高中数学必修二圆的标准方程-课件
高中数学必修二课件：圆的一般方程(42张PPT)
此方程表示以(1，－2)为圆心，2为半径长的圆．
问题2：方程x2＋y2＋2x－2y＋2＝0表示什么图形？
提示：对方程x2＋y2＋2x－2y＋2＝0配方得
(x＋1)2＋(y－1)2＝0，即x＝－1且y＝1. 此方程表示一个点(－1,1)． 问题3：方程x2＋y2－2x－4y＋6＝0表示什么图形？ 提示：对方程x2＋y2－2x－4y＋6＝0配方得 (x－1)2＋(y－2)2＝－1. 由于不存在点的坐标(x，y)满足这个方程，所以这 个方程不表示任何图形．
3．若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求 (1)实数m的取值范围； (2)圆心坐标和半径．
解：(1)根据题意知D2＋E2－4F＝(2m)2＋(－2)2－ 1 4(m ＋5m)>0，即4m ＋4－4m －20m>0，解得m<5，
2 2 2
1 故m的取值范围为(－∞，5)．
(2)将方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0写成标准 方程为(x＋m)2＋(y－1)2＝1－5m， 故圆心坐标为(－m,1)，半径r＝ 1－5m.
第 二 章 解 析 几 何 初 步
§2 圆 与 圆 的 方 程
2.2
圆 的 一 般 方 程
理解教材新知
把 握 热 点 考 向
考点一 考点二 考点三
应用创新演练
把圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2展开得，x2＋y2 －2ax－2by＋a2＋b2－r2＝0，这是一个二元二次方程的形 式，那么，是否一个二元二次方程都表示一个圆呢？ 问题1：方程x2＋y2－2x＋4y＋1＝0表示什么图形？ 提示：对x2＋y2－2x＋4y＋1＝0配方得 (x－1)2＋(y＋2)2＝4.
1．若x2＋y2－x＋y－m＝0表示一个圆的方程，则m的取值 范围是 1 A．m>－2 1 C．m<－2 1 B．m≥－2 D．m>－2 ( )
人教版高中数学必修2(A版) 4.1.1圆的标准方程 PPT课件
把M2的坐标代入方程左边得: (1-2)2+(1+3)2=17<25
∴点M2不在圆上,而是在圆内.
把M3的坐标代入方程左边得: (6-2)2+(1+3)2=32>25 ∴点M3不在圆上,而是在圆外.
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点M0(x0,y0)在圆(x-a)2+(y-b)2=r2上、内、 外的条件是什么？ (x0-a)2+(y0-b)2=r2 点M0在圆上
(x0-a)2+(y0-b)2<r2
(x0-a)2+(y0-b)2>r2
点M0在圆内
点M0在圆外
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例1:写出圆心为A(2,-3),半径长等于5的圆的方程,并判断点 M1(5,-7),M2(1,1),M3(6,1)是否在这个圆上.如果不在,判断它在 圆内还是在圆外.
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例2:△ABC的三个顶点的坐标分别是A(5,1),B(7,3),C(2,-8),求它的外接圆方程,并求其半径和圆心坐标.
分析：△ABC的外接圆方程
未知量 是什么？
x a y b
2
2
r
2
B
C A
(知道模样，用待定系数法）
a
b
r
方案1： 解三方程 构成方程 组 已知量 是什么？
P0 ( x0 , y0 )
o
x
x 直线l方程y-y0=k(x-x0) （直线上任意一点坐标关系，以点 斜式为基础推导了斜截式、两点式、 截距式方程，最后统一成一般式）
新教材高中数学第2章圆的方程：圆的标准方程pptx课件新人教A版选择性必修第一册
[跟进训练]
1．求满足下列条件的圆的标准方程．
(1)圆心在y轴上，半径长为5，且过点(3，－4)；
[解]
设圆心C(0，b)，则(3－0)2＋(－4－b)2＝52，
整理得(b＋4)2＝16，解得b＝0或b＝－8．
∴圆的标准方程为x2＋y2＝25或x2＋(y＋8)2＝25．
故所求圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5．
[母题探究]
如何求经过A(1，3)，B(4，2)两点，周长最小的圆的标准方程？
[解]
当线段AB为圆的直径时，过点A、B的圆的半径最小，从而周
长最小，
即所求圆以线段AB的中点
1
1
|AB|＝
2
2
5
5
，
2
2
为圆心，
10为半径，故所求圆的标准方程为 −
5 2
知识点2 点与圆的位置关系
圆C：(x－a)2 ＋(y－b)2 ＝r2(r>0)，其圆心为C(a，b)，半径为r，点
P(x0，y0)，设d＝|PC|＝
0 −
2
+ 0 − 2 ．
位置关系
d与r的大小
点P的坐标的特点
点在圆外
d>r
(x0－a)2＋(y0－b)2>r2
______________________
= 5，
(3 − )2 +(4 − )2 = 2
所以外接圆的方程为(x－2)2＋(y－2)2＝5．
法二：(几何法)
易知△ABC是直角三角形，∠B＝90°，所以圆心是斜边AC的中点
(2，2)，半径是斜边长的一半，即r＝ 5，所以外接圆的方程为(x－
高中数学 必修2：4.1 圆的方程
4.1 圆的方程一、圆的标准方程1．圆的标准方程2．圆的标准方程的推导如图，设圆的圆心坐标为(,)C a b ，半径长为r (其中a ,b ,r 都是常数，r >0).设()，M x y 为该圆上任意一点，那么圆心为C 的圆就是集合{}|P M MC r ==.由两点间的距离公式，得圆上任意一点M 的坐标(x ,y )r = ①，①式两边平方，得222()()=x a y b r -+-.3．点与圆的位置关系圆C ：222()(0())x a y b r r -+-=>，其圆心为,()C a b ，半径为r ，点00(,)P x y ，设||d PC ==.二、圆的一般方程1．圆的一般方程的定义当2240D E F +->时，方程220x y Dx Ey F +++=+表示一个圆，这个方程叫做圆的一般方程，其中圆心为，半径r =.2．圆的一般方程的推导把以(,)a b 为圆心，r 为半径的圆的标准方程222()()x a y b r -+-=展开，并整理得22222220x y ax by a b r +--++-=.取2222,2,D a E b F a b r =-=-=+-，得：220x y Dx Ey F +++=+ ①.把①的左边配方，并把常数项移到右边，得22224()()224D E D E F x y +-+++=. 当且仅当时，方程表示圆，且圆心为，半径长为； 当2240D E F +-=时，方程只有实数解,22D E x y =-=-，所以它表示一个点； 当2240D E F +-<时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．3．点与圆的位置关系点00)(,P x y 与圆22220(40)x y Dx Ey F D E F ++=+->++的位置关系是： P 在圆内⇔，P 在圆上⇔， P 在圆外⇔.