计算机图形与可视化课程设计

课程设计课程名称：计算机图形学与可视化学生姓名：

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课程设计任务书

设

计

题

目

利用迭代函数系统生成分形图案成绩课

程设计主要内容迭代函数系统（Iteration Function System，简称IFS）是以仿射变换为框架，根据几何对象的整体与局部具有自相似的结构，将总体形状以一定的概率按不同的仿射变换迭代下去，直至得到满意的分型图形。迭代函数系统绘制分形图形有两种方法：确定性迭代算法和随机性迭代算法。本文将以此原理出发，分析分形图形的生成方法，探索一些利用IFS产生丰富的分形图形的简便方法及具体应用。

具体内容请看下面的正文。

指导教师评语建议：从学生的工作态度、工作量、设计（论文）的创造性、学术性、实用性及书面表达能力等方面给出评价。

签名： 20 年月日

目录

一．系统功能介绍 (4)

二．设计思路 (6)

三．模块图 (6)

四．小组成员及任务分配 (7)

五．主要算法介绍 (7)

六．源代码 (8)

七．程序使用说明 (8)

八．调试结果 (8)

九．总结 (14)

十．参考文献 (15)

正文：

一．系统功能介绍

迭代函数系统（Iteration Function System，简称IFS）最早是由Hutchision 在1981年提出的。美国佐治亚理工学院的M F Bamsley等人在SIGGRAMPH’88国际会议上对IFS所作的专题报告，使IFS成为分形图像压缩的基础，从而使IFS成为分形图形学最有生命力的领域之一。

迭代函数系统（IFS）是以仿射变换为框架，根据几何对象的整体与局部具有自相似的结构，将总体形状以一定的概率按不同的仿射变换迭代下去，直至得到满意的分形图形。

目前使用的迭代函数系统绘制分形图的算法主要有两种：确定性迭代算法和随机性迭代算法。它们都是通过IFS码进行迭代而产生图形的方法。

确定性迭代算法是通过仿射变换得到的。其基本原理就是找一个初始集，对集上的每一个点，根据给定的仿射变换公式进行数据变换，便可得到新的点集。这样通过多次迭代，便可绘制所需的图形。并且每个图形的局部和整体相似。只要其仿射变换系数相同，即IFS码相同，当迭代次数足够大时，最终生成的图形是相同的。

随机性迭代算法用到了概率，从而可以对图形的细节和颜色进行控制。随机性迭代算法的基本原理就是利用一个给定的IFS码{：j=1，2，…，N}（每一个仿射变换对应于一个概率），从任选的一个初始点（，）出发，依据其概率分布{，，，…，}，从{：j=1，2，…，N}中选择相应的进行仿射变换，可得到新的点（，）。然后再由概率选择相应的进行变换，进而得到新的点（，）。这样反复迭代，便可得到一系列的点{（，），（，），（，），…}。这些点集显示在屏幕上，便得到一个完整的分形图。

分形，又称碎形，通常被定义为“一个粗糙或零碎的几何形状，可以分成数个部分，且每一部分都（至少近似地）是整体缩小后的形状”，即具有自相似的性质。分形思想的根源可以追溯到公元17世纪，而对分形使用严格的数学处理则始于一个世纪后卡尔·魏尔施特拉斯、格奥尔格·康托尔和费利克斯·豪斯多夫对连续而不可微函数的研究。但是分形一词直到1975年才由本华·曼德博创造出，来自拉丁文，有“零碎”、“破裂”之意。一个数学意义上分形的生成是基于一个不断迭代的方程式，即一种基于递归的反馈系统。分形有几种类型，可以分别依据表现出的精确自相似性、半自相似性和统计自相似性来定义。虽然分形是一个数学构造，它们同样可以在自然界中被找到，这使得它们被划入艺术作

品的范畴。分形在医学、土力学、地震学和技术分析中都有应用。

分形一般有以下特质：

1、在任意小的尺度上都能有精细的结构；

2、太不规则，以至无论是其整体或局部都难以用传统欧氏几何的语言来描述；

3、具有（至少是近似的或统计的）自相似形式；

4、一般地，其“分形维数”会大于拓扑维数；

5、在多数情况下有着简单的递归定义。

因为分形在所有的大小尺度下都显得相似，所以通常被认为是无限复杂的。自然界里一定程度上类似分形的事物有云、山脉、闪电、海岸线、雪片、植物根、多种蔬菜（如花椰菜和西兰花）和动物的毛皮的图案等等。但是，并不是所有自相似的东西都是分形，如实直线虽然在形式上是自相似的，但却不符合分形的其他特质，比如说它能被传统的欧氏几何语言所描述。

四个制造分形的一般技术如下：

1、逃逸时间分形：由空间（如复平面）中每一点的递推关系式所定义，例如曼德博集合、茹利亚集合、火烧船分形、新分形和李奥普诺夫分形等。由一次或两次逃逸时间公式的迭代生成的二维向量场也会产生分形，若点在此一向量场中重复地被通过。

2、迭代函数系统：这些分形都有着固定的几何替代规则。康托尔集、谢尔宾斯基三角形、谢尔宾斯基地毯、空间填充曲线、科赫雪花、龙形曲线、丁字方形、门格海绵等都是此类分形的一些例子。

3、随机分形：由随机而无确定过程产生，如布朗运动的轨迹、莱维飞行、分形风景和布朗树等。后者会产生一种称之为树状分形的分形，如扩散限制聚集或反应限制聚集丛。

4、奇异吸引子：以一个映射的迭代或一套会显出混沌的初值微分方程所产生。

分形也可以依据其自相似来分类，有如下三种：

1、精确自相似：这是最强的一种自相似，分形在任一尺度下都显得一样。由迭代函数系统定义出的分形通常会展现出精确自相似来。

2、半自相似：这是一种较松的自相似，分形在不同尺度下会显得大略（但非精确）相同。半自相似分形包含有整个分形扭曲及退化形式的缩小尺寸。由递推关系式定义出的分形通常会是半自相似，但不会是精确自相似。

3、统计自相似：这是最弱的一种自相似，这种分形在不同尺度下都能保有固定