第5章 力的简化
理论力学5-1 力系的主向量和主矩
力 系 简 化 与 平 衡 问 题
力F对点O的矩的解析式： i j k mO F x y z x fx f y fz
mox i moy j moz k
r
O
F A
y
d
( yFx zFy )i ( zFx xFz ) j ( xFy yFx )k
汇交力系的合力之矩定理 第 5章
M z (F ) M z ( Fx ) F (l a)sin
解法二 第 5章
x l , y l a,
力对轴之矩的解析式
z0
Fx F sin , Fy 0, Fz F cos
力 系 简 化 与 平 衡 问 题
mx (F ) yFz zFy F (l a)cos my (F ) zFx xFz Fl cos
E
D
y
R Fi
i 1
n
R 2P( j k )
力对点的矩 第 5章
力矩度量了力对物体作用时的转动效应 力F对点O的矩： mO F r F 大小：力的大小与力臂的乘积 mO F Fd 2 AAOC
方向：垂直于 r 和F 矩心：O点
mo(F) z
MP (rPO ri ) Fi
i 1 n
n
Fi
n
ri Fi rPO Fi
i 1 i 1
A
ri
O
MO rPO R
或者等价地写成为
M p Mo R rOP
rPO
P
例3 第 5章
在边长为a 的正方体顶点O，F，C和E上作用 有四个大小都等于P的力，方向如图所示。 求此力系关于O点的主矩。
第5章 空间任意力系
7
例题
空间任意力系
例题2
解：
由图示可以求出力F 在 各坐标轴上的投影和力F 作 用点C 的坐标分别为：
Fx F coscos
Fy F cos sin
Fz F sin
x= a = 4 m
y= b = 6 m
z= c =－3 m
8
例题
空间任意力系
例题2
则可求得力F 对坐标轴之矩 以及对原点O之矩的大小和方向。
FD 5.8 kN
解方程得 FB 7.777 kN
28
FA 4.423 kN
例题
空间任意力系
例题9
镗刀杆的刀头在镗削工件时受到切向力Fz， 径向力Fy，轴向力 Fx的作 用。各力的大小Fz=5 000 N， Fy=1 500 N， Fx=750 N，而刀尖B 的坐标 x = 200 mm，y = 75 mm，z = 0。如果不计刀杆的重量，试求刀杆根部A 的约束 力的各个分量。
M y 0, F2xl2 Fzr Fx (l1 l2 ) 0
Mz 0, Fyr MO 0
由以上方程可以求出所有未知量。
20
例题
空间任意力系
例题6
水平传动轴上装有两个胶带轮C和D，半径分别是r1=0.4 m ， r2=0.2 m . 套在C 轮上的胶带是铅垂的，两边的拉力T1=3 400 N，T2=2 000 N，套在D轮 上的胶带与铅垂线成夹角α=30o，其拉力F3=2F4。求在传动轴匀速转动时， 拉力F3和F4以及两个径向轴承处约束力的大小。
系统受空间任意力系的作用， 可写出六个平衡方程。
Fx 0,
FAx FBx (F3 F4 ) sin 30 0
结构力学第五章力法
12kN/m
EI
2
2 M1 基本体系
24
2EI
2EI
4m
MP
6 216
6
d11 =
D1 P =
1 6 6 2 6 1 1 2 2 2 2 224 2 = 2 EI 2 3 EI 2 EI 2 3 3EI
M
1 6 216 3 6 2 EI 3 4 1 2 24 3 2 984 1 = 4 EI EI 2 EI 3
(A)
由上述，力法计算步骤可归纳如下： 1）确定超静定次数，选取力法基本体系； 2）按照位移条件，列出力法典型方程； 3）画单位弯矩图、荷载弯矩图，用（A）式求系数和自由项； 4）解方程，求多余未知力； 5）叠加最后弯矩图。 M = M i X i M P
q=23kN/m
q=23kN/m
6m
=
撤除约束时需要注意的几个问题： （1）同一结构可用不同的方式撤除多余约束但其超静定次数相同。
（2）撤除一个支座约束用一个多余未知力代替， 撤除一个内部约束用一对作用力和反作用力代替。 （3）内外多余约束都要撤除。
（4）不要把原结构撤成几何可变或几何瞬变体系
4 5 1 2 外部一次，内部六次 撤除支杆1后体系成为瞬变 不能作为多余约束的是杆 1、2、 5 共七次超静定 1 3
力法基本体系的合理选择
