《数学物理方法》第十一章分离变量法
分离变量法
分离变量法分离变量法又称Fourier 级数方法，而在波动方程情形也称为驻波法。
它是解决数学物理方程定解问题中的一种基本方法，这个方法建立在叠加原理的基础上，其基本出发点是物理学中的机械振动或电磁振动总可分解为一些简谐振动的叠加。
思想：把偏微分方程的求解问题转化为常微分方程的求解。
常微分方程求解：()()()()()P x dx P x dx P x dx y x Ce e Q x e dx−−∫∫∫=+∫一阶非齐次的常微分方程：()(),dy P x y Q x dx+=它的通解为二阶非齐次的常微分方程：()()()y P x y Q x y f x ′′′++=它的通解为21112212()y f y f y x C y C y y dx y dx W W=+−+∫∫其中1212,0.,y y W y y =≠′′12()()0.y P x y y Q x y y ′′′++=两个线性是无关的解和并且常系数齐次的常微分方程：0y py qy ′′′++=它的特征方程20r pr q ++=，假设特征方程的根为12.r r ，(1)特征方程有两个不等的实根:齐次方程通解为：12.r x r xy Ae Be =+(2)特征方程有两个相等的实根:(3)特征方程有一对共轭的复根:12,,r i r i αβαβ=+=−齐次方程通解为()(cos sin ).xy x e A x B x αββ=+1().r xy A Bx e =+第一节有界弦的自由振动22222,(0,),0(,0)(),(,0)(),[0,](0,)(,)0,0t u u a x l t t x u x x u x x x l u t u l t t ϕψ⎧∂∂=∈>⎪∂∂⎪⎪==∈⎨⎪==≥⎪⎪⎩一根长为l 的弦，两端固定，给定初始位移和速度，在没有强迫外力作用下的振动.物理解释：•求解的基本步骤2XT a X T′′′′=第一步：求满足齐次方程和齐次边界条件的变量分离形式的解(,)()()u x t X x T t =把分离形式的解代入方程可得即2()()()()T t X x a T t X x ′′′′=以及上述等式左端是t 的函数，右端是x 的函数，由此可得两端只能是常数，记为()()0(0)()0X x X x X X l λ′′+=⎧⎨==⎩X (x ):2()()0T t a T t λ′′+=T (t ):固有值问题(0)()()()0X T t X l T t ==.λ−从而有情形(A)下对λ的三种情况讨论固有值问题：0λ<(),x x X x AeBe λλ−−−=+0,A B +=其通解为代入边界条件可得0l l Ae Be λλ−−−+=0A B ==只有零解。
分离变量法在物理学中的应用
分离变量法在物理学中的应用分离变量法是一种常用的数学方法，它在物理学中有着广泛的应用。
本文将从介绍分离变量法的基本原理开始，然后探讨它在物理学中的具体应用，包括热传导方程、波动方程、量子力学中的薛定谔方程等。
一、分离变量法的基本原理分离变量法是一种将多元函数分解成单元函数之积的方法。
它的基本思想是：将多元函数中的各个变量分开考虑，然后通过假设变量之间的关系，将多元函数分解成单元函数之积的形式。
例如，对于一个二元函数f(x,y)，我们可以假设它可以写成f(x,y)=g(x)h(y)的形式，其中g(x)和h(y)分别是只含有一个变量的函数。
通过这样的假设，我们可以将二元函数分解成两个关于单一变量的函数，从而使得原本较为复杂的问题简化为一系列独立的单元问题。
二、分离变量法在热传导方程中的应用热传导方程是描述物体内部温度分布随时间变化的方程。
它在很多领域都有着广泛的应用，例如热力学、材料科学等。
对于一维情况下的热传导方程，它可以写成以下形式：u/t=ku/x其中u(x,t)表示物体内部在时刻t、位置x处的温度，k为热传导系数。
为了求解这个方程，我们可以采用分离变量法。
假设u(x,t)可以表示成u(x,t)=X(x)T(t)的形式，代入热传导方程中，得到： X(x)T'(t)=kX''(x)T(t)两边同时除以X(x)T(t)，得到：T'(t)/T(t)=kX''(x)/X(x)左边只依赖于t，右边只依赖于x，因此它们必须相等。
于是我们得到了两个独立的方程：T'(t)/T(t)=λ，X''(x)/X(x)=λ/k其中λ为常数。
