第三章 空间向量与立体几何 导学案
2018版高中数学第三章空间向量与立体几何疑难规律方法学案人教B版2-1
第三章 空间向量与立体几何1 空间向量加减法运用的三个层次空间向量是处理立体几何问题的有力工具，但要用好向量这一工具解题，必须熟练运用加减法运算． 第1层 用已知向量表示未知向量例1 如图所示,M ，N 分别是四面体OABC 的边OA ，BC 的中点，P ,Q 是MN 的三等分点，用向量错误!,错误!,错误!表示错误!和错误!。
解 错误!＝错误!＋错误!＝错误!错误!＋错误!错误!＝12错误!＋错误!(错误!－错误!）＝错误!错误!＋错误!(错误!－错误!错误!)＝错误!错误!＋错误!×错误!(错误!＋错误!)＝错误!错误!＋错误!错误!＋错误!错误!；错误!＝错误!＋错误!＝错误!错误!＋错误!错误!＝错误!错误!＋错误!（错误!－错误!）＝错误!错误!＋错误!（错误!－错误!错误!）＝错误!错误!＋错误!×错误!（错误!＋错误!)＝错误!错误!＋错误!错误!＋错误!错误!。
点评用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义．首尾相接的若干向量之和,等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们可把这个法则称为向量加法的多边形法则．在立体几何中要灵活应用三角形法则，向量加法的平行四边形法则在空间仍然成立．第2层化简向量例2如图，已知空间四边形ABCD，连接AC、BD.设M、G分别是BC、CD的中点，化简下列各表达式，并标出化简结果的向量．(1）错误!＋错误!＋错误!;（2)错误!＋错误!(错误!＋错误!）；（3）错误!－错误!（错误!＋错误!)．解(1）错误!＋错误!＋错误!＝错误!＋错误!＝错误!。
(2）错误!＋错误!（错误!＋错误!）＝错误!＋错误!错误!＋错误!错误!＝错误!＋错误!＋错误!＝错误!.（3) 错误!－错误!（错误!＋错误!）＝错误!－错误!＝错误!。
错误!、错误!、错误!如图所示．点评要求空间若干向量之和,可以通过平移，将它们转化为首尾相接的向量，如果首尾相接的若干向量构成一个封闭图形，则它们的和为0。
高中数学第三章空间向量与立体几何3.2空间向量在立体几何中的应用3.2.3直线与平面的夹角课堂导学案
3.2.3 直线与平面的夹角课堂导学三点剖析一、最小角定理的应用【例1】 已知四棱锥P-ABCD （如右图），底面是边长为2的正方形.侧 棱PA⊥底面ABCD ，PA=a,M 、N 分别为AD 、BC 的中点，MQ⊥PD 于Q. (1)直线PC 与平面PBA所成角的正弦值为33.求PA 的长； (2)PA=2,求PM 与平面PCD 所成角的正弦值.解：(1)PC =（2，2，-a ），平面PBA 的一个法向量为n=AM =(0,1,0).∵直线PC 与平面PBA 所成角的正弦值为33， ∴|cos〈,n 〉|=33, 即33|010)(222|222222=++•-++a ∴a=2,即PA=2.(2)PM =（0，1，-2），=（0，-2，2），（2，0，0）. 设平面PCD 的法向量为n =(x,y,1),则⎪⎩⎪⎨⎧=•+•+•=•=•+•-+•=•.01002,012)2(0y x n y x OP n 解得⎩⎨⎧==.1,0y x ∴n =(0,1,1).∴cos〈PM ,n 〉=1010251-=•±-. ∴PM 与平面PCD 所成角的正弦值为1010.温馨提示最小角定理的应用注意形式，θ1,θ2所处的位置. 二、利用三垂线定理求线面角 【例2】 如右图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD ，PD=DC ，E 是PC 的中点.(1)证明：PA∥平面EDB ；（2）求EB 与底面ABCD 所成的角的正切值. (1)证明：连结AC ，AC 交BD 于O.连结EO. ∵底面ABCD 是正方形， ∴点O 是AC 的中点.在△PAC 中,EO 是中位线, ∴PA∥EO.而EO ⊂平面EDB 且PA ⊄平面EDB. 所以,PA∥平面EDB.(2)解：作EF⊥DC 交DC 于F.连结BF. 设正方形ABCD 的边长为a, ∵PD⊥底面ABCD, ∴PD⊥DC.∴EF∥PD,F 为DC 的中点.∴EF⊥底面ABCD,BF 为BE 在底面ABCD 内的射影,故∠EBF 为直线EB 与底面ABCD 所成的角. 在Rt△BCF 中, BF=a a a CFBC 25)2(2222=+=+.∵EF=21PD=2a,∴在Rt△EFB 中, tan∠EBF=55,则BE 与面ABCD 所成角的正切值为55. 温馨提示解题过程一般要包含作图、证明、计算三步.另外借助于法向量求线面角将更加简捷. 三、利用向量求线面角【例3】 如右图所示的正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1∶AB=2∶1,E、F 分别为面A 1C 1和面BC 1的中心.求（1）异面直线CE 与AF 所成的角； （2）A 1F 与平面BCC 1B 1所成的角；解：如右图，以D 为原点，DA 为Ox 轴正方向，DC 为Oy 轴正方向，DD 1为Oz 轴正方向建立空间直角坐标系.∵A 1A∶AB=2∶1,可设AB=2，由此得到相应各点的坐标分别为A （2，0，0），B （2，2，0），C （0，2，0），E （1，1，4），F （1，2，2），A 1（2，0，4），B 1（2，2，4），∴CE =（1，-1，4），AF =（-1，2，2），F A 1=（-1，2，-2），F B 1=（-1，0，-2），A A 1=（0，0，-4），EB =（1，1，-4）.(1)设异面直线CE 和AF 所成的角为α,则 2185918821=⨯+--=∴α=arccos2185,此即异面直线CE 和AF 所成的角. (2)∵A 1B 1⊥平面BCC 1B 1，∴A 1F 与平面BCC 1B 1，所成的角为∠A 1FB 1（设为β）. 则cosβ=||||1111F B F A B A +•=59401⨯++=35. ∴β=arccos35.此即为A 1F 与平面BCC 1B 1所成的角. 温馨提示充分利用图形的几何特征建立适当的空间直角坐标系，用相关知识求解线面角.各个击破类题演练 1PA 、PB 、PC 从P 引出三条射线每两条的夹角都是3π，则直线PC 与面PAB 所成角的余弦值为多少？解析：设点C 在面PAB 上的射影为H ，则∠HPA=30°=θ2,∠APC=θ=60°,θ1=∠CPH 即为所求的线面角，有cosθ1·cosθ2=cosθ，得cosθ1=3330cos 60cos =.变式提升 1面α垂直面β,交线为CD ，A∈CD,AP ⊂α,∠DAP=30°,QA ⊂β,∠DAQ=30°,求∠PAQ 的大小.解析：过P 作PM⊥CD,则PM⊥β,即∠PAM 为直线AP 与β所成的角，设∠PAM=θ1,∠MAQ=θ2,∠PAQ=θ,有cosθ=cosθ1cosθ2，即cosθ=cos30°·cos30°=43,得θ=∠PAQ=arccos43.类题演练 2在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°,侧棱AA 1=AC=2，D 、E 分别是CC 1与A 1B 的中点，点E 在平面ABD 上的射影是△ABD 的重心G. 求AB 与平面ABD 所成角的大小.解：连结BG ，则BG 是BE 在面ABD 的射影，即∠EBG 是A 1B 与平面ABD 所成的角，设F 为AB 中点，连结EF 、FC ，因为D 、E 分别是CC 1、A 1B 的中点，又DC⊥平面ABC ，所以CDEF 为矩形.连结DF,G 是△ADB 的重心,EF=1,FD=3,ED=2,EG=36,则FC=ED=2,BE=3,则sin∠EBG=EB EG =32,所求的角为arcsin 32.变式提升 2如右图，l1、l2是互相垂直的异面直线，MN是它们的公垂线段.点A、l2上,AM=MB=MN.若∠ACB=60°,求NB与平面ABC所成角的余弦值.解:∵Rt△CNA≌Rt△CNB,∴AC=BC,又已知∠ACB=60°,因此,△ABC为正三角形.∵Rt△ANB≌Rt△CNB.∴NC=NA=NB,因此,N在平面ABC内的射影H是正三角形ABC的中心,连结BH,∠NBH为NB与平面ABC所成的角.在Rt△NHB中,cos∠NBH=362233==ABABNBHB.类题演练 3如右图,在四棱锥P-ABCD中,底面为直角梯形,AD∥BC,∠BAD=90°,PA⊥底面ABCD,且PA=AD=AB=2BC,M、N分别为PC、PB的中点.(1)求证:PB⊥DM;(2)求CD与平面ADMN所成的角.解:如右图,以A为坐标原点建立空间直角坐标系A—xyz,设BC=1，则A（0，0，0），P（0，0，2），B（2，0，0），C（2，1，0），M（1，21,1），D（0，2，0）.(1）∵PB·DM=（2，0，-2）·（1，-23，1）=0，∴PB⊥DM.(2)∵·=（2，0，-2）·（0，2，0）=0，∴PB⊥AD，又因为PB⊥DM，∴PB⊥平面ADMN.∵〈PB，DC〉的余角即是CD与平面ADMN所成的角.∵cos〈PB ，CD 〉=510||||=DC PB DC PB . ∴CD 与平面ADMN 所成的角为arcsin 510. 变式提升 3如右图，正三棱柱ABC-A 1B 1C 1的底面边长为a,侧 棱长为2a ，求AC 1与侧面AB 1所成的角.解:1AA =(0,0,2a).设侧面A 1B 的法向量n =(λ,x,y),所以n ·=0，且n ·1AA =0，∴ax=0,且2ay=0,∴x=y=0,故n =(λ,0,0).∵1AC =(23-a,2a,2a). ∴cos〈1AC ,n 〉11aa3||23••-λλ=||2λλ-.∴sinθ=|cos 〈1AC ,n 〉|=21,∴θ=30°.。
江苏省苏州市第五中学高中数学教案 苏教版选修2-1 第三章《空间向量与立体几何》3.1空间向量及其运算
第3章 空间向量与立体几何3．1 空间向量及其运算一、学习内容、要求及建议二、预习指导1．预习目标(1)了解空间向量的概念及空间向量的几何表示法、字母表示法和坐标表示法；(2)了解共线或平行向量概念、向量与平面平行(共面)意义，掌握它们的表示方法；(3)会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；(4)了解空间向量基本定理及其意义；会在简单问题中选用空间三个不共面向量作基底，表示其他的向量；(5)会用向量解决立体几何中证明直线和平面垂直、直线和直线垂直、求两点距离或线段长度等问题的基本方法步骤．(6)掌握空间向量的正交分解及其坐标表示；掌握空间向量的线性运算及其坐标表示；(7)理解空间向量夹角和模的概念及表示方法，理解两个向量的数量积的概念、性质 知识、方法 要求 学习建议空间向量的概念 了解 空间向量的定义、表示方法及相等关系都与平面向量相同．可在复习平面向量的定义、表示方法及其相等关系后类比进行理解﹒空间向量共线、共面的充分必要条件 理解 共面向量与共线向量的定义对象不同，但定义形式相同． 空间向量的加法、减法及数乘运算 理解 掌握空间向量的加法、减法和数乘运算．利用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律﹒空间向量的坐标表示 理解 空间向量的坐标运算，加法、减法和数量积同平面向量类似，具有类似的运算法则，学习中可类比推广．空间向量的数量积 理解 掌握空间向量的数量积的定义及其性质；掌握空间向量的坐标表示；掌握用直角坐标计算空间向量数量积的公式；理解向量长度公式及空间两点间距离公式．空间向量的共线与垂直 理解 能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直．AB C OM N G 和计算方法及运算律．(8)理解向量的长度公式、夹角公式、两点间距离公式，并会用这些公式解决有关问题．2．预习提纲(1)回顾平面向量的相关知识：①平面向量的基本要素是什么? ②平面向量是如何表示的?③特殊的平面向量有那些? ④什么是平行向量(共线向量)?⑤什么是相等向量? ⑥什么是相反向量?⑦平面向量共线定理是什么? ⑧平面向量基本定理你知道吗?(2)请你填一填：①对平面内任意的四点A ，B ，C ，D ，则AB BC CD DA +++=u u u r u u u r u u u r u u u r ； ②设1(2,3),(1,5),,33A B AC AB AD AB -==u u u r u u u r u u u r u u u r 且，则C 、D 的坐标分别是____________； ③已知(1,2),(3,)OA OB m =-=u u u r u u u r ，若OA OB ⊥u u u r u u u r ，则m = ；④若三点(1,1),(2,4),(,9)P A B x --共线，则x = ____________；⑤已知正方形ABCD 的边长为1，,,AB a BC b AC c ===u u u r r u u u r r u u u r r ，则a b c ++r r r 的模等于____________；⑥已知向量(,12),(4,5),(,10)OA k OB OC k ===-u u u r u u u r u u u r ，且,,A B C 三点共线，则k = ；⑦等腰Rt ABC ∆中，2,AB AC AB BC ==⋅u u u r u u u r u u u r u u u r 则= ；⑧已知(2,3),(1,2),(2,1)a b c ==--=r r r ，则()a b c ⋅r r r 的值= ____________；⑨1,9a b a b ==⋅=-r r r r ，则a r 与b r 的夹角是____________；⑩已知,a b r r 是两个非零向量，且,a b a b a a b ==-+r r r r r r r 则与的夹角= ____________．(3)研读教材P71—P833．典型例题例1 如图，已知四面体OABC ，,M N 分别是棱,OA BC 的中点，点G 在线段MN 上，且2MG GN =，用基底向量,,OA OB OC u u u r u u u r u u u r 表示向量OG u u u r ． 解：23OG OM MG OM MN =+=+u u u r u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r 121211()[()]232322111111()233633OA ON OM OA OB OC OA OA OB OC OA OA OB OC =+-=++-=++-=++u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ∴313161++=点评：若变题为已知OG xOA yOB zOC =++u u u r u u u r u u u r u u u r ，求,,x y z ﹒则由空间向量基本定理存在一个唯一的有序实数组),,(z y x 知111,,633x y z ===． 例 2 设空间任意一点O 和不共线的三点,,A B C ，若点P 满足向量关系z y x ++=(其中1x y z ++=)．试问：,,,P A B C 四点是否共面?解：由z y x ++=可以得到z y +=(见教材P75)由,,A B C 三点不共线，可知与不共线，所以，，共面且具有公共起点A ．从而,,,P A B C 四点共面．点评：若,,M A B 三点不共线，则空间一点P 位于平面MAB 内的充要条件是存在有序实数对,x y 使得：y x +=，或对空间任意一点O 有：y x ++=． 例3 已知空间四边形ABCD ，E 为AD 的中点，F 为BC 中点， 求证：1()2EF AB DC =+u u u r u u u r u u u r ． 证明：(法一)如图， 0EF FC CD DE +++=u u u r u u u r u u u r u u u r r ，0EF FB BA AE +++=u u u r u u u r u u u r u u u r r ，两式相加得： 2()()()EF FC FB CD BA DE EA ++++++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， 20EF BA CD =++=u u u r u u u r u u u r r 所以，11()()22EF BA CD AB DC =-+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，得证． (法二)如图，在平面上任取一点O ，作OE uuu r 、OF u u u r ， ∵1()2OE OA OD =+u u u r u u u r u u u r ，1()2OF OB OC =+u u u r u u u r u u u r ， ∴11()()22EF OE OF OB OC OA OD =-=+-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 111()()()222OB OA OC OD AB DC =-+-=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ． 点评：若表示向量1a u r ，2a u u r ，…，n a u u r 的有向线段终点和始点连结起来构成一个封闭折图形，则210n a a a +++=u r u u r u u r r L ．这一结论的使用往往能够给解题带来很大的方便．例4 如图，在空间四边形OABC 中，8OA =，6AB =，4AC =，5BC =，45OAC ∠=o ，60OAB ∠=o ，求OA 与BC 的夹角的余弦值．分析：OA 与BC 的夹角即为OA u u u r 与BC uuu r 的夹角，可根据夹角公式求解．解：∵BC AC AB =-u u u r u u u r u u u r ，∴OA BC OA AC OA AB ⋅=⋅-⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r||||cos ,||||cos ,OA AC OA AC OA AB OA AB =⋅⋅<>-⋅⋅<>u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r84cos13586cos12024=⨯⨯-⨯⨯=-o o∴243cos ,855||||OA BC OA BC OA BC ⋅--<>===⨯⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， 所以，OA 与BC的夹角的余弦值为35-． 点评：由图形知向量的夹角时易出错，如,135OA AC <>=o u u u r u u u r 易错写成,45OA AC <>=o u u u r u u u r ． 例5 已知三角形的顶点是(1,1,1)A -，(2,1,1)B -，(1,1,2)C ---，试求这个三角形的面积．分析：可用公式1||||sin 2S AB AC A =⋅⋅u u u r u u u r 来求面积 解：∵(1,2,2)AB =-u u u r ，(2,0,3)AC =--u u u r ，∴||3AB ==u u u r，||AC ==u u u r(1,2,2)(2,0,3)264AB AC ⋅=-⋅--=-+=u u u r u u u r ，∴cos cos ,||||AB AC A AB AC AB AC ⋅=<>===⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rsin sin ,A AB AC =<>=u u u r u u u r ，∴1||||sin 2ABC S AB AC A ∆=⋅⋅=u u u r u u u r 例6 已知(1,0,0)A ，(0,1,0)B ，(0,0,2)C ，求满足//DB AC ，//DC AB 的点D 的坐标．分析：已知条件//DB AC ，//DC AB ，也即//DB AC u u u r u u u r ，//DC AB u u u r u u u r ，可用向量共线的充要条件处理．解：设点(,,)D x y z ，∴(,1,)DB x y z =---u u u r ，(1,0,2)AC =-u u u r ，∵//DB AC u u u r u u u r ，∴DB AC λ=u u u r u u u r ，∴(,1,)(,0,2)x y z λλ---=-，∴102x y z λλ-=-⎧⎪-=⎨⎪-=⎩，∴12x y z λλ=⎧⎪=⎨⎪=-⎩，∴(,1,2)D λλ-，∴(,1,22)DC λλ=--+u u u r ，(1,1,0)AB =-u u u r ，又∵//DC AB u u u r u u u r ，∴设DC u AB =u u u r u u u r ，∴(,1,22)(,,0)u u λλ--+=-，∴1220u u λλ-=-⎧⎪-=⎨⎪+=⎩∴1u λ==-，所以，D 点坐标为(1,1,2)-．点评：本题采用的方法是用向量坐标运算处理空间向量共线问题的常用方法．4．自我检测(1)已知点(3,1,4)A --，则点A 关于x 轴的对称点的坐标为____________．(2)设(2,6,3)a =-r ，则与a r 平行的单位向量的坐标为 ．(3)已知(1,1,),(2,,)a t t t b t t =--=r r ，则||a b -r r 的最小值是 ．(4)如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若B A 1=a ，11D A =b ，A A 1=c ．则M B 1= ．(用a ，b ，c 表示)﹒(5)已知四边形ABCD 为平行四边形，且(4,1,3),(2,5,1),(3,7,5)A B C --，则点D 的坐标为 ．(6)设向量(1,3,2),(4,6,2),(3,12,)a b c t =-=-=-r r r ，若c ma nb =+r r r ，则t = ，m n += ．(7)已知(cos ,1,sin ),(sin ,1,cos )a b θθθθ==r r ，则向量a b +r r 与a b -r r 的夹角是 ．三、课后巩固练习A 组1．已知空间四边形ABCD ，连结,AC BD ，设,M G 分别是,BC CD 的中点，化简下列各表达式，并标出化简结果向量： (1)AB BC CD ++u u u r u u u r u u u r ； (2)1()2AB BD BC ++u u u r u u u r u u u r ； (3)1()2AG AB AC -+u u u r u u u r u u u r ． 2．平行六面体1111ABCD A B C D -中，设→---AB =a r ，→---AD =b r ，→---1AA =c r ，E 、F 分别是AD 1、BD 中点，试用a r 、b r 、c r 表示下列向量：(1)→---B D 1；(2)→---AF ；(3)→---C D 1；(4)→---EF ． 3．正方体OASB CQRP -中，→--OA = i r ，→--OB =j r ，→--OC =k r ，→--OP =a r ，→--OQ =b r ，→--OS =c r ， 设→z =λa r ＋μb r ＋γc r ，则→z = i r ＋ j r ＋ k r ． 4．设a r 、b r 、c r 不共面，2,,453m a b n b c p a b c =-=+=--u r r r r r r u r r r r ，判断m u r 、n r 、p u r 是否共 面． 5﹒已知空间四边形ABCD ，AB a =u u u r r ，AC b =u u u r r ，AD c =u u u r r ，点M 在AB 上，且2AM MB =，N 为CD 中点，试用,,a b c r r r 表示MN u u u u r ．B 组6．已知,,A B C 三点不共线，O 为空间任意一点，若111333OM OA OB OC =++u u u u r u u u r u u u r u u u r ，试证： 点M 与,,A B C 共面．7．证明四点()()()()1,0,1,4,4,6,2,2,3,10,14,17A B C D 在同一平面上． 8．已知()()3,1,5,1,2,3a b ==-r r ，若9,4a c b c ⋅=⋅=-r r r r ，且→c 垂直于Oz 轴，求→c ．9．已知a r 、b r 、c r 是两两垂直的单位向量，求：(1)()a b c ⋅+r r r ； (2)()()23a b b c -⋅+r r r r ； (3)()()4332a b c a b c -+⋅+-r r r r r r ．10．已知直角坐标系内的a r 、b r 、c r 的坐标，判断这些向量是否共面?如果不共面，求出以 它们为三邻边所作的平行六面体的表面积：(1)()()()3,4,5,1,2,2,9,14,16a b c ===r r r ； (2)()()()3,0,1,4,3,0,1,2,2a b c =-=-=--r r r ．11．已知()()322,0,4,2,1,2,2,4,a b c a c b θ-=-=-⋅==r r r r r r 为,b c r r 夹角，求cos θ．12．已知()()1,0,2,2,1,0a b =--=--r rB CD M G A(1)求a r 与b r 夹角余弦值的大小； (2)若c =r c r 分别与,a b r r 垂直，求c r ．13. 平行六面体1111ABCD A B C D -中，以顶点A 为端点的三条棱长都等于1，且两两夹角都为600，求1AC 的长．14．已知()()()1,2,3,2,1,5,3,2,5A B C --，求：(1)△ABC 的面积； (2)△ABC 的AB 边上的高． 15．空间两个不同的单位向量()(),,0,,,0OA p q OB r s ==u u u r u u u r ，都与()1,1,1OC =u u u r 成4π角． (1)分别求出p q +和pq 的值；(2)若AOB ∠为锐角，求AOB ∠．四、学习心得五、拓展视野N 维向量空间的起源宇宙，一个人类永远的话题，也是人类永远探索的目标．“没人确切的知道宇宙是怎么开始的．有人推论是一场无序的灾难性爆炸使无尽的世界群不断旋转向黑暗--这些世界随后有了不可思议的生命形态和天差地别的炯异．也有人相信宇宙是被某个强大实体以整体形式创造出来的．”宇宙， 是一个空间概念． 它包括行星， 星系等实体．宇宙同时也是一个时间概念． 现代有人解释宇宙为“无限的空间与时间”，正好印证了中国的一本古书<淮南子>对宇宙的定义，其中说“四方上下谓之宇， 古往来今谓之宙”． “四方上下”概括了所有空间， "古往来今"则概括了部分的时间．为什么说是部分的时间呢? “古往来今”的含义是从永远的过去到现在的今天． 这样的定义没有把从现在到无限的未来包括进来．如果我们把时间用一个变量 t 表示．那么“古往来今”则表示的是 t 在负无穷大到零的区间，即(-∞， 0]，如果我们设定坐标零点为现在，负方向代表过去，正方向代表将来．对于无限的空间的定义(即，时间 t从永远的过去到永远的将来)，就成为了(-∞， ＋∞)．那么空间呢?同样我们可以用坐标系的方式来定义空间．问题的关键就在于，我们怎么看待我们生存的空间．我们不是生活在一个2维的平面上(而古代的中国人认为地是方的，就如同我小时候想得一样．)，而是生活在一个类似于球体的物体上．这样，很多人会说，我们生活在一个3维空间里面．这样一个3维空间由三个坐标轴 X ， Y ， Z 组成．在这样一个3维空间中，任何一个位置p 都可以用三个数(x ， y ， z )表示，x 为位置p 在X 轴上的取值(也是投影)，同理，y 和z 也是．同时，这三条坐标轴是正交的．何谓正交，就是三条坐标轴互相垂直．在这个3维空间中，我们有两点111,,)P y z 1（x (可能是伦敦)和2222,,)P x y z （(可能是巴黎)，从1P到2P 之间(伦敦到巴黎)的最小距离(直线距离)为D=||1P -2P ||=sqrt((1x -2x )2＋(1y -2y )2＋(1z -2z )2)．在一般情况，因为各种限制，我们可能用不了最小距离，但是最小距离给我们找到一个下限．宇宙不仅包括空间，而且包括时间，所以，我们的这个宇宙就变成了3＋1=4维的了．那么宇宙就可以描述为(),,,x y z t ，有了四条正交的坐标轴,,,X Y Z T ．比如说事件A 为(),,,x y z t 表示，事件A 发生在(),,x y z 地点，发生在t 时间．在这样一个4维空间中，两个事件之间的最小距离也可以表示出来．但是这个“距离”就不是空间上的相对位置的改变，而是表示两个事件之间的“关系”．跳出我们仅仅对宇宙作为时间＋空间的定义．如果我们将宇宙描述为包容万象的，我们就会看到仅仅用时间＋空间不能来完整来表示．比如说，如何表述一个人?如何表述我们情感?仅仅用四条坐标轴很难去表述这些东西．显然，我们需要更多的坐标轴．如果要表示我是高兴还是悲伤，我们可以加一条坐标轴e ，e=0表示我即不高兴也不悲伤，当e 取负值，越远离坐标原点，说明我越不happy ，相反，当e 取正值，越远离坐标原点，说明我越happy ．如果我们要描叙其他的属性，我们有加入了新的坐标轴．如果，要描述的属性不计其数，要加入的坐标轴也不计其数了．显然，这是有可能的，因为我们对事物的认识是没有止境的，所以，当我们要描叙一个事物时，其属性可能无限多．这也反过来说明了宇宙的包容一切．所以，宇宙是一个无限维的空间，定为n 维空间(n=∞)，其存在n 条正交的坐标轴．无数的基本元素组成了宇宙(注意，这里的元素与化学中提到的元素不同，这里的元素是指单元)．每个元素是一个向量v ， v = {v1， v2， v3， ．．．， vn}， n =∞，(其实就相当于3维和2维空间中的一个点)．无数个向量组成的空间叫做向量空间．向量空间的维度就是坐标轴的个数．宇宙就是一个n 维向量空间。
