《概率统计》期中试卷答案2015.5

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高中数学(统计概率)综合练习试题含解析

故选：D．
考点：频率分布直方图．
13．B
【解析】
试题分析：分层抽样为按比例抽样，则O型血抽取人数为；A型血抽取人数为；B型血抽取的人数为；AB型血抽取人数为．故本题答案选B．
考点：分层抽样
14．B
【解析】
试题分析：因为，所以＝，故选B．
A．
B．
C．
D．
2．2015年11月19日是“期中考试”，这天小明的妈妈为小明煮了5个粽子，其中两个腊肉馅三个豆沙馅，小明随机取出两个，事件A=“取到的两个为同一种馅”，事件B=“取到的两个都是豆沙馅”，则（）
A． B． C． D．
3．在某次测量中得到的A样本数据如下：82,84,84,86,86,86,88,88,88,88.若B样本数据恰好是A样本数据都加2后所得数据，则A，B两个样本的下列数字特征相同的是（）
考点：变量的相关性以及回归直线方程.
6．D
【解析】
试题分析：由二项分布概念可知得，则 = ，故正确选项为D.
考点：二项分布.
7．B
【解析】
试题分析：设中间一个长方形的面积为，则其他个小长方形面积和为，则所以，所以中间一组的频数为，故选B．
考点:1．频率分布直方图；2．总体估计．
8．B
【解析】
（Ⅰ）求样本容量n和频率分布直方图中y的值；
（Ⅱ）在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学到市政广场参加环保知识宣传的志愿者活动，求所抽取的人中至少有一个同学的成绩在的概率．
25．为了解今年某校高三毕业班准备报考飞行员学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图），已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1:2:3，其中第2小组的频数为12．

(完整word版)2014-2015概率论与数理统计A卷答案 (1)

系部专业班级学号姓名密封线答题留空不够时，可写到纸的背面注意保持装订完整，试卷折开无效装订线二．填空题（每题2分，共10分）1.已知().P A =06, ()|.P B A =03, 则()P A B ⋂= ___0.18_______;2.甲、乙、丙3人独立地译出一种密码，他们能译出的概率分别为1/5,1/3,1/4，则能译出这种密码的概率为35； 3．一种动物的体重X 是一随机变量，设()(),E X D X ==334，10个这种动物的平均体重记作Y ，则()D Y ＝__ 0.4 _;4. 已知,36)(,25)(==Y D X D X 与Y 的相关系数为4.0=XY ρ,则)(Y X D -= 37 ;5. 设12,,,n X X X 是取自总体),(2σμN 的样本，则统计量2211()nii Xμσ=-∑服从2()n χ分布.三．计算下列各题（共80分）1．（10分）例 1.某电子设备制造厂所用的元件是由三家元件制造厂提供的，根据以往的记录三家厂的次品率分别为0.02,0.01,0.03，三家厂所提供的份额分别为0.15,0.80,0.05。

设这三家厂的产品在仓库中是均匀混合的，且无区别的标志.（1）在仓库中随机取一只元件，求它是次品的概率；（2）在仓库中随机取一只元件，若已知取到的是次品，求出此次品由第一家工厂生产的概率是多少？解：设A 表示“取到的是一只次品”，（i=1,2，3）表示“所取到的产品是由第i 家工厂提供的”,则P()=0.15 P()=0.80 P()=0.05P(=0.02 P(=0.01 P(=0.03 （3分）1>.由全概率公式()112233(|)()(|)()(|) ?()A B B A B B B A A B =++P P P P P P P 0.0125= （5分） 2>.由贝叶斯公式P() = = = 0.24 （10分）桂林理工大学考试试卷 (2014--2015 学年度第一学期)课程名称：概率统计 A 卷命题：基础数学教研室题号一二三总分得分一．单项选择题（每小题2分，共10分）1．如果 1)()(>+B P A P ，则事件A 与B 必定（ C ）)(A 独立 )(B 不独立 )(C 相容 )(D 不相容2．设随机变量X 服从二项分布(,)B n p ，且()()2.1 1.47==E X D X ，则二项分布的参数,n p 的值为( A ) ()70.3==A n p ()30.7==B n p ()210.1==C n p ()40.6==D n p3．设随机变量X 服从)1,0(N 分布，12+=X Y ，则~Y （ B ） ()(0,1)()(1,4)()(1,2)()(0,4)A N B N C N D N4. 已知X 服从泊松分布，则()D X 与()E X 的关系为（ C ） )(A ()()D X E X > )(B ()()D X E X < )(C ()()D X E X = )(D 以上都不是5. 设321,,X X X 是取自N (,)μ1的样本，以下μ的四个估计量中最有效的是（ D ）)(A 32112110351ˆX X X ++=μ)(B 3212949231ˆX X X ++=μ)(C 3213216131ˆX X X ++=μ)(D 32141254131ˆX X X ++=μX-1-1 0.12将联合分布表每行相加得-10.6将联合分布表每列相加得-10.30,1,;0θ<<!!n e X ，（4分）()1ln !!!n X X θ- n ，令ln 0,d d θ=得1n θ= (10000,0.005b49.75， ()2.84Φ-Φ。

2015年高考理数专题复习---概率统计(解析版)

2015年高考理数专题复习---概率统计预测2013年高考中，本节的内容还是一个重点考查的内容，因为这部分内容与实际生活联系比较大，随着新课改的深入，高考将越来越重视这部分的内容，排列、组合、概率、统计都将是重点考查内容，至少会考查其中的两种类型。

（1）概率统计试题的题量大致为2道，约占全卷总分的6％-10％，试题的难度为中等或中等偏易。

（2）概率统计试题通常是通过对课本原题进行改编，通过对基础知识的重新组合、变式和拓展，从而加工为立意高、情境新、设问巧、并赋予时代气息、贴近学生实际的问题。

这样的试题体现了数学试卷新的设计理念，尊重不同考生群体思维的差异，贴近考生的实际，体现了人文教育的精神。

复习建议在复习中，要注意理解变量的多样性，深化函数的思想方法在实际问题中的应用，充分注意一些概念的实际意义，理解概率中处理问题的基本思想方法，掌握所学概率知识的实际应用.1.把握基本题型应用本章知识要解决的题型主要分两大类：一类是应用随机变量的概念，特别是离散型随机变量分布列以及期望与方差的基础知识，讨论随机变量的取值范围，取相应值的概率及期望、方差的求解计算；另一类主要是如何抽取样本及如何用样本去估计总体.作为本章知识的一个综合应用，教材以实习作业作为一节给出，应给予足够的重视.2.强化双基训练主要是培养扎实的基础知识，迅捷准确的运算能力，严谨的判断推理能力.3.强化方法选择特别在教学中要掌握思维过程，引导学生发现解决问题的方法，达到举一反三的目的，还要进行题后反思，使学生在大脑记忆中构建良好的数学认知结构，形成条理化、有序化、网络化的有机体系.4.培养应用意识要挖掘知识之间的内在联系，从形式结构、数字特征、图形图表的位置特点等方面进行联想和试验，找到知识的“结点”.再有就是将实际问题转化为纯数学问题进行训练，以培养利用所学知识解决实际问题的能力.母题一：5张奖券中有2张是中奖的，首先由甲然后由乙各抽一张，求：（1）甲中奖的概率；（2）甲、乙都中奖的概率；（3）只有乙中奖的概率；（4）乙中奖的概率.母题二：某课程考核分理论与实验两部分进行，每部分考核成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考核都“合格”则该课程考核“合格”.甲、乙、丙三人在理论考核中合格的概率分别为0.9、0.8、0.7；在实验考核中合格的概率分别为0.8、0.7、0.9.所有考核是否合格相互之间没有影响.（1）求甲、乙、丙三人在理论考核中至少有两人合格的概率；（2）求这三人该课程考核都合格的概率（结果保留三位小数）.母题三：某安全生产监督部门对5家小型煤矿进行安全检查（简称安检）.若安检不合格，则必须整改，若整改后经复查仍不合格，则强制关闭.设每家煤矿安检是否合格是相互独立的，且每家煤矿整改前安检合格的概率是0.5，整改后安检合格的概率是0.8，计算（结果精确到0.01）：（1）恰好有两家煤矿必须整改的概率；（2）至少关闭一家煤矿的概率.母题四：袋中有3个白球，3个红球和5个黑球.从中抽取3个球，若取得1个白球得1分，取得1个红球扣1分，取得1个黑球得0分.求所得分数的分布列.母题五:.A、B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验.每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A，另2只服用B，然后观察疗效.若在一个试验组中，服用A有效的小白2，服鼠的只数比服用B有效的多，就称该试验组为甲类组.设每一只小白鼠服用A有效的概率为31. （1）求一个试验组为甲类组的概率；（2）观察3个试验组，用ξ表示这3用B有效的概率为2个试验组中甲类组的个数，求ξ的分布列和数学期望.7 8 99 4 4 6 4 7 3高考模拟1．某校高三一班有学生54人，二班有学生42人，现在要用分层抽样的方法从两个班抽出16人参加军训表演，则一班和二班分别被抽取的人数是( )（A ）8，8 （B ）10，6 （C ）9，7 （D ）12，4【答案】C2.右图是 2011年在某大学自主招生面试环节中，七位评委为某考生打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为( )A.84,4.84B. 84,1.6C. 85,1.6D. 85,4【答案】C 【解析】2580855x =+=,244 1.6.5s +== 3.如图，矩形O A B C 内的阴影部分是由曲线()()()sin 0,f x x x π=∈及直线()()0,x a a π=∈与x 轴围成，向矩形OABC 内随机投掷一点，若落在阴影部分的概率为14，则a 的值是( ) A .712π B.23π C .34π D.56π 【答案】B【答案】A6．右图的矩形，长为5，宽为2，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为138颗，则我们可以估计出阴影部分的面积约（） A ．523 B ．521 C ．519 D ．516 【答案】A 7．设一直角三角形两直角边的长均是区间（0，1）的随机数，则斜边的长小于34的概率为（） A ．964 B ．964π C ．916π D ．916【答案】B8．已知椭圆2214x y +=的焦点为12,F F ，在长轴A 1A 2上任取一点M ，过M 作垂直于A 1A 2的直线交椭圆于点P ，则使得120PF PF ⋅< 的点M 的概率为（）A B C D ．12【答案】B9.在样本的频率分布直方图中, 共有9个小长方形, 若第一个长方形的面积为0.02, 前五个与后五个长方形的面积分别成等差数列且公差互为相反数,若样本容量为160,则中间一组（即第五组）的频数为（）A.12B.24C.36D.48【答案】C10．盒子中放有编号为1,2,3,4,5的形状和大小完全相同的5个白球和5个黑球，则取出球的编号互不相同的概率为（）A．115B．112C．12D．23【答案】D【解析】32352180.33243 P C⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12.对某种花卉的开放花期追踪调查，调查情况如下：则这种卉的平均花期为__ _天．【答案】16天（15.9天给满分）16．（本小题满分12分）某校从高一年级学生中随机抽取40名学生，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：[)4050，，[)5060，，…，[]90100，后得到如下图的频率分布直方图．（1）求图中实数a的值；（2）若该校高一年级共有学生640人，试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数；（3）若从数学成绩在[)4050，与[]90100，两个分数段内的学生中随机选取两名学生，求这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率。