1 1 2 1 1 1 21 aa qa2 21= 2a = d a = qa3 d12P = d 21 = D1d 11力法基本体系有多种选择，但必须是几何不变体系。同时应 == = ,22 D 2 P = 0 EI 3 3 624 EI EI EI2 28 32 3EI EI 尽量使较多的副系数、自由项为零或便于计算。所选基本体系应 含较多的基本部分，使Mi,MP尽可能分布局部。 qa 2 用力法解图示连续梁， 2kN/m ↓↓↓↓↓↓↓↓ 15 各跨EI=常数,跨度为a. 2kN/m ↓↓↓↓↓↓↓↓ 2kN/m 2a X1 qa 2 X2 d 11 = = d 22 ↓↓↓↓↓↓↓↓ 3EI 60 a d 12 = d 21 = X1=1 M1 6 EI qa3 D1P = , D2P = 0 1 24 EI X2=1 M 2
第五章 静定结构的内力分析
MB
2 2
MC
C
解：1.计算外力偶矩
M A 9549
m T 1592N· 637N· m
b) T c)
M B 9549
x
637N· m
x
2.求各段扭矩 AB段：T1= MA=1592N· m BC段：T2= MA- MB=1592-955=637N· m
30 955N m 300 20 M C 9549 637N m 300
压缩与弯曲的组合
弯曲与扭转的组合
在进行结构设计时，为保证结构安全正常工
作，要求各构件必须具有足够的强度和刚度。解
决构件的强度和刚度问题，首先需要确定危险截
面的内力,内力计算是结构设计的基础。
5—1 轴向拉压杆
沿杆件轴线作用一对相反的外力，杆件将发生沿轴线方向
的伸长或缩短，这种变形称为轴向拉伸或压缩。
建筑力学
第5章 静定结构的内力分析
杆件结构——由杆件组成的结构。
杆件——长度远大于其横截面的宽度和高度的构件。
几何特点：横截面是与杆件长度方向垂直的截面，而轴线 是各横截面形心的连线。细而长，即l>>h，l>>b。
杆件结构
杆又可分为直杆和曲杆。
受外力作用后，其几何形状和尺寸一般都要发生改 变，这种改变称为变形。作用在构件上的荷载是各种 各样的，因此，杆件的变形形式就呈现出多样性，并 且有时比较复杂，但分解来看，变形的基本形式却只 有四种：
3.求截面2-2的内力
Fy 0 : FAy F FQ 2 0， 5 1 得FQ 2 FAy F F F F 4 4 M 2 0 : 2Fl M 2 0，
理论力学 第五章 桁架和摩擦
理想桁架 工程实际中计算桁架受力情况时，常 作如下简化： (1) 构成桁架的杆件都是直杆； (2) 杆件两端都用光滑铰链连接； (3) 所有外力（主动力及支座反力） 都作用在节点上； (4) 杆件自重略去不计。
这种桁架称为理想桁架。
平面桁架各杆内力
1.节点法 2.截面法
汇交力系 平面一般力系
已知平面桁架尺寸、载荷。求：各杆内力。
3 因 0 Fs Fmax ，问题的解有时在一个范围内．
考虑摩擦的平衡问题
(1)判断物体是否平衡，并求滑动摩擦力。
先假设物体处于平衡，根据平衡方程求出物体平衡时需 要的摩擦力以及相应接触面间的正压力。再根据摩擦定 律求出相应于正压力的最大静摩擦力并与之比较。若满
足F≤Fmax这一关系，说明物体接触面能提供足够的摩擦
当仅有滑动趋势时，产生的摩擦力，称为静滑动摩擦力
静滑动摩擦力性质
1)静滑动摩擦力FS 的方向与滑动趋势相反，大小由平衡
条件确定；
0≤FS ≤Fmax （物体平衡范围）
2)只有当物体处于将动未动的平衡临界状态时,静滑动摩
擦力FS 达到最大值，即 FS =Fmax=f FN
f — 静滑动摩擦系数；
FN— 法向反力（一般也由平衡条件决定）。
摩擦角和自锁现象
1 摩擦角
FRA ---全约束力
物体处于临界平衡状态时，全约束 力和法线间的夹角---摩擦角
tan f
Fmax FN
fs FN FN
fs
全约束力和法线间的夹角的正切等于静 滑动摩擦系数．
摩擦锥
0 f
2 自锁现象
摩擦自锁的实例
1.粗糙斜面。当 a<m时,
不论W多大，物块A均保持 平衡－－摩擦自锁。
理论力学第5章(点的运动)
(2) 运动学: 研究点与刚体运动的几何性质。
包括位移、轨迹、速度、加速度。 (与力无关、也是变形体运动基础)
A B
F
C
B
刚体运动
C
变形(包含刚体位移和相对位移)
(3) 动力学: 研究物体所受力与运动间的关系。
包括质点系、刚体，变形体的动力效应。
第五章 点的运动学
§5-1 运动学的基本概念
速度
已知： OC AC BC l , MC a , t。 求：运动方程、轨迹、速度和加速度。
x l a cost ax v x 2 a y vy y l a sin t
2
加速度
a a a
F ( x, y) 0
二、点的速度v
又
r = xi + yj + zk
式中 v x 所以得
dr dx dy dz v i j k dt dt dt dt v = vx i + vy j + vz k
、v y
、v z
vx
dx dt
v