第三章 空间向量与立体几何 导学案
§3.1.1空间向量及其运算1. 理解空间向量的概念，掌握其表示方法；2. 会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；3. 能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．8486 复习1：平面向量基本概念： 具有 和 的量叫向量， 叫向量的模（或长度）； 叫零向量，记着 ； 叫单位向量. 叫相反向量， a 的相反向量记着 . 叫相等向量. 向量的表示方法有 ， ， 和 共三种方法.复习2：平面向量有加减以及数乘向量运算：1. 向量的加法和减法的运算法则有 法则 和 法则.2. 实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个 量，记作 ，其长度和方向规定如下：(1)|λa |＝ . (2)当λ＞0时，λa 与A. ； 当λ＜0时，λa 与A. ； 当λ＝0时，λa ＝ .3. 向量加法和数乘向量，以下运算律成立吗？加法交换律：a ＋b ＝b ＋a加法结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋（b ＋c ）数乘分配律：λ(a ＋b )＝λa ＋λb 二、新课导学※ 学习探究探究任务一：空间向量的相关概念 问题： 什么叫空间向量？空间向量中有零向量，单位向量，相等向量吗？空间向量如何表示？ 新知：空间向量的加法和减法运算： 空间任意两个向量都可以平移到同一平面内，变为两个平面向量的加法和减法运算，例如右图中，OB = ， AB = ，试试：1. 分别用平行四边形法则和三角形法则求,.a b a b +-a b2. 点C 在线段AB 上，且52AC CB =,则 AC = AB , BC = AB .反思：空间向量加法与数乘向量有如下运算律吗？ ⑴加法交换律：A. + B. = B. + a ； ⑵加法结合律：(A. + b ) + C. =A. + (B. + c )； ⑶数乘分配律：λ(A. + b ) =λA. +λb ．※ 典型例题 例 1 已知平行六面体''''ABCD A B C D -（如图），化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量：AB BC +⑴； 'AB AD AA ++⑵；1'2AB AD CC ++⑶ 1(')2AB AD AA ++⑷．变式：在上图中，用',,AB AD AA 表示'',AC BD 和'DB .小结：空间向量加法的运算要注意：首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量． 例2 化简下列各式：⑴ AB BC CA ++;⑵;AB MB BO OM +++⑶;AB AC BD CD -+- ⑷ OA OD DC --.2变式：化简下列各式： ⑸ OA OC BO CO +++; ⑹ AB AD DC --;⑺ NQ QP MN MP ++-.小结：化简向量表达式主要是利用平行四边形法则或三角形法则，遇到减法既可转化成加法，也可按减法法则进行运算，加法和减法可以转化.※ 动手试试练 1. 已知平行六面体''''ABCD A B C D -, M 为A 1C 1与B 1D 1的交点，化简下列表达式：⑴ 111AA A B +;⑵ 11111122A B A D +;⑶ 111111122AA A B A D ++⑷ 1111AB BC CC C A A A ++++.三、总结提升※ 学习小结1. 空间向量基本概念；2. 空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律※ 知识拓展平面向量仅限于研究平面图形在它所在的平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移，它们的共同点都是指“将图形上所有点沿相同的方向移动相同的长度”，空间的平移包含平面的平移.※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 下列说法中正确的是（ ）A. 若∣a ∣=∣b ∣，则a ，b 的长度相同，方向相反或相同;B. 若a 与b 是相反向量，则∣a ∣=∣b ∣;C. 空间向量的减法满足结合律;D. 在四边形ABCD 中，一定有AB AD AC +=. 2. 长方体''''ABCD A B C D -中，化简''''A A A B AD ++= 3. 已知向量a ，b 是两个非零向量，00,a b 是与a ，b同方向的单位向量，那么下列各式正确的是（ ） A. 00a b = B. 00a b =或00a b =- C. 01a = D. ∣0a ∣=∣0b ∣4. 在四边形ABCD 中，若AC AB AD =+,则四边形是（ ）A. 矩形B. 菱形C. 正方形D. 平行四边形 5. 下列说法正确的是（ ） A. 零向量没有方向B. 空间向量不可以平行移动C. 如果两个向量不相同，那么它们的长度不相等D. 同向且等长的有向线段表示同一向量1. 在三棱柱ABC-A'B'C'中，M,N 分别为BC ,B'C'的中点，化简下列式子：⑴ AM + BN ⑵'A N －'MC + 'BB2. 如图，平行六面体1111ABCD A B C D -中，点M 为AC 与的BD 的交点，AB a =，AD b =，1A A c =，则下列向量中与1B M 相等的是（ ）A. 1122a b c -++B. 1122a b c ++C. 1122a b c -+D. 1122a b c --+§3.1.2 空间向量的数乘运算（一）1. 掌握空间向量的数乘运算律，能进行简单的代数式化简；2. 理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论；3. 能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立3体几何中的问题．8687 复习1：化简：⑴ 5（32a b -）+4（23b a -）；⑵ ()()63a b c a b c -+--+-.复习2：在平面上，什么叫做两个向量平行？ 在平面上有两个向量,a b ， 若b 是非零向量，则a 与b 平行的充要条件是二、新课导学※ 学习探究探究任务一：空间向量的共线问题：空间任意两个向量有几种位置关系？如何判定它们的位置关系？新知：空间向量的共线：1. 如果表示空间向量的 所在的直线互相 或 ，则这些向量叫共线向量，也叫平行向量.2. 空间向量共线：定理：对空间任意两个向量,a b （0b ≠）， //a b 的充要条件是存在唯一实数λ，使得推论：如图，l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量的直线，对空间的任意一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是试试：已知5,28,AB a b BC a b =+=-+()3CD a b =- ，求证: A,B,C 三点共线.反思：充分理解两个向量,a b 共线向量的充要条件中的0b ≠，注意零向量与任何向量共线.※ 典型例题例 1 已知直线AB ，点O 是直线AB 外一点，若OP xOA yOB =+，且x +y ＝1，试判断A,B,P 三点是否共线？变式：已知A,B,P 三点共线，点O 是直线AB 外一点，若12OP OA tOB =+，那么t ＝例2 已知平行六面体''''ABCD A B C D -，点M 是棱AA '的中点，点G 在对角线A 'C 上，且CG:GA '=2:1,设CD =a ，',CB b CC c ==，试用向量,,a b c 表示向量',,,CA CA CM CG .变式1：已知长方体''''ABCD A B C D -，M 是对角线AC '中点，化简下列表达式： ⑴ 'AA CB - ;⑵ '''''AB B C C D ++⑶ '111222AD AB A A +-变式2：如图，已知,,A B C 不共线，从平面ABC 外任一点O ，作出点,,,P Q R S ,使得： ⑴22OP OA AB AC =++ ⑵32OQ OA AB AC =-- ⑶32OR OA AB AC =+- ⑷23OS OA AB AC =+-.4小结：空间向量的化简与平面向量的化简一样，加法注意向量的首尾相接，减法注意向量要共起点，并且要注意向量的方向.※ 动手试试练1. 下列说法正确的是（ ）A. 向量a 与非零向量b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线；B. 任意两个共线向量不一定是共线向量；C. 任意两个共线向量相等；D. 若向量a 与b 共线，则a b λ=.2. 已知32,(1)8a m n b x m n =-=++，0a ≠，若//a b ，求实数.x三、总结提升※ 学习小结1. 空间向量的数乘运算法则及它们的运算律；2. 空间两个向量共线的充要条件及推论.※ 知识拓展平面向量仅限于研究平面图形在它所在的平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移，它们的共同点都是指“将图形上所有点沿相同的方向移动相.※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 下列说法正确的是（ ）A.a 与非零向量b 共线,b 与c 共线，则a 与c 共线B. 任意两个相等向量不一定共线C. 任意两个共线向量相等D. 若向量a 与b 共线，则a b λ=2. 正方体''''ABCD A B C D -中，点E 是上底面''''A B C D 的中心，若''BB xAD yAB zAA =++,则x ＝ ，y ＝ ，z ＝ .3. 若点P 是线段AB 的中点，点O 在直线AB 外，则OP OA + OB .4. 平行六面体''''ABCD A B C D -, O 为A 1C 与B 1D的交点,则'1()3AB AD AA ++= AO5. 已知平行六面体''''ABCD A B C D -，M 是AC 与BD 交点，若',,AB a AD b AA c ===，则与'B M 相等的向量是（ ）A. 1122a b c -++；B. 1122a b c ++；C. 11a b c -+； D. 1122a b c --+.§3.1.2 空间向量的数乘运算（二）1. 掌握空间向量的数乘运算律，能进行简单的代数式化简；2. 理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论；3. 能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立5，复习2：已知直线AB ，点O 是直线,a b 有怎 推论：空间一点反思：若空间任意一点O 和不共线的三点A,B,C 满足关系式OP xOA yOB zOC =++,且点P 与 A,B,C 共面，则x y z ++= .※ 典型例题例1 下列等式中，使M ,A ,B ,C 四点共面的个数是（ ） ①;OM OA OB OC =-- ②111;532OM OA OB OC =++ ③0;MA MB MC ++=④0OM OA OB OC +++=. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4变式：已知A,B,C 三点不共线，O 为平面ABC 外一点，若向量()17,53OP OA OB OC R λλ=++∈则P ,A,B,C 四点共面的条件是λ=例2 如图，已知平行四边形ABCD,过平面AC 外一点O 作射线OA,OB,OC,OD,在四条射线上分别取点E,,F ,G ,H,并且使,OE OF OG OH k OA OB OC OD ==== 求证：E,F ,G ,H 四点共面. 变式：已知空间四边形ABCD 的四个顶点A,B,C,D不共面，E,F ,G ,H 分别是AB,BC,CD,AD 的中点，求证：E,F ,G ,H 四点共面.A BCD FE G H6小结：空间向量的化简与平面向量的化简一样，加法注意向量的首尾相接，减法注意向量要共起点，并且要注意向量的方向.※ 动手试试练1. 已知,,A B C 三点不共线，对平面外任一点，满足条件122555OP OA OB OC =++，试判断：点P 与,,A B C 是否一定共面？练 2. 已知32,(1)8a m n b x m n =-=++，0a ≠，若//a b ，求实数.x三、总结提升※ 学习小结1. 空间向量的数乘运算法则及它们的运算律；2. 空间两个向量共线的充要条件及推论.※ 知识拓展平面向量仅限于研究平面图形在它所在的平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移，它们的共同点都是指“将图形上所有点沿相同的方向移动相.※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，向量1D A 、1D C 、11AC 是（ ） A. 有相同起点的向量 B ．等长向量C ．共面向量D ．不共面向量.2. 正方体''''ABCD A B C D -中，点E 是上底面''''A B C D 的中心，若''BB xAD yAB zAA =++,则x ＝ ，y ＝ ，z ＝ .3. 若点P 是线段AB 的中点，点O 在直线AB 外，则OP OA + OB .4. 平行六面体''''ABCD A B C D -, O 为A 1C 与B 1D的交点,则'1()3AB AD AA ++= AO .5. 在下列命题中：①若a 、b 共线，则a 、b 所在的直线平行；②若a 、b 所在的直线是异面直线，则a 、b 一定不共面；③若a 、b 、c 三向量两两共面，则a 、b 、c 三向量一定也共面；④已知三向量a 、b 、c ，则空间任意一个向量p 总可以唯一表示为p ＝x a ＋y b ＋z c ．其中正确命题的个数为 （ ）. A ．0 B.1 C. 2 D. 3 课后作业： 1. 若324,(1)82a m n p b x m n yp =--=+++， 0a ≠，若//a b ，求实数,x y .2.已知两个非零向量21,e e 不共线,12,AB e e =+ 121228,33AC e e AD e e =+=-. 求证：,,,AB C D 共面．§3.1.3．空间向量的数量积（1）1. 掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法；2. 掌握两个向量的数量积的计算方法，并能利用两个向量的数量积解决立体几何中的一些简单问题．7学习过程一、课前准备9092复习1：什么是平面向量a 与b 的数量积？复习2：在边长为1的正三角形⊿ABC中，求AB BC ∙.二、新课导学※ 学习探究探究任务一：空间向量的数量积定义和性质问题：在几何中，夹角与长度是两个最基本的几何量，能否用向量的知识解决空间两条直线的夹角和空间线段的长度问题？新知：1) 两个向量的夹角的定义：已知两非零向量,a b ，在空间 一点O ，作,OA a OB b ==，则AOB ∠叫做向量a 与b 的夹角，记作 .试试：⑴ 范围: ,a b ≤<>≤,a b 〈〉=0时,a b 与 ;,a b 〈〉=π时,a b 与⑵ ,,a b b a <>=<>成立吗？⑶,a b <>= ，则称a 与b 互相垂直，记作 .2) 向量的数量积：已知向量,a b ，则 叫做,a b 的数量积，记作a b ⋅，即a b ⋅= .规定:零向量与任意向量的数量积等于零.反思：⑴ 两个向量的数量积是数量还是向量？ ⑵ 0a ∙= （选0还是0） ⑶ 你能说出a b ⋅的几何意义吗？ 3) 空间向量数量积的性质：（1）设单位向量e ，则||cos ,a e a a e ⋅=<>． （2）a b a b ⊥⇔⋅= ． （3）a a ⋅= ＝ .4) 空间向量数量积运算律：（1）()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅． （2）a b b a ⋅=⋅（交换律）．（3）()a b c a b a c ⋅+=⋅+⋅（分配律反思：⑴ )()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅（吗？举例说明.⑵ 若a b a c ⋅=⋅，则b c =吗？举例说明.⑶ 若0a b ⋅=，则00a b ==或吗？为什么？※ 典型例题例1 用向量方法证明：在平面上的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.变式1：用向量方法证明：已知：,m n 是平面α内的两条相交直线，直线l 与平面α的交点为B ，且,l m l n ⊥⊥. 求证：l α⊥．例 2 如图，在空间四边形ABCD 中，2AB =，3BC =，23BD =，3CD =，30ABD ∠=，60ABC ∠=，求AB 与CD 的夹角的余弦值变式：如图，在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，若AB =2BB 1,则AB 1与C 1B 所成的角为（） A. 60° B. 90° C. 105° D. 75°DBa=b=b=，b=2222a b==-, b③()()a b c a b c∙∙=∙∙④22(32)(32)94a b a b a b+∙-=-正确有个数为（）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个2.已知1e和2e是两个单位向量，夹角为3π，则下面向量中与212e e-垂直的是（）A.12e e+ B.12e e- C.1e D.2e3.已知ABC∆中，,,A B C∠∠∠所对的边为,,a b c，且3,1a b==,30C∠=︒,则BC CA∙=4. 已知4a=，2b=，且a和b不共线，当abλ+与a bλ-的夹角是锐角时，λ的取值范围是. 5. 已知向量,a b满足4a=，2b=，3a b-=，则a b+=____1. 已知空间四边形ABCD中，AB CD⊥，AC BD⊥，求证：AD BC⊥.2. 已知线段AB、BD在平面α内,BD⊥AB, 线段ACα⊥,如果AB＝a,BD＝b,AC＝c,求C、D间的距离.§3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示1. 掌握空间向量的正交分解及空间向量基本定理和坐标表示；2. 掌握空间向量的坐标运算的规律；8992-96 复习1：平面向量基本定理：对平面上的任意一个向量P ，,a b 是平面上两个 向量，总 是存在 实数对(),x y ，使得向量P 可以用,a b 来表示，表达式为 ，其中,a b 叫做 . 若a b ⊥，则称向量P 正交分解.复习2：平面向量的坐标表示：平面直角坐标系中，分别取x 轴和y 轴上的 向量,i j 作为基底，对平面上任意向量a ，有且只有一对实数x ，y ，使得a xi y j =+，，则称有序对(),x y 为向量a 的 ，即a ＝ .二、新课导学※ 学习探究探究任务一：空间向量的正交分解 问题：对空间的任意向量a ，能否用空间的几个向量唯一表示？如果能，那需要几个向量？这几个向量有何位置关系？新知：⑴ 空间向量的正交分解：空间的任意向量a ，均可分解为不共面的三个向量11a λ、22a λ、33a λ，使112233a a a a λλλ=++. 如果123,,a a a 两两 ，这种分解就是空间向量的正交分解.(2)空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c ， 对空间任一向量p ，存在有序实数组{,,}x y z ，使得p xa yb zc =++. 把 的一个基底，,,a b c 都叫做基向量.反思：空间任意一个向量的基底有 个.⑶单位正交分解：如果空间一个基底的三个基向量互相 ，长度都为 ，则这个基底叫做单位正交基底，通常用｛i ,j ,k ｝表示.⑷空间向量的坐标表示：给定一个空间直角坐标系O -xyz 和向量a ，且设i 、j 、k 为 x 轴、y 轴、z 轴正方向的单位向量，则存在有序实数组{,,}x y z ，使得a xi y j zk =++，则称有序实数组{,,}x y z 为向量a 的坐标，记着p = .⑸设A 111(,,)x y z ，B 222(,,)x y z ，则AB ＝ .⑹向量的直角坐标运算：设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ，则 ⑴a ＋b ＝112233(,,)a b a b a b +++； ⑵a －b ＝112233(,,)a b a b a b ---；⑶λa ＝123(,,)a a a λλλ()R λ∈；⑷a ·b ＝112233a b a b a b ++. 试试：1. 设23a i j k =-+，则向量a 的坐标为 .2. 若A (1,0,2)，B (3,1,1)-，则AB ＝ .3. 已知a ＝(2,3,5)-，b ＝(3,1,4)--，求a ＋b ，a －b ，8a ，a ·b※ 典型例题例1 已知向量,,a b c 是空间的一个基底，从向量,,a b c 中选哪一个向量，一定可以与向量,p a b =+q a b =-构成空间的另一个基底？变式：已知O,A,B,C 为空间四点，且向量,,OA OB OC 不构成空间的一个基底，那么点O,A,B,C 是否共面？小结：判定空间三个向量是否构成空间的一个基底的方法是：这三个向量一定不共面. 例2 如图，M,N 分别是四面体QABC 的边OA,BC 的中点，P ,Q 是MN 的三等分点，用,,OA OB OC 表示OP 和OQ .10变式：已知平行六面体''''ABCD A B C D -，点G是侧面''BB C C 的中心，且OA a =，',OC b OO c ==，试用向量,,a b c 表示下列向量: ⑴''',,;OB BA CA ⑵ OG .※ 动手试试练1. 已知()()()2,3,1,2,0,3,0,0,2a b c =-==，求： ⑴()a b c ∙+； ⑵68a b c +-.练2. 正方体''''ABCD A B C D -的棱长为2，以A 为坐标原点，以'AB,AD,AA 为x 轴、y 轴、z 轴正方向建立空间直角坐标系，则点1D ，',AC AC 的坐标分别是 ， ， .三、总结提升※ 学习小结1. 空间向量的正交分解及空间向量基本定理；2. 空间向量坐标表示及其运算※ 知识拓展建立空间直角坐标系前，一定要验证三条轴的垂直关系，若图中没有建系的环境，则根据已知条件，.※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 若{}a,,b c 为空间向量的一组基底，则下列各项中，能构成基底的是（ ）A.,,a a b a b +-B. ,,b a b a b +-C. ,,c a b a b +-D. 2,,a b a b a b ++-2. 设i 、j 、k 为空间直角坐标系O -xyz 中x 轴、y 轴、z 轴正方向的单位向量，且AB i j k =-+-，则点B 的坐标是3. 在三棱锥OABC 中，G 是ABC ∆的重心（三条中线的交点），选取,,OA OB OC 为基底，试用基底表示OG ＝4. 正方体''''ABCD A B C D -的棱长为2，以A 为坐标原点，以'AB,AD,AA 为x 轴、y 轴、z 轴正方向建立空间直角坐标系，E 为BB 1中点，则E 的坐标是 .5. 已知关于x 的方程()222350x t x t t --+++=有两个实根，c a tb =+，且()()1,1,3,1,0,2a b =-=-， 当t ＝ 时，c 的模取得最大值. 1. 已知()()3,5,7,2,4,3A B =-=-,求,,AB BA 线段AB 的中点坐标及线段AB 的长度.2. 已知,,a b c 是空间的一个正交基底，向量,,a b a b c +-是另一组基底，若p 在,,a b c 的坐标是()1,2,3，求p 在,,a b a b c +-的坐标.§3.1.5 空间向量运算的坐标表示114. 线段中点的坐标公式：在空间直角坐标系中，已知点111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则线段AB 的中点坐标为: .※ 典型例题例1. 如图,在正方体1111ABCD A B C D -中，点11,E F 分别是1111,A B C D 的一个四等分点，求1BE 与1DF 所成的角的余弦值．变式：如上图,在正方体1111A B C D A B C D -中，1111113A BB E D F ==，求1BE 与1DF 所成角的余弦值．例2. 如图，正方体1111ABCD A B C D -中，点E,F 分别是111,BB D B 的中点，求证：1EF DA ⊥.变式：如图，正方体12※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C.一般 D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 若a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ，则312123a a ab b b ==是//a b 的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不不要条件2. 已知()()2,1,3,4,2,a b x =-=-，且a b ⊥， 则x ＝ .3. 已知()()1,0,0,0,1,1A B -,OA OB λ+与OB 的夹角为120°，则λ的值为（ ）A. B. C. D. 4. 若()()2,2,0,3,2,a x b x x ==-，且,a b 的夹角为钝角，则x 的取值范围是（ ）A. 4x <-B. 40x -<<C. 04x <<D. 4x > 5. 已知 ()()1,2,,,1,2a y b x =-=， 且(2)//(2)a b a b +-，则（ ）A. 1,13x y ==B. 1,42x y ==-C. 12,4x y ==- D. 1,1x y ==-1. 如图，正方体''''ABCD A B C D -棱长为a ， ⑴ 求'',A B B C 的夹角；⑵求证：''A B AC ⊥.2. 如图，正方体1111ABCD A B C D -中，点M,N 分别为棱11,A A B B 的中点，求CM 和1D N 所成角的余弦值.：对空间任意两个向量,a b③推论：l为经过已知点a的直线，对空间的任意一点空间向量共面③推论：空间一点共面的充要条件是：O，有b⋅=相，长度都为，则这个基底叫做单位正交基底，通常用｛i,j,k｝表示.9.空间向量的坐标表示：给定一个空间直角坐标系O-xyz和向量a，且设i、j、k为x轴、y轴、z轴正方向的单位向量，则存在有序实数组{,,}x y z，使得a xi y j zk=++，则称有序实数组{,,}x y z为向量a 的坐标，记着p=.10. 设A111(,,)x y z，B222(,,)x y z，则AB＝.11. 向量的直角坐标运算：设a＝123(,,)a a a，b＝123(,,)b b b，则⑴a＋b＝；⑵a－b＝；⑶λa＝；⑷a·b＝※动手试试1．在下列命题中：①若a、b共线，则a、b所在的直线平行；②若a、b所在的直线是异面直线，则a、b一定不共面；③若a、b、c三向量两两共面，则a、b、c三向量一定也共面；④已知三向量a、b、c，则空间任意一个向量p总可以唯一表示为p＝x a ＋y b＋z c．其中正确命题的个数为（）A．0 B. 1 C. 2 D. 32．在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，向量1D A、1D C、11AC是（）A．有相同起点的向量B．等长向量C．共面向量D．不共面向量3．已知a＝（2，－1，3），b＝（－1，4，－2），c＝（7，5，λ），若a、b、c三向量共面，则实数λ=（）A.627B.637C.647D.6574．若a、b均为非零向量，则||||⋅=a b a b是a与b共线的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件5．已知△ABC的三个顶点为A（3，3，2），B（4，－3，7），C（0，5，1），则BC边上的中线长为（）A．2 B．3 C．4 D．56. 32,2,a i j kb i j k=+-=-+则53a b∙=（）A．－15 B．－5 C．－3 D．－1※典型例题1314例1 如图，空间四边形OABC 中，,OA a OB b ==， OC c =，点M 在OA 上，且OM =2MA ,点N 为BC 的中点，则MN = .变式：如图，平行六面体''''ABCD A B C D -中，,AB a AD b ==，'AA c =,点,,P M N 分别是'''',,CA CD C D 的中点，点Q 在'CA 上，且'41CQ QA =,用基底,,a b c 表示下列向量：⑴ AP ; ⑵ AM ; ⑶ AN ; ⑷ AQ .例2 如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，190,1,2,6ABC CB CA ∠=︒==,点M 是1CC 的中点，求证：1AM BA ⊥.变式：正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的侧棱长为2，底面边长为1，点M 是BC 的中点，在直线1CC 上求一点N ，使得1MN AB ⊥※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1．直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若CA =a ，CB =b ，1CC =c ， 则1A B =（ ） A. +-a b c B. -+a b c C. -++a b c D.