2021年椭圆的标准方程及其几何性质

合集下载

2021版新高考数学：椭圆及其性质含答案

第1课时椭圆及其性质(对应学生用书第152页)考点1椭圆的定义及应用椭圆定义的应用主要有两个方面一是判定平面内动点的轨迹是否为椭圆；二是利用定义求焦点三角形的周长、面积、弦长、最值和离心率等．(1)如图所示，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是()A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．圆(2)F1，F2是椭圆x29＋y27＝1的两个焦点，A为椭圆上一点，且∠AF1F2＝45°，则△AF1F2的面积为()A．7B．74 C．72D．752(1)A(2)C[(1)由题意可知，CD是线段MF的垂直平分线，∴|MP|＝|PF|，∴|PF|＋|PO|＝|PM|＋|PO|＝|MO|(定值).又|MO|＞|FO|，∴点P的轨迹是以F，O为焦点的椭圆，故选A.(2)由题意得a＝3，b＝7，c＝2，∴|F1F2|＝22，|AF1|＋|AF2|＝6.∵|AF2|2＝|AF1|2＋|F1F2|2－2|AF1|·|F1F2|cos 45°＝|AF1|2－4|AF1|＋8，∴(6－|AF1|)2＝|AF1|2－4|AF1|＋8.已知F 1，F 2是椭圆C ：x2a2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且PF 1⊥PF 2，若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________．3 [设|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，则⎩⎨⎧r1＋r2＝2a ，r 21＋r 2＝4c 2，所以2r 1r 2＝(r 1＋r 2)2－(r 21＋r 2)＝4a 2－4c 2＝4b 2，所以S △PF 1F 2＝12r 1r 2＝b 2＝9，所以b ＝3.]考点2 椭圆的标准方程定义法∴其焦点在y 轴上，且c 2＝25－9＝16.设它的标准方程为y2a2＋x2b2＝1(a ＞b ＞0). ∵c 2＝16，且c 2＝a 2－b 2，故a 2－b 2＝16.①又点(3，－5)在所求椭圆上， ∴（－5）2a2＋（3）2b2＝1，则5a2＋3b2＝1.②由①②得b 2＝4，a 2＝20，∴所求椭圆的标准方程为y220＋x24＝1.]3．设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y2b2＝1(0＜b ＜1)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF 1|＝3|F 1B |，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为________．x 2＋32y 2＝1 [不妨设点A 在第一象限，如图所示． ∵AF 2⊥x 轴，∴A (c ，b 2)(其中c 2＝1－b 2，0＜b ＜1，c ＞0).又∵|AF 1|＝3|F 1B |，∴由AF 1＝3F 1B 得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5c 3，－b23，代入x 2＋y2b2＝1 得25c29＋b49b2＝1. 又c 2＝1－b 2， ∴b 2＝23.故椭圆E 的方程为x 2＋32y 2＝1.](1)已知椭圆上两点，常设方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)；(2)椭圆的通径(过焦点且与长轴垂直的弦)长为2b2a.考点3椭圆的几何性质椭圆的长轴、短轴、焦距方法一是通过已知条件列方程组，解出a ，c 的值；二是由已知条件得出关于a ，c 的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e 的一元二次方程求解；三是通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．(1)(20xx·全国卷Ⅱ)已知F 1，F 2是椭圆C ：x2a2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为36的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P ＝120°，则C 的离心率为( )A ．23B ．12C ．13D ．14(2)椭圆C 的两个焦点分别是F 1，F 2，若C 上的点P 满足|PF 1|＝32|F 1F 2|，则椭圆C 的离心率e 的取值范围是________．(1)D (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12 [(1)由题意可得椭圆的焦点在x 轴上，如图所示，设|F 1F 2|＝2c ，∵△PF 1F 2为等腰三角形，且∠F 1F 2P ＝120°，∴|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c .∵|OF 2|＝c ，∴点P 坐标为(c ＋2c cos 60°，2c sin 60°)，即点P (2c ，3c ).∵点P 在过点A ，且斜率为36的直线上，∴3c 2c ＋a＝36，解得c a ＝14，∴e ＝14，故选D.A.125 B ．340 C ．18 D ．35B [如图，F 为月球的球心，月球半径为：12×3 476＝1738，依题意，|AF |＝100＋1 738＝1 838，|BF |＝400＋1 738＝2138.∴2a ＝1 838＋2 138，即 a ＝1 988，∴a ＋c ＝2 138, c ＝2 138－1 988＝150，故椭圆的离心率为：e ＝c a ＝1501 988≈340，选B.]2．已知F 1，F 2是椭圆x2a2＋y2b2＝1(a >b >0)的左、右两个焦点，若椭圆上存在点P 使得PF 1⊥PF 2，则该椭圆的离心率的取值范围是( )A ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫55，1 B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1 C ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，55 D ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，22 B [∵F 1，F 2是椭圆x2a2＋y2b2＝1(a >b >0)的左、右两个焦点，∴0<e <1，F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，c 2＝a 2－b 2.设点P (x ，y )，由PF 1⊥PF 2，得(x ＋c ，y )·(x －c ，y )＝0，化简得x 2＋y 2＝c 2.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x2＋y2＝c2，x2a2＋y2b2＝1，本例(1)的求解恰恰应用了焦点三角形中张角最大的情形，借助该临界点可以迅速求出此种情形下的椭圆离心率，然后数形结合求解；本例(2)的求解采用了先建模，再借助椭圆中变量x (y )的有界性解模的思路．[教师备选例题]1．(2019·深圳模拟)设椭圆C ：x2a2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为( )A ．36B ．13C ．12D ．33D [法一：(直接法)如图，在Rt △PF 2F 1中，∠PF 1F 2＝30°，|F 1F 2|＝2c ，∴|PF 1|＝2c cos 30°＝43c 3，|PF 2|＝2c ·tan 30°＝23c 3.∵|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，即43c 3＋23c 3＝2a ，可得3c ＝a .∴e ＝c a ＝33.法二：(特殊值法)在Rt △PF 2F 1中，令|PF 2|＝1，∵∠PF 1F 2＝30°，∴|PF 1|＝2，|F 1F 2|＝3.∴e ＝2c 2a ＝|F1F2||PF1|＋|PF2|＝33.故选D.] 2.如图，焦点在x 轴上的椭圆x24＋y2b2＝1的离心率e ＝12，F ，A 分别是椭圆的一个焦点和顶点，P 是椭圆上任意一点，则PF →·PA→的最大值为________．4 [由题意知a ＝2，因为e ＝c a ＝12，所以c ＝1，b 2＝a 2－c 2＝3.故椭圆方程为x24＋y23＝1.设P 点坐标为(x 0，y 0).所以－2≤x 0≤2，－3≤y 0≤3.因为F (－1，0)，A (2，0)，PF →＝(－1－x 0，－y 0)，PA →＝(2－x 0，－y 0)，所以PF →·PA →＝x 20－x 0－2＋y 20＝14x 20－x 0＋1＝14(x 0－2)2.则当x 0＝－2时，PF →·PA →取得最大值4.]3．已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a >b >c >0，a 2＝b 2＋c 2)的左、右焦点分别为F 1，F 2，若以F 2为圆心，b －c 为半径作圆F 2，过椭圆上一点P 作此圆的切线，切点为T ，且|PT |的最小值不小于32(a －c )，则椭圆的离心率e 的取值范围是________．⎣⎢⎡⎭⎪⎫35，22 [因为|PT |＝|PF2|2－（b －c ）2(b >c )，而|PF 2|的最小值为a －c ，所以|PT |的最小值为（a －c ）2－（b －c ）2.依题意，有（a －c ）2－（b －c ）2≥32(a －c )，。

椭圆的标准方程及性质

椭圆的标准方程及性质椭圆作为二维空间中的图形，具有一些独特的性质和特点。

本文将介绍椭圆的标准方程以及其相应的性质。

一、椭圆的标准方程椭圆的标准方程可以通过平面几何的推导得出。

设椭圆的中心为点（h，k），椭圆的长轴为2a，短轴为2b，则可得出椭圆的标准方程：（x-h）^2/a^2 +（y-k）^2/b^2 = 1其中，h和k分别是椭圆的中心在x轴和y轴上的坐标，a和b分别是椭圆长轴和短轴的一半。

二、椭圆的性质1. 中心：椭圆的中心即标准方程中的点（h，k），表示椭圆在平面上的位置。

2. 焦点：椭圆上的每个点到两个焦点的距离之和等于定值2a，即椭圆的长轴长度。

焦点是椭圆的重要特点，用于定义椭圆的几何性质。

3. 长轴和短轴：标准方程中a和b分别表示椭圆的长轴和短轴的一半。

长轴是椭圆的最长直径，短轴是椭圆的最短直径。

4. 离心率：椭圆的离心率定义为焦距与长轴之比，通常用e表示。

离心率决定了椭圆的扁平程度，e＜1时表示椭圆，e=0时表示圆。

5. 直径：椭圆上的两个端点同时到椭圆内一点的距离相等，则这两个端点和该内点连成的线段叫做该椭圆的直径。

6. 弦：椭圆上任意两点连线和椭圆的直径所围内部的线段叫做椭圆的弦。

7. 准线：椭圆上与两个焦点连线垂直的直线，与椭圆的侧弦相切。

8. 焦散性：入射到椭圆的平行光线在反射后会汇聚到另一个焦点上，这是椭圆焦散性的一个重要表现。

三、椭圆的应用椭圆作为一种常见的数学曲线，在现实生活中有广泛的应用。

以下是一些椭圆应用的例子：1. 天体运动：行星围绕太阳的轨迹、人造卫星轨道等可以近似看作椭圆。

2. 光学器件：抛物面镜、椭圆面镜等。

3. 固定时间下的最短路径问题。

4. 卫星通信：卫星的定位和通信领域中使用椭圆轨道。

4. 造船工业：船体的椭圆剖面设计，可以减少水的阻力。

5. 圆锥曲线中的一类，在几何光学中，椭球曲面可以聚焦光线。

总结：本文介绍了椭圆的标准方程及其性质。

椭圆作为一种重要的数学曲线，其在几何和物理学中有着广泛的应用。

椭圆的简单几何性质(最全)

42 52
41
25 9
尝试遇到困难怎么办? 作出直线 l 及椭圆,
几何画板显示图形
观察图形,数形结合思考.
36
直线与椭圆的位置关系：
直线和椭圆方程分别为
y
: Ax By C
y
0
，x a
2 2
y2 b2
1
y
F1 o
F2 x F1 o
F2 x F1 o
F2 x
Ax By C 0
则由 x2 y2
x2 y2 1
4 16
x2 y2 综上所述，椭圆的标准方程是 1
或
x2 y2 1
41
4 16
15:01:32
26
练习2：
已知椭圆 x2 y2 1 的离心率 e 1
k 8 9
2
x 解：当椭圆的焦点在轴上时，
k ，求的值
a2 k 8 b2 9
y 由
e
1 2
，得：
k
4
当椭圆的焦点在轴上时，
3、若椭圆的的两个焦点把长轴分成三等分，则其离心率
为
1。
3
4、若某个椭圆的长轴、短轴、焦距依次成等差数列，
3
则其离心率e=______5____
回顾
[1]椭圆标准方程
x2 a2
y2 b2
1(a b 0)
所表示的椭圆的存在范围是什么？
[2]上述方程表示的椭圆有几几个顶点？顶点是谁与谁的交点？
3)c=0(即两个焦点重合）e =0，则 b= a，
椭圆方程变为x2+ y2=a2（圆）
即离心率是反映椭圆扁平程度的一个量。
结论：离心率e越大，椭圆越扁；离心率e越小，椭圆越圆