表明：“动点的速度在坐标轴上的投影，等于动点对应的位置 坐标对时间 t 的一阶导数”。 则速度的大小和方向余弦为
弧坐标的运动方程sf切向加速度表示速度大小的变化三点的加速度法向加速度表示速度方向的变化匀速运动v常数常数常数匀变速直线运动匀速圆周运动匀速直线运动或静止直线运动匀速运动圆周运动匀速运动直线运动匀速曲线运动匀变速曲线运动点作曲线运动画出下列情况下点的加速度方向
(1) 静力学: 研究物体所受力系的简化、平衡规律及其应用。
△r称为在△t时间内动点M的位移。
间间隔△t内的平均速度。以 v*表示。则： Δr v Δt 平均速度表示动点在△t内平均运动的快慢和运动方向。
材料力学第五章
FSC
q0 x q ( x) l
是否可以将梁上的分布荷载全部用静力等效后的 合力代替来求截面C的内力？
§5-3 剪力和弯矩
例题 解： 1. 确定支反力 Fy 0 FAy FBy 2 F
M
FAy 2. 用截面法研究内力 FSE ME FAy FBy
A
0
FBy 3a Fa 2 F a F 5F FBy FAy 3 3 F 5F F 0 F 2 F F y SE SE 3 3 a 5F 3a M 0 2 F M O E 2 3 2 3Fa ME 2
a
F
b
A
FAY
x1
C x2
l
B
FBY
例题5-3 图示简支梁C点受集中力作用。 试写出剪力和弯矩方程，并画 出剪力图和弯矩图。 解：1．确定约束力 M A＝0， M B＝0
FS
Fb / l
FAy＝Fb/l
FBy＝Fa/l
Fa / l
Fab / l
M
2．写出剪力和弯矩方程 ＝Fb / l 0 x1 a x AC FS x1 M x1 ＝Fbx1 / l 0 x1 a FS x2 ＝ Fa / l a x2 l CB M x2 ＝Fal x2 / l a x2 l
FCy
D
FBy 29kN
§5-2
受弯杆件的简化
q =20kN/m F MA Me=5kN· m C A B FAx D E K FBy FAy 1m 3m 1m 1m
AB梁
F F
0.5m
x y
0 0 0
FAx 0
第五章 杆件的内力与内力图
Mz (x) = m - FRAx = m (l -x ) / l (a ＜ x≤ l ) 3°画 FQy (x)图和 Mz (x)图。
四、剪力、弯矩和荷载集度之间的关系
y FP
q(x) MZ(x) q(x) MZ(x)+d MZ(x) C FQY(x)+d FQY(x) dx
x
x dx
FQY(x)
FRA FQy
(KN)
FRB
60 20 x = 3.6m
Mz6 = 72 ×12 - 160 - 20×10 ×5 = 0
88
当FQY（x）=0时， Mz （x）有极值。
Mz x = 3.6ｍ处， FQY（x）=0 。(KNm)
16 113.6 144
80
即
Mz7 = 72 ×5.6 - 160 - 20×3.6 ×3.6 / 2 = 113.6 KNm
MZ —— 弯矩
A FRA
x
m
C
MZ
m FQY
规 定：
∑FP
FQY 下剪力正, 反之为负
∑M
MZ
MZ
∑M
MZ：
上凹下凸弯矩正, 反之为负
a A
FP1
m m
FP2 B
由∑Fyi=0， FRA- FP1 - FQY =0
x
FRA y A
x
FRB FP1
m
C
得 FQY = FRA- FP1
x = 2m 时 , FN (x) = - 1KN。
3KN
A 2m 3
B 2KN/ m C 2m 2m
D 1KN
FN （KN） 1
规律：没有力作用的杆段，轴力为常数；
分布荷载为常数的杆段，轴力线性变化；
理论力学教案5
本次讲稿第五章平面任意力系各力作用线在同一平面内且任意分布的力系称为平面任意力系。
在工程实际中经常遇到平面任意力系的问题。
例如图5－1所示的简支梁受到外荷载及支座反力的作用，这个力系是平面任意力系。
有些结构所受的力系本不是平面任意力系，但可以简化为平面任意力系来处理。
如图5－2所示的屋架，可以忽略它与其它屋架之间的联系，单独分离出来，视为平面结构来考虑。
屋架上的荷载及支座反力作用在屋架自身平面内，组成一平面任意力系。
对于水坝（图5－3）这样纵向尺寸较大的结构，在分析时常截取单位长度（如1）的坝段来考虑，将坝段所受的力简化为作用于中央平面内的平面任意力系。
事实上工程中的多数问题都简化为平面任意力系问题来解决。
所以，本章的内容在工程实践中有着重要的意义。
图5－1 图5－2图5－3第一节平面任意力系向作用面内任意一点简化设刚体受到平面任意力系F1、F2、…、F n的作用，如图5－4a。
在力系所在的平面内任取一点O，称O点为简化中心。