对于第一个方程，它可以直接求解得到T(t)=Ce^λt，其中C为常数。
对于第二个方程，它是一个关于X(x)的常微分方程，可以通过求解得到X(x)=Asin(√(λ/k)x)+Bcos(√(λ/k)x)，其中A和B为常数。
《数学物理方法》第十一章分离变量法
流
程
T Aexp(a2t)
X sin
x,
n l
图
un Tn (t)Xn ( x)
u u(x,t)
u Tn X n
28
1. 补充：三角函数的正交性
29
30
31
32
33
【例11.1.2】 设长为l 的均匀杆，两端绝热, 杆 内初始温度分布为(x), 求杆内温度随时间的 变化规律 解 定解问题为
将尝试解 y ＝ erx 代入方程得 r2 - 2 ＝ 0 特征根为±，
将r ＝ ±代入尝试解得方程的二个特解， 其线性组合即为通解 y ＝ c1ex+c2e-x ． (1)
12
2．方程 y"+ 2y ＝ 0 的通解有三种形式.将尝试解
y ＝ erx 代入方程得 r2 + 2 ＝ 0 特征根为±i， 将r ＝ ±i 代入尝试解得方程的二个特解，其线 性组合即为通解
(uy1+vy2)"
＝ (u"y1+2u'y1'+ uy1") + (v"y2+2v'y2'+ vy2")
p(uy1+vy2)'＝ p(u'y1+ uy1')+ p(v'y2+ vy2') q(uy1+vy2)
19
→ (u"y1 +2u'y1'+ uy1")+ p(u'y1 +uy1') + quy1 + (v"y2 +2v'y2'+ vy2")+ p(v'y2+ vy2')
《分离变量法》课件
目 录
• 分离变量法简介 • 分离变量法的步骤 • 分离变量法的应用实例 • 分离变量法的优缺点 • 分离变量法的改进方向 • 分离变量法的未来展望
01
分离变量法简介
定义与特点
定义
分离变量法是一种求解偏微分方 程的方法，通过将多变量问题转 化为多个单变量问题，从而简化 求解过程。
交叉学科应用
探索分离变量法在交叉学 科中的应用，如生物医学 工程、环境科学等。
与其他方法的结合使用
与数值方法的结合
将分离变量法与其他数值方法（如有限元法、有限差分法等）结 合使用，形成更有效的数值计算方法。
与机器学习算法的结合
将分离变量法与机器学习算法相结合，用于数据分析和模式识别等 领域。
与优化算法的结合
工程与技术领域
分离变量法在解决工程与技术领域中的偏微 分方程问题方面具有优势，如结构分析、电 磁波传播、信号处理等。随着工程与技术的 不断发展，分离变量法有望在解决实际问题 中发挥更大的作用。
THANK YOU
感谢观看
立。
近似解
分离变量法得到的解是近似解，而 不是精确解。因为这种方法忽略了 各个变量之间的相互作用和影响。
数值稳定性
分离变量法在数值计算中可能存在 数值稳定性问题，例如数值误差的 累积和传播可能导致计算结果失真 或误差较大。
05
分离变量法的改进方向
算法优化
01
02
03
算法效率提升
通过改进算法结构，减少 计算复杂度，提高分离变 量法的计算速度。
精度控制
优化算法中的数值计算方 法，提高结果的精度和稳 定性，减少误差。
自适应调整
根据不同问题的特性，自 适应地调整算法参数，提 高分离变量法的适用性和 可靠性。
《数学物理方法》第11章_11-2009级
+ (v"y2 +2v′y2′+ vy2")+ p(v′y2+ vy2′) + qvy2
＝ (u"y1 + pu′y1 + quy1) + (vy2"+ pvy2′+ qvy2)
+ u"y1+2u′y1′+ pu′y1 +v"y2 + 2v′y2′+ pv′y2
＝u"y1+v"y2 + 2(u′y1′+ v′y2′)+p(v′y2 + u′y1 ) ＝ u′y1′+ v′y2′＝ f(x)
14
为此，对 y ＝ u(x) y1(x) + v(x)y2(x) (9)式两边 求导，得 y′＝ (u y1 ′+ v y2 ′) + (u ′y1+v ′y2) (11) 为方便起见，第二个条件规定上武第二项为 零，即 u ′y1+ v ′y2 ＝0． (12) 将(12)式代入10 式，并利用 y1(x)及y2(x)是齐 次方程的解，即有 u′y1′+ v′y2′＝ f(x) ． (13) 将(12)式、(13)式联立，即可求出
由边界条件X(0) ＝ X(l) ＝ 0,可得
这是关于A,B的线性齐次方程组, 由于系数行 列式不为零,故A＝B＝0.