椭圆的标准方程及几何性质

几点补充：1、一般方程：221(0,0,)Ax By A B A B +=>>≠且11122=+⇒By A x .由一般式如何求a,b 及确定焦点的位置？ 2、椭圆的参数方程：12222=+b y a x 的参数方程为⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x3、统一定义：椭圆是平面内到一个定点F 的距离和到一条定直线l ()F l ∉的距离的比是常数e (01)e <<的点的轨迹，其中定点F 是焦点，定直线l 是准线，常数e 是离心率.4、221ab ac e -== ,ba=.离心率越大,椭圆越扁长.¤求椭圆的方程 1．离心率21=e ，一个焦点是()3,0-F 的椭圆标准方程为 . 2．与椭圆4 x 2 + 9 y 2 = 36 有相同的焦点,且过点(－3，２)的椭圆方程为_______________．3．已知椭圆Ｅ的短轴长为6，焦点Ｆ到长轴的一个端点的距离等于９，则椭圆Ｅ的离心率等于． 4．已知椭圆的对称轴为坐标轴，离心率32=e ，短轴长为58，求椭圆的方程．5.设12,F F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右两个焦点，若椭圆上的点3(1,)2A 到12,F F 两点的距离之和等于4，写出椭圆C 的方程和焦点坐标¤椭圆的标准方程7.椭圆5522=+ky x的一个焦点是（0，2），那么k 等于。

8、若椭圆2212x y m+=的离心率为12，则m=¤椭圆的第一定义与焦点三角形9.已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆2213x y +=上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是10.在平面直角坐标系xoy 中,已知△ABC 的顶点(4,0),(4,0)A C -，顶点B 在椭圆221259x y +=上，则s i n s i n s i n A C B+= 。

2021届新高考数学艺考生百日冲刺专题30椭圆的方程及几何性质 (解析版)

1 / 14专题30 椭圆的方程及几何性质一、椭圆的标准方程和几何性质－a ≤x ≤a －b ≤y ≤b－b ≤x ≤b －a ≤y ≤a焦半径公式：称P 到焦点的距离为椭圆的焦半径① 设椭圆上一点()00,P x y ，则1020,PF a ex PF a ex =+=-（可记为“左加右减”） ② 焦半径的最值：由焦半径公式可得：焦半径的最大值为a c +，最小值为a c - 焦点三角形面积：122tan2PF F S b θ=（其中12PF F θ=∠）2 / 14题型一、椭圆离心率的值例1、【2018年高考全国Ⅱ理数】已知1F ，2F 是椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A的直线上，12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，则C 的离心率为A ．23B ．12C ．13D ．14【答案】D【解析】因为12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，所以212||2||PF F F c ==，由AP2tan PAF ∠=，所以2sin PAF ∠=，2cos PAF ∠=，由正弦定理得2222sin sin PF PAF AF APF ∠=∠，所以2225sin()3c a c PAF ==+-∠，所以4a c =，14e =，故选D ．3 / 14变式1、（2016年江苏卷）如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的右焦点，直线y ＝b2与椭圆交于B ，C 两点，且∠BFC ＝90°，则该椭圆的离心率是________．【答案】：.63【解析】：由题意得y ＝b 2与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的交点的坐标分别为⎝⎛⎭⎫±32a ，b2，因为F (c,0)，且∠BFC ＝90°，所以FB →·FC →＝0，即⎝⎛⎭⎫c －32a ⎝⎛⎭⎫c ＋32a ＋b 24＝0，即3c 2＝2a 2，所以e ＝63.变式2、(2017苏北四市一模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知A ，B 1，B 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右、下、上顶点，F 是椭圆C 的右焦点．若B 2F ⊥AB 1，则椭圆C 的离心率是________．【答案】：.5－12【解析】：因为F (c,0)，B 2(0，b )，B 1(0，－b )，A (a,0)，所以B 2F →＝(c ，－b )，B 1A →＝(a ，b )．因为FB 2⊥AB 1，所以ac －b 2＝0，即c 2＋ac －a 2＝0，故e 2＋e －1＝0，解得e ＝－1＋52(负值舍去)．题型二、椭圆离心率的范围例2、【江苏省南通市2019-2020学年高三上学期期初】已知1F ，2F 分别为椭圆E ：()222210x y a b a b +=>>的左，右焦点，点A ，B 分别是椭圆E 的右顶点和上顶点，若直线4 / 14AB 上存在点P ，使得12PF PF ⊥，则椭圆C 的离心率e 的取值范围是______.【答案】【解析】12PF PF ⊥，即P 在以12F F 为直径的圆上，即222x y c +=.直线AB ：1x ya b+=，即0bx ay ab +-=，圆心到直线的距离d c =≤，即422430a a c c -+≤，即4231001e e e -+≤<<，，所以解得1e >≥故答案为：1,1)2. 变式1、（2020届浙江省高中发展共同体高三上期末）已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的内接ABC ∆的顶点B 为短轴的一个端点，右焦点F ，线段AB 中点为K ，且2CF FK =，则椭圆离心率的取值范围是___________.【答案】⎛ ⎝⎭【解析】由题意可设()0,B b ，(),0F c ，线段AB 中点为K ，且2CF FK =，可得F 为ABC ∆的重心，设()11,A x y ，()22,C x y ，由重心坐标公式可得，1203x x c ++=，120y y b ++=，即有AC 的中点(),M x y ，可得12322x x c x +==，1222y y by +==-，5 / 14由题意可得点M 在椭圆内，可得2291144c a +<，由c e a =，可得213e <，即有03e <<.故答案为：⎛ ⎝⎭. 变式2、（2020届浙江省“山水联盟”高三下学期开学）设椭圆M 的标准方程为22221(0)x y a b a b +=>>，若斜率为1的直线与椭圆M相切同时亦与222:()C x y b b +-=（b 为椭圆的短半轴）相切，记椭圆的离心率为e ，则2e =__________．【答案】32- 【解析】设切线方程为y x m =+，代入椭圆方程可得：()2222222220ba x a mx a m ab +++-=.因为相切2220,m a b ∆=∴=+，由直线y x m =+与圆C 相切，,(1b m b =∴=+，或(1b -（舍去）.则有2222(1b a b +=+，因为222b a c =-，所以可得22231)2,)2a c e -==∴.故答案为：32-. 题型三、椭圆的方程6 / 14例3、【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为A ．2212x y +=B ．22132x y += C ．22143x y +=D ．22154x y += 【答案】B【解析】法一：如图，由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在1AF B △中，由余弦定理推论得22214991cos 2233n n n F AB n n +-∠==⋅⋅．在12AF F △中，由余弦定理得2214422243n n n n +-⋅⋅⋅=，解得n =．22224,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．法二：由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，7 / 14由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在12AF F △和12BF F △中，由余弦定理得2221222144222cos 4422cos 9n n AF F n n n BF F n⎧+-⋅⋅⋅∠=⎨+-⋅⋅⋅∠=⎩，又2121,AF F BF F ∠∠互补，2121cos cos 0AF F BF F ∴∠+∠=，两式消去2121cos cos AF F BF F ∠∠,，得223611n n +=，解得2n =．22224312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．变式1、【2020届江苏省南通市高三下学期3月开学考试】若椭圆22221x y a b+=的焦点在x 轴上，过点（1，12）作圆22+=1x y 的切线，切点分别为A,B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是【答案】22154x y +=【解析】∵点(1，12)在圆外，过点(1，12)与圆相切的一条直线为x ＝1，且直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，∴椭圆的右焦点为(1,0)，即c ＝1，设点P(1，12)，连接OP ，则OP ⊥AB ，∵k OP ＝12，∴k AB ＝－2．又直线AB 过点(1,0)，∴直线AB 的方程为2x ＋y －2＝0，∵点(0，b)在直线AB 上，∴b ＝2，又c ＝1，∴a 2＝5，故椭圆方程是25x ＋24y ＝1．变式2、（泰州期末）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为椭圆上一点（在x 轴上方），连结PF 1并延长交椭圆于另一点Q ，若点P 的坐标为 (1，32)，且△PQF 2的周长为8，则椭圆C 的方程为．8 / 14【答案】x 24＋y 23＝1【解析】因为△PQF 2的周长为4a ，所以，a =2，把P 的坐标为 (1，32)代入椭圆C ，得219144b +=，所以，23b =，椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1．变式3、在平面直角坐标系中，椭圆22221(0)x y a b a b +=>>椭圆的左、右焦点分别为，．已知和3(,)2e 都在椭圆上，其中e 为椭圆的离心率，则椭圆E 的方程为．【答案】．【解析】由题设知，，由点在椭圆上，得222211e a b+=，21b =，所以，．由点3(,)2e 在椭圆上，得22223()21e ab +=， 42440a a -+=，22a =．题型四、椭圆中点的求解例4、(2019泰州期末）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的左顶点为A ，点B 是椭圆C 上异于左、右顶点的任一点，P 是AB 的中点，过点B 且与AB 垂直的直线与直线OP 交于点Q.已知椭圆C 的离心率为12，点A 到右准线的距离为6.xoy 1(0)F c -，2(0)F c ，(1)e ，2212x y +=222==c a b c e a +，(1)e ，22=1c a -xOyPF 1F 2Q9 / 14(1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 设点Q 的横坐标为x 0，求x 0的取值范围．【解析】 (1) 由题意得c a ＝12，a 2c ＋a ＝6，解得a ＝2，c ＝1，所以b ＝a 2－c 2＝3，所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(4分)(2) 解法1设B(m ，n)，则m 24＋n 23＝1.因为A(－2，0)，AB ⊥BQ ，所以直线BQ 的方程为y ＝－m ＋2n(x －m)＋n ，因为P 是AB 的中点，所以P(m －22，n 2)，所以直线OP 的方程为y ＝nm －2x ，联立直线BQ ，OP 的方程得－m ＋2n (x －m)＋n ＝nm －2x ，(8分)解得x 0＝（m －2）（m 2＋2m ＋n 2）m 2－4＋n 2，由m 24＋n 23＝1得n 2＝－34(m 2－4)，代入上式化简得x 0＝m ＋6，(14分) 因为－2<m<2，所以4<x 0<8.(16分)解法2 设直线AB 的方程为y ＝k(x ＋2)，k ≠0.将y ＝k(x ＋2)代入椭圆方程x 24＋y 23＝1得(4k 2＋3)x 2＋16k 2x ＋16k 2－12＝0，解得x B ＝－8k 2＋64k 2＋3，所以y B ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫－8k 2＋64k 2＋3＋2＝12k 4k 2＋3，则直线BQ 的方程为y －12k 4k 2＋3＝－1k (x －－8k 2＋64k 2＋3)，10 / 14因为P 是AB 的中点，则x P ＝x A ＋x B 2＝－2＋－8k 2＋64k 2＋32＝－8k 24k 2＋3，y P ＝12y B ＝6k4k 2＋3，所以直线OP 的斜率为6k4k 2＋3－8k 24k 2＋3＝－34k ，则直线OP 的方程为y ＝－34k x ，(8分)联立直OP ，BQ 的方程得x 0＝16k 2＋244k 2＋3＝4＋124k 2＋3，(14分)因为4k 2＋3>3，所以0<124k 2＋3<4，4<4＋124k 2＋3<8，即4<x 0<8.(16分)解后反思直线和椭圆相交求范围(最值)问题，第(2)问解法1设出关键点B 的坐标(m ，n)，建立关于点中参数m ，n 的目标函数，进一步转化为函数法或不等式法来解决；解法2通常设出直线的方程，并与椭圆方程联立，进而转化关于x 或y 的一元二次方程，通过根与系数关系，运用设而不求的思想，得到点的坐标，建立关于线中参数m 的目标函数，进一步转化为函数法或不等式法来解决. 这两种解法都较常见. 解法1参量多一点，但运用得当，也很方便，这里解法1在建立目标函数后就显得很简单，解法2参量少目标集中．变式1、(2019苏州期末）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知焦点在x 轴上，离心率为12的椭圆E 的左顶点为A ，点A 到右准线的距离为6. (1) 求椭圆E 的标准方程；(2) 过点A 且斜率为32的直线与椭圆E 交于点B ，过点B 与右焦点F 的直线交椭圆E 于M 点，求M 点的坐标．【解析】：(1)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)，半焦距为c ，因为椭圆的离心率为12，所以c a ＝12，即a ＝2c ，11 / 14又因为A 到右准线的距离为6，所以a ＋a 2c ＝3a ＝6，(2分)解得a ＝2，c ＝1，(4分) 所以b 2＝a 2－c 2＝3，所以椭圆E 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(6分)(2) 直线AB 的方程为y ＝32(x ＋2)，由⎩⎨⎧y ＝32（x ＋2），x 24＋y23＝1，得x 2＋3x ＋2＝0，解得x ＝－2或x ＝－1. 则B 点的坐标为⎝⎛⎭⎫－1，32.(9分) 由题意，右焦点F(1，0)，所以直线BF 方程为y ＝－34(x －1)，(11分)由⎩⎨⎧y ＝32（x ＋2），x 24＋y 23＝1，得7x2－6x －13＝0，解得x ＝－1或x ＝137，(13分) 所以，点M 坐标为⎝⎛⎭⎫137，－914.(14分)1、【2019年高考北京卷理数】已知椭圆2222 1x y a b+=（a ＞b ＞0）的离心率为12，则A ．a 2=2b 2B ．3a 2=4b 2C ．a =2bD ．3a =4b12 / 14【答案】B【解析】椭圆的离心率2221,2c e c a b a ===-，化简得2234a b =，故选B.2、【2019年高考全国Ⅰ卷理数】设12F F ，为椭圆C :22+13620x y =的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限.若12MF F △为等腰三角形，则M 的坐标为___________.【答案】(【解析】由已知可得2222236,20,16,4a b c a b c ==∴=-=∴=，11228MF F F c ∴===，∴24MF =．设点M 的坐标为()()0000,0,0x y x y >>，则121200142MF F S F F y y =⋅⋅=△，又12014,42MF F S y =⨯=∴=△，解得0y =，22013620x ∴+=，解得03x =（03x =-舍去）， M的坐标为(．3、【2018年高考浙江卷】已知点P (0，1)，椭圆24x +y 2=m (m >1)上两点A ，B 满足AP =2PB ，则当m =___________时，点B 横坐标的绝对值最大．【答案】5【解析】设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由2AP PB =得122x x -=，1212(1)y y -=-，13 / 14所以1223y y -=-，因为A ，B 在椭圆上，所以22114x y m +=，22224x y m +=，所以22224(23)4x y m +-=，所以224x +22324()m y -=，与22224x y m +=对应相减得234m y +=，2221(109)44x m m =--+≤，当且仅当5m =时取最大值．4、【2020届江苏省南通市高三下学期3月开学考试】若椭圆22221x y a b+=的焦点在x 轴上，过点（1，12）作圆22+=1x y 的切线，切点分别为A,B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是【答案】22154x y +=【解析】∵点(1，12)在圆外，过点(1，12)与圆相切的一条直线为x ＝1，且直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，∴椭圆的右焦点为(1,0)，即c ＝1，设点P(1，12)，连接OP ，则OP ⊥AB ，∵k OP ＝12，∴k AB ＝－2．又直线AB 过点(1,0)，∴直线AB 的方程为2x ＋y －2＝0，∵点(0，b)在直线AB 上，∴b ＝2，又c ＝1，∴a 2＝5，故椭圆方程是25x ＋24y ＝1．5、（2017·全国卷）已知椭圆C ：22221x y a b+=（a >b >0）的左，右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则椭圆C 的离心率为．【答案】3614 / 14【解析】以线段12A A 为直径的圆是222x y a +=，直线20bx ay ab -+=与圆相切，所以圆心到直线的距离d a ==，223a b =，即()22222323a a c a c =-⇒=，即2223c a = ，所以，椭圆C的离心率c e a == 6、设1F ，2F 是椭圆E ：()222210x y a b a b +=>>的左，右焦点，P 为直线l ：53a x =上一点，△21F PF 是底角为30︒的等腰三角形，则椭圆E 的离心率为．【答案】56【解析】设直线l 与x 轴交于点A ，由题意得，∠PF 2F 1=120°，∠PF 2A =60°，AF 2=53ac -，所以，PF 2=2AF 2=103a -2c= F 1F 2=2c ，56c e a ==，所以，椭圆E 的离心率为56． 7、(2017无锡期末）设点P 是有公共焦点F 1，F 2的椭圆C 1与双曲线C 2的一个交点，且PF 1⊥PF 2，椭圆C 1的离心率为e 1，双曲线C 2的离心率为e 2，若e 2＝3e 1，则e 1＝________. 【答案】53【解析】不妨设F 1，F 2分别是左、右焦点，椭圆的长半轴为a 1，双曲线的实半轴为a 2，P为椭圆与双曲线在第一象限内的交点，则根据椭圆和双曲线的定义可得⎩⎪⎨⎪⎧PF 1＋PF 2＝2a 1，PF 1－PF 2＝2a 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧PF 1＝a 1＋a 2，PF 2＝a 1－a 2.因为PF 1⊥PF 2，所以PF 21＋PF 22＝F 1F 22，即(a 1＋a 2)2＋(a 1－a 2)2＝(2c )2，化简得a 21＋a 22＝2c 2，所以⎝⎛⎭⎫a 1c 2＋⎝⎛⎭⎫a 2c 2＝2，即1e 21＋1e 22＝2，又因为e 2＝3e 1，所以e 21＝59，故e 1＝53.。

