项和为S n，若S3＋3S2＝0，则公比q＝________.6．一正数等比数列前11项的几何平均数为32，从这11项中抽去一项后所余下的10项的几何平均数为32，那么抽去的这一项是第________项．。
等比数列高三一轮复习教案-高三化学一轮复习教案
3.3 等比数列【考点及要求】等比数列的定义、等比数列的通项公式、求和公式和等比中项.理解等比数列的概念,掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式,并能解决简单的实际问题.等比数列的定义、通项公式、前n 项和公式是解决等比数列的有关计算、论证,等比数列的有关性质的基础和出发点,这类问题往往解法灵活、多变,是高考试题的生长点,选择题、填空题和解答题都可能出现.【要点回放】等比数列 1.定义：q a a nn =+1（常数q 为公比）)(*∈N n （注意隐含条件:0,0n a q ≠≠） 2.通项公式：11-=n n q a a 推广: m n m n q a a -=3.等比中项：如果在a 与b 间插入一个数G ，使b G a ,,成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项，ab G ±=.)0(>ab .4.前n 项和公式：11(1)(1)(1,0)1n n na q S a q q q q=⎧⎪=-⎨≠≠⎪-⎩且 （易错点:不分类讨论）注意:应用前n 项和公式时,一定要区分11≠=q q 与的两种不同情况,必要的时候要分类讨论. 5.等比数列{}n a 的一些常用性质(1)对于任意正整数s r q p ,,,，如果s r q p +=+，则有s r q p a a a a ⋅=⋅；如果q r p 2=+，则有2q r p a a a =⋅(2)对于任意正整数,1>n 有112+-⋅=n n n a a a(3)对于任意非零实数b ，数列{}n ba 是等比数列，则数列{}n a 是等比数列 (4)已知数列{}n b 是等比数列，则{}n n b a ⋅也是等比数列。
⑸下标成等差数列的项构成等比数列 ⑹连续若干项的和也构成等比数列. 6．证明数列为等比数列的方法:(1)定义法:若{}为等比数列数列n nn a N n q a a ⇔∈=*+)(1(2)等比中项法:若{}为等比数列数列且n n n n n n n a a a a N n a a a ⇔≠∈⋅=++*++)0(21221 (3)通项法:若{}为等比数列数列的常数均是不为n n n a N ，n q c cq a ⇔∈=*)0,( (4)前n 项和法:若{}为等比数列数列且为常数n n n a q q ，q A A Aq S ⇔≠≠-=)1,0,( 7．解决等比数列有关问题的常见思维方法 (1)方程的思想(“知三求二”问题) (2)分类的思想①运用等比数列的求和公式时,需要对11≠=q q 和讨论②{}为递增数列等比数列时或n a q a q a ,10,01,011<<<>> ()1(111-=--+q q a a a n n n ){}为递减数列等比数列时或n a q a q a ,10,01,011<<>>< 【基础训练】1.（江苏卷）在各项都为正数的等比数列｛a n ｝中，首项a 1=3 ，前三项和为21，则a 3+ a 4+ a 5= （ C ）( A ) 33 ( B ) 72 ( C ) 84 ( D )1892. 已知等比数列{}n a 中，33a =，10384a =，则该数列的通项公式n a 332n -⋅3.命题甲:211(),2,22x x x -成等比数列，命题乙:lg ,lg(1),lg(3)x x x ++成等差数列，则甲是乙的 必要不充分 条件。
2025届高考数学一轮复习教案：数列-等比数列
第三节等比数列课程标准1.理解等比数列的概念并掌握其通项公式与前n项和公式.2.能在具体的问题情境中,发现数列的等比关系,并解决相应的问题.3.体会等比数列与指数函数的关系.考情分析考点考法:高考命题常以等比数列为载体,考查基本量的运算、求和及性质的应用.等差数列与等比数列的综合应用是高考的热点,在各个题型中均有出现.核心素养:数学建模、数学运算、逻辑推理.【必备知识·逐点夯实】【知识梳理·归纳】1.等比数列的有关概念定义一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数(不为零),那么这个数列叫做等比数列通项公式设{a n}是首项为a1,公比为q的等比数列,则通项公式a n=a1q n-1.推广:a n=a m q n-m(m,n∈N*)等比中项如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项.此时,G2=ab【微点拨】(1)等比数列中不含有0项;(2)同号的两个数才有等比中项,且等比中项有两个,它们互为相反数.2.等比数列的前n项和公式【微点拨】在运用等比数列的前n项和公式时,必须注意对q=1与q≠1分类讨论,防止因忽略q=1这一特殊情形而导致解题失误.3.等比数列与指数函数的关系等比数列的通项公式可整理为a n=1·q n,而y=1·q x(q≠1)是一个不为0的常数1与指数函数q x的乘积,从图象上看,表示数列1·q n中的各项的点是函数y=1·q x的图象上孤立的点.4.等比数列的性质(1)对任意的正整数m,n,p,q,若m+n=p+q,则a m·a n=a p·a q.特别地,若m+n=2p,则a m·a n=2.(2)若等比数列前n项和为S n,则S m,S2m-S m,S3m-S2m仍成等比数列(公比q≠-1).