三、待定系数法求圆的一般方程 求圆的方程常用“待定系数法”，用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是：①根据题意，选择标准方程或一般方程；②根据条件列出关于a b r 、、或D E F 、、的方程组；③解出a b r 、、或D E F 、、，代入标准方程或一般方程．四、轨迹和轨迹方程1．轨迹和轨迹方程的定义平面上一动点M ，按照一定规则运动，形成的曲线叫做动点M 的轨迹.在坐标系中，这个轨迹可用一个方程表示，这个方程就是轨迹方程.2．求轨迹方程的五个步骤①建系：建立适当的坐标系，用(,)x y 表示曲线上任意一点M 的坐标；②设点：写出适合条件P 的点M 的集合){}(|P M p M =；③列式 ：用坐标(,)x y 表示条件()p M ，列出方程(,)0F x y =；④化简：化方程(,)0F x y =为最简形式；⑤査漏、剔假：证明化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点．1．求圆的标准方程求圆的标准方程的常用方法包括几何法和待定系数法．（1）由圆的几何性质易得圆心坐标和半径长时，用几何法可以简化运算．对于几何法，常用到圆的以下几何性质：①圆中任意弦的垂直平分线必过圆心；②圆内的任意两条弦的垂直平分线的交点一定是圆心．（2）由于圆的标准方程中含有三个参数a ，b ，r ，运用待定系数法时，必须具备三个独立的条件才能确定圆的方程．这三个参数反映了圆的几何性质，其中圆心（a ，b ）是圆的定位条件，半径r 是圆的定形条件．【例1】写出下列各圆的标准方程．（1）圆心在原点，半径长为2；（2）圆心是直线10x y +-=与230x y -+=的交点，半径长为14． 【解析】（1）∵圆心在原点，半径长为2，即0,0,2a b r ===，∴圆的标准方程为224x y +=．【例2】过点111,(1())A B --,,且圆心在直线20x y +-=上的圆的方程是（ C ）A ．22()(31)4x y -++=B ．22()(31)4x y ++-=C ．22()(11)4x y -+-=D ．22()(11)4x y +++= 【解析】解法1：设所求圆的标准方程为222()()x a y b r -+-=，由已知条件，知222222(1)(1)(1)(1)20a b r a b r a b ⎧-+--=⎪--+-=⎨⎪+-=⎩，解此方程组，得2114a b r ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，故所求圆的标准方程为22()(11)4x y -+-=．解法2：设点C 为圆心，因为点C 在直线20x y +-=上，所以可设点C 的坐标为(),2a a -． 又因为该圆经过,A B 两点，所以||||.CA CB == 解得1a =．所以2211a -=-=．所以圆心坐标为()1,1C ，半径|2|r CA ==．故所求圆的标准方程为22()(11)4x y --+=．2．会判断点与圆的位置关系点与圆的位置关系的判断方法：（1）几何法：利用圆心到该点的距离d 与圆的半径r 比较；（2）代数法：直接利用下面的不等式判定：①22200()()x a y b r -+->，点在圆外；②22200()()x a y b r -+-=，点在圆上；③22200()()x a y b r -+-<，点在圆内．【例3】 已知点（2，0）和（x -2）2 + （y +1）2 = 3，则点与圆的位置关系是( A ) A ．在圆内 B ．在圆上 C ．在圆外 D ．不确定【解析】由于（2-2）2+（0+1）2<3，故点在圆内．【例4】已知点A （1，2）和圆C ：（x-a ）2+（y+a ）2=2a 2，试求满足下列条件的实数a 的取值范围．（1）点A 在圆C 的内部；（2）点A 在圆C 上 （3）点A 在圆C 的外部．3．圆的方程的判断判断二元二次方程220x y Dx Ey F ++++=是否表示圆的方法：（1）利用圆的一般方程的定义，求出224D E F +-利用其符号判断．（2）将方程配方化为()()22x a y b m -+-=的形式，根据m 的符号判断．【例5】判断下列方程是否表示圆，若是，化成标准方程．（1）x 2+y 2+2x+1=0；（2）x 2+y 2+2ay-1=0；（3）x 2+y 2+20x+121=0；（4）x 2+y 2+2ax =0．【解析】（1）原方程可化为（x+1）2+y 2=0，它表示点（-1，0），不表示圆．（2）原方程可化为x 2+（y+a ）2=a 2+1，它表示圆心为（0，-a ），半径为的圆，标准方程为x 2+（y+a ）2=（）2 ． （3）原方程可化为（x+10）2+y 2=-21<0，故方程不表示任何曲线，故不能表示圆．（4）原方程可化为（x+a ）2+y 2=a 2．①当a =0时，方程表示点（0，0），不表示圆；②当a ≠0时，方程表示以（-a ，0）为圆心，半径为|a|的圆，标准方程为（x+a ）2+y 2=a 2．【例6】 方程x 2+y 2+4mx-2y+5m =0表示圆的条件是( B )A ．14<m <1 B ．m <14或m >1 C ．m <14D ．m >14．用待定系数法求圆的一般方程应用待定系数法求圆的一般方程的步骤如下：【例7】已知圆经过点（4，2）和（-2，-6），且该圆与两坐标轴的四个截距之和为-2，求圆的方程．【解析】设圆的一般方程为22220(40)x y Dx Ey F D E F ++++=+->． 由圆经过点（4，2）和（-2，-6），得4220026400 ① ②D E F D E F +++=⎧⎨+--=⎩， 设圆在x 轴上的截距为x 1，x 2，则x 1，x 2是方程x 2+Dx+F =0的两个根，得x 1+x 2=-D ．设圆在y 轴上的截距为y 1，y 2，则y 1，y 2是方程y 2+Ey+F =0的两个根，得y 1+y 2=-E ．由已知，得-D+（-E ）=-2，即D+E-2=0． ③联立①②③，解得D =-2，E =4，F =-20，故所求圆的方程为x 2+y 2-2x+4y-20=0．【例8】试判断(1,2)A ，(0,1)B ，(76)C -，，(4,3)D 四点是否在同一个圆上．5．与圆有关的轨迹问题求与圆有关的轨迹方程的常用方法：（1）直接法： 能直接根据题目提供的条件列出方程．步骤如下：（2）定义法：当动点的轨迹符合圆的定义时，可直接写出动点的轨迹方程．（3）相关点法：若动点,()P x y 随着圆上的另一动点11(),Q x y 运动而运动，且11,x y 可用,x y 表示，则可将Q 点的坐标代入已知圆的方程，即得动点P 的轨迹方程．【例9】已知点P （x ，y ），A （1，0），B （-1，1），且|PA|=|PB|． （1）求点P 的轨迹方程；（2）判断点P 的轨迹是否为圆，若是，求出圆心坐标及半径；若不是，请说明理由．【例10】已知直角ABC △的斜边为AB ，且1,0,()(,0)3A B -，求：（1）直角顶点C 的轨迹方程；（2）直角边BC 中点M 的轨迹方程．【解析】（1）解法一：设顶点,()C x y ，因为AC BC ⊥，且,,A B C 三点不共线，所以3x ≠且1x ≠-． 又1AC k y x =+， 3BC y k x =-，且·1AC BC k k =-，所以113y y x x ⋅=-+-，化简得22230x y x +--=． 因此，直角顶点C 的轨迹方程为22230(31)x y x x x +--=≠≠-且．解法二：同解法一得3x ≠且1x ≠-．由勾股定理得222||||||AC BC AB +=，即2222131))6((x y x y +++-+=，化简得22230x y x +--=．