椭圆的标准方程及其性质

五羊高考》变式拓展1、《五羊高考》P210 变式拓展、3 P211 第6题题
a2
c
叫做椭圆相对于焦点F(c，0) ，叫做椭圆相对于焦点
常数e= 叫做椭圆的离心率准线常数 a 叫做椭圆的离心率. 的准线.常数 c (0<e<1)叫做椭圆的离心率
基础训练
标准方程图形范围长轴长短轴长
填写下面表格
5x2＋16y2＝80
4x2＋y2＝16
顶点坐标离心率准线方程
到定点F(c，0)的距离和它到定直线l: x= c ，的距离和它到定直线的距离和它到定直线l 到定点的距离的比是常数e= 的距离的比是常数 c (0<e<1)的点的轨迹的点的轨迹
a
a2
叫做椭圆. 叫做椭圆其中定点F(c，0)叫做椭圆的焦点，，叫做椭圆的焦点，叫做椭圆的焦点其中定点定直线l 定直线l: x=
变式训练
1.若椭圆的两个焦点把长轴分成三等分， 1.若椭圆的两个焦点把长轴分成三等分，则其若椭圆的两个焦点把长轴分成三等分 1 离心率为； 3
2. 若椭圆 k + 8 + =1的离心率为的离心率为 9
x
2
y
2
5 − 或 4 0.5，则k=_____ ， 4
变式训练
《五羊高考》 P209 五羊高考》例题2 例题
椭圆的标准方程与几何性质
一、椭圆的标准方程与性质：椭圆的标准方程与性质：
标准方程图形
x2 y2 + 2 =1 2 a b x2 y2 + 2 =1 2 b a
范围对称性顶点坐标焦点坐标长轴长短轴长焦距离心率
成轴对称；关于_______ _______成中心对称关于_____、_____成轴对称；关于_______成中心对称

椭圆标准方程及几何性质

椭圆的离心率
离心率是描述椭圆扁平程度的量，用 $e$表示。
VS
离心率定义为$e = frac{c}{a}$，其中 $c$是焦距，$a$是长轴半径。
03
椭圆的参数方程
参数方程的定义
参数方程
通过引入参数，将椭圆上的点与一组有序数对（参数）关联起来，表示椭圆上的点的一种方法。
参数方程的一般形式
x=a*cos⁡(t)x = a cos(t)x=a∗cos(t) 和 y=b*sin⁡(t)y = b sin(t)y=b∗sin(t)，其中 (a,b) 是椭圆的长短轴长度，t是参数。
通过极坐标方程，可以方便地解决与椭圆相关的几何问题，例如求交点、判断点是否在椭圆上等。
05
椭圆的焦点三角形
焦点三角形的性质
焦点三角形是等腰三角形
01
由于椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为常数，因此焦点三
角形是等腰三角形。
顶角为直角
02
由于椭圆上任意一点到两焦点的距离之差与到另一焦点的距离
之比为常数，因此顶角为直角。
当长短轴长度一定时，顶角越大，焦点三角形面积越大。
焦点三角形的周长
01
02
03
周长公式
焦点三角形的周长公式为 (P = 2a + 2c)，其中 (a) 为长轴长度，(c) 为焦距。
周长与长短轴关系
当长短轴长度一定时，离心率越大，焦点三角形周长越大。
周长与离心率关系
当长短轴长度一定时，长短轴长度越接近，焦点三角形周长越小。
THANKS
感谢观看
参数方程的应用
简化计算
在解决与椭圆相关的数学问题时，使用参数方程可以简化计算过程，特别是涉及到三角函数的问题。

考点46椭圆的概念、标准方程、几何性质

考点46椭圆的概念、标准方程、几何性质从近三年高考情况来看，本讲为高考的必考内容．预测2021年将会考查：①椭圆标准方程的求解；②直线与椭圆位置关系的应用；③求解与椭圆性质相关的问题．试题以解答题的形式呈现，灵活多变、技巧性强，具有一定的区分度，试题中等偏难.一、椭圆的定义及标准方程；二、椭圆的几何性质；三、高考中求椭圆的离心率问题。