(3)数列{a n}是等比数列,则数列{pa n}(p≠0,p是常数)也是等比数列.(4)在等比数列{a n}中,等距离取出若干项也构成一个等比数列,即a n,a n+k,a n+2k,a n+3k,…为等比数列,公比为q k.(5)等比数列{a n}的单调性:当q>1,a1>0或0<q<1,a1<0时,数列{a n}是递增数列;当q>1,a1<0或0<q<1,a1>0时,数列{a n}是递减数列;当q=1时,数列{a n}是常数列.【基础小题·自测】类型辨析改编易错高考题号12341.(多维辨析)(多选题)下列结论正确的是()A.满足a n+1=qa n(n∈N*,q为常数)的数列{a n}为等比数列B.三个数a,b,c成等比数列的必要不充分条件是b2=acC.数列{a n}的通项公式是a n=a n,则其前n项和为S n=(1-)1-D.如果数列{a n}为正项等比数列,则数列{ln a n}是等差数列【解析】选BD.A中q不能为0;B中当a=b=c=0时满足b2=ac,但不是等比数列;C 中a=1时不成立;D中,a n>0,设a n=a1q n-1,则ln a n=ln a1+(n-1)ln q,{ln a n}是等差数列.2.(选择性必修第二册P29例1·变形式)若{a n}是各项均为正数的等比数列,且a1=1,a5=16,则a6-a5=()A.32B.-48C.16D.-48或16【解析】选C.由题意,q>0,则q=2,所以a6-a5=a5(q-1)=16.3.(忽视前n项和的条件致误)等比数列{a n}中,a3=6,前三项和S3=18,则公比q的值为()A.1B.-12C.1或-12D.-1或-12【解析】选C.因为S3=18,a3=6,所以a1+a2=32(1+q)=12,故2q2-q-1=0,解得q=1或q=-12.4.(2023·全国乙卷)已知{a n}为等比数列,a2a4a5=a3a6,a9a10=-8,则a7=________.【解析】设{a n}的公比为q(q≠0),则a2a4a5=a3a6=a2q·a5q,显然a n≠0,则a4=q2,即a1q3=q2,则a1q=1.因为a9a10=-8,则a1q8·a1q9=-8,则q15=(5)3=-8=(-2)3,则q5=-2,则a7=a1q·q5=q5=-2.答案:-2【巧记结论·速算】1.若{a n},{b n}(项数相同)是等比数列,则{λa n}(λ≠0),{1},{2},{a n·b n数列.2.当{a n}是等比数列且q≠1时,S n=11--11-·q n=A-A·q n.【即时练】1.设n∈N*,则“数列{a n}为等比数列”是“”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.充分性:若数列为等比数列,公比为q,为公比为12的等比数列,充分性成立;必要性:,公比为q,则-1=±所以数列不是等比数列,必要性不成立.2.已知数列{a n}的前n项和S n=22n+1+a,若此数列为等比数列,则a=________.【解析】因为数列的前n项和S n=22n+1+a=2×4n+a,所以a=-2.答案:-2【核心考点·分类突破】考点一等比数列基本量的计算[例1](1)(一题多法)记S n为等比数列{a n}的前n项和,若a5-a3=12,a6-a4=24,则=()A.2n-1B.2-21-nC.2-2n-1D.21-n-1【解析】选B.方法一:设等比数列{a n}的公比为q,则由5-3=14-12=12,6-4=15-13=24,解得1=1,=2,所以S n=1(1-)1-=2n-1,a n=a1q n-1=2n-1,所以=2-12-1=2-21-n.方法二:设等比数列{a n}的公比为q,因为6-45-3=4(1-2)3(1-2)=43=2412=2,所以q=2,所以=1(1-)1-1-1=2-12-1=2-21-n.(2)已知等比数列{a n}的前n项和为S n,若a3a11=232,且S8+S24=mS16,则m=()A.-4B.4C.-83D.83【解析】选D.因为a3a11=232,且a n≠0,所以a11=2a3即a1q10=2a1q2,解得q8=2或q=0(舍去),因为S 8+S 24=mS 16,所以1(1-8)1-+1(1-24)1-=m ·1(1-16)1-,又因为q 8=2,a 1≠0,所以-8=-3m ,解得m =83.【解题技法】等比数列基本量的计算(1)等比数列中有五个量a 1,n ,q ,a n ,S n ,一般可以“知三求二”,通过列方程(组)求解;(2)注意观察条件转化式的特点,尽量采用整体消元、代入的方法简化运算,如两式相除就是等比数列中常用的运算技巧.【对点训练】1.已知各项均为正数的等比数列{a n }的前4项和为15,且a 5=3a 3+4a 1,则a 3=()A .16B .8C .4D .2【解析】选C .设各项均为正数的等比数列{a n }的公比为q ,则1+1+12+13=15,14=312+41,解得1=1=2,所以a 3=a1q 2=4.2.已知{a n }是首项为1的等比数列,S n 是{a n }的前n 项和,且9S 3=S 6,5项和为()A .158或5B .3116或5C .3116D .158【解析】选C .若q =1,则由9S 3=S 6,得9×3a 1=6a 1,则a 1=0,不满足题意,故q ≠1.由9S 3=S 6,得9×1(1-3)1-=1(1-6)1-,解得q =2.故a n =a 1q n-1=2n -1,1=(12)n -1.1为首项,以12为公比的等比数列,所以5项和为T 5=1×[1-(12)5]1-12=3116.