因此，直角顶点C 的轨迹方程为22230(31)x y x x x +--=≠≠-且．解法三：设AB 中点为D ，由中点坐标公式得()1,0D ，由直角三角形的性质知， 122||||CD AB ==， 由圆的定义知，动点C 的轨迹是以()1,0D 为圆心，以2为半径的圆（由于,,A B C 三点不共线，所以应除去与x 轴的交点）．设,()C x y ，则直角顶点C 的轨迹方程为2214))1((3x y x x -+=≠≠-且．6．忽视圆标准方程的结构致错【例11】求圆()222230()()x y b b ++-≠=的圆心及半径．【错解】由圆的标准方程知圆心为(2,)3-，半径为b ．【错因分析】在圆的标准方程2220()()()x a y b r r -=>-+中，此圆的圆心为(),a b ，半径长为r ．错解中没有准确把握圆的标准方程的结构形式．【正解】由圆的标准方程知圆心为()2,3-，半径为||b ．7．忽视圆的一般方程应满足的条件致错【例12】已知点()0,0O 在圆2222210x y kx ky k k +++-+=+外，求k 的取值范围．【错解】∵点()0,0O 在圆外，∴2210k k ->+，解得1 1.2k k ><-或 ∴k 的取值范围是(),1-∞-1(,)2+∞． 【错因分析】本题忽视了圆的一般方程220x y Dx Ey F +++=+表示圆的条件为2240D E F +->，【正解】∵方程表示圆，∴222()(2420)1k k k k +-+>-，即23440k k -<+，解得22.3k -<<又∵点()0,0O 在圆外，∴2210k k ->+，解得12k >或1k <-．综上所述，k 的取值范围是1()(22,3)12--，．基础训练1．圆心在y 轴上，半径为1，且过点（1，3）的圆的方程为（ A ）A ．x 2+（y –3）2=1B ．x 2+（y +3）2=1C ．（x –3）2+y 2=1D ．（x +3）2+y 2=12．已知圆C ：（x –6）2+（y –8）2=4，O 为坐标原点，则以OC 为直径的圆的方程为（ C ）A ．（x –3）2+（y +4）2=100B ．（x +3）2+（y –4）2=100C．（x–3）2+（y–4）2=25 D．（x+3）2+（y–4）2=253．（x+1）2+（y–1）2=1的圆心在（B ）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4．圆心为点（3，4）且过点（0，0）的圆的方程是（C ）A．x2+y2=25 B．x2+y2=5 C．（x–3）2+（y–4）2=25 D．（x+3）2+（y+4）2=255．以两点A（–3，–1）和B（5，5）为直径端点的圆的方程是（A ）A．（x–1）2+（y–2）2=25 B（x+1）2+（y+2）2=25 C．（x+1）2+（y+2）2=100 D．（x–1）2+（y–2）2=1006．已知圆心在点P（–2，3），并且与y轴相切，则该圆的方程是（B ）A．（x–2）2+（y+3）2=4 B．（x+2）2+（y–3）2=4 C．（x–2）2+（y+3）2=9 D．（x+2）2+（y–3）2=9 7．圆x2+y2–2x+4y=0的圆心坐标为（B ）A．（1，2）B．（1，–2）C．（–1，2）D．（–1，–2）8．已知圆的方程x2+y2+2ax+9=0圆心坐标为（5，0），则它的半径为（D ）A．3 B C．5 D．49．圆x2+y2–4x+2y+4=0的半径和圆心坐标分别为（C ）A．r=1；（–2，1）B．r=2；（–2，1）C．r=1；（2，–1）D．r=2；（2，–1）10．圆x2+y2–2x+2y=0的周长是（A ）A．B．2πC D．4π11．圆心为（1，1）且过原点的圆的方程是（x–1）2+（y–1）2=2_．12．圆（x+1）2+（y–3）2=36的圆心C坐标（–1，3），半径r=___6_____．13．求圆心在直线y=–2x上，并且经过点A（0，1），与直线x+y=1相切的圆的标准方程．14．已知圆经过点A（2，4）、B（3，5）两点，且圆心C在直线2x–y–2=0上．求圆C的方程．∵圆C经过点A（2，4）、B（3，5）两点，∴点C在线段AB的垂直平分线y=–x+7，又∵圆心C在直线2x–y–2=0上，∴联立7220y xx y=-+⎧⎨--=⎩，得C（3，4）．圆C的半径r=|AC|==1，∴圆C的方程是（x–3）2+（y–4）2=1．15．求过三点O（0，0），A（1，1），B（4，2）的圆的方程，并求这个圆的半径和圆心坐标．设圆的方程为：x2+y2+Dx+Ey+F=0，则2042200FD E FD E F=⎧⎪+++=⎨⎪+++=⎩，解得D=–4，E=3，F=0，∴圆的方程为x2+y2–8x+6y=0，化为（x–4）2+（y+3）2=25，可得：圆心是（4，–3）、半径r=5．16．求过三点A（–1，0），B（1，–2），C（1，0）的圆的方程．17．已知方程x2+y2–2x+t2=0表示一个圆．（1）求t的取值范围；（2）求该圆的半径r最大时圆的方程．(1）由圆的一般方程，得4–4t2>0，∴–1<t<1；（2）r=t=0时，r最大为1．∴圆的方程：（x–1）2+y2=1．能力18．如图，在直角坐标系xOy中，坐标轴将边长为4的正方形ABCD分割成四个小正方形，若大圆为正方形ABCD的外接圆，四个小圆分别为四个小正方形的内切圆，则图中某个圆的方程是( B )A．x2+y2–x+2y+1=0 B．x2+y2+2x–2y+1=0 C．x2+y2–2x+y–1=0 D．x2+y2–2x+2y–1=019．若方程a2x2+（a+2）y2+2ax+a=0表示圆，则a的值为( C )A．a=1或a=–2 B．a=2或a=–1 C．a=–1 D．a=220．若方程x2+y2–4x+2y+5k=0表示圆，则实数k的取值范围是( A )A．（–∞，1）B．（–∞，1] C．[1，+∞）D．R21．圆（x–1）2+（y–2）2=1关于直线x–y–2=0对称的圆的方程为( A )A．（x–4）2+（y+1）2=1 B．（x+4）2+（y+1）2=1 C．（x+2）2+（y+4）2=1 D．（x–2）2+（y+1）2=122．由方程x2+y2+x+（m–1）y+12m2=0所确定的圆中，最大面积是( B )A B．34πC．3πD．不存在23．若圆x2+y2–4x+2y+m+6=0与y轴的两交点A，B位于原点的同侧，则实数m的取值范围是( C ) A．m<–1 B．m>–6 C．–6<m<–5 D．m<–524．已知圆的方程为x2+y2–2x+6y+8=0，那么通过圆心的一条直线方程是( C )A．2x–y–1=0 B．2x–y+1=0 C．2x+y+1=0 D．2x+y–1=025．已知三点A（1，3），B（4，2），C（1，–7），则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为( D )A．10 B．C．5 D26．由方程x2+y2–4tx–2ty+5t2–4=0（t为参数）所表示的一组圆的圆心轨迹是( D )A．一个定点B．一个椭圆C．一条抛物线D．一条直线27．已知点A（–3，0），B（–1，–2），若圆（x–2）2+y2=r2（r>0）上恰有两点M，N，使得△MAB和△NAB的面积均为4，则r的取值范围是）．28．已知圆C：（x–3）2+（y–4）2=1和两点A（–m，0），B（m，0）（m>0），若圆C上存在点P使得∠APB=90°，则m的最大值为_____6_____．