【易错警示】1．椭圆的定义揭示了椭圆的本质属性，正确理解、掌握定义是关键，应注意定义中的常数大于|F 1F 2|，避免了动点轨迹是线段或不存在的情况．2．求椭圆方程的方法，除了直接根据定义外，常用待定系数法．当椭圆的焦点位置不明确而无法确定其标准方程时，设方程为x 2m ＋y 2n ＝1 (m >0，n >0，且m ≠n )可以避免讨论和烦琐的计算，也可以设为Ax 2＋By 2＝1 (A >0，B >0，且A ≠B )，这种形式在解题中更简便． 3．讨论椭圆的几何性质时，离心率问题是重点，求离心率的常用方法有以下两种： (1)求得a ，c 的值，直接代入公式e ＝ca 求得；(2)列出关于a ，b ，c 的齐次方程(或不等式)，然后根据b 2＝a 2－c 2，消去b ，转化成关于e 的方程(或不等式)求解． 4. 辨析正误(1)平面内与两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．( × ) (2)方程mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0且m ≠n )表示的曲线是椭圆．( √ )(3)椭圆上一点P 与两焦点F 1，F 2构成△PF 1F 2的周长为2a ＋2c (其中a 为椭圆的长半轴长，c 为椭圆的半焦距)．( √ )(4)x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)的焦距相同．( √ )椭圆的定义及标准方程1．椭圆的概念平面内与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．集合P ＝{M ||MF 1|＋|MF 2|＝2a }，|F 1F 2|＝2c ，其中a >0，c >0，且a ，c 为常数： (1)若a >c ，则集合P 为椭圆； (2)若a ＝c ，则集合P 为线段； (3)若a <c ，则集合P 为空集． 2.点P (x 0，y 0)和椭圆的关系 (1)点P (x 0，y 0)在椭圆内⇔x 20a 2＋y 20b 2<1.(2)点P (x 0，y 0)在椭圆上⇔x 20a 2＋y 20b 2＝1.(3)点P (x 0，y 0)在椭圆外⇔x 20a 2＋y 20b2>1.(1)求椭圆的方程多采用定义法和待定系数法，利用椭圆的定义定形状时，一定要注意常数2a >|F 1F 2|这一条件．(2)求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后再根据条件建立关于a ，b 的方程组．如果焦点位置不确定，要考虑是否有两解，有时为了解题方便，也可把椭圆方程设为mx 2＋ny 2＝1 (m >0，n >0，m ≠n )的形式．【典例】例1 (1) (教材改编)一动圆与已知圆O 1：(x ＋3)2＋y 2＝1外切，与圆O 2：(x －3)2＋y 2＝81内切，试求动圆圆心的轨迹方程．(2)已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的3倍，并且过点P (3,0)，则椭圆的方程为________________．(3)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P 1(6，1)、P 2(－3，－2)，则椭圆的方程为________．思维点拨 (1)主要考虑椭圆的定义； (2)要分焦点在x 轴和y 轴上两种情况； (3)可以用待定系数法求解．答案 (1)解如图所示，设动圆的圆心为C ，半径为r.则由圆相切的性质知，|CO 1|＝1＋r ，|CO 2|＝9－r ，∴|CO 1|＋|CO 2|＝10，而|O 1O 2|＝6，∴点C 的轨迹是以O 1、O 2为焦点的椭圆，其中2a ＝10,2c ＝6，b ＝4.∴动圆圆心的轨迹方程为x 225＋y 216＝1.(2)x 29＋y 23＝1 解析 (1)点P 在线段AN 的垂直平分线上，故|PA |＝|PN |，又AM 是圆的半径，∴|PM |＋|PN |＝|PM |＋|PA |＝|AM |＝6>|MN |，由椭圆定义知，P 的轨迹是椭圆．(2)若焦点在x 轴上，设方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，∵椭圆过P (3,0)，∴32a 2＋02b 2＝1，即a ＝3，又2a ＝3×2b ，∴b ＝1，方程为x 29＋y 2＝1.若焦点在y 轴上，设方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)．∵椭圆过点P (3,0)．∴02a 2＋32b 2＝1，即b ＝3.又2a ＝3×2b ，∴a ＝9，∴方程为y 281＋x 29＝1.∴所求椭圆的方程为x 29＋y 2＝1或y 281＋x 29＝1.(3)设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0且m ≠n )． ∵椭圆经过点P 1、P 2，∴点P 1、P 2的坐标适合椭圆方程．则⎩⎪⎨⎪⎧6m ＋n ＝1， ①3m ＋2n ＝1， ② ①、②两式联立，解得⎩⎨⎧m ＝19，n ＝13.∴所求椭圆方程为x29＋y23＝1.椭圆的几何性质【易错警示】1．判断两种标准方程的方法为比较标准形式中x2与y2的分母大小．2．注意椭圆的范围，在设椭圆x2a2＋y2b2＝1 (a>b>0)上点的坐标为P(x，y)时，则|x|≤a，这往往在求与点P有关的最值问题中用到，也是容易被忽略而导致求最值错误的原因.【典例】例2 (1)已知点F1，F2是椭圆x2＋2y2＝2的两个焦点，点P是该椭圆上的一个动点，那么|PF1→＋PF2→|的最小值是()A．0 B．1 C．2 D．2 2标准方程x2a2＋y2b2＝1 (a>b>0)y2a2＋x2b2＝1 (a>b>0)图形性质范围－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)B1(－b,0)，B2(b,0)轴长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b焦距|F1F2|＝2c离心率e＝ca∈(0,1)a，b，c的关系c2＝a2－b2(2)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，椭圆C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF .若|AB |＝10，|AF |＝6，cos ∠ABF ＝45，则C 的离心率e ＝________.答案 (1)C (2)57解析 (1)设P (x 0，y 0)，则PF 1→＝(－1－x 0，－y 0)， PF 2→＝(1－x 0，－y 0)，∴PF 1→＋PF 2→＝(－2x 0，－2y 0)， ∴|PF 1→＋PF 2→|＝4x 20＋4y 20＝22－2y 20＋y 20＝2－y 20＋2. ∵点P 在椭圆上，∴0≤y 20≤1，∴当y 20＝1时，|PF 1→＋PF 2→|取最小值2.故选C.(2)如图，在△ABF 中，|AB |＝10，|AF |＝6，且cos ∠ABF ＝45，设|BF |＝m ，由余弦定理，得 62＝102＋m 2－20m ·45，∴m 2－16m ＋64＝0，∴m ＝8.因此|BF |＝8，AF ⊥BF ，c ＝|OF |＝12|AB |＝5.设椭圆右焦点为F ′，连接BF ′，AF ′，由对称性，得|BF ′|＝|AF |＝6， ∴2a ＝|BF |＋|BF ′|＝14.5．过点()0,1M 的直线l 交椭圆22143x y C +=：于,A B 两点， 1F 为椭圆的左焦点，当 1ABF ∆周长最大时，直线l 的方程为．【答案】10x y +-=【解析】设右焦点为2(1,0)F ，则124AF AF =-，124BF BF =-，所以11AF BF AB ++=228()AB AF BF =+-+，显然22AF BF AB +≥，当且仅当2,,A B F 共线时等号成立．所以当直线l过点2F 时，1ABF ∆的周长取最大值8，此时直线方程为1y x =-+，即10x y +-=．高考中求椭圆的离心率问题【知识拓展】离心率是椭圆的重要几何性质，是高考重点考查的一个知识点．这类问题一般有两类：一类是根据一定的条件求椭圆的离心率；另一类是根据一定的条件求离心率的取值范围．无论是哪类问题，其难点都是建立关于a ，b ，c 的关系式(等式或不等式)，并且最后要把其中的b 用a ，c 表达，转化为关于离心率e 的关系式，这是化解有关椭圆的离心率问题难点的根本方法. 【典例】例3 (1)过点M (1,1)作斜率为－12的直线与椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)相交于A ，B 两点，若M 是线段AB的中点，则椭圆C 的离心率等于________．(2)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(－c,0)、F 2(c,0)，若椭圆上存在点P 使asin ∠PF 1F 2＝csin ∠PF 2F 1，则椭圆的离心率的取值范围为______．思维点拨 (1)利用点差法得出关于a ，b 的方程． (2)由正弦定理将已知等式转化为|PF 1|、|PF 2|的等量关系．解析(1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧x 21a 2＋y 21b2＝1，x 22a 2＋y22b 2＝1，∴(x 1－x 2)(x 1＋x 2)a 2＋(y 1－y 2)(y 1＋y 2)b 2＝0，∴y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2.∵y 1－y 2x 1－x 2＝－12，x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2， ∴－b 2a 2＝－12，∴a 2＝2b 2.又∵b 2＝a 2－c 2，∴a 2＝2(a 2－c 2)，∴a 2＝2c 2，∴c a ＝22.(2)依题意及正弦定理，得|PF 2||PF 1|＝ac (注意到P 不与F 1F 2共线)，即|PF 2|2a －|PF 2|＝ac ，∴2a |PF 2|－1＝c a ，∴2a |PF 2|＝c a ＋1>2aa ＋c，即e ＋1>21＋e ，∴(e ＋1)2>2.又0<e <1，因此2－1<e <1. 答案 (1)22(2)(2－1,1) 3．我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”.已知1F 、2F 是一对相关曲线的焦点，P 是它们在第一象限的交点，当3021=∠PF F 时，这一对相关曲线中椭圆的离心率是（） A ．347- B ．32- C ．13- D ．324- 【答案】B【解析】由题意设椭圆方程为12222=+b y a x ，双曲线方程为1212212=-b y a x ，且1c c =.由题意)(11*=⋅a ca c ，由3021=∠PF F ，由余弦定理得：椭圆中2122)32(44PF PF a c +-=，双曲线中：21212)32(44PF PF a c -+=，可得221)347(b b -=，代入（*），42222122214)347()348()(a a c a b c a a c ---=-==，即0)347()348(24=-+--e e ，得3472-=e ，即32-=e ，故选B.。

椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质

椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质
椭圆 1．到两定点 F1,F2 的距离之和为定值 2a(2a>|F1F2|)的点的轨迹 2．与定点和直线的距离之比为定值 e 的点的轨迹. （0<e<1）双曲线 1．到两定点 F1,F2 的距离之差的绝对值为定值 2a(0<2a<|F1F2|)的点的轨迹 2．与定点和直线的距离之比为定值 e 的点的轨迹.（e>1）抛物线
|x| a，yR 原点 O（0，0） (a,0), (─a,0) x 轴，y 轴; 实轴长 2a, 虚轴长 2b. F1(c,0), F2(─c,0) 2c （c= a 2 b 2 ）
e c (e 1) a
x0 (0,0) x轴
p F ( ,0 ) 2
对称轴焦点焦距离心率准线
定
义
与定点和直线的距离相等的点的轨迹. （e=1）
图形
方
标准方程参数方程范围中心顶点
x2 y2 1 ( a b >0) a2 b2
x2 y2 1 (a>0,b>0) a2 b2
y2=2px
x 2 pt 2 y 2 pt (t 为参数)
程
x a cos y b sin (参数为离心角）
─axa，─byb 原点 O（0，0） (a,0), (─a,0), (0,b) , (0,─b) x 轴，y 轴；长轴长 2a,短轴长 2b F1(c,0), F2(─c,0) 2c （c= a 2 b 2 ）
e c (0 e 1) a
x a sec y b tan (参数为离心角）
e=1
x p 2