2015概率统计试卷A

第1页
2
D. S 是的极大似然估计量.
2
2
共5页
8. 设 X1 ,
, X n 是 N (, 2 ) 的样本，未知, X
1 n 1 n 2 X , S ( X i X )2 ，则 2 的置 i n i 1 n 1 i 1
[ ]
信度为 0.95 的置信区间为
2.已知随机变量 X ~ U (2, 2), 且Y X ，求（1）Y的概率密度（2）求 P( Y>X).
2
第3页共6页
x 1 e ,x 0 3．总体 X 的概率密度函数 f ( x) , 0 。 X1 , 0, x 0
, X n 为 X 的样本，求的极大似然
A. (
(n 1)S 2 (n 1) S 2 , ) (2n ) (0.025) (2n) (0.975)
S n
B.
(
(n 1)S 2 (n 1)S 2 , ) (2n1) (0.025) (2n1) (0.975)
S n
近似服从 [ ]
C. X t( n1) (0.025)
得分
2．总体 X ~ N (1 , 2 ) ， Y ~ N (2 , 2 ) ，且 X 与 Y 相互独立，设 X1 , X 2 ,
, X m 是来自于 X 的样本，
Y1 , Y2 ,
, Yn 是来自于 Y 的样本， S , S 分别是这两个样本的样本方差，证：对于任意常数
2.设袋中有 6 只红球，4 只白球，甲乙两人先后从中任取一只，已知乙取到白球，则甲取到的是红球
3.在区间(0,1)中随机取两个数，两数之和小于 1.4 的概率为 4. 设 X 为随机变量， E( X ) 0, E(2 X 1) 8, D(2 X 1) 2 ，则 E(X)= B．2

2015年概率论考试题答案

2005级建筑工程（本）自考班概率统计期末考试题（A 卷）参考答案一、填空 1. ABBC AC 或 ABC ABC ABC ABC2. 出现的点数恰为53. r p -A 与B 互斥∴ ()()()P A B P A P B =+ 则 ()()()P B P A B P A r p =-=-4.21 ()22~21124()114412X e EX DX EX DX EX ∴===+=+=，则5. 0.25由题设，可得X sin 的概率分布为{}sin 00.250.250.5P X ==+={}5.021sin =⎭⎬⎫⎩⎨⎧===πX P X P则 ()sin 0.5E X =，()sin 0.50.50.25D X =⨯=二、单项选择 1．D 2. A 3. A利用集合的运算性质可得. 4．DA 与B 互斥()0P AB ∴=故 ()()()()P A B P A P AB P A -=-= 5．BB A ⊂ AB B ∴=故 ()()P AB P B = 6. (C )由已知X 服从二项分布(,)B n p ，则()1DX np p =- 又由方差的性质知,(21)4(1)D X np p -=-7. (B )()04X N 服从，04EX DX ∴==，于是 ()222E X X EX EX -=-⎡⎤⎣⎦()24DX EX EX =+-=28. (A ) 由正态分布密度的定义,有 22()2()()x p x x μσ--=-∞<<+∞24()()x x x ϕ--∞<<+∞⇒由 22242σσ=⇒=9. (D )X EX DX λ==若服从泊松分布,则∴如果EX DX ≠时,只能选择泊松分布. 10. (D )∵ X 为服从正态分布N (-1, 2), EX = -1 ∴ E (2X - 1) = -3三、计算与应用题 1. 解：设 A 表示“取到的两球颜色不同”，则1153A n C C =而样本点总数28C n =故 ()1153281528A C C n P A n C ===2. 解：设 A 表示“能把门锁打开”，则112373A n C C C =+，而210C n = 故 ()1123732108A 15A C C C n P n C +=== 3. 解：设 A 表示“有4个人的生日在同一月份”，则21124611C C n A =而样本点总数为612=n故 412612611()0.007312A C C n P A n === 4. 解：设 A 表示“至少取到一个次品”，因其较复杂，考虑逆事件A =“没有取到次品”则 A 包含的样本点数为A n 346C =。

14-15概率论期中考试试题答案(防灾科技学院)

0 y 8 4， 2 其它，
1 y 8 1 ) , y 8 y 8 ( fY ( y) f X ( )( ) 8 2 2 2 2 0 ， y 8 , 8 y 16， 32 其它. 0 ，
„（5 分）
1, 0 x 1, （2）因 X ~ U (0,1) ，故 f X ( x) 0, 其他；
1 4 1 „（3 分） 4
（3）因为 X 为连续型随机变量， P{1 X 3} F (3) F (1) 1 (1 )
3. （10 分）设随机变量 X 在 [ 2, 5 ]上服从均匀分布, 现对 X 进行三次独立观测 ,试求至少有两次观测值大于 3 的概率. 1 答：X 的概率密度函数为 , 2 x 5,
0
„„„（3 分）
4．（20 分）（1）设随机变量 X 具有概率密度 f X ( x) 8
0 x4 其它
，求 Y=2X+8 的概率
密度。（2）设随机变量 X ~ U (0,1) ，求 Y e
2X
的密度函数 f Y ( y) 。
y 8
解：（1）
y 8 FY ( y) P(Y y) P(2 X 8 y) P( X ) 2 f X ( x)dx „ （5 分） 2
3
1 2 dx , 3 3
„„„（2 分）
因而有 P{Y 2}
3 2 2 3
2
2 3 2 1 3 3 3
3
20 2 1 . 3 27
x , 0,
„„„（2 分）
（1）由全概率公式 P( B) P( A1 ) P( B A1 ) P( A2 ) P( B A2 ) P( A3 ) P( B A3 ) „„ （3 分） =0.25×0.05+0.35×0.04+0.40×0.02=0.0345；（2）由贝叶斯公式 P( A1 B)

(完整版)概率统计综合测验(3套题)

概率统计综合测验(一)一、选择填空题(每小题3分，共18分)1. 箱中有5个白球3个红球，任取2个，则两个都是红球的概率为( )A.15/28B.13/28C.5/28D.3/282. 设X〜N(,2)，则随增加，概率P(|X | )( )A.单调增加B.单调减少C. 保持不变D.与有关3. 设总体错误！未找到引用源。

X : N(u, 2),X!,X2,X3是总体X的样本，贝U以下的无偏估计中，最有效的估计量是().A. 2X X1B. 1 2 X2 1 X2 3 6D. 2 4 1C. X X X2 X5 5 54. ________________________________________________________ 设P(A) 0.5, P(AUB) 0.8，且A与B互斥，则P(B) _________________________5. 设随机变量X在(1,6 )服从均匀分布，则P(2 X 4) __________________6. 若总体X ~ N( , 2)，其中2未知，则对总体均值进行区间估计时选择的枢轴量为_________二、计算题(每小题10分，共30分)1. 某保险公司把投保人分成三类：“谨慎的”、“一般的”、“冒险的”，占的比例分别为20%、50%、30%。

一年中他们出事故的概率分别为0.05、0.15、0.30.(1)求一年中投保人出事故的概率；(2)现有一投保人出了事故，求他是“谨慎的”客户的概率.2. 设随机变量X(1)求E(X) ; (2)求D(X).3.设随机变量X的概率密度为f(x)3x 小ce , x 00, 其他(1)求常数c;(2)求P(X 1).三、计算题(每小题10分，共40分) 1. 设二维随机变量(X,Y)具有联合分布律求(1)X 的边缘分布律；(2)P(X 2 Y 2 1). 2. 设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为f(x,y) (1) 求X 与Y 的边缘概率密度； (2) 判断X 与丫是否独立?(说明理由)1…、x 0x13.设总体X 的概率密度为f(x, )，0 x [错误！未找到引用0,其他源。

2013-2015概率统计试题及解答

(2) 设 Y 为 150h 内烧坏的电子管数，则 Y ~ B(3, p) ， p = P{X < 150} = F (150) = 1 。(3 分)
3
所求为 P{Y ≥ 2} = C32 (1 3)2 (2 3) + (1 3)3 = 7 27 。(2 分)
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 三、1. (1) 由
姓名：
2014～2015 学年第一学期试卷课程名称：概率统计考试形式：闭卷试卷： A
题号
一二三四总分
标准分 24 16 30 30
得分
注请填写清楚左侧装订线内的所有信息，并在交卷时保持三页试卷装订完好。
A 一、填空题和选择题 (每题 3 分，共 24 分)
1. 已知 P(A) = 0.5 ， P(B) = 0.6 ， P ( B A) = 0.8 ，则 P ( A ∪ B) =
⎪⎩ 0,
其它.
cov( X ,Y ), ρXY , D( X − Y ) 。
姓名：
学号：线
专业班级：订
专业班级：全校工科、经管、理科各专业 [该项由出卷人填写]
装
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姓名：
2014～2015 学年第一学期试卷课程名称：概率统计考试形式：闭卷试卷： A
A 四、计算下列各题 (共 30 分) 1. (7 分) 某单位设置一电话总机，共有 100 架电话分机。设每个电话分机是否使用外线通话是相互独立的，且每时刻每个分机有 10%的概率要使用外线通话。问总机需要多少外线才能
36
6
36
∫ ∫ ∫ ∫ E(XY ) =
+∞
+∞
xyf (x, y)dxdy =