29．已知函数f（x）=13x2–43x+1的图象与坐标轴的交点均在圆M上，则圆M的标准方程为（x–2）2+（y+1）2=5．30．已知动点A在圆P：x2+y2=1上运动，点Q为定点B（–3，4）与点A距离的中点，则点Q的轨迹方程为x2+y2+3x–4y+6=0_．31．已知点A，B的坐标分别为（–1，0），（1，0）．直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之和是2，则点M的轨迹方程为x2–xy–1=0（x≠±1）．32．如图，直角△OAB中，OA═4，斜边AB上的高为OC，M为OA的中点，过B点且垂直于y轴的直线交直线MC于点N，则点N的轨迹方程为y2=8x，（x≠0）_．33．已知直线l1：mx–y=0，l2：x+my–m–2=0．当m在实数范围内变化时，l1与l2的交点P恒在一个定圆上，则定圆方程是_（x–1）2+（y–12）2=54_．34．已知函数y=x2–4x+3与x轴交于M、N两点，与y轴交于点P，圆心为C的圆恰好经过M、N、P三点．（1）求圆C的方程；（2）若圆C与直线x–y+n=0交于A、B两点，且线段|AB|=4，求n的值．（1）由题意与坐标轴交点为M （3，0），N （1，0），P （0，3），设圆的方程为：（x –a ）2+（y –b ）2=r 2代入点，得222222222(3)(0)(1)(0)(0)(3)a b r a b ra b r ⎧-+-=⎪-+-=⎨⎪-+-=⎩，解得a =2，b =2，r（x –2）2+（y –2）2=5． （2）由题意|AB |=4：设圆心到直线距离为d ，则222()2ABr d =+，即：1d ==，解得n =35．已知线段AB 的端点B 的坐标为（1，3），端点A 在圆C ：（x +1）2+y 2=4上运动，求线段AB 的中点M 的轨迹．36．已知圆C 过A （1，4）、B （3，2）两点，且圆心在直线y =0上．（1）求圆C 的方程；（2）判断点P （2，4）与圆C 的位置关系．（1）∵圆心在直线y =0上，∴设圆心坐标为C （a ，0），则|AC |=|BC |=，即（a –1）2+16=（a –3）2+4，解得a =–1，即圆心为（–1，0），半径r =|AC== 则圆的标准方程为（x +1）2+y 2=20；（2）∵|PC5===>r ，∴点P （2，4）在圆C 外． 37．已知曲线C 的方程：x 2+y 2–4x +2y +5m =0（1）当m 为何值时，此方程表示圆？（2）若m =0，是否存在过点P （0，2）的直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，且|PA |=|AB |，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．1）方程：x 2+y 2–4x +2y +5m =0可化为（x –2）2+（y +1）2=5–5m ∵方程表示圆，∴5–5m >0，即m <1；（2）设A （a ，b ），则B （2a ，2b –2），代入圆的方程，可得a 2+b 2–4a +2b =0，且4a 2+（2b –2）2–8a +2（2b –2）=0，∴a =0，或a =2413，∵直线l 过点P （0，2），∴直线l 的方程为x =0或5x +12y –24=0． 38．求圆x 2+y 2–2x –6y +9=0关于直线2x +y +5=0对称的圆的方程．39．已知圆过点A （–2，4），半径为5，并且以M （–1，3）为中点的弦长为设所求的圆的方程是（x –a ）2+（y –b ）2=25，根据题设知（a +2）2+（b –4）2=25，再由弦长公式得：（a +1）2+（b –3）2+12=25，联立解得21a b =⎧⎨=⎩或10a b =⎧⎨=⎩所以圆的方程为：（x –2）2+（y –1）2=25或（x –1）2+y 2=25． 40．圆（x +1）2+y 2=2的圆心到直线y =x +3的距离为( C )A ．1B ．2CD ．41．圆x 2+y 2–2x –8y +13=0的圆心到直线ax +y –1=0的距离为1，则a =( A )A ．–43B ．–34CD ．242．在平面直角坐标系中，经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆的方程为（x –1）2+y 2=1（或x 2+y 2–2x =0）_________．43．已知a ∈R ，方程a 2x 2+（a +2）y 2+4x +8y +5a =0表示圆，则圆心坐标是（–2，–4），半径是_5_．。
人教版高中数学必修2第四章第1节《圆的一般方程》ppt参考课件1
2019/8/11
最新中小学教学课件
13
谢谢欣赏！
2019/8/11
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14
方程x2+y2+Dx+Ey+F＝0在什么条件下表示圆? 由x2+y2+Dx+Ey＋F＝0 (1)
>(x＋—D2 )2＋(y＋—E2 )2＝—D—2+4—E2—-4F 所以D2+E2-4F>0时,方程(1)表示一个圆. 圆的一般方程:
x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)
圆的标准方程与圆的一般方程各有什么特点? 圆的标准方程: (x-a)2+(y-b)2=r2．
由x2+y2+Dx+Ey＋F＝0 (1)
>(x＋—D2 )2＋(y＋—E2 )2＝—D—2+4—E2—-4F ① D2+E2-4F＞0时，方程(1)表示圆心在
(－—２ Ｄ,－—Ｅ２),半径为 —D2—+的2—E圆2—-4. F ② D2+E2-4F＝0时，方程(1)表示点 (－—２ Ｄ,－—Ｅ２). ③ D2+E2-4F＜0时，方程(1)不表示任何图形.
方程x2+y2-2x+4y+1=0表示什么图形? 配方可得: (x-1)2+(y+2)2=4 方程表示一个以(1，-2)为圆心，半径长为2的圆．
方程x2+y2-2x-4y+6=0表示什么图形?
配方可得: (x-1)2+(y-2)2=-1
方程不表示任何图形．
2-2-1圆的标准方程课件(北师大版必修二)
(3)当圆心是坐标原点时，有 a＝b＝0，那么圆的方程 为
x2＋y2＝r2
.
想一想：圆(x－1)2＋(y－2)2＝a2 的半径为 a 吗？ 提示 由于 a 的正负性不知，故该圆的半径为|a|.
名师点睛 1．点与圆的位置关系 点与圆的位置关系有点在圆内、圆上、圆外三种．其判断方法 是：由两点间的距离公式求出该点到圆心的距离，再与圆的半 径比较大小或利用点与圆的方程来判定． 设点 M(x0，y0)到圆 C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2 的圆心 C 的距离为 d，则 d＝|MC|＝ x0－a2＋y0－b2，
解 设圆心 C(a，b)，半径长为 r，则由 C 为 P1P2 的中点，得 a 3＋5 8＋4 ＝ 2 ＝4，b＝ 2 ＝6，即圆心坐标为 C(4,6)， ∴r＝|CP1|＝ 4－32＋6－82＝ 5. 故所求圆的方程为(x－4)2＋(y－6பைடு நூலகம்2＝5. 分别计算点 M、N、P 到圆心 C 的距离： |CM|＝ 4－52＋6－32＝ 10＞ 5， |CN|＝ 4－32＋6－42＝ 5， |CP|＝ 3－42＋5－62＝ 2＜ 5， 所以点 M 在此圆外，点 N 在此圆上，点 P 在此圆内．
5 的取值范围是－∞，－2，.
