人教A版选修4-5 不等式的基本性质 学案
人教版高中选修4-51.不等式的基本性质课程设计
人教版高中选修4-51.不等式的基本性质课程设计一、教学目标1. 知识与技能•掌握不等式的定义和基本性质；•掌握一次不等式和二次不等式的解法；•能够解决实际问题中的不等式问题。
2. 过程与方法•通过讲解和练习，学生能够熟练掌握不等式及其解题方法；•通过实例分析让学生能够运用所学知识解决实际问题；•通过课堂互动等方式，激发学生的学习兴趣和积极性。
3. 态度与价值观•培养学生的逻辑思维能力和数学思维能力；•让学生认识到数学对实际生活的重要性和应用价值；•培养学生的创新思维和解决问题的能力。
二、教学重点和难点1. 教学重点•不等式的定义和基本性质；•一次不等式和二次不等式的解法；•实际问题中的不等式问题的解决方法。
2. 教学难点•对不等式的理解与掌握；•二次不等式的解法；•实际问题中的不等式问题的应用。
三、教学方法1. 教学内容整合将课堂教学、练习操作、实际应用等内容整合在一起，以便学生能够更好地理解不等式及其应用方法。
2. 提供实例在课堂上提供大量的实例，让学生通过分析解题，理解不等式的基本性质和应用方法。
3. 积极互动通过课堂互动、小组活动等方式，积极引导学生参与课堂，以提高学生对数学知识的兴趣和掌握程度。
4. 制定练习制定一系列练习，以帮助学生更好地巩固和应用所学知识。
四、教学步骤步骤一：不等式的定义和基本性质1.小组讨论，了解学生对不等式的理解；2.讲解不等式的定义及其基本性质；3.通过几个具体实例帮助学生理解。
步骤二：一次不等式及其解法1.讲解一次不等式的解法；2.指导学生通过实例进行练习和掌握。
步骤三：二次不等式及其解法1.讲解二次不等式及其解法；2.指导学生通过实例进行练习和掌握。
步骤四：实际问题中的不等式1.讲解如何将实际问题转化为不等式问题；2.通过实例讲解不等式的应用方法；3.指导学生通过实例进行练习和掌握。
步骤五：查漏补缺，巩固提高1.综合练习和测试；2.帮助学生查漏补缺，巩固提高。
人教版高中选修4-51.不等式的基本性质教学设计 (2)
人教版高中选修4-51.不等式的基本性质教学设计一、教学目标1.理解不等式的含义，知道不等式中的符号及其意义。
2.掌握不等式的性质，包括加减不等式、倍数不等式、倒数不等式、移项变号不等式和乘方不等式。
3.在解决实际问题时，能够用不等式来描述和解决问题。
二、教学内容1.不等式的含义2.不等式的符号及其意义3.不等式的性质4.实际问题的应用三、教学重难点1.不等式中符号的区分与理解。
2.不等式性质的掌握与实际应用。
四、教学方法1.案例分析法2.经验引入法3.解题法五、教学过程1. 不等式的含义（10分钟）1.引入不等式的概念及符号。
2.解释不等式的含义——在两个数（或算式）之间，用符号表示它们的大小关系。
2. 不等式的符号及其意义（30分钟）1.掌握不等式中的符号“<”、“≤”、“>”、“≥”及其意义。
2.通过例子消除学生对符号的掌握障碍。
3. 不等式的性质（50分钟）3.1 加减不等式1.引入加减不等式的概念和基本原理。
2.通过例子来帮助学生理解和掌握加减不等式的性质。
3.2 倍数不等式1.引入倍数不等式的概念和基本原理。
2.通过例子来帮助学生理解和掌握倍数不等式的性质。
3.3 倒数不等式1.引入倒数不等式的概念和基本原理。
2.通过例子来帮助学生理解和掌握倒数不等式的性质。
3.4 移项变号不等式1.引入移项变号不等式的概念和基本原理。
2.通过例子来帮助学生理解和掌握移项变号不等式的性质。
3.5 乘方不等式1.引入乘方不等式的概念和基本原理。
2.通过例子来帮助学生理解和掌握乘方不等式的性质。
4. 实际问题的应用（30分钟）1.引入实际问题，帮助学生运用所学知识解决实际问题。
2.通过例子来帮助学生更好地掌握不等式的性质和应用。
六、教学评价1.课堂练习2.讨论答题3.知识测试4.作业七、教学资源1.人教版高中数学选修4教材2.视频、PPT等多媒体资源八、教学反思本节课通过引入实例和案例，帮助学生更好地掌握不等式的性质和应用。
人教A版数学高二选修4-5 1.1.1不等式的性质导学案
1.1.1不等式的性质预习案一、预习目标及范围1.理解实数大小与实数运算性质间的关系．2.理解不等式的性质，能用不等式的性质比较大小和证明简单的不等式．二、预习要点教材整理1两实数的大小比较a>b⇔a－b0；a＝b⇔a－b＝0；a<b⇔<0.教材整理2不等式的基本性质如果a>b，那么a＋c>b＋c如果a>b，c>d，那么>b＋d如果a>b>0，c>d>0，那么三、预习检测1.已知数轴上两点A，B对应的实数分别为x，y，若x＜y＜0，则|x|与|y|对应的点P，Q 的位置关系是()A．P在Q的左边B．P在Q的右边C．P，Q两点重合D.不能确定2.已知a ，b ，c ∈R ，且ab ＞0，则下面推理中正确的是( )A ．a ＞b ⇒am 2＞bm 2B.a c ＞b c⇒a ＞b C ．a 3＞b 3⇒1a ＜1bD.a 2＞b 2⇒a ＞b3．若a ，b ，c 满足b ＋c ＝3a 2－4a ＋6，b －c ＝a 2－4a ＋4，比较a ，b ，c 的大小． 探究案一、合作探究题型一、比较大小例1设A ＝x 3＋3，B ＝3x 2＋x ，且x >3，试比较A 与B 的大小．【精彩点拨】 转化为考察“两者之差与0”的大小关系．[再练一题]1．若例1中改为“A ＝y 2＋1x 2＋1，B ＝y x ，其中x ＞y ＞0”，试比较A 与B 的大小．题型二、利用不等式的性质求范围例2已知－π2≤α＜β≤π2，求α＋β2，α－β2的范围． 【精彩点拨】 由－π2≤α＜β≤π2可确定α2，β2的范围，进而确定α＋β2，α－β2的范围．[再练一题]2．已知－6<a <8,2<b <3，分别求a －b ，a b的取值范围.题型三、利用性质证明简单不等式例3已知c >a >b >0，求证：a c －a >b c －b. 【精彩点拨】 构造分母关系→构造分子关系→证明不等式[再练一题]3．已知a ＞b ＞0，c ＞d ＞0，求证：ac a ＋c ＞bd b ＋d.题型四、不等式的基本性质例4判断下列命题是否正确，并说明理由．(1)若a >b ，则ac 2>bc 2；(2)若a c 2>b c 2，则a >b ； (3)若a >b ，ab ≠0，则1a <1b ； (4)若a >b ，c >d ，则ac >bd .【精彩点拨】 主要是根据不等式的性质判定，其实质就是看是否满足性质所需要的条件．[再练一题]4．判断下列命题的真假．(1)若a <b <0，则1a >1b； (2)若|a |>b ，则a 2>b 2；(3)若a >b >c ，则a |c |>b |c |.二、随堂检测1．设a ∈R ，则下面式子正确的是( )A ．3a >2ªB ．a 2<2a C.1a<a D.3－2a >1－2a2．已知m ，n ∈R ，则1m ＞1n成立的一个充要条件是( ) A ．m ＞0＞nB ．n ＞m ＞0C ．m ＜n ＜0D.mn (m －n )＜03．已知a ，b ，c 均为实数，下面四个命题中正确命题的个数是( )①a ＜b ＜0⇒a 2＜b 2；②a b＜c ⇒a ＜bc ； ③ac 2＞bc 2⇒a ＞b ；④a ＜b ＜0⇒b a＜1. A ．0 B ．1 C ．2 D ．3参考答案预习检测：1.【解析】 ∵x ＜y ＜0，∴|x |＞|y |＞0.故P 在Q 的右边．【答案】 B2.【解析】 对于A ，若m ＝0，则不成立；对于B ，若c ＜0，则不成立；对于C ，a 3－b 3＞0⇒(a －b )(a 2＋ab ＋b 2)＞0，∵a 2＋ab ＋b 2＝⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＋34b 2＞0恒成立， ∴a －b ＞0，∴a ＞b .又∵ab ＞0，∴1a ＜1b.∴C 成立；对于D ，a 2＞b 2⇒(a －b )(a ＋b )＞0，不能说a ＞b .【答案】 C3.【解】 b －c ＝a 2－4a ＋4＝(a －2)2≥0，∴b ≥c .由题意可得方程组⎩⎪⎨⎪⎧b ＋c ＝3a 2－4a ＋6，b －c ＝a 2－4a ＋4， 解得b ＝2a 2－4a ＋5，c ＝a 2＋1.∴c －a ＝a 2＋1－a ＝⎝⎛⎭⎫a －122＋34>0， ∴c >a ，∴b ≥c >a .随堂检测：1.【答案】 D2.【解析】 ∵1m ＞1n ⇔1m －1n ＞0⇔n －m mn＞0⇔mn (n －m )＞0⇔mn (m －n )＜0. 【答案】 D3.【解析】 ①不正确．∵a ＜b ＜0，∴－a ＞－b ＞0，∴(－a )2＞(－b )2，即a 2＞b 2.②不正确．∵a b＜c ，若b ＜0，则a ＞bc . ③正确．∵ac 2＞bc 2，∴c ≠0，∴a ＞b .④正确．∵a ＜b ＜0，∴－a ＞－b ＞0，∴1＞b a＞0. 【答案】 C。
数学人教A版选修4-5学案：课前导引 1.1.1不等式的基本
1.1 不等式
1.1.1 不等式的基本性质(一)
课前导引
情景导入
如果甲湖湖水深度大于乙湖湖水深度,乙湖湖水深度大于丙湖湖水深度,那么甲湖湖水深度大于丙湖湖水深度,这就是不等式的传递性.不等式的性质是证明不等式和解不等式的理论依据.
知识预览
1.实数大小比较的符号法则
a-b>0⇔a>b;
a-b<0⇔a<b;
a-b=0⇔a=b.
