高一数学同步辅导上课讲义

对数函数及其性质

【要点梳理】

要点一、对数函数的概念

1．函数y=log a x(a>0，a ≠1)叫做对数函数.其中x 是自变量，函数的定义域是()0,+∞，值域为R ． 2．判断一个函数是对数函数是形如log (0,1)a y x a a =>≠且的形式，即必须满足以下条件： （1）系数为1；

（2）底数为大于0且不等于1的常数； （3）对数的真数仅有自变量x ． 要点诠释：

（1）只有形如y=log a x(a>0，a ≠1)的函数才叫做对数函数，像log (1),2log ,log 3a a a y x y x y x =+==+等函数，它们是由对数函数变化得到的，都不是对数函数． （2）求对数函数的定义域时应注意：①对数函数的真数要求大于零，底数大于零且不等于1；②对含有字母的式子要注意分类讨论．

a ＞0

0＜a ＜1

图象

性质

定义域：（0，+∞） 值域：R

过定点（1，0），即x=1时，y=0 在（0，+∞）上增函数 在（0，+∞）上是减函数 当0＜x ＜1时，y ＜0， 当x ≥1时，y ≥0

当0＜x ＜1时，y ＞0， 当x ≥1时，y ≤0

要点诠释：

关于对数式log a N 的符号问题，既受a 的制约又受N 的制约，两种因素交织在一起，应用时经常出错.下面介绍一种简单记忆方法，供同学们学习时参考.

以1为分界点，当a ，N 同侧时，log a N>0；当a ，N 异侧时，log a N<0. 要点三、底数对对数函数图象的影响 1．底数制约着图象的升降． 如图

要点诠释：

由于底数的取值范围制约着对数函数图象的升降（即函数的单调性），因此在解与对数函数单调性有关的问题时，必须考虑底数是大于1还是小于1，不要忽略．

2．底数变化与图象变化的规律

在同一坐标系内，当a>1时，随a 的增大，对数函数的图像愈靠近x 轴；当0

一般地有a

N

N c c a log log log =

，其中a>0，a≠1，N>0，c>0，c≠1，这个公式称为对数的换底公式．

要点四、反函数 1．反函数的定义

设,A B 分别为函数()y f x =的定义域和值域，如果由函数()y f x =所解得的()x y ϕ=也是一个函数（即对任意的一个y B ∈，都有唯一的x A ∈与之对应），那么就称函数()x y ϕ=是函数()y f x =的反函数，记作1

()x f

y -=，在1()x f y -=中，y 是自变量，x 是y 的函数，习惯上改写成1

()y f x -=（,x B y A ∈∈）

的形式．函数1

()x f

y -=（,y B x A ∈∈）与函数1()y f x -=（,x B y A ∈∈）为同一函数，因为自变量的

取值范围即定义域都是B ，对应法则都为1

f

-．

由定义可以看出，函数()y f x =的定义域A 正好是它的反函数1

()y f x -=的值域；函数()y f x =的

值域B 正好是它的反函数1

()y f

x -=的定义域．

要点诠释：

并不是每个函数都有反函数，有些函数没有反函数，如2

y x =．一般说来，单调函数有反函数． 2．反函数的性质

（1）互为反函数的两个函数的图象关于直线y x =对称．

（2）若函数()y f x =图象上有一点(),a b ，则(),b a 必在其反函数图象上，反之，若(),b a 在反函数图象上，则(),a b 必在原函数图象上．

【典型例题】

类型一、函数的定义域

求含有对数函数的复合函数的定义域、值域，其方法与一般函数的定义域、值域的求法类似，但要注意对数函数本身的性质（如定义域、值域及单调性）在解题中的重要作用.

例1. 求下列函数的定义域：

(1)2

log a y x =； (2)log (4-)(01)a y x a a =>≠且.

【答案】（1）{|0}x x ≠；（2）{|4}x x <．

【解析】由对数函数的定义知：2

0x >，40x ->，解出不等式就可求出定义域.

(1)因为2

0x >，即0x ≠，所以函数2log {|0}a y x x x =≠的定义域为；

(2)因为40x ->，即4x <，所以函数log (4-){|4}a y x x x =<的定义域为.

【总结升华】与对数函数有关的复合函数的定义域：求定义域时，要考虑到真数大于0，底数大于0，且不等于1．若底数和真数中都含有变量，或式子中含有分式、根式等，在解答问题时需要保证各个方面都有意义．一般地，判断类似于log ()a y f x =的定义域时，应首先保证()0f x >．

举一反三：

【变式1】求下列函数的定义域.

(1) y=

1

)1(log 1

2

13

3---x x (2) ln(2)x x

y a k =-g （0a >且1,a k R ≠∈）.

【答案】（1）(1，

23)Y (2

3

，2)；（2）略 【解析】(1)因为⎪⎪⎪⎩⎪

⎪⎪

⎨⎧

≠->->-1)1(log 0)1(log 0

12

1

21x x x ， 所以101132x x x ⎧⎪>⎪<-<⎨⎪⎪≠⎩，

所以函数的定义域为(1，23)Y (2

3

，2).

（2）因为 20x

x

a k ->g

， 所以2x

a k ⎛⎫

> ⎪⎝⎭

. ①当0k ≤时，定义域为R ； ②当0k >时，

(i)若2a >，则函数定义域为(2

log a k ，+∞)；

(ii)若02a <<，且1a ≠，则函数定义域为(-∞，2

log a k )；

(iii)若2a =，则当01k <<时，函数定义域为R ；当1k ≥时，此时不能构成函数，否则定义域为∅.

【变式2】函数(2)x

y f =的定义域为[-1，2]，求2(log )y f x =的定义域.

【答案】[2，16].

【答案】由12x -≤≤，可得()y f x =的定义域为[

21，4]，再由21

log 42

x ≤≤得2(log )y f x =的定义域为[2，16].

类型二、对数函数的单调性及其应用

利用函数的单调性可以：①比较大小；②解不等式；③判断单调性；④求单调区间；⑤求值域和最值.要求同学们：一是牢固掌握对数函数的单调性；二是理解和掌握复合函数的单调性规律；三是树立定义域