人教版高中数学选修1-1习题课件第二章 微专题2 离心率的求法

反思 感悟
(1)当直线与双曲线有一个公共点时，利用数形结合思想得到已知直线与
渐近线斜率的关系，得到ab的范围，再利用 e＝ 值范围.
1＋ba2得到离心率的取
(2)当直线与双曲线有两个公共点时，可联立方程组应用判别式 Δ>0，从
而可得ba的范围，再利用 e＝ 1＋ba2即可得离心率的取值范围.
五、利用椭圆的性质求离心率的取值范围
第二章 圆锥与曲线方程
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在圆锥曲线的诸多性质中，离心率经常渗透在各类题型中.离心率是描述 圆锥曲线“扁平程度”或“张口大小”的一个重要数据，在每年的高考中它 常与“定义”、“焦点三角形”等联系在一起，有很强的可考性.其中求离心 率的取值范围，综合性强，是解析几何复习的一个热点，也是难点.
一、以渐近线为指向求离心率
程，或者已知渐近线方程，求离心率的值，都会有两解(焦点在 x 轴上和焦点在 y 轴上两种情况)，不能忘记分类讨论.
二、以焦点三角形为指向求离心率
例 2 如图，F1 和 F2 分别是双曲线ax22－by22＝1(a>0，b>0)的两个焦点，A 和 B 是 以O为圆心，|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F2AB是等边 三角形，则双曲线的离心率为___3_＋__1__.
例4 (1)已知双曲线 ax22－by22 ＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角 为60°的直线l与双曲线的右支有且只有一个交点，则双曲线的离心率e的取值 范围是_[_2_，__＋__∞__)_.
解析 由题意知ba≥ 3，即ba2≥3， ∴e＝ 1＋ba2≥2，
故离心率e的取值范围是[2，＋∞).
例1 已知双曲线两渐近线的夹角为60°，则双曲线的离心率为_2__或__2_3_3__.
解析 由题意知，双曲线的渐近线存在两种情况.
当双曲线的焦点在x轴上时，若其中一条渐近线的倾斜角为
60°，如图1所示；
若其中一条渐近线的倾斜角为30°，如图2所示.
所以双曲线的一条渐近线的斜率 k＝ 3或 k＝ 33，
所以||PPFF12||＝ac＝1e，即|PF1|＝e|PF2|.
①
又因为点P在椭圆上，所以|PF1|＋|PF2|＝2a. 将①代入得|PF2|＝e＋2a1， 又a－c<|PF2|<a＋c， 同除以 a 得，1－e<e＋2 1<1＋e，
又 0<e<1，解得 2－1<e<1.
反思 感悟
圆锥曲线上一点到焦点的距离叫做该点的焦半径. (1)椭圆焦半径的取值范围为[a－c，a＋c]. (2)双曲线的焦半径： ①点P与焦点F位于y轴同侧时，其取值范围为[c－a，＋∞). ②点P与焦点F位于y轴异侧时，其取值范围为[c＋a，＋∞).
例 5 已知椭圆ax22＋by22＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1(－c,0)，F2(c,0).若 椭圆上存在点 P 使sin∠aPF1F2＝sin∠cPF2F1，则该椭圆的离心率的取值范围 为__( __2_－__1_,1_)__.
解析 在△PF1F2 中，由正弦定理知ssiinn∠ ∠PPFF12FF21＝||PPFF21||， 因为sin∠aPF1F2＝sin∠cPF2F1，
于是离心率
e＝22ac＝||AF|2F|－1F|2A| F1||＝|sisninα－α＋siβnβ|＝|sin
sin 90° 60°－sin
＝ 30°|
3＋1.
反思 感悟
涉及到焦点三角形的题目往往利用圆锥曲线的定义求得ac的值.
三、寻求齐次方程求离心率
例 3 已知双曲线 E：ax22－by22＝1(a>0，b>0)，若矩形 ABCD 的四个顶点在 E 上， AB，CD 的中点为 E 的两个焦点，且 2|AB|＝3|BC|，则 E 的离心率是__2__.
解析 方法一 如图，连接AF1， 由△F2AB是等边三角形，知∠AF2F1＝30°. 易知△AF1F2为直角三角形， 则|AF1|＝12|F1F2|＝c，
|AF2|＝ 3c，所以 2a＝( 3－1)c，
从而双曲线的离心率 e＝ac＝1＋ 3.
方法二 如图，连接AF1，易得∠F1AF2＝90°，
β＝∠F1F2A＝30°，α＝∠F2F1A＝60°，
本课结束
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解析 如图，由题意知|AB|＝2ab2，|BC|＝2c. 又 2|AB|＝3|BC|，∴2×2ab2＝3×2c，即 2b2＝3ac， ∴2(c2－a2)＝3ac， 两边同除以a2并整理得2e2－3e－2＝0， 解得e＝2(负值舍去).
反思 感悟
求圆锥曲线的离心率，就是求a和c的值或a和c的关系，然后根据离心
即ba＝
3或
3 3.
又 b2＝c2－a2，所以c2－a2a2＝3 或31，
所以
e2＝4
或34，所以
e＝2
或2
3
3 .
同理，当双曲线的焦点在 y 轴上时，则有ab＝ 3或 33，
所以ab＝ 33或 3，亦可得到 e＝233或 2.
综上可得，双曲线的离心率为
2
或2 3
3 .
反思 感悟
双曲线的离心率与渐近线方程之间有着密切的联系，可以借助ba＝ e2－1进行互求.一般地，如果已知双曲线离心率的值求渐近线方
(2)设双曲线 C：ax22－y2＝1(a>0)与直线 l：x＋y＝1 相交于两个不同的点，则
双曲线 C 的离心率 e 的取值范围为
A. 26， 2 C. 26，＋∞
B.( 2，＋∞)
√D. 26， 2∪( 2，＋∞)
解析 由ax22－y2＝1， 消去 y 并整理得 x＋y＝1，
(1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0. 由于直线与双曲线相交于两个不同的点， 则1－a2≠0⇒a2≠1，且此时Δ＝4a2(2－a2)>0⇒a2<2， 所以a2∈(0,1)∪(1,2). 另一方面，e＝ a12＋1，则 a2＝e2－1 1， 从而 e∈ 26， 2∪( 2，＋∞).
率的定义求得.但在多数情况下，由于受到题目已知条件的限制，很
难或不可能求出a和c的值，只能将条件整理成关于a和c的关系式，进
而求得
c a
的值，其关键是善于利用定义以及图形中的几何关系来建立
关于参数a，b，c的关系式，结合c2＝a2＋b2，化简为参数a，c的关系
式进行求解.
四、利用直线与圆锥曲线的位置关系求离心率的取值范围