《一元二次方程》PPT课件三
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21-2 解一元二次方程 课件(共33张PPT)
2×2 2
小练习
用公式法解下列一元二次方程：
（3）5x2-3x=x+1
（4）x2+17x=8x
解：方程化为5x2-4x-1=0
解：方程化为x2-8x+17=0
a=5,b=-4,c=-1.
a=1,b=-8,c=17.
Δ=b2-4ac=(-4)2-4×5×（-1）=36＞0. Δ=b2-4ac=(-8)2-4×1×17=-4＜0.
因式分解，可以考虑配方法；
（4）三项都有，且二次项系数不为1时的，一般可以用公式法。
小练习
例 3：解方程：x2-6x-16=0。
解：原方程变形为（x-8)(x+2）=0。
于是，得x-8=0或x+2=0
∴x1=8，x2=-2
解析：一元二次方程的解法有：配方法，公式法和因式分解法，解题时要
注意选择合适的解题方法。解此一元二次方程选择因式分解法最简单，因
（3）求解b2-4ac的值，如果b2-4ac≥0；
−± 2−4
（4）代入公式x=
，即可求出一元二次方程的根。
2
知识梳理
例 2：用公式法解方程x2-3x-1=0正确的解为（ D ）
−3± 13
A. x1,2=
2
3± 5
C.x1,2=
2
B.
D.
−3± 5
x1,2=
2
3± 13
x1,2=
2
解析：x2-3x-1=0。这里a=1，b=-3,c=-1。
Δ=b2-4ac=(-4)2-4×1×（-7）=44＞0. Δ=b2-4ac=(-2 2)2-4×2×1=0.
−± 2−4
方程有两个不等的实数根x=
2
小练习
用公式法解下列一元二次方程：
（3）5x2-3x=x+1
（4）x2+17x=8x
解：方程化为5x2-4x-1=0
解：方程化为x2-8x+17=0
a=5,b=-4,c=-1.
a=1,b=-8,c=17.
Δ=b2-4ac=(-4)2-4×5×（-1）=36＞0. Δ=b2-4ac=(-8)2-4×1×17=-4＜0.
因式分解，可以考虑配方法；
（4）三项都有，且二次项系数不为1时的，一般可以用公式法。
小练习
例 3：解方程：x2-6x-16=0。
解：原方程变形为（x-8)(x+2）=0。
于是，得x-8=0或x+2=0
∴x1=8，x2=-2
解析：一元二次方程的解法有：配方法，公式法和因式分解法，解题时要
注意选择合适的解题方法。解此一元二次方程选择因式分解法最简单，因
（3）求解b2-4ac的值，如果b2-4ac≥0；
−± 2−4
（4）代入公式x=
，即可求出一元二次方程的根。
2
知识梳理
例 2：用公式法解方程x2-3x-1=0正确的解为（ D ）
−3± 13
A. x1,2=
2
3± 5
C.x1,2=
2
B.
D.
−3± 5
x1,2=
2
3± 13
x1,2=
2
解析：x2-3x-1=0。这里a=1，b=-3,c=-1。
Δ=b2-4ac=(-4)2-4×1×（-7）=44＞0. Δ=b2-4ac=(-2 2)2-4×2×1=0.
−± 2−4
方程有两个不等的实数根x=
2
《一元二次方程》PPT课件
75 1 x 2 108
整理，得 25x2 50x 11 0 ②
课堂小结
概念
① 是整式方程； ② 只含有一个未知数； ③ 最高次数是2
一元二 次方程
一般形式
ax2+bx+c=0 (a ≠0) 其中(a≠0)是一元二次 方程的必要条件
讲授新课
知识点 一元二次方程的相关概念
问题1：幼儿园某教室矩形地面的长为8 m,宽为5 m,现 准备在地面正中间铺设一块面积为18 m2 的地毯 ,四周未 铺地毯的条形区域的宽度都相同,你能求出这个宽度吗？
解：如果设所求的宽为 x m ,那么 x (8 – 2x)
地毯中央长方形图案的长为
x
x
(8 - 2x)m,宽为 (5 - 2x) m,根据
该方程中未知数的个数 和最高次数各是多少？
观察与思考
方程①②③都不是一元一次方程.那么这两个方程与 一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？
① 2x2 - 13x + 11 = 0 ；② x2 - 8x - 20＝0； ③ x2 + 12 x - 15 = 0.
特点: 1.只含有一个未知数; 2.未知数的最高次数是2; 3.整式方程．
根据题意有，
0
3 4
整理，得 x2 2500 0 ①
200cm
(2) 如图，据某市交通部门统计，前年该市汽车拥有量 为75万辆，两年后增加到108万辆.求该市两年来汽车拥 有量的年平均增长率x应满足的方程. 解：该市两年来汽车拥有量的 年平均增长率为x 根据题意有，
解：(1)将方程式转化为一般形式，得(a-2)x2-x=0, 所以当a-2≠0，即a≠2时，原方程是一元二次方程；
(2)由∣a ∣+1 =2，且a-1 ≠0知，当a=-1时，原方 程是一元二次方程.
