常见函数的图像及函数不等式

常见函数的图像及函数不等式

图像图像

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图像图像2/ 25

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图像图像4/ 25

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常用的放缩公式

对数放缩

1.放缩成一次函数

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()

ln1

x x

+≤ln x x

≤2.放缩成双撇函数

()

ln1

x x

<>

()

ln01

x x

><<()

11

ln,01

2

x x x

x

⎛⎫

>-<<

⎪

⎝⎭

()

11

ln,1

2

x x x

x

⎛⎫

<->

⎪

⎝⎭

3.放缩成二次函数

2

ln x x x

≤-()()

2

1

ln1,10

2

x x x x

+≤--<<()()

2

1

ln1,0

2

x x x x

+≥->

4.放缩成反比例函数

1

ln1

x

x

≥-()1

ln1

1

x

x

+≥

+

()

()

21

ln,1

1

x

x x

x

-

>>

+

()

()

21

ln,01

1

x

x x

x

-

<<<

+

()()

2

ln1,10

1

x

x x

x

+<-<<

+

()()

2

ln1,0

1

x

x x

x

+>>

+

指数放缩

1.放缩成一次函数1

x

e x

≥+x e ex

≥x e x

>

2.放缩成反比例函数

()

1

,0

1

x

e x

x

≤≤

-

()

1

,0

x

e x

x

<-<

3.放缩成二次函数

()

2

1

1,0

2

x

e x x x

≥++>23

11

1

26

x

e x x x

≥+++

指对数放缩

()()

ln112

x

e x x x

-≥+--=

三角函数放缩

tan sin,0

2

x x x x

π

⎛⎫

>><<

⎪

⎝⎭

2

1

sin

2

x x x

≥-22

11

1cos1sin

22

x x x

-≤≤-

以直线1

y x

=-为切线的函数

ln

y x

=11

x

y e-

=-2

y x x

=-

1

1

y

x

=-ln

y x x

=

对数平均值不等式链

a b

>>

若

，则

22

11ln ln2

ab a b a b

a b

a b a b

a b

-+

<=<<<<

+-

+

裂项放缩

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分式放缩

姐妹不等式，即

()0,0b b m a b m a a m +<>>>+；()0,0b b m b a m a a m

+>>>>+； 记忆口诀：“小者小，大者大”；

解释：看字母b ，b 小，则不等式的符号是小于号，反之大于号。

对数平均值不等式链

a b

>>

若，则

22 22

11ln ln22

ab a b a b a b

a a

b b

a b a b

a b

-++

<=<<<<<

+-

+

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