-+-a b c2.,,m a m b ⊥⊥(,n a b R λμλμλ=+∈向量且、0)μ≠则（ ）A ．//m nB ． m 与n 不平行也不垂直 C. m n ⊥， D ．以上情况都可能.3. 已知a +b +c ＝0，|a |＝2，|b |＝3，|c |则向量a 与b 之间的夹角,a b <>为（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．以上都不对 4.已知()()1,1,0,1,0,2,a b ==-且ka b +与2a b -互相垂直，则k 的值是（ ）A. .1B. 15C. 35D. 755. 若A (m ＋1，n －1,3)， B. (2m ,n ,m －2n )，C (m ＋3,n －3,9)三点共线，则m +n =如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点,,E F G 分别是11,,DD BD BB 的中点. ⑴ 求证：EF CF ⊥；⑵ 求EF 与CG 所成角的余弦； ⑶ 求CE 的长.15§3.2立体几何中的向量方法（1）1. 掌握直线的方向向量及平面的法向量的概念;2. 掌握利用直线的方向向量及平面的法向量解决平行、垂直、夹角等立体几何问题．102104，找出疑惑之处）复习1： 可以确定一条直线；确定一个平面的方法有哪些？复习2：如何判定空间A ,B ,C 三点在一条直线上？复习3：设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ，a ·b ＝二、新课导学※ 学习探究探究任务一： 向量表示空间的点、直线、平面 问题：怎样用向量来表示点、直线、平面在空间中的位置？新知：⑴ 点：在空间中，我们取一定点O 作为基点，那么空间中任意一点P 的位置就可以用向量OP 来表示，我们把向量OP 称为点P 的位置向量. ⑵ 直线：① 直线的方向向量：和这条直线平行或共线的非零向量.② 对于直线l 上的任一点P ,存在实数t ，使得AP t AB =，此方程称为直线的向量参数方程. ⑶ 平面：① 空间中平面α的位置可以由α内两个不共线向量确定.对于平面α上的任一点P ,,a b 是平面α内两个不共线向量，则存在有序实数对(,)x y ,使得OP x a y b =+.② 空间中平面α的位置还可以用垂直于平面的直线的方向向量表示空间中平面的位置.⑷ 平面的法向量：如果表示向量n 的有向线段所在直线垂直于平面α，则称这个向量n 垂直于平面α,记作n ⊥α，那 么向量n 叫做平面α的法向量.试试： .1.如果,a b 都是平面α的法向量，则,a b 的关系 .2.向量n 是平面α的法向量，向量a 是与平面α平行或在平面内，则n 与a 的关系是 .反思：1. 一个平面的法向量是唯一的吗？2. 平面的法向量可以是零向量吗？⑸ 向量表示平行、垂直关系：设直线,l m 的方向向量分别为,a b ，平面,αβ 的法向量分别为,u v ，则 ① l ∥m ⇔a ∥b a kb ⇔= ② l ∥α⇔a u ⊥0a u ⇔⋅= ③ α∥β⇔u ∥v .u kv ⇔=※ 典型例题例1 已知两点()()1,2,3,2,1,3A B --,求直线AB与坐标平面YOZ 的交点.变式：已知三点()()1,2,3,2,1,2,A B ()1,1,2P ,点Q 在OP 上运动（O 为坐标原点）,求当QA QB ∙取得最小值时,点Q 的坐标.小结：解决有关三点共线问题直接利用直线的参数方程即可.例2 用向量方法证明两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.变式：在空间直角坐标系中,已知()()()3,0,0,0,4,0,0,0,2A B C,试求平面ABC的一个法向量.小结：平面的法向量与平面内的任意向量都垂直. ※动手试试练1. 设,a b分别是直线12,l l的方向向量，判断直线12,l l的位置关系：⑴()()1,2,2,2,3,2a b=-=-；⑵()()0,0,1,0,0,3a b==.练2. 设,u v分别是平面,αβ的法向量，判断平面,αβ的位置关系：⑴()()1,2,2,2,4,4u v=-=--；⑵()()2,3,5,3,1,4u v=-=--.三、总结提升※学习小结1. 空间点，直线和平面的向量表示方法2. 平面的法向量求法和性质.※知识拓展：求平面的法向量步骤：⑴设平面的法向量为(,,)n x y z=；⑵找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标；⑶根据法向量的定义建立关于,,x y z的方程组；,即得法向量.※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. 设()()2,1,2,6,3,6a b=--=--分别是直线12,l l的方向向量，则直线12,l l的位置关系是.2. 设()()2,2,5,6,4,4u v=-=-分别是平面,αβ的法向量，则平面,αβ的位置关系是.3. 已知nα⊥，下列说法错误的是（）A. 若aα⊂，则n a⊥ B.若//aα，则n a⊥C.若,mα⊥，则//n m D.若,mα⊥，则n m=4.下列说法正确的是（）A.平面的法向量是唯一确定的B.一条直线的方向向量是唯一确定的C.平面法向量和直线的方向向量一定不是零向量D.若m是直线l的方向向量，//lα，则//mα5. 已知()()1,0,1,0,3,1AB AC=-=-，能做平面ABC 的法向量的是（）A. ()1,2,1 B.11,,13⎛⎫⎪⎝⎭C.()1,0,0D. ()2,1,31. 在正方体1111ABCD A B C D-中，求证：1DB是平面1ACD的一个法向量.2．已知()()2,2,1,4,5,3AB AC==，求平面ABC的一个法向量.1617§3.2立体几何中的向量方法（2）学习目标1. 掌握利用向量运算解几何题的方法，并能解简单的立体几何问题；2. 掌握向量运算在几何中求两点间距离和求空间图形中的角度的计算方法.学习过程一、课前准备105107，找出疑惑之处.复习1：已知1a b ∙=，1,2a b ==，且2m a b =+，求m .复习2：什么叫二面角？二面角的大小如何度量？二面角的范围是什么？二、新课导学※ 学习探究探究任务一：用向量求空间线段的长度 问题：如何用向量方法求空间线段的长度？新知：用空间向量表示空间线段，然后利用公式2a a =求出线段长度.试试：在长方体''''A B C DA B C D -中，已知'1,2,1A B B C C C ===,求'AC 的长.反思：用向量方法求线段的长度，关键在于把未知量用已知条件中的向量表示.※ 典型例题例1 如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点A 为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系？变式1：上题中平行六面体的对角线1BD 的长与棱长有什么关系？变式2：如果一个平行六面体的各条棱长都相等，并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于α, 那么由这个平行六面体的对角线的长可以确定棱长吗?探究任务二：用向量求空间图形中的角度例2 如图，甲站在水库底面上的点A 处，乙站在水坝斜面上的点B 处.从A ，B 到直线l （库底与水坝的交线）的距离,AC BD 分别为,a b ，CD 的长为c ，AB 的长为d .求库底与水坝所成二面角的余弦值.变式：如图，60︒的二面角的棱上有,A B 两点，直线,AC BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于,AB 已知4,6,8AB AC BD ===,求CD 的长.18※ 动手试试 练1. 如图，已知线段AB 在平面α内，线段AC α⊥，线段BD ⊥AB ，线段'DD α⊥，'30DBD ∠=，如果AB ＝a ，AC ＝BD ＝b ，求C 、D 间的距离.练2. 如图，M 、N 分别是棱长为1的正方体''''ABCD A B C D -的棱'BB 、''B C 的中点．求异面直线MN 与'CD 所成的角.三、总结提升※ 学习小结 1. 求出空间线段的长度：用空间向量表示空间线段，然后利用公式2a a =； 2. 空间的二面角或异面直线的夹角，都可以转化为利用公式cos ,a ba b a b⋅=⋅求解.※ 知识拓展解空间图形问题时,可以分为三步完成:（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题(还常建立坐标系来辅助)；（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；“翻译”成相应的几何意义.※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 已知()()1,02,1,1,3A B -，则AB = .2. 已知1cos ,2a b =-，则,a b 的夹角为 .3. 若M 、N 分别是棱长为1的正方体''''ABCD A B C D -的棱''',A B BB 的中点,那么直线,AM CN 所成的角的余弦为（ ）C.35D.254. 将锐角为60︒边长为a 的菱形ABCD 沿较短的对角线折成60︒的二面角，则,AC BD 间的距离是（ ）A.32a C.34a 5.正方体'''A B C D AB CD -中棱长为a ，'13AMAC =,N 是'BB的中点，则MN 为（ ）1. 如图，正方体''''ABCD A B C D -的棱长为1， ,M N 分别是''',BB B C 的中点，求： ⑴ ',MN CD 所成角的大小； ⑵ ,MN AD 所成角的大小；⑶ AN 的长度.。
空间向量与立体几何教案
空间向量与立体几何教案第一章：空间向量基础1.1 空间向量的概念向量的定义向量的几何表示向量的坐标表示1.2 空间向量的运算向量的加法向量的减法向量的数乘1.3 空间向量的性质向量的模向量的方向向量的长度第二章：立体几何基本概念2.1 立体图形的定义立体图形的概念立体图形的分类2.2 立体图形的性质立体图形的大小立体图形的角度立体图形的对称性2.3 立体图形的计算立体图形的面积计算立体图形的体积计算第三章：空间向量与立体图形的交点3.1 空间直线与平面的交点直线与平面的交点公式直线与平面的交点求解方法3.2 空间直线与立体的交点直线与立方体的交点求解方法直线与圆柱的交点求解方法3.3 空间平面与立体的交点平面与立方体的交线求解方法平面与圆柱的交线求解方法第四章：空间向量与立体图形的投影4.1 空间向量的投影向量的正交投影向量的斜交投影4.2 立体图形的投影立方体的正交投影立方体的斜交投影4.3 空间向量与立体图形的投影关系向量投影与立体图形的关系投影变换与立体图形的不变性第五章：空间向量与立体图形的运动5.1 空间向量的运动向量的平移向量的旋转5.2 立体图形的运动立体图形的平移立体图形的旋转5.3 空间向量与立体图形的运动关系运动变换与空间向量的关系运动变换与立体图形的不变性第六章：空间向量在立体几何中的应用6.1 空间向量与立体图形的判定使用空间向量判断立体图形的位置关系使用空间向量判断立体图形的类型6.2 空间向量与立体图形的证明使用空间向量证明立体图形的全等使用空间向量证明立体图形的相似6.3 空间向量与立体图形的构造使用空间向量构造立体图形使用空间向量解决立体几何问题第七章：空间向量的线性运算与立体几何7.1 空间向量的线性组合空间向量的线性组合定义空间向量的线性组合运算7.2 空间向量的线性关系与立体几何使用空间向量的线性关系判定立体图形的位置关系使用空间向量的线性关系解决立体几何问题7.3 空间向量的基底与立体几何空间向量的基底定义使用空间向量的基底表示立体图形第八章：空间向量的内积与立体几何8.1 空间向量的内积定义空间向量的内积概念空间向量的内积运算8.2 空间向量的内积与立体图形的性质使用空间向量的内积判断立体图形的角度使用空间向量的内积解决立体几何问题8.3 空间向量的内积与立体图形的投影使用空间向量的内积解释立体图形的投影使用空间向量的内积解决立体几何问题第九章：空间向量的外积与立体几何9.1 空间向量的外积定义空间向量的外积概念空间向量的外积运算9.2 空间向量的外积与立体图形的性质使用空间向量的外积判断立体图形的位置关系使用空间向量的外积解决立体几何问题9.3 空间向量的外积与立体图形的构造使用空间向量的外积构造立体图形使用空间向量的外积解决立体几何问题第十章：空间向量在立体几何中的综合应用10.1 空间向量与立体图形的轨迹使用空间向量研究立体图形的轨迹使用空间向量解释立体图形的运动10.2 空间向量与立体几何的综合问题解决综合性的立体几何问题使用空间向量进行立体几何的综合分析10.3 空间向量与立体图形的应用案例分析实际案例中的空间向量与立体几何问题解决实际案例中的空间向量与立体几何问题重点解析空间向量的概念、几何表示和坐标表示空间向量的加法、减法和数乘运算空间向量的模、方向和长度的性质立体图形的定义、分类和性质立体图形的大小、角度和对称性立体图形的面积和体积计算空间直线与平面的交点求解方法空间直线与立体的交点求解方法空间平面与立体的交线求解方法空间向量的正交投影和斜交投影立体图形的正交投影和斜交投影空间向量与立体图形的关系投影变换与立体图形的不变性空间向量的平移和旋转立体图形的平移和旋转运动变换与空间向量的关系运动变换与立体图形的不变性空间向量判断立体图形的位置关系空间向量判断立体图形的类型空间向量证明立体图形的全等和相似空间向量构造立体图形空间向量解决立体几何问题空间向量的线性组合和运算空间向量的线性关系判定立体图形的位置关系空间向量的基底表示立体图形空间向量的内积的定义和运算空间向量的内积判断立体图形的角度空间向量的内积解释立体图形的投影空间向量的外积的定义和运算空间向量的外积判断立体图形的位置关系空间向量的外积构造立体图形空间向量研究立体图形的轨迹空间向量解释立体图形的运动解决综合性的立体几何问题使用空间向量进行立体几何的综合分析分析实际案例中的空间向量与立体几何问题解决实际案例中的空间向量与立体几何问题。
数学：第三章《空间向量与立体几何》教案(人教版选修2-1)
高二数学选修2－1 第三章 第1节 空间向量及其运算人教实验B 版（理）【本讲教育信息】一、教学内容：选修2—1 空间向量及其运算二、教学目标：1．理解空间向量的概念，掌握其表示方法；会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律。
2．理解共线向量定理和共面向量定理及其意义。
3．掌握空间向量的数量积的计算，掌握空间向量的线性运算，掌握空间向量平行、垂直的充要条件及向量的坐标与点的坐标的关系；掌握夹角和距离公式。
三、知识要点分析： 1．空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量注：向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量2．空间向量的运算定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下（如图）b a AB OA OB+=+=b a-=-=)(R a OP ∈=λλ运算律：（1）加法交换律：a b b a+=+（2）加法结合律：)()(c b a c b a++=++（3）数乘分配律：b a b aλλλ+=+)(3．共线向量定理：对于空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a //b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb .4．共面向量定理：如果两个向量b a ,不共线，那么向量p 与向量b a ,共面的充要条件是存在有序实数组),(y x ，使得b y a x p +=。
5．空间向量基本定理：如果三个向量c ,b ,a 不共面，那么对空间任一向量p ，存在唯一的有序实数组（x ，y ，z ），使c z b y a x p ++= 6．夹角定义：b a ,是空间两个非零向量，过空间任意一点O ，作b OB a OA ==,，则AOB ∠叫做向量a 与向量b 的夹角，记作><b a , 规定：π>≤≤<b a ,0特别地，如果0,>=<b a ，那么a 与b 同向；如果π>=<b a ,，那么a 与b 反向；如果90b ,a >=<，那么a 与b 垂直，记作b a ⊥。
选修2-1第三章空间向量与立体几何教案4
课 题：空间的角的计算（1） 教学目标：能用向量方法解决线线、线面的夹角的计算问题 教学重点：异线角与线面角的计算 教学难点：异线角与线面角的计算 教学过程 一、创设情景1、异面直线所称的角、线面角的定义及求解方法2、向量的夹角公式 二、建构数学1、法向量在求面面角中的应用：原理：一个二面角的平面角α1与这个二面角的两个半平面的法向量所成的角α2相等或互补。
2、法向量在求线面角中的应用：原理：设平面β的斜线l 与平面β所的角为α1，斜线l 与平面β的法向量所成角α2，则α1与α2互余或与α2的补角互余。
三、数学运用1、例1 在正方体1111D C B A ABCD -中,E 1，F 1分别在A 1B 1,,C 1D 1上，且E 1B 1=41A 1B 1，D 1F 1=41D 1C 1，求BE 1与DF 1所成的角的大小。
解1：(几何法)作平行线构造两条异面直线所成的角AHG ∠1715cos =∠AHG 解2：（向量法）设b F D a DD ==111,4，则||||b a =且⊥222212117)4(||||a b a BE DF =+== 21115)4)(4(a b a b a BE DF =-+=⋅ 1715||||,cos 111111=>=<DF BE BE 解3：（坐标法）设正方体棱长为4，以1,,DD 为正交基底，建立如图所示空间坐标系xyz D -)4,1,0(1-=BE ,)4,1,0(1=DF ，⋅1BE 1DF ＝15 1715,cos 111111=>=<DF BE 2、例2 在正方体1111D C B A ABCD -中, F 分别是BC 的中点，点E 在D 1C 1上,且=11E D 41D 1C 1,试求直线E 1F 与平面D 1AC 所成角的大小解：设正方体棱长为1，以1,,DD DC DA 为单位正交基底，建立如图所示坐标系D -xyz1DB 为D 1AC 平面的法向量，)1,1,1(1=DB)1,43,21(1-=F E8787,cos 11>=<F E DB 所以直线E 1F 与平面D 1AC 所成角的正弦值为8787 3、补充例题 在三棱锥S —ABC 中，∠SAB =∠SAC =∠ACB =90°，AC =2，BC =13，SB （1）求证：SC ⊥BC ；（2）求SC 与AB 所成角的余弦值解：如图，取A 为原点，AB 、AS 分别为y 、z 轴建立空间直角坐标系，则有AC =2，BC =13，SB =29，得B （0,17,0）、S （0,0,23）、C （21713,174,0）， ∴SC =（21713,174,-23），CB =（－21713,1713,0）（1）∵SC ·CB=0，∴SC ⊥BC （2）设SC 与AB 所成的角为α，∵AB =（0,17,0），SC ·AB =4，|SC ||AB|=417， ∴cos α=1717，即为所求 4、课堂练习课本96页练习1－3αβPABl四、回顾总结求异线角与线面角的方法 五、布置作业课 题：空间的角的计算（2） 教学目标：能用向量方法解决二面角的计算问题 教学重点：二面角的计算 教学难点：二面角的计算 教学过程 一、创设情景1、二面角的定义及求解方法2、平面的法向量的定义 二、建构数学利用向量求二面角的大小。
2017-2018版高中数学第3章空间向量与立体几何3.2.3空间的角的计算学案版2-1
3.2。
3 空间的角的计算［学习目标] 1。
理解直线与平面所成角的概念.2.能够利用向量方法解决线线、线面、面面的夹角问题。
3。
掌握用空间向量解决立体几何问题的基本步骤．知识点一 两条异面直线所成的角（1）定义：设a 、b 是两条异面直线，经过空间任意一点O ，作直线a ′∥a ，b ′∥b ，则a ′与b ′所成的锐角(或直角)叫做a 与b 所成的角．（2）范围:两条异面直线所成角θ的取值范围是0<θ≤π2.(3)向量求法：设直线a ，b 的方向向量分别为a ，b ，其夹角为φ，则a ，b 所成角的余弦值为cos θ＝｜cos φ|＝错误!.知识点二 直线与平面所成的角(1）定义:直线和平面所成的角,是指直线与它在这个平面内的射影所成的角．(2)范围：直线和平面所成角θ的取值范围是0≤θ≤错误!.(3）向量求法：设直线l 的方向向量为a ，平面的法向量为u ，直线与平面所成的角为θ，a 与u 的夹角为φ，则有sin θ＝｜cos φ｜＝错误!或cos θ＝sin φ。
知识点三 二面角(1)二面角的取值范围：［0，π］．（2）二面角的向量求法：①若AB，CD分别是二面角α—l-β的两个面内与棱l 垂直的异面直线(垂足分别为A，C),如图,则二面角的大小就是向量错误!与错误!的夹角．②设n1、n2是二面角α-l—β的两个面α，β的法向量，则向量n1与向量n2的夹角（或其补角）就是二面角的平面角的大小．题型一两条异面直线所成角的向量求法例1如图,在直三棱柱A1B1C1－ABC中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，A1A＝4，点D是BC的中点．求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值．解以A为坐标原点，分别以AB，AC，AA1为x，y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，则A（0,0，0)，B（2，0，0），C(0，2,0），D(1,1，0)，A1(0,0,4)，C1(0，2,4)，所以错误!＝(2,0，－4），错误!＝（1，－1，－4）．因为cos〈错误!，错误!>＝错误!＝错误!＝错误!,所以异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为错误!。
高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.2 第1课时 空间向量与平行、垂直关系学案 新人教A版选修
第1课时空间向量与平行、垂直关系1.理解直线的方向向量与平面的法向量的概念．2.会求平面的法向量．3．能利用直线的方向向量和平面的法向量判断并证明空间中的平行、垂直关系．1．直线的方向向量和平面的法向量(1)直线的方向向量直线的方向向量是指和这条直线平行或共线的向量，一条直线的方向向量有无数个．(2)平面的法向量直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量．2．空间平行关系的向量表示(1)线线平行设直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)，则l∥m⇔a∥b⇔a ＝λb⇔a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R)．(2)线面平行设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量为u＝(a2，b2，c2)，则l∥α⇔a⊥u⇔a·u＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.(3)面面平行设平面α，β的法向量分别为u＝(a1，b1，c1)，v＝(a2，b2，c2)，则α∥β⇔u∥v⇔u ＝λv⇔a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R)．3．空间垂直关系的向量表示(1)线线垂直设直线l的方向向量为a＝(a1，a2，a3)，直线m的方向向量为b＝(b1，b2，b3)，则l⊥m⇔a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0．(2)线面垂直设直线l的方向向量是a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量是u＝(a2，b2，c2)，则l⊥α⇔a∥u⇔a＝λu⇔a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R)．(3)面面垂直若平面α的法向量u＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量v＝(a2，b2，c2)，则α⊥β⇔u⊥v⇔u·v＝0 ⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若两条直线平行，则它们的方向向量方向相同或相反．( )(2)平面α的法向量是惟一的，即一个平面不可能存在两个不同的法向量．( ) (3)两直线的方向向量平行，则两直线平行．( )(4)直线的方向向量与平面的法向量的方向相同或相反时，直线与平面垂直．( ) 答案：(1)√ (2)× (3)× (4)√若A (1，0，－1)，B (2，1，2)在直线l 上，则直线l 的一个方向向量是( ) A ．(2，2，6) B ．(－1，1，3) C ．(3，1，1) D.(－3，0，1)答案：A若平面α⊥β，且平面α的一个法向量为n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，1，12，则平面β的法向量可以是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫－1，12，14B ．(2，－1，0)C ．(1，2，0) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，2答案：C若直线的方向向量为u 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，43，1，平面的法向量为u 2＝(3，2，z )，则当直线与平面垂直时z ＝________．答案：32设平面α的法向量为(1，3，－2)，平面β的法向量为(－2，－6，k )，若α∥β，则k ＝__________．答案：4探究点1 求直线的方向向量与平面的法向量[学生用书P64]如图，四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点，AB ＝AP ＝1，AD ＝3，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面ACE 的一个法向量．【解】因为PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为矩形，所以AB ，AD ，AP 两两垂直．如图，以A 为坐标原点，AB →的方向为x 轴的正方向，建立空间直角坐标系，则D (0，3，0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32，12，B (1，0，0)，C (1，3，0)，于是AE →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，32，12， AC →＝(1，3，0)．设n ＝(x ，y ，z )为平面ACE 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AC →＝0，n ·AE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝0，32y ＋12z ＝0，所以⎩⎨⎧x ＝－3y ，z ＝－3y ，令y ＝－1，则x ＝z ＝ 3.所以平面ACE 的一个法向量为n ＝(3，－1，3)．[变问法]本例条件不变，试求直线PC 的一个方向向量和平面PCD 的一个法向量． 解：如图所示，建立空间直角坐标系，则P (0，0，1)，C (1，3，0)，所以PC →＝(1，3，－1)，即为直线PC 的一个方向向量．设平面PCD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )．因为D (0，3，0)，所以PD →＝(0，3，－1)． 由⎩⎪⎨⎪⎧n ·PC →＝0，n ·PD →＝0，即⎩⎨⎧x ＋3y －z ＝0，3y －z ＝0，所以⎩⎨⎧x ＝0，z ＝3y ，令y ＝1，则z ＝ 3.所以平面PCD 的一个法向量为(0，1，3)．待定系数法求平面法向量的步骤(1)设向量：设平面的法向量为n ＝(x ，y ，z )． (2)选向量：在平面内选取两不共线向量AB →，AC →. (3)列方程组：由⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB →＝0，n ·AC →＝0列出方程组．(4)解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB →＝0，n ·AC →＝0.(5)赋非零值：取其中一个为非零值(常取±1)． (6)得结论：得到平面的一个法向量．1.已知A (0，y ，3)，B (－1，－2，z )，若直线l 的方向向量v ＝(2，1，3)与直线AB 的方向向量平行，则y ＋z 等于( )A ．－3B ．0C ．1D.3解析：选B.由题意，得AB →＝(－1，－2－y ，z －3)，则－12＝－2－y 1＝z －33，解得y ＝－32，z ＝32，所以y ＋z ＝0，故选B. 2．在△ABC 中，A (1，－1，2)，B (3，3，1)，C (3，1，3)，设M (x ，y ，z )是平面ABC 内任意一点．(1)求平面ABC 的一个法向量； (2)求x ，y ，z 满足的关系式．解：(1)设平面ABC 的法向量n ＝(a ，b ，c )． 