整理，得 25x2 50x 11 0 ②
课堂小结
概念
① 是整式方程； ② 只含有一个未知数； ③ 最高次数是2
一元二 次方程
一般形式
ax2+bx+c=0 (a ≠0) 其中(a≠0)是一元二次 方程的必要条件
讲授新课
知识点 一元二次方程的相关概念
问题1：幼儿园某教室矩形地面的长为8 m,宽为5 m,现 准备在地面正中间铺设一块面积为18 m2 的地毯 ,四周未 铺地毯的条形区域的宽度都相同,你能求出这个宽度吗？
解：如果设所求的宽为 x m ,那么 x (8 – 2x)
地毯中央长方形图案的长为
x
x
(8 - 2x)m,宽为 (5 - 2x) m,根据
该方程中未知数的个数 和最高次数各是多少？
观察与思考
方程①②③都不是一元一次方程.那么这两个方程与 一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？
① 2x2 - 13x + 11 = 0 ；② x2 - 8x - 20＝0； ③ x2 + 12 x - 15 = 0.
特点: 1.只含有一个未知数; 2.未知数的最高次数是2; 3.整式方程．
根据题意有，
0
3 4
整理，得 x2 2500 0 ①
200cm
(2) 如图，据某市交通部门统计，前年该市汽车拥有量 为75万辆，两年后增加到108万辆.求该市两年来汽车拥 有量的年平均增长率x应满足的方程. 解：该市两年来汽车拥有量的 年平均增长率为x 根据题意有，
解：(1)将方程式转化为一般形式，得(a-2)x2-x=0, 所以当a-2≠0，即a≠2时，原方程是一元二次方程；
(2)由∣a ∣+1 =2，且a-1 ≠0知，当a=-1时，原方 程是一元二次方程.
《一元二次方程——用配方法求解一元二次方程》数学教学PPT课件(3篇)
知2－讲
(2) 移项，得
2x2－3x＝－1.
x2
二次项系数化为1，得
3
1
x .
2
2
2
2
3
1 3
3
x x .
2
2 4
4
2
配方，得
2
3
1
x
=
.
4
16
3
1
x ,
4
4
由此可得
x1 1, x2
1
2
知2－讲
(3)移项，得
(1)当p>0时，方程(Ⅱ)有两个不等的实数根
x1＝－n－
p ，x
2＝－n＋
p；
(2)当p＝0时，方程(Ⅱ)有两个相等的实数根
x1＝x2＝－n；
(3)当p<0时，因为对任意实数x，都有(x＋n)2≥0，
所以方程(Ⅱ)无实数根．
知2－练
1 用配方法解下列方程，其中应在方程左右两边同时 加上4的
是(
)
12.在实数范围内定义一种新运算“※”,其规则为a※b=a2-b2,根据这个规则求方程( 2x1 )※( -4 )=0的解.
解:根据新定义得( 2x-1 )2-( -4 )2=0,
即( 2x-1 )2=( -4 )2,
5
3
∴2x-1=±4,∴x1=2,x2=-2.
-41-
第二章
2.2 用配方法求解一元二次方程
2
3
1
A.x,-4
B.2x,-2
3
3
C.2x,D.x,2
2
C )
10.已知关于x的多项式-x2+mx+4的最大值为5,则m的值为( B )
九上数学课件 用一元二次方程解决问题3(课件)
分析：设缉私艇从C处到B处需 A
B北
航行xh，则AB＝60x km，BC＝
75xkm．根据题意，可知△ABC
是直角三角形，利用勾股定理可 C 以列出方程．
解：设缉私艇从C处到B处需航行xh，则AB＝60xkm，BC＝75xkm．
根据题意，得△ABC是直角三角形，AC＝30km.