因此l < 0时, X(x)无非零解.
22
(2) 若l ＝0, 这时方程成为X" (x) ＝ 0, 它的通解 为 X(x) ＝Ax+B 由边界条件X(0) ＝ X(l) ＝ 0,得A＝B＝0, X(x) 也无非零解.
《分离变量法》课件
06
总结与展望
总结
内容回顾
详细梳理了分离变量法的基本概 念、应用场景、实施步骤和注意 事项，帮助学习者全面理解这一
方法。
案例分析
通过具体的案例分析，展示了分离 变量法在解决实际问题中的应用， 加深学习者对方法的理解和掌握。
互动问答
鼓励学习者在课程结束前提出疑问 ，并对常见问题进行了解答，有助 于巩固学习效果。
展望
新应用领域
实践应用建议
探讨分离变量法在未来可能的应用领 域，如人工智能、大数据分析等，为 学习者提供新的思路和方向。
为学习者提供将分离变量法应用于实 际问题的建议和指导，帮助他们更好 地实现学以致用。
方法改进
介绍分离变量法的最新研究进展和可 能的改进方向，激发学习者进一步探 索和研究。
谢谢您的聆听
02
分离变量法的原理
原理概述
分离变量法是一种求解偏微分方程的 方法，通过将多个变量分离，将复杂 的偏微分方程简化为一系列简单的常 微分方程，从而求解。
该方法适用于具有多个变量的偏微分 方程，特别是当各变量之间相互独立 时。
数学模型建立
首先，需要建立偏微分方程，并确定变量 的个数。
然后，通过适当的变换，将偏微分方程转 化为全微分方程。
求解过程
通过分离变量法，可以将 $u(x, t) = X(x) T(t)$，从而将波动方程 转化为 $X''(x) = -lambda X(x)$ 和 $T''(t) = -omega^2 T(t)$， 其中 $lambda$ 和 $omega$ 是常数。
应用实例二：化学反应动力学模型
总结词
描述化学反应速率
THANKS
分离变量法
1.2
分离变量法的物理意义
令 Nn =
2 A2 n + Bn ,
αn = arctan 混合问题 (1) 的解的每一项可化为 un (x, t) = Nn sin
Bn , An
nπ anπ x sin t + αn . l l
un (x, t) 是振动元素。对于弦上任意一点 x ， un (x, t) 描述了这一 anπ nπ ， 频 率 ωn (x) = ，初 点 的 简 谐 振 动 ， 其 振 幅 an (x) = Nn sin l l l n−1 相位为 αn 。于是 ，当 x = 0, , . . . , l, l 时，振幅 an (x) = 0 ；当 n n l 3l 2n − 1 x= , ,..., l 时，振幅 an (x) = ±Nn 达到最大。因此弦的振动 2n 2n 2n 可以看作一系列具有特定频率的驻波的叠加。 特别地，考虑定解问题 utt − a2 uxx = A (x) sin ωt, (x, t) ∈ (0, l) × (0, +∞) , u (x, 0) = ut (x, 0) = 0, x ∈ [0, l] , u (0, t) = u (l, t) = 0, t ∈ [0, +∞) . x 我们可得
4
将 u (x, t) ， f (x, t) ， ϕ (x) ， ψ (x) 均按特征函数系展开：
∞
u (x, t) =
n=1 ∞
Tn (t) sin fn (t) sin
n=1 ∞
nπ x, l nπ x, l
f (x, t) = ϕ (x) =
n=1 ∞
ϕn sin ψn sin
n=1
nπ x, l nπ x, l
数学物理方程分离变量法研究生高校本科生PPT课件
l n , (n 1, 2,.....)