题型三 圆的标准方程的应用 【例 3】 (12 分)已知圆心在 x 轴上的圆 C 与 x 轴交于两点 A(1,0)， B(5,0)， (1)求此圆的标准方程； (2)设 P(x，y)为圆 C 上任意一点，求 P(x，y)到直线 x－y＋1＝0 的距 离的最大值和最小值． 审题指导 针对这个类型的题目一般考虑所求式子的几何意义，然后 利用数形结合的方法求出其最值． 根据题意 求出圆心 画直线 【解题流程】 → → 画出图形 和半径 x－y＋1＝0 得到P点到直线 → 的距离的最值
高中数学圆的标准方程(微课)公开课ppt课件
所以所求圆的方程为 (x 2)2 (y 3)2 25.
例2. 已知圆M过两点A(1,-1),B(-1,1)且圆心M在x+y-
2=0上，求圆M的方程.
【解】设圆M的方程为：(x-a)2+(y-b)2=r2(r＞0),
1- a2 + -1- b2 = r2, 根据题意得：-1- a2 + 1- b2 = r2 ,
所以圆心C的坐标是 (3, 2)，
圆心为C的圆的半径长r | AC | (1 3)2 (1 2)2 5.
所以，圆心为C的圆的标准方程是
(x 3)2 ( y 2)2 25.
1.圆心为C(a,b)，半径为r 的圆的标准方程为
(x a)2 ( y b)2 r2.
当圆心在原点时，a=b=0，圆的标准方程为： x2 y2 r2.
根据两点间距离公式： P1P2 x2 x1 2 y2 y1 2 .
则点M、A间的距离为：MA x a2 y b2 .
即：
代入
(x a)2 ( y b)2 r
(x a)2 ( y b)2 r2
化简
回顾
1,求圆的 标准方程的数学思想方法解？析思想
形
平面直角坐标系中
数
2,如何得到圆的标准方程？
a + b - 2 = 0,
解得：a=b=1,r=2, 故所求圆M的方程为：(x-1)2+(y-1)2=4.
例3 已知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,-2)，且
圆心C 在直线l：x-y+1=0上，求圆心为C的圆的标
准方程.
y A(1,1)
O C
x B(2,-2)
l : x y 1 0
解：因为A(1, 1)和B(2,－2)，所以线段AB的中点D
高中数学-圆的标准方程课件
1.求圆的标准方程有两种方法：①直接法：据已知 条件求得圆心和半径，直接写出圆的标准方程.② 待定系数法：设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2， 根据条件列方程组求待定系数a,b,r即得. 2.掌握点与圆的位置关系.
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开始
学点一
学点二
பைடு நூலகம்
1.平面内到 定点的距离等于定长定点定长 的点的集合叫 做圆.就是圆心，就是半径.
2.方程(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)叫做以(a,b)为圆心，r为半径的圆
的 标准方程 .特别地，当圆心为原点O(0,0)时，圆的方程
为 x2+y2=r2
.
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学点一 求圆的标准方程 求满足下列条件的各圆的方程. （1）圆心C（8,-3）且过点P(5,1); （2）圆心在直线5x-3y=8上，圆与坐标轴相切.
(3-1)2+(2-4)2=8,
∴点M在圆内，点N在圆外，点Q在圆上.
【评析】（1）以A（x1,y1）,B(x2,y2)为直径两端点的圆的方 程可表示为(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.仿照例题自己推导. （2）判定P(x0,y0)与（x-a）2+(y-b)2=r2的位置关系时，只需 比较(x0-a)2+(y0-b)2与r2的大小即可.
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若点(a,a)不在圆(x-1)2+(y-1)2=2的内部，求a的取值范围. 解:因为点(a,a)不在圆的内部，所以点(a,a)应在圆上或圆 外，故有(a-1)2+(a-1)2≥2. 解得a≥2或a≤0.
高中数学 4.14.1.2圆的一般方程课件 新人教A版必修2
种形式的方程中的一种；②根据所给条件，列出关于 D， 栏
目
E，F 或 a，b，r 的方程组；③解方程组．求出 D，E，
链 接
F 或 a，b，r 的值，并把它们代入所设的方程中，得到
所求的圆的方程．
第二十七页，共39页。
跟踪 训练
2．(1)已知圆经过 A(2，－3)和 B(－2，－5)，若圆心 在直线 x－2y－3＝0 上，求圆的方程．
第十九页，共39页。
跟踪 训练
1．求出下列各圆的圆心坐标和半径：
(1)x2＋y2－6x＝0；
(2)x2＋y2＋2by＝0(b≠0)；
栏
目
(3)x2＋y2－2ax－2
3y＋3a2＝0－
6 2 <a<
26.
链 接
解析：(1)原方程化为(x－3)2＋y2＝32，因此该圆的圆 心为(3,0)，半径为 3.
第十四页，共39页。
栏 目 链 接
第十五页，共39页。
题型一 圆的一般方程的概念(gàiniàn)
例1 下列方程能否表示圆？若能表示圆，求出圆心(yuánxīn)和
半径．
栏
(1)2x2＋y2－7y＋5＝0；
目 链
接
(2)x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0；
(3)x2＋y2－2x－4y＋10＝0；
(4)2x2＋2y2－5x＝0.
第二十页，共39页。
跟踪 训练
(2)原方程化为 x2＋(y＋b)2＝b2(b≠0)，因此该
圆的圆心为(0，－b)，半径为|b|.
栏
目
(3)原方程化为(x－a)2＋(y－ 3)2＝3－2a2.因为
链 接
表示圆，所以 3－2a2>0，从而该圆的圆心为(a， 3)，
高中数学人教必修2课件：4.1.1圆的标准方程
求圆的标准方程
例1 ABC 的三个顶点的坐标分别A(5,1), B(7, －3)，C(2, －8)，求它的外接圆的方程．
y
(xa)2(yb)2r2
A(5,1)
O
x
B(7,-3)
C(2,-8)
经典例题
求圆的标准方程
例2 ABC 的三个顶点的坐标分别A(5,1), B(7, －3)，C(2, －8)，求它的外接圆的方程．
y
M (x0, y0 ) O(a, b)
x
点在圆内 d=|OM|<r
(x0a)2(y0b)2 r
(x0a)2(y0b)2r2
知识点二
点与圆的位置关系
点与圆的位置关系:
(x0-a)2+(y0-b)2<r2时,点M在圆C内;
(x0-a)2+(y0-b)2=r2时,点M在圆C上;
(x0-a)2+(y0-b)2>r2时,点M在圆C外.
所 求 圆 的 标 准 方 程 为 ( x - 2 ) 2 ( y 3 ) 2 2 5 .
例2、已知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,-2), 且圆心C在直线l:x-y+1=0上，求圆心为C的圆的 标准方程.
练习2 已知 AOB的顶点的坐标分别A(4,0), B(0, 3)， O(0, 0)，求它的外接圆的方程．
即 x2y80.
同 理 ， 线 段 B C 的 垂 直 平 分 线 的 方 程 为 ： x y 1 0 .
联 立 方 程 x x 2 yy 18 00,解 得 ： x y 2 3
圆心为(2,3)
rO A(25 )2( 3 1 )25 .