于是（60x)2 ＋ 302 ＝(75x)2．
【答案】
（3）设经过 x 秒钟后 PQ＝BQ，则 PC=6 xcm ，QC 2xcm ，BQ=8 2xcm ，
6 x2 2x2 8 2x2 ， 解得： x1 10 8 2 ， x2 10 8 2 （不合题意，舍去）， 答：经过 10 8 2 秒钟后 PQ＝BQ．
总结反思
知识点 用一元二次方程解决动点运动类问题
【答案】（2）设 P 出发 t 秒时 S QPC 4cm2 ，则 Q 运动的时间为t 2 秒，由
题意得： 1 6 t2t 2 4 ， 2
∴ t2 8t 16 0 ， 解得： t1 t2 4 ． 因此经 4 秒点 P 离 A 点 1×4＝4cm，点 Q 离 C 点 2×（4﹣2）＝4cm，符 合题意． 答：P 先出发 2 秒，Q 再从 C 出发，经过 2 秒后 S QPC 4cm2 ．
【答案】（2）经过 15﹣ 15 h 就会进入台风影响区；
【变式 1】如图，一艘轮船以 30km/h 的速度沿既定航线由南向北航行，途中 接到台风警报，某台风中心正以 10km/h 的速度由东向西移动，距台风中心 200km 的圆形区域（包括边界）都属台风影响区，当这艘轮船接到台风警报时， 它与台风中心的距离 BC=500km，此时台风中心与轮船既定航线的最近距离 AB=300km． （3）假设轮船航向不变，轮船航行速度不变，求受到台风影响的时间为多少 小时？
一元二次方程课件ppt
（4）原方程变形为 (xm)2 n 形式
（5）如果右边为非负数，直接开平方法 求出方程的解，如果右边是负数，一元二 次方程无解。
心动 不如行动
例1: 用配方法解方程
x26x70
解: 移项得：x26x7
配方得：x26x32732
即(x3)2 16
开平方得： x34
∴原方程的解为：x11, x27
范例研讨运用新知
x12;x21.
学习是件很愉快的事
淘金者
❖ 你能用分解因式法解下列方程吗？
1 .x2-4=0; 解：1.(x+2)(x-2)=0,
2.(x+1)2-25=0. 2.[(x+1)+5][(x+1)-5]=0,
∴x+2=0,或x-2=0. ∴x1=-2, x2=2.
∴x+6=0,或x-4=0. ∴x1=-6, x2=4.
a，b，c满足什么条件时，方程的两根互
为相反数？
解：一元二次方程 a2 xb xc0a0的解为：
x 1 b 2 b a 2 4 a,x c 2 b 2 b a 2 4 ac
x1x2
b b24acb b24ac
2a
2a
b b 2a 2a
b0
❖用“因式分
解法”解一元 二次方程
回顾与复习 1
1.我们已经学过了几种解一元二次方程
1.x2 7;
2.3y2y1.4
解:1.一元二次方程解: 2.一元二次方程
x2 70
3y2 y 14 0
的两个根 x1 是7,x2 7. x27(x7)x (7).
的3两y2个y根1 是y1 4 3 (2y, y22)y (73 . 7).
3
（5）如果右边为非负数，直接开平方法 求出方程的解，如果右边是负数，一元二 次方程无解。
心动 不如行动
例1: 用配方法解方程
x26x70
解: 移项得：x26x7
配方得：x26x32732
即(x3)2 16
开平方得： x34
∴原方程的解为：x11, x27
范例研讨运用新知
x12;x21.
学习是件很愉快的事
淘金者
❖ 你能用分解因式法解下列方程吗？
1 .x2-4=0; 解：1.(x+2)(x-2)=0,
2.(x+1)2-25=0. 2.[(x+1)+5][(x+1)-5]=0,
∴x+2=0,或x-2=0. ∴x1=-2, x2=2.
∴x+6=0,或x-4=0. ∴x1=-6, x2=4.
a，b，c满足什么条件时，方程的两根互
为相反数？
解：一元二次方程 a2 xb xc0a0的解为：
x 1 b 2 b a 2 4 a,x c 2 b 2 b a 2 4 ac
x1x2
b b24acb b24ac
2a
2a
b b 2a 2a
b0
❖用“因式分
解法”解一元 二次方程
回顾与复习 1
1.我们已经学过了几种解一元二次方程
1.x2 7;
2.3y2y1.4
解:1.一元二次方程解: 2.一元二次方程
x2 70
3y2 y 14 0
的两个根 x1 是7,x2 7. x27(x7)x (7).
的3两y2个y根1 是y1 4 3 (2y, y22)y (73 . 7).
3
一元二次方程的解法(三)PPT课件
公式法
一般地,对于一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)
当b2 4ac 0时,它的根是:
x b b2 4ac . b2 4ac 0 . 2a
上面这个式子称为一元二次方程的求根公式. 用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法 (solving by formular).
公式法将从这里诞生
你能用配方法解方程 你能用配方法解方程
2x2-9x+8=0 吗?
ax2 bx c 0 吗?
解 : x2 9 x 4 0. 2
x2 9 x 4. 2
x2
9
x
9
2
9
2
4.
2 4 4
x 9 2 17 . 4 16
x 9 17 . 44
x 9 17 . 44
回顾与复习 1
配方法
我们通过配成完全平方式的方法,得到了一元二次方 程的根,这种解一元二次方程的方法称为配方法
(solving by completing the square)
助手 用配方法解一元二次方程的方法的
:
平方根的意义: 如果x2=a,那么x= a.
