椭圆与双曲线性质对照表

12. 若 P0 ( x0 , y0 ) 不在双曲线
则以 P0 为中点的弦所在直线的方程是 （一定存在） 13. 若 P0 ( x0 , y0 ) 在椭圆
x2 y2 1 上， a2 b2 xx y y x2 y2 则以 P0 为中点的弦所在直线的方程是 02 02 02 02 . a b a b x2 y2 1 上， a2 b2 x 2 y 2 x0 x y0 y 2 . a2 b2 a 2 b
直的动弦，则直线 A1 P 1 与 A2 P 2 的交点 M 的轨迹方程是 除去长轴的两个端点. 9. AB 是椭圆
x2 y2 1， a2 b2
垂直的动弦，则直线 A1 P 1 与 A2 P 2 的交点 M 的轨迹方程是 除去实轴的两个端点. 9. AB 是双曲线
x2 y2 1， a2 b2
（可能不存在）
x2 y2 1 内， a2 b2 x 2 y 2 x0 x y0 y 2 . a2 b2 a 2 b
13. 若 P0 ( x0 , y0 ) 不在双曲线
则过 P0 的动弦的中点的轨迹方程是
则过 P0 的动弦的中点的轨迹方程是
x2 y2 14. 点 P 为椭圆 2 2 1 上任意一点， A 为椭圆内一定点， a b
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则 (1) S F1PF2
sin( ) sin 2 c 2 e ； b 2 cot ； (2) 2 | sin sin | 2a sin( ) 2

5. AB 是过椭圆
x2 y2 1 焦点 F 的弦，与长轴的夹角为 ， a2 b2 2ab 2 则 | AB | 2 . 当 0 时， AB 为长轴； b c 2 sin 2
x2 y2 1 的焦半径公式： | MF1 | a ex0 , | MF2 | a ex0 a2 b2 (其中 F1 ( c, 0) , F2 (c, 0) ， M ( x0 , y0 ) ).
3. 双曲线
x2 y2 1 的焦半径公式： | MF1 || a ex0 | , | MF2 || a ex0 | a2 b2 (其中 F1 ( c, 0) , F2 (c, 0) ， M ( x0 , y0 ) ). 当 M ( x0 , y0 ) 在右支上时， | MF1 | ex0 a , | MF2 | ex0 a .
椭圆与双曲线性质对照表
椭圆的经典性质
默认： F1 左焦点， F2 右焦点， F 为任一焦点， a b 0 ，
半焦距 c
双曲线的经典性质
默认： F1 左焦点， F2 右焦点， F 为任一焦点， a 0, b 0 ，
半焦距 c
a 2 b2
a 2 b2
1. 椭圆在其上一点 P 处的切线 PT 平分 PF1 F2 在点 P 处的外角， 且焦点 F 在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆， 除去长轴的两个端点. 2. 以焦半径 PF 为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.
当 90 时， AB 为通径(过焦点的最短的弦，其长为
5. AB 是过双曲线
x2 y2 1 焦点 F 的弦，与实轴的夹角为 ， a2 b2 2ab 2 则 | AB | 2 . 当 0 时， AB 为实轴； b c 2 sin 2
当 90 时， AB 为通径(交点在一支上的最短的弦，其长为
2 2
15. O 为坐标原点， P, Q 为双曲线
x2 y2 1 上两动点， a2 b2 始终保持 OP OQ (可能没有)，作 OH PQ 于 H 点. 1 1 1 1 1 则 2 2 ; 2 2 2 | OH | | OP | | OQ | a b
a 2b 2 即 H 点的轨迹为一个圆： x y 2 . | a b2 |
7. 过椭圆
x2 y2 x2 y2 上任一点 任意作两条倾斜角互补的直线交椭 7. 过双曲线 1 A ( x , y ) 1 上任一点 A( x0 , y0 ) 任意作两条倾斜角互补的直线交 0 0 a2 b2 a2 b2 b 2 x0 (常数). a 2 y0
双曲线于 B, C 两点，则直线 BC 有定向,且 k BC
当 M ( x0 , y0 ) 在左支上时， | MF1 | ex0 a , | MF2 | ex0 a .