活动1：请任意写出一个圆的标准方程，让同桌说出 圆心和半径，交换出题一次。
人教B版高中数学必修二2.3.1《圆的标准方程》ppt课件
圆外？圆内？
• [分析] (1)根据所给已知条件可得圆心坐标和半 径．
• (2)判断点在圆上、圆外、圆内的方法是：根据已 知点[到解析圆]心由的已距知离条与件半可径得圆的心大坐小标关为系M来(5,判6)，断半．径为 r＝12
• 3．以点A(－5,4)为圆心，且与y轴相切的圆的方程
是( )
• A．(x－5)2＋(y＋4)2＝25 B．(x＋5)2＋(y－4)2＝
25
• C．(x－5)2＋(y＋4)2＝16 D．(x＋5)2＋(y－4)2＝
16
• [答案] B
• [解析] ∵与y轴相切，∴r＝5，方程为(x＋5)2＋(y
② 根据自己预习时理解过的逻辑结构抓住老师的思路。老师讲课在多数情况下是根据教材本身的知识结构展开的，若把自己预习时所理解过的知 识逻辑结构与老师的讲解过程进行比较，便可以抓住老师的思路。
③ 根据老师的提示抓住老师的思路。老师在教学中经常有一些提示用语，如“请注意”、“我再重复一遍”、“这个问题的关键是····”等 等，这些用语往往体现了老师的思路。来自：学习方法网
此求圆的方程必须具备三个独立条件．
• 3．圆心为(a，b)半径为r(r>0)的圆的方程为： (x_圆－_心_a_)2在_＋_(原_y_－点_b_)、_2＝_半_r_2 径__为__r_的，圆称方作程圆为的x标2＋准y方2＝程r．2. 特别地，
• 4．点P(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关
r2＝5
故△ABC 的外接圆的标准方程为(x－4)2＋(y－1)2＝5.
编后语
老师上课都有一定的思路，抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路，这里再进一步论述听课时如何 抓住老师的思路。
2.2.1 圆的标准方程 课件(北师大必修2)
(x－a)2＋(y－b)2＝r2 .
(2)当圆心在坐标原点时，半径为r的圆的标准方程为
x2＋y2＝r2
.
1．根据圆的定义，确定圆的条件是两个：即圆心
和半径，只需确定了这两者，圆就被唯一确定了．
2．圆的标准方程中具有三个参变量a，b，r，因此 确立圆的方程需三个独立的条件，根据条件列出以a，
b，r为变量的方程组，解方程组求出a，b，r的值即能
1 a＝－4， 解得 r2＝25. 8 12 7 2 25 ∴所求的圆的方程为(x＋4) ＋(y－4) ＝ 8 .
法二：由题意，圆的弦OP所在直线的斜率为3，中 1 3 点坐标为(2，2)， 3 1 1 ∴弦OP的垂直平分线方程为y－2＝－3(x－2)， 即x＋3y－5＝0. ∵圆心在直线y＝x＋2上，且圆心在弦OP的垂直平 分线上， 1 y＝x＋2， x＝－4， ∴由 解得 x＋3y－5＝0， y＝7， 4
(3)原方程可化为(x－3)2＋(y－0)2＝b2(b≠0)． 所以圆心为(3,0)，半径r＝|b|. (4)原方程化为[x－(－3)]2＋[y－(－4)]2＝(2 所以圆心为(－3，－4)，半径r＝2 3. 3)2.
2．写出下列圆的标准方程． (1)圆心在C(－3,4)，半径长是 5. (2)圆心在C(8，－3)，且经过点M(5,1)．
写出圆的标准方程．
3．点到圆的位置关系的判断 给出点M(x0，y0)和圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，通 过比较点到圆心的距离和半径的大小关系，得到： (1)点M在圆C上⇔(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2；
(2)点M在圆C外⇔(x0－a)2＋(y0－b)2>r2；
(3)点M在圆C内⇔(x0－a)2＋(y0－b)2<r2.
2.2.1 圆的标准方程 课件(北师大必修2)
[通一类] 2．已知点A(1,2)在圆C：(x－a)2＋(y＋a)2＝2a2的内部，
求实数a的取值范围．
解：∵点A在圆内部， ∴(1－a)2＋(2＋a)2＜2a2， ∴2a＋5＜0， 5 ∴a＜－ ， 2 5 ∴a的取值范围是{a|a＜－ }． 2
[读教材·填要点]
1．圆的定义
平面内与 定点 距离等于 定长 的点的集合(轨迹)是 圆， 定点 就是圆心， 定长 就是半径． 2．圆的标准方程 (1)圆心为(a，b)，半径是r，圆的标准方程是 (x－a) ＋(y－b)2＝r2 . (2)当圆心在原点时，圆的方程为
3．中点坐标 x1＋x2 y1＋y2 A(x1，y1)，B(x2，y2)的中点坐标为( ， )． 2 2
(1)圆心在原点，半径为8； (2)圆心在(2,3)，半径为2； (3)圆心在(2，－1)且过原点． [自主解答] 设圆的标准方程为 (x－a)2＋(y－b)2＝r2. (1)∵圆心在原点，半径为8，即a＝0，b＝0，r＝8，
∴圆的方程为x2＋y2＝64.
(2)∵圆心为(2,3)，半径为2， 即a＝2，b＝3，r＝2， ∴圆的方程为(x－2)2＋(y－3)2＝4. (3)∵圆心在(2，－1)且过原点， ∴a＝2，b＝－1，r＝ 2－02＋－1－02＝ 5. ∴圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝5.
2
x2＋y2＝r2
.
[小问题·大思维] 1．若圆的标准方程为(x＋a)2＋(y＋b)2＝t2(t≠0)，那么圆 心坐标是什么？半径呢？
提示：圆心坐标为(－a，－b)，半径为|t|.
人教A版高中数学必修二4.1.1 圆的标准方程 课件(共16张PPT)
六.小结
1.圆心是 A(a,b)，半径为r的圆A的标准方程是(x–a)2+(y–b )2=r2 2.点M(x0，y0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系
几何法 先求出点M与圆心A的距离d
（1）若点M在圆A上，则d=r; （2）若点M在圆A内，则 d<r; （3）若点M在圆A外，则 d>r.
数与形,本是相倚依 焉能分作两边飞 数无形时少直觉 形少数时难入微 数形结合百般好 隔离分家万事休 切莫忘,几何代数统一体 永远联系莫分离
—— 华罗庚
O
平面直角坐标系
数
直线方程 1.点斜式方程 ������ − ������������ = ������(������ − ������������)
r2
③
展开平方后，
(x–2)2+(y+3)2=y25.
① ②得:a 2b 8 0
A(5,1)
③-②得:a b 1 0
几
解得a=2,b=-3,r=5.
代
何
O M
(6,-1) x B(7,-3)
∴ △ABC的外接圆方程为
数
(x–2)2+(y+3)2=25.
法
C(2,-8)
kAB 2
(1 a)2 (1 b)2 r 2
(2 a)2 (2 b)2 r 2
ab1 0
a 3 解得 b 2
r 5
∴圆C方程是(x-3)2+(y-2)2=25.
代
何
O
x
数
法
C
高中数学新人教A版必修2课件：第四章圆与方程4.1.1圆的标准方程
解:(3)设圆心为 C,AB 的垂直平分线方程为 3x+2y-15=0.