【加练备选】设公比为q(q>0)的等比数列{a n}的前n项和为S n.若S2=3a2+2,S4=3a4+2,则q=()A.32B.12C.23D.2【解析】选A.因为在等比数列中,S2=3a2+2,S4=3a4+2,所以S4-S2=a3+a4=3(a4-a2),所以a2(q+q2)=3a2(q2-1),又a2≠0,所以q+q2=3(q2-1),即2q2-q-3=0,又q>0,所以q=32.考点二等比数列的判定与证明[例2]已知数列{a n}中,a1=1且2a n+1=6a n+2n-1(n∈N*),(1)求证:数列+;(2)求数列{a n}的通项公式.【解析】(1)因为2a n+1=6a n+2n-1(n∈N*),所以a n+1=3a n+n-12,所以r1+r12+2=3+-12+r12+2=3+32+2=3,因为a1+12=1+12=32,所以数列+2是首项为32,公比为3的等比数列.(2)由(1)得,a n+2=32×3n-1=12×3n,所以a n=12×3n-2.【解题技法】等比数列的判定方法定义法若a n+1a n=q(q为非零常数,n∈N*)或-1=q(q为非零常数且n≥2,n∈N*),则{a n}是等比数列等比中项法若数列{a n}中,a n≠0且r12=a n·+2(n∈N*),则{a n}是等比数列【对点训练】数列{a n}中,a1=2,a n+1=r12a n(n∈N*).证明数列{}是等比数列,并求数列{a n}的通项公式.【解析】由题设得r1r1=12·,又11=2,所以数列{}是首项为2,公比为12的等比数列,所以=2×(12)n-1=22-n,a n=n·22-n=42.【加练备选】成等差数列的三个正数的和等于15,并且这三个数分别加上2,5,13后成为等比数列{b n}中的b3,b4,b5.(1)求数列{b n}的通项公式;(2)数列{b n}的前n项和为S n,求证:数列{S n+54}是等比数列.【解析】(1)设成等差数列的三个正数分别为a-d,a,a+d,依题意,得a-d+a+a+d=15,解得a=5.所以数列中的b3,b4,b5依次为7-d,10,18+d.依题意,有(7-d)(18+d)=100,解得d=2或d=-13(舍去),故数列的第3项为5,公比为2.由b 3=b 1·22,即5=b 1·22,解得b 1=54.所以数列是以54为首项,以2为公比的等比数列,其通项公式为b n =54·2n -1=5·2n -3.(2)数列的前n 项和S n =54(1-2)1-2=5·2n -2-54,即S n +54=5·2n -2,所以S 1+54=52,r1+54+54=5·2-15·2-2=2.因此{S n +54}是以52为首项,以2为公比的等比数列.考点三等比数列性质的应用【考情提示】等比数列的性质作为解决等比数列问题的工具,因其考查数列知识较全面而成为高考命题的热点,重点解决基本量运算、条件转化等.角度1等比数列项的性质[例3]已知各项均为正数的等比数列的前n 项和为S n ,a 2a 4=9,9S 4=10S 2,则a 2+a 4的值为()A .30B .10C .9D .6【解析】选B .已知为各项均为正数的等比数列,则a n >0,可得a 1>0,q >0,因为32=a 2a 4=9,所以a 3=3,又因为9S 4=10S 2,则9(a 1+a 2+a 3+a 4)=10(a 1+a 2),可得9(a 3+a 4)=a 1+a 2,所以3+41+2=q 2=19,解得q =13,故a 2+a 4=3+a 3q =10.角度2等比数列前n 项和的性质[例4]已知正项等比数列{a n}的前n项和为S n,且S8-2S4=5,则a9+a10+a11+a12的最小值为()A.10B.15C.20D.25【解析】选C.由题意可得a9+a10+a11+a12=S12-S8,由S8-2S4=5,可得S8-S4=S4+5.又由等比数列的性质知S4,S8-S4,S12-S8成等比数列,则S4(S12-S8)=(S8-S4)2.于是a9+a10+a11+a12=S12-S8=(4+5)24=S4+254+10≥2当且仅当S4=5时等号成立.所以a9+a10+a11+a12的最小值为20.角度3等比数列的单调性[例5]已知{a n}是等比数列,a1>0,前n项和为S n,则“2S8<S7+S9”是“{a n}为递增数列”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选B.因为数列是等比数列,a1>0,2S8<S7+S9,所以a8<a9,所以q7<q8,所以q7(q-1)>0,所以q<0或q>1,所以2S8<S7+S9的充要条件为q<0或q>1.又a1>0,数列为递增数列的充要条件为q>1,所以“2S8<S7+S9”是“为递增数列”的必要不充分条件.【解题技法】1.应用等比数列性质的两个关注点(1)转化意识:在等比数列中,两项之积可转化为另外两项之积或某项的平方,这是最常用的性质.(2)化归意识:把非等比数列问题转化为等比数列问题解决,例如有关S m,S2m,S3m的问题可利用S m,S2m-S m,S3m-S2m(S m≠0)成等比数列求解.2.等比数列的单调性的应用方法研究等比数列的单调性问题,要综合考虑首项的符号以及公比的取值范围,而涉及等比数列有关的单调性的充分必要条件问题,既要考虑数列的单调性也要善于举反例说明.【对点训练】1.设单调递增的等比数列{a n}满足12+14=1336,a1a5=36,则公比q=()A.32B.94C.2D.52【解析】选A.