从而得到了固有值为
n
n2 2
l2
,
(n 1, 2,.....)
相应的固有函数为
(11) 固有值问题
Xn (x)
B sin
n
l
x
,
(n 1, 2,.....)
X ''(x) X (x) 0 (6)
(12)
X
(0)
0,
X
(l)
0
(10)
第12页/共97页
ut |t0
x)
Cn sin
n1
n
l
x
n a
(x) Dn
n1
l
sin
n
l
x
第14页/共97页
§2.2.1 齐次方程定解问题的解法
u
ut
|t0 ( |t0
x)
Cn
n1
sin
n
l
x
n a
(x) Dn
n1
l
sin
n
l
x
这两式正好是(x)和 (x)关于 sin
n
l
x的正弦展开。
根据Fourier级数展开法则(见下页附录)，便可得到
§2.2.1 齐次方程定解问题的解法
iii)求方程满足边界条件的特解。
设u(x,t) X (x)T (t) (4)
为了求出T (t)，把(11)式代入(7)式，得 T ''(t) a2T(t) 0 (7)
T
''(t)
n2 2a2
l2
T
(t)
0
其通解为一对共轭复根，即
n
数学物理方法技巧-14.4分离变量法-非齐次方程
格林函数法
方法概述
格林函数法是一种通过构造格林函数 ，将非齐次方程的求解转化为格林函 数的求解的方法。
适用范围
适用于一些具有特定边界条件的非齐 次方程，如具有初值条件或边值条件 的非齐次方程等。
求解步骤
首先，根据非齐次方程的形式和边界 条件，构造一个合适的格林函数；然 后，通过求解格林函数的微分方程或 积分方程，得到格林函数的具体形式 ；最后，利用格林函数的性质，将原 非齐次方程的求解转化为格林函数的 求解，从而得到原方程的解。
对于某些特定的哈密顿算符和初始条件，可以通过分离变量法将含时薛定谔方程简化为一系列常微分 方程，进而求得波函数的解析解或数值解。
06 总结与展望
分离变量法在非齐次方程中的意义和价值
分离变量法是一种重要的数学物理方法，用于求解非齐次方程，特别是偏微分方程。通过将多变量问 题转化为单变量问题，分离变量法能够大大简化问题的求解过程。
变量分离
将多元函数中的各个变量分离开来， 使得每个变量仅出现在一个函数中， 从而简化问题。
分离变量法的适用范围
线性偏微分方程
适用于线性偏微分方程，特别是具有 齐次边界条件的偏微分方程。
可分离变量的方程
适用于通过变量代换可将偏微分方程 转化为可分离变量的常微分方程的方 程。
分离变量法的步骤
变量代换
数学物理方法技巧-14.4分离变量 法-非齐次方程
目 录
• 分离变量法概述 • 非齐次方程的基本概念 • 分离变量法在非齐次方程中的应用 • 其他求解非齐次方程的方法 • 非齐次方程在实际问题中的应用 • 总结与展望
01 分离变量法概述
分离变量法的基本思想
偏微分方程求解
通过适当的变量代换，将偏微分方程 转化为常微分方程进行求解。
分离变量法
<<电磁场与电磁波>>读书报告姓 名：学 院： 学 号：专 业：题 目:分离变量法在求静态场的解的应用 成 绩：二〇一四年四月Xxx工程学院电子工程类一．引言分离变量法是在数学物理方法中应用最广泛的一种方法。
在求解电磁场与电磁波的分布型问题和边值型问题有很重要的应用。
分布型问题是指已知场源（电荷分布、电流分布）直接计算空间各点和位函数。
而边值型问题是指已知空间某给定区域的场源分布和该区域边界面上的位函数（或其法向导数），求场内位函数的分布。
求解这两类问题可以归结为在给定边界条件下求解拉普拉斯方程或泊松方程，即求解边值问题。
这类问题的解法，例如镜像法，分离变量法，复变函数法，格林函数法和有限差分法，都是很常用的解法。
这里仅对在直角坐标系情况下的分离变量法作简单介绍。
二．内容1.分离变量法的特点：分离变量法是指把一个多变量的函数表示成几个单变量函数乘积，从而将偏微分方程分离为几个带分离常数的常微分方程的方法，属于解析法的一种。