椭圆的标准方程和性质

椭圆的标准方程和性质椭圆是平面上一个动点F到两定点A、B的距离之和等于常数2a的动点P的轨迹。

椭圆是一个非常重要的几何图形，在数学和物理学中都有着广泛的应用。

本文将介绍椭圆的标准方程和一些基本性质。

首先，我们来看椭圆的标准方程。

设椭圆的两个焦点为F1和F2，椭圆的长轴为2a，短轴为2b，焦距为2c。

椭圆的标准方程为：\[\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\]其中，a和b分别为长轴和短轴的长度。

焦距c和半焦距ae之间的关系为c^2 = a^2 b^2。

接下来，我们来看一些椭圆的基本性质。

椭圆有许多独特的性质，下面我们将介绍其中的一些重要性质。

首先是椭圆的离心率。

椭圆的离心率定义为e=c/a，表示焦点到几何中心的距离与长轴的比值。

离心率是椭圆的一个重要参数，它决定了椭圆的形状。

当离心率接近于0时，椭圆的形状接近于圆；当离心率接近于1时，椭圆的形状趋向于长条形。

其次是椭圆的焦点性质。

椭圆的焦点是椭圆的一个重要特征，它决定了椭圆的形状和大小。

焦点到椭圆上任意一点的距离之和等于常数2a，这个性质决定了椭圆的轨迹。

椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和等于常数2a，这个性质是椭圆的定义之一。

最后是椭圆的对称性。

椭圆具有许多对称性，包括关于x轴、y轴和原点的对称性。

椭圆关于x轴对称，当y取相反数时，方程左边不变；关于y轴对称，当x 取相反数时，方程左边不变；关于原点对称，当x和y都取相反数时，方程左边不变。

这些对称性质使得椭圆在几何和物理问题中有着广泛的应用。

总之，椭圆是一个非常重要的几何图形，它具有许多独特的性质和特征。

通过椭圆的标准方程和性质，我们可以更好地理解和应用椭圆在数学和物理学中的知识。

希望本文对您有所帮助，谢谢阅读！。

椭圆的标准方程及几何性质

椭圆的标准⽅程及⼏何性质椭圆的标准⽅程与⼏何性质⼀、知识梳理1、椭圆定义：平⾯内与两个定点21,F F 的距离之和等于常数（⼤于||21F F ）的点的轨迹叫作椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。

思考：若与两个定点21,F F 的距离之和等于常数（⼩于或等于||21F F ）的点的轨迹⼜是如何？2．标准⽅程：（1）焦点在x 轴上，中⼼在坐标原点的椭圆的标准⽅程为12222=+b y a x ;（2）焦点在y 轴上，中⼼在坐标原点的椭圆的标准⽅程为12222=+bx a y .3、重要关系： 222a b c =+。

（注意⼤⼩关系） 4、椭圆的⼏何性质由椭圆⽅程12222=+by a x (0>>b a ) 研究椭圆的性质。

（1）范围：a x a ≤≤-,b y b ≤≤-（椭圆落在b y a x ±=±=,组成的矩形中）（2）对称性：图形关于原点对称．原点叫椭圆的对称中⼼，简称中⼼．x 轴、y 轴叫椭圆的对称轴．长轴与短轴长分别为b a 2,2。

b a ,分别为椭圆的长半轴长和短半轴长。

（3）顶点：椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点。

椭圆共有四个顶点： )0,(),0,(21a A a A -，),0(),,0(21b B b B -。

【⼩秘书】（1）求椭圆⽅程的⽅法：除了定义外，常⽤待定系数法；（2）当椭圆的焦点位置不确定时，可设⽅程为221x y m n+=（,0m n >），避免讨论和繁杂的计算。

（3）要重视椭圆定义解题的重要作⽤，要注意归纳提炼，优化解题过程。

【例1】求满⾜下列各条件的椭圆的标准⽅程.：(1)焦点在坐标轴上，且经过两点)31（3）以短轴的⼀个端点和两焦点为顶点的三⾓形为正三⾓形，且焦点到椭圆的最短练兵场：1. 椭圆5x 2＋ky 2＝5的⼀个焦点是（0，2），那么k 等于（） (A)－1 (B)1 (C)5(D) －52、（08上海⽂）设P 椭圆2212516x y +=上的点．若1F 、2F 是椭圆的两个焦点，则12||||PF PF +等于（）(A)4 (B)5 (C)8 (D) 103.已知12F F ，为椭圆221259x y +=的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于A B ，两点，若2212F A F B +=，则AB = ．4.椭圆的中⼼在原点，对称轴为坐标轴，椭圆的⼀个顶点B 与两焦点F 1F 组成三⾓形的周长为4+23，且∠F 1BF 2= 23π，求该椭圆⽅程。

