离散数学第一部分 第一章 数理逻辑
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离散数学
1.1 命题和命题联结词
5).等价词 由命题p、q和 组成的复合命题记作p q,读作“p当且仅当q”。 是自然语言中的“充要条件”，“当且仅当”的逻辑抽象。
p q的逻辑关系为p与q互为充要条件
p
q
p q
例：1.3是有理数当且仅当加拿大位于亚洲。
F
F
T
2.两圆的面积相等，则他们的半径相等，
1.1 命题和命题联结词
联结词的优先次序： （1）由强到弱依次是：，，， ，,。 （2）按优先级书写，可以省略不必要的括号。 （3）同级的联结词，按从左往右的次序运算。
例：p：北京比天津人口多 q：2＋2＝4
求以下命题的真值
（1）p q q r (2)r q p q p
读作“p与q”或“p合取q”。
是自然语言中的“并且”、
p
“既又”、“不但
F
而且”、“虽然但是”
F
、“一面一面”等的逻辑抽象。 T
T
q
pq
F
F
T
F
F
F
T
T
p：王化的成绩很好。
q：王化的品德很好。
p∧q： 王化不但成绩好而且品德好。
1.1 命题和命题联结词
3).析取词 命题p、q和 组成的复合命题记作p q,读作“p或q”。
1.1 命题和命题联结词
4).蕴涵词 由命题p、q和 组成的复合命题记作p q,读作“如果p,则q” 或“p条件q”。称为前件（前提），q称作后件（结论）。
是自然语言中的“如果，则”，“若，则”
的逻辑抽象。
有位父亲对儿子说：“如果我 p
q
F
F
去书店，就一定给你买电脑 F
精品文档-离散数学(方世昌)-第1章
2
第1章 数理逻辑
例 1.1 - 1 下述都是命题: (1) 今天下雪; (2) 3+3=6; (3) 2 是偶数而 3 是奇数; (4) 陈涉起义那天，杭州下雨; (5) 较大的偶数都可表为两个质数之和。
3
第1章 数理逻辑
以上命题中，(1)的真值取决于今天的天气; (2)和(3)是真; (4)已无法查明它的真值，但它是或真或假的， 故将它归属于 命题; (5)目前尚未确定其真假，但它是有真值的，应归属于 命题。
6
第1章 数理逻辑
从以上分析，我们得出他必须既非说谎也不是讲真话。 这 样，断言“我正在说谎”事实上不能指定它的真假，所以不是命 题。 这种断言叫悖论。
若一个命题已不能分解成更简单的命题，则这个命题叫原子 命题或本原命题。 例1.1 - 1中(1)、(2)、(4)、(5)都是本原命 题，但(3)不是，因为它可写成“2 是偶数”和“3 是奇数”两 个命题。
译为P∧Q，但“林芬和林芳是姐妹”就不能翻释成两个命题的合
取，它是一个原子命题。
34
第1章 数理逻辑
1.1.3 命题变元和命题公式 通常，如果P代表真值未指定的任意命题，我们就称P为命题
变元; 如果P代表一个真值已指定的命题，我们就称P为命题常元。 但由于在命题演算中并不关心具体命题的涵义，只关心其真假值， 因此，我们可以形式地定义它们。
以“真”、“假”为其变域的变元，称为命题变元; T和F称 为命题常元。
35
第1章 数理逻辑
习惯上把含有命题变元的断言称为命题公式。 但这样描述 过于表面，它没能指出命题公式的结构。 因为不是由命题变元、 联结词和一些括号组成的字符串都能成为命题公式，因此在计算 机科学中常用以下定义。
单个命题变元和命题常元叫原子公式。 由以下形成规则生 成的公式叫命题公式(简称公式):
第1章 数理逻辑
例 1.1 - 1 下述都是命题: (1) 今天下雪; (2) 3+3=6; (3) 2 是偶数而 3 是奇数; (4) 陈涉起义那天，杭州下雨; (5) 较大的偶数都可表为两个质数之和。
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第1章 数理逻辑