它要求要求所给边界与一个适当的坐标系的坐标面重合.在此坐标系中，待求偏微分方程的解可表示成三个函数的乘积，每一函数仅是一个坐标的函数。
我们仅讨论直角坐标系中的分离变量法.2.推导过程:直角坐标系中的拉普拉斯方程：2222220 x y zϕϕϕ∂∂∂++=∂∂∂我们假设是三个函数的乘积,即(,,)()()()x y z X x Y y Z z ϕ=其中X 只是x 的函数,同时Y 是y 的函数Z 是z 的函数，将上式带入拉普拉斯方程，得然后上式同时除以XYZ ，得0X Y Z X Y Z''''''++= 上式成立的唯一条件是三项中每一项都是常数，故可分解为下列三个方程：即α,β,γ为分离常数，都是待定常数，与边值有关但不能全为实数或全为虚数 。
由上式得2220αβγ++=，下面以X ”/X =α2式为例，说明X 的形式与α的关系 当α2=0时，则当α2<0时，令α=jk x(k x为正实数)，则或当α2>0时，令α=k x ，则或 a ，b ，c ，d 为积分常数，由边界条件决定Y(y)Z(z)的解和X(x)类似。
分离变量法(1节)
0, u x x0
(n [ l
1 2
) ]
2
x l
C n sin
n 0 ,1,
n 0 ,1,
ux
x0
0, u x
xl
0
(
n l
)
2
C n cos
n l
x
ux
x0
0 , ( u x hu )
xl
0
u
x0
0 , ( u x hu )
与初始条件无关，所以也称为弦的本征频率．
中最小的 n 一个 1
πx
πa l
称为基频，
πa s in t 1 相应的 u 1 x , t N 1 s in l l
称为基波．
2 , 3 , 4 ,
称为谐频，
相应的 u 2 , u 3 , u 4 , 称为谐波．
n 1
An c o n
n x l con
(x) n x l (x)
n 1
Bn
n a l
(0 x l )
把右边的函数展成傅里叶余弦级数, 比较两边的系数
A0
An 2 l
1 l
l 0
l
( )d
n l
0
B0
d
1 l
( )d
1、什么叫分离变量法 2、齐次方程的分离变量法 （1）本征值、本征函数的概念 （2）四种边界条件下的本征值、本征函数 3、非齐次方程的分离变量法 （1）简单非齐次边界条件情况的处理 （2）傅里叶级数法——本征函数法 （3）冲量定理法 （4）非齐次边界条件的一般处理方法
数学物理方程中的分离变量法
数学物理方程中的分离变量法作者：王晶来源：《中国校外教育·高教(下旬)》2014年第04期分离变量法是数学物理方程中求解有限域上的初边值问题的主要方法。
本文首先给出了分离变量法的思想，进一步讨论了不同类型的初边值问题的求解。
通过举例说明加深了我们对分离变量法的理解。
分离变量法数学物理方程初边值问题一、引言数学物理方程是研究物理学以及其他自然科学、技术科学中所产生的偏微分方程的学科，它是具有广泛应用背景的一门数学基础理论课程，不论从事基础研究，还是工程技术开发工作都离不开它。
客观世界的复杂性，导致描述关系的数学方程的复杂性，使这些偏微分方程都含有较多的自变量，其求解相当复杂。
如何简化求解方法，成为求解数理方程的一个重要方面。
分离变量法就是一种求解偏微分方程的普遍的重要方法。
该方法可将偏微分方程分离为常微分方程使得一些偏微分方程变得可解。
先求数学物理方程通解的办法只适用于极少数的某些定解问题，而分离变量法是定解问题的一种基本解法，适用于大量的有限域上的初边值问题\[1-2\]。
文中所用记号和术语均来自\[3\].二、分离变量法求解数学物理方程的思想分离变量法的提出是受“驻波”问题的启示，“驻波”是振动现象中的一种常见形式。
描述“驻波”的偏微分方程，可表示为变量分离状态的形式。
虽然我们是从驻波引出解题的线索，其实整个求解过程跟驻波并没有特殊的关系。