概率统计试卷及答案

概率统计试卷 A一、填空题（共5 小题，每题 3 分，共计15分）1、设P(A) =a , P(B) = 0.3, P(A B ) = 0.7，若事件A 与B 互不相容，则 a = .2、设在一次试验中，事件A 发生的概率为p ，现进行n 次重复试验，则事件A 至少发生一次的概率为 .3、已知P(A ) = 0.3, P(B) = 0.4 , P(AB ) = 0.5，则P(|B A B )= .4、设随机变量X 的分布函数为0,0,()sin ,0,21.2x F x A x x x ππ⎧⎪<⎪⎪=≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩则A = .5、设随机变量X ~(1)π，则P{2()X E X =}= . 二、选择题（共5 小题，每题3 分，共计15分）1、设P(A|B) = P(B|A)=14,2()3P A =, 则( )一定成立. (A) A 与B 独立，且2()5P A B =. (B) A 与B 独立，且()()P A P B =. (C) A 与B 不独立，且7()12P A B =. (D) A 与B 不独立，且(|)(|)P A B P A B =.2、下列函数中，（）可以作为连续型随机变量的概率密度.(A)3sin ,,()20x x f x ππ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它. (B) 3sin ,,()20x x g x ππ⎧-≤≤⎪=⎨⎪⎩其它. (C)3s ,,()20co x x x ππϕ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它. (D) 31s ,,()20co x x h x ππ⎧-≤≤⎪=⎨⎪⎩其它. 3、设X 为一随机变量，若D(10X ) =10，则D(X ) = ( ).(A) 110. (B) 1. (C) 10. (D) 100.4、设随机变量X 服从正态分布2(1,2)N ，12100,,X X X 是来自X 的样本，X 为样本均值，已知~(0,1)Y aX b N =+，则有（）.(A)11,55a b ==. (B) 5,5a b ==.(C)11,55a b ==-. (D) 5,5a b ==-. 5、在假设检验中，显著性水平α的意义是（）. (A) 原假设0H 成立，经检验不能拒绝的概率.(B) 原假设0H 不成立，经检验被拒绝的概率. (C) 原假设0H 成立，经检验被拒绝的概率.(D)原假设0H 不成立，经检验不能拒绝的概率. 三、10片药片中有5片是安慰剂，(1)从中任取5片，求其中至少有2片是安慰剂的概率.(2)从中每次取一片，作不放回抽样，求前3次都取到安慰剂的概率. (本题10分)四、以X 表示某商店从早晨开始营业起直到第一个顾客到达的等待时间（以分计），X 的分布函数是0.41,0,()0,0.x X e x F x x -⎧->=⎨≤⎩ 求下述概率：（1）P {至多3分钟}.（2）P {3分钟至4分钟之间}. (本题10分)五、设随机变量(X ,Y)的概率密度为()1(),0,0,(,)20x y x y ex y f x y -+⎧+>>⎪=⎨⎪⎩其它. (1) 求边缘概率密度(),()X Y f x f y .(2) 判断X 和Y 是否相互独立？ (本题10分)六、设随机变量X 的分布律为X -2 0 2 p k 0.4 0.3 0.3求22(),(35)E X E X +. (本题10分)七、设12,,n X X X 为总体的一个样本，12,,,n x x x 为一相应的样本值，总体密度函数为1,01,()0x f x ≤≤=⎪⎩其它. 其中θ>0,求θ为未知参数的矩估计值和估计量. (本题10分)八、用金球测定引力常数（单位：10-11312m kg s --⋅⋅），观察值为6.683 6.681 6.676 6.678 6.679 6.672设测定值总体为N 2(,)μσ，2,μσ均未知，试求2σ的置信水平为0.9的置信区间.(本题10分)(2s = 0.15×10-4,20.05χ(5) = 11.070, 20.05χ(6) = 12.592, 20.95χ(5) = 1.145，20.95χ(6)=1.635 ).九、按规定，100g 罐头番茄汁中的平均维生素C 含量不得少于21/mg g ，现从工厂的产品中抽取17个罐头，其 100g 番茄汁中测得平均维生素C 含量（/mg g ）记录如下：16 25 21 20 23 21 19 15 13 23 17 20 29 18 22 16 22设维生素含量服从正态分布2(,)N μσ，2,μσ均未知，问这批罐头是否符合要求（取显著性水平α= 0.05）.(本题10分) （225416s =, 0.05t (16) = 1.7459, 0.05t (17) = 1.7396, 0.025t (16) = 2.1199, 0.025t (17) =2.1098）参考答案一、1、0.3 2、1(1)np -- 3、0.25 4、1 5、12e 二、1、C 2、B 3、A 4、D 5、C三、解 (1)设A=“任取5片，至少2片安慰剂.” ……1分法一23324155555555510113()126C C C C C C C P A C +++== ……4分法二514555510113()1126C C C P A C +=-= ……4分（2）设B=“不放回任取5片，前3次都取到安慰剂.” ……1分5431()109812P B =⋅⋅=……4分四、解（1）设A={至多3分钟} ……1分0.431()(3)(3)11P A P X F e e -⨯-=≤==-=- ……4分(2) 设B={3分钟至4分钟之间} ……1分1.6 1.2 1.2 1.6()(34)(4)(3)(4)1(1)0P B P X F F P X e e e e ----=≤≤=-+==---+=- ……4分五、解 (1) (X, Y) 关于X 的边缘密度为()01(),0()(,)20,0x y X x y edy x f x f x y dy x +∞-++∞-∞⎧+>⎪==⎨⎪≤⎩⎰⎰ ……2分=1(1),020,0xx e x x -⎧+>⎪⎨⎪≤⎩ ……2分 (X, Y) 关于Y 的边缘密度为()01(),0()(,)20,0x y Y x y edx y f y f x y dx y +∞-++∞-∞⎧+>⎪==⎨⎪≤⎩⎰⎰ ……2分 =1(1),020,0yy e y y -⎧+>⎪⎨⎪≤⎩ ……2分 (2) ()()X Y f x f y ⋅=()1(1)(1),0,040,x y x y ex y -+⎧++>>⎪⎨⎪⎩其它 ……1分显然()()(,)X Y f x f y f x y ⋅≠，故X 和Y 不独立. ……1分六、解 E(X 2 )=(-2)2 ×0.4+ 02 ×0.3+22 ×0.3=2.8 …… 5分E(3X 2 +5)=3 E(X 2 )+5=3×2.8 +5=13.4 ……5分七、解11()E X dx ==⎰⎰……3分110|==……3分由矩估计定义知11nii X X n ===∑ ……2分解得矩估计值为2ˆ()1x x θ=- ……1分矩估计量为2ˆ()1X X θ=- ……1分八、解 2,μσ均未知，2σ的置信度为0.9的置信区间为2222/21/2(1)(1)[,](1)(1)n S n S n n ααχχ----- ……2分这里n = 6, 2α= 0.05, 2s =0.15×10-5查表得20.05χ(5)=11.070, 20.95χ(5)=1.145 ……3分计算得 2462/2(1)50.1510 6.77410,(1)11.070n s n αχ---⨯⨯==⨯- ……2分24521/2(1)50.1510 6.55010,(1) 1.145n s n αχ----⨯⨯==⨯- ……2分即2σ的置信区间为[6.774×10-6,6.550×10-5]. ……1分九、解检验假设H 0：μ≥21, H 1：μ<21. ……1分2σ未知，检验问题的拒绝域为(1)x t t n α=≤-- ……3分n = 17, α= 0.05, x = 20, 2s =254/16,查表得0.025t (16) = 1.7459 ……2分t ==–1.03>-1.7459 ……2分故接受H 0即认为这批罐头符合要求. ……2分概率统计试卷 B一、填空题（共5 小题，每题 3 分，共计15分）1、设A 、B 为两个随机事件，()P A = 0.7, ()P A B -= 0.3则()P AB = .2、已知()P A =14, (|)P B A =13, (|)P A B =12，则()P A B = .3、若随机变量X 的概率密度为,01(),02,40,2x ke x f x x x ⎧<⎪⎪=≤<⎨⎪≥⎪⎩，则k = .4、设随机变量X 的分布率为 X -1 0 1k p 13 16 12 则X 的分布函数()F x = .5、设X 为随机变量，若已知2,()1,2XEX D ==则2(2)E X -= .二、选择题（共5 小题，每题3 分，共计15分）1、设A 、B 是两个相互独立的事件，且()0,()0,P A P B >>则()P A B ) =( )一定成立.(A) ()()P A P B + (B) 1()()P A P B -(C) 1()()P A P B + (D) 1()P AB -2、下列函数中，( )可以作为连续型随机变量的分布函数.(A) 1,0()10x e x F x x ⎧<=⎨≥⎩ (B)2,0()10x e x F x x -⎧<=⎨≥⎩ (C) 30,0()10x x F x e x <⎧=⎨-≥⎩ (D)40,0()10xx F x e x -<⎧=⎨+≥⎩ 3、设X 和Y 是两个相互独立的随机变量，DX = 4，DY =2，则(32)D X Y -=( ).(A) 8 (B) 16(C) 28 (D) 444、设12,,(1)n X X X n >是来自正态总体N 2(,)μσ的简单随机样本，X 是样本均值，222212112222341111(),(),111(),(),1n n i i i i n n i i i i S X X S X X n n S X S X n n μμ=====-=--=-=--∑∑∑∑则服从自由度为n -1的t 分布的随机变量是( ).(A)X t =(B) X t =(C)X t =(D)X t =5、在假设检验中，0H 表示原假设，1H 为备择假设，则称为犯第二类错误是( ).(A) 1H 不真，接受1H (B) 1H 不真，接受0H (C) 0H 不真，接受0H (D) 0H 不真，接受1H三、已知在10件产品中有2件次品，在其中任取两次，每次任取一件，作不放回抽样，求下列事件的概率： (1) 两件都是正品;(2) 第二次取出的是次品. (本题10分)四、设事件A 在每次试验发生的概率为0.3，A 发生不少于3次时，指示灯发出信号，进行了5次重复独立试验，求指示灯发出信号的概率. (本题10分)五、设随机变量(X,Y)的概率密度为(),01,0(,)10x y e e x y f x y e -+⎧<<<<+∞⎪=-⎨⎪⎩其它 (1) 求边缘概率密度(),()X Y f x f y ;(2) 判断X 和Y 是否相互独立？ (本题10分)六、设随机变量12,X X 的概率密度别为212,0,()0,0.x e x f x x -⎧>=⎨≤⎩ 424,0,()0,0.x e x f x x -⎧>=⎨≤⎩ （1）求212(23)E X X -; （2）又设12,X X 相互独立，求12()E X X . (本题10分)七、设12,,(1)n X X X n >为总体X 的一个样本，12,,,n x x x 为一相应的样本值，总体密度函数为(1),()0c x x c f x θθθ-+⎧>=⎨⎩其它, 其中c>0为已知，θ>1,求θ为未知参数的最大似然估计值和估计量. (本题10分)八、用铂球测定引力常数（单位：10-11m 3.kg -1.s -2），观察值为6.661 6.661 6.667 6.667 6.664设测定值总体为N 2(,)μσ，2,μσ未知，试求2σ的置信水平为0.9的置信区间. (本题10分)（250.910,s -=⨯20.05χ(4) = 9.488, 20.05χ(5) = 11.071,20.95χ(4) = 0.711，20.95χ(5)=1.145 ）九、如果一个矩形的宽度与长度的比为11)2≈0.618，这样的矩形称为黄金矩形，某工艺厂生产的矩形的宽度与长度的比值总体服从正态分布N 2(,)μσ，现随机抽取16个，测得x = 0.6544, s = 0.0925，其均值为μ，方差为2σ，2,μσ均未知，试检验假设H 0：μ= 0.618, H 1：μ≠0.618 （取α= 0.05）. (本题10分)（0.025t (19) = 2.0930, 0.025t (20) = 2.0860, 0.05t (19) = 1.7291, 0.05t (20) =1.72470.025t (15) = 2.1315, 0.025t (16) = 2.1199, 0.05t (15) = 1.7531, 0.05t (16) =1.7459）参考答案一、1、0.6 2、1/3 3、0.5 4、0,11,103()1,01211x x F x x x <-⎧⎪⎪-≤<⎪=⎨⎪≤<⎪⎪≥⎩ 5、4 二、1、B 2、A 3、D 4、B 5、C 三、解设i A =“第i 次取出的是正品.”i B =“第i 次取出的是次品.” ……2分（1）121218728()()(|)10945P A A P A P A A ==⋅= ……4分 212121212121121(2)()()()()()(|)()(|)822191109109455P B P A B B B P A B P B B P A P B A P B P B B =⋃=+=+=⋅+⋅== ……4分四、解设A 发生的次数为X ，B 为指示灯发出信号，则X 服从b （n ，p ）， n=5，p=0.3 ……4分法一5553()(3)(0.3)(0.7)0.163kk kk P B P X C -==≥=≈∑……6分法二2550()1(3)1(0.3)(0.7)0.163k k k k P B P X C -==-<=-≈∑ ……6分五、解 (1) (X, Y) 关于X 的边缘密度为()0,01()(,)1,x y X e e dy x f x f x y dy e +∞-++∞-∞⎧<<⎪==-⎨⎪⎩⎰⎰其它 ……2分 =,0110,xe e x e -⎧<<⎪-⎨⎪⎩其它 ……2分 (X, Y) 关于Y 的边缘密度为1()0,0()(,)1,0x y Y e e dx y f x f x y dx e y -++∞-∞⎧>⎪==-⎨⎪≤⎩⎰⎰……2分 =,00,0y e y y -⎧>⎨≤⎩ ……2分(2) ()()X Y f x f y ⋅(),01,010x y e e x y e -+⎧<<<<+∞⎪=-⎨⎪⎩其它 ……1分显然()()(,)X Y f x f y f x y ⋅=，故X 和Y 相互独立. ……1分六、解11()2E X =，21()4E X = …… 2分 2222222111()()[()]()()448E X D X E X =+=+=……2分221212(1)(23)2()3()11523288E X X E X E X -=-=⋅-⋅=…… 3分（2）12,X X 独立，1212111()()()248E X X E X E X ==⋅= ……3分七、解样本X 1,X 2,…,X n 的似然函数为(1)(1)11()nnnn i i i i L c xc x θθθθθθθ-+-+===∏⋅=⋅∏ ……3分而1ln ()ln ln (1)ln nii L n n c x θθθθ==+-+∑ ……2分令1ln ()ln ln 0ni i d nL n c x d θθθ==+-=∑ ……2分解得的最大似然估计值为1ˆln ln nii nx n cθ==-∑ ……2分最大似然估计量为1ˆln ln nii nXn cθ==-∑ ……1分八、解 2,μσ均未知，2σ的置信度为0.9的置信区间为2222/21/2(1)(1)[,](1)(1)n S n S n n ααχχ----- ……2分这里n = 5, 2α= 0.05, 2s =0.9×10-5查表得20.05χ(4)=9.488, 20.95χ(4)=0.711 ……3分计算得 2562/2(1)40.910 3.79410,(1)9.488n s n αχ---⨯⨯==⨯- ……2分25521/2(1)40.910 5.06310,(1)0.711n s n αχ----⨯⨯==⨯- ……2分即2σ的置信区间为[3.794×10-6,5.063×10-5]. ……1分九、解检验假设H 0：μ= 0.618, H 1：μ≠ 0.618. ……1分2σ未知，检验问题的拒绝域为/2|||(1)x t t n α=≥- ……3分n = 16, α= 0.05, α/2 = 0.025, x = 0.6544, s = 0.0925, 查表得0.025t (15) = 2.1315 ……2分||||t ==1.574 < 2.1315 ……2分故接受H 0即认为矩形的宽度与长度的比为0.618. ……2分概率统计试卷 C一、填空题（共5 小题，每题 3 分，共计15分） 1、设A 、B 、C 为三个随机事件， 11()()(),()()0,(),48P A P B P C P AB P BC P AC ======则()P A B C = . 