华师大二附中高一期中考试试题及答案

华师大二附中2010学年第一学期期中考试
（时间90分钟，满分100分）
高一数学试卷
一、填空题（每小题4分，满分40分，请将正确答案直接填写在相应空格上） 1．不等式
042>+-x
x
的解集为 。

2．设40:<<x α，a x <<-1:β，若α是β的充分条件，则实数a 的取值范围是 。

3．若}21{}4321{，，，，，==B A ，则满足B C ⊆ A 的集合C 有 个。

4．已知命题P 的逆命题是“若1a =且2b =，则4a b +<”，则命题P 的否命题是 。

5．若x x x f 2)12(2-=+，则)3(f = 。

6．若集合}1|{2Z x x y x A ∈-==，,}12|{A x x y y B ∈-==，,则=B A _____。

7．若关于x 的一元二次不等式012>+-x k x 的解集为R ，则实数k 的取值范围是 。

8．已知)(x f 是定义在R 上的奇函数。

若0>x 时，1)(2-+=x x x f ，则0<x 时，=)(x f 。

9．若函数)()()(a x b a x x f ++=是偶函数，且它的值域为]4(，∞-，则该函数的解 析式为()f x = 。

10．设][x 表示数x 的整数部分（即小于等于x 的最大整数），例如3]14.3[=，
0]9.0[=，2]8.1[-=-。

函数)(]2
1
[]2[
R x x x y ∈--=的值域为 。

二、选择题（每小题4分，满分20分，每小题只有一个正确答案，请将正确答案的代号填写在题后括号内）
11．若集合}02|{≤+=x x A ，}2|1||{>+=x x B ，则=B A （ ） （A ） }2|{-≤x x ； （B ）}1|{>x x ； （C ） ，3|{-<x x 或}1>x ； （D ），2|{-≤x x 或}1>x 。

12．在下列命题中，真命题是 （ ）（A ）若11
>x
，则1<x ； （B ）若22c b c a >，则b a >； （C ）若b a >，则22b a >； （D ）若1≥x ，则1>x 。

13．若方程0)2()1(2=+--m x x x 的三个根可以作为一个三角形的三条边长，则实数
m 的取值范围是 （ ）
（A ）]10[，； （B ）]1(43，； （C ）]1[43，； （D ）)[43
∞+，。

14．函数b a x x x f ++=||)(是奇函数的充要条件是 （ ）
（A ）0=b a ； （B ）0=+b a ； （C ）b a =； （D ）022=+b a 。

15．若函数)(x f 对任意R y x ∈、满足)()(2)()(y f x f y x f y x f =-++,则下列关于函数
性质的判断一定正确的是 （ ） （A ）是偶函数非奇函数； （B ）是奇函数非偶函数；
（C ）非奇函数也非偶函数； （D ）可能是奇函数也可能是偶函数。

三、解答题（共4小题，满分40分） 16．（8分）已知]11[，、-∈b a ，求证：|1|||b a b a +≤+。

17．（10分）已知函数b
x a
x x f ++=
)(（b a 、为常数）。

（1）若1=b ，解不等式0)1(>-x f ；
（2）当]21[，-∈x 时，)(x f 的值域为]2[4
5，，求b a 、的值。

18．（10分）已知函数x
a
x y +
=有如下性质：若常数0>a ，则该函数在]0(a ，上是减 函数，在)[∞+，
a 上是增函数。

（1）若函数)(2+∈+=R x x
x y b
的值域为)6[∞+，，求b 的值； （2）研究函数y ＝2x ＋2x c
（常数0>c ）在定义域内的单调性，并说明理由；
（3）对函数x a x y +=和22x
a
x y +=（常数0>a ）作出推广，使它们都是你所推广的
函数的特例。

研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明）。

19．（12分）设*∈N n ，规定：}])([{)(x f f f x f f
n n 个=，已知⎩⎨⎧≤<-≤≤-=21110)1(2)(x x x x x f ，，。