简单说来，分离变量法就是利用方程与边界条件的线性性质和齐次性质，首先把偏微分方程分离为常微分方程，找到满足方程和边界条件的特解，然后将这些特解线性叠加，使其满足初始条件，方程则解出。
三、分离变量法求解数学物理方程的应用（一）求解带有齐次边界条件的齐次方程的初边值问题(举例说明)研究两端固定的均匀弦的自由振动，即定解问题：（二）分离变量法求解带有齐次边界条件的非齐次方程的初边值问题首先根据叠加原理将初边值问题分解为两个初边值问题，一个是带有非齐次初始条件的齐次方程的初边值问题，求解方法见3.1。
数学物理方法技巧分离变量法
目录
CONTENTS
• 引言 • 分离变量法的基本原理 • 分离变量法的具体应用 • 分离变量法的注意事项 • 分离变量法的优缺点 • 分离变量法的未来发展与展望
01
引言
分离变量法的定义
分离变量法是一种数学物理方法，用 于将多变量问题转化为多个单变量问 题，以便于求解。
它通过将偏微分方程转化为常微分方 程，或者将高阶微分方程转化为一系 列在解决具有多个相互独立变量的物理 问题时，如波动、热传导、流体动力 学等，分离变量法是非常有效的工具 。
它适用于具有周期性边界条件或对称 性边界条件的问题，如无限大区域、 周期性结构等。
THANKS
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结合其他数值方法进行优化
1 2 3
混合方法
结合分离变量法和有限元法、有限差分法等其他 数值方法，形成混合方法，取长补短，提高求解 精度和效率。
自适应方法
结合分离变量法和自适应方法，根据问题特性和 求解需求，动态调整算法参数和求解精度，实现 高效求解。
无网格方法
结合分离变量法和无网格方法，克服传统数值方 法的网格依赖性，提高求解灵活性。
02
偏微分方程的解需要满足一定的边界条件和初始条件。
03
偏微分方程的解需要满足可解性条件，即解需要是有限个变 量的函数。
分离变量法的步骤
01
将偏微分方程转化为常微分方程。
02 对常微分方程进行求解，得到各个变量的解。
03 将各个变量的解组合起来，得到原偏微分方程的 解。
03
分离变量法的具体
应用
一维波动方程的分离变量法
为了确保数值解法的稳定性，可以采用多种方法，如增加计算步长、使用更精确的数值格式等。同时 ，也需要不断尝试和改进计算方法，以提高数值解法的稳定性和准确性。
数学物理方法分离变量法
数学物理方法分离变量法分离变量法是数学物理中常用的一种解微分方程的方法，它适用于一些特定形式的偏微分方程，能够将原方程分解成一系列简单的常微分方程，从而求得方程的解。
在物理学中，分离变量法常常用于描述热传导、波动、量子力学等问题的求解。
本文将介绍分离变量法的基本思想和应用，以及一些实际问题中的案例分析。
首先，我们来看一般形式的偏微分方程：\[F(x,y,u,\frac{\partial u}{\partial x},\frac{\partial u}{\partial y},\frac{\partial^2u}{\partial x^2},\frac{\partial^2 u}{\partial y^2},...) = 0\]其中，\(u = u(x,y)\) 是未知函数，\(F\) 是关于 \(x,y,u,\frac{\partial u}{\partial x},\frac{\partial u}{\partial y},\frac{\partial^2 u}{\partial x^2},\frac{\partial^2u}{\partial y^2},...\) 的已知函数。
我们的目标是求解这个偏微分方程，找到满足条件的 \(u\) 函数。
分离变量法的基本思想是假设未知函数 \(u(x,y)\) 可以表示为两个独立变量 \(x\) 和 \(y\) 的乘积形式，即 \(u(x,y) = X(x)Y(y)\)。