2、设随机变量X 的概率密度为2(1),11,()0,k x x f x ⎧--<<=⎨⎩其他.，则k = .3、设随机变量X,Y 相互独立，~(1,4),~(10,0.4),X N Y b 则(2)D X Y -= .4、设12,,,n X X X 是来自总体2(,)N μσ的样本，X 是样本均值，则X 服从的分布为 .5、设12,,,n X X X 是来自总体2(,)N μσ的样本，2S 为样本方差，μ未知时，则2σ的一个置信水平为1α-的置信区间为 . 二、选择题（共5 小题，每题3 分，共计15分）1、设A 、B 是两个相互独立的事件，且()0,()0,P A P B >>则 ( )一定成立.(A) (|)1()P A B P A =- (B) (|)0P A B = (C) ()1()P A P B =- (D) (|)()P A B P B =2、函数()=y f x 是一连续型随机变量X 的概率密度，则（）一定成立. (A) ()f x 的定义域为[0,1] (B) ()f x 的值域为[0,1](C) ()f x 非负 (D) ()f x 在(-∞,∞)内连续3、设X 和Y 是两个相互独立的随机变量，且都服从泊松分布，又知()2,()3,E X E Y ==则2()E X Y +=( ).(A) 51 (B) 10 (C) 25 (D) 304、设总体2~(,)X N μσ，其中μ已知，2σ未知，123,,X X X 是来自正态总体X 的一个容量为3的样本，则下列选项中不是统计量的是 ( ). (A) 123X X X ++ (B) 123max{,,}X X X(C)2222123()X X X σ++ (D) 132X X μ+- 5、设总体2~(,)X N μσ， 12,,,n X X X 是来自正态总体的样本，则2σ的无偏估计量是( ). (A) 211()n i i X X n =-∑ (B) 211()1n i i X X n =--∑(C) 2211n i i X X n =-∑ (D) 211()1n i i X X n =-+∑三、有两种花籽，发芽率分别为0.8, 0.9，从中各取一颗，设各花籽是否发芽相互独立，求（1）这两颗花籽都能发芽的概率，（2）恰有一颗能发芽的概率. (本题12分)四、设随机变量X 的分布函数为0,1,()ln ,1,1,.X x F x x x e x e <⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩（1）求{2 2.5},P X <<（2）求密度函数().X f x (本题12分)五、设随机变量(X,Y )的概率密度为225.25,1,(,)0,x y x y f x y ⎧≤≤=⎨⎩其它. (1) 求边缘概率密度(),()X Y f x f y ;(2) 判断X 和Y 是否相互独立？ (本题12分)六、设随机变量(X,Y )的概率密度为212,01,(,)0,.y y x f x y ⎧≤≤≤=⎨⎩其他求(),().E X E XY (本题10分)七、设随机变量X 的分布律为1{}(1),0,1x xP X x p p x -==-=，1,2,,n X X X 是来自X的一个样本，12,,,n x x x 为一相应的样本值， p 为未知参数，求p 的最大似然估计值和估计量. (本题12分)八、某批矿砂的5个样品中的镍含量，经测定为（%） 3.25 3.27 3.24 3.26 3.24设测定值总体服从正态分布，但参数均未知，问在α= 0.01下能否接受假设：这批矿砂的镍含量的均值为 3.25. (本题12分)（s = 0.013, 0.005t (4) = 4.6041, 0.005t (5) = 4.0322, 0.01t (4) = 3.7459, 0.01t (5) = 3.3649）参考答案一、1、5/8=0.625 2、3/8=0.375 3、18.4 4、2(,)N n σμ5、2222/21/2(1)(1)(,)(1)(1)n S n S n n ααχχ-----二、1、A 2、C 3、D 4、C 5、B 三、解设i A =“第i 种花籽取一颗.”（i =1,2）(1) P (两颗花籽都能发芽)=12()P A A12()()0.80.90.72P A P A ==⨯= ……6分(2) P (恰有一颗能发芽)=12121212()()()P A A A A P A A P A A =+1212()()()()0.80.10.20.90.26.P A P A P A P A =+=⨯+⨯= ……6分四、解 (1) (2 2.5)(2.5)(2)X X P X F F <<=-5l n 2.5l n 2l n4=-= ……6分 (2)1,1,()()0,.X X x e f x F x x⎧<<⎪'==⎨⎪⎩其他 ……6分五、解 (1) (X, Y ) 关于X 的边缘密度为 2125.25,11()(,)0,x X x ydy x f x f x y dy +∞-∞⎧-≤≤⎪==⎨⎪⎩⎰⎰其它 ……3分 2221241215.25(1),11280,xx y x x x ⎧=--≤≤⎪=⎨⎪⎩其它 ……2分 (X, Y ) 关于Y 的边缘密度为2,01()(,)0,Y x ydx y f y f x y dx +∞-∞⎧≤≤⎪==⎨⎪⎩⎰其它 ……3分35/225.25 3.5,0130,y x y y ⎧=≤≤⎪=⎨⎪⎩其它……2分(2) ()()(,)X Y f x f y f x y ⋅≠，故X 和Y 不相互独立. ……2分六、解()(,)E X x f x y dxdy∞∞-∞-∞=⎰⎰…… 2分 112400041245x dx xy dy x dx ===⎰⎰⎰， ……3分()(,)E XY xy f x y dxdy∞∞-∞-∞=⎰⎰……2分 113500011232x dx xy dy x dx ===⎰⎰⎰ …… 3分七、解设12,,,n x x x 是相应于样本X 1,X 2,…,X n 的的一个样本值，X 的分布律为1{}(1),0,1x x P X x p p x -==-=故似然函数为1111()(1)(1)nniii i i i x n x nx x i L p p p p p ==--=∑∑=∏-=- ……4分而11ln ()()ln ()ln(1)nni i i i L p x p n x p ===+--∑∑令11ln ()01nniii i xn x dL p dp pp==-=-=-∑∑ ……4分解得p 的最大似然估计值为 11ˆni i px x n ===∑最大似然估计量为 11ˆ.ni i pX X n ===∑ ……4分八、解检验假设H 0：μ= 3.25, H 1：μ≠3.25 .2σ未知，检验问题的拒绝域为/2|||(1)x t t n α=≥- ……4分n = 5, α= 0.01, α/2 = 0.005, x = 3.252, s = 0.013,查表得0.005t (4) = 4.6041 ……4分|||t == 0.343 < 4.6041 故接受H 0即认为这批矿砂的镍含量的均值为3.25. ……4分概率统计试卷 D一、填空题（共5 小题，每题 3 分，共计15分）1、设事件A,B 相互独立，()0.4,()0.7,==P A P A B 则()P B = .2、设随机变量X 的概率密度为cos ,,()220,k x x f x ππ⎧-≤≤⎪=⎨⎪⎩其他.，则k = . 3、设随机变量123,,X X X 相互独立且都服从参数为λ的泊松分布，令1231()3Y X X X =++则()D Y = .4、设12,,,n X X X 是来自总体2(,)N μσ的样本，2,X S 分别是样本均值和样本方差，则22(1)n S σ-服从的分布为 .5、设12,,,n X X X 是来自总体2(,)N μσ的样本，2,X S 分别是样本均值和样本方差，2σ已知时，μ的一个置信水平为1-α的置信区间为 . 二、选择题（共5 小题，每题3 分，共计15分）1、设A 、B 是两个相互独立的事件，且()0,()0,P A P B >>则 ( )一定成立.(A) (|)1()P A B P A =- (B) (|)0P A B = (C) ()1()P A P B =- (D) (|)()P A B P B =2、函数()=y f x 是一连续型随机变量X 的概率密度，则（）一定成立.(A) ()f x 的定义域为[0,1] (B) ()f x 的值域为[0,1] (C) ()f x 非负 (D) ()f x 在(-∞,∞)内连续3、设()0,E X ≥且2111(1)2,(1),222E X D X -=-=则()E X =（）. (A)(B) 2(C) 1 (D) 04、设1234,,,X X X X 是来自正态总体X 的样本，其中μ已知，2σ未知，则下列选项中不是统计量的是 ( ).(A) 4114ii X X ==∑ (B) 142X X μ+-(C) 42211()3i i S X X ==-∑ (D) 42211()i i K X X σ==-∑5、设总体2~(,)X N μσ， 12,,,n X X X 是来自正态总体的样本，则2σ的无偏估计量是( ).(A) 211()n i i X X n =-∑ (B) 211()1n i i X X n =-+∑(C) 211()1n i i X X n =--∑ (D) 2211n i i X X n =-∑三、有两种花籽，发芽率分别为0.8, 0.9，从中各取一颗，设各花籽是否发芽相互独立，求（1）这两颗花籽都能发芽的概率，（2）恰有一颗能发芽的概率. (本题12分)四、设随机变量X 的分布函数为0,1,()ln ,1,1,.X x F x x x e x e <⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩（1）求{03}P X <≤，（2）求密度函数().X f x (本题12分)五、设随机变量(X,Y )的概率密度为 4.8(2),01,0,(,)0,y x x y x f x y -≤≤≤≤⎧=⎨⎩其它.(1) 求边缘概率密度(),()X Y f x f y ;(2) 判断X 和Y 是否相互独立？ (本题12分)六、设随机变量(X,Y )的概率密度为2,01,01,(,)0,.y x y f x y <<<<⎧=⎨⎩其他，求(),().E Y E XY (本题10分)七、设1,2,,n X X X 是来自总体X 的一个样本，12,,,n x x x 为一相应的样本值，总体X 的密度函数为 1,01,(,)(0)0,x x f x θθθθ-⎧<<=>⎨⎩其它.,求θ为未知参数的矩估计值和估计量. (本题12分)八、某批矿砂的5个样品中的镍含量，经测定为（%） 3.25 3.27 3.24 3.26 3.24设测定值总体服从正态分布，但参数均未知，问在α= 0.01下能否接受假设：这批矿砂的镍含量的均值为 3.25. (本题12分)（s = 0.013, 0.005t (4) = 4.6041, 0.005t (5) = 4.0322, 0.01t (4) = 3.7459, 0.01t (5) = 3.3649）参考答案一、1、0.5 2、1/2=0.5 3、13λ 4、2(1)n χ- 5、/2()X z α二、1、A 2、C 3、B 4、D 5、C 三、解设i A =“第i 种花籽取一颗.”（i =1,2）(1) P (两颗花籽都能发芽)=12()P A A12()()0.80.90.72P A P A ==⨯= ……6分(2) P (恰有一颗能发芽)=12121212()()()P A A A A P A A P A A =+1212()()()()0.80.10.20.90.26.P A P A P A P A =+=⨯+⨯= ……6分四、解 (1) (03)(3)(0)101X X P X F F <≤=-=-= ……6分(2)1,1,()()0,.X Xx e f x F x x ⎧<<⎪'==⎨⎪⎩其他 ……6分五、解 (1) (X, Y ) 关于X 的边缘密度为4.8(2),01()(,)0,x X y x dy x f x f x y dy +∞-∞⎧-≤≤⎪==⎨⎪⎩⎰⎰其它 ……3分 2202.4(2) 2.4(2),010,x x y x x x ⎧-=-≤≤⎪=⎨⎪⎩其它 ……2分 (X, Y ) 关于Y 的边缘密度为14.8(2),01()(,)0,yY y x dx y f y f x y dx +∞-∞⎧-≤≤⎪==⎨⎪⎩⎰⎰其它 ……3分 21214.8[(2)] 2.4(34),0120,y y x y y y y ⎧--=-+≤≤⎪=⎨⎪⎩其它 ……2分(2) ()()(,)X Y f x f y f x y ⋅≠，故X 和Y 不相互独立. ……2分六、解()(,)E Y y f x y dxdy∞∞-∞-∞=⎰⎰……2分 11112311000000222223333dx y dy y dx dx x =====⎰⎰⎰⎰， ……3分 ()(,)E XY xy f x y dxdy∞∞-∞-∞=⎰⎰……2分 1111231100000022112.3333dx xy dy xy dx xdx x =====⎰⎰⎰⎰ ……3分七、解由矩法估计1()(,)E X x f x d xμθ∞-∞==⎰11110011x x dx x θθθθθθθ-+===++⎰ ……4分以1A 代1μ得 1111ni i A X Xn θθ====+∑ ……4分得θ的矩估计量为ˆ,1X X θ=- θ的矩估计值为 ˆ1x x θ=-. ……4分八、解检验假设H 0：μ= 3.25, H 1：μ≠3.25 .2σ未知，检验问题的拒绝域为/2|||(1)x t t n α=≥- ……4分n = 5, α= 0.01, α/2 = 0.005, x = 3.252, s = 0.013,查表得0.005t (4) = 4.6041 ……4分|||t ==0.343 < 4.6041 故接受H 0即认为这批矿砂的镍含量的均值为3.25. ……4分。