2021年高二人教版数学选修1-1练习：2.1.2椭圆的简单几何性质 Word版含答案

►根底梳理1．椭圆的两个标准方程的几何性质与特征比拟.2.椭圆的离心率e.(1)因为a>c>0 ,所以0<e<1．(2)e越小,椭圆越圆；e越大,椭圆越扁．(3)当e＝0时,即c＝0 ,a＝b时,两焦点重合,椭圆方程变成x2＋y2＝a2 ,成为一个圆．(4)当e＝1时,即a＝c ,b＝0时,椭圆压扁成一条线段．(5)离心率e刻画的是椭圆的扁平程度,与焦点所在轴无关．3．直线与椭圆．设直线方程y＝kx＋m,假设直线与椭圆方程联立,消去y得关于x的一元二次方程：ax2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)．(1)Δ＞0 ,直线与椭圆有两个公共点； (2)Δ＝0 ,直线与椭圆有一个公共点；(3)Δ＜0 ,直线与椭圆无公共点．,►自测自评1．椭圆x 26＋y 2＝1的长轴端点的坐标为(D )A ．(－1 ,0) ,(1 ,0)B ．(－6 ,0) ,(6 ,0)C ．(0 ,－6) ,(0 ,6)D ．(－6 ,0)(6 ,0)2．离心率为32,焦点在x 轴上 ,且过点(2 ,0)的椭圆标准方程为(A )A.x24＋y 2＝1 B.x 24＋y 2＝1或x 2＋y 24＝1 C ．x 2＋4y 2＝1 D.x 24＋y 2＝1或x 24＋y 216＝1 3．椭圆x 216＋y 28＝1的离心率为22．解析：∵x 216＋y 28＝1中 ,a 2＝16 ,b 2＝8 ,∴c 2＝a 2－b 2＝8.∴e ＝c a ＝224＝22.1．椭圆25x 2＋9y 2＝225的长轴长 ,短轴长 ,离心率依次是(B )A ．5 ,3 ,45B ．10 ,6 ,45C ．5 ,3 ,35D ．10 ,6 ,352．椭圆的焦点在x 轴上 ,离心率为12,且长轴长等于圆C ：x 2＋y 2－2x －15＝0的半径 ,那么椭圆的标准方程是(A )A.x 24＋y 23＝1B.x 216＋y 212＝1 C.x 24＋y 2＝1 D.x 216＋y 24＝1 解析：圆：x 2＋y 2－2x －15＝0的半径r ＝4⇒a ＝2 ,又因为e ＝c a ＝12,c ＝1 ,所以a 2＝4 ,b 2＝3 ,应选A.3．在一椭圆中以焦点F 1 ,F 2为直径两端点的圆 ,恰好过短轴的两顶点 ,那么此椭圆的离心率e 等于________．解析：由题可知b ＝c ,∴a 2＝b 2＋c 2＝2c 2 ,a ＝2c .∴e ＝c a ＝22.答案：224．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞c )过点(0 ,4) ,离心率为35.(1)求C 得方程；(2)求过点(3 ,0)且斜率为45的直线被C 所截线段的中点坐标．解析：(1)将(0 ,4)代入C 的方程得16b2＝1 ,∴b ＝4.又e ＝c a ＝35 ,得a 2－b 2a 2＝925 ,即1－16a 2＝925 ,∴a ＝5 ,∴C 的方程为x 225＋y 216＝1.(2)过点(3 ,0)且斜率为45的直线方程为y ＝45(x －3)．设直线与C 的交点为A (x 1 ,y 1) ,B (x 2 ,y 2) ,将直线方程y ＝45(x －3)代入C 的方程 ,得x 225＋(x －3 )225＝1 ,即x 2－3x －8＝0 ,解得x 1＝3－412 ,x 2＝3＋412 ,∴AB 的中点坐标x 0＝x 1＋x 22＝32 ,y 0＝y 1＋y 22＝25(x 1＋x 2－6)＝－65 ,即中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32 －65. 5．如下图F 1 ,F 2分别为椭圆的左、右焦点 ,椭圆上点M 的横坐标等于右焦点的横坐标 ,其纵坐标等于短半轴长的23,求椭圆的离心率．解析：设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距长分别为a ,b ,c .那么焦点为F 1(－c ,0) ,F 2(c ,0) ,M 点的坐标为(c ,23b ) ,那么△MF 1F 2为直角三角形．∴|F 1F 2|2＋|MF 2|2＝|MF 1|2 ,即4c 2＋49b 2＝|MF 1|2.而|MF 1|＋|MF 2|＝4c 2＋49b 2＋23b ＝2a ,整理得3c 3＝3a 2－2ab .又c 2＝a 2－b 2 ,所以3b ＝2a ,所以b 2a 2＝49.∴e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝1－b 2a 2＝59 ,∴e ＝53.1．椭圆x 225＋y 29＝1与x 29－k ＋y 225－k＝1(0＜k ＜9)的关系为(D )A ．有相等的长轴B ．有相等的短轴C ．有相同的焦点D ．有相等的焦距 2．(2021·广东四校联考)椭圆的方程为2x 2＋3y 2＝m (m ＞0) ,那么此椭圆的离心率为(B ) A.13 B.33C.22 D.123．假设椭圆x 216＋y 2m ＝1的离心率为13,那么m 的值为(B )A.1289B.1289或18 C ．18 D.1283或64．椭圆的中|心在坐标原点 ,焦点在x 轴上 ,且长轴长为12 ,离心率为13,那么椭圆的方程是(D )A.x 2144＋y 2128＝1B.x 236＋y 220＝1 C.x 232＋y 236＝1 D.x 236＋y 232＝1 5．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1和x 2a 2＋y 2b2＝k (k ＞0)具有(A )A ．相同的离心率B ．相同的焦点C ．相同的顶点D ．相同的长、短轴解析：将x 2a 2＋y 2b 2＝k (k ＞0)化为x 2a 2k ＋y 2b 2k＝1.那么c 2＝(a 2－b 2)k ,∴e 2＝ (a 2－b 2 )k a 2k ＝c 2a 2.6．点P 是以F 1 ,F 2为焦点的椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)上一点 ,且PF 1→·PF 2→＝0 ,tan ∠PF 1F 2＝12,那么该椭圆的离心率等于(D ) A.13 B.12 C.23 D.537．椭圆上一点P 到两个焦点的距离的和为4 ,其中一个焦点的坐标为( 3 ,0) ,那么椭圆的离心率为________．答案：328．椭圆的短轴长等于2 ,长轴端点与短轴端点间的距离等于 5 ,那么此椭圆的标准方程是________________________________________________________________________．答案：x 24＋y 2＝1或y 24＋x 2＝1.9．过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ,F 2为右焦点 ,假设∠F 1PF 2＝60° ,那么椭圆的离心率为________．解析：假设点P 在第二象限 ,那么由题意可得P ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－c b 2a ,又∠F 1PF 2＝60° ,所以2cb 2a ＝tan60°＝3 ,化简得3c 2＋2ac －3a 2＝0 ,即3e 2＋2e －3＝0 ,e ∈(0 ,1) ,解得e ＝33,故填33. 答案：3310．椭圆的对称轴为坐标轴 ,离心率e ＝23,短轴长为8 5 ,求椭圆的方程．解析：∵2b ＝85 ,∴b ＝4 5.又c a ＝23,由a 2－c 2＝b 2 , 得a 2＝144 ,b 2＝80. ∴x 2144＋y 280＝1或y 2144＋x 280＝1. 11．椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率e ＝12,且椭圆经过点N (2 ,－3)．(1)求椭圆C 的方程；(2)求椭圆以M (－1 ,2)为中点的弦所在直线的方程．解析：(1)由椭圆经过点N (2 ,－3) , 得22a 2＋ (－3 )2b 2＝1 又e ＝c a ＝12,解得a 2＝16 ,b 2＝12.∴椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1.(2)显然M 在椭圆内 ,设A (x 1 ,y 1) ,B (x 2 ,y 2)是以M 为中点的弦的两个端点 ,那么x 2116＋y 2112＝1 ,x 2216＋y 2212＝1.相减得 (x 2－x 1 ) (x 2＋x 1 )16＋ (y 2－y 1 ) (y 2＋y 1 )12＝0.整理得k AB ＝－12· (x 1＋x 2 )16· (y 1＋y 2 )＝38,那么所求直线的方程为y －2＝38(x ＋1) ,即3x －8y ＋19＝0 12．(2021·惠州调研)椭圆的一个顶点为A (0 ,－1) ,焦点在x 轴上 ,假设右焦点到直线x －y ＋22＝0的距离为3.(1)求椭圆的标准方程；(2)设直线y ＝kx ＋m (k ≠0)与椭圆相交于不同的两点M 、N ,当|AM |＝|AN |时 ,求m 的取值范围．解析：(1)依题意可设椭圆方程为x 2a2＋y 2＝1 ,那么右焦点F 的坐标为(a 2－1 ,0) ,由题意得|a 2－1＋22|2＝3 ,解得a 2＝3.故所求椭圆的标准的方程为x 23＋y 2＝1.(2)设P (x P ,y p )、M (x M ,y M )、N (x N ,y N ) ,其中P 为弦MN 的中点 , 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋mx 23＋y 2＝1 得(3k 2＋1)x 2＋6mkx ＋3(m 2－1)＝0. ∵Δ＝(6mk )2－4(3k 2＋1)×3(m 2－1)＞0 , 即m 2＜3k 2＋1 ① ,x M ＋x N ＝－6mk 3k 2＋1 ,∴x P ＝x M ＋x N 2＝－3mk3k 2＋1,从而y P ＝kx P ＋m ＝m3k 2＋1.∴k AP ＝y P ＋1x P ＝－m ＋3k 2＋13mk,又|AM |＝|AN | ,∴AP ⊥MN ,因而－m ＋3k 2＋13mk ＝－1k,即2m ＝3k 2＋1 ② ,把②式代入①式得m 2＜2m ,解得0＜m ＜2 ,由②式得k 2＝2m －13＞0 ,解得m ＞12,综上所述 ,求得m 的取值范围为12＜m ＜2.►体验（高|考）1．(2021·全国大纲卷)假设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1 ,F 2离心率为33,过F 2的直线l 交C 与A ,B 两点 ,假设△AF 1B 的周长为4 3 ,那么椭圆C 的方程为(A) A.x 23＋y 22＝1 B.x 23＋y 2＝1 C.x 212＋y 28＝1 D.x 212＋y 24＝1 解析：∵△AF 1B 的周长为43 ,∴4a ＝43 ,∴a ＝3 ,∵e ＝c a ＝33 ,∴c ＝1 ,b ＝2 ,∴椭圆C 的方程为x 23＋y 22＝1.2．(2021·江西卷)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左右焦点为F 1 ,F 2 ,过F 2作x 轴的垂线与C 相交于A ,B 两点 ,F 1B 与y 轴相交于点D ,假设AD ⊥F 1B ,那么椭圆C 的离心率等于________．解析：由题意 ,F 1(－c ,0) ,F 2(c ,0) ,其中c 2＝a 2－b 2.不妨设点B 在第|一象限 ,由AB ⊥x 轴 ,∴B ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫c b 2a ,A ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫c －b 2a .由于AB //y 轴 ,|F 1O |＝|OF 2| ,∴点D 为线段BF 1的中点 ,那么D ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0 b 22a ,由于AD ⊥F 1B ,知F 1B →·DA →＝0 ,那么⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2c b 2a ·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫c －3b 22a ＝2c 2－3b 42a 2＝0 ,即2ac ＝3b 2 ,∴2ac ＝3(a 2－c 2) ,又e ＝ca ,且e ∈(0 ,1) ,∴3e 2＋2e －3＝0 ,解得e ＝33(e ＝－3舍去)．答案：333．(2021·安徽卷)设F 1 ,F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点 ,过点F 1的直线交椭圆E 于A ,B 两点 ,|AF 1|＝3|BF 1|.(1)假设|AB |＝4 ,△ABF 2的周长为16 ,求|AF 2|；(2)假设cos ∠AF 2B ＝35,求椭圆E 的离心率．解析：(1)由|AF 1|＝3|F 1B | ,|AB |＝4 , 得|AF 1|＝3 ,|F 1B |＝1. ∵△ABF 2的周长为16.∴4a ＝16 ,|AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝8 , 故|AF 2|＝2a －|AF 1|＝8－3＝5.(2)设|F 1B |＝k ,那么k ＞0且|AF 1|＝3k ,|AB |＝4k , 由椭圆定义可得|AF 2|＝2a －3k ,|BF 2|＝2a －k , 在△ABF 2中 ,由余弦定理可得|AB |2＝|AF 2|2＋|BF 2|2－2|AF 2|·|BF 2|·cos ∠AF 2B ,即(4k )2＝(2a －3k )2＋(2a －k )2－65(2a －3k )·(2a －k ) ,化简可得(a ＋k )·(a －3k )＝0 ,而a ＋k ＞0 ,故a ＝3k . 于是有|AF 2|＝3k ＝|AF 1| ,|BF 2|＝5k ,因此|BF 2|2＝|AF 2|2＋|AB |2 ,可得AF 1⊥AF 2.∴△AF 1F 2为等腰直角三角形 ,∴c ＝22a ,e ＝22.4．(2021·新课标全国卷Ⅱ)设F 1 ,F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左 ,右焦点 ,M是C 上一点且MF 2与x 轴垂直 ,直线MF 1与C 的另一个交点为N .(1)假设直线MN 的斜率为34,求C 的离心率；(2)假设直线MN 在y 轴上的截距为2 ,且|MN |＝5|F 1N | ,求a ,b .解析：(1)根据c ＝a 2－b 2及题设知M ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫c b 2a由k MN ＝34 ,得b 22ac ＝34,那么2b 2＝3ac .将b 2＝a 2－c 2代入2b 2＝3ac ,解得c a ＝12 ,ca＝－2(舍去)．故C 的离心率为12.(2)由题意 ,原点O 为F 1F 2的中点 ,MF 2//y 轴 ,所以直线MF 1与y 轴的交点D (0 ,2)是线段MF 1的中点 ,故b 2a＝4.于是b 2＝4a .①由|MN |＝5|F 1N |得|DF 1|＝2|F 1N |.设N (x 1 ,y 1) ,由题意知y 1＜0 ,那么⎩⎪⎨⎪⎧2 (－c －x 1 )＝c －2y 1＝2 即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－32c y 1＝－1.代入C 的方程 ,得9c 24a 2＋1b 2＝1.②将①及c ＝a 2－b 2代入②得9 (a 2－4a )4a 2＋14a＝1.解得a ＝7 ,b 2＝4a ＝28 ,即b ＝27. ∴a ＝7 ,b ＝27.。

椭圆的标准方程及几何性质

椭圆的标准方程及几何性质椭圆是平面上的一种几何图形，它具有许多独特的性质和特点。

在本文中，我们将探讨椭圆的标准方程及其几何性质。

首先，我们来看椭圆的标准方程。

椭圆的标准方程可以表示为：\[\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\]其中，a和b分别代表椭圆在x轴和y轴上的半轴长度。