完全平方式:式子a2±2ab+b2叫完全平方式,且 a2±2ab+b2 =(a±b)2.
解 : x2 b x c 0. aa
x2 b x c . aa
x2 b
x
b
2
b
2
c.
a 2a 2a a
x
b 2a
2
b2 4ac 4a2
.
当b2 4ac 0时,
x b
b2 4ac .
2a
2a
x b b2 4ac . b2 4ac 0 . 2a
《一元二次方程》数学PPT课件(10篇)
4-7x2=0
一般形式
二次项 一次项 常数项 系数 系数
3x2－5x＋1＝0
3 －5 1
1x2 ＋1x－8＝0
1
－7x2 ＋4＝0 或－7x2 ＋00x＋4＝0 －7
或7x2 － 4＝0
7
1 －8
04 0 －4
抢答： 一元二次方程
2x2+x+4=0
-4y2+2y=0 3x2-x-1=0
4x2-5=0
二次项系数
一次项系数
例1：判断下列方程是否为一元二次方程？
(1)x2+x =36
(2) x3+ x2=36
(3)x+3y=36
(4)
1 x2
2 x
0
(5) x+1=0 (6) x2 6 (7)4x2 1 (2x 3)2 3
(8)( x )2 2 x 6 0
练习巩固
下列方程哪些是一元二次方程? 为什么？ (1)7x2－6x＝0 (2)2x2－5xy＋6y＝0
?
问题(1) 有一块矩形铁皮,长100㎝,宽50㎝,在
它的四角各切去一个正方形,然后将四周突出部 分折起,就能制作一个无盖方盒,如果要制作的方 盒的底面积为3600平方厘米,那么铁皮各角应切 去多大的正方形?
分析:
设切去的正方形的边长为xcm,
则盒底的长为 (100-2x)cm ,宽
为 (50-2x)cmБайду номын сангаас.
① 只含一个未知数;
②未知数的最高次数是2.
③ 都是整式方程;
一元二次方程的一般形式
一般地,任何一个关于x 的一元二次方程都可以
化为 ax2 bx的形c 式0,我们把
一般形式
二次项 一次项 常数项 系数 系数
3x2－5x＋1＝0
3 －5 1
1x2 ＋1x－8＝0
1
－7x2 ＋4＝0 或－7x2 ＋00x＋4＝0 －7
或7x2 － 4＝0
7
1 －8
04 0 －4
抢答： 一元二次方程
2x2+x+4=0
-4y2+2y=0 3x2-x-1=0
4x2-5=0
二次项系数
一次项系数
例1：判断下列方程是否为一元二次方程？
(1)x2+x =36
(2) x3+ x2=36
(3)x+3y=36
(4)
1 x2
2 x
0
(5) x+1=0 (6) x2 6 (7)4x2 1 (2x 3)2 3
(8)( x )2 2 x 6 0
练习巩固
下列方程哪些是一元二次方程? 为什么？ (1)7x2－6x＝0 (2)2x2－5xy＋6y＝0
?
问题(1) 有一块矩形铁皮,长100㎝,宽50㎝,在
它的四角各切去一个正方形,然后将四周突出部 分折起,就能制作一个无盖方盒,如果要制作的方 盒的底面积为3600平方厘米,那么铁皮各角应切 去多大的正方形?
分析:
设切去的正方形的边长为xcm,
则盒底的长为 (100-2x)cm ,宽
为 (50-2x)cmБайду номын сангаас.
① 只含一个未知数;
②未知数的最高次数是2.
③ 都是整式方程;
一元二次方程的一般形式
一般地,任何一个关于x 的一元二次方程都可以
化为 ax2 bx的形c 式0,我们把
初中数学《一元二次方程》教育教学课件
方程解法 之 基本方法 • 开平方法
【之一 开平方法】
（1）形如x2=p(p≥0)或(mx+n)2=p(p≥0)的一元二次方程可采用直接开平方法解一元二 次方程 。
（2）如果方程化成x2=p(p≥0)的形式，那么可得x=± p 。 （3）如果方程能化成(mx+n)2=p(p≥0)的形式，那么mx+n=± p ，进而得出方程的根。
（x-2)(x+2)=0
即 x+2=0或x-2=0 ∴ x1=-2，x2= 2
方程解法 之 基本方法 • 因式分解法
十字相乘法
十字相乘法是因式分解法解 一元二次方程中一个重要的部分。 一元二次方程左边为二次三项式， 形如x²+(p+q)x+pq=0，可化为 (x+p)(x+q)=0，从而得出：
x1=-p;x2=-q。
方程解法 之 基本方法 • 配方法
配方法的口诀
二次系数化为一， 分开常数未知数； 一次系数一半方， 两边加上最相当。
【例题】
1、解方程 x²+2x－3=0 解：把常数项移项得：x²+2x=3 等式两边同时加1（构成完全平方式）得：
x²+2x+1=4 配方得：（x+1)²=4 ∴ x1=-3 , x2=1
根据题意，得 [100(1+x)-50](1+ x)=63. 整理，得 50x2+125x-13=0. 解得x1=0.1 ，x2=-2.6 . ∵x2=-2.6 不合题意， ∴x= 10%. 答:第一次存款时的年利率为10%。
解应用题 之 精选例题
概念解析 之 四种形式
【一般形式】
ax²+bx+c=0（a≠0）
用公式法求解一元二次方程课件 (共25张PPT)
复习引入
（4） 4 x2 3x 2 0.