因为数列{a n}为等比数列,所以a1a5=a2a4=36,所以12+14=2+424=2+436=1336,则a2+a4=13,又数列{a n}单调递增,所以q>1,解得a2=4,a4=9,则q2=94,因为q>1,所以q=32.2.设无穷等比数列{a n}的前n项和为S n,若-a1<a2<a1,则()A.{S n}为递减数列B.{S n}为递增数列C.数列{S n}有最大项D.数列{S n}有最小项【解析】选D.由-a1<a2<a1可得a1>0,所以q=21<1,因为-a1<a2得q=21>-1,所以-1<q<1,因为S n=1(1-)1-,当0<q<1时,{S n}递增,当-1<q<0时,{S n}既有递增又有递减,A,B错误;当0<q<1时,S n有最小项S1,没有最大项,当-1<q<0时,a1>0,a2<0,a3>0,a4<0且a3+a4>0,S n有最小项S2,没有最大项,C错误,D 正确.3.设等比数列{a n}的前n项和为S n.若a n>0,S3=5,a7+a8+a9=20,则S15=________.【解析】由等比数列的性质可知S3,S6-S3,S9-S6,S12-S9,S15-S12是等比数列,由条件可知S3=5,S9-S6=20,则此等比数列的公比q2=205=4,又a n>0,所以q=2,S15=S3+(S6-S3)+(S9-S6)+(S12-S9)+(S15-S12),所以S15=5(1-25)1-2=155.答案:155。
高三数学一轮复习 等比数列与数列求和
6.3 等比数列 6.4数列求和【学习目标】1、理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式2、熟练掌握等差等比数列的前n 项和公式，能应用公式求数列的前n 项和3、掌握非等差等比数列求和的几种方法【重点难点】重点：等比数列的定义和性质，数列求和的方法难点：等比数列的定义和性质，数列求和的方法. 【导学流程】 一、基础感知 1、等比数列基本公式 （1）定义：1(N ,)n na q n q a *+=∈为非零常数 （2）通项公式：11n n a a q -=⨯（3）等比中项：2,,a A b A ab ⇔=成等比数列（4）前n 项和：111(1)(1)(1)11n n n na q S a a q a q q q q =⎧⎪=--⎨=≠⎪--⎩2、等比数列基本性质（1）n m n m a a q -=⨯（2）m n k l m n k l a a a a +=+⇔⋅=⋅（3）232,,n n n n n S S S S S --成等比数列（4）n n S A Aq =-3、数列求和：（公式法、分组求和、错位相减、裂项相消、并项求和、倒序相加）（1）、公式求和①等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=②等比数列求和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a q q a q na S n n n （2）、分组求和：适用于等差、等比数列以加减的形式构成的新数列的前n 项和（3）．错位相减：适用于等差、等比数列以乘、除的形式构成的新数列的前n 项和 若，其中是等差数列，是公比为等比数列， 令，则两式错位相减并整理即得 （4）．裂项相消法：适用于类似（其中是各项不为零的等差数列，为常数）的数列、部分无理数列等．用裂项相消法求和（1）（2）； （3） （4）（5）、并项求和当数列通项中出现n )1(-或1)1(+-n 时，常常需要对n 取值的奇偶性进行分类讨论。
[VIP专享]高三第一轮复习 等比数列教案
![[VIP专享]高三第一轮复习 等比数列教案](https://img.taocdn.com/s3/m/5de386a60912a21615792925.png)
高三第一轮复习 《数列》5.3 等比数列一、考点分布1. 等比数列的概念（B ）2. 等比数列的通项公式与前n 项和的公式（C ）二、考试要求1. 理解等比数列的概念；2. 掌握等比数列的通项公式与前n 项和的公式3. 能在具体问题情境中识别数列的等比关系，并能有关知识解决问题；4. 了解等比数列与指数函数的关系.三、重点与难点1. 熟练运用等比数列的通项公式求解问题是复习重点；2. 判断或证明数列的等比关系是复习的难点.四、复习过程 1. 知识梳理等差数列等比数列定义或1n na q a +=212n n n a a a ++=注意；0,0.n a q ≠≠通项公式（离散型指数函数）11n n m n m a a q a q --==前n 项和公式注意q 含字母讨论11,1,(1), 1.1n n na q S a q q q=⎧⎪=-⎨≠⎪-⎩简单性质若,*(,,,)m n s t m n s t N +=+∈则.m n s t a a a a ⋅=⋅2. 基础练习（1）在等比数列中，已知，则__________. {}n a 3331,4a S ==6a =提示：-8方法一：基本量法列出方程组；方法二：求和公式1,a d （2）在等比数列中，已知，，成等差数列，则公比=_________.{}n a 1S 22S 33S q 提示：由题意，得，故.21111114()3()a a q a a a q a q +=+++(31)0q q -=又,所以.0q ≠13q =说明：等比数列通项公式与和之间的联系，注意n S 0,0.n a q ≠≠（3）已知数列是等比数列,且,,，则{}n a >0n a *n N ∈354657281a a a a a a ++= 9 ．