如果椭圆的长轴与x轴平行，那么a代表长轴的长度，b代表短轴的长度；如果椭圆的长轴与y轴平行，则相反。

通过这个标准方程，我们可以轻松地确定椭圆的形状和大小。

接下来，让我们来探讨一下椭圆的几何性质。

椭圆具有许多有趣的性质，其中一些包括焦点、直径、离心率等。

首先是椭圆的焦点。

椭圆有两个焦点，它们分别位于椭圆的长轴两端。

焦点的位置与椭圆的半轴长度有关，可以通过椭圆的标准方程轻松计算得出。

其次是椭圆的直径。

椭圆有两条相互垂直的直径，分别为长直径和短直径。

长直径的长度为2a，短直径的长度为2b。

这些直径是椭圆上许多重要几何元素的基础，如焦点、顶点等。

最后是椭圆的离心率。

椭圆的离心率代表了椭圆的独特形状。

它的计算公式为：\[e = \sqrt{1 \frac{b^2}{a^2}}\]离心率越接近于0，椭圆的形状就越接近于圆；离心率越接近于1，椭圆的形状就越狭长。

离心率是描述椭圆形状的重要参数之一。

除了上述几何性质外，椭圆还具有许多其他有趣的特点，如切线、法线、曲率等。

这些性质使得椭圆成为数学和几何中的重要研究对象，也在实际生活中有许多应用，如天文学中行星轨道的描述、工程学中的椭圆形零件设计等。

总之，椭圆的标准方程及其几何性质是数学和几何中的重要内容，通过本文的介绍，希望读者能对椭圆有更深入的了解，并能在学习和工作中灵活运用。

〖2021年整理〗《椭圆的简单几何性质》优秀教案

椭圆的简单几何性质（第一课时）（杨军君）一、教学目标（一）学习目标1给定椭圆标准方程，能说出椭圆的范围，对称性，顶点坐标和离心率； 2在图形中，能指出椭圆中e c b a ,,,的几何意义及其相互关系； 3知道离心率大小对椭圆扁平程度的影响（二）学习重点1用方程研究椭圆上点的横纵坐标范围，对称性； 2椭圆的简单几何性质（三）学习难点椭圆的离心率及椭圆几何性质的简单应用二教学设计（一）预习任务设计 1预习任务（1）读一读：阅读教材第43页至第46页（2）想一想：椭圆的离心率对椭圆扁平程度的影响？（3）写一写：焦点分别在,x y 轴上的椭圆的范围、对称性、顶点 2预习自测判断（正确的打“√”，错误的打“×”）（1）椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的长轴长为a （）（2）椭圆的离心率e 越大，椭圆就越圆（）（3）若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长分别为10,8，则椭圆的方程为2212516x y +=（）（4）已知点(,)m n 在椭圆228324x y +=上，则24m +的最大值为4+（）【知识点】椭圆的几何性质【解题过程】通过椭圆的标准方程22221x y a b +=可认识到椭圆的相应几何量：长轴长2a ，短轴长2b ，离心率e ca=，的取值范围取值范围a x a -≤≤【思路点拨】通过椭圆的标准方程认识几何性质【答案】（1）×；（2）×；（3）×；（4）√ （二）课堂设计 1知识回顾椭圆的标准方程：当焦点在轴时，)0(12222>>=+b a b y a x当焦点在轴时，)0(12222>>=+b a b x a y2新知讲解探究一：具体方程，认识图形 ●活动① 图形引发性质运用所学的知识，你能否画出方程14922=+y x 所对应的曲线？（如果不能精确地画出，也可以画出它的草图）预案一：利用椭圆的定义，用绳子画图；预案二：根据所学先判断其为椭圆，求与x 轴y 轴的交点再连结；预案三：根据所学判断椭圆具有对称性，只需比较精确地画出第一象限的部分；【设计意图】让学生在画曲线的时候，通过动手能发现椭圆上点的坐标取值有范围限制，即椭圆的范围；发现椭圆具有对称性，从而为引出对称性作铺垫；发现特殊点（与对称轴的交点），即椭圆的顶点研究曲线的性质，可以从整体上把握它的形状，大小和位置以椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 为例，你觉得应该从哪些方面研究它的几何性质？【设计意图】引出研究曲线性质的意义，为后面研究椭圆的几何性质指明角度探究二：简化抽象、探究性质 ●活动① 归纳梳理、理解提升（1）范围：由标准方程知，椭圆上点的坐标(,)x y 满足不等式22221,1x y a b≤≤，∴22x a ≤，22y b ≤，∴||x a ≤，||y b ≤说明椭圆位于直线x a =±，y b =±所围成的矩形里（2）对称性：在曲线方程里，若以y -代替y 方程不变，所以若点(,)x y 在曲线上时，点(,)x y -也在曲线上，所以曲线关于x 轴对称，同理，以x -代替x 方程不变，则曲线关于y 轴对称若同时以x -代替x ，y -代替y 方程也不变，则曲线关于原点对称所以，椭圆关于x 轴、y 轴和原点对称这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心（3）顶点：确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与x 轴、y 轴的交点坐标在椭圆的标准方程中，令0x =，得y b =±，则1(0,)B b -，2(0,)B b 是椭圆与y 轴的两个交点同理令0y =得x a =±，即1(,0)A a -，2(,0)A a是椭圆与x 轴的两个交点所以，椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点同时，线段21A A 、21B B 分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为2a 和2b ，a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长由椭圆的对称性知：椭圆的短轴端点到焦点的距离为a ；在22R t O BF ∆中，2||O B b =，2||O F c =，22||BF a =，且2222222||||||O F B F O B =-，即222c a b =-（4）离心率：椭圆的焦距与长轴的比e ca=叫椭圆的离心率 ∵0a c >>，∴01e <<，且e 越接近1，c 就越接近a ，从而b 就越小，对应的椭圆越扁；反之，e 越接近于0，c 就越接近于0，从而b 越接近于a ，这时椭圆越接近于圆当且仅当a b =时，0c =，两焦点重合，图形变为圆，方程为222x y a+=e 1,0c a b →→→⎧⎨⎩当时,椭圆图形越扁； e 00,c b a →→→⎧⎨⎩当时,椭圆越接近于圆●活动② 巩固基础、检查反馈例1根据下列条件求椭圆的标准方程（1）28,e 3c ==；（2）过点(3,0)P ，离心率e =，求椭圆的标准方程【知识点】椭圆的标准方程以及离心率【解题过程】（1）8e ,1223c c a a e =∴===，又2222212880b a c =-=-= ∴椭圆标标准方程为22114480x y +=或22114480y x += （2）当椭圆的焦点在x 轴上时，3,c a ca ==∴=从而222963b a c =-=-=，∴椭圆的方程为22193x y +=当椭圆的焦点在y 轴上时，3,c b a === 227a ∴=，∴椭圆方程为221927x y += ∴所求椭圆的方程为221927x y +=或22193x y += 【思路点拨】已知椭圆的某些性质，和与性质相关的条件求标准方程仍需先判定焦点位置，从而确定方程形式，并用待定系数的思想，求出方程中的,a b 值，得到方程【答案】（1）22114480x y +=或22114480y x +=；（2）221927x y +=或22193x y +=同类训练已知椭圆()22550mx y m m +=>的离心率为e =，求m 的值【知识点】椭圆的离心率【解题过程】依题意，0,5m m >≠，但椭圆的焦点位置没有确定，应分类讨论：①当焦点在x 轴上，即05m <<时，有a b c ====，得3m =；②当焦点在y 轴上，即5m >时，有a b c ===253m =⇒=【思路点拨】根据椭圆焦点的位置确定,,a b c 的值，结合离心率的定义建立方程求解【答案】m =3或253例2已知12,F F 分别为椭圆12222=+by a x 的左右焦点，P 是以12F F 为直径的圆与椭圆的一个交点，且12212PF F PF F ∠=∠，求这个椭圆的离心率【知识点】椭圆的离心率【解题过程】由题意12PF F ∆为直角三角形，且90P ∠=，1260PF F ∠=，122F F c =，则12,PF c PF ==，所以由椭圆的定义知，122PF PF a +=，即2c a =，得离心率e 1ca== 【思路点拨】求离心率一般是先找到关于,,a b c 的一个齐次关系式，然后再变形求e 的值或范围1-同类训练已知椭圆12222=+by a x (0)a b >>，过椭圆的右焦点作x 轴的垂线交椭圆于A B 、两点，0OA OB ⋅=，求椭圆的离心率【知识点】椭圆的离心率【解题过程】2(,0)F c ，把x c =代入椭圆12222=+b y a x 得2(,)b A c a由0OA OB ⋅=，结合图形得22||||OF AF =，即：22222e e 10e b c b ac a c ac a =⇒=⇒-=⇒+-=⇒=【思路点拨】求离心率一般是先找到关于,,a b c 的一个齐次关系式，然后再变形求e 的值或范围【答案】1+52- 例3如图，设(),M x y 与定点()4,0F 的距离和它到直线：254x =的距离的比是常数45，求点的轨迹方程【知识点】椭圆的方程以及离心率【解题过程】分析：若设点(),M x y ，则()224MF x y =-+，到直线：254x =的距离254d x =-，则容易得点的轨迹方程25:44,5d M l x MF M P M d =⎧⎫⎪⎪==⎨⎬⎪⎪⎩⎭解：设是点到直线的距离，根据题意，点的轨迹就是集合2(4)4.2554x y x -+=-22925225,x y +=将上式两边平方，并化简，得22 1.259x y +=即所以，点M 的轨迹是长轴、短轴长分别为10,6的椭圆【思路点拨】利用条件直接求轨迹方程，我们可以将例3抽象为下面问题：点(,)P x y 与定点(,0)F c 的距离和它到一定直线2:a l x c =的距离之比是常数ca (0)a c >>，求点P 的轨迹方程（记222b ac =-，则轨迹方程为22221x y a b+=）【答案】221 259x y+=3课堂总结知识梳理椭圆的简单几何性质：标准方程）（012222>>=+b a by a x )0(12222>>=+b a bx a y 图形范围 ,a x a b y b -≤≤-≤≤,a y a b x b -≤≤-≤≤顶点 1(,0)A a -2(,0)A a 1(0,)B b -2(0,)B b 1(0,)A a -2(0,)A a 1(,0)B b -2(,0)B b 长轴长 2a短轴长 2b对称性对称轴：,x y 轴；对称中心：(0,0)cb a ,,关系 222a bc =+离心率e c a=重难点归纳利用椭圆轴长、离心率、准线等性质求解椭圆方程时，需注意：（1）在,,,e a b c 四个参数中，只要知道其中的任意两个，便可求出其它两个，必须正确地掌握四个参数间的相互关系；（2）离心率的转化和变形：22222e 1()1(1)2c b be b a e a a==-⇒=-⇒=- （三）课后作业基础型自主突破＋错误!＝1的离心率为错误!，则m 的值为（）【知识点】椭圆的离心率【解题过程】由题意得a 2＝2，b 2＝m ，∴c 2＝2－m ，又错误!＝错误!，∴错误!＝错误!，∴m ＝错误! 【思路点拨】利用椭圆离心率定义解题【答案】B1：错误!＋错误!＝1和椭圆C 2：错误!＋错误!＝1 0错误!8=错误!错误!b >0的左、右焦点为F 1、F 2，离心率为错误!，过F 2的直线交C 于A 、B 两点，若△AF 1B 的周长为4错误!，则C 的方程为（）＋错误!＝1 错误!＋2＝1 错误!＋错误!＝1 错误!＋错误!＝1 【知识点】椭圆的几何性质【解题过程】根据条件可知错误!＝错误!，且4a ＝4错误!， ∴a ＝错误!，c ＝1，b ＝错误!，椭圆的方程为错误!＋错误!＝1 【思路点拨】过焦点的直线利用椭圆的定义【答案】A＋错误!＝1a >b >0的左、右顶点分别是A ，B ，左、右焦点分别是F 1、F 2若|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B |成等比数列，则此椭圆的离心率为（）－2【知识点】椭圆的几何性质【解题过程】∵A 、B 分别为左右顶点，F 1、F 2分别为左右焦点，∴|AF 1|＝a －c ，|F 1F 2|＝2c ，|BF 1|＝a ＋c ，又由|AF 1|、|F 1F 2|、|F 1B |成等比数列得a －ca ＋c ＝4c 2，即a 2＝5c 2，所以离心率e ＝错误! 【思路点拨】利用椭圆的几何性质中量的关系【答案】B轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为8，焦距为2错误!，则此椭圆的标准方程为________ 【知识点】椭圆的定义【解题过程】由已知，2a ＝8,2c ＝2错误!，∴a ＝4，c ＝错误!，∴b 2＝a 2－c 2＝16－15＝1， ∴椭圆的标准方程为错误!＋2＝1 【思路点拨】利用条件求a,b,c 的值【答案】错误!＋2＝16已知椭圆的短半轴长为1，离心率00，∴a 2>1， ∴1b >0，半焦距为c ，则错误!∴错误!∴b 2＝a 2－c 2＝36－27＝9， ∴椭圆G 的方程为错误!＋错误!＝1【思路点拨】利用椭圆a,b,c 三者关系以及椭圆定义解题【答案】错误!＋错误!＝1＋错误!＝1的左焦点为F ，直线＝m 与椭圆相交于点A 、B 当△F AB 的周长最大时，△F AB 的面积是________【知识点】椭圆的几何性质【解题过程】如图，当直线＝m ，过右焦点1,0时，△F AB 的周长最大，由错误!解得＝±错误!，∴|AB |＝3 ∴S ＝错误!×3×2＝3 【思路点拨】数形结合解题【答案】3 探究型多维突破0，0是椭圆错误!＋错误!＝1上一点，A 点的坐标为6,0，求线段错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!22(26)(2)184x y -+=22(3)12x y -+=22(3)12x y -+=12:2:1PF PF =12:2:1PF PF =＋32＝mm >0的离心率e ＝错误!，求m 的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标【知识点】椭圆的几何性质【解题过程】椭圆方程可化为错误!＋错误!＝1， ∵(2)033m m m m m m +-=>++，∴m >错误! 即a 2＝m ，b 2＝错误!，22(2)3m m c a b m +=-=+由e ＝错误!得，错误!＝错误!，∴m ＝1 ∴椭圆的标准方程为2＋错误!＝1， ∴a ＝1，b ＝错误!，c ＝错误!∴椭圆的长轴长为2，短轴长为1；两焦点坐标分别为F 1－错误!，0，F 2错误!，0；四个顶点分别为A 1－1,0，A 21,0，B 10，－错误!，B 2021错误!【思路点拨】利用离心率的定义建立关系6已知椭圆上横坐标等于焦点横坐标的点，它到轴的距离等于短半轴长的错误!，求椭圆的离心率【知识点】椭圆的几何性质【解题过程】解法一：设焦点坐标为F1－c,0，F2c,0，M是椭圆上一点，依题意设M点坐标为c，错误!b在Rt△MF1F2中，|F1F2|2＋|MF2|2＝|MF1|2，即4c2＋错误!b2＝|MF1|2，而|MF1|＋|MF2|＝错误!＋错误!b＝2a，整理，得3c2＝3a2－2ab又c2＝a2－b2 3b＝2a∴错误!＝错误!∴e2＝错误!＝错误!＝1－错误!＝错误!，∴e＝错误!解法二：设Mc，错误!b，代入椭圆方程，得错误!＋错误!＝1，∴错误!＝错误!，∴错误!＝错误!，即e＝错误!【思路点拨】利用椭圆的几何关系结合椭圆离心率的定义解题。