3 1 解：两边同时除以4，得 x x 0 . 4 2 3 1 2 移项，得 x x= . 4 2 2 2 3 1 3 3 2 配方，得 x x = ， 4 8 2 8 2 3 23 即 x = . 8 64 ∴此方程无实数根.
2
2 b b 4ac 0. 即： x 2 2a 4a 2
b b2 4ac 移项，得 x = . 2 2a 4a
2
下面该怎么 运算？有条 件限制吗？
探索新知
ax2 bx c 0 a 0
2 b b 4ac 2 当 b 4ac ≥0时，开平方得 x = . 2 2a 4a
（1）x 5x 4 0；
2
∵ b 4ac ＞0，∴方程有两个不相等的实数根.
2
（2） 4x2 7 6 x；
2 b 4ac ＜0，∴方程没有实数根. ∵
（3） 2 x 2 6 x 3 0.
2
2 ∵ b 4ac ＝0 ，∴方程有两个相等的实数根.
1 解：两边都除以2，得：x 2 x 0 . 2
2
1 移项，得 x 2 x= . 2
2
2
1 配方，得 x 2 x 1= 1 . 2 3 2 即 x 1 = . 2
6 6 ∴ x1 1 ，x2 =1+ . 2 2
复习引入
（2）x2 1.5= 3x；
2
分析：（1）确定a,b,cLeabharlann 值；（2）判断方程是否有根；
（3）写出方程的根.
新知应用
（1）x 7 x 18 0； 例1 解方程：
新冀教版九年级数学上册《 一元二次方程的应用(三)》公开课课件
x－270 x－270 设每套设备的月租金应定为 x 元， 则(40－ )x － ×20＝11 040， 10 10
即 x2－650x＋105 000＝0，解得 x1＝300，x2＝350，因要提高市场占有率， 则 x＝350 应舍去，故每套设备的月租金应定为 300 元
6．(4分)在同一平面内的n条直线两两相交，最多共有28个交点，则n 8 ＝________ ． 7．(4分)某课外活动小组有若干人，圣诞晚会上互送贺卡一张，全组 9 人共送出贺卡72张，则此小组共有________ 人． 8 ．(4 分)某单位要组织一次篮球赛，赛制为单循环形式 (每两队之间 都赛一场)，计划安排10场比赛，则参加比赛的球队应有 ( C )
13．(14分)春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游，推出如
下收费标准：某单位组织员工去天水湾风景区旅游，共支付给春秋
旅行社旅游费用27 000元，请问该单位这次共有多少员工去天水湾风 景区旅游？
设该单位共有x名员工去天水湾风景区旅游．∵1 000×25＝25 000＜ 27 000，∴员工人数一定超过25人，依题意得[1 000－20(x－25)]x＝ 27 000，整理得x2－75x＋1 350＝0，解得x1＝45，x2＝30，当x＝45
3．(4分)某种文化衫，平均每天销售40件，每件盈利20元，若每件降价 1 元， 则 每 天可 多 售 10 件， 如 果 每 天要 盈 利 1 080 元，每 件应 降价
_______________ ． 2元或14元
4．(4分)某商场将某种商品的售价从原来的每件40元经两次调价后调至 每 件 32.4 元 ， 若 该 商 品 两 次 调 价 的 降 价 率 相 同 ， 则 这 个 降 价 率 为 10% ．经调查，该商品每降价0.2元，即可多销售10件．若该商品 ________ 880 件． 原来每月销售500件，那么两次调价后，每月可销售商品________
21.1一元二次方程 课件人教版数学九年级上册
一般形式
ax²+bx+c=0(a≠0)
其中(a≠0) 是一元二次方程的必要 条件；
解(根)
使方程左右两边相等的未知数的值.
21： 3.一元二次方程的根
【知识技能类作业】必做题：
1. 若x=1 是方程x²-2x+a=0 的根，则a=_ 1 2.关于x的方程(2a -4)x²-2x+a=0, 1)在什么条件下此方程为一元二次方程? 2)在什么条件下此方程为一元一次方程?
