2.4.2 空间向量与垂直关系 课件(北师大选修2-1)
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法一:令平面 B1AC 的法向量为 n=(x,y,z), n· 1 =0, AB 则 AC n· =0,
z=-y, 得: x=y,
令 y=1 得
1 1 1 n=(1,1,-1)=-2-2,-2,2=-2 EF , ∴n∥ EF ,
∴EF⊥平面 B1AC.
1 1 1 法二:∵ EF =-2,-2,2, B1 A =(0,-1,-1),
B1C =(-1,0,-1), B B 又 EF · 1 A =0, EF · 1C =0,
∴EF⊥B1A,EF⊥B1C 又B1C∩B1A=B1,∴EF⊥平面B1AC.
3 3 ∴ CD =- a, a,0为平面ABC的一个法向量. 2 2
设平面BEF的法向量为n=(x,y,z),
3 3 ∴n· =0,即(x,y,z)· EF - a, a,0=0. 4 4
∴x=y.
3 a 由n· =0,即(x,y,z)· BF 0, a, =0, 2 2
1 则 MN =-2,-2,h.
1 ∵MN⊥DC1,则 MN · 1 =-2,-2,h· (0,2,3)=-4 DC
4 4 +3h=0.∴h= ,则N0,0,3. 3
4 故N点在DD1上且|DN|= 时,有MN⊥DC1. 3
3a a , ,0, 2 2
3 3 3 a ∴ CE = a,- a,0, B1 A = a, ,-a, 4 2 4 2
a B1 D =0,a,-2.设平面 AB1D 的法向量 n=(x,y,z),
3 a a, , 2 2
(3 分)
3 3 法一:可得 EF =- a, a,0,BA =(0,0,a),BC = 4 4 3 3 a, a,0, 2 2 ∴ EF · =0, EF · =0. BA BC
所以DM⊥AA1,DM⊥AB, 又AA1∩AB=A, 所以DM⊥平面ABB1A1,而DM 平面AB1D. 所以平面AB1D⊥平面ABB1A1.
法二:如图建立空间直角坐标系,取 AB 的 中 点 E,连 接 CE,由题 意知 CE⊥平 面 ABB1A1.
由图知,C(0,a,0),E a a),D0,a,2,A 3a a , ,0,B1(0,0, 4 4
x ,y ,z · 1 1 1 2,0,0=0, ∴ x1,y1,z1· 2,2,1=0, x =0, 1 ∴ 2y1+z1=0.
令 y1=-1,得 n1=(0,-1,2).同理可得 n2=(0,2,1). ∴n1·2=(0,-1,2)· n (0,2,1)=0,知 n1⊥n2. ∴平面 DEA⊥平面 A1FD1.
即AB1⊥BD,AB1⊥BA1. 又BD∩BA1=B,∴AB1⊥平面A1BD.
[例3]
(12分)在四面体ABCD中,AB⊥平面BCD,
BC=CD,∠BCD=90°,∠ADB=30°,E,F分别是 AC,AD的中点.求证:平面BEF⊥平面ABC. [思路点拨] 本题可建立空间坐标系后,证明面
BEF内某一直线的方向向量为面ABC的法向量;也可分别
[一点通]
用向量法证明线面垂直时,可直接证明
直线的方向向量与面内两相交直线的方向向量垂直;也 可证明直线的方向向量与平面的法向量平行.可由图形 特点建立直角坐标系后用坐标法证明,也可利用基向量
法进行处理.
3.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1 中,E,F分别是BB1、D1B1的中点. 求证:EF⊥平面B1AC.
6.如图,ABC-A1B1C1是各条棱长均为a的
正三棱柱,D是侧棱CC1的中点.求证: 平面AB1D⊥平面ABB1A1.
证明:法一:取 AB1 的中点 M,则 DM = DC + CA + AM . 又因为 DM = DC1 + C1 B1 + B1 M ,
(6 分)
即 EF⊥AB,EF⊥BC.
(8 分)
又AB∩BC=B,∴EF⊥平面ABC. 又EF 平面BEF,∴平面ABC⊥平面BEF. 法二:∵∠BCD=90° ,∴CD⊥BC. 又AB⊥平面BCD,∴AB⊥CD. 又AB∩BC=B,∴CD⊥平面ABC.
(10分) (12分) (1分) (2分) (3分) (4分)
4.如图,正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2,D为
CC1中点.
求证:AB1⊥平面A1BD.
证明:取BC中点O,B1C1中点O1,以O 为原点, OB , OO1 , OA 的方向为x, y,z轴的正方向建立如图所示的空间直 角坐标系,则B(1,0,0),D(-1,1,0), A1(0,2, 3),A(0,0, 3),B1(1,2,0), ∴ AB1 =(1,2,- 3), BD =(-2,1,0), BA1 =(-1,2, 3). ∵ AB1 · =-2+2+0=0, AB1 · 1 =-1+4-3=0, BA BD ∴ AB1 ⊥ BD , AB1 ⊥ AB1 .
