2007年中国西部数学奥林匹克试题及答案

2007年中国西部数学奥林匹克

第一天 11月10日 上午8：00－12：00

每题15分

一、已知{}1,2,3,4,5,6,7,8T =，对于，定义为A 中所有元素之和，问：T 有多少个非空子集A ，使得为3的倍数，但不是5的倍数？

,A T A ⊆≠∅()S A ()S A 二、如图，⊙与⊙相交于点C ，D ，过点D 的一条直线分别与⊙,⊙相交于点A ，B ，点P 在⊙的弧AD 上，PD 与线段AC 的延长线交于点M ，点Q 在

⊙的弧BD 上，QD 与线段BC 的延长线交于点N ．O 是△ABC 的外心．求证：

的充要条件为P ，Q ，M ，N 四点共圆．

1O 2O 1O 2O 1O 2O OD MN ⊥

三、设实数a ，b ，c 满足3a b c ++=．求证：

2221115411541154114

a a

b b

c c ++−+−+−+1≤．

四、设O 是△ABC 内部一点．证明：存在正整数p ，q ，r ，使得

12007

p OA q OB r OC ⋅+⋅+⋅

M

广西 南宁

第二天 11月11日 上午8：00－12：00

每题15分

五、是否存在三边长都为整数的三角形，满足以下条件：最短边长为2007，且最大的角等于最小角的两倍？

六、求所有的正整数n ，使得存在非零整数12,,,n x x x y ,L 2,n ，满足

⎩⎨⎧=++=++.

,022211ny x x x x n n L L

七、设P 是锐角三角形ABC 内一点，AP ，BP ，CP 分别交边BC ，CA ，AB 于点D ，E ，F ，已知△DEF ∽△ABC ，求证：P 是△ABC 的重心．

八、将n 个白子与n 个黑子任意地放在一个圆周上．从某个白子起，按顺时针方向依次将白子标以1,．再从某个黑子起，按逆时针方向依次将黑子标以1,. 证明：存在连续个棋子（不计黑白）， 它们的标号所成的集合为{,L 2,,n L n }1,2,,n L ．

解 答

一、已知{}1,2,3,4,5,6,7,8T =，对于，定义为A 中所有元素之和，问：T 有多少个非空子集A ，使得为3的倍数，但不是5的倍数？

,A T A ⊆≠∅()S A ()S A 解 对于空集∅，定义.令()0S ∅=012{3,6},{1,4,7},{2,5,8}T T T ===.对于，令，则

A T ⊆001I I 122,,A A T A A T A A T ===I 01212()()()()(mod 3)S A S A S A S A A A =++≡−， 因此，3()S A 当且仅当12(mod3)A A ≡.有以下几种情况：

1111112222220,0,3,3,1,2,0,3,0,3,1,2,

A A A A A A A A A A A A ⎧=⎧=⎧=⎧=⎧=⎧=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨⎨⎨=====⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩⎩⎩= 从而满足3(的非空子集A 的个数为

)S A 20003303311223333333333332()1C C C C C C C C C C C C +++++−＝87.

若3(，)S A 5(，则)S A 15.

()S A =由于S T ，故满足()363(，)S A 5(的S A 的可能值为15，30.而

)S A ()15＝8＋7＝8＋6＋1＝8＋5＋2＝8＋4＋3＝8＋4＋2＋1

＝7＋6＋2＝7＋5＋3＝7＋5＋2＋1＝7＋4＋3＋1

＝6＋5＋4＝6＋5＋3+1＝6＋4＋3＋2

＝5＋4＋3＋2＋1，

36－30＝6＝5＋1＝4＋2＝3＋2＋1. 故满足3(，)S A 5(，)S A A ≠∅的A 的个数为17.

所以，所求的A 的个数为87－17＝70.

二、如图，⊙O 与⊙相交于点

C ，

D ，过点D 的一条直线分别与

⊙O ,⊙O 相交于点A ，B ，点P 在

⊙O 的弧AD 上，PD 与线段AC 的

延长线交于点M ，点Q 在⊙O 的

12O 1212

弧BD 上，QD 与线段BC 的延长线交于点N ．O 是△ABC 的外心．求证：OD 的充要条件为P ，Q ，M ，N 四点共圆．

MN ⊥证 设三角形ABC 的外接圆O 的半径为R ，从N 到圆O 的切线为NX ，则

2222R NB NC R NX NO +⋅=+=， ①

同理 . ②

22R MA MC MO +⋅=因为A ，C ，D ，P 四点共圆，所以

MP MD MA MC ⋅=⋅， ③

因为Q ，D ，C ，B 四点共圆，所以

NQ ND NB NC ⋅=⋅，

④ 由①，②，③，④得

MP MD NQ ND MO NO ⋅−⋅=−22

)()(DP MD MD DQ ND ND +−+=

,

)(22DP MD DQ ND MD ND ⋅−⋅+−=所以， OD

MN ⊥⇔2222MD ND MO NO −=−DP MD DQ ND ⋅=⋅⇔

⇔P ,Q ,M ,N 四点共圆.

三、设实数a ，b ，c 满足3a b c ++=．求证：

22211

1

5411541154114a a b b c c ++−+−+−+1

≤．

证 若a ，b ，c 都小于9

5，则可以证明

211

(3)541124a a a ≤−−+．

（

*） 事实上， （*）⇔

2(3)(5411)24a a a −−+≥ ⇔ 32519239a a a 0−+−≤

⇔

2(1)(59)0a a −−≤ 9

5a ⇐<

同理，对b ，c 也有类似的不等式，相加便得

22211

1

541154115411a a b b c c ++−+−+−+