46a a +=（4）设，则等于4710310()22222()n f n n N +=+++++∈ ()f n （A ） （B ） （C ） （D ）2(81)7n -12(81)7n +-32(81)7n +-42(81)7n +-3. 典型例题例1.（1） 若等比数列{a n }的公比q ＜0，前n 项和为S n ，则S 2a 3与S 3a 2的大小关系是(A) S 2a 3＞S 3a 2(B) S 2a 3＜S 3a 2(C) S 2a 3= S 3a 2(D)不确定（2）已知数列满足a 1=1，a n ＋1=2a n ＋3(n ∈N *)，则{a n }的通项公式为_______．例2.若数列}{n a {}:n b 满足1211,(),(1,2,3,).n n n a a a a b a a n +===⋅=⋅⋅⋅为常数且（Ⅰ）若{a n }是等比数列，试求数列{b n }的前n 项和S n 的公式；（Ⅱ）当{b n }是等比数列时，甲同学说：{a n }一定是等比数列；乙同学说：{a n }一定不是等比数列．你认为他们的说法是否正确？为什么？解：（1）因为{a n }是等比数列a 1=1,a 2=a .∴a ≠0，a n =a n －1. 又，1n n n b a a +=⋅,12112211211,n n n n n n n n n n b a a a a b a a a a b a a a a +++++-+⋅=⋅=====⋅则即是以a 为首项, a 2为公比的等比数列.}{n b22(||1),(1)(||1).1n n naa S a a a a =⎧⎪∴=⎨-≠⎪-⎩（II ）甲、乙两个同学的说法都不正确，理由如下： 设{b n }的公比为q ，则112210n n n n n n n nb a a a q a b a a a +++++===≠且又a 1=1,a 2=a , a 1, a 3, a 5,…，a 2n －1，…是以1为首项，q 为公比的等比数列；而a 2, a 4, a 6, …, a 2n , …是以a 为首项，q 为公比的等比数列， 即{a n }为：1，a , q, a q , q 2, a q 2, ….当q=a 2时，{a n }是等比数列；当q≠a 2时，{a n }不是等比数列.例3. 数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1=1，，n =1，2，3，……，113n n a S +=求 （I ）a 2，a 3，a 4的值及数列{a n }的通项公式；（II ）的值.13521n a a a a -++++ 解：（Ⅰ）由得,,3,2,1,31,111 ===+n S a a n n .313131112===a S a 321243123111222114(),3391116().332711()(2),334,(2),3114,()(2).3331,1,,{}14(), 2.33n n n n n n n n n n n n a S a a a S a a a a a S S a n a a n a a n n a a n +-+--==+===++=-=-=≥=≥==≥=⎧⎪=⎨≥⎪⎩由得又所以所以数列的通项公式为（Ⅱ）由（I ）可知a 3，a 3，…，a 2n -1，是首项为公比为（）2的等比数列，4,934所以11135212161()4341691().497791()3n n n a a a a ----++++=+⋅=+- 例4. （备选）设数列{a n }的首项a 1=a ≠，且, 4111ΪżÊý21ΪÆæÊý4n n n a n a a n +⎧⎪⎪=⎨⎪+⎪⎩记，n ＝＝l ，2，3，…·．2114n n b a -=-（I ）求a 2，a 3；（II ）判断数列{b n }是否为等比数列，并证明你的结论；4. 规律总结：①深刻理解等比数列的定义，紧扣“从第二项起”和“比是同一常数”，特别注意0,0.n a q ≠≠②判断或证明等比数列的两种思路：利用定义，证明为常数;1n na q a +=利用等比中项，证明对成立.212n n n a a a ++=*n ∈N③方程思想：在五个两种，运用待定系数法“知三求二”；1,,,,n n a a q S n 函数思想与分类讨论：当a 1＞0，q ＞1或a 1＜0，0＜q ＜1时为递增数列;当a 1＜0，q ＞1或a 1＞0，0＜q ＜1时为递减数列；当q ＜0时为摆动数列；当q =1时为常数列.④掌握等比数列的有关性质:若 是公比为等比数列，则等还成等比数列，{}n a q 22311{},{},{},{},{}n n m m nka a a a a +公比分别是，其中为非零常数.2231,,,,kq q q q q若,则.*(,,,)m n s t m n s t N +=+∈m n s t a a a a ⋅=⋅5. 课外作业：海淀总复习检测P46 5.3等比数列每课作业1．选择题（1）等比数列的各项都是正数，若,,则它的前5项和是 (){}n a 181a =516a =(A)179 (B)211 (C)243 (D)275(2)设{a n }是由正数组成的等比数列，公比q =2，且a 1·a 2·a 3·…·a 30=230，那么a 3·a 6·a 9·…·a 30等于( )(A)210 (B)220 (C)216 (D)215 (3) 给定正数p,q,a,b,c ，其中p ≠q ，若p,a,q 成等比数列，p,b,c,q 成等差数列, 则一元二次程bx 2－2ax +c=0（ ）(A)无实数根(B)有两个相等的实数根(C)有两个同号的相异的实数根(D)有两个异号的相异的实数根2．