2021年椭圆的标准方程及其几何性质

椭圆的标准方程及其几何性质

欧阳光明（2021.03.07）

1. 椭圆定义：

（1）第一定义：平面内与两个定点21F F 、的距离之和为常数

|)|2(222F F a a >的动点P 的轨迹叫椭圆,其中两个定点21F F 、叫椭圆的

焦点. 当21212F F a PF PF >=+时,P 的轨迹为椭圆 ; ; 当21212F F a PF PF <=+时,P 的轨迹不存在;

当2

12

12F F a PF PF ==+时,P 的轨迹为 以21F F 、为端点的线段

（2）椭圆的第二定义:平面内到定点F 与定直线l (定点F 不在定直线l 上)的距离之比是常数e (10<

（利用第二定义,可以实现椭圆上的动点到焦点的距离与到相应准线的距离相互转化）. 2.椭圆的方程与几何性质:

3.点),(00y x P 与椭圆)0(122

22

>>=+b a b

y a x

的位置关系:

当12222

>+b y a x

时,点P 在椭圆外; 当12222>+b y a x 时,点P 在椭圆内; 当1

2

2

22=+b y a x 时,点P 在椭圆上;

4.直线与椭圆的位置关系

直线与椭圆相交0>∆⇔;直线与椭圆相切0=∆⇔;直线与椭圆相离

0<∆⇔

例题分析：

题1写出适合下列条件的椭圆的标准方程：

⑴两个焦点坐标分别是(-4,0)、（4，0），椭圆上一点P 到两焦点的距离 之和等于10；

⑵两个焦点坐标分别是（0，－2）和（0,2）且过（23-,2

5

）

(3)两个焦点坐标分别是(-3，0)，(3，0)，椭圆经过点(5，0). (4)两个焦点坐标分别是(0，5)，(0，-5)，椭圆上一点P 到两焦点的距离和为26.

(5)焦点在y 轴上，与y 轴的一个交点为P (0，－10)，P 到它较近的一个焦点的距离等于2.

解：（1）因为椭圆的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为

所以所求椭圆标准方程为9

252

2=+y x

⑵

因为椭圆的焦点在y 轴上，所以设它的标准方程为

由椭圆的定义知，

2

2)225

()23(2++-=a ＋2

2)22

5()23

(-+-

10

=∴a 又2=c

所以所求标准方程为6

102

2=+x y

另法：∵42222-=-=a c a b

∴可设所求方程142

222=-+a x a y ，后将点（23-,2

5

）的坐标代入

可求出a ，从而求出椭圆方程

(3)∵椭圆的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为： ∵100)35(0)35(222=+-+++=a ，2c =6. ∴3,5==c a

∴163522222=-=-=c a b

∴所求椭圆的方程为：116

252

2=+y x .

(4)∵椭圆的焦点在y 轴上，所以设它的标准方程为

)0(12

2

22>>=+b a b x a y . ∴.144222=-=c a b

∴所求椭圆方程为：

1144

1692

2=+x y （5）∵椭圆的焦点在y 轴上，所以可设它的标准方程为： ∵Ｐ（０，－１０）在椭圆上，∴a ＝１０. 又∵P 到它较近的一焦点的距离等于2， ∴－c －（－１０）＝２，故c =8. ∴36222=-=c a b .

∴所求椭圆的标准方程是

136

1002

2=+x y .

题2。已知B ，C 是两个定点，｜BC ｜＝6，且ABC ∆的周长等于16，求顶点A 的轨迹方程

解：以BC 所在直线为x 轴，BC 中垂线为y 轴建立直角坐标系，设顶点),(y x A ，

根据已知条件得|AB|+|AC|=10

再根据椭圆定义得4,3,5===b c a

所以顶点A 的轨迹方程为

116

252

2=+y x （y ≠0）（特别强调检验) 因为A 为△ABC 的顶点，故点A 不在x 轴上，所以方程中要注明y ≠0的条件

题3。在△ABC 中，BC =24，AC 、AB 的两条中线之和为39,求△ABC 的重心轨迹方程.

分析：以BC 所在直线为x 轴，BC 的中垂线为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，M 为重心，则|MB |+|MC |=3

2×39=26.

根据椭圆定义可知，点M 的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆，

故所求椭圆方程为

125

1692

2=+y x (y ≠0) 题4。已知x 轴上的一定点A （1,0），Q 为椭圆14

22

=+y x 上的动点，

求AQ 中点M 的轨迹方程

A

C

B x

O

y

F E

A

M

C

B

x

O

y

解：设动点M 的坐标为),(y x ，则Q 的坐标为2,12(y x -

因为点Q 为椭圆14

22

=+y x

上的点， 所以有

1)2(4

)

12(22

=+-y x ，即

14)2

1

(22=+-y x

所以点M 的轨迹方程是4)2

1(22=+-y x

题5。长度为2的线段AB 的两个端点A 、B 分别在x 轴、y 轴上滑动，点M 分AB 的比为3

2，求点M 的轨迹方程

解：设动点M 的坐标为),(y x ，则A 的坐标为0,35(x 的坐标为)

2

5,0(y

因为2||=AB ， 所以有

4)2

5

()35(22=+y x ，即

44

259252

2=+y x 所以点M 的轨迹方程是

4

259252

2=+y x 题6。已知定圆05562=--+x y x ，动圆M 和已知圆内切且过点P(-3，0)，求圆心M 的轨迹及其

方程 分析：由两圆内切，圆心距等于半径之差的绝对值 根据图形，用数学符号表示此结论：

MP MQ -=8 上式可以变形为8=+MP MQ ，又因为86<=PQ ，所以圆心M 的轨迹是以P ，Q 为焦点的椭圆 解 已知圆可化为：()64322=+-y x