因为AB →＝(2，4，－1)，AC →＝(2，2，1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB →＝2a ＋4b －c ＝0n ·AC →＝2a ＋2b ＋c ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧c ＝b a ＝－32b ，令b ＝2，则a ＝－3，c ＝2.所以平面ABC 的一个法向量为n ＝(－3，2，2)． (2)因为点M (x ，y ，z )是平面ABC 内任意一点，所以AM →⊥n ，所以－3(x －1)＋2(y ＋1)＋2(z －2)＝0， 所以3x －2y －2z －1＝0.故x ，y ，z 满足的关系式为3x －2y －2z －1＝0. 探究点2 利用空间向量证明平行关系[学生用书P64]已知正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E ，F 分别是BB 1，DD 1的中点．求证：FC 1∥平面ADE .【证明】 如图所示，建立空间直角坐标系Dxyz ，则有D (0，0，0)，A (2，0，0)，C (0，2，0)，C 1(0，2，2)，E (2，2，1)，F (0，0，1)，B 1(2，2，2)．FC 1→＝(0，2，1)，DA →＝(2，0，0)，AE →＝(0，2，1)．设n 1＝(x 1，y 1，z 1)是平面ADE 的法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 1⊥DA →，n 1⊥AE →，即⎩⎪⎨⎪⎧n 1·DA →＝2x 1＝0，n 1·AE →＝2y 1＋z 1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，z 1＝－2y 1，令z 1＝2，则y 1＝－1. 所以n 1＝(0，－1，2)． 因为FC 1→·n 1＝－2＋2＝0. 所以FC 1→⊥n 1.因为FC 1⊄平面ADE ，所以FC 1∥平面ADE .[变问法]在本例条件下，求证：平面ADE ∥平面B 1C 1F .证明：由本例证明知C 1B 1→＝(2，0，0)， 设n 2＝(x 2，y 2，z 2)是平面B 1C 1F 的法向量． 由n 2⊥FC 1→，n 2⊥C 1B 1→，得⎩⎪⎨⎪⎧n 2·FC 1→＝2y 2＋z 2＝0，n 2·C 1B 1→＝2x 2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝0，z 2＝－2y 2. 令z 2＝2得y 2＝－1，所以n 2＝(0，－1，2)，因为n 1＝n 2， 所以平面ADE ∥平面B 1C 1F .证明线、面平行问题的方法(1)用向量法证明线面平行：①是证明直线的方向向量与平面内的某一向量是共线向量且直线不在平面内；②是证明直线的方向向量可以用平面内两个不共线向量表示；③是证明直线的方向向量与平面的法向量垂直且直线不在平面内．(2)利用空间向量证明面面平行，通常是证明两平面的法向量平行．在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB ＝3，AD ＝4，AA 1＝2，点M 在棱BB 1上，且BM ＝2MB 1，点S 在DD 1上，且SD 1＝2SD ，点N ，R 分别为A 1D 1，BC 的中点．求证：MN ∥RS .证明：法一：如图所示，建立空间直角坐标系，根据题意得M (3，0，43)，N (0，2，2)，R (3，2，0)，S (0，4，23)．所以MN →＝(－3，2，23)，RS →＝(－3，2，23)，所以MN →＝RS →，所以MN →∥RS →，因为M ∉RS ，所以MN ∥RS . 法二：设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则MN →＝MB 1→＋B 1A 1→＋A 1N →＝13c －a ＋12b ，RS →＝RC →＋CD →＋DS →＝12b －a ＋13c .所以MN →＝RS →，所以MN →∥RS →. 又R ∉MN ，所以MN ∥RS .探究点3 利用空间向量证明垂直关系[学生用书P65]在四棱锥S ABCD 中，底面ABCD 是正方形，AS ⊥底面ABCD ，且AS ＝AB ，E 是SC 的中点．求证：平面BDE ⊥平面ABCD .【证明】 设AS ＝AB ＝1，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ，则B (1，0，0)，D (0，1，0)，A (0，0，0)，S (0，0，1)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，12.法一：如图，连接AC ，交BD 于点O ，连接OE ，则点O 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0.易知AS →＝(0，0，1)，OE →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，0，12，所以OE →＝12AS →，所以OE ∥AS .又AS ⊥底面ABCD ，所以OE ⊥平面ABCD . 又OE ⊂平面BDE ，所以平面BDE ⊥平面ABCD . 法二：设平面BDE 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )． 易知BD →＝(－1，1，0)，BE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12，12，所以⎩⎪⎨⎪⎧n 1⊥BD →，n 1⊥BE →，即⎩⎨⎧n 1·BD →＝－x ＋y ＝0，n 1·BE →＝－12x ＋12y ＋12z ＝0.令x ＝1，可得平面BDE 的一个法向量为n 1＝(1，1，0)． 因为AS ⊥底面ABCD ，所以平面ABCD 的一个法向量为n 2＝AS →＝(0，0，1)． 因为n 1·n 2＝0，所以平面BDE ⊥平面ABCD .证明线、面垂直问题的方法(1)用向量法判定线面垂直，只需直线的方向向量与平面的法向量平行或直线的方向向量与平面内两相交的直线的方向向量垂直即可．(2)用向量法判定两个平面垂直，只需求出这两个平面的法向量，再看它们的数量积是否为0即可．如图，△ABC 中，AC ＝BC ，D 为AB 边中点，PO ⊥平面ABC ，垂足O 在CD上，求证：AB ⊥PC .证明：设CA →＝a ，CB →＝b ，OP →＝v .由条件知，v 是平面ABC 的法向量， 所以v ·a ＝0，v ·b ＝0， 因为D 为AB 中点，所以CD →＝12(a ＋b )，因为O 在CD 上，所以存在实数λ，使CO →＝λCD →＝λ2(a ＋b )．因为CA ＝CB ， 所以|a |＝|b |， 所以AB →·CP →＝(b －a )·⎣⎢⎡⎦⎥⎤λ2（a ＋b ）＋v ＝λ2(a ＋b )·(b －a )＋(b －a )·v＝λ2(|b |2－|a |2)＋b ·v －a ·v ＝0， 所以AB →⊥CP →， 所以AB ⊥PC .1．在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，M 是棱DD 1的中点，O 是正方形ABCD 的中心，证明：OA 1⊥AM . 证明：设正方体棱长为1，建立空间直角坐标系，如图，则A (1，0，0)，A 1(1，0，1)，M ⎝⎛⎭⎪⎫0，0，12，O ⎝⎛⎭⎪⎫12，12，0，所以OA 1→＝(1，0，1)－⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12，1，AM →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，0，12－(1，0，0)＝⎝⎛⎭⎪⎫－1，0，12，所以OA 1→·AM →＝12×(－1)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×0＋1×12＝0，即OA 1⊥AM .2．在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ＝2BC ，E ，F ，E 1分别是棱AA 1，BB 1，A 1B 1的中点．求证：CE ∥平面C 1E 1F .证明：以D 为原点，以DA ，DC ，DD 1所在的直线分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．设BC ＝1，则C (0，1，0)，E (1，0，1)，C 1(0，1，2)，F (1，1，1)，E 1⎝⎛⎭⎪⎫1，12，2.设平面C 1E 1F 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 因为C 1E 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－12，0，FC 1→＝(－1，0，1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧n ·C 1E 1→＝0，n ·FC 1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12y ，x ＝z ， 取n ＝(1，2，1)．因为CE →＝(1，－1，1)，n ·CE →＝1－2＋1＝0，所以CE →⊥n ，且CE ⊄平面C 1E 1F . 所以CE ∥平面C 1E 1F .[学生用书P66]知识结构深化拓展用空间向量解决立体几何的问题有三步(1)首先建立适当的空间坐标系，一般是用互相垂直的直线为x ，y ，z 轴，设出点的坐标．(2)通过向量的坐标运算，来研究点、直线、平面之间的关系，把几何问题转化为代数问题．(3)把向量的运算结果“翻译”为相应的几何意义，据几何意义求出结果.[学生用书P137(单独成册)])[A 基础达标]1．已知a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，2，52，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，x ，y 分别是直线l 1，l 2的一个方向向量．若l 1∥l 2，则( )A ．x ＝3，y ＝152B ．x ＝32，y ＝154C ．x ＝3，y ＝15D.x ＝3，y ＝154解析：选D.因为l 1∥l 2，所以321＝x 2＝y 52，所以x ＝3，y ＝154，故选D.2．直线l 的一个方向向量和平面β的一个法向量分别是m ＝(－1，1，3)，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13，0，19，则直线l 与平面β的位置关系是( )A ．l ∥βB ．l ⊥βC ．l ∥β或l ⊂βD.无法判断解析：选C.因为m ·n ＝－13＋0＋13＝0，所以m ⊥n .所以l ∥β或l ⊂β.3．设直线l 的方向向量u ＝(－2，2，t )，平面α的一个法向量v ＝(6，－6，12)，若直线l ⊥平面α，则实数t 等于( )A ．4B ．－4C ．2D.－2解析：选B.因为直线l ⊥平面α，所以u ∥v ，则－26＝2－6＝t12，解得t ＝－4，故选B.4．已知平面α内有一个点A (2，－1，2)，α的一个法向量为n ＝(3，1，2)，则下列点P 中，在平面α内的是( )A ．(1，－1，1) B.⎝⎛⎭⎪⎫1，3，32C.⎝⎛⎭⎪⎫1，－3，32 D.⎝⎛⎭⎪⎫－1，3，－32解析：选B.要判断点P 是否在平面α内，只需判断向量PA →与平面α的法向量n 是否垂直，即PA →·n 是否为0，因此，要对各个选项进行检验． 对于选项A ，PA →＝(1，0，1)，则PA →·n ＝(1，0，1)·(3，1，2)＝5≠0，故排除A ； 对于选项B ，PA →＝⎝⎛⎭⎪⎫1，－4，12，则PA →·n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－4，12·(3，1，2)＝0，故B 正确；同理可排除C ，D.故选B.5．如图，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，E 是CD 的中点，F 是AD 上一点，当BF ⊥PE 时，AF ∶FD 的值为( )A ．1∶2B ．1∶1C ．3∶1D.2∶1解析：选B.建立如图所示的空间直角坐标系，设正方形边长为1，PA ＝a ，则B (1，0，0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，0，P (0，0，a )．设点F 的坐标为(0，y ，0)，则BF →＝(－1，y ，0)，PE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，－a .因为BF ⊥PE ， 所以BF →·PE →＝0，解得y ＝12，即点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，0， 所以F 为AD 的中点， 所以AF ∶FD ＝1∶1.6．已知平面α的一个法向量a ＝(x ，1，－2)，平面β的一个法向量b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，y ，12，若α⊥β，则x －y ＝________．解析：因为α⊥β，所以a ⊥b ，所以－x ＋y －1＝0，得x －y ＝－1. 答案：－17．已知点P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，如果AB →＝(2，－1，－4)，AD →＝(4，2，0)，AP →＝(－1，2，－1)．给出下列结论：①AP ⊥AB ；②AP ⊥AD ；③AP →是平面ABCD 的一个法向量．其中正确的是________(填序号)．解析：AB →·AP →＝2×(－1)＋(－1)×2＋(－4)×(－1)＝－2－2＋4＝0，则AB →⊥AP →，则AB ⊥AP .AD →·AP →＝4×(－1)＋2×2＋0＝0，则AP →⊥AD →，则AP ⊥AD .又AB ∩AD ＝A ，所以AP ⊥平面ABCD ，故AP →是平面ABCD 的一个法向量．答案：①②③8．已知AB →＝(1，5，－2)，BC →＝(3，1，z )，若AB →⊥BC →，BP →＝(x －1，y ，－3)，且BP →⊥平面ABC ，则BP →＝________．解析：因为AB →⊥BC →，所以AB →·BC →＝0， 所以3＋5－2z ＝0， 所以z ＝4.因为BP →＝(x －1，y ，－3)，且BP →⊥平面ABC ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧BP →·AB →＝0，BP →·BC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －1＋5y ＋6＝0，3x －3＋y －12＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝407，y ＝－157， 故BP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫337，－157，－3.答案：⎝⎛⎭⎪⎫337，－157，－39．已知正三棱柱ABC A 1B 1C 1的各棱长都为1，M 是底面上BC 边的中点，N 是侧棱CC 1上的点，且CN ＝14CC 1.求证：AB 1⊥MN .证明：设AB 中点为O ，作OO 1∥AA 1.以O 为坐标原点，OB 所在直线为x 轴，OC 所在直线为y 轴，OO 1所在直线为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．由已知得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32，0，N ⎝⎛⎭⎪⎫0，32，14， B 1⎝⎛⎭⎪⎫12，0，1，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，34，0. 所以MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，34，14，AB 1→＝(1，0，1)，所以MN →·AB 1→＝－14＋0＋14＝0.所以MN →⊥AB 1→，所以AB 1⊥MN .10．如图所示，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是BB 1、D 1B 1的中点．求证：EF ⊥平面B 1AC .证明：设正方体的棱长为2a ，建立如图所示的空间直角坐标系．则A (2a ，0，0)，C (0，2a ，0)，B 1(2a ，2a ，2a )，E (2a ，2a ，a )，F (a ，a ，2a )． 所以EF →＝(a ，a ，2a )－(2a ，2a ，a )＝(－a ，－a ，a )，AB 1→＝(2a ，2a ，2a )－(2a ，0，0)＝(0，2a ，2a )，AC →＝(0，2a ，0)－(2a ，0，0)＝(－2a ，2a ，0)．因为EF →·AB 1→＝(－a ，－a ，a )·(0，2a ，2a )＝(－a )×0＋(－a )×2a ＋a ×2a ＝0，EF →·AC →＝(－a ，－a ，a )·(－2a ，2a ，0)＝2a 2－2a 2＋0＝0，所以EF ⊥AB 1，EF ⊥AC . 又AB 1∩AC ＝A ，所以EF ⊥平面B 1AC .[B 能力提升]11．如图，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，M ，N ，P 分别是AD 1，BD 和B 1C 的中点，利用向量法证明：(1)MN ∥平面CC 1D 1D ； (2)平面MNP ∥平面CC 1D 1D .证明：(1)以D 为坐标原点，DA →，DC →，DD 1→分别为x ，y ，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系(图略)，并设正方体的棱长为2，则A (2，0，0)，D (0，0，0)，M (1，0，1)，N (1，1，0)，P (1，2，1)．由正方体的性质知AD ⊥平面CC 1D 1D ，所以DA →＝(2，0，0)为平面CC 1D 1D 的一个法向量．由于MN →＝(0，1，－1)，则MN →·DA →＝0×2＋1×0＋(－1)×0＝0，所以MN →⊥DA →. 又MN ⊄平面CC 1D 1D ， 所以MN ∥平面CC 1D 1D .(2)由于MP →＝(0，2，0)，DC →＝(0，2，0)， 所以MP →∥DC →，即MP ∥DC . 由于MP ⊄平面CC 1D 1D ， 所以MP ∥平面CC 1D 1D .又由(1)，知MN ∥平面CC 1D 1D ，MN ∩MP ＝M ，所以由两个平面平行的判定定理，知平面MNP ∥平面CC 1D 1D .12．如图，在棱长为1的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，点E 为BC 的中点．(1)在B 1B 上是否存在一点P ，使D 1P ⊥平面B 1AE? (2)在平面AA 1B 1B 上是否存在一点N ，使D 1N ⊥平面B 1AE? 解：(1)如图，以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，DD 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则点A (1，0，0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，0，B 1(1，1，1)，D 1(0，0，1)，B 1A →＝(0，－1，－1)，B 1E →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，－1.假设存在点P (1，1，z )满足题意，于是D 1P →＝(1，1，z －1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧D 1P →·B 1A →＝0，D 1P →·B 1E →＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧0－1－z ＋1＝0，－12＋0－z ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧z ＝0，z ＝12，矛盾．故在B 1B 上不存在点P 使D 1P ⊥平面B 1AE .(2)假设在平面AA 1B 1B 上存在点N ，使D 1N ⊥平面B 1AE . 设N (1，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧D 1N →·B 1A →＝0，D 1N →·B 1E →＝0.因为D 1N →＝(1，y ，z －1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧0－y －z ＋1＝0，－12＋0－z ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12，z ＝12，故平面AA 1B 1B 上存在点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，12，使D 1N ⊥平面B 1AE .13．(选做题)如图所示，在四棱锥P ABCD 中，PC ⊥平面ABCD ，PC ＝2，在四边形ABCD 中，∠B ＝∠BCD ＝90°，AB ＝4，CD ＝1，点M在PB 上，PB ＝4PM ，PB 与平面ABCD 成30°角．(1)求证：CM ∥平面PAD ； (2)求证：平面PAB ⊥平面PAD .证明：以点C 为坐标原点，CB 所在直线为x 轴，CD 所在直线为y 轴，CP 所在直线为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz ，因为PC ⊥平面ABCD ，所以∠PBC 为PB 与平面ABCD 所成的角，所以∠PBC ＝30°.因为PC ＝2，所以BC ＝23，PB ＝4.所以D (0，1，0)，B (23，0，0)，A (23，4，0)，P (0，0，2)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，32.所以DP →＝(0，－1，2)，DA →＝(23，3，0)，CM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，32.(1)令n ＝(x ，y ，z )为平面PAD 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧DP →·n ＝0，DA →·n ＝0，即⎩⎨⎧－y ＋2z ＝0，23x ＋3y ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧z ＝12y ，x ＝－32y ，令y ＝2，得n ＝(－3，2，1)．因为n ·CM →＝－3×32＋2×0＋1×32＝0，所以n ⊥CM →，又CM ⊄平面PAD ， 所以CM ∥平面PAD .(2)取AP 的中点E ，则E (3，2，1)，BE →＝(－3，2，1)．因为PB ＝AB ， 所以BE ⊥PA .又因为BE →·DA →＝(－3，2，1)·(23，3，0)＝0. 所以BE →⊥DA →，所以BE ⊥DA ， 又因为PA ∩DA ＝A ， 所以BE ⊥平面PAD ， 又因为BE ⊂平面PAB ， 所以平面PAB ⊥平面PAD .。
选修2-1第三章空间向量与立体几何教案1
选修2-1第三章空间向量与立体几何教案课题：平面向量知识复习教学目标：复习平面向量的基础知识，为学习空间向量作准备教学重点：平面向量的基础知识教学难点：运用向量知识解决具体问题教学过程：一、基本概念向量、向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量、相反向量、向量的加法、向量的减法、实数与向量的积、向量的坐标表示、向量的夹角、向量的数量积。
二、基本运算1、向量的运算及其性质2、平面向量基本定理：如果21,e e是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数21,λλ，使a =； 注意)(21OB OA OP +=,OA OA OP )1(λλ-+=的几何意义3、两个向量平行的充要条件：⑴ //a b的充要条件是： ；（向量表示）⑵ 若),(),,(2211y x b y x a ==，则//a b 的充要条件是： ；（坐标表示）4、两个非零向量垂直的充要条件：⑴ a b ⊥的充要条件是： ；（向量表示）⑵ 若),(),,(2211y x b y x a ==，则a b ⊥ 的充要条件是： ；（坐标表示）三、课堂练习1．O 为平面上的定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三点，若( OB -OC )·(OB +OC －2OA )=0，则∆ABC 是（ ）A ．以AB 为底边的等腰三角形 B ．以BC 为底边的等腰三角形 C ．以AB 为斜边的直角三角形D ．以BC 为斜边的直角三角形2．P 是△ABC 所在平面上一点，若PA PC PC PB PB PA ⋅=⋅=⋅，则P 是△ABC 的（ ） A ．外心 B ．内心 C ．重心 D ．垂心3．在四边形ABCD 中，−→−AB ＝−→−DC ，且−→−AC ·−→−BD ＝0，则四边形ABCD 是（ ）A ． 矩形B ． 菱形C ．直角梯形D ．等腰梯形4．已知||p = ||3q = ，p 、q 的夹角为45︒，则以52a p q =+ ，3b p q =-为邻边的平行四边形的一条对角线长为（ ）A ．15B ．C ． 14D ．165．O 是平面上一定点,A,B,C 是平面上不共线的三个点,动点P 满足OA OP =++λ，),0[+∞∈λ则P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心6．设平面向量a =(－2，1)，b =(λ，-1)，若a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是（ ）A ．),2()2,21(+∞-B ．),2(+∞C ．),21(+∞-D ．)21,(--∞7．若()(),0,7,4,3,2=+-==c a b a 方向在则b c 上的投影为 。
3.2空间向量在立体几何应用 导学案
一、直线的方向向量与直线的向量方程1、用向量表示直线或点在直线上的位置空间直线的向量参数方程的三种形式（1） （2） （3）【例1】已知点A(2，4，0)，B(1，3，3)，以AB 的方向为正向，在直线AB 上建立一条数轴，P ，Q 为轴上两点，且分别满足条件（1）AP ：PB=1：2；（2）AQ ：QB=－2，求点P 和点Q 的坐标。
2、用向量方法证明空间中有关平行的问题（1）线线平行与向量的关系 设直线和的方向向量分别为和，则1212//l l l l ⇔或与重合 _______________（2）线面平行与向量的关系已知两个不共线向量和与平面α共面，直线l 的一个方向向量，则//l l αα⊂⇔或_____________ （3）面面平行与向量的关系 已知两个不共线向量和与平面α共面，//αβαβ⇔或与重合____________【例2】如图，已知正方体ABCD －A ’B ’C ’D ’，点M ，N 分别是面对角线A ’B 与面对角线A ’C ’ 的中点，求证：MN//侧面AD ’；MN//AD ’；并且MN=.21D A '3、用向量方法证明两直线垂直或两直线成角的问题设两条直线所成的角为θ(锐角)，则直线方向向量间的夹角与θ___________线线垂直、线线成角与向量的关系：设直线和的方向向量分别为和，则___________11111111111,,,1,90,2,. (1) (2) cos (3) .ABC A B C ABC CA CB BCA AA M N A B A A BN BA CB A B C M -∆==∠=︒=<⋅>⊥ 【例3】如图直三棱柱底面中棱、分别是、的中点求的长；求的值；求证二、平面的法向量与平面的向量表示1、平面α法向量：如果向量n 的基线与平面α垂直，则向量n 叫做平面α的法向量或说向量n 与平面α正交。
2、直线与平面垂直的判定定理如果一条直线和平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面已知：a,b 是平面α内的两条相交直线，且直线,n a n b ⊥⊥求证：.n α⊥证明：见课本3、平面的向量表示式：_________________________________结论：设12,n n 分别是平面,αβ的法向量，则有【例1】：已知点A(a,0,0),B(0,b,0),C(0,0,c),其中0abc ≠，求平面ABC 的一个法向量【变式练习】（1）、已知正方体''''ABCD A B C D -，写出平面ABC 和平面'AB C 的一个法向量（2）、已知平面α经过点O （0,0,0），且e =（1,1,1）是α的法向量，M （x,y,z ）是平面α内任意一点，则x,y,z满足的关系式是_____________（3）、已知A(3,0,0),B(0,4,0),C(0,0,5),求平面ABC 的单位法向量4、正射影定义：已知平面α和一点A,，过点A 作α的垂线l 与α相交于点'A ，则点'A 就是点A 平面内α的正射影，以下简称射影。
空间向量与立体几何教案
空间向量与立体几何教案一、教学目标1. 让学生掌握空间向量的基本概念，理解空间向量的几何表示和运算规则。
2. 培养学生运用空间向量解决立体几何问题的能力，提高空间想象和思维能力。
3. 通过对空间向量与立体几何的学习，激发学生对数学的兴趣，培养学生的创新意识和实践能力。