4.若a是一元二次方程x²+2x-3=0的一个根，则2a²+4a的值是 6
【综合拓展类作业】
5 . (1)当m 为何值时，关于x的方程(m²-1)x²+mx-2=0 是一元二次方程?
(2)已知关于x的一元二次方程(m²-1)x²+mx-3-m=0 的值 .
有一个根是0 , 求m
(3)在第(2)题中，如果要使已知方程有一个根是1,那么m 应该等于什么
(2)两个连续偶数的积为168,求较大的偶数x; x²-2x-168=0 (3)一个直角三角形的两条直角边的长的和是20,面积是25,求其中一条直角边的长x.
x²-20x+50=0
【知识技能类作业】必做题：
3.若一元二次方程2x²+(2k+1)x-(4k-1)=0 的二次项系数、一次项系 数、常数项的和是0,则k= 2. 4.方程2x²=-8 化成一般形式后，二次项系数为2 ,一次项系数为0 , 常数项为 8 ●
基于以上分析，确定本节课的教学重点为：通过一元一次方程的概念，类比得 出一元二次方程的概念。
1.理解一元二次方程的概念，根据一元二次方程的一般形式，确定各项系数. 2.灵活应用一元二次方程概念解决有关问题.
一元二次方程ppt课件
定义
一元二次方程是一个整式方程， 其一般形式为ax^2 + bx + c = 0 ，其中a、b、c是常数，且a≠0。
解释
一元二次方程只含有一个未知数， 并且未知数的最高次数是2。
举例
如2x^2 + 3x - 4 = 0，3x^2 - 5x + 2 = 0等。
一元二次方程的一般形式
形式
ax^2 + bx + c = 0，其中a、b 、c是常数，且a≠0。
判断下列哪个方程有两个不相 等的实数根，并说明理由： x^2 + 2x + 1 = 0
综合练习题
对于任何一个一元二次方程，如 何判断它的根的情况？
根据一元二次方程的特点，如何 利用配方法求解其根？
对于一个一元二次方程，如果它 的根的判别式小于0，那么这个
方程有什么特点？
CHAPTER 07
总结与回顾
• 如果Δ>0，方程有两个不同的实数解；
根的判别式的性质
• 如果Δ=0，方程有两个相同的实 数解；
• 如果Δ<0，方程没有实数解。
根的判别式的应用
通过根的判别式，我们可以快速判断一元二次方程的实数解的情况，不 需要求解方程。
在数学、物理、工程等领域中，根的判别式被广泛应用于解决涉及二次 方程的问题。
加强对一元二次方程的应用，结合实际 生活和相关学科，拓展应用领域。
进一步学习其他数学知识和方法，为后 培养自主学习和终身学习的意识，不断
续学习和工作打下坚实的基础。
学习和进步。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
公式法
通过配方法或公式法求解。
求根公式法
当Δ=b^2-4ac≥0时，方程有 实数解。此时，x=(b±√Δ)/(2a)。
一元二次方程是一个整式方程， 其一般形式为ax^2 + bx + c = 0 ，其中a、b、c是常数，且a≠0。
解释
一元二次方程只含有一个未知数， 并且未知数的最高次数是2。
举例
如2x^2 + 3x - 4 = 0，3x^2 - 5x + 2 = 0等。
一元二次方程的一般形式
形式
ax^2 + bx + c = 0，其中a、b 、c是常数，且a≠0。
判断下列哪个方程有两个不相 等的实数根，并说明理由： x^2 + 2x + 1 = 0
综合练习题
对于任何一个一元二次方程，如 何判断它的根的情况？
根据一元二次方程的特点，如何 利用配方法求解其根？
对于一个一元二次方程，如果它 的根的判别式小于0，那么这个
方程有什么特点？
CHAPTER 07
总结与回顾
• 如果Δ>0，方程有两个不同的实数解；
根的判别式的性质
• 如果Δ=0，方程有两个相同的实 数解；
• 如果Δ<0，方程没有实数解。
根的判别式的应用
通过根的判别式，我们可以快速判断一元二次方程的实数解的情况，不 需要求解方程。
在数学、物理、工程等领域中，根的判别式被广泛应用于解决涉及二次 方程的问题。
加强对一元二次方程的应用，结合实际 生活和相关学科，拓展应用领域。
进一步学习其他数学知识和方法，为后 培养自主学习和终身学习的意识，不断
续学习和工作打下坚实的基础。
学习和进步。
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公式法
通过配方法或公式法求解。
求根公式法
当Δ=b^2-4ac≥0时，方程有 实数解。此时，x=(b±√Δ)/(2a)。
《一元二次方程的解法》课件PPT 苏科版
方式的结构特征，当二次项系数为1时， 常数 项是一次项系数一半的平方．
感悟新知
归纳
知1－讲
1. 当二次项系数为 1 时， 已知一次项的系数， 则常数项为一次项系数一半的平方；已知常 数项，则一次项系数为常数项的平方根的两 倍．注意有两个．
2. 当二次项系数不为1时，则先化二次项系数 为1，然后再配方．
由此可得
x 4 15,
x1 4 15, x2 4 15.