上述三式左边是实数运算性质,右边反映的是实数大小顺序,合起来反映了实数的运算性质和大小顺序间的关系.它是本讲的理论基础,是解不等式和证明不等式的依据.
2.不等式的性质
性质1:对称性:a>b ⇔b<a.
性质2:传递性:
⇒⎭
⎬⎫>>c b b a a>c. 性质3:加法性质:
a>b ⇒a+c>b+c(c ∈R ).
推论:⎭
⎬⎫>>d c b a ⇒a+c>b+d. 说明:(1)性质3是移项法则的基础.
(2)性质3的推论是同向不等式相加法则的依据.它可以推广到任意有限个同向不等式的两边分别相加,所得不等式与原不等式同向.
(3)应特别注意,同向不等式有可加性,无可减性.如a>b,c>d ⇒a-c>b-d 是错误的.。
人教新课标版数学高二-数学(人教A)选修4-5学案 1.1.1不等式的基本性质
§1.1.1不等式的基本性质☆学习目标：1. 理解并掌握不等式的性质，能灵活运用实数的性质;2. 掌握比较两个实数大小的一般步骤☻知识情景：1. 实数的运算性质与大小顺序的关系：数轴上右边的点表示的数总 左边的点所表示的数，可知：0ba b a -⇔> 0ba b a -⇔= 0b a b a -⇔<结论：要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可。
2. 不等式的基本性质：⑴对称性：b a >⇔ ；⑵传递性：⇒>>c b b a , ；⑶同加性：⇒>b a ；推论：同加性：⇒>>d c b a ,； ⑷同乘性：⇒>>0,c b a ，⇒<>0,c b a ；推论1：同乘性：⇒>>>>0,0d c b a ；推论2：乘方性：⇒∈>>+N n b a ,0 ；推论3：开方性：⇒∈>>+N n b a ,0 ； 推论4：可倒性：⇒>>0b a .比较两数大小的一般方法：比差法与比商法(两正数)．☆案例学习：例1已知0,0>>>c b a ，求证：bc a c > ．例2若0a b a >>>-， 0c d <<，则下列命题中能成立的个数是( ) ()1ad bc >；()20a b d c +<；()3a c b d ->-；()4()()a d c b d c ->-.A 1 .B 2 .C 3 .D 4.例3 ()1若0x y <<，试比较()()22x y x y +-与()()22x y x y -+的大小；()2设0a >，0b >，且a b ≠，试比较a b a b 与b a a b 的大小.例4 若2()f x ax c =-满足4-≤(1)f ≤1-，1-≤(2)f ≤5，求(3)f 的取值范围.例5已知0,0a b c d >>>>>。
人教版高中数学选修4-5第一讲第一节不等式1不等式的基本性质教案(1)
不等式求最值的对策利用均值不等式求最值是高中数学中常用方法之一，应注意“一正二定三相等”．在解题的过程中，有时往往出现“凑出了‘常数’却取不到‘等号’”的现象，下面给大家讲几种对策，仅供同学们参考．一、平衡系数 实施均拆这是最常用的一种技巧，常有均拆整式、均拆分式、均拆幂指数等．例1 求函数)0(132>+=x x x y 的最小值． 错解：0>x33222231231213=⋅⋅≥++=+=∴xx x x x x x x y 3min 23=∴y剖析：此类错误出现较多，而且错误是不知不觉的，实际是忽视了等号成立的条件，即212x x x ==必须成立，而实际上是不可能的，解决方法可实施均拆法． 正解：(均拆整式)0>x3322182321232331232313=⋅⋅≥++=+=∴x x x x x x x y 上式当且仅当2123x x =，即332=x 时取等号．3m i n 1823=∴y 例2 求函数y ＝x 2＋16x (x ＞0)的最小值． 解：(均拆分式)∵ x ＞0，∴y ＝x 2＋88x x +≥312． 当且仅当x 2＝8x，即x ＝2时，等号成立．故y 的最小值为12．例3 若0＜x ＜31，求函数y ＝x 2(1－3x )的最大值． 解：(均拆幂指数)∵0＜x ＜31，∴ 1－3x ＞0． y ＝x 2(1－3x )＝x •x •(1－3x )＝433(13)922x x x ∙∙- ≤3334132293x x x ⎛⎫++- ⎪ ⎪⎝⎭＝4243． 当且仅当3132x x =-，即x ＝29时，等号成立，即y 的最小值为4243． 二、单调处理 简捷迅速例4 求函数4522++=x x y )(R x ∈的最小值．错解：042>+x 2241441445min 222222=∴≥+++=+++=++=∴y x x x x x x y剖析：本题似乎无懈可击，其实令41422+=+x x ，则有32-=x ，即无实数解，也就是等号取不到，因而找不到最小值．正解：由41422+++=x x y ，令242≥+=x t易证)2(1)(≥+==t t t t f y 为增函数．25212)2(min =+==∴f y 所以当242=+x ，即0=x 时，25m i n =y ．三、分项拆项 观察等号对于函数]),0(,()(c x R q p xq px x f ∈∈+=+、的最值，当直接使用均值不等式失效时，除用单调性外，还可用“分项拆项法”，再用均值不等式，同时要注意等号．例5 已知]2,0[π∈x ，求函数x x y sin 12sin 1-+-=的最小值． 解：由20π≤≤x ，得1s i n 10,1s i n 0≤-≤≤≤x x ，则min 111sin 1sin 1sin 213(sin 0时取等号)3y x x x x y =-++≥--≥+==∴=四、整体代换 减少放缩环节多次运用均值不等式，往往导致等号取不到．而用整体代换，可避免多次放缩，从而使问题获解．例6 若x ，y 这正整数，满足416x y+＝1，求 x ＋y 的最小值． 错解：∵1＝416x y +≥=∴16．又∵ x ＋y ≥232．故x ＋y 的最小值为 32．剖析：在求解过程中，利用两次放缩，在16中 y ＝4x 时等号成立．而在x ＋y ≥2，x ＝y 时等号成立，但这两次等号不能同时成立，故最小值32取不到．若采用整体代换，即可避免多次放缩，从而使问题获解．正解：x ＋y ＝1•(x ＋y )＝(416x y +)(x ＋y )＝20＋(416y x x y+) ≥20＋236． ∴ x ＋y 的最小值为36，当x ＝12，y ＝24时等号成立．。
高中数学选修4《不等式的基本性质》导学案
1.1不等式的基本性质导学案1.掌握两个实数比较大小的理论依据；2.理解并掌握不等式的性质；3.会利用不等式的基本性质证明不等式和比较大小；【重点、难点】教学重点：不等式的性质；教学难点：不等式性质的应用.二、学习过程【情景创设】1.在必修5中，我们学习了不等式的基本性质，这些性质是我们解不等式及证明不等式或者求一个变量的范围的理论依据；2.在必修5中学到的两个实数比较大小的原理及不等式的基本性质是怎样的？3.这些性质及原理是如何应用的？应用时应注意什么？【导入新课】1．不等关系是自然界中存在着的基本数学关系。
2. 实数的运算性质与大小顺序的关系： 数轴上右边的点表示的数总 左边的点所表示的数，可知： 0ba b a -⇔> 0ba b a -⇔=0b a b a -⇔<结论：要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可。
3. 不等式的基本性质：10. 对称性：b a >⇔ ；20. 传递性：⇒>>c b b a , ； 30. 同加性：⇒>b a ；推论：加法法则：⇒>>d c b a , ； 40. 同乘性：⇒>>0,c b a ，⇒<>0,c b a ； 推论1：乘法法则：⇒>>>>0,0d c b a ； 推论2：乘方性：⇒∈>>+N n b a ,0 ； 推论3：开方性：⇒∈>>+N n b a ,0 ；推论4：可倒性：⇒>>0b a .☆比较两数大小的一般方法： 与 ．三 、典例分析【例1】 判断下列各题的对错(1)c a ＜c b且c ＞0⇒a ＞b ( )． (2)a ＞b 且c ＞d ⇒ac ＞bd ( )．(3)a ＞b ＞0且c ＞d ＞0⇒a d ＞b c(4)a c 2＞b c2⇒a ＞b ( )． 【例2】 比较下列各组中两个代数式的大小：(1)x 2＋3与3x ；(2)已知a ，b 为正数，且a ≠b ，比较a 3＋b 3与a 2b ＋ab 2的大小．分析：我们知道，a －b ＞0a ＞b ，a －b ＜0a ＜b ，因此，若要比较两式的大小，只需作差并与0作比较即可．【例3】已知0,0,a b c >><求证: c c a b>。
数学选修4-5学案 §1.1.2基本不等式(1)
§1.1.2基本不等式学案（1） 姓名☆学习目标： 1. 理解并掌握重要的基本不等式，不等式等号成立的条件;2. 初步掌握不等式证明的方法 ☻知识情景：1. 不等式的基本性质：10. 对称性：b a >⇔ ； 20. 传递性：⇒>>c b b a ,；30. 同加性：⇒>b a ；推论：同加性：⇒>>d c b a , ；30. 同乘性：⇒>>0,c b a ，⇒<>0,c b a ；推论1：同乘性：⇒>>>>0,0d c b a ； 推论2：乘方性：⇒∈>>+N n b a ,0 ； 推论3：开方性：⇒∈>>+N n b a ,0 ； 推论4：可倒性：⇒>>0b a .2. 比较两数大小的一般方法：比差法与比商法(两正数时)．☻建构新知：1．定理1 如果,a b R ∈, 那么222a b ab +≥. 当且仅当a b =时, 等号成立.证明: ∵2222()0a b ab a b +-=-≥,当且仅当a b =时, 等号成立.∴222a b ab +≥,当且仅当a b =时, 等号成立.2. 定理2(基本不等式) 如果,a b R ∈, 那么2a b+≥ 当且仅当a b =时, 等号成立. 讨论: 10. 比较定理1与定理2, 有哪些相同和不同?20. 如何证明基本不等式?30. 给出图形如右, 你能解析基本不等式的几何意义吗?40. 怎样用语言表述基本不等式?☆案例学习：例1在的条件下，，00>>b a 三个结论：其中正确的个数是（ ）①22b a b a ab +≤+，②，2222b a b a +≤+ ③b a b a a b +≥+22，A ．0B ．1C ．2D ．3例2设,a R ∈b ，求证：(1) 22222a b a b ++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭; (2) 222a b c ab bc ac ++≥++．