应用力的平移定理，将力系中的和力依次分别平移至O 点，得到汇交于O点的平面汇交力系F1′、F2′、…、F n′，此外还应附加相应的力偶，构成附加力偶系m O1、m O2、…、m On（图5－4b）。
图5－4平面汇交力系中各力的大小和方向分别与原力系中对应的各力相同，即F 1′＝F 1 ， F 2′＝F 2 ，…，F n ′＝F n所得平面汇交力系可以合成为一个力R O ，也作用于点O ，其力矢R ′等于各力矢F 1′、 F 2′、…、F n ′的矢量和，即R O ＝F 1′+ F 2′+…+F n ′＝F 1 +F 2 +…+F n ＝ΣF ＝R ′ （5－1）R ′称为该力系的主矢，它等于原力系各力的矢量和，与简化中心的位置无关。
主矢R ′的大小与方向可用解析法求得。
按图5－4b 所选定的坐标系Oxy ,有R x =X 1+X 2+…X n ＝ΣXR y =Y 1+Y 2+…Y n ＝ΣY主矢R ′的大小及方向分别由下式确定： ()()⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=''=+='+'='∑∑∑∑--X Y R R Y X R R R x yy x 112222tan tan α (5－2)其中α为主矢R ′与x 轴正向间所夹的锐角。
第五章 受力分析.
实际上两个相互接触的物体在产生相对运动或具 有相对运动趋势时，在它们的接触面的切线方向 上会产生阻碍运动或运动趋势的力，这种力称为 摩擦力。 按照两个物体相对运动的形式，摩擦力分为滑动 摩擦力与滚动摩阻力偶两种。摩擦力也是约束力 的一种，但它具有特殊的性质，所以把它们与一 般的约束力分开进行研究。 不考虑摩擦力的约束称为理想约束。
分布力，它的载荷集度的单位是N/m。
线分布载荷是常见的主动力模型，在研究对象 视为刚体时，可以把它等效简化为一个合力。这个 合力的方向与分布力相同，大小等于分布载荷图形 的面积，力线通过分布载荷图形的形心。
x
h
F q0
h/3
y
q0 载荷集度 q y ，q0是水坝底部的水压力载荷 h 集度，合力 ，F作用在距底面 h 处。 1 F q0 h 3 2
过此时销钉（即圆轴）自身是被约束体。
Fy Fx
6.固定端 一般的固定端约束六个约束力，其中 三个是力，三个是力偶。平面问题中的固定端约 束有三个约束力，其中两个是正交的分力，一个 是力偶。
z Fx x Mx Fy M Fx z Fz y x Mz Fy My y
7.光滑球铰链
光滑球铰链使受约束的物体失去了沿x、
5.2.1 理想约束力
1.柔索 柔索的约束力作用在接触点，方向沿着柔 索背离被约束的物体。 可以说柔索的约束力是拉力，常用FT表示
FT
FT1
W
W
FT2
2.光滑接触面
光滑接触面约束力作用在接触点处，
方向沿接触面的公法线，指向被约束的物体。这
种约束力称为法向力，常用FN表示。
FN
FN
3. 光滑圆柱铰链（柱铰）
光滑圆柱铰使受约束的物
工程力学-第5章
l
A
B
F1
C
F2
l
l
FA
A
B" B F1 B'
C
F2
解：2. 确定控制面
处在的集A、中C载截荷面F2，、以约及束集力中FA载作用荷
F1作用点B处的上、下两侧横截 面都是控制面。
3. 应用截面法求控制面上的轴 力
用假想截面分别从控制面A、 B"、B' 、C处将杆截开，假设
横截面上的轴力均为正方向（拉 力），并考察截开后下面部分的 平衡。
基本概念与基本方法
MA＝0 MO=2FPl
A
C
FP
l
MA＝0 MO=2FPl
A
FP
l
F
P
D B
解： 3. 应用截面法确定D 截面上的内力分量
假设截开横截面上的剪力 和弯矩均为正方向。根据截开 的局部平衡建立平衡方程：
l
FQD
D
MD l
F y ＝ 0 ， F Q D － F P ＝ 0
M D ＝ 0
MA＝0 MO=2FPl
A
C
FP
l
F
P
D B
l
MA＝0
FQC
A
C
MC
FP
l
解： 2. 应用截面法确定C 截面上的内力分量
假设截开横截面上的剪力 和弯矩均为正方向。根据截开 的局部平衡建立平衡方程：
F y ＝ 0 ， F P － F Q C ＝ 0
M C ＝ 0 ， M C ＋ M A － F P l＝ 0
轴力图与扭矩图
扭矩图
轴力图与扭矩图
作用在杆件上的外力偶矩，可以由外力向杆的轴线简化 而得，但是对于传递功率的轴轴，通常都不是直接给出力或力 偶矩，而是给定功率率和和转转速速。
工程力学_05空间力系
0, MO 0 时，空间力系为平衡力系。 当 FR
§5–1 空间任意力系向一点的简化· 主矢和主矩