以上命题中，(1)的真值取决于今天的天气; (2)和(3)是真; (4)已无法查明它的真值，但它是或真或假的， 故将它归属于 命题; (5)目前尚未确定其真假，但它是有真值的，应归属于 命题。
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第1章 数理逻辑
从以上分析，我们得出他必须既非说谎也不是讲真话。 这 样，断言“我正在说谎”事实上不能指定它的真假，所以不是命 题。 这种断言叫悖论。
若一个命题已不能分解成更简单的命题，则这个命题叫原子 命题或本原命题。 例1.1 - 1中(1)、(2)、(4)、(5)都是本原命 题，但(3)不是，因为它可写成“2 是偶数”和“3 是奇数”两 个命题。
译为P∧Q，但“林芬和林芳是姐妹”就不能翻释成两个命题的合
取，它是一个原子命题。
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第1章 数理逻辑
1.1.3 命题变元和命题公式 通常，如果P代表真值未指定的任意命题，我们就称P为命题
变元; 如果P代表一个真值已指定的命题，我们就称P为命题常元。 但由于在命题演算中并不关心具体命题的涵义，只关心其真假值， 因此，我们可以形式地定义它们。
以“真”、“假”为其变域的变元，称为命题变元; T和F称 为命题常元。
35
第1章 数理逻辑
习惯上把含有命题变元的断言称为命题公式。 但这样描述 过于表面，它没能指出命题公式的结构。 因为不是由命题变元、 联结词和一些括号组成的字符串都能成为命题公式，因此在计算 机科学中常用以下定义。
单个命题变元和命题常元叫原子公式。 由以下形成规则生 成的公式叫命题公式(简称公式):
离散数学第一部分 第一章 数理逻辑
数理逻辑的发展
• 1847年，布尔（George Boole 18151864）创立了布尔代数 • 数理逻辑的第三位奠基人是德国数学家 弗雷格（ Gottlob Frege， 1848－ 1925） • 大数学家罗素（ Bertrand Russell， 1872－1970），提出逻辑主义
数理逻辑的快速发展
定义1.2 • 设p和q均为命题，则p和q的合取式是一 个复合命题，记作p∧q，读作“p与q” 或“p合取q”。 • 当且仅当p和q均为1时，p∧q的才为1。 • 联结词“∧”也是逻辑运算，它是二元 逻辑运算。
p 0 0 1 1
表1.2 q p∧q 0 0 1 0 0 0 1 1
合取联结词与自然语言的对应
Discrete Mathematics and Its Application
教材与参考书
• 《离散数学》
屈婉玲、耿素云、张立昂编著 高等教育出版社，2008年
教材与参考书
• 《离散数学学习指导与习题解析》
屈婉玲、耿素云、张立昂 高等教育出版社
这门课的作用
• 计算机相关的专业基础课 • 培养逻辑思维和分析、解决 问题能力 • 后续课程的基础 • 培养数学素养
定义1.4 • 设p和q均为命题，则p和q的蕴涵式是一个复合 命题，记作p→q ，读作“如果p，则q”。 • p为前件（antecedent）； • q为后件（consequent）。 • 当且仅当p为1和q为0时， p→q的才为0。 • p为q的充分条件，q为p的必要条件。
蕴涵定义的合理性
【例1.5A】 • 商家承诺：7日内，包退保换
——
第一章 命题逻辑 基本概念
1.1 1.2 命题与联结词 命题公式及其赋值
离散数学chapter01-2016
15
命题举例
“雪是白的.”
是命题,真值为1. 是命题,真值为0. 非陈述句，不是命题 是命题,目前不知其真假. 此数学式相当于命题“1加101等于110”.在十进制中真值为0,在二进 制中真值为1.
“雪是黑的.”
“好大的雪啊!”