例3 (1) 设.11120,0的最小值，求且yx y x y x +=+>> ；(2) 设x 、y 是正实数，且x+y=5,则lgx+lgy 的最大值是_______________________. (3) 若正数b a ,满足3++=b a ab ，则ab 的取值范围是 ．例4一变压器的铁芯截面为正十字型,为保证所需的磁通量,要求十字应具有254cm 的面 积，问应如何设计十字型宽x 及长y ，才能使其外接圆的周长最短，这样可使绕在铁芯上的铜线最节省．例5（1）已知,a b 是正常数,a b ≠,,(0,)x y ∈+∞，求证：222()a b a b xyx y++≥+,指出等号成立的条件；（2）利用（1）的结论求函数29()12f x x x=+-（1(0,)2x ∈）的最小值，指出取最小值时x 的值．§1.1.2基本不等式练习 姓名1. 若a,b 均为大于1的正数，且ab ＝100，则lga ·lgb 的最大值是 ( )A. 0B. 1C. 2D. 252. 对一切正整数n ， 不等式112bn b n +<-+恒成立，则B 的范围是（ ）3. 设a 、b 、c 是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立．．．．的是 （ ） A ．||||||c b c a b a -+-≤- B ．aa a a 1122+≥+C ．21||≥-+-ba b a D ．a a a a -+≤+-+2134. 若关于x 的方程94340x x a ++⋅+=()有解，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(][)-∞-+∞，，80B ．()-∞-，4C ．[)-84，D ．(]-∞-，8.5 设x y R 、∈+且xy x y -+=()1，则 （ ）A ．x y +≥+221()B ．xy ≤+21C ．x y +≤+()212D ．xy ≥+221().6 若011log 22<++aa a ，则a 的取值范围是.7 f x ax ax ()=+-21在R 上满足f x ()<0，则a 的取值范围是 .8 若1>a ，10<<b ，且log (21)1b x a ->，则实数x 的范围是 ．.9 函数221()1x x f x x ++=+的值域为 ．.10为了竖一块广告牌，要制造三角形支架.三角形支架如图，要求∠ACB=60°，BC 长度大于1米， 且AC 比AB 长0.5米.为了广告牌稳固，要求AC 的长度越短越好，求AC 最短为多 少米？ 且当AC 最短时，BC 长度为多少米？.11 （1）设不等式2x －1＞m (x 2－1)对满足|m |≤2的一切实数m 的取值都成立，求x 的取 值范围；（2） 是否存在m 使得不等式2x －1＞m (x 2－1)对满足|x |≤2的一切实数x 的取值都成立．.12已知0,0,,a b a b >>的等差中项是21, 且11,a b a b αβ=+=+, 求αβ+的最小值.。
3.1不等式的基本性质(1)(人教A版选修4-5)
思考？
从上述事实出发，你认为可以用什么方法
比较两个实数的大小？
要比较两个实数a与b的大小，可以转化为比
较它们的差a - b 与0的大小。在这里，0为实数
比较大小提供了“标杆”。
例1、试比较 2x4+1 与 2x3+x2 的大小 2 4 3 4
• 解： (2x +1) - (2x +x ) = 2x +1 - 2x3 _ x2 • = (2x4 - 2x3 )- (x2 -1) • = 2x3 (x -1) - (x -1) (x +1) • = (x－1) [2x3 - (x +1) ] • = (x－1)[(2x3－2x2) + (2x2－2x) + (x－1)] • = (x -1)2 (2x2 + 2x + 1) • = (x -1)2 [2 (x + 1/2)2 + 1/2] • 技能： • 分组组合；添项、拆项；配方法。
作业
一、课本 P10 2
二、补充
1．比较 ( x 5)( x 7)与( x 6) 的大小．
2
2．如果x 0,比较 ( x 1) 2 与( x 1) 2 的大小． 3．已知 a 0，比较 (a 2 2a 1)( a 2 2a 1)
与 (a 2 a 1)(a 2 a 1) 的大小．
第一讲 不等式和 绝对值不等式
一 不等式
1
不等式的基本性质
(第一课时)
• 观察以下四个不等式：
• • • •
a+2 > a+1----------------(1) a+3>3a-------------------(2) 3x+1<2x+6--------------(3) x<a------------------------(4)
人教版高中选修4-51.不等式的基本性质课程设计 (2)
人教版高中选修4-51.不等式的基本性质课程设计一、教学目标1.了解不等式的概念、符号及其性质；2.掌握不等式的基本运算，3.学会使用不等式解决实际问题；4.发展学生的思维能力，提高学生的数学素养。
二、教学重点和难点教学重点1.不等式的概念、符号及其性质；2.不等式的基本运算；3.利用不等式解决实际问题。
教学难点1.利用不等式解决实际问题；2.思维方法的发展。
三、教学内容及安排1. 不等式的基本概念1.1. 不等式的概念不等式是数学中一个十分重要的概念，是指数字之间的大小关系。
在不等式中，等于也是一种特殊的情况。
当两个数字相等时，我们可以使用等号。
1.2. 不等式的符号不等式有以下主要符号：•大于：>•小于：<•大于等于：$\\geq$•小于等于：$\\leq$1.3. 不等式的性质不等式的性质包括传递性、对称性和反对称性等，并通过例子和练习加深理解。
2. 不等式的基本运算2.1. 不等式的加减法两边同时加或减一个数不改变不等式的大小关系。
2.2. 不等式的乘除法•两边同时乘或除一个正数，不改变不等式的大小关系；•两边同时乘或除一个负数，不仅改变不等式的大小关系，而且反向（‘大于’变为‘小于’，‘小于’变为‘大于等于’，‘大于等于’变为‘小于’，‘小于等于’变为‘大于’）。
2.3. 系数不等于0的不等式如果一个不等式中的系数不等于0，则可以对两边进行乘除法。
3.不等式的解法针对问题式的不等式，使用不等式的基本运算得出解。
4. 实际问题的应用通过实际问题的例子，让学生学会运用不等式解决问题。
四、教学方法通过教材中的例题和练习，让学生掌握不等式基本概念、符号、基本运算等。
在此基础上，通过实际问题进行训练，让学生掌握如何使用不等式解决实际问题。
同时，鼓励学生独立思考，发展出自己解决问题的思维方法。
五、教学手段1.PowerPoint2.教师讲授3.学生讨论六、教学评价1.作业评价2.课堂测试3.期中考试4.学生反馈七、教学现场操作流程1. 授课前准备1.教材及相关辅助教材2.教学课件3.学生练习册4.教学工具2. 教学流程1.定义不等式；2.介绍不等式的符号和性质；3.讲解不等式的基本运算，如加减法和乘除法；4.练习不等式的基本运算；5.解答实际问题；6.课堂测试。
教学设计 选修4-5-《不等式的基本性质》教学设计
教学设计选修4-5-《不等式的基本性质》教学设计本教学设计旨在帮助学生掌握不等式的基本性质，理解用两个实数差的符号来规定两个实数大小的意义。
教学目标包括理解不等式研究的基础，掌握不等式的基本性质，并能加以证明；会用不等式的基本性质判断不等关系和用比较法，分析法证明简单的不等式。
教学重点为应用不等式的基本性质推理判断命题的真假，利用不等式的性质求范围。
教学难点在于灵活应用不等式的基本性质。
引入部分介绍了现实世界中的不等关系，说明了本章知识的地位和作用。
不等式的基本性质部分分为六个小点，包括实数的运算性质与大小顺序的关系，对称性、传递性、可加性、可乘性、乘、开方法和倒数性质。
通过例题演示了“差比法”的应用，引导学生灵活运用不等式的基本性质。
本教学设计的目的是帮助学生全面掌握不等式的基本性质，理解实数大小的比较方法，能够应用不等式的基本性质推理判断命题的真假，利用不等式的性质求范围。
1.差比法和商比法是比较大小的常用方法。
差比法指如果A减去B大于0，则A大于B；如果A减去B等于0，则A 等于B；如果A减去B小于0，则A小于B。
商比法指如果A和B都大于0，则A除以B大于1，则A大于B；如果A 除以B等于1，则A等于B；如果A除以B小于1，则A小于B。
2.在命题判断中，第一题中的命题错误，因为无法确定c 和d的大小关系；第二题中的命题正确，因为如果a除以b大于1，则a大于b；第三题中的命题错误，因为无法确定a和b的大小关系；第四题中的命题错误，因为无法确定c和d的大小关系；第五题中的命题正确，因为如果a小于b小于c，则a小于c。
3.在例3中，已知c大于a大于b大于0，可以通过分析得出证题思路。
因为a除以c大于b除以c，所以a减去b除以c减去b大于0，即(a-b)/(c-b)大于0.又因为c减去a除以c 减去b小于1，即(c-a)/(c-b)小于1.因此，可以得出a小于c乘以b除以a小于b小于c。
4.在例4中，已知-π/2小于等于α小于β小于等于π/2，需要求α加β除以α减去β除以2的范围。
高中数学人教A版选修4-5教学案：第一讲一1.不等式的基本性质