二、教学内容1. 空间向量的基本概念及几何表示2. 空间向量的线性运算（加法、减法、数乘、共线向量、平行向量）3. 空间向量的数量积（定义、性质、运算规则、几何意义）4. 空间向量的垂直与平行（垂直的判断、平行的判断、垂直与平行的应用）5. 空间向量在立体几何中的应用（线线、线面、面面间的位置关系）三、教学方法1. 采用讲授法，系统地讲解空间向量与立体几何的基本概念、性质和运算规则。
2. 运用案例分析法，引导学生通过具体例子学会运用空间向量解决立体几何问题。
3. 利用多媒体技术，展示空间向量的几何形象，增强学生的空间想象力。
4. 开展小组讨论与合作交流，培养学生的团队协作能力和表达能力。
四、教学环境1. 教室环境：宽敞、明亮，教学设备齐全，包括黑板、投影仪、计算机等。
2. 学习资源：教材、辅导资料、网络资源等。
3. 实践场地：学校机房、实验室等。
五、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，了解学生的学习状态。
2. 作业完成情况：检查学生作业的完成质量，评估学生对知识点的掌握程度。
3. 考试成绩：定期进行测验，检验学生对空间向量与立体几何知识的掌握情况。
4. 实践能力：评估学生在实践活动中运用空间向量解决立体几何问题的能力。
5. 学生自评与互评：鼓励学生自我总结，互相交流学习经验，提高学习效果。
六、教学重点与难点教学重点：1. 空间向量的基本概念及几何表示。
2. 空间向量的线性运算规则。
3. 空间向量的数量积的定义和性质。
4. 空间向量的垂直与平行判断。
5. 空间向量在立体几何中的应用。
教学难点：1. 空间向量的数量积的运算规则。
第三章空间向量立体几何导学案重点层
空间向量学案102~ P 104，找出疑惑之处）复习1： 可以确定一条直线；确定一个平面的方法有哪些？ 复习2：如何判定空间A ,B ,C 三点在一条直线上？ 复习3：设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ，探究任务一： 向量表示空间的点、直线、平面问题：怎样用向量来表示点、直线、平面在空间中的位置？ 新知：⑴ 点：在空间中，我们取一定点O 作为基点，那么空间中任意一点P 的位置就可以用向量OP 来表示，我们把向量OP称为点P 的位置向量. ⑵ 直线：① 直线的方向向量：和这条直线平行或共线的非零向量.② 对于直线l 上的任一点P ,存在实数t ，使得AP t AB =，此方程称为直线的向量参数方程.⑶ 平面：① 空间中平面α的位置可以由α内两个不共线向量确定.对于平面α上的任一点P ,,a b是平面α内两个不共线向量，则存在有序实数对(,)x y ,使得OP xa yb =+.② 空间中平面α的位置还可以用垂直于平面的直线的方向向量表示空间中平面的位置.⑷ 平面的法向量：如果表示向量n 的有向线段所在直线垂直于平面α，则称这个向量n垂直于平面α,记作n ⊥α，那 么向量n叫做平面α的法向量. 试试： .1.如果,a b 都是平面α的法向量，则,a b的关系 .2.向量n 是平面α的法向量，向量a是与平面α平行或在平面内，则n 与a 的关系是 . 反思：1. 一个平面的法向量是唯一的吗？2. 平面的法向量可以是零向量吗？ ⑸ 向量表示平行、垂直关系：设直线,l m 的方向向量分别为,a b ，平面,αβ 的法向量分别为,u v，则① l ∥m ⇔a ∥b a kb ⇔=② l ∥α⇔a u ⊥ 0a u ⇔⋅=③ α∥β⇔u ∥v .u kv ⇔=※ 典型例题例1 已知两点()()1,2,3,2,1,3A B --,求直线AB与坐标平面YOZ 的交点.变式：已知三点()()1,2,3,2,1,2,A B ()1,1,2P ,点Q 在OP 上运动（O 为坐标原点）,求当QA QB ∙取得最小值时,点Q 的坐标.小结：解决有关三点共线问题直接利用直线的参数方程即可.例 2 用向量方法证明两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.变式：在空间直角坐标系中,已知()()()3,0,0,0,4,0,0,0,2A B C ,试求平面ABC 的一个法向量.小结：平面的法向量与平面内的任意向量都垂直. ※ 动手试试练1. 设,a b分别是直线12,l l 的方向向量，判断直线12,l l 的位置关系：⑴ ()()1,2,2,2,3,2a b =-=-；⑵ ()()0,0,1,0,0,3a b ==.练2. 设,u v分别是平面,αβ的法向量，判断平面,αβ的位置关系：⑴ ()()1,2,2,2,4,4u v =-=--；⑵ ()()2,3,5,3,1,4u v =-=--.三、总结提升 ※ 学习小结1. 空间点，直线和平面的向量表示方法2. 平面的法向量求法和性质. ※ 知识拓展：求平面的法向量步骤：⑴设平面的法向量为(,,)n x y z =；⑵找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标； ⑶根据法向量的定义建立关于,,x y z 的方程组； ⑷解方程组,取其中的一个解,即得法向量..※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 设()()2,1,2,6,3,6a b =--=--分别是直线12,l l 的方向向量，则直线12,l l 的位置关系是 .2. 设()()2,2,5,6,4,4u v =-=-分别是平面,αβ的法向量，则平面,αβ的位置关系是 .3. 已知n α⊥，下列说法错误的是（ ）A. 若a α⊂，则n a ⊥B.若//a α，则n a ⊥C.若,m α⊥ ，则//n mD.若,m α⊥ ，则n m = 4.下列说法正确的是（ ）A.平面的法向量是唯一确定的B.一条直线的方向向量是唯一确定的C.平面法向量和直线的方向向量一定不是零向量D.若m 是直线l 的方向向量，//l α，则//m α5. 已知()()1,0,1,0,3,1AB AC =-=-，能做平面ABC 的法向量的是（ ） A. ()1,2,1 B.11,,13⎛⎫⎪⎝⎭C.()1,0,0D. ()2,1,3课后作业1. 在正方体1111ABCD A B C D -中，求证：1DB是平面1ACD 的一个法向量.2．已知()()2,2,1,4,5,3AB AC ==，求平面ABC 的一个法向量.§3.2立体几何中的向量方法（2）1. 掌握利用向量运算解几何题的方法，并能解简单的立体几何问题；2. 掌握向量运算在几何中求两点间距离和求空间图形中的角度的计算方法.105107，找出疑惑之处.复习1：已知1a b ∙= ，1,2a b == ，且2m a b =+，求m .复习2：什么叫二面角？二面角的大小如何度量？二面角的范围是什么？二、新课导学 ※ 学习探究探究任务一：用向量求空间线段的长度 问题：如何用向量方法求空间线段的长度？新知：用空间向量表示空间线段，然后利用公式a 求出线段长度.试试：在长方体''''ABCD A B C D -中，已知'1,2,1AB BC CC ===,求'AC 的长.反思：用向量方法求线段的长度，关键在于把未知量用已知条件中的向量表示. ※ 典型例题例1 如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点A 为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系？变式1：上题中平行六面体的对角线1BD 的长与棱长有什么关系？变式2：如果一个平行六面体的各条棱长都相等，并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于α, 那么由这个平行六面体的对角线的长可以确定棱长吗?探究任务二：用向量求空间图形中的角度例2 如图，甲站在水库底面上的点A 处，乙站在水坝斜面上的点B 处.从A ，B 到直线l （库底与水坝的交线）的距离,AC BD 分别为,a b ，CD 的长为c ，AB 的长为d .求库底与水坝所成二面角的余弦值.变式：如图，60︒的二面角的棱上有,A B 两点，直线,AC BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于,AB 已知4,6,8AB AC BD ===,求CD 的长.※ 动手试试练1. 如图，已知线段AB 在平面α内，线段AC α⊥，线段BD ⊥AB ，线段'DD α⊥，'30DBD ∠= ，如果AB ＝a ，AC ＝BD ＝b ，求C 、D 间的距离.练2. 如图，M 、N 分别是棱长为1的正方体''''ABCD A B C D -的棱'BB 、''B C 的中点．求异面直线MN 与'CD 所成的角.三、总结提升 ※ 学习小结1.求出空间线段的长度：用空间向量表示空间线段，然后利用公式a ； 2. 空间的二面角或异面直线的夹角，都可以转化为利用公式cos ,a ba b a b⋅=⋅求解.※ 知识拓展解空间图形问题时,可以分为三步完成:（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题(还常建立坐标系来辅助)；（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题； （3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义.※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 已知()()1,02,1,1,3A B -，则AB = .2. 已知1cos ,2a b =- ，则,a b 的夹角为 .3. 若M 、N 分别是棱长为1的正方体''''ABCD A B C D -的棱''',A B BB 的中点,那么直线,AM CN 所成的角的余弦为（ ）C.35D.254. 将锐角为60︒边长为a 的菱形ABCD 沿较短的对角线折成60︒的二面角，则,AC BD 间的距离是（ ）A.32aC.34a5.正方体''''ABCD A B C D -中棱长为a ，'13AM AC =,N 是'BB 的中点，则MN 为（ ）1.如图，正方体''''ABCD A B C D-的棱长为1，,M N分别是''',BB B C的中点，求：⑴',MN CD所成角的大小；⑵,MN AD所成角的大小；⑶AN的长度. §3.2立体几何中的向量方法（3）.学习目标1. 进一步熟练求平面法向量的方法；2. 掌握向量运算在几何中如何求点到平面的距离和两异面直线间距离的计算方法；3. 熟练掌握向量方法在实际问题中的作用.复习1：已知()()1,2,0,0,1,1,A B()1,1,2C，试求平面ABC的一个法向量.复习2：什么是点到平面的距离？什么是两个平面间距离？二、新课导学※学习探究探究任务一：点到平面的距离的求法问题：如图A,α∈空间一点P到平面α的距离为d,已知平面α的一个法向量为n,且AP与n不共线,能否用AP与n表示d?分析:过P作PO⊥α于O,连结OA,则d=|PO|=||cos.PA APO⋅∠∵PO⊥α,,nα⊥∴PO∥n.∴cos∠APO=|cos,PA n〈〉|∴D. =|PA ||cos,PA n〈〉|=|||||cos,|||PA n PA nn⋅⋅〈〉=||||PA nn⋅新知：用向量求点到平面的距离的方法：设A,α∈空间一点P到平面α的距离为d,平面α的一个法向量为n，则D. = ||||PA nn∙试试：在棱长为1的正方体''''ABCD A B C D-中，求点'C到平面''A BCD的距离.反思：当点到平面的距离不能直接求出的情况下，可以利用法向量的方法求解.※ 典型例题例1 已知正方形ABCD 的边长为4，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，GC ⊥平面ABCD ，且GC ＝2，求点B 到平面EFG 的距离.变式：如图,ABCD 是矩形,PD ⊥平面ABCD ,PD DC a ==,AD ,M N 、分别是AD PB 、的中点,求点A 到平面MNC 的距离.小结：求点到平面的距离的步骤：⑴ 建立空间直角坐标系，写出平面内两个不共线向量的坐标；⑵ 求平面的一个法向量的坐标； ⑶ 找出平面外的点与平面内任意一点连接向量的坐标；⑷ 代入公式求出距离. 探究任务二：两条异面直线间的距离的求法例2 如图，两条异面直线,a b 所成的角为θ，在直线,a b 上分别取点',A E 和,A F ,使得'AA a ⊥,且 'AA b ⊥.已知',,A E m AF n EF l ===，求公垂线'AA 的长.变式：已知直三棱柱111ABC A B C ─的侧棱14AA =,底面ABC △中, 2AC BC ==，且90BCA ∠=,E 是AB的中点,求异面直线CE 与1AB 的距离.小结：用向量方法求两条异面直线间的距离，可以先找到它们的公垂线方向的一个向量n，再在两条直线上分别取一点,A B ，则两条异面直线间距离n ABd n∙= 求解. 三、总结提升 ※ 学习小结1.空间点到直线的距离公式2.两条异面直线间的距离公式 ※ 知识拓展用向量法求距离的方法是立体几何中常用的方法. ※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 在棱长为1的正方体''''ABCD A B C D -中，平面''ABB A 的一个法向量为 ；2. 在棱长为1的正方体''''ABCD A B C D -中，异面直线'A B 和'CB 所成角是 ；3. 在棱长为1的正方体''''ABCD A B C D -中，两个平行平面间的距离是 ；4. 在棱长为1的正方体''''ABCD A B C D -中，异面直线'A B 和'CB 间的距离是 ；5. 在棱长为1的正方体''''ABCD A B C D -中，点O 是底面''''A B C D 中心，则点O 到平面''A CDB 的距离是 . 课后作业1. 如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点M 是棱1AA 中点，点O 是1BD 中点，求证：OM 是异面直线1AA 与1BD 的公垂线，并求OM 的长.2. 如图，空间四边形OABC 各边以及,AC BO 的长都是1，点,D E 分别是边,OA BC 的中点，连结DE . ⑴ 计算DE 的长；⑵ 求点O 到平面ABC 的距离.APDCBM N1. 掌握空间向量的运算及其坐标运算；2. 立体几何问题的解决──熟练掌握向量是很好的工具. 115－116，找出惑之处）复习1：如图，空间四边形OABC 中，,,OA a OB b OC c ===.点M 在OA 上，且OM=2MA , N 为BC 中点，则MN =复习2：平行六面体''''ABCD A B C D -中，AB a = ',AD b AA c ==，点P,M,N 分别是'''',,CA CD C D的中点，点Q 在'CA 上，且':4:1CQ QA =,用基底 {},,a b c表示下列向量： ⑴ AP ; ⑵ AM ; ⑶ AN; ⑷ AQ .※主要知识点：1. 空间向量的运算及其坐标运算：空间向量是平面向量的推广, 有关运算方法几乎一样,只是“二维的”变成 “三维的”了. 2. 立体几何问题的解决──向量是很好的工具 ①平行与垂直的判断 ②角与距离的计算 ※ 典型例题例1 如图,一块均匀的正三角形面的钢板的质量为500kg ，在它的顶点处分别受力1F 、2F 、3F，每个力与同它相邻的三角形的两边之间的夹角都是60 ，且123200F F F kg===.这块钢板在这些力的作用下将会怎样运动？这三个力最小为多大时，才能提起这块钢板？变式：上题中，若不建立坐标系，如何解决这个问题？小结：在现实生活中的问题，我们可以转化我数学中向量的问题来解决，具体方法有坐标法和直接向量运算法，对能建立坐标系的题，尽量使用坐标计算会给计算带来方便.例2 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，190,1,2,ABC CB CA AA ∠=︒===点M 是1CC 的中点，求证：1AM BA ⊥.变式：正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为1，棱长为2，点M 是BC 的中点，在直线1CC 上求一点N ，使MN AB ⊥.例3 如图，长方体1111ABCD A B C D -中，点E ,F 分别在11,BB DD 上，且1AE A B ⊥,1AF A D ⊥. ⑴ 求证：1AC ⊥平面AEF ; ⑵ 当14,3,5AB AD AA ===时，求平面AEF 与平面11D B BD 所成的角的余弦值.※ 动手试试练1. 如图，正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为a. ⑴试建立适当的坐标系，写出点11,,,A B A C 的坐标 ⑵求1AC 的侧面11ABB A 所成的角.练2. 已知点A (1,-2,0),向量()3,4,12a =-，求点B 的坐标，使得//AB a ，且2AB a = .三、总结提升 ※ 学习小结1. 空间向量的运算与平面向量的方法相同；2. 向量的数量积和平面的法向量是向量解决立体几何问题常用的方法.※ 知识拓展若二面角两个面的法向量分别是12,n n，二面角为θ则12cos cos ,n n θ=-，而※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1.已知()()1,1,0,1,0,2a b ==-，且()(2)ka b a b +⊥- ，则k ＝ ；2. 已知()()1,21,0,2,,a t t b t t =--=，则b a - 的最小值是（）A.B. C. D.3.空间两个单位向量()(),,0,0,,OA m n OB n p == 与()1,1,1OC = 的夹角都等于4π，则cos AOB ∠=4.将正方形ABCD 沿对角线AC 折成直二面角后，异面直线,AB CD 所成角的余弦值为 .5. 正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，11AM AC =,N 是1BB 的中点，则MN ＝（ ）A.B. C. D. 1. 如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点,,E F G 分别为11,,DD BD BB 的中点. ⑴ 求证：EF CF ⊥;⑵ 求EF 与CG 所成角的余弦值； ⑶ 求CE 的长.121212cos ,.||||n n n n n n ∙<>=。
高中数学2-1学案：第三章 空间向量与立体几何3
3．1。
1空间向量及其线性运算［学习目标］1。
了解空间向量的概念，掌握空间向量的几何表示和字母表示.2。
掌握空间向量的线性运算及运算律,理解空间向量线性运算及其运算律的几何意义．知识点一空间向量的概念在空间中，我们把像位移、力、速度、加速度这样既有大小又有方向的量叫做空间向量，向量的大小叫向量的长度或模．知识点二空间向量的加减法（1)加减法定义空间中任意两个向量都是共面的，它们的加、减法运算类似于平面向量的加减法．(如图)错误!＝错误!＋错误!＝a＋b;错误!＝错误!－错误!＝a－b.(2）运算律交换律：a＋b＝b＋a;结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c）．知识点三空间向量的数乘运算（1)定义实数λ与空间向量a的乘积λa仍是一个向量，称为向量的数乘运算．当λ>0时，λa与a方向相同;当λ〈0时,λa与a方向相反；当λ＝0时，λa＝0。
λa的长度是a的长度的|λ｜倍．如图所示．(2）运算律分配律:λ（a＋b)＝λa＋λb；结合律：λ（μa）＝(λμ)a。
知识点四共线向量定理（1）共线向量的定义与平面向量一样,如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，记作a∥b。
(2)充要条件对空间任意两个向量a，b(a≠0），b与a共线的充要条件是存在实数λ，使b＝λa.思考（1）若表示两个相等空间向量的有向线段的起点相同,则终点也相同．对吗？(2）零向量没有方向．对吗？(3)空间两个向量的加减法与平面内两向量的加减法完全一致．对吗?答案(1)正确．起点相同，终点也相同的两个向量相等．(2）错误．不是没有方向，而是方向任意．（3）正确．题型一空间向量的概念例1判断下列命题的真假．(1）空间中任意两个单位向量必相等；(2)方向相反的两个向量是相反向量；(3)若｜a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；(4)向量错误!与错误!的长度相等．解（1)假命题．因为两个单位向量，只有模相等，但方向不一定相同．（2)假命题．因为方向相反的两个向量模不一定相等．（3）假命题．因为两个向量模相等时，方向不一定相同或相反，也可以是任意的．(4)真命题．因为错误!与错误!仅是方向相反，但长度是相等的．反思与感悟空间向量的概念与平面向量的概念相类似，平面向量的其他相关概念，如向量的模、相等向量、平行向量、相反向量、单位向量等都可以拓展为空间向量的相关概念．跟踪训练1如图所示，以长方体ABCD－A1B1C1D1的八个顶点的两点为始点和终点的向量中,（1)试写出与错误!相等的所有向量；(2)试写出错误!的相反向量；（3）若AB＝AD＝2,AA1＝1，求向量错误!的模．解（1）与向量AB，→相等的所有向量（除它自身之外)有错误!，错误!及错误!共3个．(2)向量错误!的相反向量为错误!，错误!，错误!，错误!。
第三章空间向量与立体几何导学案
§空间向量及其运算学习目标1. 明白得空间向量的概念，把握其表示方式；2. 会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；3. 能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．学习进程一、课前预备（预习教材P84~ P86，找出疑惑的地方）温习1：平面向量大体概念：具有和的量叫向量，叫向量的模（或长度）；叫零向量，记着；叫单位向量. 叫相反向量，a的相反向量记着. 叫相等向量. 向量的表示方式有，，和共三种方式.温习2：平面向量有加减和数乘向量运算：1. 向量的加法和减法的运算法那么有法那么和法那么.2. 实数与向量的积：实数λ与向量a的积是一个量，记作，其长度和方向规定如下：(1)|λa|＝.(2)当λ＞0时，λa与A. ；当λ＜0时，λa与A. ；当λ＝0时，λa＝.3. 向量加法和数乘向量，以下运算律成立吗？加法互换律：a＋b＝b＋a加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋（b＋c）数乘分派律：λ(a＋b)＝λa＋λb二、新课导学※学习探讨探讨任务一：空间向量的相关概念问题：什么叫空间向量？空间向量中有零向量，单位向量，相等向量吗？空间向量如何表示？新知：空间向量的加法和减法运算：空间任意两个向量都能够平移到同一平面内，变成两个平面向量的加法和减法运算，例如右图中，OB=，AB=，试试：1. 别离用平行四边形法那么和三角形法那么求,.a b a b+-a.b 2. 点C在线段AB上，且52ACCB=,那么AC=AB, BC=AB.反思：空间向量加法与数乘向量有如下运算律吗？⑴加法互换律：A. + B. = B. + a；⑵加法结合律：(A. + b) + C. =A. + (B. + c)；⑶数乘分派律：λ(A. + b)=λA. +λb．※典型例题例 1 已知平行六面体''''ABCD A B C D-（如图），化简以下向量表达式，并标出化简结果的向量：AB BC+⑴；'AB AD AA++⑵；1'2AB AD CC++⑶1(')2AB AD AA++⑷．变式：在上图中，用',,AB AD AA表示'',AC BD和'DB.小结：空间向量加法的运算要注意：首尾相接的假设干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，求空间假设干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量． 例2 化简以下各式：⑴ AB BC CA ++; ⑵;AB MB BO OM +++ ⑶;AB AC BD CD -+- ⑷ OA OD DC --.变式：化简以下各式： ⑸ OA OC BO CO +++; ⑹ AB AD DC --;⑺ NQ QP MN MP ++-.小结：化简向量表达式主若是利用平行四边形法那么或三角形法那么，碰到减法既可转化成加法，也可按减法法那么进行运算，加法和减法能够转化.※ 动手试试练 1. 已知平行六面体''''ABCD A B C D -, M 为A 1C 1与B 1D 1的交点，化简以下表达式：⑴ 111AA A B +;⑵ 11111122A B A D +;⑶ 111111122AA A B A D ++⑷ 1111AB BC CC C A A A ++++.三、总结提升※ 学习小结1. 空间向量大体概念；2. 空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律※ 知识拓展平面向量仅限于研究平面图形在它所在的平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移，它们的一起点都是指“将图形上所有点沿相同的方向移动相同的长度”，空间的平移包括平面的平移.学习评判※ 自我评判 你完本钱节导学案的情形为（ ）. A. 专门好 B. 较好 C. 一样 D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5分钟 总分值：10分）计分： 1. 以下说法中正确的选项是（ ）A. 假设∣a ∣=∣b ∣，那么a ，b 的长度相同，方向相反或相同;B. 假设a 与b 是相反向量，那么∣a ∣=∣b ∣;C. 空间向量的减法知足结合律;D. 在四边形ABCD 中，必然有AB AD AC +=. 2. 长方体''''ABCD A B C D -中，化简'''''AA A B A D ++=3. 已知向量a ，b 是两个非零向量，00,a b 是与a ，b 同方向的单位向量，那么以下各式正确的选项是（ ）A. 00a b =B. 00a b =或00a b =-C. 01a =D. ∣0a ∣=∣0b ∣4. 在四边形ABCD 中，假设AC AB AD =+,那么四边形是（ ）A. 矩形B. 菱形C. 正方形D. 平行四边形 5. 以下说法正确的选项是（ ） A. 零向量没有方向B. 空间向量不能够平行移动C. 若是两个向量不相同，那么它们的长度不相等D. 同向且等长的有向线段表示同一贯量课后作业1. 在三棱柱ABC-A'B'C'中，M,N 别离为BC ,B'C'的中点，化简以下式子：⑴ AM + BN ⑵'A N －'MC + 'BB2. 如图，平行六面体1111ABCD A B C D -中，点M 为AC 与的BD 的交点，AB a =，AD b =，1A A c =，那么以下向量中与1B M 相等的是（ ）A. 1122a b c -++B. 1122a b c ++C. 1122a b c -+D.1122a b c --+§3.1.2 空间向量的数乘运算（一）学习目标1. 把握空间向量的数乘运算律，能进行简单的代数式化简；2. 明白得共线向量定理和共面向量定理及它们的推论；3. 能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．学习进程一、课前预备（预习教材P86~ P87，找出疑惑的地方）温习1：化简：⑴5（32a b-）+4（23b a-）；⑵()()63a b c a b c-+--+-.温习2：在平面上，什么叫做两个向量平行？在平面上有两个向量,a b，假设b是非零向量，那么a与b平行的充要条件是二、新课导学※学习探讨探讨任务一：空间向量的共线问题：空间任意两个向量有几种位置关系？如何判定它们的位置关系？新知：空间向量的共线：1. 若是表示空间向量的所在的直线相互或，那么这些向量叫共线向量，也叫平行向量.2. 空间向量共线：定理：对空间任意两个向量,a b（0b≠），//a b的充要条件是存在唯一实数λ，使得推论：如图，l为通过已知点A且平行于已知非零向量的直线，对空间的任意一点O，点P在直线l上的充要条件是试试：已知5,28,AB a b BC a b=+=-+()3CD a b=-，求证: A,B,C三点共线.反思：充分明白得两个向量,a b共线向量的充要条件中的0b≠，注意零向量与任何向量共线.※典型例题例1 已知直线AB，点O是直线AB外一点，假设OP xOA yOB=+，且x+y＝1，试判定A,B,P三点是不是共线？变式：已知A,B,P三点共线，点O是直线AB外一点，假设12OP OA tOB=+，那么t＝例2已知平行六面体''''ABCD A B C D-，点M是棱AA'的中点，点G在对角线A'C上，且CG:GA'=2:1,设CD=a，',CB b CC c==，试用向量,,a b c表示向量',,,CA CA CM CG.变式1：已知长方体''''ABCD A B C D-，M是对角线AC'中点，化简以下表达式：⑴'AA CB-;⑵'''''AB B C C D++⑶'111222AD AB A A+-变式2：如图，已知,,A B C 不共线，从平面ABC 外任一点O ，作出点,,,P Q R S ,使得： ⑴22OP OA AB AC =++ ⑵32OQ OA AB AC =-- ⑶32OR OA AB AC =+-⑷23OS OA AB AC =+-.小结：空间向量的化简与平面向量的化简一样，加法注意向量的首尾相接，减法注意向量要共起点，而且要注意向量的方向.※ 动手试试练1. 以下说法正确的选项是（ ）A. 向量a 与非零向量b 共线，b 与c 共线，那么a 与c 共线；B. 任意两个共线向量不必然是共线向量；C. 任意两个共线向量相等；D. 假设向量a 与b 共线，那么a b λ=.2. 已知32,(1)8a m n b x m n =-=++，0a ≠，假设//a b ，求实数.x三、总结提升※ 学习小结1. 