4. 点 P 为椭圆
x2 y2 1 上任意一点， a2 b2 F1 PF2 ， PF1 F2 ， PF2 F1 ，
(1) S F1PF2
则过 P0 的双曲线的切线方程是
x0 x y0 y 2 1. a2 b
x0 x y0 y 2 1. a2 b
11. 若 P0 ( x0 , y0 ) 在椭圆
x2 y2 x2 y2 1 P P ( x , y ) 1 上 ，则过 P0 作双曲线的两条切线切 外 ，则过 作椭圆的两条切线切点为 11. 若 不在双曲线 0 0 0 0 a2 b2 a2 b2
4. 点 P 为双曲线
x2 y2 1 上任意一点， a2 b2 F1 PF2 ， PF1F2 ， PF2 F1 ，
则
cos( ) sin 2c 2 b tan ； (2) ； e 2 sin sin 2a cos( ) 2
则 2a | AF2 | |PA | | PF1 | 2a | AF2 | , 当且仅当 A, F2 , P 三点共线时，等号成立. 15. O 为坐标原点， P, Q 为椭圆
x2 y2 14. 点 P 为双曲线 2 2 1 上任意一点， A 为一定点，与 F1 在同一开口之 a b
x0 x y0 y 2 1. a2 b
点为 P 1, P 2 ，则切点弦 P 1P 2 所在的直线方程是
P 1, P 2 ，则切点弦 P 1P 2 所在的直线方程是
x0 x y0 y 2 1. a2 b
12. 若 P0 ( x0 , y0 ) 在椭圆
x2 y2 1 内， a2 b2 x0 x y0 y x0 2 y0 2 2 2 2 . a2 b a b
x y 2 1 的不平行于短轴( y 轴)的弦， 2 a b 线段 AB 的垂直平分线与 x 轴 (长轴)相交于点 P ( x0 , 0) ,
则
2
2
x2 y2 1 的不平行于虚轴( y 轴)的弦，且在一支上， a2 b2 线段 AB 的垂直平分线与 x 轴(实轴)相交于点 P ( x0 , 0) ,
2 2
圆于 B, C 两点，则直线 BC 有定向,且 k BC
b 2 x0 (常数). a 2 y0
x2 y2 x2 y2 8. 椭圆 2 2 1 的长轴两个顶点为 A1 ( a,0) , A2 ( a, 0) ， P 8. 双曲线 2 2 1 的实轴两个顶点为 A1 ( a,0) , A2 ( a, 0) ， P 1P 2 是与长轴垂 1P 2 是与实轴 a b a b
2b 2 ). a
2b 2 ). a
x2 y2 6. AB 是椭圆 2 2 1 的不平行于对称轴的弦， a b M ( x0 , y0 ) 为 AB 的中点，则 kOM k AB b 2 x0 b2 ，即 . K AB a2 a 2 y0
x2 y2 6. AB 是双曲线 2 2 1 的不平行于对称轴的弦， a b M ( x0 , y0 ) 为 AB 的中点，则 kOM k AB b 2 x0 b2 ，即 . K AB a2 a 2 y0
则 x0
a2 b2 a2 b2 . x0 a a
a 2 b2 a 2 b2 . , 或 x0 a a
x2 y2 10. 若 P0 ( x0 , y0 ) 在椭圆 2 2 1 上， a b
则过 P0 的椭圆的切线方程是
x2 y2 10. 若 P0 ( x0 , y0 ) 在双曲线 2 2 1 上， a b
1. 双曲线在其上一点 P 处的切线 PT 平分 PF1 F2 在点 P 处的内角， 且焦点 F 在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以实轴为直径的圆， 除去实轴的两个端点. 2. 以焦半径 PF 为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切. （ P 与 F 同在一支上时，外切；不在同一支上时，内切）
3. 椭圆
内， 则 | AF2 | 2a |PA | | PF1 | ,当且仅当 A, F2 , P 三点共线时， 等号成立. 无最大.
x2 y2 1 上两动点， a2 b2 始终保持 OP OQ ，作 OH PQ 于 H 点. 1 1 1 1 1 则 2 2; 2 2 2 | OH | | OP | | OQ | a b a 2b 2 即 H 点的轨迹为一个圆： x y 2 ； a b2