知2－练
感悟新知
(2) 移项，得 2x2－3x＝－1.
二次项系数化为1，得 x2 3 x 1 .
配方，得
x2
3 2
x
3 4
2
2
1 2
322
4
.
x
3 4
2
=
1 16
.
由此可得
x3 1, 44
x1
1,
x2
1 2
知2－练
知2－练
(2)2x2＋1＝3x；
分析：(1) 方程的二次项系数为1，直接运用配方法．
(2) 先把方程化成2x2－3x＋1＝0.它的二次项系数
为2，为了便于配方，需将二次项系数化为1，
为此方程的两边都除以2.
感悟新知
解： (1) 移项，得 x2－8x＝－1.
配方，得 x2－8x＋42＝－1＋42， (x－4)2＝15.
感悟新知
1 填空：
(1)x2＋10x＋_2_5__＝(x＋__5__)2；
知1－练
(2)x2－12x＋_3_6__＝(x－__6__)2；
(3)x2＋5x＋____＝(x＋____)2； 2
(4)x2－ 3 x＋____＝(x－____)2.
2 将代数式a2＋4a－5变形，结果正确的是( D )
感悟新知
归纳
知1－讲
1. 当二次项系数为 1 时， 已知一次项的系数， 则常数项为一次项系数一半的平方；已知常 数项，则一次项系数为常数项的平方根的两 倍．注意有两个．
2. 当二次项系数不为1时，则先化二次项系数 为1，然后再配方．
由此可得
x 4 15,
x1 4 15, x2 4 15.
知2－练
感悟新知
(2) 移项，得 2x2－3x＝－1.
二次项系数化为1，得 x2 3 x 1 .
配方，得
x2
3 2
x
3 4
2
2
1 2
322
4
.
x
3 4
2
=
1 16
.
由此可得
x3 1, 44
x1
1,
x2
1 2
知2－练
知2－练
(2)2x2＋1＝3x；
分析：(1) 方程的二次项系数为1，直接运用配方法．
(2) 先把方程化成2x2－3x＋1＝0.它的二次项系数
为2，为了便于配方，需将二次项系数化为1，
为此方程的两边都除以2.
感悟新知
解： (1) 移项，得 x2－8x＝－1.
配方，得 x2－8x＋42＝－1＋42， (x－4)2＝15.
感悟新知
1 填空：
(1)x2＋10x＋_2_5__＝(x＋__5__)2；
知1－练
(2)x2－12x＋_3_6__＝(x－__6__)2；
(3)x2＋5x＋____＝(x＋____)2； 2
(4)x2－ 3 x＋____＝(x－____)2.
2 将代数式a2＋4a－5变形，结果正确的是( D )
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x 根据题意，得 x(19 2x) 24
化简得 -2x2 19x -24 0
问题情境
（4）新年到了，好朋友之间互相发信息问候成 为新的拜年方式，某朋友圈的所有的人都发给 其他人一条信息，一共发了72条信息，这个朋 友圈一共有多少人？
解： 这个朋友圈一共有x人
由题意得 x(x 1) 72
化简得:x2 x 72 0
一元二次方程
早知内容：
1、方程：含有未知数的等式叫方程 2、方程的解：能使方程左右两边相等的未知数的值就 叫方程的解
3、方程的根：一元方程的解又叫方程的根 3、一元一次方程：含有一个未知数，并且未知数的最 高次数为1的整式方程 4、二元一次方程：含有两个未知数，并且未知数的项最 高次数为1的整式方程 5、分式方程：分母中含有未知数的方程 6、根式方程：根号下含有未知数的方程 7、一元二次方程：含有一个未知数，并且未知数的最高 次数为2的整式方程 8、一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0
x 1
• （4） x 2 4 (x 2)2
精讲点拨
★.判断一个方程是否是一元二次方程不能只看表 面、而是能化简必须先化简、然后再查看这个方 程未知数的最高次数是否是2。
x2 2 0
2x2 19x 24 0
5x2 10x 2.2 0
a x 2+ b x + c = 0
(a、b、c为常数且a ≠ 0)
一元二次方程特点: ①是整式方程; ②只含一个未知数; ③未知数的最高次数是2.