空间向量的数乘运算法那么及它们的运算律；2. 空间两个向量共线的充要条件及推论.※ 知识拓展平面向量仅限于研究平面图形在它所在的平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移，它们的一起点都是指“将图形上所有点沿相同的方向移动相同的长度”，空间的平移包括平面的平移.学习评判※ 自我评判 你完本钱节导学案的情形为（ ）. A. 专门好 B. 较好 C. 一样 D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5分钟 总分值：10分）计分： 1. 以下说法正确的选项是（ ）A.a 与非零向量b 共线,b 与c 共线，那么a 与c 共线B. 任意两个相等向量不必然共线C. 任意两个共线向量相等D. 假设向量a 与b 共线，那么a b λ=2. 正方体''''ABCD A B C D -中，点E 是上底面''''A B C D 的中心，假设''BB xAD yAB zAA =++,则x ＝ ，y ＝ ，z ＝ .3. 假设点P 是线段AB 的中点，点O 在直线AB 外，那么OP = OA + OB .4. 平行六面体''''ABCD A B C D -, O 为A 1C 与B 1D的交点,那么'1()3AB AD AA ++= AO5. 已知平行六面体''''ABCD A B C D -，M 是AC 与BD 交点，假设',,AB a AD b AA c ===，那么与'B M 相等的向量是（ ）A. 1122a b c -++；B. 1122a b c ++；C. 1122a b c -+；D. 1122a b c --+.课后作业：§3.1.2 空间向量的数乘运算（二）学习目标1. 把握空间向量的数乘运算律，能进行简单的代数式化简；2. 明白得共线向量定理和共面向量定理及它们的推论；3. 能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．学习进程一、课前预备（预习教材P86~ P87，找出疑惑的地方）温习1：什么叫空间向量共线？空间两个向量,a b，假设b是非零向量，那么a与b平行的充要条件是温习2：已知直线AB，点O是直线AB外一点，假设1233OP OA OB=+，试判定A,B,P三点是不是共线？二、新课导学※学习探讨探讨任务一：空间向量的共面问题：空间任意两个向量不共线的两个向量,a b有如何的位置关系？空间三个向量又有如何的位置关系？新知：共面向量：同一平面的向量.2. 空间向量共面：定理：对空间两个不共线向量,a b，向量p与向量,a b共面的充要条件是存在，使得.推论：空间一点P与不在同一直线上的三点A,B,C 共面的充要条件是：⑴存在，使⑵对空间任意一点O，有试试：假设空间任意一点O和不共线的三点A,B,C 知足关系式111236OP OA OB OC=++,那么点P与A,B,C共面吗？反思：假设空间任意一点O和不共线的三点A,B,C 知足关系式OP xOA yOB zOC=++,且点P与A,B,C共面，那么x y z++=.※典型例题例1以劣等式中，使M,A,B,C四点共面的个数是（）①;OM OA OB OC=--②111;532OM OA OB OC=++③0;MA MB MC++=④0OM OA OB OC+++=.A. 1B. 2C. 3D. 4变式：已知A,B,C三点不共线，O为平面ABC外一点，假设向量()17,53OP OA OB OC Rλλ=++∈则P,A,B,C四点共面的条件是λ=例2如图，已知平行四边形ABCD,过平面AC外一点O作射线OA,OB,OC,OD,在四条射线上别离取点E,,F,G,H,而且使,OE OF OG OHkOA OB OC OD====求证：E,F,G,H四点共面.变式：已知空间四边形ABCD 的四个极点A,B,C,D 不共面，E,F ,G ,H 别离是AB,BC,CD,AD 的中点，求证：E,F ,G ,H 四点共面.小结：空间向量的化简与平面向量的化简一样，加法注意向量的首尾相接，减法注意向量要共起点，而且要注意向量的方向.※ 动手试试练1. 已知,,A B C 三点不共线，对平面外任一点，知足条件122555OP OA OB OC =++，试判定：点P 与,,A B C 是不是必然共面？练 2. 已知32,(1)8a m n b x m n =-=++，0a ≠，假设//a b ，求实数.x三、总结提升※ 学习小结1. 空间向量的数乘运算法那么及它们的运算律；2. 空间两个向量共线的充要条件及推论.※ 知识拓展平面向量仅限于研究平面图形在它所在的平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移，它们的一起点都是指“将图形上所有点沿相同的方向移动相.※ 自我评判 你完本钱节导学案的情形为（ ）. A. 专门好 B. 较好 C. 一样 D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5分钟 总分值：10分）计分：1. 在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，向量1D A 、1D C 、11AC 是（ ） A. 有相同起点的向量 B ．等长向量 C ．共面向量 D ．不共面向量.2. 正方体''''ABCD A B C D -中，点E 是上底面''''A B C D 的中心，假设''BB xAD yAB zAA =++,则x ＝ ，y ＝ ，z ＝ .3. 假设点P 是线段AB 的中点，点O 在直线AB 外，那么OP OA + OB .4. 平行六面体''''ABCD A B C D -, O 为A 1C 与B 1D的交点,那么'1()3AB AD AA ++= AO .5. 在以下命题中：①若a 、b 共线，那么a 、b 所在的直线平行；②若a 、b 所在的直线是异面直线，那么a 、b 必然不共面；③若a 、b 、c 三向量两两共面，那么a 、b 、c 三向量必然也共面；④已知三向量a 、b 、c ，那么空间任意一个向量p 总能够唯一表示为p ＝x a ＋y b ＋z c ．其中正确命题的个数为 （ ）. A ．0 B.1 C. 2 D. 3 课后作业： 1. 假设324,(1)82a m n p b x m n yp =--=+++， 0a ≠，假设//a b ，求实数,x y .21,e e 不共线,12,AB e e =+ 121228,33AC e e AD e e =+=-. 求证：,,,A B C D 共面．A B C D F E G H§3.1.3．空间向量的数量积（1）学习目标1. 把握空间向量夹角和模的概念及表示方式；2. 把握两个向量的数量积的计算方式，并能利用两个向量的数量积解决立体几何中的一些简单问题．学习进程一、课前预备（预习教材P 90~ P 92，找出疑惑的地方）温习1：什么是平面向量a 与b 的数量积？温习2：在边长为1的正三角形⊿ABC 中，求AB BC •.二、新课导学※ 学习探讨探讨任务一：空间向量的数量积概念和性质问题：在几何中，夹角与长度是两个最大体的几何量，可否用向量的知识解决空间两条直线的夹角和空间线段的长度问题？新知：1) 两个向量的夹角的概念：已知两非零向量,a b ，在空间 一点O ，作,OA a OB b ==，那么AOB ∠叫做向量a 与b 的夹角，记作 .试试：⑴ 范围: ,a b ≤<>≤,a b 〈〉=0时,a b 与 ;,a b 〈〉=π时,a b 与⑵ ,,a b b a <>=<>成立吗？⑶,a b <>= ，那么称a 与b 相互垂直，记作 .2) 向量的数量积：已知向量,a b ，那么 叫做,a b 的数量积，记作a b ⋅，即a b ⋅= .规定:零向量与任意向量的数量积等于零.反思：⑴ 两个向量的数量积是数量仍是向量？ ⑵ 0a •= （选0仍是0） ⑶ 你能说出a b ⋅的几何意义吗？ 3) 空间向量数量积的性质：（1）设单位向量e ，那么||cos ,a e a a e ⋅=<>． （2）a b a b ⊥⇔⋅= ． （3）a a ⋅= ＝ .4) 空间向量数量积运算律：（1）()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅． （2）a b b a ⋅=⋅（互换律）．（3）()a b c a b a c ⋅+=⋅+⋅（分派律反思：⑴ )()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅（吗？举例说明.⑵ 假设a b a c ⋅=⋅，那么b c =吗？举例说明.⑶ 假设0a b ⋅=，那么00a b ==或吗？什么缘故？※ 典型例题例1 用向量方式证明：在平面上的一条直线，若是和那个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.变式1：用向量方式证明：已知：,m n 是平面α内的两条相交直线，直线l 与平面α的交点为B ，且,l m l n ⊥⊥. 求证：l α⊥．例 2 如图，在空间四边形ABCD 中，2AB =，3BC =，23BD =，3CD =，30ABD ∠=，60ABC ∠=，求AB 与CD 的夹角的余弦值变式：如图，在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，假设AB =2BB 1,那么AB 1与C 1B 所成的角为（） A. 60° B. 90° C. 105° D. 75°例3 如图，在平行四边形ABCD-A 1B 1C 1D 1中，4,3AB AD ==,'5AA =,90BAD ∠=︒,'BAA ∠= 'DAA ∠=60°,求'AC 的长.※ 动手试试练1. 已知向量,a b 知足1a=，2b =，3a b +=，那么a b -=____.练 2. 222,,22a b a b ==⋅=-已知, 那么a b 与的夹角大小为_____.三、总结提升※ 学习小结1..向量的数量积的概念和几何意义.2. 向量的数量积的性质和运算律的运用.※ 知识拓展向量给出了一种解决立体几何中证明垂直问题，求两条直线的夹角和线段长度的新方式.学习评判※ 自我评判 你完本钱节导学案的情形为（ ）. A. 专门好 B. 较好 C. 一样 D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5分钟 总分值：10分）计分： 1. 以下命题中：①若0a b •=，那么a ，b 中至少一个为0 ②若a 0≠且a b a c •=•，那么b c = ③()()a b c a b c ••=••④22(32)(32)94a b a b a b +•-=-正确有个数为（ ）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个 2. 已知1e 和2e 是两个单位向量，夹角为3π，那么下面向量中与212e e -垂直的是（ ）A. 12e e +B. 12e e -C. 1eD. 2e 3.已知ABC ∆中，,,A B C ∠∠∠所对的边为,,a b c ，且3,1a b ==,30C ∠=︒,那么BC CA •=4. 已知4a =，2b =，且a 和b 不共线，当 a b λ+与a b λ-的夹角是锐角时，λ的取值范围是 .5. 已知向量,a b 满足4a=，2b =，3a b -=，则a b +=____课后作业：1. 已知空间四边形ABCD 中，AB CD ⊥，AC BD ⊥，求证：AD BC ⊥.2. 已知线段AB 、BD 在平面α内,BD ⊥AB , 线段AC α⊥,若是AB ＝a ,BD ＝b ,AC ＝c ,求C 、D 间的距离. DB D BC§3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示学习目标1. 把握空间向量的正交分解及空间向量大体定理和坐标表示；2. 把握空间向量的坐标运算的规律；学习进程一、课前预备（预习教材P 92-96找出疑惑的地方） 温习1：平面向量大体定理：对平面上的任意一个向量P ，,a b 是平面上两个 向量，总 是存在 实数对(),x y ，使得向量P 能够用,a b 来表示，表达式为 ，其中,a b 叫做 . 假设a b ⊥，那么称向量P 正交分解.温习2：平面向量的坐标表示：平面直角坐标系中，别离取x 轴和y 轴上的 向量,i j 作为基底，对平面上任意向量a ，有且只有一对实数x ，y ，使得a xi y j =+，，那么称有序对(),x y 为向量a 的 ，即a ＝ .二、新课导学※ 学习探讨探讨任务一：空间向量的正交分解 问题：对空间的任意向量a ，可否用空间的几个向量唯一表示？若是能，那需要几个向量？这几个向量有何位置关系？新知：⑴ 空间向量的正交分解：空间的任意向量a ，都可分解为不共面的三个向量11a λ、22a λ、33a λ，使112233a a a a λλλ=++. 若是123,,a a a 两两 ，这种分解确实是空间向量的正交分解. (2)空间向量大体定理：若是三个向量,,a b c ， 对空间任一贯量p ，存在有序实数组{,,}x y z ，使得p xa yb zc =++. 把 的一个基底，,,a b c 都叫做基向量.反思：空间任意一个向量的基底有 个.⑶单位正交分解：若是空间一个基底的三个基向量相互 ，长度都为 ，那么那个基底叫做单位正交基底，通经常使用｛i ,j ,k ｝表示. ⑷空间向量的坐标表示：给定一个空间直角坐标系O -xyz 和向量a ，且设i 、j 、k 为 x 轴、y 轴、z 轴正方向的单位向量，那么存在有序实数组{,,}x y z ，使得a xi y j zk =++，那么称有序实数组{,,}x y z 为向量a 的坐标，记着p = .⑸设A 111(,,)x y z ，B 222(,,)x y z ，那么AB ＝ .⑹向量的直角坐标运算：设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ，那么 ⑴a ＋b ＝112233(,,)a b a b a b +++； ⑵a －b ＝112233(,,)a b a b a b ---；⑶λa ＝123(,,)a a a λλλ()R λ∈；⑷a ·b ＝112233a b a b a b ++. 试试：1. 设23a i j k =-+，那么向量a 的坐标为 .2. 假设A (1,0,2)，B (3,1,1)-，则AB ＝ .3. 已知a ＝(2,3,5)-，b ＝(3,1,4)--，求a ＋b ，a －b ，8a ，a ·b※ 典型例题例1 已知向量,,a b c 是空间的一个基底，从向量,,a b c 当选哪个向量，必然能够与向量,p a b =+q a b =-组成空间的另一个基底？变式：已知O,A,B,C 为空间四点，且向量,,OA OB OC 不组成空间的一个基底，那么点O,A,B,C 是不是共面？小结：判定空间三个向量是不是组成空间的一个基底的方式是：这三个向量必然不共面. 例2 如图，M,N 别离是四面体QABC 的边OA,BC 的中点，P ,Q 是MN 的三等分点，用,,OA OB OC 表示OP 和OQ .变式：已知平行六面体''''ABCD A B C D -，点G是侧面''BB C C 的中心，且OA a =，',OC b OO c ==，试用向量,,a b c 表示以下向量: ⑴''',,;OB BA CA ⑵ OG .※ 动手试试练1. 已知()()()2,3,1,2,0,3,0,0,2a b c =-==，求： ⑴()a b c •+； ⑵68a b c +-.练2. 正方体''''ABCD A B C D -的棱长为2，以A 为坐标原点，以'AB,AD,AA 为x 轴、y 轴、z 轴正方向成立空间直角坐标系，那么点1D ，',AC AC 的坐标别离是 ， ， .三、总结提升※ 学习小结1. 空间向量的正交分解及空间向量大体定理；2. 空间向量坐标表示及其运算※ 知识拓展成立空间直角坐标系前，必然要验证三条轴的垂直关系，假设图中没有建系的环境，那么依照已知条.学习评判※ 自我评判 你完本钱节导学案的情形为（ ）. A. 专门好 B. 较好 C. 一样 D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5分钟 总分值：10分）计分：1. 假设{}a,,b c 为空间向量的一组基底，那么以下各项中，能组成基底的是（ ）A.,,a a b a b +-B. ,,b a b a b +-C. ,,c a b a b +-D. 2,,a b a b a b ++-2. 设i 、j 、k 为空间直角坐标系O -xyz 中x 轴、y 轴、z 轴正方向的单位向量，且AB i j k =-+-，那么点B 的坐标是3. 在三棱锥OABC 中，G 是ABC ∆的重心（三条中线的交点），选取,,OA OB OC 为基底，试用基底表示OG ＝4. 正方体''''ABCD A B C D -的棱长为2，以A 为坐标原点，以'AB,AD,AA 为x 轴、y 轴、z 轴正方向成立空间直角坐标系，E 为BB 1中点，那么E 的坐标是 .5. 已知关于x 的方程()222350x t x t t --+++=有两个实根，c a tb =+，且()()1,1,3,1,0,2a b =-=-， 当t ＝ 时，c 的模取得最大值.课后作业1. 已知()()3,5,7,2,4,3A B =-=-,求,,AB BA 线段AB 的中点坐标及线段AB 的长度.2. 已知,,a b c 是空间的一个正交基底，向量,,a b a b c +-是另一组基底，假设p 在,,a b c 的坐标是()1,2,3，求p 在,,a b a b c +-的坐标.§3.1.5 空间向量运算的坐标表示学习目标1. 把握空间向量的长度公式、夹角公式、两点间距离公式、中点坐标公式；2. 会用这些公式解决有关问题.学习进程 一、课前预备 （预习教材P 95~ P 97，找出疑惑的地方） 温习1：设在平面直角坐标系中，A (1,3)，B (1,2)-，那么线段︱AB ︱＝ .温习2：已知()()3,2,5,1,5,1a b =-=-，求：⑴a ＋B. ⑵3a －b ； ⑶6A. ； ⑷a ·b .二、新课导学※ 学习探讨探讨任务一：空间向量坐标表示夹角和距离公式 问题：在空间直角坐标系中，如何用坐标求线段的长度和两个向量之间的夹角？新知： 1. 向量的模：设a ＝123(,,)a a a ，那么｜a ｜＝2. 两个向量的夹角公式：设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ，由向量数量积概念： a ·b ＝|a ||b |cos ＜a ,b ＞， 又由向量数量积坐标运算公式：a ·b ＝ ， 由此能够得出：cos ＜a ,b ＞＝ 试试： ① 当cos ＜a 、b ＞＝1时，a 与b 所成角是 ； ② 当cos ＜a 、b ＞＝－1时，a 与b 所成角是 ； ③ 当cos ＜a 、b ＞＝0时，a 与b 所成角是 ， 即a 与b 的位置关系是 ，用符合表示为 .反思：设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ，那么⑴ a //B. ⇔ a 与b 所成角是 ⇔ a 与b 的坐标关系为 ；⑵ a ⊥b ⇔a 与b 的坐标关系为 ；3. 两点间的距离公式：在空间直角坐标系中，已知点111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，那么线段AB 的长度为：222211212()()()AB x x y y z z =-+-+-.4. 线段中点的坐标公式：在空间直角坐标系中，已知点111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，那么线段AB 的中点坐标为: .※ 典型例题例1. 如图,在正方体1111ABCD A B C D -中，点11,E F 别离是1111,A B C D 的一个四等分点，求1BE 与1DF 所成的角的余弦值．变式：如上图,在正方体1111ABCD A B C D -中，1111113A B B E D F ==，求1BE 与1DF 所成角的余弦值．例2. 如图，正方体1111ABCD A B C D -中，点E,F 别离是111,BB D B 的中点，求证：1EF DA ⊥.变式：如图，正方体1111ABCD A B C D -中，点M 是AB 的中点，求1DB 与CM 所成角的余弦值.小结：求两个向量的夹角或角的余弦值的关键是在适合的直角坐标系中找出两个向量的坐标，然后再用公式计算.※ 动手试试练1. 已知A (3,3,1)、B (1，0，5)，求： ⑴线段AB 的中点坐标和长度；⑵到A 、B 两点距离相等的点(,,)P x y z 的坐标x 、y 、z 知足的条件．练2. 如图，正方体的棱长为2，试成立适当的空间直角坐标系，写出正方体各极点的坐标，并和你的同窗交流.三、总结提升※ 学习小结1. 空间向量的长度公式、夹角公式、两点间距离公式、中点坐标公式；2. 解决立体几何中有关向量问题的关键是如何成立适合的空间直角坐标系，写出向量的坐标，然后再代入公式进行计算.※ 知识拓展在平面内取正交基底成立坐标系后，坐标平面内的任意一个向量，都能够用二元有序实数对表示，平面向量又称二维向量.空间向量可用三元有序实数组表示，空间向量又称三维向量.二维向量和三维向量统称为几何向量.学习评判※ 自我评判 你完本钱节导学案的情形为（ ）. A. 专门好 B. 较好 C. 一样 D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5分钟 总分值：10分）计分： 1. 假设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ，那么312123a a ab b b ==是//a b 的（ ）2. 已知()()2,1,3,4,2,a b x =-=-，且a b ⊥， 则x ＝ .3. 已知()()1,0,0,0,1,1A B -,OA OB λ+与OB 的夹角为120°，那么λ的值为（ ）A. 66±B. 66C. 66- D. 6±4. 若()()2,2,0,3,2,a x b x x ==-，且,a b 的夹角为钝角，那么x 的取值范围是（ ）A. 4x <-B. 40x -<<C. 04x <<D. 4x > 5. 已知 ()()1,2,,,1,2a y b x =-=， 且(2)//(2)a b a b +-，那么（ ）A. 1,13x y ==B. 1,42x y ==-C. 12,4x y ==- D. 1,1x y ==-课后作业：1. 如图，正方体''''ABCD A B C D -棱长为a ， ⑴ 求'',A B B C 的夹角；⑵求证：''A B AC ⊥.2. 如图，正方体1111ABCD A B C D -中，点M,N 别离为棱11,A A B B 的中点，求CM 和1D N 所成角的余弦值.§3.1 空间向量及其运算（练习）学习目标1. 熟练把握空间向量的加法，减法，向量的数乘运算，向量的数量积运算及其坐标表示；2. 熟练把握空间线段的长度公式、夹角公式、两点间距离公式、中点坐标公式，并能熟练用这些公式解决有关问题.学习进程 一、课前预备：（阅读讲义p 115） 温习： 1. 具有 和 的量叫向量， 叫向量的模； 叫零向量，记着 ； 具有 叫单位向量. 2. 向量的加法和减法的运算法那么有 法那么 和 法那么.λ与向量a 的积是一个 量，记作 ，其长度和方向规定如下：(1)|λa |＝ .(2)当λ＞0时，λa 与A. ；当λ＜0时，λa 与A. ；当λ＝0时，λa ＝ .4. 向量加法和数乘向量运算律：互换律：a ＋b ＝ 结合律：(a ＋b )＋c ＝ 数乘分派律：λ(a ＋b )＝5.① 表示空间向量的 所在的直线相互 或 ，那么这些向量叫共线向量，也叫平行向量.②空间向量共线定理：对空间任意两个向量,a b （0b ≠）， //a b 的充要条件是存在唯一实数λ，使得 ；③ 推论： l 为通过已知点A 且平行于已知非零向量a 的直线，对空间的任意一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是6. 空间向量共面：①共面向量： 同一平面的向量.②定理：对空间两个不共线向量,a b ，向量p 与向量,a b 共面的充要条件是存在 ， 使得 . ③推论：空间一点P 与不在同一直线上的三点A ,B ,C 共面的充要条件是：⑴ 存在 ，使⑵ 对空间任意一点O ，有 7. 向量的数量积：a b ⋅= .8. 单位正交分解：若是空间一个基底的三个基向量相互 ，长度都为 ，那么那个基底叫做单位正交基底，通经常使用｛i ,j ,k ｝表示.9.空间向量的坐标表示：给定一个空间直角坐标系O -xyz 和向量a ，且设i 、j 、k 为 x 轴、y 轴、z 轴正方向的单位向量，那么存在有序实数组{,,}x y z ，使得a xi y j zk =++，那么称有序实数组{,,}x y z 为向量a 的坐标，记着p = .10. 设A 111(,,)x y z ，B 222(,,)x y z ，那么AB ＝ .11. 向量的直角坐标运算： 设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ，那么 ⑴a ＋b ＝ ； ⑵a －b ＝ ； ⑶λa ＝ ； ⑷a ·b ＝ ※ 动手试试1．在以下命题中：①若a 、b 共线，那么a 、b 所在的直线平行；②若a 、b 所在的直线是异面直线，那么a 、b 必然不共面；③若a 、b 、c 三向量两两共面，那么a 、b 、c 三向量必然也共面；④已知三向量a 、b 、c ，那么空间任意一个向量p 总能够唯一表示为p ＝x a ＋y b ＋z c ．其中正确命题的个数为（ ） A ．0 B. 1 C. 2 D. 32．在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，向量1D A 、1D C 、11AC 是（ ） A ．有相同起点的向量 B ．等长向量C ．共面向量D ．不共面向量3．已知a ＝（2，－1，3），b ＝（－1，4，－2）， c ＝（7，5，λ），假设a 、b 、c 三向量共面，那么实数λ=（ ） A. 627 B. 637 C. 647 D. 657 4．若a 、b 均为非零向量，那么||||⋅=a b a b 是a 与b 共线的（ ）5．已知△ABC 的三个极点为A （3，3，2），B （4，－3，7），C （0，5，1），那么BC 边上的中线长为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．56. 32,2,a i j k b i j k =+-=-+则53a b •=（ ） A ．－15 B ．－5 C ．－3 D ．－1※ 典型例题例1 如图，空间四边形OABC 中，,OA a OB b ==， OC c =，点M 在OA 上，且OM =2MA ,点N 为BC 的中点，那么MN = .变式：如图，平行六面体''''ABCD A B C D -中，,AB a AD b ==，'AA c =,点,,P M N 别离是'''',,CA CD C D 的中点，点Q 在'CA 上，且'41CQ QA =,用基底,,a b c 表示以下向量：⑴ AP ; ⑵ AM ; ⑶ AN ; ⑷ AQ .例2 如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，190,1,2,6ABC CB CA AA ∠=︒===,点M 是1CC 的中点，求证：1AM BA ⊥.变式：正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的侧棱长为2，底面边长为1，点M 是BC 的中点，在直线1CC 上求一点N ，使得1MN AB ⊥学习评判※ 自我评判 你完本钱节导学案的情形为（ ）.A. 专门好B. 较好C. 一样D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5分钟 总分值：10分）计分：1．直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，假设CA =a ，CB =b ，1CC =c ， 那么1A B =（ ）A. +-a b cB. -+a b cC. -++a b cD.-+-a b c2.,,m a m b ⊥⊥(,n a b R λμλμλ=+∈向量且、0)μ≠则（ ）A ．//m nB ． m 与n 不平行也不垂直 C. m n ⊥， D ．以上情形都可能.3. 已知a +b +c ＝0，|a |＝2，|b |＝3，|c |＝19，那么向量a 与b 之间的夹角,a b <>为（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．以上都不对()()1,1,0,1,0,2,a b ==-且ka b +与2a b -相互垂直，那么k 的值是（ ）A. .1B. 15C. 35D. 755. 若A (m ＋1，n －1,3)， B. (2m ,n ,m －2n )，C (m ＋3,n －3,9)三点共线，则m +n =课后作业如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点,,E F G 别离是11,,DD BD BB 的中点. ⑴ 求证：EF CF ⊥；⑵ 求EF 与CG 所成角的余弦； ⑶ 求CE 的长.§3.2立体几何中的向量方式（1）1. 把握直线的方向向量及平面的法向量的概念;2. 把握利用直线的方向向量及平面的法向量解决平行、垂直、夹角等立体几何问题．一、课前预备（预习教材P 102~ P 104，找出疑惑的地方）温习1： 能够确信一条直线；确信一个平面的方式有哪些？温习2：如何判定空间A ,B ,C 三点在一条直线上？温习3：设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ，a ·b ＝二、新课导学※ 学习探讨探讨任务一： 向量表示空间的点、直线、平面 问题：如何用向量来表示点、直线、平面在空间中的位置？新知：⑴ 点：在空间中，咱们取必然点O 作为基点，那么空间中任意一点P 的位置就能够够用向量OP 来表示，咱们把向量OP 称为点P 的位置向量. ⑵ 直线：① 直线的方向向量：和这条直线平行或共线的非零向量.② 关于直线l 上的任一点P ,存在实数t ，使得AP t AB =，此方程称为直线的向量参数方程.⑶ 平面：① 空间中平面α的位置能够由αα上的任一点P ,,a b 是平面α内两个不共线向量，那么存在有序实数对(,)x y ,使得OP xa yb =+.② 空间中平面α的位置还能够用垂直于平面的直线的方向向量表示空间中平面的位置.⑷ 平面的法向量：若是表示向量n 的有向线段所在直线垂直于平面α，那么称那个向量n 垂直于平面α,记作n ⊥α，那 么向量n 叫做平面α的法向量.试试： .,a b 都是平面α的法向量，那么,a b 的关系 .2.向量n 是平面α的法向量，向量a 是与平面α平行或在平面内，那么n 与a 的关系是 .反思：1. 一个平面的法向量是唯一的吗？2. 平面的法向量能够是零向量吗？⑸ 向量表示平行、垂直关系：设直线,l m 的方向向量别离为,a b ，平面,αβ 的法向量别离为,u v ，则 ① l ∥m ⇔a ∥b a kb ⇔= ② l ∥α⇔a u ⊥0a u ⇔⋅= ③ α∥β⇔u ∥v .u kv ⇔=※ 典型例题例1 已知两点()()1,2,3,2,1,3A B --,求直线AB与坐标平面YOZ 的交点.变式：已知三点()()1,2,3,2,1,2,A B ()1,1,2P ,点Q 在OP 上运动（O 为坐标原点）,求当QA QB •取得最小值时,点Q 的坐标.。