（1）设集合}210{，，
=A ，对任意A x ∈，证明：x x f =)(3； （2）求2010f )(9
8
的值； （3）若集合}]20[)(|{12，，
∈==x x x f x B ，找出B 中的至少8个元素。

高一期中考试答案
一、
填空
1、 (-4,2) 2 、4≥a 3 、3个 4、若4≥+b a ，则1≠a 或2≠b 5、 -1 6 、{-1,1} 7、 (-2,2) 8、 12++-x x 9 、42
+-=x y 10、{0,1} 二、 选择
11、D 12、A\B 13、B 14、D 15、D 三、解答 16、（8分）已知]11[，、-∈b a ，求证：|1|||b a b a +≤+。

22|1||||1|||b a b a b a b a +≤+⇔+≤+2222212b a b a b b a a ++≤++⇔ 012222≥+--⇔b a b a 0)1()1(22≥--⇔b a 。

∵ ]11[，、-∈b a ， ∴ 0)1()1(2
2
≥--b a 。

∴ |1|||b a b a +≤+。

17、（10分）已知函数b
x a
x x f ++=
)(（b a 、为常数）。

（1）若1=b ，解不等式0)1(>-x f ；
（2）当]21[，-∈x 时，)(x f 的值域为]2[4
5，，求b a 、的值。

[解]：（1）01)1(>+-=
-x
a
x x f ----------------------1分 ①01>-a ，即1<a 时，不等式的解为：a x ->1或0<x --------------------2分 ②01=-a ，即1=a 时，不等式的解为：R x ∈且0≠x --------------------3分 ③01<-a ，即1>a 时，不等式的解为：0>x 或a x -<1 -------------------4分 （2）b
x b
a b x a x x f +-+
=++=
1)( ①b a >时，)(x f 单调递减，所以⎩⎨
⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=++=+-+-23
4
522211b a b a b a
------6分 ②b a =时，不符合题意 ------------------------------------------8分
③b a <时，)(x f 单调递增，------11分，所以⎩⎨
⎧-=-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=++=+-+-34
22245
11b a b
a b a -----10分
18、(1) b=2
(2)f(x)在区间],(4c --∞和],0(4c 上是单调递减函数； 在区间)0,[4c -和),[4+∞c 上是单调递增函数 (3)推广为：函数0,)(>+
=a x a
x x f n
n ，其中n 是正整数 ①当n 是奇数时，f(x)在区间)0,[2n a -和],0(2n a 上是单调递减函数； 在区间],(2n a --∞和),[2+∞n a 上是单调递增函数
②当n 是偶数时，f(x)在区间],(2n a --∞和],0(2n a 上是单调递减函数；
在区间)0,[2n a -和),[2+∞n a 上是单调递增函数
19、（12分）解：（1）∵2)0(=f ，0)1(=f ，1)2(=f ，
∴当0=x 时，0)1())2(()))0((()0(3==-==f f f f f f f ； 当1=x 时，1)2())0(()))1((()1(3====f f f f f f f ； 当2=x 时，2)0())1(()))2((()2(3====f f f f f f f ． 即对任意A x ∈，恒有x x f =)(3．
（
2
）
92)981(2)98(1=-=f ，9
14
)92())98(()98(2=
==f f f f ，
9
51914)914())98(()98(23=-===f f f f ， 9
8
)951(2)95())98(()98(34=-===f f f f ，……
一般地，)98()98(4r r k f f =+（∈r k ，N ）．∴9
8
)98()98(02008==f f
（3）由32
)32
(=
f ，∴32)32(=n f ．则3
2)32(12=f ．∴B ∈32． 由（1）知，对0=x ，或1，或2，恒有x x f =)(3，∴x x f x f ==⨯)()(3412．则0，1，2B ∈．
由（2）知，对98=x ，9
2，914，95 ，恒有x x f x f ==⨯)()(3412，∴98，92，914，95
B ∈．
综上所述，
3
2，0，1，2，98，92，914，95
B ∈．∴B 中至少含有8个元素．。