《概率统计》期中考试卷A答案_2010-2011学年第二学期

λ k e −λ ( k = 0,1,2 L) ，由 P{ X = 0} = e − λ = 0.01 , 得 λ = ln 100 = 2 ln 10, k!
(1) P {X ≥ 2} = 1 − P {X < 2} = 1 − P {X = 0} − P {X = 1}
= 1 − 0.01 −
2 ln 10 ⋅ e − ln 100 = 0.99 − 0.02 ln 10. 1!
三．(10 分) 玻璃杯成箱出售，每箱 20 只．设各箱含 0 只、1 只残次品的概率分别为 0.8 和 0.2．一顾客欲购买一箱玻璃杯，由售货员任取一箱，而顾客开箱随机地察看 3 只：若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回．求：(1) 顾客买下此箱玻璃杯的概率； (2) 已知顾客买下此箱玻璃杯，求该箱中确实没有残次品的概率．解：设 A0=“箱中含有 0 件次品” ， A1=“箱中含有 1 件次品” ，则 A0 ，A1 是一完备事件组，设 B=“任取的 3 只都是合格品”=“顾客买下该箱玻璃杯” ，（1） P ( B ) = P ( A0 ) P ( B | A0 ) + P ( A1 ) P ( B | A1 )
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（2） EX = λ = ln 100 = 2 ln 10.
P D F
c re a te d
w ith
p d f F a c to r y tr ia l v e r s io n
浙江财经学院课程期中考试试卷
七． (10 分) 设 X 服从参数 λ =
′ (tan y ) sec 2 y = f X (tan y ) ⋅ sec 2 y = fY ( y ) = [FY ( y )] ′ = FX

概率统计答案(详解)

第一章随机事件与概率1. 用集合的形式写出下列随机试验的样本空间与随机事件A ：(1) 抛一枚硬币两次，观察出现的面，事件{=A 两次出现的面相同}；(2) 记录某电话总机一分钟内接到的呼叫次数，事件{=A 一分钟内呼叫次数不超过3次}；(3) 从一批灯泡中随机抽取一只，测试其寿命，事件{=A 寿命在2000到2500小时之间}。

