阶跃信号

2.5 冲激信号和阶跃信号的傅里叶变换

2.5.1 冲激信号

由傅里叶变换定义及冲激信号的抽样特性很容易求得(t)函数的FT为

冲激函数的频谱等于常数，也就是说，在整个频率范围内频谱都是均匀的。在时域中波形变化剧烈的冲激函数包含幅度相等的所有频率分量，这种频谱常称作"均匀谱"或"白色谱"。

2.5.2 直流信号

如前所述，冲激信号的频谱是常数，那么时域为常数的信号（直流信号）的频谱是否为冲激函数呢？

我们来考虑()的傅里叶逆变换，即

这也就是说

上式意味着

式中的E为常数。

这表明，直流信号的频谱是位于w=0的冲激函数，这与直流信号的物理概念是一致的。

2.5.3单位阶跃信号

单位阶跃函数同样不满足绝对可积条件，但仍存在傅里叶变换。前面我们已经讲述了符号函数的傅里叶变换，下面我们借助符号函数来求阶跃信号的FT。

单位阶跃函数U(t)可用符号函数来表示，即

再利用直流信号与符号函数的傅里叶变换

可得单位阶跃函数的傅里叶变换为

单位阶跃函数及其频谱如下图所示。由图可知，U(t)在t>0时等同于直流信号，但它又不是纯粹的直流信号，它在t=0处有跳变，因此其频谱不是仅在=0处有一个冲激函数（这对应于信号的直流特性），而且还会含有其它众多的频率分量。

为什么会有众多的频率分量呢？这是因为信号在时域零点处有跳变！由于时域的剧烈变化，相应的频域中的分量将是无限的。还记得我们在前面讲周期矩形脉冲信号所提及的"时域跳变将使频域包含无限的频率分量"的结论吗？这儿就是一个很好的例证。大家可以翻回去看看，是不是这样。

图2-11 (a) 单位阶跃函数的波形 (b) 信号的幅度谱