将这个形式代入原方程中，然后通过变量分离的方法，将方程化为两个关于 \(x\) 和 \(y\) 的常微分方程。
最后再对这两个方程分别进行积分，得到原偏微分方程的解。
下面我们通过一个具体的例子来说明分离变量法的应用。
考虑二维热传导方程：\[\frac{\partial u}{\partial t} = k\left(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} +\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}\right)\]其中，\(u(x,y,t)\) 表示温度分布，\(k\) 是热传导系数。
分离变量法步骤
分离变量法步骤
“同学们，今天咱们来好好讲讲分离变量法步骤。
”我站在讲台上对学生们说道。
那什么是分离变量法呢？简单来说，就是把一个偏微分方程分解成几个常微分方程来求解。
下面我具体给大家讲讲步骤。
第一步，要确定方程的类型。
比如说，对于一个波动方程或者热传导方程等，这些常见的偏微分方程都可以考虑用分离变量法。
就拿最简单的一维热传导方程来举例吧，比如 u_t = a^2 u_xx。
第二步，假设解的形式。
这一步很关键哦，我们假设解可以表示成两个函数的乘积，一个只与变量 x 有关，一个只与变量 t 有关，即 u(x,t) =
X(x)T(t)。
第三步，把假设的解代入到原方程中。
这样就会得到一个关于 X 和 T 的等式。
然后通过一些运算和化简，把它分成两个只含有一个变量的常微分方程。
第四步，求解这些常微分方程。
这可能需要用到一些常微分方程的求解方法和技巧。
第五步，根据边界条件和初始条件确定解中的常数。
这个也非常重要，只有满足这些条件的解才是我们真正需要的解。
比如说，有一个两端固定的均匀细杆的热传导问题，杆长为 L，初始温度分布已知。
我们就可以用分离变量法来求解这个问题。
通过前面几步得到一系列的解，再根据边界条件确定出具体的解。
同学们，分离变量法是一种非常重要和常用的方法，在很多物理问题、工程问题中都有广泛的应用。
大家一定要好好掌握。
以后遇到类似的问题，就可以试着用这种方法去求解，相信你们会发现它的神奇之处的。
好了，今天就讲到这里，大家要是有什么不明白的地方随时问我。
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将r ＝ ±代入尝试解得方程的二个特解 ，其线性组合即为通解 y ＝ c1ex+c2e-x ． (1)
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2．方程 y"+ 2y ＝ 0 的通解有三种形式.将尝试解
y ＝ erx 代入方程得 r2 + 2 ＝ 0 特征根为±i
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u'y1+ v'y2 ＝0
→ u"y1+ u'y1'+ v "y2 + v'y2'＝ 0
→ u"y1+ v"y2 ＝ (u'y1'+ v 'y2')
(uy1+vy2)"+p(uy1+vy2)'+q(uy1+vy2)＝f(x) (10)
(uy1+vy2)"
＝ (u"y1+2u'y1'+ uy1") + (v"y2+2v'y2'+ vy2")
化。
(4) 分离变量法的适用范围： 波动、输运、稳定场问题等(比行波法适用范围要广)
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§11.1.1 齐次方程及齐次边界条件的定解问 • 首先通过实例说明用题分离变量法解题的六个
基本步骤.
• 【例11.1.1】求两端固定的弦自由振动的规律 .
