《数学物理方法》第十一章分离变量法

• 令 u(x,t)＝X(x)T(t) (11.1.4)
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§11.1.1 齐次方程及齐次边界条件的定解问
定解问题
研究两端固题定的弦的自由振动
泛定方程： utt a2uxx 0
(0xl,t0)
边界条件： u(x,t) x00 u(x,t) xl 0
初始条件： u t0 (x) ut t0 (x)
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2、求解本征值问题 X " X 0
X |x0 X |xl 0
(1) 0
X(x)C 1exC 2ex
X(0) 0 X(l) 0
C1 C2 0
C1 C2 0
C1el C2e l 0
(2) 0 X(x)C1xC2
C 2 0 C1lC2 0
C1 C2 0
(3) 0
X (x ) C 1c o sx C 2sinx
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驻波的一般表示：u(x,t)=X(x)T(t) 把这种具有变量分离形式的特殊解作为尝试解去 解偏微分方程，如果得到了方程的解，再由解的唯一 性就可以保证尝试解的正确性
(3) 分离变量法的特点： a.物理上由叠加原理作保证，数学上由解的唯一性作 保证；
b.把偏微分方程化为常微分方程来处理，使问题简单
确定两个函数需要两个条件，因此还可以附
加一个确定u(x) , v(x)的条件．
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为此，对 y ＝ u(x) y1(x), + v(x)y2(x) (9)式两 边求导，得
y'＝ (u y1'+ vy2') + (u'y1+v'y2) (11) 为方便起见，第二个条件规定上武第二项为
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u'y1+ v'y2 ＝0
→ u"y1+ u'y1'+ v "y2 + v'y2'＝ 0
→ u"y1+ v"y2 ＝ (u'y1'+ v 'y2')
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(uy1+vy2)"+p(uy1+vy2)'+q(uy1+vy2)＝f(x) (10)
(uy1+vy2)"
＝ (u"y1+2u'y1'+ uy1") + (v"y2+2v'y2'+ vy2")
1 0.5
-0.5
2.5
5
7.5
10 12.5
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-1
波腹 波节
对于确定的频率，解是驻波：
每一点绕平衡位置振动 T ( t ) 振幅随位置变化 X ( x )
驻波解： u(x,t)X(x)T(t)
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这是解的分离变量
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1、分离变量
把
u(x,t)X(x)T(t)
utt a2uxx 0
代入波动方程 得 X T''a2X''T0变量分离： T '' X ''
与非齐次方程的特解之和．
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2．常数变易法．将c1 变为u(x), c2变为v(x), 即设(8)式的解具有下述形式 y ＝ u(x) y1(x), + v(x)y2(x) ． (9)
将它代入(8) 式，得到确定u(x)为v(x) 的一个条件
(uy1+vy2)"+p(uy1+vy2)'+q(uy1+vy2)＝f(x) (10)
化。
(4) 分离变量法的适用范围： 波动、输运、稳定场问题等(比行波法适用范围要广)
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§11.1.1 齐次方程及齐次边界条件的定解问 • 首先通过实例说明用题分离变量法解题的六个
基本步骤.
• 【例11.1.1】求两端固定的弦自由振动的规律 .
解 定解问题为
1.分离变量
y ＝ eax (c1cosbx + c2sinbx) (7)
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• (二)非齐次方程
y"＋ py'＋ qy ＝ f(x) (8)
设 与(8)式相应的齐次方程
y"＋ py'＋ qy ＝ 0
的线性无关的特解是y1(x), y2(x)。 1．非齐次方程的通解是相应齐次方程的通
解
y ＝ c1 y1(x), + c2y2(x) ．
零，即
u'y1+ v'y2 ＝0． (12)
将(12)式代入10 式，并利用 y1(x)及y2(x)是齐
次方程的解，即有
u'y1'+ v'y2'＝ f(x) ． (13) 将(12)式、(13)式联立，即可求出
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u'y1+ v'y2 ＝0． (12 ) u'y1'+ v'y2'＝ f(x) ． (13)
a 2T X
公共常数：
T''(t) a2T(t)
X''(x) X(x)
x, t 是相互独立的变量
得出两个常微分方程：T '' a 2T 0 X '' X 0
代入边界条件： u|x00,
u|xl 0,
X (0 )T (t) 0 X (l)T (t) 0
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X |x0 0
X |xl 0
n 2 2 l2
n20210/,7/29 ,3
X(0) 0 X(l) 0
C1 0 C2sin l 0
非零解 C 2 0
sin l 0
nx
Xn(x) C2 sin l
C2是积分常数 10
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附 录Ⅱ 几种常用的常系数常微分方程的解
• (一)齐次方程 1．方程 y"- 2y ＝ 0 的通解,
，将r ＝ ±i 代入尝试解得方程的二个特解，其
线性组合即为通解
y ＝ c1eix+c2e-ix ．(2) 利用尤拉公式 e士ix ＝ cosx士 isinx 代入(2)式
，可得
y ＝ D1cosx + D2sinx ．(3)
令D1＝ Esind 及 D2＝ Ecosd ，其中E及d为待定常
数，则(3)式可写为 y ＝ E sin (x + d) ．(4)
将尝试解 y ＝ erx 代入方程得 r2 - 2 ＝ 0 特征根为±，
将r ＝ ±代入尝试解得方程的二个特解 ，其线性组合即为通解 y ＝ c1ex+c2e-x ． (1)
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2．方程 y"+ 2y ＝ 0 的通解有三种形式.将尝试解
y ＝ erx 代入方程得 r2 + 2 ＝ 0 特征根为±i
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3．方程 y"＋ py'＋ qy ＝0 的特征方程为
r2 ＋ pr＋ q ＝0
设它的根为r1,r2，则
1)当r1≠ r2 (实根)时，通解为
y ＝ c1er1x+c2er2x ． (5)
2)当r1 ＝ r2 ＝ r(实根)时，通解为
y ＝ (c1+ c2x)erx ． (6)
3)当 r1 ＝a + ib , r2 ＝ a - ib 时，通解为