解 (1) 用+表示出现正面，-表示出现反面。

)},(),,(),,(),,{(--+--+++=Ω， )},(),,{(--++=A . (2) 012{,,,,}kΩωωωω=，0123{,,,}A ωωωω=.其中k ω 表示1分钟内接到k 次呼唤，0,1,2,k =(3) 记x 为抽到的灯泡的寿命（单位：小时），则{|0}x x Ω=≥， {|20005000}A x x =≤≤.2. 在区间]2,0[上任取一数，记⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<=121x x A ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤=2341x x B ，求下列事件的表达式：(1)B A ；(2)B A ；(3)B A ；(4)B A . 解 (1) 1342AB x x B ⎧⎫=≤≤=⎨⎬⎩⎭; (2) 10122AB x x x B ⎧⎫=≤≤<≤⎨⎬⎩⎭或1131422x x x x ⎧⎫⎧⎫=≤≤<≤⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭; (3) 因为B A ⊂，所以ΦAB =；(4)130242AB A x x x ⎧⎫=≤<<≤⎨⎬⎩⎭或=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<≤<<≤223121410x x x x 或或 3. 用事件C B A ,,的运算关系式表示下列事件：(1) A 出现，C B ,都不出现（记为1E ）； (2) B A ,都出现，C 不出现（记为2E ）； (3) 所有三个事件都出现（记为3E ）； (4) 三个事件中至少有一个出现（记为4E ）； (5) 三个事件都不出现（记为5E ）； (6) 不多于一个事件出现（记为6E ）；(7) 不多于两个事件出现（记为7E ）； (8) 三个事件中至少有两个出现（记为8E ）。

概率统计中期考试试题及答案

概率统计中期考试试题及答案一选择题1 设A ，B ，C 为三个独立事件，则下列等式中不成立的是（）（A ） )()()(B P A P B A P = （B ） )()()(B P A P B A P = （C ） )()()(C P A P AC P = （B ） )()()()(C P B P A P ABC P =解 A ，B ，C 为三个独立事件，则A 与B 相互独立 )()()(B P A P B A P = 所以（B ）不成立2 如果事件A 与B 相互对立，则下面结论错误的是（）（A ） A+B 是必然事件（B ）B A +是必然事件（C ） B A 是不可能事件（D ）A 与B 一定不互斥解如图：事件A 与B 相互对立，则 A B ==,Φ=B A所以（D ）是错误的 3 给出下列命:(1) 互斥事件一定对立 (2) 对立事件一定互斥 (3) 互斥事件不一定对立(4) 事件A 与B 的和事件的概率一定大于事件A 的概率 (5) 事件A 与B 互斥,则P(A)=1-P(B) 其中命题正确的个数为( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 解 (1) 错误 (2) 正确 (3) 正确(4) 如果 A B ⊆,则 )()(A P B A P =+ 所以错误(5) 事件A 与B 互斥,则)()()(B P A P B A P +=+ 但)(B A P +不一定等于1 所以错误4 一个员工一周需要值班二天,其中恰有一天是星期六的概率为( ) ( A) 1/7 (B) 2/7 (C) 1/49 (D) 2/49 解 A={ 恰有一天是星期六} 726)(27==C A P 5 有三个相识的人某天各自乘火车外出,假设火车有10节车厢,那么至少有二人在车厢内相遇的概率( )(A) 29/200 (B) 7/25 (C) 29/144 (D) 7/18 解 A={至少有二人在车厢内相遇} 则2571089101)(1)(3=⨯⨯-=-=A P A P二填空题1 袋中3红球，2白球，每次取1个，取后放回，再放入相同颜色的球1个，则连续三次取得红球的概率解 i A 第i 次取红球（i=1,2,3）则 )|()|()()(213121321A A A P A A P A P A A A P =756453⨯⨯=72= 2 有两箱同类的零件，第一箱有50只，其中有10件一等品，第二箱有30只，其中有18件一等品，今从两箱中任取一箱，然后从该箱中取零件两次，每次取一只，不放回，则第一次取到一等品的概率是解 A------取到第一只箱子 B------第一次取到红球)|()()|()()(A B P A P A B P A P B P +=4.0301821501021=⨯+⨯=3某射手命中率为0.9，他射击10次恰好中9次的概率为解 X------10次射击命中的次数，则 )9.0,10(~B X1.09.0}9{9910C X P ===0.387424设8支枪中已有5支经试射校正，有3支未校正，一射手用校正过的枪命中率为0.8，用未校正过的枪命中率为0.3，今从8支枪中选一支进行射击，结果中靶，则所用枪是校正过的概率为解 A------取到校正过的枪 B-----射击命中目标 )|()()|()()(A B P A P A B P A P B P += 3.0838.085⨯+⨯=)()|()()()()|(B P A B P A P B P AB P B A P ==3.0838.0858.085⨯+⨯⨯==0.8163275 设随机变量X 的分布律为 kb k X P )32(}{== （k=1,2,3,…）则常数b=解 132132)32(1=-=∑∞=b b k k5.0=⇒b6 事件A ，B ，C 三事件相互独立，A 发生的概率为1/2，A ，B ，C 同时发生的概率为1/24，A ，B ，C 都不发生的概率为1/4，则A ，B ，C 只有一个发生的概率为解事件A ，B ，C 三事件相互独立21)(=A P 241)()()()(==C P B P A P ABC P 41))(1))((1))((1()()()()(=---==C P B P A P C P B P A P C B A P 则 31)(=B P 41)(=C P )()()()(P P P P ++=++)()()()()()()()()(C P B P A P C P B P A P C P B P A P ++=413221433121433221⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=2411=7设某项实验成功率是失败率的2倍，用X 表示一次实验成功的次数，则P{X=0}= 解 A={成功} 则 32)(=A P 31)0(==X P 8 已知a A P =)( b B P =)( c B A P =+)( 则 =)(B A P 解 )()()])[()(B P B A P B B A P B A P -+=-+==c-b9 从1到100共100个整数中任取一个数，在已知这个数是3的倍数的条件下，这个数能被5整除的概率为解 A={这个数是3的倍数} B={这个数能被5整除}则 112100331006)()()|(===A P AB P A B P三设连续型随机变量的分布函数为 ⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=111000)(2x x Axx x F 求（1）A=？（2）P{0.3<X<0.7} (3) X 的概率密度解（1）因为为F(x)连续函数，特别地，在X=1处连续，有A=1（2） 4.03.07.0)3.0()7.0(}7.03.0{22=-=-=<<F F X P（3） ⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<='=1010200)()(x x x x x F x f四测量到某目标的距离时发生的随机误差X 具有概率密度3200)20(22401)(--=x ex f π求在一次测量中误差的绝对值不超过30米的概率解 224020213200)20(24012401)(⎪⎭⎫ ⎝⎛----==x x eex f ππ)40,20(~2N X)25.1()25.0()402030()402030(}3030{}30|{|-Φ-Φ=--Φ--Φ=≤≤-=≤X P X P 4931.018944.05981.0)]25.1(1[)25.0(=-+=Φ--Φ=五设随机变量X 服从均匀分布U （0，1），试求Xe Y = 概率密度函数与分布函数解 )1,0(~U X ⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=1010100)(x x x x f Xx e y =单调上升,其反函数为: y x ln = 导数为: yx y 1='(1) Xe Y = 概率密度函数为:|)(|))(()(y h y h f y f X Y '∙=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤<=1ln 01ln 010ln 0y y y y ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤<=e y e y y y 0111(2) 分布函数为 dy y f y F Y Y ⎰=)()(⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤+<=e y c e y c y y c 3211ln 1根据)(y F Y 的连续性,及,0)(=-∞Y F 1)(=+∞Y F 有 1,0,0321===c c c所以 =)(y F Y ⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=e y e y y y 11ln 10。