解 定解问题为
1.分离变量
y ＝ eax (c1cosbx + c2sinbx) (7)
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• (二)非齐次方程
y"＋ py'＋ qy ＝ f(x) (8)
设 与(8)式相应的齐次方程
y"＋ py'＋ qy ＝ 0
的线性无关的特解是y1(x), y2(x)。 1．非齐次方程的通解是相应齐次方程的通
解
y ＝ c1 y1(x), + c2y2(x) ．
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3．方程 y"＋ py'＋ qy ＝0 的特征方程为
r2 ＋ pr＋ q ＝0
设它的根为r1,r2，则
1)当r1≠ r2 (实根)时，通解为
y ＝ c1er1x+c2er2x ． (5)
2)当r1 ＝ r2 ＝ r(实根)时，通解为
y ＝ (c1+ c2x)erx ． (6)
3)当 r1 ＝a + ib , r2 ＝ a - ib 时，通解为
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驻波的一般表示：u(x,t)=X(x)T(t) 把这种具有变量分离形式的特殊解作为尝试解去 解偏微分方程，如果得到了方程的解，再由解的唯一 性就可以保证尝试解的正确性
(3) 分离变量法的特点： a.物理上由叠加原理作保证，数学上由解的唯一性作 保证；
b.把偏微分方程化为常微分方程来处理，使问题简单
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2、求解本征值问题 X " X 0
X |x0 X |xl 0
(1) 0
X(x)C 1exC 2ex
X(0) 0 X(l) 0
C1 C2 0
C1 C2 0
C1el C2e l 0
(2) 0 X(x)C1xC2
C 2 0 C1lC2 0
C1 C2 0
(3) 0
X (x ) C 1c o sx C 2sinx
与非齐次方程的特解之和．
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2．常数变易法．将c1 变为u(x), c2变为v(x), 即设(8)式的解具有下述形式 y ＝ u(x) y1(x), + v(x)y2(x) ． (9)
将它代入(8) 式，得到确定u(x)为v(x) 的一个条件
(uy1+vy2)"+p(uy1+vy2)'+q(uy1+vy2)＝f(x) (10)
1 0.5
-0.5
2.5
5
7.5
10 12.5
15
-1
波腹 波节
对于确定的频率，解是驻波：
每一点绕平衡位置振动 T ( t ) 振幅随位置变化 X ( x )
驻波解： u(x,t)X(x)T(t)
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这是解的分离变量
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8
1、分离变量
把
u(x,t)X(x)T(t)
utt a2uxx 0
代入波动方程 得 X T''a2X''T0变量分离： T '' X ''
n 2 2 l2
n20210/,7/29 ,3
X(0) 0 X(l) 0
C1 0 C2sin l 0
非零解 C 2 0
sin l 0
nx
Xn(x) C2 sin l
C2是积分常数 10
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附 录Ⅱ 几种常用的常系数常微分方程的解
• (一)齐次方程 1．方程 y"- 2y ＝ 0 的通解,
零，即
u'y1+ v&# y1(x)及y2(x)是齐
次方程的解，即有
u'y1'+ v'y2'＝ f(x) ． (13) 将(12)式、(13)式联立，即可求出
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u'y1+ v'y2 ＝0． (12 ) u'y1'+ v'y2'＝ f(x) ． (13)
，将r ＝ ±i 代入尝试解得方程的二个特解，其
线性组合即为通解
y ＝ c1eix+c2e-ix ．(2) 利用尤拉公式 e士ix ＝ cosx士 isinx 代入(2)式
，可得
y ＝ D1cosx + D2sinx ．(3)
令D1＝ Esind 及 D2＝ Ecosd ，其中E及d为待定常
数，则(3)式可写为 y ＝ E sin (x + d) ．(4)
• 令 u(x,t)＝X(x)T(t) (11.1.4)
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§11.1.1 齐次方程及齐次边界条件的定解问
定解问题
研究两端固题定的弦的自由振动
泛定方程： utt a2uxx 0
(0xl,t0)
边界条件： u(x,t) x00 u(x,t) xl 0
初始条件： u t0 (x) ut t0 (x)
a 2T X
公共常数：
T''(t) a2T(t)
X''(x) X(x)
x, t 是相互独立的变量
得出两个常微分方程：T '' a 2T 0 X '' X 0
代入边界条件： u|x00,
u|xl 0,
X (0 )T (t) 0 X (l)T (t) 0
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X |x0 0
X |xl 0
确定两个函数需要两个条件，因此还可以附
加一个确定u(x) , v(x)的条件．
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为此，对 y ＝ u(x) y1(x), + v(x)y2(x) (9)式两 边求导，得
y'＝ (u y1'+ vy2') + (u'y1+v'y2) (11) 为方便起见，第二个条件规定上武第二项为