空间任意力系向任一点简化可得到一个力和一个力偶。 这个力通过简化中心，称为力系的主矢，它等于各 个力的矢量和，并与简化中心的选择无关。 这个力偶的力偶矩矢称为力系对简化中心的主矩， 并等于力系中各力对简化中心之矩矢的矢量和，并 与简化中心的选择有关。
§5–1 空间任意力系向一点的简化· 主矢和主矩
§5–1 空间任意力系向一点的简化· 主矢和主矩
空间任意力系：作用线在空间任意分布的力系。
空间汇交力系
空间任意力系
空间力偶系
§5–1 空间任意力系向一点的简化· 主矢和主矩
空间任意力系：作用线在空间任意分布的力系。 一、空间任意力系向一点的简化
其中，各 Fi Fi ，
Fx 0, FAx Fx 0 (1) Fy 0, FAy Fy 0 (2) Fz 0, FAz Fz 0 (3) M x ( F ) 0, M y ( F ) 0, M z ( F ) 0,
FAz MAz
O
z
MAy FAx
FAy Fz
y 200 Fy
MAx
M Ax 0.075Fz 0 M Ay 0.2 Fz 0
x 75 Fx
M Az 0.075Fx 0.2 Fy 0
P 20 kN
§5–2 空间任意力系的平衡条件
解题步骤、技巧与注意问题： 1、解题步骤： ①选研究对象
O
11
§5–1 空间任意力系向一点的简化· 主矢和主矩
三、补充:空间任意力系的简化结果分析（最后结果）
《结构力学》第5章：力法
03
对边界条件敏感
力法对边界条件的处理较为敏感， 边界条件的微小变化可能导致计 算结果的显著不同。
适用范围讨论
适用于线弹性结构
01
力法适用于线弹性结构，即结构在荷载作用下发生的
变形与荷载成正比，且卸载后能够完全恢复。
适用于静定和超静定结构
02 力法既适用于静定结构，也适用于超静定结构，但超
静定结构需要引入多余未知力和变形协调条件。
在传动系统的力学分析中，采用力法计算各部件的受力情况，
确保传动系统的正常运转。
案例分析与启示
力法应用广泛性
力法计算精确性
通过以上案例可以看出，力法在桥梁、建 筑和机械工程等领域具有广泛的应用价值 。
力法作为一种精确的计算方法，在解决超 静定问题方面具有显著优势。
力法在工程实践中的局限性
对未来研究的启示
《结构力学》第 力法典型方程及应用 • 力法计算过程与实例分析 • 力法优缺点及适用范围 • 力法在工程实践中应用 • 力法学习建议与拓展资源
01 力法基本概念与原理
力法定义及作用
力法是一种求解超静定结构的方法， 通过引入多余未知力，将超静定问题 转化为静定问题进行求解。
桁架结构应用
桁架结构由杆件组成，通过力法可以求解桁架结构中的多余未知力，进而分析 桁架的稳定性和承载能力。
组合结构应用
组合结构由不同材料或不同形式的构件组成，通过力法可以分析组合结构的内 力和变形，为结构设计提供优化建议。
复杂结构简化与力法应用
复杂结构简化
对于复杂结构，可以通过合理简化为静定结构或简单超静定结构，进而应用力法求解。
适用于简单和规则结构
03
对于简单和规则结构，力法能够较为方便地求解出结
弹性力学第五章第五章弹性力学的求解方法和一般性原理
弹性⼒学第五章第五章弹性⼒学的求解⽅法和⼀般性原理第五章弹性⼒学的求解⽅法和⼀般性原理知识点弹性⼒学基本⽅程边界条件位移表⽰的平衡微分⽅程应⼒解法体⼒为常量时的变形协调⽅程物理量的性质逆解法和半逆解法解的迭加原理,弹性⼒学基本求解⽅法位移解法位移边界条件变形协调⽅程混合解法应变能定理解的唯⼀性原理圣维南原理⼀、内容介绍通过弹性⼒学课程学习，我们已经推导和确定了弹性⼒学的基本⽅程和常⽤公式。
本章的任务是对弹性⼒学所涉及的基本⽅程作⼀总结，并且讨论具体地求解弹性⼒学问题的⽅法。
弹性⼒学问题的未知量有位移、应⼒和应变分量，共计15个，基本⽅程有平衡微分⽅程、⼏何⽅程和本构⽅程，也是15个。
⾯对这样⼀个庞⼤的⽅程组，直接求解显然是困难的，必须讨论问题的求解⽅法。
根据这⼀要求，本章的主要任务有三个：⼀是综合弹性⼒学的基本⽅程，并按边界条件的性质将问题分类；⼆是根据问题性质，确定基本未知量，建⽴通过基本未知量描述的基本⽅程，得到基本解法。
弹性⼒学问题的基本解法主要是位移解法、应⼒解法和混合解法等。
应该注意的是对于应⼒解法，基本⽅程包括变形协调⽅程。
三是介绍涉及弹性⼒学求解⽅法的⼀些基本原理。
主要包括解的唯⼀性原理、叠加原理和圣维南原理等，这些原理将为今后的弹性⼒学问题解建⽴基础。
如果你在学习本章内容时有困难，请及时查阅和复习前三章相关内容，以保证今后课程的学习。
⼆、重点1、弹性⼒学的基本⽅程与边界条件分类；2、位移解法与位移表⽰的平衡微分⽅程；3、应⼒解法与应⼒表⽰的变形协调⽅程；4、混合解法；5、逆解法和半逆解法；6、解的唯⼀性原理、叠加原理和圣维南原理§5.1 弹性⼒学的基本⽅程及其边值问题学习思路:通过应⼒状态、应变状态和本构关系的讨论，已经建⽴了⼀系列的弹性⼒学基本⽅程和边界条件。