2015-2016概率统计(B)答案

广州大学2015-2016学年第二学期考试卷参考答案课程：概率论与数理统计考试形式：闭卷考试一、选择题（每小题2分，总计10分）1．下列给出的数列中，可用来描述某一随机变量分布律的是（ D ）.（A ）25i p i =，5,4,3,2,1=i ；（B ）6)5(2i p i -=，3,2,1,0=i ；（C ）1453i p i =，5,4,3,2,1=i ；（D ）302i p i =，4,3,2,1=i .2．设事件A 与B 同时发生的概率()0P AB =，则( C ).(A)事件A 与B 相互独立; (B)事件A 与B 不相关; (C)()()()P A B P A P B =+ ; (D)事件AB 为不可能事件.3．已知2.0)(=A P ，2.0)(=B P ，A 与B 互斥，则=-)(A B P （ B ）. （A ）0.04；（B ）0.2；（C ）0.16；（D ）0.4．设()f x ，()F x 分别为某连续型随机变量的概率密度函数和分布函数，则( B ). (A)()f x 连续; (B)()()F x f x '=; (C)()()f x F x '=; (D)lim ()1x f x →+∞=.5．设)4,2(~N X , 若Y =( A ), 则~(0,1)Y N .(A)22-X ; (B)24X -; (C)24X +; (D)42X +. 二、填空题（每小题2分，总计10分）1．袋中有6个红球，2个白球.从中任取3个，则恰好取到2个红球的概率是___2815___. 2．已知()0.4P A =,()0.5P B =,6.0)|(=A B P ,则()P A B = 0.66 . 3．每次试验中A 出现的概率为p ，在三次试验中A 出现至少一次的概率是6463，则p = 0.75 .4．设离散型随机变量X 的分布律为X 0 1 3 P 0.6 0.1 0.3其分布函数为()F x ，则(2)F = 0.7 .5．设321,...,),64,3(~x x N X 为X 的一个样本，则样本均值X 的方差为 2 . 三、（本题满分8分）袋中有红球7个, 白球3个, 从中抽3个, 求(1)抽到3个红球的概率()P A ;(2)抽到至多2个白球的概率()P B .解：(1) 247)(31037==C C A P ……(4分)(2) ()1()P B P B =-120119131033=-=CC = ……(8分) 四、（本题满分10分）设某批产品中, 甲, 乙, 丙三厂生产的产品分别占35%, 25%, 40%, 各厂的产品的次品率分别为4%, 2%, 5%, 现从中任取一件, 经检验发现取到的产品为次品, 求该产品是甲厂生产的概率.解：记事件0：“该产品是次品”，事件2A ：“该产品为乙厂生产的”，事件3A ：“该产品为丙厂生产的”，事件B ：“该产品是次品”.------2分由题设，知%,35)(1=A P %,25)(2=A P %,40)(3=A P1(|)4%P B A =，2(|)2%P B A =，3(|)5%P B A =，------5分由全概率公式得31()()(|)i i i P B P A P B A ==∑%39=.------8分由贝叶斯公式(或条件概率定义), 得1(|)P A B 1()()P A B P B =11()(|)()P A P B A P B =3914=.------10分五、（本题满分8分）设随机变量X 的分布律为试求：(1)随机变量21Y X=+的分布律；(2)Y 的分布函数. 解：(1) 随机变量Y 的分布律为……(5分)(2) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<≤<≤<=y y y y y F 51526.0211.010)( ……(8分)六、（本题满分14分）设随机变量（X ，Y ）的分布密度f （x ，y ）=⎩⎨⎧>>+-.,0,0,0,)43(其他y x A y x e求：（1）常数A ；（2）随机变量（X ，Y ）的分布函数；（3） P {0≤X <1，0≤Y <2}.解：（1）由-(34)0(,)d d e d d 112x y Af x y x y A x y +∞+∞+∞+∞+-∞-∞===⎰⎰⎰⎰得 A =12 （2）由定义，有(,)(,)d dy xF x y f u v u v -∞-∞=⎰⎰(34)340012ed d (1e )(1e )0,0,0,0,y yu v x y u v y x -+--⎧⎧-->>⎪==⎨⎨⎩⎪⎩⎰⎰其他(3) {01,02}P X Y ≤<≤<12(34)3800{01,02}12ed d (1e )(1e )0.9499.x y P X Y x y -+--=<≤<≤==--≈⎰⎰七、（本题满分为10分）袋中有五个号码1，2，3，4，5，从中任取三个，记这三个号码中最小的号码为X ，最大的号码为Y .（1）求X 与Y 的联合概率分布；（2） X 与Y 是否相互独立？解：（1） X 与Y 的联合分布律如下表(2) 因6161{1}{3}{1,3},101010010P X P Y P X Y ===⨯=≠=== 故X 与Y 不独立八、（本题满分10分）某市保险公司开办一年人身保险业务, 被保险人每年需交付保险费200元, 若一年内发生重大人身事故, 其本人或家属可获2.5万元赔金. 已知该市人员一年内发生重大人身事故的概率为0.005，现有5000人参加此项保险, 问保险公司一年内从此项业务所得到的总收益在0到75万元之间的概率是多少?2t x -(,)n p ，其中5000n =，0.005p =.------2分保险公司一年内从此项业务所得到的总收益为X 5.2500002.0-⨯万元.------5分所求概率为)4010()755.2500002.00(≤≤=≤-⨯≤X P X P ------6分995.0252540)1(995.0252510⨯-≤--≤⎩⎨⎧⨯-=p np np X P ------7分 )3()3(-Φ-Φ≈------8分 1)3(2-Φ=------9分 =0.9974.-----10分十、（本题满分10分）设分别自总体21N(,)μσ和22N(,)μσ中抽取容量为n 1，n 2的两个独立样本，其样本方差分别为2212,S S . 试证：对于任意常数a ，b （a ＋b ＝1），Z ＝a 21s ＋b 22s 都是σ2的无偏估计，并确定常数a ，b ，使D(Z)达到最小.解由题意，2212,S S 相互独立, ()()222212,E S E S σσ==则2222221212()()()()()E Z E aS bS aE S bE S a b σσ=+=+=+=所以，Z 是2σ的无偏估计. 又22211~(1)1S n n σχ-- ()211(1)2(1)D n n χ-=-,所以()2444222111111222211111122(1)1(1)(1)1n n D S D S D S n n n n n σσσσσσ⎛⎫--⎛⎫===-= ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭ 同理 ()422221D S n σ=-因此有()24242222222241212121222()()21111a b a b D aS bS a D S b D S n n n n σσσ⎛⎫+=+=+=+ ⎪----⎝⎭由于a +b =1, 由10题的结果，可得当11212n a n n -=+-，21212n b n n -=+-，D(Z)有极小值，最小值为：224412122()2112a b D Z n n n n σσ⎛⎫=+=⎪--+-⎝⎭。

概率统计期中考答案版

《_》期中考试（一、四）班级 ______ ___ 姓名 _______学号 _ ___一、选择题（共6题，每题3分，共计18分） 1. 事件C 发生导致事件A 发生, 则 B 。

A. A 是C 的子事件 B. C 是A 的子事件 C. A C = D ．()()P C P A >2. 设事件B A ,两个事件，111(),(),()2310P A P B P AB ===，则()P A B = B 。

A ．1115 B ．415 C ．56 D ．16（逆事件概率，加法公式，()1()1[()()()]P A B P A B P A P B P AB =-=-+-U ）3. 设X ～2(,)N μσ,那么当σ增大时，{2}P X μσ-< C 。

A ．增大B ．减少C ．不变D ．增减不定（随机变量的标准正态化，2(2)1=Φ-)4. 已知B A ,是两个事件，X ,Y 是两个随机变量，下列选项正确的是（C ）A . 如果B A ,互不相容，则A 与B 是对立事件B . 如果B A ,互不相容，且()()0,0>>B P A P ，则B A ,互相独立C . Y X 与互相独立，则Y X 与不相关D . Y X 与相关，则相关系数1ρ=5．已知2,1,(,)1,DX DY Cov X Y === 则(2)D X Y -= ( C ) (A) 3； (B) 11； (C) 5； (D) 7 （考查公式(2)4()()2cov(2,)D X Y D X D Y X Y -=+-）6.若X,Y 为两个随机变量,则下列等式中成立的是( A ) A.EY EX Y X E +=+)( B.DY DX Y X D +=+)( C.DXY DX DY =⋅ D.EXY EX EY =⋅二、填空题（共6题，每题3分，共计18分）1. 设三次独立试验中，事件A 出现的概率相等，如果已知A 至少出现一次的概率等于2719，则事件A 在一次试验中出现的概率为13. (考查贝努里概型)2.设顾客在某银行窗口等待服务的时间X （单位：分钟）具有概率密度某顾客在窗口等待服务，若超过9分钟，他就离开. （1）该顾客未等到服务而离开窗口的概率P {X >9}= 3e -（2）若该顾客一个月内要去银行5次，以Y 表示他未等到服务而离开窗口的次数，即事件{X >9}在5次中发生的次数，P {Y =0}= 35(1)e -- 3.设随机变量X ～)2,1(2N ，（1）{ 2.2}P X <= 0.7257 （2）{ 1.6 5.8}P X -≤<= 0.895 (3）{ 3.5}P X ≤= 0.8822((0.6)0.7257Φ=(2.4)0.9918,Φ=(1.3)0.9032Φ=(1.25)0.8944,Φ=(2.25)0.9878Φ=)4.,,,X Y Z W 是独立的随机变量，X 服从二项分布1(4,)2B ，Y 为参数为2的指数分布，Z 为参数为3的泊松分布，W 是服从[2,4]-上的均匀分布， ()D Y Z -= 13/4 ，(2)E Z W += 7 ，[(1)]E XY X Z +-= -2 。

概率统计期中测验带答案

2015-2016-1学期《概率统计B 》期中测验姓名：班级：成绩：一单选题（每题5分,共 30分）1.对任意两事件A 和B ，则=-)(B A P （）A.()()P A P B -；B.()-()()P A P B P AB +；C.()()P A P AB -；D. ()()()P A P B P AB +-.2. 某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为p ，则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为（）A ． 22)1(3p p - ； B ． 22)1(6p p - ； C ． 2)1(3p p - ； D ． 2)1(6p p -. 3. 设二维随机向量),(Y X 的联合分布律为则}0{=X P =（） A. 12； B. 12； C. 12； D. 512.4. 设事件A ，B 相互独立，且36.0)(,16.0)(==B A P B A P ，则)(),(B P A P 分别为 ( ) .A ．0.2, 0.8 B ．0.4, 0.6 C ．0.6, 0.4 D ．0.8, 0.2 5. ~(0,1),()X N x Φ是X 的分布函数，则（） A. ()()x x Φ-=Φ ； B. ()()x x Φ-=-Φ； C. ()1()x x Φ-=-Φ； D. ()()1x x Φ-=Φ-.6. 设随机变量X 与Y 同分布，X 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<<=其它,020,83)(2x x x f ，设两个事件}{a X A >=与}{a Y B >=相互独立，43)(=B A P 。

则a ＝（）(A) 4 ； (B) 34； (C) 4； (D) 2二填空题（每题5分,共 30分）1.设A 、B 为相互独立的随机事件,7.0)(=A P ,3.0)(=B P ,则(P A B =2.某零件需经过3道工序才能加工成形，3道工序出废品与否是相互独立的，且出废品的概率依次是0.1，0.2，0.3，试求成形零件为废品的概率 .3.设离散型随机变量X 的概率分布为,3.0}1{,2.0}0{====X P X P ,5.0}2{==X P 则=≤}5.1{X P .4.已知5.0)(=A P ，6.0)(=B P ，8.0)(=A B P ，则=-)(A B P 。