1．不等式的基本性质对应学生用书P1 1．实数大小的比较(1)数轴上的点与实数一一对应，可以利用数轴上点的左右位置关系来规定实数的大小．在数轴上，右边的数总比左边的数大．(2)如果a－b＞0，则a＞b；如果a－b＝0，则a＝b；如果a－b＜0，则a＜b.(3)比较两个实数a与b的大小，归结为判断它们的差a－b的符号；比较两个代数式的大小，实际上是比较它们的值的大小，而这又归结为判断它们的差的符号．2．不等式的基本性质由两数大小关系的基本事实，可以得到不等式的一些基本性质：(1)如果a＞b，那么b＜a；如果b＜a，那么a＞b.即a＞b⇔b＜a.(2)如果a＞b，b＞c，那么a＞c.即a＞b，b＞c⇒a>c.(3)如果a＞b，那么a＋c>b＋c.(4)如果a＞b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac<bc.(5)如果a>b>0，那么a n>b n(n∈N，n≥2)．(6)如果a>b>0n∈N，n≥2)．3．对上述不等式的理解使用不等式的性质时，一定要清楚它们成立的前提条件，不可强化或弱化它们成立的条件，盲目套用，例如：(1)等式两边同乘以一个数仍为等式，但不等式两边同乘以同一个数c(或代数式)结果有三种：①c＞0时得同向不等式；②c＝0时得等式；③c<0时得异向不等式．(2)a＞b，c＞d⇒a＋c>b＋d，即两个同向不等式可以相加，但不可以相减；而a>b>0，c>d>0⇒ac>bd，即已知的两个不等式同向且两边为正值时，可以相乘，但不可以相除．(3)性质(5)、(6)成立的条件是已知不等式两边均为正值，并且n∈N，n≥2，否则结论不成立．而当n取正奇数时可放宽条件，a>b⇒a n>b n(n＝2k＋1，k∈N)，a>b⇒na>nb(n＝2k＋1，k∈N＋)．(4)在不等式的基本性质中，条件和结论的逻辑关系有两种：“⇒”与“⇔”，即推出关系和等价关系，或者说“不可逆关系”与“可逆关系”．这要求必须熟记与区别不同性质的条件．如a ＞b ，ab ＞0⇒1a ＜1b，而反之不成立．对应学生用书P1[例1] 已知x ，y 均为正数，设m ＝1x ＋1y ，n ＝4x ＋y，试比较m 和n 的大小．[思路点拨] 两式作差――→变形 转化为因式乘积形式――→与0比较判断正负，得出大小 [解] m －n ＝1x ＋1y －4x ＋y ＝x ＋y xy －4x ＋y ＝(x ＋y )2－4xy xy (x ＋y )＝(x －y )2xy (x ＋y )，∵x ，y 均为正数，∴x >0，y >0，xy >0，x ＋y >0，(x －y )2≥0. ∴m －n ≥0，即m ≥n .(当x ＝y 时，等号成立)．比较两个数(式子)的大不，一般用作差法，其步骤是：作差—变形—判断差的符号—结论，其中“变形”是关键，常用的方法是分解因式、配方等．1．已知a ，b ∈R ，比较a 4＋b 4与a 3b ＋ab 3的大小． 解：因为(a 4＋b 4)－(a 3b ＋ab 3) ＝a 3(a －b )＋b 3(b －a ) ＝(a －b )(a 3－b 3) ＝(a －b )2(a 2＋ab ＋b 2) ＝(a －b )2⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＋34b 2≥0 (当且仅当a ＝b 时，取“＝”号) 所以a 4＋b 4≥a 3b ＋ab 3.2．在数轴的正半轴上，A 点对应的实数为6a 29＋a 4，B 点对应的实数为1，试判别A 点在B 点的左边，还是在B 点的右边？解：因为6a 29＋a 4－1＝－(a 2－3)29＋a 4≤0，所以6a 29＋a 4≤1.当且仅当a ＝±3时取“＝”，所以当a ≠±3时，A 点在B 点左边，当a ＝±3时，A 点与B 点重合．[例2] 已知a >b >0，c <d <0，e <0. 求证：e a －c >e b －d. [思路点拨] 可以作差比较，也可用不等式的性质直接证明． [证明] 法一：e a －c －eb －d ＝e (b －d －a ＋c )(a －c )(b －d )＝e (b －a ＋c －d )(a －c )(b －d )，∵a >b >0，c <d <0， ∴b －a <0，c －d <0. ∴b －a ＋c －d <0.又∵a >0，c <0，∴a －c >0. 同理b －d >0， ∴(a －c )(b －d )>0.∵e <0，∴e (b －a ＋c －d )(a －c )(b －d )>0.即e a －c >eb －d.法二：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫c <d <0⇒－c >－d >0a >b >0⇒⎭⎪⎬⎪⎫a －c >b －d >0⇒1a －c <1b －d e <0⇒e a －c ＞e b －d .进行简单的不等式的证明，一定要建立在记准、记熟不等式性质的基础之上，如果不能直接由不等式的性质得到，可以先分析需要证明的不等式的结构，利用不等式的性质进行逆推，寻找使其成立的充分条件．3．判断下列命题的真假，并简述理由． (1)若a >b ，c >d ，则ac >bd ； (2)若a >b >0，c >d >0，则a c >bd ；(3)若a >b ，c <d ，则a －c >b －d ；(4)若a >b ，则a n ＞b n ，n a >nb (n ∈N 且n ≥2)．解：(1)取a ＝3，b ＝2，c ＝－2，d ＝－3，即3>2，－2>－3.此时ac ＝bd ＝－6.因此(1)为假命题．(2)因同向不等式不能相除，取a ＝6，b ＝4，c ＝3，d ＝2，此时a c ＝bd ＝2.因此(2)为假命题．(3)∵c <d ，∴－c >－d ，因此(3)为真命题．(4)当a >b >0时，才能成立，取a ＝－2，b ＝－3，当n 为偶数时不成立，因此(4)为假命题．4．已知a ，b ，x ，y 都是正数，且1a >1b ，x >y ，求证：x x ＋a >y y ＋b. 证明：因为a ，b ，x ，y 都是正数， 且1a >1b .x >y ，所以x a >y b ， 所以a x <b y .故a x ＋1<by ＋1， 即x ＋a x <y ＋b y .所以x x ＋a >y y ＋b.[例3] (1)已知：－π2≤α<β≤π2，求α－β的范围．(2)已知：－1≤a ＋b ≤1,1≤a －2b ≤3，求a ＋3b 的范围． [思路点拨] 求代数式的范围应充分利用不等式的基本性质． [解] (1)∵－π2≤α<β≤π2，∴－π2≤α＜π2，－π2≤－β＜π2.且α＜β.∴－π≤α－β＜π且α－β＜0.∴－π≤α－β<0.即α－β的范围为[－π，0)． (2)设a ＋3b ＝λ1(a ＋b )＋λ2(a －2b ) ＝(λ1＋λ2)a ＋(λ1－2λ2)b . 解得λ1＝53，λ2＝－23.∴－53≤53(a ＋b )≤53，－2≤－23(a －2b )≤－23.∴－113≤a ＋3b ≤1.即a ＋3b 的范围为⎣⎡⎦⎤－113，1.求代数式的取值范围是不等式性质应用的一个重要方面，严格依据不等式的性质和运算法则进行运算，是解答此类问题的基础，在使用不等式的性质中，如果是由两个变量的范围求其差的范围，一定不能直接作差，而要转化为同向不等式后作和．5．若8＜x ＜10,2＜y ＜4，则xy 的取值范围是________．解析：∵2＜y ＜4， ∴14＜1y ＜12.又8＜x ＜10， ∴2＜x y ＜5.答案：(2,5)6．已知1≤α＋β≤4，－2≤α－β≤－1，求2α－β的取值范围． 解：设2α－β＝m (α＋β)＋n (α－β)，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝2，m －n ＝－1.⇒⎩⎨⎧m ＝12，n ＝32.又1≤α＋β≤4，－2≤α－β≤－1∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫12≤12(α＋β)≤2，－3≤32(α－β)≤－32，⇒－52≤2α－β≤12.∴2α－β的取值范围为⎣⎡⎦⎤－52，12对应学生用书P31．已知数轴上两点A ，B 对应的实数分别为x ，y ，若x <y <0，则|x |与|y |对应的点P ，Q 的位置关系是( )A ．P 在Q 的左边B ．P 在Q 的右边C ．P ，Q 两点重合D ．不能确定解析：∵x <y <0，∴|x |>|y |>0.故P 在Q 的右边． 答案：B2．下列命题中不．正确的是( ) A ．若3a >3b ，则a >b B ．若a >b ，c >d ，则a －d >b －c C ．若a >b >0，c >d >0，则a d >bcD ．若a >b >0，ac >bd ，则c >d解析：当c >0，d >0时，才有a >b >0，ac >bd ⇒c >d . 答案：D3．已知a >b >c ，则下列不等式正确的是( ) A ．ac >bcB ．ac 2>bc 2C ．b (a －b )>c (a －b )D ．|ac |>|bc |解析：a >b >c ⇒a －b >0⇒(a －b )b >(a －b )c . 答案：C4．已知a ，b ，c ∈(0，＋∞)，若c a ＋b ＜a b ＋c ＜bc ＋a ，则( )A ．c ＜a ＜bB ．b ＜c ＜aC ．a ＜b ＜cD ．c ＜b ＜a解析：由c a ＋b ＜a b ＋c ＜b c ＋a ，可得c a ＋b ＋1＜a b ＋c ＋1＜bc ＋a ＋1，即a ＋b ＋c a ＋b ＜a ＋b ＋c b ＋c ＜a ＋b ＋cc ＋a，又a ，b ，c ∈(0，＋∞)，所以a ＋b ＞b ＋c ＞c ＋a .由a ＋b ＞b ＋c 可得a ＞c ；由b ＋c ＞c ＋a 可得b ＞a ，于是有c ＜a ＜b .答案：A5．已知0＜a ＜1，则a ，1a，a 2的大小关系是________．解析：∵a －1a ＝(a ＋1)(a －1)a ＜0，∴a ＜1a.又a －a 2＝a (1－a )＞0， ∴a ＞a 2.∴a 2＜a ＜1a .答案：a 2＜a ＜1a6．给出四个条件：①b >0>a ，②0>a >b ，③a >0>b ，④a >b >0. 能得出1a ＜1b成立的有________．解析：由1a <1b ，得1a －1b <0，b －a ab <0，故①②④可推得1a <1b 成立．答案：①②④7．设x ＝a 2b 2＋5，y ＝2ab －a 2－4a ，若x >y ，则实数a ，b 应满足的条件为________． 解析：∵x >y ，∴x －y ＝a 2b 2＋5－2ab ＋a 2＋4a ＝(ab －1)2＋(a ＋2)2>0. ∴ab －1≠0或a ＋2≠0. 即ab ≠1或a ≠－2. 答案：ab ≠1或a ≠－28．若a >0，b >0，求证：b 2a ＋a 2b ≥a ＋b .证明：∵b 2a ＋a 2b －a －b ＝(a －b )⎝⎛⎭⎫a b －b a ＝(a －b )2(a ＋b )ab，(a －b )2≥0恒成立，且已知a ＞0，b ＞0， ∴a ＋b >0，ab >0.∴(a －b )2(a ＋b )ab ≥0.∴b 2a ＋a 2b≥a ＋b .9．若f (x )＝ax 2＋bx ，且1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，求f (－2)的取值范围． 解：∵f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b ， f (－2)＝4a －2b ＝Af (－1)＋Bf (1)，则⎩⎪⎨⎪⎧ A ＋B ＝4，B －A ＝－2⇒⎩⎪⎨⎪⎧A ＝3，B ＝1.∴f(－2)＝3f(－1)＋f(1)．∵2≤f(1)≤4,1≤f(－1)≤2，∴3≤3f(－1)≤6，∴5≤f(1)＋3f(－1)≤10，∴5≤f(－2)≤10.10．已知a>0，a≠1.(1)比较下列各组大小．①a2＋1与a＋a；②a3＋1与a2＋a；③a5＋1与a3＋a2.(2)探讨在m，n∈N＋条件下，a m＋n＋1与a m＋a n的大小关系，并加以证明．解：(1)∵a>0，a≠1，∴①a2＋1－(a＋a)＝a2＋1－2a＝(a－1)2>0.∴a2＋1>a＋a.②a3＋1－(a2＋a)＝a2(a－1)－(a－1)＝(a＋1)(a－1)2＞0，∴a3＋1>a2＋a，③a5＋1－(a3＋a2)＝a3(a2－1)－(a2－1)＝(a2－1)(a3－1)．当a>1时，a3>1，a2>1，∴(a2－1)(a3－1)>0.当0<a<1时，0<a3<1,0<a2<1，∴(a2－1)(a3－1)>0.即a5＋1>a3＋a2.(2)根据(1)可探讨，得a m＋n＋1＞a m＋a n.(证明如下)a m＋n＋1－(a m＋a n)＝a m(a n－1)＋(1－a n)＝(a m－1)(a n－1)．当a>1时，a m>1，a n>1，∴(a m－1)(a n－1)>0.当0<a<1时，0<a m<1,0<a n<1，∴(a m－1)(a n－1)>0.综上(a m－1)(a n－1)>0，即a m＋n＋1>a m＋a n.。