本节的主要任务是将基本⽅程和边界条件作综合总结，并且对求解⽅法作初步介绍。
弹性⼒学问题具有15个基本未知量，基本⽅程也是15个，因此问题求解归结为在给定的边界条件下求解偏微分⽅程。
力系的简化和平衡
z MO O x F'R y
FR Fi Fi
力系中各力的矢量和称为空间力系的 主矢。主矢与简化中心的位置无关。
空间力偶系可合成为一合力偶, 其矩矢MO:
MO MO (Fi )
力系中各力对简化中心之矩矢的矢量和称为力系对简化 中心的主矩。主矩与简化中心的位置有关。
3.1.2 (空间任意)力系向一点的简化 结论: 空间力系向任一点O简化, 可得一力和一 力偶, 这个力的大小和方向等于该力系的主矢, 作用线通过简化中心O; 这个力偶的矩矢等于该 力系对简化中心的主矩。
空间任意力系向一点简化的结果可能出现四种情况: (1) F'R＝0, MO≠0 ; (2) F'R ≠ 0, MO ＝ 0 ; (3) F'R ≠ 0, MO≠0 ;
′ Fn
O Mn
3.1.2 (平面任意)力系向一点简化 平面一般力系中各力的矢量和称为平面一般力 系的主矢。主矢与简化中心的位置无关。
FR FRx + FRy Fx i Fy j
FR ( Fx ) 2 ( Fy ) 2
Fx cos( FR , i ) FR Fy cos( FR , j ) FR
A
m
B q C
FAy
FB
求得的FAx和FAy为负, 说明与图中 假设方向相反。
例: 求图示刚架的约束反力。
P
A
解: 以刚架为研究对象, 受力如图。
a
q b
Fx 0 : FAx qb 0
Fy 0 : FAy P 0
M A (F ) 0 :
1 2 M A Pa qb 0 2
第五章 受力分析
例5-7 如图所示车床主轴简图，已知车刀对工件的径向切 削力Fx，纵向切削力Fy和主切削力（切向）Fz。在直齿 轮C上啮合齿的切向力Ft和径向力Fr。主轴由A处的向心 轴承与B处的止推轴承支承。工件OD通过三爪卡盘E夹 紧。自重不计。试画出主轴、卡盘与工件整体的受力图 与工件OD的受力图。
FAz O FAx Fr A E (a) Fy D Fz FOz Fx Mz O Mx FOx FOy My Fy D (b)
F O C O C G Mf P FN FS F
分析半球与地面的接触点P的相对滑动运动趋势时， 可以假设地面是光滑的，分析点P可能的运动方向。
例5-10 如图所示，构件1和构件2用楔块3连接，已知楔
块与构件间的摩擦因数fs=0.1，楔块自重不计。求能自
锁的倾斜角q。
3 F 1 3
j1
FR1 n1
D F C A F (a) FAx FD D
FD
D
B
G (b)
(c) FAy MA A FAx F C B
C
FC
G C F＇ B
＇ FBy
Bx
(d)
(e)
G
例5-4 如图所示结构中，A为固定端，O为固定铰支座， B、D为中间铰，E为活动铰支座。不计自重，试画各构 件的受力图。
分布力，它的载荷集度的单位是N/m。
线分布载荷是常见的主动力模型，在研究对象 视为刚体时，可以把它等效简化为一个合力。这个 合力的方向与分布力相同，大小等于分布载荷图形 的面积，力线通过分布载荷图形的形心。
x
h
F q0
h/3
y
q0 载荷集度 q y ，q0是水坝底部的水压力载荷 h 集度，合力 ，F作用在距底面 h 处。 1 F q0 h 3 2
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第5章 力系的简化——思考题——解答5-1 将图(a)所示平面结构中作用于B 处的力F平移到D 处，并按力的平移定理加上相应的附加力偶M = F·a ，如图(b)所示，试问它们对结构的作用效应是否相同？为什么？ 5-1 解答它们对结构的作用效应是不同的。
因为杆OA 与杆AB 不是同一刚体，而是组成了刚体系统，在简化前力F 作用于杆AB 上，而简化后力F作用于杆OA 上，虽然按力的平移定理施加了相应的附加力偶，但也是不等效简化。
5-2 如图所示，半径为r 的两个均质圆盘均处于平衡状态，试问：(1) 图(a)中能否说力偶M 与力F作用效果相反？图(b)中能否说力1F 与力2F 作用效果相反？为什么？5-2 解答：(1) 对于图(a)，不能说“力偶M 与力F作用效果相反”，因为力偶和一个力都是力系的最简形式，因而力偶和一个力不能相互平衡，因此不能说力偶和一个力的思考题5-1图 (a)思考题5-1图(b)思考题5-2图 (a)思考题5-2图 (b)2作用效果相同或相反。