填空题(4)一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列，其最小内角是__________.(5)在和之间插入个正数,使这个正数成等比数列,则插入的个正数之积为1n1n +n 2n +n _________.(6)一张报纸，其厚度为，面积为.现将报纸对折(即沿对边中点点连线折叠)7次,报纸的a b 厚度为_______,报纸的面积为 . 3．解答题（7）在数列中，已知，求数列前项的和.{}n a 1221-=+++nn a a a 2{}n a n(8)三个互不相等的数成等差数列，如果适当排列这三个数，也可成等比数列，已知这三个数的和等于6，求此三个数.(9)数列中，，（是常数，），且成公比{}n a 12a =1n n a a cn +=+c 123n = ，，，123a a a ，，不为的等比数列．1（I ）求的值；c （II ）求的通项公式．{}n a 参考答案（1） B （2）B （3）A（4）设Rt △ABC 中，C =，则A 与B 互余且A 为最小内角.又由已知得sin 2B =sin A ，即2πcos 2A =sin A ，1－sin 2A =sin A ，解之得sin A =或sin A =（舍）.故最小内角是215-215--.（5）(5) (6)21(nn n+128128b a （7）解:由由已知得 所以数列前项的和为,21-=n n a 2{}n a n )14(31-n （8）解：设三个数分别为 a-d,a,a+d 则 （a －d ）＋a ＋(a ＋d )=3a ＝6 a =2三个数分别为 2－d,2,2＋d ∵它们互不相等 ∴分以下两种情况：当(2－d)2=2(2＋d)时， d=6 三个数分别为-4,2,8当(2＋d)2=2(2－d)时， d=-6 三个数分别为8,2,-4因此，三个数分别为-4,2,8 或8,2,-4(9)（I ），，，12a =22a c =+323a c =+因为，，成等比数列，1a 2a 3a 所以，2(2)2(23)c c +=+解得或．0c =2c =当时，，不符合题意舍去，故．0c =123a a a ==2c =（II ）当时，由于2n ≥，21a a c -=，322a a c -= ，1(1)n n a a n c --=-所以．1(1)[12(1)]2n n n a a n c c --=+++-=又，，故．12a =2c =22(1)2(23)n a n n n n n =+-=-+= ，，当时，上式也成立，1n =所以．22(12)n a n n n =-+= ，，。
等比数列教案（精选7篇）
等比数列教案等比数列教案什么是教案？教案是教师为顺利而有效地开展教学活动，根据课程标准，教学大纲和教科书要求及学生的实际情况，以课时或课题为单位，对教学内容、教学步骤、教学方法等进行的具体设计和安排的一种实用性教学文书。
等比数列教案（精选7篇）作为一名辛苦耕耘的教育工作者，很有必要精心设计一份教案，教案是教学活动的总的组织纲领和行动方案。
那么优秀的教案是什么样的呢？下面是小编为大家收集的等比数列教案（精选7篇），希望能够帮助到大家。
等比数列教案1教学目标1.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式，并能运用公式解决简单的问题.(1)正确理解等比数列的定义，了解公比的概念，明确一个数列是等比数列的限定条件，能根据定义判断一个数列是等比数列，了解等比中项的概念;(2)正确认识使用等比数列的表示法，能灵活运用通项公式求等比数列的首项、公比、项数及指定的项;(3)通过通项公式认识等比数列的性质，能解决某些实际问题.2.通过对等比数列的研究，逐步培养学生观察、类比、归纳、猜想等思维品质.3.通过对等比数列概念的归纳，进一步培养学生严密的思维习惯，以及实事求是的科学态度.教材分析(1)知识结构等比数列是另一个简单常见的数列，研究内容可与等差数列类比，首先归纳出等比数列的定义，导出通项公式，进而研究图像，又给出等比中项的概念，最后是通项公式的应用.(2)重点、难点分析教学重点是等比数列的定义和对通项公式的认识与应用，教学难点在于等比数列通项公式的推导和运用.①与等差数列一样，等比数列也是特殊的数列，二者有许多相同的性质，但也有明显的区别，可根据定义与通项公式得出等比数列的特性，这些是教学的重点.②虽然在等差数列的学习中曾接触过不完全归纳法，但对学生来说仍然不熟悉;在推导过程中，需要学生有一定的观察分析猜想能力;第一项是否成立又须补充说明，所以通项公式的推导是难点.③对等差数列、等比数列的综合研究离不开通项公式，因而通项公式的灵活运用既是重点又是难点.教学建议(1)建议本节课分两课时，一节课为等比数列的概念，一节课为等比数列通项公式的应用.(2)等比数列概念的引入，可给出几个具体的例子，由学生概括这些数列的相同特征，从而得到等比数列的定义.也可将几个等差数列和几个等比数列混在一起给出，由学生将这些数列进行分类，有一种是按等差、等比来分的，由此对比地概括等比数列的定义.(3)根据定义让学生分析等比数列的公比不为0，以及每一项均不为0的特性，加深对概念的理解.(4)对比等差数列的表示法，由学生归纳等比数列的各种表示法. 启发学生用函数观点认识通项公式，由通项公式的结构特征画数列的图象.(5)由于有了等差数列的研究经验，等比数列的研究完全可以放手让学生自己解决，教师只需把握课堂的节奏，作为一节课的组织者出现.(6)可让学生相互出题，解题，讲题，充分发挥学生的主体作用. 等比数列教案2教学目标1.