椭圆的标准方程及其几何性质

椭圆的标准方程及其几何性质1. 椭圆定义：（1）第一定义：平面内与两个定点21F F 、的距离之和为常数|)|2(222F F a a >的动点P 的轨迹叫椭圆,其中两个定点21F F 、叫椭圆的焦点.当21212F F a PF PF >=+时, P 的轨迹为椭圆 ; ; 当21212F F a PF PF <=+时, P 的轨迹不存在;当21212F F a PF PF ==+时, P 的轨迹为以21F F 、为端点的线段（2）椭圆的第二定义:平面内到定点F 与定直线l (定点F 不在定直线l 上)的距离之比是常数e (10<<e )的点的轨迹为椭圆（利用第二定义,可以实现椭圆上的动点到焦点的距离与到相应准线的距离相互转化）. 2.椭圆的方程与几何性质:3.点),(00y x P 与椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的位置关系:当12222>+b y a x 时,点P 在椭圆外; 当12222>+b y a x 时,点P 在椭圆内; 当12222=+b y a x 时,点P 在椭圆上; 4.直线与椭圆的位置关系直线与椭圆相交0>∆⇔;直线与椭圆相切0=∆⇔;直线与椭圆相离0<∆⇔ 例题分析：题1写出适合下列条件的椭圆的标准方程：⑴两个焦点坐标分别是(-4,0)、（4，0），椭圆上一点P 到两焦点的距离之和等于10；⑵两个焦点坐标分别是（0，－2）和（0,2）且过（23-,25） (3)两个焦点坐标分别是(-3，0)，(3，0)，椭圆经过点(5，0).(4)两个焦点坐标分别是(0，5)，(0，-5)，椭圆上一点P 到两焦点的距离和为26. (5)焦点在y 轴上，与y 轴的一个交点为P (0，－10)，P 到它较近的一个焦点的距离等于2.解：（1）因为椭圆的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为所以所求椭圆标准方程为92522=+y x ⑵ 因为椭圆的焦点在y 轴上，所以设它的标准方程为由椭圆的定义知，22)225()23(2++-=a ＋22)225()23(-+-10=∴a 又2=c所以所求标准方程为61022=+x y 另法：∵ 42222-=-=a c a b∴可设所求方程142222=-+a x a y ，后将点（23-,25）的坐标代入可求出a ，从而求出椭圆方程(3)∵椭圆的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为： ∵100)35(0)35(222=+-+++=a ，2c =6. ∴3,5==c a∴163522222=-=-=c a b∴所求椭圆的方程为：1162522=+y x . (4)∵椭圆的焦点在y 轴上，所以设它的标准方程为)0(12222>>=+b a bx a y . ∴.144222=-=c a b∴所求椭圆方程为：114416922=+x y （5）∵椭圆的焦点在y 轴上，所以可设它的标准方程为： ∵Ｐ（０，－１０）在椭圆上，∴a ＝１０.又∵P 到它较近的一焦点的距离等于2， ∴－c －（－１０）＝２，故c =8. ∴36222=-=c a b .∴所求椭圆的标准方程是13610022=+x y . 题2。

(2021年整理)椭圆、双曲线、抛物线相关知识点的总结-教师版

（完整）椭圆、双曲线、抛物线相关知识点的总结-教师版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（完整）椭圆、双曲线、抛物线相关知识点的总结-教师版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为（完整）椭圆、双曲线、抛物线相关知识点的总结-教师版的全部内容。

椭圆、双曲线、抛物线相关知识点总结一、椭圆的标准方程及其几何性质椭圆的定义：我们把平面内与两个定点12F F ，的距离的和等于常数()12F F 大于的点的轨迹叫做椭圆.符号语言：()12222MF MF a a c +=>将定义中的常数记为a 2，则：①。

当122a F F >时，点的轨迹是椭圆②.当122a F F =时，点的轨迹是线段 ③.当122a F F <时，点的轨迹不存在标准方程12222=+by a x )0(>>b a 12222=+bx a y )0(>>b a 图形性质焦点坐标 )0,(1c F -，)0,(2c F ),0(1c F -，),0(2c F焦距 c F F 221= c F F 221= 范围a x ≤，b y ≤b x ≤，a y ≤对称性关于x 轴、y 轴和原点对称顶点坐标 )0,(a ±，),0(b ±),0(a ±,)0,(b ±轴长长轴长=a 2，短轴长=b 2；长半轴长=a ，短半轴长=ba b c 、、关系 222a b c =+离心率 )10(<<=e ace通径22b a焦点位置不确定的椭圆方程可设为：()2210,0,mx ny m n m n +=>>≠与椭圆12222=+by a x 共焦点的椭圆系方程可设为：()222221x y k b a k b k +=>-++ 二、双曲线的标准方程及其几何性质双曲线的定义:我们把平面内与两个定点12F F ，的距离的差的绝对值等于常数()12F F 小于的点的轨迹叫做双曲线。

椭圆的标准方程与几何性质

椭圆的标准方程与几何性质★ 知识梳理★知识点一:椭圆的定义平面内与两定点F 1,F 2距离的和等于常数()212F F a >的点的轨迹叫做椭圆，即点集M={P| |PF 1｜+｜PF 2｜=2a,2a ＞｜F 1F 2|=2c ｝；这里两个定点F 1,F 2叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫椭圆的焦距2c 。

(212F F a =时为线段21F F ，212F F a <无轨迹）。

知识点二：椭圆的方程1．当焦点在x 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+by a x )0(>>b a ，其中222b a c -=椭圆的焦点坐标为)0,(c ，)0,(c -；2．当焦点在y 轴上时，椭圆的标准方程:12222=+bx a y )0(>>b a ,其中222b a c -=;椭圆的焦点坐标为),0(c ，),0(c -3。

椭圆的一般方程：.4. 焦点在x 轴上时12222=+b y a x （222a b c =+）⇔{cos sin x a y b ϕϕ==（参数方程,其中ϕ为参数）知识点三:椭圆 12222=+by a x )0(>>b a 的简单几何性质（1）对称性：椭圆12222=+by a x )0(>>b a ：是以x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形,并且是以原点为对称中心的中心对称图形,这个对称中心称为椭圆的中心。

(2）范围：椭圆上所有的点都位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足a x ≤，b y ≤。

（3）顶点：①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。

②椭圆12222=+b y a x )0(>>b a 与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为 )0,(1a A -，)0,(2a A ，),0(1b B -，),0(2b B ③线段21A A ,21B B 分别叫做椭圆的长轴和短轴，a A A 221=,b B B 221=。

椭圆的标准方程与几何性质

轴
长轴 A1A2 的长为 2a；短轴 B1B2 的长为 2b
201
焦距离心率 a，b，c 的关系
|F1F2|＝2c e＝ac∈(0,1)
a2＝b2＋c2
例题 1.1
与圆 C1：(x＋3)2＋y2＝1 外切，且与圆 C2：(x－3)2＋y2＝81 内切的动圆圆心 P 的轨迹方程为________．答案 2x52 ＋1y62 ＝1 解析设动圆的半径为 r，圆心为 P(x，y)，则有|PC1|＝r＋1，|PC2|＝9－r. 所以|PC1|＋|PC2|＝10>|C1C2|＝6，即 P 在以 C1(－3,0)，C2(3, 的轨迹方程为2x52 ＋1y62 ＝1.
例题 2.1
若直线 y＝kx＋1 与椭圆x52＋ym2＝1 总有公共点，则 m 的取值范围是(
)
A．m>1
B．m>0
C．0<m<5 且 m≠1
D．m≥1 且 m≠5
答案 D
解析方法一由于直线 y＝kx＋1 恒过点(0,1)，所以点(0,1)必在椭圆内或椭圆上，
则
1 0<m≤1
且
m≠5，故
m≥1
且
例题 1.3
已知 F 是椭圆 5x2＋9y2＝45 的左焦点，P 是此椭圆上的动点，A(1,1)是一定点，则|PA|＋|PF|的最大值为
________，最小值为________．
答案 6＋ 2 6－ 2 解析椭圆方程化为x92＋y52＝1，设 F1 是椭圆的右焦点，则 F1(2,0)， ∴|AF1|＝ 2，∴|PA|＋|PF|＝|PA|－|PF1|＋6，又－|AF1|≤|PA|－|PF1|≤|AF1|(当 P，A，F1 共线时等号成立)， ∴|PA|＋|PF|≤6＋ 2，|PA|＋|PF|≥6－ 2. 例题 1.4