(2) 对于图(b)，不能说“力1F 和力2F作用效果相反”，均质圆盘处于平衡状态，所以21F F，即两个力的大小相等、方向相同，但两个力的作用点不同，因此不能说“力1F 和力2F 作用效果相反”。
应该说“力1F 对点O 的矩和力2F 对点O 的矩的大小相等、转向相反”。
5-3 试问力系的主矢和对某点的主矩与力系的合力和合力偶的概念有什么区别？有什么联系？5-3 解答：待解答5-4 某空间力系对不共线的三点的主矩均为零，能否说该力系一定是平衡力系？为什么？5-4 解答：某空间力系对不共线的三点的主矩均为零，不能判断该力系一定平衡。
因为空间平衡力系有六个独立的平衡方程，对不共线的三点的主矩为零只满足了三个独立的平衡方程，因此不能就此判断该空间力系是平衡力系。
5-5 图示力系，已知F 1 = F 2 = F 3 = F ，沿边长为a 的正方体的棱边作用，方向如图所示，试问该力系向点O 简化的结果是什么？5-5 解答：力系的主矢为321R F F F F k F j F i F )(k j i F力系对点O 的主矩为i a F k a F j a F M O321)(k j i Fa 力系的第二不变量为 )()(R k j i Fa k j i F M F Oa F 23 0 则力系向点O 简化的结果为右手力螺旋。
力螺旋参数（力系的第三不变量）为 2R R F M F p O 2R R F M F O22)3(3F aF a 右手力螺旋中力的大小和方向与)(R k j i F F相同，力的作用线过坐标原点O ；右手力螺旋中心轴方程为O z O y O x z z Fy y F x x F R R R z F y F x F z y x 111 z y x5-6 设Oxyz 为一个直角坐标系，若某空间力系满足条件0 y F ，0 zF，0 x M ，0 y M ，则该力系简化的最简形式可能是什么？5-6 解答：力系的主矢为 k F j F i F F z y xR i F x 0力系对点O 的主矩为 k M j M i M M z y x Ok M z 0 力系的第二不变量为 )()(R k M i F M F z x O0 可见该力系简化的最简形式是合力。
思考题5-5图5-7 设Oxyz 为一个直角坐标系，某空间平行力系各力平行于z 轴，已知0 zF，0 x M ，则该力系简化的最简形式可能是什么？5-7 解答：力系的主矢为 k F j F i F F z y xR 0力系对点O 的主矩为 k M j M i M M z y x Oj M y 0 可见该力系简化的最简形式是合力偶，其合力偶矩矢量与y 轴平行。
5-8 图示作用于正方体上各空间力系均由两个大小相等的力组成，试问图(a)~图(j)所示力系简化的最终结果是什么？你发现什么规律？思考题5-8图 (a)思考题5-8图(b) 思考题5-8图(c)思考题5-8图 (d)思考题5-8图(e)思考题5-8图 (f)思考题5-8图 (g)思考题5-8图 (h)思考题5-8图 (i)思考题5-8图 (j)5-8 解答：令：F F F 21，正立方体的边长为a 。
(a)力系的主矢为 0R F，力系对任意点的主矩为 0 M，可见，该力系为平衡力系（二力平衡）。
(b)建立图示直角坐标系Oxyz ， 力系的主矢为 j F F F F 221R ，力系对点O 的主矩为k a F i a F M O21 )(k i Fa ， 力系的第二不变量为 )]([2R k i Fa j F M F O0 ， 可见，该力系简化的最简形式为合力。
下面求该力系的合力作用线方程：假设该力系的合力作用线经过点B ，则2R R F M F O 2)2()]([)2(F k i Fa j F)(21k i a，点B 的坐标为)21,0,21(a a B ， 合力作用线方程为Bz B y B x z z Fy y F x x F R R Ra z y F a x 21002210 思考题5-8图 (a)a z a x 2121(c)建立图示直角坐标系Oxyz ，力系的主矢为)(21R k i F i F k F F F F， 力系对点O 的主矩为k a F j a F i a F M O211 )(k j i Fa ， 力系的第二不变量为 )]([)]([R k j i Fa k i F M F O0 ， 可见，该力系简化的最简形式为合力。