高二数学选修2-1人教A全册导学案第3章空间向量与立体几何§3.2《立体几何中的向量方法》
§3.2 立体几何中的向量方法知识点一用向量方法判定线面位置关系(1)设a、b分别是l1、l2的方向向量，判断l1、l2的位置关系：①a＝(2,3，－1)，b＝(－6，－9,3)．②a＝(5,0,2)，b＝(0,4,0)．(2)设u、v分别是平面α、β的法向量，判断α、β的位置关系：①u＝(1，－1,2)，v＝(3,2，)．②u＝(0,3,0)，v＝(0，－5,0)．(3)设u是平面α的法向量，a是直线l的方向向量，判断直线l与α的位置关系．①u＝(2,2，－1)，a＝(－3,4,2)．②u＝(0,2，－3)，a＝(0，－8,12)．解(1)①∵a＝(2,3，－1)，b＝(－6，－9,3)，∴a＝－b，∴a∥b，∴l1∥l2.②∵a＝(5,0,2)，b＝(0,4,0)，∴a·b＝0，∴a⊥b，∴l1⊥l2.(2)①∵u＝(1，－1,2)，v＝(3,2，)，∴u·v＝3－2－1＝0，∴u⊥v，∴α⊥β.②∵u＝(0,3,0)，v＝(0，－5,0)，∴u＝－v，∴u∥v，∴α∥β.(3)①∵u＝(2,2，－1)，a＝(－3,4,2)，∴u·a＝－6＋8－2＝0，∴u⊥a，∴l⊂α或l∥α.②∵u＝(0,2，－3)，a＝(0，－8,12)，∴u＝－a，∴u∥a，∴l⊥α.知识点二利用向量方法证明平行问题如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是C1C、B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD.证明方法一如图所示，以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则可求得M (0,1，)，N (,1,1)，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，于是=（，0，），设平面A1BD的法向量是n=（x，y，z）.n＝(x，y，z)．则n·＝0，得取x＝1，得y＝－1，z＝－1.∴n＝(1，－1，－1)．又·n＝(,0，)·(1，－1，－1)＝0，方法二∵ =∴∥，又∵MN⊄平面A1BD.∴MN∥平面A1BD.知识点三利用向量方法证明垂直问题在正棱锥P—ABC中，三条侧棱两两互相垂直，G是△PAB的重心，E、F分别为BC、PB上的点，且BE∶EC＝PF∶FB＝1∶2.(1)求证：平面GEF⊥平面PBC；(2)求证：EG是PG与BC的公垂线段．证明(1)方法一如图所示，以三棱锥的顶点P为原点，以PA、PB、PC所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．令PA＝PB＝PC＝3，则A(3,0,0)、B(0,3,0)、C(0,0,3)、E(0,2,1)、F(0,1,0)、G(1,1,0)、P(0,0,0)．于是＝(3,0,0)，＝(3,0,0)，故＝3，∴PA∥FG.而PA⊥平面PBC，∴FG⊥平面PBC，又FG⊂平面EFG，∴平面EFG⊥平面PBC.方法二同方法一，建立空间直角坐标系，则E(0,2,1)、F(0,1,0)、G(1,1,0)．＝(0，－1，－1)，＝(0，－1，－1)，设平面EFG的法向量是n＝(x，y，z)，则有n⊥，n⊥，∴令y＝1，得z＝－1，x＝0，即n＝(0,1，－1)．而显然=（3，0，0）是平面PBC的一个法向量.这样n·= 0,∴n⊥即平面PBC的法向量与平面EFG的法向量互相垂直，∴平面EFG⊥平面PBC.（2）∵=（1，1，1），=（1，1，0），=（0，3，3），∴·=11= 0，·=33 = 0，∴EG⊥PG，EG⊥BC，∴EG是PG与BC的公垂线段.知识点四利用向量方法求角四棱锥P—ABCD中，PD⊥平面ABCD，PA与平面ABCD所成的角为60°，在四边形ABCD中，∠D＝∠DAB＝90°，AB＝4，CD＝1，AD＝2.(1)建立适当的坐标系，并写出点B，P的坐标；(2)求异面直线PA与BC所成角的余弦值．解(1)如图所示，以D为原点，射线DA，DC，DP分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系D—xyz，∵∠D＝∠DAB＝90°，AB＝4，CD＝1，AD＝2，∴A(2,0,0)，C(0,1,0)，B(2,4,0)．由PD⊥面ABCD得∠PAD为PA与平面ABCD所成的角．∴∠PAD＝60°.在Rt△PAD中，由AD＝2，得PD＝2．∴P(0,0,2)．（2）∵＝(2,0，－2)，=（2，3，0）∴cos〈,〉=∴PA与BC所成角的余弦值为．正方体ABEF－DCE′F′中，M、N分别为AC、BF的中点(如图所示)，求平面MNA 与平面MNB所成二面角的余弦值．解取MN的中点G，连结BG，设正方体棱长为1.方法一∵△AMN，△BMN为等腰三角形，∴AG⊥MN，BG⊥MN.∴∠AGB为二面角的平面角或其补角．∵AG=BG=,，设〈，〉=θ，2＝2＋2·＋2，∴1＝()2＋2××cosθ＋()2.∴cosθ＝，故所求二面角的余弦值为．方法二以B为坐标原点，BA，BE，BC所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系B－xyz则M(，0，)，N (,,0)，中点G(，，)，A(1,0,0)，B(0,0,0)，由方法一知∠AGB为二面角的平面角或其补角．∴＝(，－，－)，＝(，－，－)，∴ cos<, >==,故所求二面角的余弦值为．方法三建立如方法二的坐标系，∴即取n1＝(1,1,1)．同理可求得平面BMN的法向量n2＝(1，－1，－1)．∴cos〈n1，n2〉＝,故所求二面角的余弦值为知识点五用向量方法求空间的距离已知正方形ABCD的边长为4，E、F分别是AB、AD的中点，GC⊥平面ABCD，且GC＝2，求点B到平面EFG的距离．解如图所示，以C为原点，CB、CD、CG所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系C－xyz.由题意知C(0,0,0)，A(4,4,0)，B(4,0,0)，D(0,4,0)，E(4,2,0)，F(2,4,0)，G(0,0,2)．＝(0,2,0)，＝(－2,4,0)，设向量⊥平面GEF，垂足为M，则M、G、E、F四点共面，故存在实数x，y，z，使= x+ y+ z，即= x（0，2，0）+y（2，4，0）+z（4，0，2）=（2y4z，2x+4y，2z）.由BM⊥平面GEF，得⊥,⊥，于是·＝0，·＝0，即即，解得∴＝(－2y－4z,2x＋4y,2z)＝∴||＝即点B到平面GEF的距离为．考题赏析(安徽高考)如图所示，在四棱锥O—ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，∠ABC＝，OA⊥底面ABCD，OA＝2，M为OA的中点．(1)求异面直线AB与MD所成角的大小；(2)求点B到平面OCD的距离．解作AP⊥CD于点P.如图，分别以AB、AP、AO所在直线为x、y、z轴建立平面直角坐标系．A(0,0,0)，B(1,0,0)，P (0，，0)，D (－，，0)，O(0,0,2)，M(0,0,1)．(1)设AB与MD所成角为θ，∵＝(1,0,0)，＝(－，，－1)，∴cos =．∴θ＝．∴AB与MD所成角的大小为．（2）∵=（0,，），=（，，）,∴设平面OCD的法向量为n = ( x, y , z ),则n·=0，n·= 0.得取z=，解得n = (0,4,).设点B到平面OCD的距离为d,则d为在向量n上的投影的绝对值.∵=（1，0，2），∴d＝,∴点B到平面OCD的距离为,1．已知A(1,0,0)、B(0,1,0)、C(0,0,1)，则平面ABC的一个单位法向量是( )A．(，，－) B．(，－，)C．(－，，) D．(－，－，－)答案 D＝(－1,1,0)，是平面OAC的一个法向量．＝(－1,0,1)，＝(0，－1,1)设平面ABC的一个法向量为n＝(x，y，z)∴令x＝1，则y＝1，z＝1∴n＝(1,1,1)单位法向量为：＝± (,，)．2．已知正方体ABCD—A1B1C1D1，E、F分别是正方形A1B1C1D1和ADD1A1的中心，则EF和CD所成的角是( )A．60°B．45°C．30°D．90°答案 B3．设l1的方向向量a＝(1,2，－2)，l2的方向向量b＝(－2,3，m)，若l1⊥l2，则m＝( ) A．1 B．2 C．D．3答案 B解析因l1⊥l2，所以a·b＝0，则有1×(－2)＋2×3＋(－2)×m＝0，∴2m＝6－2＝4，即m＝2.4．若两个不同平面α，β的法向量分别为u＝(1,2，－1)，v＝(－3，－6,3)，则( )A．α∥βB．α⊥βC．α，β相交但不垂直D．以上均不正确答案 A解析因v＝－3u，∴v∥u.故α∥β.5．已知a、b是异面直线，A、B∈a，C、D∈b，AC⊥b，BD⊥b，且AB＝2，CD＝1，则a与b所成的角是( )A．30°B．45°C．60°D．90°答案 C解析设〈，〉=θ，·=（++·= ||2= 1，cosθ=,所以θ=606．若异面直线l1、l2的方向向量分别是a＝(0，－2，－1)，b＝(2,0,4)，则异面直线l1与l2的夹角的余弦值等于( )A．B．C．－D．答案 B解析设异面直线l1与l2的夹角为θ，则cosθ＝7．已知向量n＝(6,3,4)和直线l垂直，点A(2,0,2)在直线l上，则点P(－4,0,2)到直线l的距离为________．答案，解析=（6，0，0），因为点A在直线l上，n与l垂直，所以点P到直线l的距离为8．平面α的法向量为(1,0，－1)，平面β的法向量为(0，－1,1)，则平面α与平面β所成二面角的大小为________．答案或，解析设n1＝(1,0，－1)，n2＝(0，－1,1)则cos〈n1，n2〉＝〈n1，n2〉＝．因平面α与平面β所成的角与〈n1，n2〉相等或互补，所以α与β所成的角为或．9．已知四面体顶点A(2,3,1)、B(4,1，－2)、C(6,3,7)和D(－5，－4,8)，则顶点D到平面ABC的距离为________．答案11解析设平面ABC的一个法向量为n =（x,y,z）则令x=1,则n = (1,2,),=（7，7，7）故所求距离为,10．如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥平面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于F.(1)证明：PA∥平面BDE；(2)证明：PB⊥平面DEF.证明(1)如图建立空间直角坐标系，设DC＝a，AC∩BD＝G，连结EG，则A(a,0,0)，P(0,0，a)，C(0，a,0)，E (0，，)，G (，，0)．于是=（a，0，a），=（，0，）,∴= 2，∴PA∥EG.又EG平面DEB.PA平面DEB.∴PA∥平面DEB.(2)由B(a,a,0),得=(a, a, a),又=（0, ,）,∵·=∴PB⊥DE.又EF⊥PB，EF∩DE=E，∴PB⊥平面EFD.11．如图所示，已知点P在正方体ABCD—A′B′C′D′的对角线BD′上，∠PDA＝60°.(1)求DP与CC′所成角的大小；(2)求DP与平面AA′D′D所成角的大小．解如图所示，以D为原点，DA为单位长度建立空间直角坐标系D—xyz.则=（1，0，0），= (0,0,1).连结BD,B′D′.在平面BB′D′D中,延长DP交B′D′于H.设= (m,m,1) (m>0),由已知〈,〉= 60,由·= ||||cos〈,〉,可得2m =解得m =，所以＝(，，1)，(1)因为cos〈,〉=(2)所以〈,〉= 45,即DP与CC′所成的角为45.(2)平面AA′D′D的一个法向量是= (0,1,0).因为cos〈,〉=所以〈,〉= 60°,可得DP与平面AA′D′D所成的角为30.12. 如图，四边形ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，∠BAD=60°.平面PBD⊥平面PAC，(1)求点A到平面PBD的距离;(2)求异面直线AB与PC的距离.(1)解以AC、BD的交点为坐标原点，以AC、BD所在直线为x轴、y轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A（3，0，0），B（0，1，0），C（，0，0），D（0，1，0），P（3，0，2）.设平面PBD的一个法向量为n1=（1，y1，z1）.由n1⊥，n1⊥，可得n1=（1，0，）.（1）=（，0，0），点A到平面PBD的距离,,13.如图所示，直三棱柱ABC—A1B1C1中，底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC = 2a，BB1 = 3a，D为A1C1的中点，在线段AA1上是否存在点F，使CF⊥平面B1DF？若存在，求出||；若不存在，请说明理由.解以B为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系B-xyz.假设存在点F，使CF⊥平面B1DF，并设=λ=λ（0，0，3a）=（0，0，3λa）（0<λ<1），∵D为A1C1的中点，∴D(，,3a)＝(，,3a)－(0,0,3a)＝(,，0)，=∵CF⊥平面B1DF，∴CF⊥, ⊥,即解得λ＝或λ＝∴存在点F使CF⊥面B1DF，且当λ=时，||=,|| = a当λ=，|| =,|| = 2a.14．如图(1)所示，已知四边形ABCD是上、下底边长分别为2和6，高为eq \r(3)的等腰梯形．将它沿对称轴OO1折成直二面角，如图(2)．(1)证明：AC⊥BO1；(2)求二面角O—AC—O1的余弦值．(1)证明由题设知OA⊥OO1，OB⊥OO1.所以∠AOB是所折成的直二面角的平面角，即OA⊥OB.故以O为原点，OA、OB、OO1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则相关各点的坐标是A(3,0,0)、B(0,3,0)、C(0,1, )、O1(0,0, )．·＝－3＋·＝0.所以AC⊥BO1.（2）解因为·=+ ·＝0.所以BO1⊥OC.由（1）AC⊥BO1，所以BO1⊥平面OAC,是平面OAC的一个法向量.设n=（x，y，z）是平面O1AC的一个法向量，由取z= ，得n=（1，0，）.设二面角O-AC-O1的大小为θ，由n 、的方向可知θ=〈n,〉，所以cosθ= cos〈n ，〉=即二面角O—AC—O1的余弦值是.。
高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.1 空间向量及其运算 3.1.2 空间向量的数乘运算学案(
3.1.2 空间向量的数乘运算[目标] 1.掌握空间向量的数乘运算的定义和运算律，了解共线(平行)向量的意义.2.理解共线向量定理和共面向量定理及其推论，会证明空间三点共线与四点共面问题．[重点] 应用共线定理与共面定理解决共线问题与共面问题．[难点] 证明线面平行与面面平行．知识点一空间向量的数乘运算[填一填][答一答]1．空间向量的数乘运算与平面向量的数乘运算有什么关系？提示：相同．2．类比平面向量，空间向量的数乘运算满足(λ＋μ)a＝λa＋μa(λ，μ∈R)，对吗？提示：正确．类比平面向量的运算律可知．知识点二共线、共面定理[填一填][答一答]3．a ＝λb 是向量a 与b 共线的充要条件吗？提示：不是．由a ＝λb 可得出a ，b 共线，而由a ，b 共线不一定能得出a ＝λb ，如当b ＝0，a ≠0时．4．空间中任意两个向量一定共面吗？任意三个向量呢？提示：空间任意两个向量一定共面，但空间任意三个向量不一定共面． 5．共面向量定理中为什么要求a ，b 不共线？提示：如果a ，b 共线，则p 一定与向量a ，b 共面，却不一定存在实数组(x ，y )，使p ＝x a ＋y b ，所以共面向量基本定理的充要条件要去掉a ，b 共线的情况．6．已知空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，满足向量关系式OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(其中x ＋y ＋z ＝1)的点P 与点A ，B ，C 是否共面？提示：四点共面．∵x ＋y ＋z ＝1，∴x ＝1－y －z ，又∵OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →∴OP →＝(1－y －z )OA →＋yOB →＋zOC →∴OP →－OA →＝y (OB →－OA →)＋z (OC →－OA →) ∴AP →＝yAB →＋zAC →， ∴点P 与点A ，B ，C 共面．1．共线向量、共面向量不具有传递性．2．共线向量定理及其推论是证明共线(平行)问题的重要依据．定理中的条件a ≠0不可遗漏．3．直线的方向向量是指与直线平行或共线的向量．一条直线的方向向量有无限多个，它们的方向相同或相反．4．空间任意两个向量总是共面的，空间任意三个向量可能共面，也可能不共面． 5．向量p 与a ，b 共面的充要条件是在a 与b 不共线的前提下才成立的，若a 与b 共线，则不成立．类型一 空间向量的数乘运算【例1】 设O 为▱ABCD 所在平面外任意一点，E 为OC 的中点，试用向量OA →，OB →，OD →表示AE →.【分析】 将向量AE →分解成OA →，OB →，OD →的线性组合的形式． 【解】 由题意，可以作出如下图所示的几何图形．在封闭图形ADOE 中，有：AE →＝AD →＋DO →＋OE →， ①在△AOD 中，AD →＝OD →－OA →. ②在△BOC 中，OC →＝BC →－BO →，∵AD →＝BC →，∴OC →＝AD →＋OB →＝OD →－OA →＋OB →. 又∵OE →＝12OC →，∴OE →＝12(OD →－OA →＋OB →)＝－12OA →＋12OB →＋12OD →. ③又DO →＝－OD →， ④ 将②、③、④代入①可得： AE →＝(OD →－OA →)－OD →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12OA →＋12OB →＋12OD →＝－32OA →＋12OB →＋12OD →，∴AE →＝－32OA →＋12OB →＋12OD →.寻找到以欲表示的向量所对应的线段为其一边的一个封闭图形，利用这一图形中欲求向量与已知向量所在线段的联系进行相应的向量运算是处理此类问题的基本技巧，一般地，可以找到的封闭图形不是唯一的.但需知，无论哪一种途径，结果应是唯一的.如下图所示，在平行六面体ABCD A ′B ′C ′D ′中，设AB →＝a ，AD →＝b, AA ′→＝c ，E 和F分别是AD ′和BD 的中点，用向量a ，b ，c 表示D ′B →，EF →.解：D ′B →＝D ′A ′→＋A ′B ′→＋B ′B →＝－b ＋a －c .EF →＝EA →＋AB →＋BF →＝12D ′A →＋a ＋12BD →＝12(－b －c )＋a ＋12(－a ＋b )＝12(a －c )．类型二 空间向量的共线问题【例2】 如图所示，已知四边形ABCD ，ABEF 都是平行四边形且不共面，M ，N 分别是AC ，BF 的中点，判断CE →与MN →是否共线．【解】 因为M ，N 分别是AC ，BF 的中点，且四边形ABCD ，四边形ABEF 都是平行四边形，所以MN →＝MA →＋AF →＋FN →＝12CA →＋AF →＋12FB →.又因为MN →＝MC →＋CE →＋EB →＋BN →＝－12CA →＋CE →－AF →－12FB →，以上两式相加得CE →＝2MN →，所以CE →∥MN →，即CE →与MN →共线．判断向量共线就是充分利用已知条件找到实数λ，使a ＝λb 成立，同时要充分运用空间向量的运算法则，结合空间图形，化简得出a ＝λb ，从而得出a ∥b .如图所示，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E 在A 1D 1上，且A 1E →＝2ED 1→，F 在对角线A 1C 上，且A 1F →＝23FC →.求证：E ，F ，B 三点共线．证明：设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c . ∵A 1E →＝2ED 1→，A 1F →＝23FC →，∴A 1E →＝23A 1D 1→，A 1F →＝25A 1C →.∴A 1E →＝23AD →＝23b ，A 1F →＝25(AC →－AA 1→)＝25(AB →＋AD →－AA 1→)＝25a ＋25b －25c . ∴EF →＝A 1F →－A 1E →＝25a －415b －25c ＝25(a －23b －c )．又EB →＝EA 1→＋A 1A →＋AB →＝－23b －c ＋a ＝a －23b －c ，∴EF →＝25EB →，所以E ，F ，B 三点共线．类型三 空间向量的共面问题【例3】 已知A ，B ，C 三点不共线，平面ABC 外一点M 满足OM →＝13OA →＋13OB →＋13OC →.(1)判断MA →，MB →，MC →三个向量是否共面； (2)判断M 是否在平面ABC 内．【解】 (1)∵OA →＋OB →＋OC →＝3OM →，∴OA →－OM →＝(OM →－OB →)＋(OM →－OC →)＝BM →＋CM →，∴MA →＝BM →＋CM →＝－MB →－MC →，∴向量MA →，MB →，MC →共面．(2)由(1)知向量MA →，MB →，MC →共面，而它们有共同的起点M ，且A ，B ，C 三点不共线，∴M ，A ，B ，C 共面，即M 在平面ABC 内．1证明向量共面，可以利用共面向量的充要条件，也可直接利用定义，通过线面平行或直线在平面内进行证明.2向量共面向量所在的直线不一定共面，只有这些向量都过同一点时向量所在的直线才共面向量的起点、终点共面.已知E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，求证： (1)E ，F ，G ，H 四点共面． (2)BD ∥平面EFGH .证明：如下图，连接EG ，BG .(1)因为EG →＝EB →＋BG →＝EB →＋12(BC →＋BD →)＝EB →＋BF →＋EH →＝EF →＋EH →，由向量共面的充要条件知：E ，F ，G ，H 四点共面．(2)因为EH →＝AH →－AE →＝12AD →－12AB →＝12BD →，所以EH ∥BD .又EH ⊂平面EFGH ，BD ⊄平面EFGH ，所以BD ∥平面EFGH .1．下列命题中正确的是( C )A ．若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线B ．向量a ，b ，c 共面，即它们所在的直线共面C ．零向量没有确定的方向D ．若a ∥b ，则存在唯一的实数λ，使a ＝λb解析：A 中，若b ＝0，则a 与c 不一定共线；B 中，共面向量的定义是平行于同一平面的向量，表示这些向量的有向线段所在的直线不一定共面；D 中，若b ＝0，a ≠0，则不存在λ.2．当|a |＝|b |≠0，且a 、b 不共线时，a ＋b 与a －b 的关系是( A ) A ．共面 B ．不共面 C ．共线D ．无法确定解析：a ＋b 与a －b 不共线，则它们共面．3．设O ABC 是四面体，G 1是△ABC 的重心，G 是OG 1上的一点，且OG ＝3GG 1，若OG →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，则(x ，y ，z )为( A )A ．(14，14，14)B ．(34，34，34)C ．(13，13，13)D ．(23，23，23)解析：因为OG →＝34OG 1→＝34(OA →＋AG 1→)＝34OA →＋34×23[12(AB →＋AC →)]＝34OA →＋14[(OB →－OA →)＋(OC →－OA →)]＝14OA →＋14OB →＋14OC →，而OG →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，所以x ＝14，y ＝14，z ＝14.4．已知A 、B 、C 三点不共线，O 为平面ABC 外一点，若由OM →＝－2OA →＋OB →＋λOC →确定的点M 与A 、B 、C 共面，则λ＝2.解析：M 与A 、B 、C 共面，则OM →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，其中x ＋y ＋z ＝1，结合题目有－2＋1＋λ＝1，即λ＝2.5．如下图，正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为BB 1和A 1D 1的中点．证明：向量A 1B →，B 1C →，EF →是共面向量．证明：EF →＝EB →＋BA 1→＋A 1F →＝12B 1B →－A 1B →＋12A 1D 1→＝12(B 1B →＋BC →)－A 1B →＝12B 1C →－A 1B →.由向量共面的充要条件知，A 1B →，B 1C →，EF →是共面向量．。
空间向量与立体几何教案
空间向量与立体几何教案教案：空间向量与立体几何一、教学目标：1.知识与能力目标：掌握空间向量的基本概念和运算法则，并能够运用空间向量解决立体几何问题。
2.过程与方法目标：培养学生的观察能力和逻辑思维能力，通过实例分析和综合运用，激发学生对数学的兴趣和学习积极性。
3.情感态度目标：培养学生的合作学习精神，增强学生对数学的自信心和探究精神。
二、教学重点难点：1.教学重点：空间向量的概念、性质及运算法则。
2.教学难点：如何灵活应用空间向量解决立体几何问题。
三、教学方法：1.教师讲授与学生合作探究相结合的方法。
2.案例分析和综合运用的方法。
四、教学过程：第一节空间向量的概念和性质（40分钟）1.通过引入空间向量的概念，让学生了解空间向量的定义，并掌握向量的表示方法。
2.解释向量的性质，如向量的加法、数乘、共线和共面性质。
3.设计一些简单的例题进行讲解，引导学生掌握和理解空间向量的性质。
第二节空间向量的运算法则（40分钟）1.通过实例引导，让学生掌握向量的加法、减法、数量积和向量积的运算法则。
2.类比二维向量，在立体几何实例中引入空间向量运算，帮助学生理解和应用空间向量运算。
第三节空间向量在立体几何中的应用（40分钟）1.通过立体几何实例，引导学生运用空间向量解决立体几何问题。
2.给学生创设情境，让学生在小组合作的形式下，互相讨论和解决立体几何问题。
3.设计不同难度的立体几何问题，让学生进行综合运用，提高解决问题的能力。
第四节拓展课程与归纳总结（40分钟）1.设计拓展课程，引导学生发现和探究空间向量在其他学科中的应用，如物理、工程等领域。
2.巩固和总结空间向量的知识点，通过小测验和思维导图等方式，让学生检验和反思自己的学习效果。
五、教学资源准备：1.多媒体教学设备和教学课件。
2.各类立体几何教具和实物模型。
3.教科书及参考资料。
六、教学评价与反思：1.课堂提问与讨论，根据学生的回答和互动评价学生的理解和能力。
2021年高中数学导学案第3章 空间向量与立体几何 §3
则
n·AB n·AC
= =
3 2 1x 2
x+ 1 2
+3 2
z = 0,
， y = 0,
∴y＝－ 33x，z＝－ 3x，可取 n＝(－ 3，1,3)，
DC n
代入 d＝
n
，得
d＝
23＋
3 2＝
13
1339，
即点
D
到平面
ABC
的距离是
为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系如图．
则由方法一知 DE＝FB＝152，
EF＝75，∴D0，0，152，B152，57，0， ∴ BD ＝152，57，－152，
| BD |＝
1522＋752＋－1522＝
337 5.
【反思感悟】 求两点间的距离或某线段的长度的方法：
(1)把此线段用向量表示，然后用|a|2＝a·a 通过向量运算去求|a|.(2)建立空间
∴DE⊥面 ABC，
∴
DE⊥BF,
→ DE
⊥F→B,
| DB |2＝D→E2＋B→1E2＋F→B2＝12454＋4295＋12454＝32357，
∴| DB |＝
337 5.
故 B、D 间距离是
337 5.