两式相加,得 2 DM = CA + C1 B1 = CA + CB ,
由于2 DM · 1 =(CA + CB )· 1 =0, AA AA 2 DM · =( CA + CB )·CB - CA )= ( AB 2 2 | CB | -| CA | =0,
[例2]
在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为DD1的中
点,O为底面ABCD的中心,求证:B1O⊥平面PAC. [思路点拨] 欲证B1O⊥平面PAC,只需证明 B1O 与 平面PAC内的两条相交直线都垂直, B1O 与这两条相交直
线的方向向量的数量积为0即可.
[精解详析]
(6分)
3 a 有 ay+ z=0,∴z=- 3y. 2 2 取y=1,得n=(1,1,- 3).
3 3 ∵n· =(1,1,- 3)· CD - a, a,0=0, 2 2 ∴n⊥ CD .∴平面BEF⊥平面ABC.
(8分) (9分) (10分) (12分)
π π |a|=|b|=|c|=a,且〈a,b〉= ,〈a,c〉= . 3 3 而 BC = OC - OB =c-b, ∴ OA· =a· (c-b)=a· c-a· b, BC 1 2 1 2 =|a||c|cos〈a,c〉-|a||b|cos〈a,b〉= a - a =0, 2 2 ∴ OA⊥ BC ,即OA⊥BC.
CC1 的中点,∴M1,0,
6 . 2
6 ∴ AM =1,- 3, , BA1 =(0, 3, 6). 2 6 ∴ AM · 1 =1×0-3+ × 6=0. BA 2 ∴ AM ⊥ BA1 ,即 AM⊥BA1.
考点一
§4 第 二 课 时 把握 热点考向 考点二 考点三
第 二 章
应用创新演练
第二课时 空间向量与垂直关系
[例1]
直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD
是矩形,AB=2,AD=1,AA1=3,M是BC的中点,在 DD1上存在一点N,使MN⊥DC1,试确定N点位置. [思路点拨] 本题中DA,DC,DD1两两垂直,故
[一点通] 用向量法证明两平面垂直时,可证其中一面内某条 直线的方向向量与另一面内的两相交直线的方向向量垂 直;也可直接得出两平面的法向量,证明两平面的法向 量互相垂直.
5.已知:在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BB1, CD的中点.求证:平面DEA⊥平面A1FD1.
证明:建立空间直角坐标系如图. 令 DD1=2,则有 D(0,0,0),D1(0,0,2), A(2,0,0),A1(2,0,2),F(0,1,0), E(2,2,1). 设 n1=(x1,y1,z1),n2=(x2,y2,z2)分别是平面 DEA,平面 A1FD1 的法向量,则 n1⊥ DA ,n1⊥ DE .
证明:建立如图所示坐标系,令正方体的棱长为 1,则
1 1 1 A(1,0,0),B1(1,1,1),C(0,1,0),E1,1,2,F2,2,1,
1 1 1 则 AB1 =(0,1,1), AC =(-1,1,0), EF =-2,-2,2.
可以D为原点,DA、DC、DD1分别为x、y、z轴建立空 间直角坐标系.可设出点N坐标后利用方程 MN · 1 = DC 0,进行求解.
[精解详析]Fra Baidu bibliotek
建立空间直角坐标系,如图.
1 则C1(0,2,3),M2,2,0,D(0,0,0),
∴ DC1 =(0,2,3).设点N(0,0,h),
x= 3y, n· 1 A =0, B 则 即 z=2y, B n· 1 D =0,
[一点通]
用向量法证明两直线互相垂直时,
可以证明两直线的方向向量a,b的数量积为零,即
a· b=0.若图形易于建立空间直角坐标系,则可用坐
标法进行证明,否则可用基向量分别表示a,b后进
行证明.
1.四面体OABC中,各棱长均为a,求证:OA⊥BC. 证明:令 OA=a, OB =b, OC =c,由题意
2.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=90° ,AB= 3, BC=1,BB1= 6,M为CC1中点,求证:AM⊥BA1.
证明:如图,建立空间直角坐标系,则 B(0,0,0),C(1,0,0),A(0, 3,0),B1(0,0, 6), A1(0, 3, 6),C1(1,0, 6). ∵M 为
如图,建立空间直角坐
标系,不妨假设正方体的棱长为 2, 则 A(2,0,0),P(0,0,1),C(0,2,0), B1(2,2,2),O(1,1,0). 于是 OB1 =(1,1,2), AC =(-2,2,0),AP =(-2,0,1).由于 OB1 · =-2+ AC 2=0, OB1 · =-2+2=0. AP 所以 OB1⊥AC,OB1⊥AP. 又 AC PAC,AP PAC,且 AC∩AP=A, 面 面 所以 OB1⊥平面 PAC.
得出两面的法向量,证明法向量垂直.
[精解详析]
C
建立空间直角坐标系如图,设
AB=a,则 BD= 3a,于是 A(0,0,a),B(0,0,0),
3 3 3 3 a D(0, 3a,0), a, a, , E a, a,0, 2 2 4 2 4
F0,