人教课标版高中数学选修4-5：《不等式的基本性质》教案-新版
1.1 课时1 不等式的基本性质一、教学目标（一）核心素养在回顾和复习不等式的过程中，对不等式的基本性质进行系统地归纳整理，并对“不等式有哪些基本性质和如何研究这些基本性质”进行讨论，使学生掌握相应的思想方法，以提高学生对不等式基本性质的认识水平.（二）学习目标1.理解用两个实数差的符号来规定两个实数大小的意义，建立不等式研究的基础.2.掌握不等式的基本性质，并能加以证明.3.会用不等式的基本性质判断不等关系和用比较法.（三）学习重点应用不等式的基本性质推理判断命题的真假；代数证明.（四）学习难点灵活应用不等式的基本性质.二、教学设计（一）课前设计1.预习任务（1）读一读：阅读教材第2页至第4页，填空：a b >⇔ a b =⇔ a b <⇔（2）判断：下列说法是否正确？①,a b b c a c >>⇒> ②a c b c a b +>+⇒> ③ac bc a b >⇒>④33a b a b >⇒> ⑤22a b a b >⇒> ⑥,a b c d ac bd >>⇒>2.预习自测（1）当x ∈ ，代数式2(1)x +的值不大于1x +的值.【知识点】作差比较法【解题过程】2(1)(1)x x +-+=2(1)x x x x -=-【思路点拨】熟悉作差比较法【答案】[0,1]（2）若c ∈R ，则22ac bc > a b >A.⇒B.⇔C.⇐D.≠【知识点】不等式的基本性质【解题过程】由22ac bc >，得0c ≠，所以20c >；当,0a b c >=时，22ac bc =.【思路点拨】掌握不等式的基本性质【答案】A.（3）当实数,a b 满足怎样条件时，由a b >能推出11a b<? 【知识点】作差比较法 【解题过程】11b a a b ab --=，因为a b >，所以当0ab >时，11a b <. 【思路点拨】掌握作差比较法【答案】当0ab >时，11a b<. (二)课堂设计1.问题探究探究一 结合实例，认识不等式●活动① 归纳提炼概念人与人的年龄大小、高矮胖瘦，物与物的形状结构，事与事成因与结果的不同等等都表现出不等的关系，这表明现实世界中的量，不等是普遍的、绝对的，而相等则是局部的、相对的.【设计意图】从生活实例到数学问题，从特殊到一般，体会概念的提炼、抽象过程. ●活动② 认识作差比较法关于实数,a b 的大小关系，有以下基本事实：如果a b >，那么a b -是正数；如果a b =，那么a b -等于零；如果a b <，那么a b -是负数.反过来也对.这个基本事实可以表示为：0;0;0a b a b a b a b a b a b >⇔->=⇔-=<⇔-<，上面的符号“⇔”表示“等价于”，即可以互相推出.从上述基本事实可知，要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与零的大小，这是研究不等式的一个出发点.这种方法称为作差比较法.【设计意图】通过基本事实，加深对不等式的理解，突破重点.●活动③ 了解作差比较法的步骤例1 试比较(3)(7)x x ++和(5)(6)x x ++的大小.【知识点】作差比较法【数学思想】分类讨论思想【解题过程】第一步：作差 (3)(7)(5)(6)x x x x ++-++第二步：变形 22(3)(7)(5)(6)(1021)(1130)9x x x x x x x x x ++-++=++-++=--第三步：定号 当90x -->时，9x <-；当90x --=时，=9x -；当90x --<时，9x >- 第四步：结论当9x <-时，(3)(7)(5)(6)x x x x ++>++；当9x =-时，(3)(7)=(5)(6)x x x x ++++；当9x >-时，(3)(7)(5)(6)x x x x ++<++；【思路点拨】熟悉作差比较法比较大小的步骤【答案】当9x <-时，(3)(7)(5)(6)x x x x ++>++；当9x =-时，(3)(7)=(5)(6)x x x x ++++；当9x >-时，(3)(7)(5)(6)x x x x ++<++；思考：作差比较法的步骤中，哪一步最为关键？第二步变形最重要，变形要变到可以判断代数式的正负为止，变形的方法通常有分解因式，配方，平方，有理化等.同类训练 比较(1)(2)x x ++与(3)(6)x x -+的大小.【知识点】作差比较法【数学思想】分类讨论思想【解题过程】 因为 22(1)(2)(3)(6)(32)(318)200x x x x x x x x ++--+=++-+-=>， 所以(1)(2)(3)(6)x x x x ++>-+【思路点拨】熟悉作差比较法比较大小的步骤【答案】(1)(2)(3)(6)x x x x ++>-+【设计意图】通过对作差比较法的步骤分析，更加深刻理解不等式.探究二 探究不等式的基本性质●活动① 认识不等式的基本性质我们知道，等式的基本性质是从数的运算的角度提出的.同样的，由于不等式也研究实数之间的关系，所以联系实数的运算（加、减、乘、除、乘方、开方等）来思考不等式的基本性质是非常自然的.例如，不等式两边加（或乘）同一个数，不等式是否仍然成立？等等.由两个实数大小关系的基本事实，可以得出不等式的一些基本性质.（1）如果a b >，那么b a <；如果b a <，那么a b >.即a b b a >⇔<.（2）如果,a b b c >>，那么a c >.即,a b b c a c >>⇒>.（3）如果a b >，那么a c b c +>+.（4）如果,0a b c >>，那么ac bc >；如果,0a b c ><，那么ac bc <.（5）如果0a b >>，那么(,2)n n a b n n >∈≥N .（6）如果0a b >>,2)n n >∈≥N .通过语言叙述可以加深理解上述基本性质.例如，性质（4）可以表述为：不等式两边同乘一个正数，不等号同向；不等式两边同乘一个负数，不等号反向.对于以上的基本性质，可采用作差比较法来证明，如性质（4）：证明：()ac bc c a b -=-，如果,0a b c >>，则0,0a b c ->>，所以()0ac bc c a b -=->，即ac bc >，同理如果,0a b c ><，那么ac bc <.思考：通过不等式的基本性质，在研究不等式时，需要特别注意什么问题？事实上，从上述基本性质可以发现，在研究不等式时，需要特别注意“符号问题”，即在作乘（除）法运算时，乘（除）数的符号会影响不等号的方向.【设计意图】通过对不等式的性质的认识，为后面的运用做好铺垫.●活动② 巩固理解，拓展延伸上述关于不等式的基本事实和基本性质是解决不等式问题的基本依据，研究不等式时，经常以它们作为出发点.例如，利用不等式的基本性质可以得到下列结论：（1）如果,a b c d >>，那么a c b d +>+；（2）如果0,0a b c d >>>>，那么ac bd >；（3）如果0,ab a b >>，那么11a b<. 对于上述（2），可由如下方法证明：()()()()0ac bd ac bc bc bd c a b b c d -=-+-=-+->，所以ac bd >.【设计意图】从给出的基本性质到延伸性质，加深对不等式的认识.探究三 不等式性质的应用●活动① 利用性质证明不等式例2 已知0,0a b c d >>>>>. 【知识点】不等式的基本性质【解题过程】证明：因为0,0a b c d >>>>，所以110,0a b d c >>>>.所以a b d c >>. 【思路点拨】掌握不等式的基本性质【答案】见解析同类训练 求证：如果0,0a b c d >><<，那么ac bd <.【知识点】不等式的基本性质【解题过程】证明：因为0c d <<，所以0c d ->->，又因为0a b >>，所以两式可相乘，得ac bd ->-，所以ac bd <.【思路点拨】掌握不等式的基本性质【答案】见解析【设计意图】通过对例题的讲解，使学生掌握利用不等式的性质证明不等式.●活动② 互动交流、判断正误例3 若011<<ba ，以下结论中正确的有 ①ab b a <+； ②||||b a >； ③b a <； ④02<-ab a【知识点】不等式的基本性质；特殊值法【数学思想】特殊与一般思想【解题过程】法1：由011<<ba ，得0<<ab ，所以ab b a <<+0，①正确，②③错误； 0)(2<-=-b a a ab a ，④正确法2：取2,1-=-=b a ，可算出各式的值，得出答案.【思路点拨】熟悉不等式的基本性质，掌握特殊值法.【答案】①④同类训练 判断下列各命题的真假，并说明理由：（1）如果b a >，那么bc ac >；（2）如果b a >，那么22bc ac >；（3）如果b a >，那么)(*N n b a n n ∈>)(R ∈>n b a n n ；（4）如果d c b a <>,，那么d b c a ->-.【知识点】不等式的基本性质【解题过程】（1）是假命题，因为不知c 的正负；（2）是假命题，因为当0=c 时不成立；（3）是假命题，因为不知b a ,的正负；（4）是真命题，因为d c b a ->->,，由同向不等式的可加性知,d b c a ->-.【思路点拨】熟悉不等式的基本性质【答案】见解析【设计意图】通过分析不等式的结论是否正确，掌握利用不等式的性质判断及特殊值判断.2.课堂总结知识梳理（1）0;0;0a b a b a b a b a b a b >⇔->=⇔-=<⇔-<.（2）作差比较法的步骤：作差、变形、定号、结论.（3）不等式的基本性质.重难点归纳（1）应用不等式的基本性质推理判断命题的真假.（2）灵活应用不等式的基本性质.（三）课后作业基础型 自主突破1.