通过教学使学生理解等比数列的概念，推导并掌握通项公式.2.使学生进一步体会类比、归纳的思想，培养学生的观察、概括能力.3.培养学生勤于思考，实事求是的精神，及严谨的科学态度.教学重点，难点重点、难点是等比数列的定义的归纳及通项公式的推导.教学用具投影仪，多媒体软件，电脑.教学方法讨论、谈话法.教学过程一、提出问题给出以下几组数列，将它们分类，说出分类标准.(幻灯片)①-2，1，4，7，10，13，16，19，②8，16，32，64，128，256，③1，1，1，1，1，1，1，④-243，81，27，9，3，1，，，⑤31，29，27，25，23，21，19，⑥1，-1，1，-1，1，-1，1，-1，⑦1，-10，100，-1000，10000，-100000，⑧0，0，0，0，0，0，0，由学生发表意见(可能按项与项之间的关系分为递增数列、递减数列、常数数列、摆动数列，也可能分为等差、等比两类)，统一一种分法，其中②③④⑥⑦为有共同性质的一类数列(学生看不出③的情况也无妨，得出定义后再考察③是否为等比数列).二、讲解新课请学生说出数列②③④⑥⑦的共同特性，教师指出实际生活中也有许多类似的例子，如变形虫分裂问题假设每经过一个单位时间每个变形虫都分裂为两个变形虫，再假设开始有一个变形虫，经过一个单位时间它分裂为两个变形虫，经过两个单位时间就有了四个变形虫，，一直进行下去，记录下每个单位时间的变形虫个数得到了一列数。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高三第一轮复习 《数列》5.3 等比数列一、考点分布1. 等比数列的概念（B ）2. 等比数列的通项公式与前n 项和的公式（C ） 二、考试要求1. 理解等比数列的概念；2. 掌握等比数列的通项公式与前n 项和的公式3. 能在具体问题情境中识别数列的等比关系，并能有关知识解决问题；4. 了解等比数列与指数函数的关系. 三、重点与难点1. 熟练运用等比数列的通项公式求解问题是复习重点；2. 判断或证明数列的等比关系是复习的难点. 四、复习过程2. 基础练习（1）在等比数列{}n a 中，已知3331,4a S ==，则6a =__________. 提示：-8 方法一：基本量法列出1,a d 方程组；方法二：求和公式（2）在等比数列{}n a 中，已知1S ，22S ，33S 成等差数列，则公比q =_________. 提示：由题意，得21111114()3()a a q a a a q a q +=+++，故(31)0q q -=.又0q ≠,所以13q =.说明：等比数列通项公式与和n S 之间的联系，注意0,0.n a q ≠≠ （3）已知数列{}n a 是等比数列,且>0n a ,*n N ∈,354657281a a a a a a ++=，则46a a += 9 ．（4）设4710310()22222()n f n n N +=+++++∈，则()f n 等于（A ）2(81)7n - （B ）12(81)7n +- （C ）32(81)7n +- （D ）42(81)7n +- 3. 典型例题例1.（1） 若等比数列{a n }的公比q ＜0，前n 项和为S n ，则S 2a 3与S 3a 2的大小关系是(A) S 2a 3＞S 3a 2(B) S 2a 3＜S 3a 2 (C) S 2a 3= S 3a 2 (D)不确定（2）已知数列满足a 1=1，a n ＋1=2a n ＋3(n ∈N *)，则{a n }的通项公式为_______．例2.若数列}{n a {}:n b 满足1211,(),(1,2,3,).n n n a a a a b a a n +===⋅=⋅⋅⋅为常数且 （Ⅰ）若{a n }是等比数列，试求数列{b n }的前n 项和S n 的公式；（Ⅱ）当{b n }是等比数列时，甲同学说：{a n }一定是等比数列；乙同学说：{a n }一定不是等比数列．你认为他们的说法是否正确？为什么？ 解：（1）因为{a n }是等比数列a 1=1,a 2=a .∴a ≠0，a n =a n －1. 又1n n n b a a +=⋅，12112211211,n n n n n n n n n n b a a a a b a a a a b a a a a +++++-+⋅=⋅=====⋅则,即}{n b 是以a 为首项, a 2为公比的等比数列.22(||1),(1)(||1).1n n naa S a a a a =⎧⎪∴=⎨-≠⎪-⎩（II ）甲、乙两个同学的说法都不正确，理由如下： 设{b n }的公比为q ，则112210n n n n n n n nb a a a q a b a a a +++++===≠且 又a 1=1,a 2=a , a 1, a 3, a 5,…，a 2n －1，…是以1为首项，q 为公比的等比数列；而a 2, a 4, a 6, …, a 2n , …是以a 为首项，q 为公比的等比数列， 即{a n }为：1，a , q, a q , q 2, a q 2, ….当q=a 2时，{a n }是等比数列；当q≠a 2时，{a n }不是等比数列.例3. 数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1=1，113n n a S +=，n =1，2，3，……，求 （I ）a 2，a 3，a 4的值及数列{a n }的通项公式；（II ）13521n a a a a -++++的值.