下面求该力系的合力作用线方程：假设该力系的合力作用线经过点B ，则2RR F M F O 22)()()]([)]([F F k j i Fa k i F)2(21k j i a， 点B 的坐标为)21,,21(a a a B ，合力作用线方程为 Bz B y B x z z Fy y F x x F R R Ra z F a y a x F 21021a y az x另一种简便的方法： 建立图示直角坐标系Oxyz ， 力系的主矢为)(21R k i F i F k F F F F，思考题5-8图 (c)思考题5-8图 (c)力系对点O 的主矩为 0 O M， 可见，该力系简化的最简形式为合力。
合力作用线方程为 z F y F x F z y x R R R z Fy x F 00y z x (d)建立图示直角坐标系Oxyz ，力系的主矢为 21R F F F)2222()2222(k F i F j F i F)2(22k j i F 力系对点O 的主矩为 0 O M， 可见，该力系简化的最简形式为合力。
合力作用线方程为 z F y F x F z y x R R R zFy F x F 2 y x z y 2(e)建立图示直角坐标系Oxyz ，力系的主矢为 21R F F F)2222()(k F j F i F)2(22k j i F ， 力系对点O 的主矩为 0 O M， 可见，该力系简化的最简形式为合力。
思考题5-8图 (d)R思考题5-8图 (e)合力作用线方程为z F y F x F z y x R R R zF y F xF2222zy yx 2 (f)因为21F F ，且21//F F，反向，所以 力系的主矢为 021R F F F，建立图示直角坐标系Axyz ， 力系对任意点的主矩为2F M )(22)(k j F k j i a)(22k j Fa 可见，该力系简化的最简形式为合力偶，该合力偶作用于对角面ABCD 上，其合力偶矢量为)(22k j Fa M，如图所示。
(g)因为21F F ，且21//F F ，反向，所以 力系的主矢为 021R F F F，建立图示直角坐标系Axyz ， 力系对任意点的主矩为2F M )()(k F k j i a)(j i Fa可见，该力系简化的最简形式为合力偶，该合力偶作用于对角面ABCD 上，其合力偶矢量为)(j i Fa M，如图所示。
思考题5-8图 (f)思考题5-8图 (g)(h)建立图示直角坐标Oxyz ，力系的主矢为 21R F F F)(22)(22k i F k i F k F 2 ， 力系对点O 的主矩为2F OA M O )(22)(k i F j i a )(22k j i Fa ， 力系的第二不变量为 )(222R k j i Fa k F M F Oa F 2 0 ， 可见，该力系简化的最简形式为右手力螺旋。
下面求该力系的力螺旋的中心轴方程：力系的力螺旋参数（第三不变量）为 a F a F F M F p O 21)2(222R R ， 假设该力系的合力作用线经过点B ，则2RR F M F O2)2()(222F k j i Fa k F)(21j i a ， 点B 的坐标为)0,21,21(a a B ，该力系的力螺旋的中心轴方程为Bz B y B x z z Fy y F x x F R R R z F a y a x 2210210ay a x 2121 (i)思考题5-8图 (h)建立图示直角坐标系Oxyz ，力系的主矢为 21R F F Fk F k j F )(22])21([22k j F， 力系对点O 的主矩为 2F M O)()(k F k i aj Fa ，力系的第二不变量为 j Fa k j F M F O])21([22R a F 222 0 ， 可见，该力系简化的最简形式为右手力螺旋。
下面求该力系的力螺旋的中心轴方程： 力系的力螺旋参数（第三不变量）为a F F aF F M F p O 221)]21(22[)22(222222RR， 假设该力系的合力作用线经过点B ，则2R R F MF OB O 2)22(])21([22FjFa k j F i a 21 ， 点B 的坐标为)0,0,21(a B ，该力系的力螺旋的中心轴方程为Bz B y B x z z Fy y F x x F R R R z Fy F a x )21(2222210y z a x )21(21 (j)建立图示直角坐标Oxyz ，力系的主矢为 21R F F F思考题5-8图 (i)思考题5-8图 (j))(22)(22k j F j i F )(22k i F ，力系对点O 的主矩为 1F OA M O)(22)(j i F k j i a )()(22j i k j i Fa)(22j i k Fa )(22j i Fa ，力系的第二不变量为 )(22)(22R j i Fa k i F M F Oa F 2210 ， 可见，该力系简化的最简形式为左手力螺旋。