设,a b ∈R , 则 “2()0a b a -<”是“a b <”的（ ）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【知识点】不等式的性质；充分必要条件【数学思想】分类讨论思想【解题过程】若2()0a b a -<，则a b <；若a b <，则2()0a b a -≤，所以“2()0a b a -<”是“a b <”的充分而不必要条件.【思路点拨】掌握不等式的基本性质【答案】A2.对于任意实数,,,a b c d ，下列五个命题中:①若,0a b c >≠，则ac bc >；②若a b >，则22ac bc >；③若22ac bc >，则a b >； ④若,a b >则11a b<； ⑤若0,a b c d >>>，则ac bd >.其中真命题的个数是（ ）A.1B.2C.3D.4【知识点】不等式的性质【解题过程】,0a b c >≠，当0c <时，ac bc >不成立，①是假命题；a b >，当20,0c c ==时，22ac bc >不成立，②是假命题；因为22ac bc >，所以，20c >，a b >，③是真命题；,a b >当,a b 同号时，11a b <成立，而,a b 异号时，11a b <不成立，④是假命题；0,a b c d >>>时，ac bd >不一定成立，只有当0,0a b c d >>>>时，ac bd >成立，⑤是假命题.【思路点拨】掌握不等式的基本性质【答案】A3.如果0a b <<, 那么（ ）A.0a b ->B. ac bc <C.22a b <D.11a b> 【知识点】不等式的性质【解题过程】利用不等式的性质: 1100a b b a <<⇒<< 【思路点拨】掌握不等式的基本性质【答案】D4.不等式22lg lg x x <的解集是（ ） A.1(,1)100 B.(100,)+∞ C.1(,1)100(100,)+∞ D.(0,1)(100,)+∞【知识点】不等式性质及对数运算. 【解题过程】：由22lg lg x x < 22lg lg x x ⇒< lg 2x ⇒>或lg 0x < 100x ⇒>或01x <<【思路点拨】掌握不等式的基本性质及对数运算，注意真数大于0.【答案】D5.设11a b >>>-,则下列不等式中恒成立的是（ ）A.2a b >B.11a b >C.11a b< D.22a b > 【知识点】不等式的性质及应用【解题过程】由11b -<< 201b ⇒<<, 又1a >, 2a b ∴>.【思路点拨】掌握不等式的基本性质【答案】A6.若0<<b a ，则下列不等式一定成立的是（ ） A. b b a 11>- B.ab a <2 C.a a b a > D.1||1||||++<a b a b 【知识点】不等式的性质.【数学思想】特殊与一般思想【解题过程】当012<-=<-=b a 时，b b a 11=-，141=<=a a b a ，∴选项A 、C 都不成立， 又0<<b a ，ab a >∴2，∴选项B 不成立，又0)1|(|||)1|(|||||||1||1||||<++-=+-=++-a a a b a a a b a b a b ，即1||1||||++<a b a b 成立. 【思路点拨】掌握不等式的基本性质【答案】D能力型 师生共研7.已知命题2:[1,2],0p x x a ∀∈-≥，命题2:,220q x x ax a ∃∈++-=R ，若命题p q ∧是真命题，则实数a 的取值范围是（ ）A.2a ≤-或1a =B.2a ≤-或12a ≤≤C.2a ≥D.21a -≤≤【知识点】命题及不等式【数学思想】化归与转化思想【解题过程】命题p 为真命题时，要使2[1,2],0x x a ∀∈-≥，只需2min ()a x ≤，因为[1,2]x ∈，所以214x ≤≤，所以2min ()1x =，所以1a ≤①；命题q 为真命题时，2,220x x ax a ∃∈++-=R ，即2220x ax a ++-=有实数根，所以2(2)4(2)0a a ∆=--≥，解得21a a ≤-≥或②.因为p q ∧是真命题，所以,p q 均为真命题.①②取交集得2a ≤-或1a =.【思路点拨】掌握分离参数法解含参问题【答案】A8.已知,,a b c ∈R ，给出下列命题：①若a b >，则22ac bc >；②若0ab ≠，则2a b b a+≥；③若0,a b n *>>∈N ，则n n a b >； ④若log 0(0,1)a b a a <>≠，则,a b 中至少有一个大于1.其中真命题的个数为（ ）A.2B.3C.4D.1【知识点】不等式及不等关系，不等式的性质，对数的性质.【解题过程】当0c =时，220ac bc ==，所以①为假命题；当a 与b 异号时，0a b <，0b a <，所以②为假命题；因为0,a b n *>>∈N ，所以n n a b >，③为真命题. ④若log 0(0,1)a b a a <>≠，则有可能1,01a b ><<或1,01b a ><<，即,a b 中至少有一个大于1.是真命题.【思路点拨】掌握不等式的基本性质及对数的性质【答案】A探究型 多维突破9.集合()*{,,S x y z x y z =∈N 、、，且x y z <<、y z x <<、z x y <<恰有一个成立}，若(),,x y z S ∈且(),,z w x S ∈,则下列选项正确的是（ ）A.(),,y z w S ∈,(),,x y w S ∉B.(),,y z w S ∈,(),,x y w S ∈C.(),,y z w S ∉,(),,x y w S ∈D.(),,y z w S ∉,(),,x y w S ∉【知识点】不等关系.【数学思想】分类讨论思想【解题过程】从集合S 的定义，(),,x y z S ∈可三个不等式，(),,z w x S ∈也可得三个不等式，组合之后可知,,,x y z w 满足不等关系x y z <<且x z w <<，或x y z <<且w x y <<，或y z x <<且z w x <<，或z x y <<且z w x <<，这样可能有y z w <<或w y z <<或y z w <<或w x y <<，于是(),,x y w S ∉不一定成立，(),,y z w S ∉也不一定成立.【思路点拨】分类讨论注意不重不漏【答案】B10.已知0a b >>，则下列不等式中总成立的是（ ） A.11a b b a +>+ B.11a b a b +>+ C.11b b a a +>+ D.11b a b a->- 【知识点】不等式的性质 【解题过程】11110,0,a b a b b a b a >>∴>>∴+>+. 【思路点拨】掌握不等式的基本性质【答案】A自助餐11.如果a b c 、、满足c b a <<，且0ac <，那么下列选项不恒成立的是（ ）A.ab ac >B.22cb ab <C.()0c b a ->D.()0ac a c -<【知识点】不等式的性质.【解题过程】c a <且0ac <，故0,0c a <>，由不等式的性质知A ，C ，D 都恒成立.【思路点拨】掌握不等式的基本性质【答案】B12.已知,a b ∈R 且b a >，则下列不等式中成立的是（ ） A.1>ba B.22b a > C.()ln 0a b -> D.21a b -> 【知识点】不等式的性质.【解题过程】只有当0a b >>时，选项A ，B 正确；要使()ln 0a b ->，必须1a b ->，所以选项C 错误；当b a >时，00,221a b a b -->∴>=.【思路点拨】掌握不等式的基本性质【答案】D13.设,,a b c ∈R 且a b >，则（ ）A.ac bc >B.11a b< C.22a b > D.33a b > 【知识点】不等式的性质.【解题过程】选项A 中若0c 时,结果错,故A 不正确;选项B 中若0a b >>时,结果错,故B 不正确;选项C 中若0a b >>时,结果错,故C 不正确;在选项D 中由不等式性质可知是正确的.【思路点拨】掌握不等式的基本性质【答案】D14.当01x <<时，下列大小关系正确的是（ ）A.333log x x x <<B.33log 3x x x <<C.333log x x x <<D.33log 3x x x <<【知识点】利用中间值法比较大小【解题过程】当01x <<时，33log log 10x <=，33011x <<=，0113333x =<<=，所以33log 3x x x <<.【思路点拨】利用中间值法比较大小时，注意找准“中值”【答案】B15.设()23ln ,3,2234.1===c b a ,则,,a b c 的大小关系是（ ） A.a b c >> B.b c a >> C.c a b >> D.b a c >>【知识点】比较大小.【解题过程】 1.41a =>，3231b =>，3ln 12c =<，所以c 最小，而2 1.42a =，23327b ==， 所以22a b <，即a b <，所以综上得：c a b <<.【思路点拨】比较对数或指数大小时，可先确定其大致范围，然后再比较【答案】D16.若53,42≤<<≤b a ，则b a -3的取值范围为 ，bb a +2的取值范围为 . 【知识点】不等式的性质【解题过程】因为53,42≤<<≤b a ，所以35,1236-<-≤-<≤b a ，所以 931<-≤b a ；31151,824<≤<≤b a ，所以38254<≤b a ，所以3111259<+≤b a ，即311259<+≤b b a . 【思路点拨】应用不等式的可加或可乘性求范围时，注意使用条件.【答案】)9,1[；)311,59[。
人教A版选修4-5 不等式 第1课时 不等式的基本性质 教案
课时：1备课人；二次备课人
课题名称
第一讲不等式的基本性质
三维目标
学习目标
1.理解不等式的性质，能灵活运用实数的性质;Байду номын сангаас
2.掌握比较两个实数大小的一般步骤
重点目标
理解不等式的性质，能灵活运用实数的性质
难点目标
掌握比较两个实数大小的一般步骤
导入示标
目标三导
学做思一：
自学探究
问题 1.如何比较两个实数的大小?
3.课堂体验
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
2.对于实数 ，判断下列命题的真假：
（1）若 ，则
（2）若 , ，则 。
★3.已知a>b>0，c<d<0,求证： 。
4.已知 ， ， ，试比较 与 的大小.
5.设 ，其中 ，比较 与 的大小
反思总结
1.知识建构
2.能力提高
学做思二
★ 问题 2.不等式的基本性质有哪些？用符号语言表示出这些性质。
学做思三
技能提炼
1.已知 ，求证： ．
2.若 ， ，则下列命题中能成立的个数是( )
； ； ；
1 2 3 4.