1
方法二
同方法一．过 E 作 FB 的平行线 EP，以 E 为坐标原点，以 EP，EC，ED 所在直线分别
坐标系，利用空间两点间的距离公式 d＝ (x1－x2)2＋(y1－y2)2＋(z1－z2)2求解．
如图所示，正方形 ABCD，ABEF 的边长都是 1，而且平面 ABCD⊥平面 ABEF，点 M 在 AC 上移动，点 N 在 BF 上移动，若 CM＝BN＝a(0＜a＜ 2)．
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中学数学资源网 高二数学◆选修2-1◆导学案 网址：§3.1.1空间向量及其运算1. 理解空间向量的概念，掌握其表示方法；2. 会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；3. 能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．8486 复习1：平面向量基本概念：具有 和 的量叫向量， 叫向量的模（或长度）； 叫零向量，记着 ； 叫单位向量.叫相反向量， a的相反向量记着 . 叫相等向量. 向量的表示方法有 ， ， 和 共三种方法. 复习2：平面向量有加减以及数乘向量运算： 1. 向量的加法和减法的运算法则有法则 和 法则.2. 实数与向量的积： 实数λ与向量a 的积是一个 量，记作 ，其长度和方向规定如下： (1)|λa |＝ . (2)当λ＞0时，λa 与A. ；当λ＜0时，λa 与A. ； 当λ＝0时，λa ＝ . 3. 向量加法和数乘向量，以下运算律成立吗？ 加法交换律：a ＋b ＝b ＋a 加法结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋（b ＋c ） 数乘分配律：λ(a ＋b )＝λa ＋λb二、新课导学※ 学习探究 探究任务一：空间向量的相关概念 问题： 什么叫空间向量？空间向量中有零向量，单位向量，相等向量吗？空间向量如何表示？新知：空间向量的加法和减法运算：空间任意两个向量都可以平移到同一平面内，变为两个平面向量的加法和减法运算，例如右图中，OB =， AB = ，试试：1. 分别用平行四边形法则和三角形法则求,.a b a b +-a .b2. 点C 在线段AB 上，且52AC CB =,则 AC = AB , BC = AB . 反思：空间向量加法与数乘向量有如下运算律吗？ ⑴加法交换律：A. + B. = B. + a ； ⑵加法结合律：(A. + b ) + C. =A. + (B. + c )； ⑶数乘分配律：λ(A. + b ) =λA. +λb ．※ 典型例题例 1 已知平行六面体''''ABCD A B C D -（如图），化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量： AB BC +⑴； 'AB AD AA ++⑵；1'2AB AD CC ++⑶ 1(')2AB AD AA ++⑷．变式：在上图中，用',,AB AD AA 表示'',AC BD 和'DB.小结：空间向量加法的运算要注意：首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量． 例2 化简下列各式：2中学数学资源网 高二数学◆选修2-1◆导学案 网址：§3.1.2 空间向量的数乘运算（一）1. 掌握空间向量的数乘运算律，能进行简单的代数式化简；2. 理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论；3. 能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．8687 复习1：化简：⑴ 5（32a b - ）+4（23b a -）；⑵ ()()63a b c a b c -+--+- .复习2：在平面上，什么叫做两个向量平行？在平面上有两个向量,a b ， 若b 是非零向量，则a与b平行的充要条件是二、新课导学※ 学习探究探究任务一：空间向量的共线问题：空间任意两个向量有几种位置关系？如何判定它们的位置关系？新知：空间向量的共线：1. 如果表示空间向量的 所在的直线互相 或 ，则这些向量叫共线向量，也叫平行向量.2. 空间向量共线：定理：对空间任意两个向量,a b （0b ≠ ）， //a b的充要条件是存在唯一实数λ，使得推论：如图，l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量的直线，对空间的任意一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是试试：已知5,28,AB a b BC a b =+=-+()3CD a b =-，求证: A,B,C 三点共线.反思：充分理解两个向量,a b共线向量的充要条件中的0b ≠，注意零向量与任何向量共线.※ 典型例题例 1 已知直线AB ，点O 是直线AB 外一点，若OP xOA yOB =+，且x +y ＝1，试判断A,B,P 三点是否共线？变式：已知A,B,P 三点共线，点O 是直线AB 外一点，若12OP OA tOB =+，那么t ＝例2 已知平行六面体''''ABCD A B C D -，点M 是棱AA '的中点，点G 在对角线A 'C 上，且CG:GA '=2:1,设CD =a ，',CB b CC c ==，试用向量,,a b c 表示向量',,,CA CA CM CG .变式1：已知长方体''''ABCD A B C D -，M 是对角线AC '中点，化简下列表达式：⑴ 'AA CB - ;⑵ '''''AB B C C D ++⑶ '111222AD AB A A +-4中学数学资源网 高二数学◆选修2-1◆导学案 网址：试试：若空间任意一点O 和不共线的三点A,B,C 满足关系式111236OP OA OB OC =++,则点P 与 A,B,C共面吗？反思：若空间任意一点O 和不共线的三点A,B,C 满足关系式OP xOA yOB zOC =++,且点P 与 A,B,C 共面，则x y z ++= .※ 典型例题例1 下列等式中，使M ,A ,B ,C 四点共面的个数是（ ）①;OM OA OB OC =--②111;532OM OA OB OC =++③0;MA MB MC ++= ④0OM OA OB OC +++= .A. 1B. 2C. 3D. 4变式：已知A,B,C 三点不共线，O 为平面ABC 外一点，若向量()17,53OP OA OB OC R λλ=++∈则P ,A,B,C 四点共面的条件是λ=例2 如图，已知平行四边形ABCD,过平面AC 外一点O 作射线OA,OB,OC,OD,在四条射线上分别取点E,,F ,G ,H,并且使,OE OF OG OHk OA OB OC OD ====求证：E,F ,G ,H 四点共面.2008年下学期◆高二 月 日 班级： 姓名： 第三章 空间向量与立体几何6变式：已知空间四边形ABCD 的四个顶点A,B,C,D 不共面，E,F ,G ,H 分别是AB,BC,CD,AD 的中点，求证：E,F ,G ,H 四点共面.小结：空间向量的化简与平面向量的化简一样，加法注意向量的首尾相接，减法注意向量要共起点，并且要注意向量的方向.※ 动手试试练1. 已知,,A B C 三点不共线，对平面外任一点，满足条件122555OP OA OB OC =++，试判断：点P 与,,A B C 是否一定共面？练 2. 已知32,(1)8a m n b x m n =-=++ ，0a ≠，若//a b，求实数.x三、总结提升 ※ 学习小结1. 空间向量的数乘运算法则及它们的运算律；2. 空间两个向量共线的充要条件及推论.※ 知识拓展平面向量仅限于研究平面图形在它所在的平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移，它们的共同点都是指“将图形上所有点沿相同的方向移动相.※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，向量1D A、1D C 、11AC是（ ） A. 有相同起点的向量 B ．等长向量 C ．共面向量 D ．不共面向量.2. 正方体''''ABCD A B C D -中，点E 是上底面''''A B C D 的中心，若''BB xAD yAB zAA =++, 则x ＝ ，y ＝ ，z ＝ .3. 若点P 是线段AB 的中点，点O 在直线AB 外，则OP OA + OB .4. 平行六面体''''ABCD A B C D -, O 为A 1C 与B 1D的交点,则'1()3AB AD AA ++=AO .5. 在下列命题中：①若a 、b 共线，则a 、b 所在的直线平行；②若a 、b 所在的直线是异面直线，则a 、b 一定不共面；③若a 、b 、c 三向量两两共面，则a 、b 、c 三向量一定也共面；④已知三向量a 、b 、c ，则空间任意一个向量p 总可以唯一表示为p ＝x a ＋y b ＋z c ．其中正确命题的个数为 （ ）. A ．0 B.1 C. 2D. 31. 若324,(1)82a m n p b x m n yp =--=+++ ，0a ≠ ，若//a b，求实数,x y .2.已知两个非零向量21,e e 不共线,12,AB e e =+121228,33AC e e AD e e =+=-. 求证：,,,A B C D 共面．A B C D F E G H中学数学资源网 高二数学◆选修2-1◆导学案 网址：§3.1.3．空间向量的数量积（1）1. 掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法；2.题． 9092复习1：什么是平面向量a 与b 的数量积？复习2：在边长为1的正三角形⊿ABC 中，求AB BC ∙二、新课导学※ 学习探究探究任务一：空间向量的数量积定义和性质问题夹角和空间线段的长度问题？新知：1) 两个向量的夹角的定义：已知两非零向量,a b在空间 一点O ，作,OA a OB b ==，则AOB ∠做向量a与b 的夹角，记作 .试试：⑴ 范围: ,a b ≤<>≤,a b 〈〉 =0时,a b 与 ;,a b 〈〉 =π时,a b 与⑵ ,,a b b a <>=<>成立吗？⑶,a b <>=，则称a 与b 互相垂直，记作 .2) 向量的数量积：已知向量,a b ，则 叫做,a b作a b ⋅ ，即a b ⋅=.规定:零向量与任意向量的数量积等于零.反思：⑴ 两个向量的数量积是数量还是向量？ ⑵ 0a ∙= （选0还是0 ）⑶ 你能说出a b ⋅的几何意义吗？3) 空间向量数量积的性质：（1）设单位向量e ，则||cos ,a e a a e ⋅=<>．（2）a b a b ⊥⇔⋅=．（3）a a ⋅=＝ .4) 空间向量数量积运算律：（1）()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅．（2）a b b a ⋅=⋅（交换律）．（3）()a b c a b a c ⋅+=⋅+⋅（分配律反思：⑴ )()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅（吗？举例说明.⑵ 若a b a c ⋅=⋅ ，则b c =吗？举例说明.⑶ 若0a b ⋅= ，则00a b ==或吗？为什么？※ 典型例题例1 用向量方法证明：在平面上的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.变式1：用向量方法证明：已知：,m n 是平面α内的两条相交直线，直线l 与平面α的交点为B ，且,l m l n ⊥⊥. 求证：l α⊥．例 2如图，在空间四边形ABCD 中，2AB =，3BC =，BD =，3CD =，30ABD ∠= ，60ABC ∠= ，求AB 与CD 的夹角的余弦值2008年下学期◆高二 月 日 班级： 姓名： 第三章 空间向量与立体几何8变式：如图，在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，若AB =2BB 1,则AB 1与C 1B 所成的角为（ ）A. 60°B. 90°C. 105°D. 75°例3 如图，在平行四边形ABCD-A 1B 1C 1D 1中，4,3AB AD ==,'5AA =,90BAD ∠=︒,'BAA ∠= 'DAA ∠=60°,求'AC 的长.※ 动手试试练1. 已知向量,a b满足1a = ，2b = ，3a b += ，则a b -=____.练 2. 222,,22a b a b ==⋅=- 已知, 则a b 与的夹角大小为_____.三、总结提升※ 学习小结1..向量的数量积的定义和几何意义.2. 向量的数量积的性质和运算律的运用.※ 知识拓展向量给出了一种解决立体几何中证明垂直问题，求两条直线的夹角和线段长度的新方法.学习评价※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 下列命题中：①若0a b ∙= ，则a ，b 中至少一个为0②若a 0≠ 且a b a c ∙=∙ ，则b c =③()()a b c a b c ∙∙=∙∙④22(32)(32)94a b a b a b +∙-=-正确有个数为（ ）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个2. 已知1e 和2e 是两个单位向量，夹角为3π，则下面向量中与212e e -垂直的是（ ）A. 12e e +B. 12e e -C. 1eD. 2e 3.已知ABC ∆中，,,A B C ∠∠∠所对的边为,,a b c ，且3,1a b ==,30C ∠=︒,则BC CA ∙=4. 已知4a = ，2b =，且a 和b 不共线，当 a b λ+ 与a b λ-的夹角是锐角时，λ的取值范围是 .5. 已知向量,a b满足4a = ，2b = ，3a b -= ，则a b +=____课后作业：1. 已知空间四边形ABCD 中，AB CD ⊥，AC BD ⊥，求证：AD BC ⊥.2. 已知线段AB 、BD 在平面α内,BD ⊥AB , 线段AC α⊥,如果AB ＝a ,BD ＝b ,AC ＝c ,求C 、D 间的距离.D A B C中学数学资源网 高二数学◆选修2-1◆导学案 网址：§3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示1. 掌握空间向量的正交分解及空间向量基本定理和坐标表示；2. 掌握空间向量的坐标运算的规律；92-96复习1：平面向量基本定理：对平面上的任意一个向量P ，,a b 是平面上两个 向量，总是存在 实数对(),x y ，使得向量P可以用,a b 来表示，表达式为 ，其中,a b叫做 . 若a b ⊥，则称向量P 正交分解.复习2：平面向量的坐标表示：平面直角坐标系中，分别取x 轴和y 轴上的 向量,i j作为基底，对平面上任意向量a ，有且只有一对实数x ，y ，使得a xi y j =+，，则称有序对(),x y 为向量a 的 ，即a＝ .二、新课导学※ 学习探究 探究任务一：空间向量的正交分解 问题：对空间的任意向量a，能否用空间的几个向量唯一表示？如果能，那需要几个向量？这几个向量有何位置关系？ 新知： ⑴ 空间向量的正交分解：空间的任意向量a ，均可分解为不共面的三个向量11a λ 、22a λ 、33a λ，使112233a a a a λλλ=++ . 如果123,,a a a两两 ，这种分解就是空间向量的正交分解.(2)空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c， 对空间任一向量p ，存在有序实数组{,,}x y z ，使得p xa yb zc =++. 把 的一个基底，,,a b c 都叫做基向量.反思：空间任意一个向量的基底有 个.⑶单位正交分解：如果空间一个基底的三个基向量互相 ，长度都为 ，则这个基底叫做单位正交基底，通常用｛i ,j ,k ｝表示.⑷空间向量的坐标表示：给定一个空间直角坐标系O -xyz 和向量a ，且设i 、j 、k 为 x 轴、y 轴、z 轴正方向的单位向量，则存在有序实数组{,,}x y z ，使得a xi y j zk =++，则称有序实数组{,,}x y z 为向量a的坐标，记着p =.⑸设A 111(,,)x y z ，B 222(,,)x y z ，则AB＝ .⑹向量的直角坐标运算：设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ，则⑴a ＋b ＝112233(,,)a b a b a b +++；⑵a －b ＝112233(,,)a b a b a b ---； ⑶λa ＝123(,,)a a a λλλ()R λ∈；⑷a ·b ＝112233a b a b a b ++.试试： 1. 设23a i j k =-+ ，则向量a 的坐标为 . 2. 若A (1,0,2)，B (3,1,1)-，则AB ＝ .3. 已知a ＝(2,3,5)-，b ＝(3,1,4)--，求a ＋b ，a －b ，8a ，a ·b※ 典型例题 例1 已知向量,,a b c 是空间的一个基底，从向量,,a b c 中选哪一个向量，一定可以与向量,p a b =+q a b =-构成空间的另一个基底？变式：已知O,A,B,C 为空间四点，且向量,,OA OB OC 不构成空间的一个基底，那么点O,A,B,C 是否共面？小结：判定空间三个向量是否构成空间的一个基底的方法是：这三个向量一定不共面.10中学数学资源网高二数学◆选修2-1◆导学案网址：12中学数学资源网 高二数学◆选修2-1◆导学案 网址：相 ，长度都为 ，则这个基底叫做单位正交基底，通常用｛i ,j ,k ｝表示.9.空间向量的坐标表示：给定一个空间直角坐标系O -xyz 和向量a ，且设i 、j 、k 为 x 轴、y 轴、z 轴正方向的单位向量，则存在有序实数组{,,}x y z ，使得a xi y j zk =++ ，则称有序实数组{,,}x y z 为向量a的坐标，记着p =. 10. 设A 111(,,)x y z ，B 222(,,)x y z ，则AB＝ .11. 向量的直角坐标运算：设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ，则⑴a ＋b ＝ ； ⑵a －b ＝ ；⑶λa ＝ ； ⑷a ·b ＝ ※ 动手试试1．在下列命题中：①若a 、b 共线，则a 、b 所在的直线平行；②若a 、b 所在的直线是异面直线，则a 、b 一定不共面；③若a 、b 、c 三向量两两共面，则a 、b 、c 三向量一定也共面；④已知三向量a 、b 、c ，则空间任意一个向量p 总可以唯一表示为p ＝x a＋y b ＋z c ．其中正确命题的个数为（ ） A ．0 B. 1 C. 2 D. 32．在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，向量1D A、1D C 、11AC 是（ ） A ．有相同起点的向量 B ．等长向量 C ．共面向量 D ．不共面向量 3．已知a ＝（2，－1，3），b ＝（－1，4，－2），c ＝（7，5，λ），若a 、b 、c 三向量共面，则实数λ=（ ） A. 627 B. 637 C. 647 D. 6574．若a 、b 均为非零向量，则||||⋅=a b a b 是a 与b 共线的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件 5．已知△ABC 的三个顶点为A （3，3，2），B （4，－3，7），C （0，5，1），则BC 边上的中线长为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．56. 32,2,a i j k b i j k =+-=-+ 则53a b ∙= （ ）A ．－15B ．－5C ．－3D ．－1 ※ 典型例题2008年下学期◆高二 月 日 班级： 姓名： 第三章 空间向量与立体几何14例1 如图，空间四边形OABC 中，,OA a OB b == ， OC c = ，点M 在OA 上，且OM =2MA ,点N 为BC 的中点，则MN =.变式：如图，平行六面体''''ABCD A B C D -中，,AB a AD b ==，'AA c = ,点,,P M N 分别是'''',,CA CD C D 的中点，点Q 在'CA 上，且'41CQ QA =,用基底,,a b c表示下列向量：⑴ AP ; ⑵ AM ; ⑶ AN ; ⑷ AQ .例2 如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，190,1,2,6ABC CB CA ∠=︒==,点M 是1CC 的中点，求证：1AM BA ⊥.变式：正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的侧棱长为2，底面边长为1，点M 是BC 的中点，在直线1CC 上求一点N ，使得1MN AB ⊥※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1．直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若CA = a ，CB =b ，1CC = c ， 则1A B =（ ） A. +-a b c B. -+a b c C. -++a b c D.-+-a b c 2.,,m a m b ⊥⊥ (,n a b R λμλμλ=+∈向量且、0)μ≠则（ ）A ．//m nB ． m 与n不平行也不垂直C. m n ⊥， D ．以上情况都可能.3. 已知a +b +c ＝0 ，|a |＝2，|b |＝3，|c|则向量a 与b之间的夹角,a b <> 为（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．以上都不对4.已知()()1,1,0,1,0,2,a b==-且ka b + 与2a b - 互相垂直，则k 的值是（ ）A. .1B. 15C. 35D. 755. 若A (m ＋1，n －1,3)， B. (2m ,n ,m －2n )，C (m ＋3,n －3,9)三点共线，则m +n =如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点,,E F G 分别是11,,DD BD BB 的中点. ⑴ 求证：EF CF ⊥；⑵ 求EF 与CG 所成角的余弦； ⑶ 求CE 的长.§3.2立体几何中的向量方法（1）中学数学资源网 高二数学◆选修2-1◆导学案 网址：1. 掌握直线的方向向量及平面的法向量的概念;2. 掌握利用直线的方向向量及平面的法向量解决平行、垂直、夹角等立体几何问题．102104，找出疑惑之处）复习1： 可以确定一条直线；确定一个平面的方法有哪些？复习2：如何判定空间A ,B ,C 三点在一条直线上？复习3：设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ，a ·b ＝二、新课导学※ 学习探究探究任务一： 向量表示空间的点、直线、平面 问题：怎样用向量来表示点、直线、平面在空间中的位置？新知：⑴ 点：在空间中，我们取一定点O 作为基点，那么空间中任意一点P 的位置就可以用向量OP来表示，我们把向量OP称为点P 的位置向量. ⑵ 直线：① 直线的方向向量：和这条直线平行或共线的非零向量.② 对于直线l 上的任一点P ,存在实数t ，使得AP t AB =，此方程称为直线的向量参数方程. ⑶ 平面：① 空间中平面α的位置可以由α内两个不共线向量确定.对于平面α上的任一点P ,,a b是平面α内两个不共线向量，则存在有序实数对(,)x y ,使得OP x a y b =+ .② 空间中平面α的位置还可以用垂直于平面的直线的方向向量表示空间中平面的位置.⑷ 平面的法向量：如果表示向量n的有向线段所在直线垂直于平面α，则称这个向量n垂直于平面α,记作n ⊥α，那 么向量n叫做平面α的法向量.试试： .1.如果,a b 都是平面α的法向量，则,a b的关系 .2.向量n是平面α的法向量，向量a 是与平面α平行或在平面内，则n 与a的关系是 .反思：1. 一个平面的法向量是唯一的吗？2. 平面的法向量可以是零向量吗？⑸ 向量表示平行、垂直关系：设直线,l m 的方向向量分别为,a b，平面,αβ 的法向量分别为,u v，则① l ∥m ⇔a ∥b a kb ⇔=② l ∥α⇔a u ⊥ 0a u ⇔⋅=③ α∥β⇔u ∥v .u kv ⇔=※ 典型例题例1 已知两点()()1,2,3,2,1,3A B --,求直线AB与坐标平面YOZ 的交点.变式：已知三点()()1,2,3,2,1,2,A B ()1,1,2P ,点Q 在OP 上运动（O 为坐标原点）,求当QA QB ∙取得最小值时,点Q 的坐标.小结：解决有关三点共线问题直接利用直线的参数方程即可.例2 用向量方法证明两个平面平行的判定定理：一16中学数学资源网 高二数学◆选修2-1◆导学案 网址：§3.2立体几何中的向量方法（2）1. 掌握利用向量运算解几何题的方法，并能解简单的立体几何问题；2. 掌握向量运算在几何中求两点间距离和求空间图形中的角度的计算方法.105107，找出疑惑之处.复习1：已知1a b ∙= ，1,2a b ==，且2m a b =+ ，求m .复习2：什么叫二面角？二面角的大小如何度量？二面角的范围是什么？二、新课导学※学习探究探究任务一：用向量求空间线段的长度 问题：如何用向量方法求空间线段的长度？新知：用空间向量表示空间线段，然后利用公式a = 求出线段长度.试试：在长方体''''A B C DA B C D -中，已知'1,2,1AB BC CC ===,求'AC 的长.反思：用向量方法求线段的长度，关键在于把未知量用已知条件中的向量表示.※ 典型例题例1 如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点A 为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系？变式1：上题中平行六面体的对角线1BD 的长与棱长有什么关系？变式2：如果一个平行六面体的各条棱长都相等，并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于α, 那么由这个平行六面体的对角线的长可以确定棱长吗?探究任务二：用向量求空间图形中的角度例2 如图，甲站在水库底面上的点A 处，乙站在水坝斜面上的点B 处.从A ，B 到直线l （库底与水坝的交线）的距离,AC BD 分别为,a b ，CD 的长为c ，AB 的长为d .求库底与水坝所成二面角的余弦值.变式：如图，60︒的二面角的棱上有,A B 两点，直线,ACBD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于,AB已知4,6,8AB AC BD ===,求CD 的长.18中学数学资源网 高二数学◆选修2-1◆导学案 网址：§3.2立体几何中的向量方法（3）1. 进一步熟练求平面法向量的方法；2. 掌握向量运算在几何中如何求点到平面的距离和两异面直线间距离的计算方法；3. 熟练掌握向量方法在实际问题中的作用.(),0,1,1,B ()1,1,2C ，试求平面ABC 的一个法向量.复习2：什么是点到平面的距离？什么是两个平面间距离？二、新课导学※ 学习探究探究任务一：点到平面的距离的求法问题：如图A ,α∈空间一点P 到平面α的距离为d ,已知平面α的一个法向量为n,且AP 与n 不共线,能否用AP 与n表示d ?分析:过P 作PO ⊥α于O连结OA,则d =|PO |=||cos .PA APO ⋅∠∵PO ⊥α,,n α⊥∴PO ∥n . ∴cos ∠APO=|cos ,PA n 〈〉| ∴D. =|PA ||cos ,PA n 〈〉 |=|||||cos ,|||PA n PA n n ⋅⋅〈〉 =||||PA n n ⋅新知：用向量求点到平面的距离的方法：设A ,α∈空间一点P 到平面α的距离为d ,平面α的一个法向量为n，则 D. = ||||PA n n ∙试试：在棱长为1的正方体''''ABCD A B C D -中， 求点'C 到平面''A BCD 的距离.反思：当点到平面的距离不能直接求出的情况下，可以利用法向量的方法求解.※ 典型例题例1 已知正方形ABCD 的边长为4，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，GC ⊥平面ABCD ，且GC ＝2，求点B 到平面EFG 的距离.变式：如图,ABCD 是矩形,PD ⊥平面A B C D ,PD DC a ==,AD ,M N 、分别是AD PB 、的中点,求点A 到平面MNC 的距离.小结：求点到平面的距离的步骤： ⑴ 建立空间直角坐标系，写出平面内两个不共线向量的坐标；⑵ 求平面的一个法向量的坐标；⑶ 找出平面外的点与平面内任意一点连接向量的坐标；⑷ 代入公式求出距离.AP DCB MN2008年下学期◆高二 月 日 班级： 姓名： 第三章 空间向量与立体几何20探究任务二：两条异面直线间的距离的求法 例2 如图，两条异面直线,a b 所成的角为θ，在直线,a b 上分别取点',A E 和,A F ,使得'AA a ⊥,且 'AA b ⊥.已知',,A E m AF n EF l ===，求公垂线'AA 的长.变式：已知直三棱柱111ABC A B C ─的侧棱14AA =,底面ABC △中, 2AC BC ==，且90BCA ∠=,E 是AB 的中点,求异面直线CE 与1AB 的距离.小结：用向量方法求两条异面直线间的距离，可以先找到它们的公垂线方向的一个向量n，再在两条直线上分别取一点,A B ，则两条异面直线间距离n ABd n∙= 求解.三、总结提升※ 学习小结1.空间点到直线的距离公式2.两条异面直线间的距离公式※ 知识拓展用向量法求距离的方法是立体几何中常用的方法.※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 在棱长为1的正方体''''ABCD A B C D -中，平面''ABB A 的一个法向量为 ；2. 在棱长为1的正方体''''ABCD A B C D -中，异面直线'A B 和'CB 所成角是 ；3. 在棱长为1的正方体''''ABCD A B C D -中，两个平行平面间的距离是 ；4. 在棱长为1的正方体''''ABCD A B C D -中，异面直线'A B 和'CB 间的距离是 ；5. 在棱长为1的正方体''''ABCD A B C D -中，点O 是底面''''A B C D 中心，则点O 到平面''A CDB 的距离是 .1. 如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点M 是棱1AA 中点，点O 是1BD 中点，求证：OM 是异面直线1AA 与1BD 的公垂线，并求OM 的长.2. 如图，空间四边形OABC 各边以及,AC BO 的长都是1，点,D E 分别是边,OA BC 的中点，连结DE . ⑴ 计算DE 的长；⑵ 求点O 到平面ABC 的距离.中学数学资源网 高二数学◆选修2-1◆导学案 网址：§第三章 空间向量（复习）1. 掌握空间向量的运算及其坐标运算；2. 立体几何问题的解决──熟练掌握向量是很好的工具.115－116复习1：如图，空间四边形O A B C 中，,,OA a OB b OC c ===.点M 在OA 上，且OM=2MA , N 为BC 中点，则MN =复习2：平行六面体''''ABCD A B C D -中，AB a =',AD b AA c ==，点P,M,N 分别是'''',,CA CD C D 的中点，点Q 在'CA 上，且':4:1CQ QA =,用基底 {},,a b c表示下列向量： ⑴ AP ; ⑵ AM ; ⑶ AN ; ⑷ AQ .※主要知识点：1. 空间向量的运算及其坐标运算：空间向量是平面向量的推广, 有关运算方法几乎一样,只是“二维的”变成 “三维的”了.2. 立体几何问题的解决──向量是很好的工具①平行与垂直的判断 ②角与距离的计算※ 典型例题例 1 如图,一块均匀的正三角形面的钢板的质量为500kg ，在它的顶点处分别受力1F 、2F 、3F，每个力与同它相邻的三角形的两边之间的夹角都是60 ，且123200F F F kg ===.这块钢板在这些力的作用下将会怎样运动？这三个力最小为多大时，才能提起这块钢板？变式：上题中，若不建立坐标系，如何解决这个问题？小结：在现实生活中的问题，我们可以转化我数学中向量的问题来解决，具体方法有坐标法和直接向量运算法，对能建立坐标系的题，尽量使用坐标计算会给计算带来方便.例2 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，190,1,2,6A B C C B C A ∠=︒==点M 是1CC 的中点，求证：1AM BA ⊥.变式：正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为1，棱长为2，点M 是BC 的中点，在直线1CC 上求一点N ，使MN AB ⊥.2008年下学期◆高二 月 日 班级： 姓名： 第三章 空间向量与立体几何22※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1.已知()()1,1,0,1,0a b ==-，且()(k a b a b+⊥-，则k ＝ ； 2. 已知()()1,21,0,2,,a t t b t t =--= ，则b a -的最小值是（ ）A. B.C. D. 3.空间两个单位向量()(),,0,0,,OA m n OB n p == 与()1,1,1OC = 的夹角都等于4π，则cos AOB ∠=4.将正方形ABCD 沿对角线AC 折成直二面角后，异面直线,AB CD 所成角的余弦值为 .5. 正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，11AM AC =,N 是1BB 的中点，则MN ＝（ ）A.B. C. D. 1. 如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点,,E F G 分别为11,,DD BD BB 的中点. ⑴ 求证：EF CF ⊥;⑵ 求EF 与CG 所成角的余弦值； ⑶ 求CE 的长.12。