由
3x 3x
2y 15 10y 9
0, 0,
得
x y
7, 3,
所以圆心 C(7,-3),又 CB= 65 ,
故所求圆的方程为(x-7)2+(y+3)2=65.
(4)以A(-1,2),B(5,-6)为直径两端点的圆的方程.
3.圆的标准方程的定义 我们把方程(x-a)2+(y-b)2=r2称为圆心为(a,b),半径长为r(r>0)的圆的方 程,把它叫做圆的标准方程. 特别地,当圆心在坐标原点,即a=b=0时,圆的标准方程为x2+y2=r2;当圆心 在坐标原点,r=1时,圆的标准方程为x2+y2=1,称为单位圆.
4.几种特殊位置的圆的标准方程
4.1.1 圆的标准方程
课标要求:1.会用定义推导圆的标准方程并掌握圆的标准方程的特征.2. 能根据所给条件求圆的标准方程.3.会判断点与圆的位置关系.
自主学习
知识探究
1.确定圆的几何要素 在平面直角坐标系中,当圆心位置与半径大小确定后,圆就唯一确定了.因 此,确定一个圆最基本的要素是圆心和半径,即位置和大小. 2.圆的定义 平面内与定点的距离等于定长的点的集合是圆.其中定点就是圆心,定长 就是半径长.
条件
方程形式
单位圆(圆心在原点,半径长 r=1)
x2+y2=1
过原点(圆心(a,b),半径长 r= a2 b2 ) 圆心在原点(即 a=0,b=0,半径长为 r,r>0)
(x-a)2+(y-b)2=a2+b2 x2+y2=r2
圆心在x轴上(即b=0,半径长为r,r>0) 圆心在y轴上(即a=0,半径长为r,r>0) 圆心在x轴上且过原点(即b=0,半径长r=|a|)
高中数学课件-2 圆的一般方程
【例2】 圆经过P(－2, 4), Q(3, －1)两点，并且在x轴上截得的 弦长等于6，求圆的方程？
解 解::((11))设 设圆 圆的 的方 方程 程为 为 xx22＋ ＋yy22＋ ＋DDxx＋ ＋EEyy＋ ＋FF＝ ＝00， ，
解将 将:(1PP)设、 、圆QQ 的点 点方的 的程坐 坐为标 标分 分x2＋别 别y代 代2＋入 入D得 得x＋Ey＋F＝0，
(1)x2 y2 2x 4 y 1 0
配方得：(x 1)2 (y 2)2 4
(2)2x2 2y2 2x 2y 1 0
配方得： x
1
2
2
Hale Waihona Puke y122
0
(3)x2 y2 4x 6 y 15 0
配方得：(x 2)2 (y 3)2 2
(1)x2 y2 2x 4 y 1 0
特别的：若圆心为O（0，0），则圆的方 程为：
x2 y2 r2
探究 1：将圆的标准方程展开是什么形式？
(x a)2 (y b)2 r2
将圆的标准方程展开得：
x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2 =0
由于a,b,r均为常数
令 2a D,2b E,a2 b2 r 2 F
探索3 ：将下列方程通过配方成化成圆的 标准方程！并思考，是否一定表示圆？
x2 y2 Dx Ey F 0
方程配方为：
x
D 2
2
y
E 2
2
D2
E2 4
4F
（1）当 D2 E 2 4F 0 时，表示圆，
圆心
-
D 2
,
E 2
（2）当 D2 E 2 4F
r D2 E2 4F 2
高中数学人教A版必修2第四章4.1.1圆的标准方程课件
求曲线方程的步骤:
1、选系； 2、取动点； 3、列方程； 4、化简.
我们知道，在平面直角坐标系中， 两点确定一条直线，一点和倾斜角也能 确定一条直线.
思考？在平面直角坐标系中，如何确
定一个圆呢？
三、圆的定义：
平面内与定点距离等于定长的点
的集合(轨迹)是圆.
定点就是圆心，
y
定长就是半径.
怎样求出圆心是 A(a，b)，半径是r的 圆的方程?
(3)方法：①待定系数法; ②数形结合法.
练习:
6、圆心在直线y=x上，与两轴同时相切， 半径为2.
Y
Y=X
-2 C(-2,-2)
C(2,2)
02
X
-2
(x-2)2+(y-2)2=4 或 (x+2)2+(y+2)2=4
例4、求以C1，3为圆心，并且和直线
3x 4 y 7 0相切的圆的方程.
课堂小结:
1. 圆的方程的推导步骤：
建系设点→写条件→列方程→化简→说明
2. 圆的方程的特点：点(a, b)、r分别 表示圆心坐标和圆的半径；
3. 求圆的方程的两种方法： (1)定义法； (2)待定系数法:确定a，b，r.
课外作业： P124 习题 A组 1、2、3、4、5、6
练习
1. P.120第1题、P.121第4题；
2. 求下列条件所决定的圆的方程： (1) 圆心为 C(3, －5)，并且与直线
x－7y＋2＝0相切； (2) 过点A(3, 2)，圆心在直线y＝2x上，
且与直线y＝2x＋5相切．
3. 已知：一个圆的直径端点是A(x1, y1)、 B(x2, y2)，证明：圆的方程是 (x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)=0．
2. 2.1 圆的标准方程课件(北师大版必修二)
1 7 即圆心坐标为C(－4，4)． 又∵圆的半径r＝|OC|＝ 12 72 －4 ＋4 ＝ 25 8，
12 7 2 25 ∴所求的圆的方程为(x＋4) ＋(y－4) ＝ 8 .
[一点通]
求圆的标准方程一般有两种思路：一是
用待定系数法，二是几何法．
1．用待定系数法求圆的标准方程的一般步骤是： ①根据题意，设所求的圆的标准方程为(x－a)2＋ (y－b)2＝r2； ②根据已知条件，建立关于a，b，r的方程组；
1．写出下列方程表示的圆的圆心和半径．
(1)x2＋y2＝4；(2)x2＋(y－2)2＝a2(a≠0)；
(3)(x－3)2＋y2＝b2(b≠0)；
(4)(x＋3)2＋(y＋4)2＝12.
解：(1)原方程化为(x－0)2＋(y－0)2＝22. 所以圆心(0,0)，半径r＝2. (2)原方程可化为(x－0)2＋(y－2)＝
(y－2)2＝1. x－12＋y－22＝1，化简得(x－1)2＋
问题3：方程
x－22＋y2＝4表示的几何意义是什么？
提示：方程表示(x，y)到(2,0)的距离等4.
1．确定圆的条件 (1)几何特征：圆上任一点到圆心的距离等于 定长 ． (2)确定圆的条件：圆心和半径． 2．圆的标准方程 (1)以C(a，b)为圆心，半径为r的圆的标准方程为 . (x－a)2＋(y－b)2＝r2 (2)当圆心在坐标原点时，半径为r的圆的标准方程为
③解方程组，求出a，b，r的值，并把它们代入所设
的方程中，得到圆的方程． 2．几何法主要是根据已知条件，抓住圆的性质，构 造几何图形确定圆心和半径．
3．△ABC的三个顶点的坐标分别是A(5,1)，B(7，－3)，
C(2，－8)，求它的外接圆的方程．
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问题1：圆的定义是怎样的？ 平面内与一定点的距离等于定 长的点的集合称为圆.
一、复习：
问题1：圆的定义是怎样的？
平面内与一定点的距离等于定
长的点的集合称为圆.