★ 3.函数 ＝ax2＋bx满足：1≤ ≤2，2≤ ≤4，求 的取值范围．
达标检测
变式反馈
1.若 ，则 是
成立的（ ）
人教课标版高中数学选修4-5：《不等式的基本性质》教案-新版
1.1 课时 1 不等式的基本性质一、教学目标 （一）核心素养在回顾和复习不等式的过程中， 对不等式的基本性质进行系统地归纳整理， 并对“不等式有哪 些基本性质和如何研究这些基本性质” 进行讨论， 使学生掌握相应的思想方法， 以提高学生对 不等式基本性质的认识水平 . （二）学习目标1.理解用两个实数差的符号来规定两个实数大小的意义，建立不等式研究的基础.2. 掌握不等式的基本性质，并能加以证明 .3. 会用不等式的基本性质判断不等关系和用比较法 .（三）学习重点 应用不等式的基本性质推理判断命题的真假；代数证明 . （四）学习难点 灵活应用不等式的基本性质 . 二、教学设计 （一）课前设计1.预习任务1）读一读：阅读教材第 2页至第 4页，填空：2）判断：下列说法是否正确？2.预习自测知识点】作差比较法解题过程】 （x 1）2 （x 1） x 2x x （x 1） 思路点拨】熟悉作差比较法 答案】 [0,1] （ 2）若 c R ，则ac 2 bc 2a bA. B. C. D. 【知识点】不等式的基本性质a b a bab① a b,b c a c ④ a b a 3 b 3⑤a b a2b2③ ac bc a b⑥ a b,c d ac bd1）当 x，代数式 （x 1）2 的值不大于 x 1的值.【解题过程】由 ac2 bc2，得c 0，所以 c2 0；当 a b,c 0时， ac2 bc2. 【思路点拨】掌握不等式的基本性质【答案】A.（3）当实数 a, b满足怎样条件时，由a b能推出 1 1?ab【知识点】作差比较法【解题过程】 1 1 b a，因为a b，所以当ab 0时， 1 1.a b ab a b 【思路点拨】掌握作差比较法【答案】当ab 0时， 1 1.ab（二）课堂设计1.问题探究探究一结合实例，认识不等式•活动① 归纳提炼概念人与人的年龄大小、高矮胖瘦，物与物的形状结构，事与事成因与结果的不同等等都表现出不等的关系，这表明现实世界中的量，不等是普遍的、绝对的，而相等则是局部的、相对的. 【设计意图】从生活实例到数学问题，从特殊到一般，体会概念的提炼、抽象过程.•活动② 认识作差比较法关于实数 a,b 的大小关系，有以下基本事实：如果a b，那么a b是正数；如果a b，那么a b等于零；如果a b，那么a b是负数. 反过来也对.这个基本事实可以表示为： a b a b 0;a b a b 0;a b a b 0 ，上面的符号“ ”表示“等价于”，即可以互相推出.从上述基本事实可知，要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与零的大小，这是研究不等式的一个出发点.这种方法称为作差比较法.【设计意图】通过基本事实，加深对不等式的理解，突破重点.•活动③ 了解作差比较法的步骤例1 试比较 (x 3)(x 7)和(x 5)(x 6)的大小.【知识点】作差比较法【数学思想】分类讨论思想【解题过程】第一步：作差 (x 3)(x 7) (x 5)(x 6)第二步：变形(x 3)(x 7) (x 5)(x 6) (x210x 21) (x211x 30) x 9第三步：定号当x 9 0时，x 9；当x 9 0时，x= 9 ；当x 9 0 时，x 9 第四步：结论当x 9时， (x3)(x 7) (x 5)(x 6) ；当x 9时， (x3)(x 7)=( x 5)(x 6)；当x 9时， (x3)(x 7) (x 5)(x 6) ；【思路点拨】熟悉作差比较法比较大小的步骤【答案】当x 9时， (x3)(x 7) (x 5)(x 6) ；当x 9时， (x3)(x 7)=( x 5)(x 6) ；当x 9时， (x3)(x 7) (x 5)(x 6) ；思考：作差比较法的步骤中，哪一步最为关键？第二步变形最重要，变形要变到可以判断代数式的正负为止，变形的方法通常有分解因式，方，平方，有理化等.同类训练比较(x 1)(x 2)与 (x 3)(x 6)的大小.【知识点】作差比较法【数学思想】分类讨论思想【解题过程】因为(x 1)(x 2) (x 3)(x 6) (x23x 2) (x23x 18) 20 0，所以 (x 1)(x 2) (x 3)(x 6)思路点拨】熟悉作差比较法比较大小的步骤【答案】（x 1）（x 2）（x 3）（x 6）【设计意图】通过对作差比较法的步骤分析，更加深刻理解不等式.探究二探究不等式的基本性质•活动① 认识不等式的基本性质我们知道，等式的基本性质是从数的运算的角度提出的.同样的，由于不等式也研究实数之间的关系，所以联系实数的运算（加、减、乘、除、乘方、开方等）来思考不等式的基本性质是非常自然的.例如，不等式两边加（或乘）同一个数，不等式是否仍然成立？等等.由两个实数大小关系的基本事实，可以得出不等式的一些基本性质.（1）如果a b，那么b a；如果b a，那么a b.即a b b a.（2）如果 a b,b c，那么a c.即a b,b c a c.（3）如果a b ，那么a c b c.（4）如果 a b,c 0，那么ac bc；如果 a b,c 0，那么ac bc.（5）如果a b 0 ，那么a n b n（n N,n 2）.（6）如果a b 0，那么n a n b（n N,n 2）. 通过语言叙述可以加深理解上述基本性质.例如，性质（4）可以表述为：不等式两边同乘一个正数，不等号同向；不等式两边同乘一个负数，不等号反向. 对于以上的基本性质，可采用作差比较法来证明，如性质（4）：证明：ac bc c（a b），如果 a b,c 0，则a b 0,c 0，所以 ac bc c（a b） 0，即ac bc ，同理如果 a b,c 0 ，那么ac bc.思考：通过不等式的基本性质，在研究不等式时，需要特别注意什么问题？事实上，从上述基本性质可以发现，在研究不等式时，需要特别注意“符号问题”，即在作乘（除）法运算时，乘（除）数的符号会影响不等号的方向.【设计意图】通过对不等式的性质的认识，为后面的运用做好铺垫.•活动② 巩固理解，拓展延伸上述关于不等式的基本事实和基本性质是解决不等式问题的基本依据，研究不等式时，经常以它们作为出发点.例如，利用不等式的基本性质可以得到下列结论：1)如果a b,c d，那么a c b d；2）如果 a b 0,c d 0，那么ac bd ；(3)如果 ab 0,a b ，那么 1 1. ab对于上述( 2)，可由如下方法证明：ac bd (ac bc) (bc bd) c(a b) b(c d) 0，所以ac bd .【设计意图】从给出的基本性质到延伸性质，加深对不等式的认识探究三不等式性质的应用•活动① 利用性质证明不等式例2 已知 a b 0,c d 0 ，求证：知识点】不等式的基本性质解题过程】证明：因为 a b 0,c d 0，所以 a b 0,1 1 0.所以 a b，故 a bd c d c d c【思路点拨】掌握不等式的基本性质【答案】见解析同类训练求证：如果 a b 0,c d 0，那么ac bd .【知识点】不等式的基本性质【解题过程】证明：因为c d 0，所以c d 0 ，又因为a b 0，所以两式可相乘，得ac bd ，所以ac bd.【思路点拨】掌握不等式的基本性质【答案】见解析【设计意图】通过对例题的讲解，使学生掌握利用不等式的性质证明不等式.•活动② 互动交流、判断正误例3 若 1 1 0 ，以下结论中正确的有ab①a b ab；②|a| |b|；③a b；④ a2 ab 0知识点】不等式的基本性质；特殊值法【数学思想】特殊与一般思想【解题过程】法1：由 1 1 0，得b a 0 ，所以a b 0 ab，①正确，②③错误； aba2ab a（a b） 0 ，④正确法2：取 a 1,b 2 ，可算出各式的值，得出答案. 【思路点拨】熟悉不等式的基本性质，掌握特殊值法.【答案】①④同类训练判断下列各命题的真假，并说明理由：（1）如果a b，那么ac bc ；（2）如果a b，那么 ac2 bc2；（3）如果a b，那么a n b n（n N*） a n b n（n R ）；（4）如果 a b,c d，那么a c b d. 【知识点】不等式的基本性质【解题过程】（1）是假命题，因为不知c的正负；（2）是假命题，因为当c 0时不成立；（3）是假命题，因为不知 a,b的正负；（4）是真命题，因为 a b, c d ，由同向不等式的可加性知,a c b d .【思路点拨】熟悉不等式的基本性质【答案】见解析【设计意图】通过分析不等式的结论是否正确，掌握利用不等式的性质判断及特殊值判断.2.课堂总结知识梳理（1） a b a b 0;a b a b 0;a b a b 0.（2）作差比较法的步骤：作差、变形、定号、结论.（3）不等式的基本性质. 重难点归纳（1）应用不等式的基本性质推理判断命题的真假.（2）灵活应用不等式的基本性质.（三）课后作业基础型自主突破1.设a,b R , 则“（a b）a2 0”是“ a b”的（）A. 充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D. 既不充分也不必要条件【知识点】不等式的性质；充分必要条件【数学思想】分类讨论思想【解题过程】若(a b)a2 0，则a b；若a b，则(a b)a2 0，所以“ (a b)a2 0”是“a b” 的充分而不必要条件.【思路点拨】掌握不等式的基本性质【答案】A2.对于任意实数 a,b,c,d ，下列五个命题中:①若 a b,c 0，则ac bc；②若a b，则 ac2 bc2；③若ac2 bc2，则a b；④若 a b,则 1 1；ab⑤若 a b 0,c d ，则ac bd .其中真命题的个数是( )A.1B.2C.3D.4【知识点】不等式的性质【解题过程】 a b,c 0，当c 0时，ac bc不成立，①是假命题；a b，当c 0,c20时，ac2 bc2不成立，②是假命题；因为 ac2 bc2，所以，c2 0，a b ，③是真命题； a b,当a,b 1 1 1 1同号时， 1 1成立，而a,b异号时， 1 1不成立，④是假命题； a b 0,c d 时，ac bd不 ab a b一定成立，只有当 a b 0,c d 0时，ac bd 成立，⑤是假命题. 【思路点拨】掌握不等式的基本性质【答案】A3.如果a b 0, 那么( )2 2 1 1A. a b 0B. ac bcC.a2 b2D.ab【知识点】不等式的性质【解题过程】利用不等式的性质: a b 0 1 1 0ba思路点拨】掌握不等式的基本性质答案】 D4. 