看
(1)x2 x 1 是
谁
眼
(2)x2 1 是
力
好
(3)x2 3x 2 y=0 不是 ！
尝试练习
• 1判断下列方程是否为一元二次方程？ • （1） 3x 2 5y 3
• （2） x 2 4
• （3） x 2 1 x2
(m-3)x2-(m-1)x-m=0(m≠3)
3x(x-1)=5(x+2)
二次项 一次项 常数项 系数 系数
2
1
4
-4
2
0
3
-1
-1
4
0
-5
m-3 1-m -m
例题例讲题解讲解
• 将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次 项、一次项和常数项及它们的系数：
• (1) 3x(x 1) 5(x 2) 解： 3x2 3x 5x 10 3x2 3x 5x 10
则a的值为B
A.1 B.-1 C.1或-1 D.0
?
拓展提高
1.已知方程x2+mx－12=0的一个根是x=－2，
求m的值。 m=-4
2.方程(x－1)(x+3)(x －2)=0的解为_x1_=_1_,x_2=_-_3_,x_3=_2__.
4.已知m是方程x2+x－2014=0的一个根，
求m2+m的值为 2014
。
精讲点拨
★.运用根的定义解决问题的思路： 将方程的根代入原方程
拓展提高
.已知m是方程x2 3x 1 0
问题情境
（4）我校图书馆的藏书在两年内从5万册增加 到7.2万册，平均每年增长的百分率是多少？
解： 设平均每年增长的百分 率是x.
根据题意，得 5(1 x)2 7.2
化简得5x2 10x 2.2 0
x2 2 0
2x2 19x 24 0
x2 x 72 0
5x2 10x 2.2 0
课堂练习
完成《时》P1的2、5两题
练习巩固
若关于x的方程2mx（x-1）-nx（x+1）=1，化成 一般形式后为4x2-2x-1=0，求m、n的值。
比较系数法
方程解的定义是怎样的呢?
能使方程左右两边相等的 未知数的值就叫方程的解
思考:
你能否说出下列方程的解? 1) x2 36 0 2) (x 1)(x 3) 0 3) (x 6)(x 3) 0
这三个方程是不是一元一次方程？有何特点？
特点:
x2 2 0
2x2 19x 24 0
x2 x 72 0
5x2 10x 2.2 0
①都是整式方程;
②只含一个未知数;
③未知数的最高次数是2.
x2 2 0
2x2 19x 24 0
5x2 10x 2.2 0
一元二次方程的概念
只含有一个未知数(一元)，并且未 知数的最高次数是2(二次)的整式方程 叫做一元二次方程
3x2 8x 10 0
二次项：3x2.其系数为3. 一次项：－8x，其系 数为－8
常数项为－10
精讲点拨
★.一元二次方程的一般形式中“＝”的左边最多 三项、其中一次项、常数项可以不出现、但二次 项必须存在、而且左边通常按x的降幂排列：特别 注意的是“＝”的右边必须整理成0。
一元二次方程：a≠0 一般形式： “＝”的右边必须为0
二次项系数 一次项系数
a x 2+ b x + c = 0
(a、b、c为常数且a ≠ 0) a x 2 又叫二次项
b x叫一次项
c为常数项
注意：二次项、二次项系数、 一次项、一次项系数、常数项 都是包括符号的
抢答：
一元二次方程
2x2+x+4=0
-4y2+2y=0 3x2-x-1=0
4x2-5=0
一元二次方程的一般形式
我们把形如 ax2 bx c 0 (a,b,c为常数，a≠0）称
为一元二次方程的一般形式。
为什么要限制a≠0， b,c可以为零吗？
练习巩固
1.关于x的方程(k－3)x2 ＋ 2x－1＝0,
当k ≠3 时，是一元二次方程． 2.关于x的方程(k2－1)x2 ＋ 2 (k－1) x ＋ 2k ＋ 2＝0, 当k ≠±1 时，是一元二次方程． 当k ＝－1 时，是一元一次方程．
一元二次方程的根的情况与一元一 次方程有什么不同吗?
练习:
1)下面哪些数是方程x2 x 6 0 的根?
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
2)你能写出方程x2 x 0 的根吗?
0或1 即:平方后是它本身的数是哪些?
例题讲解
已知关于x的一元二次方程 (a 1)x2 x a2 1 0的一根是x 0
(a≠0、a、b、c为常数)
问题情境
（1）正方形桌面的面积是2m2，求它的边长？
m2
xm 解：设正方形桌面的边长是
x2 2
化简得x2 - 2 = 0
（2）矩形花圃一面靠墙，另外三面所围的栅栏的总
长度是19米。如果花圃的面积是24m2，求花圃的长和
宽？
解：设花圃的宽是 xm, 则花圃来自的长是 (19 2x)m. 。