2015-2016学年第一学期概率论与数理统计阶段测验(二)试卷答案

北京交通大学2015~2016学年第一学期概率论与数理统计阶段测验（二）试卷参考答案一．（本题满分10分）设二维随机变量()Y X ,的联合密度函数为()()⎩⎨⎧<<<-=其它0101,y x y c y x f ⑴ 求常数c （5分）；⑵ 求概率{}1<+Y X P （5分）．解：⑴ 由密度函数的性质：()1,=⎰⎰+∞∞-+∞∞-dxdy y x f ，得()()⎰⎰⎰⎰-==+∞∞-+∞∞-y dx y c dy dxdy y x f 011,1()()6312111210cc dy y y c ydy y c =⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=-=⎰⎰，由此得6=c ． ⑵ {}()⎰⎰<+=<+1,1y x dxdy y x f Y X P()⎰⎰⎰-=-⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-=2101212102616dx y y dy y dx xx y x x ()434121321321=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=⎰dx x ．二．（本题满分10分）设随机变量Y 服从参数为1=λ的指数分布，定义随机变量k X ，()2,1=k 如下：⎩⎨⎧>≤=k Y kY X k 10 求二维随机变量()21,X X 的联合分布列．解：由题设，得随机变量Y 的密度函数为()⎩⎨⎧≤>=-0x x e y f y． ()()()()111121112,100---∞--=-===≤=≤≤===⎰⎰e e dy e dy yf Y P Y Y P X X P y y ，()()()02,11021=∅=>≤===P Y Y P X X P ，()()()()2121212121112,101-----=-===≤<=≤>===⎰⎰e e edy e dy y f Y P Y Y P X X P y y，()()()()22222122,111-∞+-+∞-+∞=-===>=>>===⎰⎰e e dy e dy yf Y P Y Y P X X P yy ．因此，()21,X X 的联合分布列为三．（本题满分12分）设二维随机变量()Y X ,的联合密度函数为()⎪⎩⎪⎨⎧<<=其它01421,22y x y x y x f ．⑴ 求随机变量X 及Y 各自的边缘密度函数()x f X 与()y f Y （8分）；⑵ 判断随机变量X 与Y 是否相互独立（4分）？解：⑴ 当11<<-x 时， ()()()4212212182121421421,22x x y x ydy x dyy x f x f x x X -=⋅===⎰⎰+∞∞-，所以，随机变量X 的边缘密度函数为()()⎪⎩⎪⎨⎧<<--=其它11182142x x x x f X ．当10<<y 时， ()()2523322724731421421,y y y y y ydy x dx y x f y f yyyyY =⋅=⋅===--+∞∞-⎰⎰，所以，随机变量Y 的边缘密度函数为()⎪⎩⎪⎨⎧<<=其它102725y yx f X ． ⑵ 因为()()()y f x f y x f Y X ≠,，所以随机变量X 与Y 不独立．四．（本题满分12分）设随机变量X 与Y 相互独立，下表给出()Y X ,的联合分布列及X 与Y 各自的边际分布的某些取值：试计算该表的其它数值．解：()()()2418161,,12111=-===-====y Y x X P y Y P y Y x X P ， ()()()4161241,1111=======y Y P y Y x X P x X P ，()()()()1218124141,,,2111131=--===-==-====y Y x X P y Y x X P x X P y Y x X P ， ()()()214181,1212=======x X P y Y x X P y Y P ，()()()3141121,1313=======x X P y Y x X P y Y P ，()()43411112=-==-==x X P x X P ，()()()838121,,21222=-===-====y Y x X P y Y P y Y x X P ， ()()()4112131,,31332=-===-====y Y x X P y Y P y Y x X P ．表中其余各值如下表所示：可以验证，对于上述表中各值，X 与Y 相互独立．五．（本题满分12分）将3个球随机地放入4个杯子中．令X 表示杯子中球的最大个数．求：⑴ X 的分布列（6分）；⑵ X 的数学期望()X E 与方差()X D （6分）．解：⑴ X 的可能取值为3,2,1．且{}8341334===P X P ．{}1614433===X P ．{}{}{}1691618313112=--==-=-==X P X P X P ．所以，随机变量X 的分布列为⑵ ()1616316281=⨯+⨯+⨯=X E ．()1651161316928312222=⨯+⨯+⨯=X E ．因此，()()()()2568716271651222=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=X E X E X D ．六．（本题满分10分）记掷n 颗均匀的骰子点数之和为X ，求()X E （5分）与()X var （5分）．解：以k X 表示掷第k 颗均匀的骰子出现的点数，()n k ,,2,1 =，则随机变量n X X X ,,,21相互独立，而且同分布，∑==nk k X X 1．k X 的分布列为所以，(){}27621616161====⋅=∑∑==k k k k k X P k X E ． (){}691616126122===⋅=∑∑==k k kk k X P k XE所以，()()()()1235273691var 222=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=k k k X E X E X ．因此，()()n X E X E X E nk nk k n k k 2727111===⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑∑===．再由n X X X ,,,21 的相互独立性，得()()n X X X nk nk k n k k 12351235var var var 111===⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑∑===．七．（本题满分14分）一射手进行射击，击中目标的概率为p ()10<<p ，射击直至击中2次目标时为止．令X 表示首次击中目标所需要的射击次数，Y 表示总共所需要的射击次数． ⑴ 求二维随机变量()Y X ,的联合分布律（6分）． ⑵ 求随机变量Y 的边缘分布律（4分）．⑶ 求在n Y =时，X 的条件分布律．并解释此分布律的意义（4分）．解：⑴ 随机变量Y 的取值为 ,4,3,2；而随机变量X 的取值为1,,2,1-n ，并且 (){}次第次，第二次命中目标在第一次命中目标在第n m P n Y m X P ===, 2211p q p q p q n m n m ----=⋅=，（其中p q -=1） ()1,,2,1;,4,3,2-==n m n ．⑵ ()()()221122111,p q n p q n Y m X P n Y P n n m n n m --=--=-======∑∑，() ,4,3,2=n ．即随机变量Y 的边缘分布律为()()221p q n n Y P n --== () ,4,3,2=n ．⑶ 由于()()()()111,2222-=-=======--n p q n p q n Y P n Y m X P n Y m X P n n 因此在n Y =时，X 的条件分布律为 ()11-===n n Y m X P ()1,,2,1-=n m 这表明，在n Y =的条件下，X 的条件分布是一个“均匀”分布．它等可能地取值1,,2,1-n ．八．（本题满分10分）设随机变量X 与Y 相互独立，且都服从标准正态分布()1,0N ．令随机变量22Y X Z +=．⑴ 试求随机变量Z 的密度函数()z f Z （6分）．⑵ 试求()Z E （4分）．⑴ 由题意，得()2221x X ex f -=π ()∞<<∞-x ， ()2221y y ey f -=π()∞<<∞-y ．设随机变量22Y X Z +=的分布函数为()z F Z ，则(){}{}z Y X P z Z P z F Z ≤+=≤=22当0≤z 时，(){}()022=∅=≤+=P z Y X P z F Z ；当0>z 时，(){}()()⎰⎰≤+=≤+=zy x YXZdxdy y f x f z Y XP z F 2222⎰⎰≤++-=zy x y x dxdy e 2222221π作极坐标变换θθsin ,cos r y r x ==，则有()⎰⎰⎰--==zr zr Z rdr erdr ed z F 022202221πθπ所以，随机变量22Y X Z +=的分布函数为()⎪⎩⎪⎨⎧≤>=⎰-000022z z rdre z F z rZ所以，随机变量22Y X Z +=的密度函数为()()⎪⎩⎪⎨⎧≤>='=-0022z z zez F z f z Z Z ⑵ ()()⎰⎰⎰∞+-+∞-∞+-∞+∞-+-===2222222dz ezedz e zdz z f z Z E z z z z222212222ππ====⎰⎰+∞∞--+∞-dz e dz ez z ．九．（本题满分10分）设G 是由X 轴、Y 轴及直线022=-+y x 所围成的三角形区域，二维随机变量()Y X ,在G 内服从均匀分布．① 求X 与Y 的相关系数（6分）；② 计算概率{}X Y P ≥（4分）．（1）由于区域G 的面积为1，因此()Y X ,的联合密度函数为()()()⎩⎨⎧∉∈=Gy x G y x y x f ,,1,．当10<<x 时，()()()x dy dy y x f x f xX -===⎰⎰-+∞∞-12,220，所以，()()⎩⎨⎧<<-=其它01012x x x f X ．当20<<y 时，()()21,210ydy dx y x f y f yY -===⎰⎰-∞+∞-，所以，()⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其它2021y y y f Y ．()()()3131212121=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-⋅==⎰⎰+∞∞-dx x x dx x xf X E X ， ()()32212=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅==⎰⎰+∞∞-dy y y dy y yf Y E Y ， ()()()6141312121222=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-⋅==⎰⎰+∞∞-dx x x dx x f x XE X，()()32212222=⎪⎭⎫⎝⎛-⋅==⎰⎰+∞∞-dy y ydy y f y Y E Y，所以，()()()()1813161var 222=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=X E X E X ，()()()()923232var 222=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=Y E Y E Y ， ()()⎰⎰⎰⎰⎰--+∞∞-+∞∞-⋅===1220222012,dx y x xydy dxdxdy y x xyf XY E xx，()()6121324122212123102=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+-=-=⎰⎰dx x x x dx x x ，所以，()()()()181323161,cov -=⨯-=-=Y E X E XY E Y X ．()()()2192181181var var ,cov ,-=-==Y X Y X YX ρ．（2） {}()()()2123232,1121=-=-===≥⎰⎰⎰⎰⎰-≥dx x dy dxdxdy y x f X Y P x xxy ．。

2015-2016学年第一学期概率论与数理统计阶段测验(一)试卷及答案

因此，有
P(C ) = P(A1 ∪ A1B2 A3 ∪ A1B2 A3 B4 A5 ∪ A1B2 A3 B4 A5 B6 A7 ) = P( A1 ) + P (A1B2 A3 ) + P(A1B2 A3 B4 A5 ) + P(A1B2 A3 B4 A5 B6 A7 ) 3 7 6 3 7 6 5 4 3 7 6 5 4 3 2 3 + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 10 10 9 8 10 9 8 7 6 10 9 8 7 6 5 4 7 = = 0.58333333 ． 12 =
1 1 + +0−0−0−0+0 12 16 7 = = 0.145833333333 ． 48 =
⑵ 由于 {随机事件 A，B，C 都不发生 } = A B C = A ∪ B ∪ C ，
所以，
P{随机事件 A，B，C 都不发生 } = P A ∪ B ∪ C
= 1 − P( A ∪ B ∪ C ) = 1 − P( A) − P(B ) − P (C ) + P ( AB ) + P (BC ) + P( AC ) − P( ABC )
⑵ 将 5 颗骰子分成两组，一组 2 颗，一组 3 颗，有分法 C52 种．再将 6 个点数取 2 个，分别分给两个组，有 P62 不同的分法．因此随机事件 B 含有 C52 ⋅ P62 个样本点．故
P (B ) =
C52 ⋅ P62 25 = = 0.03858024691 ． 65 648
二．（本题满分 8 分）设随机事件 A 、 B 、 C 满足： P ( A) = P (B ) = P (C ) =