解：（Ⅰ）由得,,3,2,1,31,111 ===+n S a a n n .313131112===a S a321243123111222114(),3391116().332711()(2),334,(2),3114,()(2).3331,1,,{}14(), 2.33n n n n n n n n n n n n a S a a a S a a a a a S S a n a a n a a n n a a n +-+--==+===++=-=-=≥=≥==≥=⎧⎪=⎨≥⎪⎩由得又所以所以数列的通项公式为（Ⅱ）由（I ）可知a 3，a 3，…，a 2n -1，是首项为4,9公比为（34）2的等比数列，所以11135212161()4341691().497791()3n n n a a a a ----++++=+⋅=+- 例4. （备选）设数列{a n }的首项a 1=a ≠41，且11为偶数21为奇数4n n n a n a a n +⎧⎪⎪=⎨⎪+⎪⎩,记2114n n b a -=-，n ＝＝l ，2，3，…·． （I ）求a 2，a 3；（II ）判断数列{b n }是否为等比数列，并证明你的结论；4. 规律总结：①深刻理解等比数列的定义，紧扣“从第二项起”和“比是同一常数”，特别注意0,0.n a q ≠≠②判断或证明等比数列的两种思路： 利用定义，证明1n na q a +=为常数; 利用等比中项，证明212n n n a a a ++=对*n ∈N 成立.③方程思想：在1,,,,n n a a q S n 五个两种，运用待定系数法“知三求二”；函数思想与分类讨论：当a 1＞0，q ＞1或a 1＜0，0＜q ＜1时为递增数列;当a 1＜0，q ＞1或a 1＞0，0＜q ＜1时为递减数列； 当q ＜0时为摆动数列； 当q =1时为常数列.④掌握等比数列的有关性质:若 {}n a 是公比为q 等比数列，则22311{},{},{},{},{}n n m m nka a a a a +等还成等比数列，公比分别是2231,,,,kq q q q q，其中为非零常数. 若*(,,,)m n s t m n s t N +=+∈,则m n s t a a a a ⋅=⋅.5. 课外作业：海淀总复习检测P46 5.3等比数列每课作业1．选择题（1）等比数列{}n a 的各项都是正数，若181a =,516a =,则它的前5项和是 ( ) (A)179 (B)211 (C)243 (D)275 (2)设{a n }是由正数组成的等比数列，公比q =2，且a 1·a 2·a 3·…·a 30=230，那么a 3·a 6·a 9·…·a 30等于( ) (A)210 (B)220 (C)216 (D)215 (3) 给定正数p,q,a,b,c ，其中p ≠q ，若p,a,q 成等比数列，p,b,c,q 成等差数列, 则一元二次程bx 2－2ax +c=0（ ） (A)无实数根(B)有两个相等的实数根 (C)有两个同号的相异的实数根(D)有两个异号的相异的实数根2．填空题(4)一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列，其最小内角是__________. (5)在1n和1n +之间插入n 个正数,使这2n +个正数成等比数列,则插入的n 个正数之积为_________. (6)一张报纸，其厚度为a ，面积为b .现将报纸对折(即沿对边中点点连线折叠)7次,报纸的厚度为_______,报纸的面积为 . 3．解答题（7）在数列{}n a 中，已知1221-=+++n n a a a ，求数列2{}n a 前n 项的和.(8)三个互不相等的数成等差数列，如果适当排列这三个数，也可成等比数列，已知这三个数的和等于6，求此三个数.(9)数列{}n a 中，12a =，1n n a a cn +=+（c 是常数，123n =，，，），且123a a a ，，成公比不为1的等比数列． （I ）求c 的值；（II ）求{}n a 的通项公式．参考答案（1） B （2）B （3）A（4）设Rt △ABC 中，C =2π，则A 与B 互余且A 为最小内角.又由已知得sin 2B =sin A ，即cos 2A =sin A ，1－sin 2A =sin A ，解之得sin A =215-或sin A =215--（舍）.故最小内角是1arcsin2. （5）(5)21()nn n+ (6)128128b a （7）解:由由已知得 ,21-=n n a 所以数列2{}n a 前n 项的和为)14(31-n（8）解：设三个数分别为 a-d,a,a+d 则 （a －d ）＋a ＋(a ＋d )=3a ＝6 a =2三个数分别为 2－d,2,2＋d ∵它们互不相等 ∴分以下两种情况： 当(2－d)2=2(2＋d)时， d=6 三个数分别为-4,2,8 当(2＋d)2=2(2－d)时， d=-6 三个数分别为8,2,-4 因此，三个数分别为-4,2,8 或8,2,-4 (9)（I ）12a =，22a c =+，323a c =+， 因为1a ，2a ，3a 成等比数列， 所以2(2)2(23)c c +=+， 解得0c =或2c =．当0c =时，123a a a ==，不符合题意舍去，故2c =． （II ）当2n ≥时，由于21a a c -=， 322a a c -=，1(1)n n a a n c --=-，所以1(1)[12(1)]2n n n a a n c c --=+++-=． 又12a =，2c =，故22(1)2(23)n a n n n n n =+-=-+=，，． 当1n =时，上式也成立，所以22(12)n a n n n =-+=，，．。