M(x,y)
O
问题2：
图中哪个点是定点？哪个点是动点？动 点具有什么性质？确定圆的因素有哪些？
圆心C是定点， 圆周上的点M是动点， M
解：圆心是 A(2,3),半径长等于5的圆的标准方程是
(x2)2(y3)22.5
把点 M1(5,7),的坐标代入上方程 ，左右两边相等，
点 M 1 的坐标适合圆的方程，所以点 M 1在这个圆上；
把点 M2( 5,1)的坐标代入上方程，
y
左右两边不相等，点 M 2 的坐标
不适合圆的方程，
所以,圆心为C的圆的标准方程是(x3)2(y2)225
圆C的圆心在x轴上，并且过点A(-1，1)和 B(1，3)，求圆C的方程.
圆C的圆心在x轴上，并且过点A(-1，1)和B(1，3)， 求圆C的方程.
解：依题可设圆心C（a,0），由|CA|=|CB|，得
(a 1 )2 (0 1 )2(a 1 )2 (0 3 )2
解得，a=2 所以圆心C（2,0）
半径长 r(21)2(01)210
所以，所求方程为 (x2)2y210.
(1)牢记: 圆的标准方程：
(xa)2(yb)2r2
(2)明确：点与圆的位置关系。
(3)方法：①根据题设条件列出关于a , b , r 的方程组，解方程组得圆的标准方程。 ②根据题设条件直接求出圆心坐 标和半径长，然后再写出圆的标准方程。
O
x
所以点 M 2 不在这个圆上.
A
M1
例 1（2） 写出圆心为 A(2,，3)半径长等于5的圆的方程，并判断点 M1(5,7) M2是(否5,在1)这个圆上。
解：圆心是 A(2,3),半径长等于5的圆的标准方程是
(x2)2(y3)22.5
把点 M1(5,7),的坐标代入上方程 ，左右两边相等，
(2a)2(2b)2r2 解得 b 2
ab10
r5
所以,圆心为C的圆的标准方程是(x3)2(y2)225
例2
已知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,-2)，且圆心C
在直线 l:xy10上，求圆心为C的圆的标准方程。
解法3：因为圆心C在直线l上,所以可设C(a,a+1),则 由|CA|=|CB| 得 ( a 1 ) 2 ( a 1 1 ) 2( a 2 ) 2 ( a 1 2 ) 2 解得 a=-3,所以C(-3,-2) 所以 r=|CB|=5
二、探索研究：
探讨圆心在C(a,b),半径长为r的圆的方程。
解：设M(c, y)是圆上任意一点， 根据圆的定义|MC|=r 由两点间距离公式，得
xa2yb2 r ①
把①式两边平方，得
y
M
．r
C
O
x
(x-a)2(y-b)2r2 ②
(xa)2(yb)2r2(r0) ②
我们把方程②称为圆心是C (a, b), 半径是 r
在圆上呢？在圆内呢？
设点 M0(x0, y0)到圆心 C (a, b) 的距离为d， d>r 点M0在圆外 (x0a)2(y0b)2r2
d=r 点M0在圆上 (x0a)2(y0b)2r2
d<r 点M0在圆内
(x0a)2(y0b)2r2
. . y
M0
M0
O ..Cr x
M0
请判断A(2,3)、B(3,1)、C(1,0)与圆(x-1)2+(y-1)2=4 的位置关系。
圆心C的坐标是方程 组
x3y 3 0, x y 1 0
的解 直平分线 yl
解此方程组，得
x 3,
y
2.
A(1,1) l '
所以圆心C的坐标是(3,2)
OD
x
圆心为C的圆的半径长
C
B(2,-2)
rC B( 32 )2( 22 )25
所以，圆心为C的圆的标准方程是
它们到圆心距离等于定长|MC|=r，
确定了圆的因素是圆心和半径。
C
问题2：
图中哪个点是定点？哪个点是动点？动 点具有什么性质？确定圆的因素有哪些？
圆心C是定点， 圆周上的点M是动点， M
它们到圆心距离等于定长|MC|=r，
确定了圆的因素是圆心和半径。
C
思考：圆心和半径能确定一个圆，能否用一个方程来表示圆呢？
的圆的方程，把它叫做圆的标准方程。
(xa)2(yb)2r2(r0) ②
我们把方程②称为圆心是C (a, b), 半径是 r
的圆的方程，把它叫做圆的标准方程。
圆的方程 (xa)2(y 具b)有2 什r么2 特点？ 当圆心在坐标原点、半径长为r时，圆的方程是什么？ 结论：左边是两个式子的平方和，右边是半径的平方，
三、知识应用与解题研究
例1:(1)写出圆心在坐标原点，半径长为 的3 圆的方程。 (2)写出圆心为 A(2,，3半) 径长等于5的圆的方程，并判
断点
M1，(5,7) M2( 5,1) 是否在这个圆上。
y
例1 （1） x2 y2 3
O
3x
例 1（2） 写出圆心为 A(2,，3)半径长等于5的圆的方程，并判断点 M1(5,7) M2是(否5,在1)这个圆上。
数形结合
(x3)2(y2)225
例2
已知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,-2)，且圆心C
在直线 l:xy10上，求圆心为C的圆的标准方程。
解法2：设所求圆的方程是(xa)2(y ，b)则2r2
由A、B在圆上和圆心C在直线l上，得
(1a)2(1b)2r2
a 3
答案：A在圆外 B在圆上 C在圆内
例2
已知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,-2)，且圆心C
在直线 l:xy10 上，求圆心为C的圆的标准方程。
解法1分析：如图，确定一个圆只需确定圆心位置与半径大小。
圆心
半径
C到B的距离
圆心在直线 l上
圆心在弦AB的 垂直平分线上
yl
A(1,1) l '
圆心到A、B 的距离相等
OD
x
C
B(2,B(2，2)，所以线段AB的中点D坐标为( 3 , 1 ) ，
22
直线AB的斜率 kAB22113
因此线段AB的垂直平分线l ' 的方程是
y11(x3) 23 2
即 x3y30
弦AB的垂
P124 A组 2, 3
解：设所求圆的方程是 (xa)2(y ①b)2r2 因为 A(5，,1) B(，7,3) 都C(在2,圆8)上，所以它们的
坐标都满足方程①，于是
(5 a)2 (1b)2 r2,
(7
a)2
(3b)2
r2,
(2 a)2 (8 b)2 r2.
括号内是差的形式，点 ( a分,别b )表, r示圆心的
坐标和圆的半径.
当圆心在坐标原点即C（0,0），半径长为r
时圆的方程为：x2 y2 r2
智 力 抢
求下列圆的圆心及半径: 答
(1) x2 y2 4
C(0,0),r2
(2) (x1)2y232 C(1,0),r3
变式： (x2)2(y5)2a2(a0) C(2,5),ra
点 M 1 的坐标适合圆的方程，所以点 M 1在这个圆上；
把点 M2( 5,1)的坐标代入上方程，
y
左右两边不相等，点 M 2 的坐标 不适合圆的方程， 所以点 M 2 不在这个圆上.
O
x
M2
A
那么 M 2 到底在圆内还是圆外呢？
AM2 r
M1
点 M0(x0在,y0圆) (xa)2 外(y 的 条b)件2是r什2么？