不等式 lgx 2 lg 2x 的解集是（知识点】不等式性质及对数运算【思路点拨】掌握不等式的基本性质及对数运算，注意真数大于 0. 【答案】 D5.设 a 1 b 1,则下列不等式中恒成立的是（）21 1 1 12 A. a b 2B. C.D.a 22ba b a b 【知识点】不等式的性质及应用 【解题过程】由 1 b 1 0 b 21, 又 a 1, a b 2.【思路点拨】掌握不等式的基本性质 【答案】 A6.若 a b 0 ，则下列不等式一定成立的是（）A. 1 1B.a 2abC.a ab aa b b 【知识点】不等式的性质 . 【数学思想】特殊与一般思想11b ，a 4 b 1， 选项 A 、C 都不成立， 又a b 0， a 2ab ， 选项 B 不成立，又 |b a |||b a || 11 |a |b |(||a ||a|1) |a|(b |a|a 1)0，即思路点拨】掌握不等式的基本性质 答案】 D能力型 师生共研7. 已知命题 p: x [1,2], x 2 a 0，命题 q: x R ,x 2 2ax 2 a 0，若命题 p q 是真命A. ( 1,1) B. (100, )1001 C.(1010,1) (100, ) D.(0,1) (100, )解题过程】：由 lgx 2lg 2x 2lg x lg 2xlg x 2或lg x 0 x 100或 0 x 1D.|ba |||b a || 11解题过程】当 a 2 b 1 0 时，1 ab |a b|||a b|| 11成立.题，则实数a 的取值范围是( )A. a 2或a 1B.a 2或1 a 2C.a 2D. 2 a 1 【知识点】命题及不等式【数学思想】化归与转化思想【解题过程】命题 p 为真命题时，要使x [1,2], x2a 0，只需 a (x2)min，因为 x [1,2] ，所以 1 x2 4 ，所以 (x2)min 1 ，所以 a 1 ①；命题 q 为真命题时，x R,x22ax 2 a 0，即 x2 2ax 2 a 0有实数根，所以(2a)24(2 a) 0，解得a 2或a 1②.因为 p q是真命题，所以 p,q均为真命题.①②取交集得a 2或a 1. 【思路点拨】掌握分离参数法解含参问题【答案】A8.已知 a,b,c R ，给出下列命题：①若a b，则ac2 bc2；②若ab 0，则a b 2；③若a b 0,n N ，则a n b n；ba④若log a b 0(a 0,a 1)，则 a, b中至少有一个大于1.其中真命题的个数为( )A.2B.3C.4D.1 【知识点】不等式及不等关系，不等式的性质，对数的性质.【解题过程】当c 0时， ac2 bc2 0，所以①为假命题；当 a与b异号时，a 0，b 0，ba所以②为假命题；因为a b 0,n N ，所以a n b n，③为真命题. ④若log a b 0(a 0,a 1)，则有可能 a 1,0 b 1或 b 1,0 a 1，即 a,b 中至少有一个大于1.是真命题.【思路点拨】掌握不等式的基本性质及对数的性质【答案】A探究型多维突破9.集合 S { x,y,z x、y、z N*，且 x y z、 y z x、 z x y恰有一个成立}，若x,y,z S且z,w,x S,则下列选项正确的是( )A. y,z,w S, x, y,w SB. y,z,w S, x, y,w SC. y,z,w S, x,y,w SD. y,z,w S, x, y,w S【知识点】不等关系 . 【数学思想】分类讨论思想【解题过程】从集合 S 的定义， x,y,z S 可三个不等式， z,w,x S 也可得三个不等式，组 合之后可知 x, y, z, w 满足不等关系 x y z 且 x z w ，或 x y z 且w x y ，或 y z x 且 z w x ， 或 z x y 且 z w x ，这 样 可能 有 y z w 或 w y z 或 y z w 或 w x y ，于是 x,y,w S 不一定成立， y,z,w S 也不一定成立 . 思路点拨】分类讨论注意不重不漏 答案】 B10. 已知 a b 0 ，则下列不等式中总成立的是（ ） 知识点】不等式的性质解题过程】 a b 0, 1b a 10, a b 1b a 1.思路点拨】掌握不等式的基本性质 答案】 A 自助餐11.如果 a 、b 、c 满足 c b a ，且 ac 0 ，那么下列选项不恒成立的是（）22A. ab acB.cb 2 ab 2C.c b a 0D.ac a c 0【知识点】不等式的性质 .【解题过程】 c a 且ac 0，故c 0,a 0 ，由不等式的性质知 A ，C ，D 都恒成立. 思路点拨】掌握不等式的基本性质 答案】 B12.已知 a,b R 且 a b ，则下列不等式中成立的是（）【解题过程】只有当 a b 0 时，选项 A ，B 正确；要使 ln a b 0，必须 a b 1 ，所以选A. a 1 b 1baB.a1 b 1abC.b b 1a a 1D.b 11 a baA. a1 B.a 2b 2b【知识点】不等式的性质 .C.ln a b 0D.2a b13项C 错误；当 a b 时，a b 0, 2a b201.思路点拨】掌握不等式的基本性质 答案】 D13. 设 a,b,c R 且a b ，则（ ）11 A. ac bcB.ab【知识点】不等式的性质 .解题过程】选项 A 中若c, 0时,结果错,故 A 不正确;选项 B 中若0 a b 时,结果错,故 B 不正确;选项 C 中若0 a b 时,结果错,故 C 不正确;在选项 D 中由不等式性质可知是正确的 . 【思路点拨】掌握不等式的基本性质 【答案】 D14.当 0 x 1时，下列大小关系正确的是（ ）A. x 33xlog 3 xB. log 3 x x 33xC.3xx 3log 3 x D.log 3 x 3xx 3【知识点】利用中间值法比较大小 解题过程】当0 x 1时， log 3x log 31 0， 3xlog 3 x x 3 .【思路点拨】利用中间值法比较大小时，注意找准“中值” 【答案】 B15. 设 a2 ,b 32,c ln 3,则a,b,c 的大小关系是（ ）2A. a b cB.b c a 【知识点】比较大小 .【解题过程】 a （ 2）1.4 331，b 32 1，c ln 1，所以 c 最小，而 a 2 21.4，b 2 3327，所以 a 2 b 2，即 ab ，所以综上得： c a b.思路点拨】比较对数或指数大小时，可先确定其大致范围，然后再比较 答案】 D16. 若2 a 4,3 b 5，则3a b 的取值范围为， 2a b的取值范围为b【知识点】不等式的性质C.a 2b 2D.a 30 x 1 1，1 3 3 3 3 ，所以C.c a bD.b a c3【解题过程】因为 2 a 4,3 b 5，所以 6 3a 12, 5 b 3，所以1 3a b 9；1 1 1 4 2a 8 9 2a 11 9 2a b 114 2a 8, ，所以，所以 1 ，即5 b 3 5 b 3 5 b 3 5 b 3【思路点拨】应用不等式的可加或可乘性求范围时，注意使用条件. 【答案】 [1,9) ；[9 , 11)53。
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一 不等式
1不等式的基本性质
知识梳理
1.两个实数大小的比较
a>b ⇔_____________;
a=b_____________a-b=0;
_____________⇔a-b<0.
2.不等式的基本性质
（1）如果a>b ，那么b<a ；如果b<a,那么__________，即__________.
(2)如果a>b,b>c ，那么__________，即a>b,b>c ⇒__________.
(3)如果a>b ，那么a+c__________b+c.
(4)如果a>b,c>0，那么ac__________bc;如果a>b,c<0,那么ac__________bc.
（5）如果a>b>0，那么a n __________b n (n ∈N ,n≥2).
(6)如果__________,那么n n b a >(n ∈N ,n≥2).
3.作差比较法
（1）理论依据：____________________________________.
(2)方法步骤:①_________;②_________;③_________;④_________.
知识导学
1.实数大小比较的原理与实数乘法的符号法则是推导不等式性质的依据.与等式相比,主要区别在数乘这一性质上,对于不等式a=b ⇒ac=bc,不论c 是正数,负数还是零,都是成立的,而对于不等式a>b,两边同乘以c 之后,ac 与bc 的大小关系就需对c 加以讨论确定.
2.学习不等式的概念与性质应着重从如下三方面去思考:
(1)不等式及其变形的不等号中有无等号.
理解严格不等号“>”“<”或“≠”与严格不等号“≥”或“≤”的意义，养成有区别使用它们的习惯.
（2）不等式的传递变形中应注意不等号方向的一致性.
（3）适度地放大或缩小是不等式变形的关键.
3.不等式的一些性质在应用时可以适当延伸，如将“>”改为“≥”，将正数改为非负数等等,下面列举几个例子:
a≥b,b≥c ⇒a≥c.
a≥b,c≥d ⇒a+c≥b+d.
a>b≥0,c>d≥0⇒ac>bd.
a>b>0,c>d>0⇒
c
b d a >. a>b,ab>0⇒b a 11<. 4.方法与规律:
(1)同向不等式相加,异向不等式相减.
(2)不等式的“乘与除”，看了“大小”看“正负”.
(3)要说明一个不等式不成立，只要举一个反例即可.
疑难突破
1.使用不等式性质的前提条件
在使用不等式的性质时，一定要搞清它们成立的前提条件.例如：（1）在应用传递性时，如果两个不等式中有一个带等号而另一个不带等号，那么等号是传递不过去的.如
a≤b,b<c ⇒a<c.(2)在乘法法则中，要特别注意乘数c 的符号，例如当c≠0时，有a>b ⇒ac 2>bc 2;若无c≠0这个条件，则a>b ⇒ac 2>bc 2就是错误结论（当c=0时，取“=”）.（3）a>b>0⇒a n >b n >0成立的条件是“n 为大于1的自然数”，假如去掉“n 为大于1的自然数”这个条件，取n=-1，
a=3,b=2，那么就会出现3-1>2-1,即
2
131>的错误结论. 2.不等式的性质中的“⇒”和“⇔” 在不等式的基本性质中，条件和结论的逻辑关系有两种：“⇒”与“⇔”，即推出关系和等价关系，或者说“不可逆关系”与“可逆关系”.这要求必须熟记与区别不同性质的条件.如
a>b,ab>0⇒
b a 11<,而反之则包含几类情况，即若a 1<b
1，则可能有a>b,ab>0;也可能有a<0<b,即a>b,ab>0与b a 11<是不等价关系.
能正确地解答问题.。