“大于2的偶数可表示成两个素数之和.”(Goldbach猜想)
Discrete Variable Automatic Computer)
．．． 数字电子计算机是一个离散结构，它只能处理离散的或离散化 了的数量关系 无论计算机科学本身，还是与计算机科学及其应用密切相关的 现代科学研究领域，都面临着如何对离散结构建立相应的数学 模型；又如何将已用连续数量关系建立起来的数学模型离散化， 从而可由计算机加以处理
“1+10l＝110.”
并非说同一命题有两个真值!在不同数制中是不同的命 题
16
“x>y”
命题变项
为了对命题作逻辑演算，采用数学手法将命题符号化(形式化)是十分重 要的 命题的表示：大写符号
P表示“雪是白的” Q表示“北京是中国的首都”
命题变项：P表示任一命题时，P就称为命题变项(变元)． 命题与命题变项含义是不同的：
本质上是集合论
一笔画及社交网络
一笔画：给定一个由顶点和边所组成的图。能 否无重复的遍历该图的边？
社交网络：在社交网络环境中，依据后台数据 库，自动得到一个成员之间彼此直接/间接认 识的最大群体
本质上是图论
离散数学
事实上，从计算机产生到其发展每一步都离不开数学
离散数学资料库
《离散数学》资料库第一章数理逻辑1、数理逻辑的历史。
逻辑是研究人类思维学科，最早是由古希腊学者亚里士多德创建的，他的《工具论》奠定了逻辑学的理论基础。
中国最早的一部逻辑专著--《墨经》也创造了一个比较完整的逻辑体系。
b5E2RGbCAP 根据所研究的对象和方法的不同，逻辑学可分为形式逻辑、辩证逻辑和数理逻辑。
数理逻辑得用数学方法研究推理，利用符号体系研究推理过程中前提和结论之间的关系，因此也叫符号逻辑。
plEanqFDPw从十七世纪开始，就有一些学者试图用数学的方法来研究逻辑。
德国的哲学家的数学家莱布尼兹&".10让血2＞被公认为是数理逻辑的创始人。
他认为数学之所以能发展如此迅速，数学知识之所以能如此有效，就是因为数学使用了特别的符号语言。
这种符号语言为表达思想和进行推理提供了非常良好的条件。
因此他提出了用一种象数学一样的表意符号体系来研究思维形式和规律，能简洁地表达出各种的推理的逻辑关系，使得推理过程就象数学一样可以利用公式来进行计算，以便用计算来解决争论。
DXDiTa9E3d1847年，英国数学家、逻辑学家布尔（G.Boole＞发表了《逻辑的数学分析》（The mathematical Analysis of Logic＞，建立了“布尔代数”（Boolean Algebra＞，并创造一套符号系统，利用符号来表示逻辑中的各种概念。
布尔建立了一系列的运算法则，利用代数的方法研究逻辑问题，初步奠定了数理逻辑的基础。
RTCrpUDGiT十九世纪七十年代末至二十世纪初，为了理解数学命题的性质和数学思维规律，德国的弗雷格（G.Frege＞、意大利的皮亚诺（G.Peano ＞和英国的罗素（B.Russell＞建立了古典逻辑演算、命题演算和谓词演算。
数理逻辑突破了古典形式逻辑的局限，形成了一个完整的逻辑体系.5PCzVD7HxA而德国的希尔伯特（D.Hilbert^D哥德尔（K.Godel＞的研究努力又使数理逻辑成为一门内容丰富的独立学科。
离散数学-第1章
27
练习1解答
提示： 分清复合命题与简单命题 分清相容或与排斥或 分清必要与充分条件及充分必要条件
答案: (1) 是简单命题
(2) 是合取式
(3) 是析取式（相容或）(4) 是析取式（排斥或）
设 p: 交通阻塞，q: 他迟到
(5) pq,
(6) pq或qp
(7) qp 或pq, (8) qp或pq
假命题 真命题 不是命题 不是命题
不是命题 不是命题
命题，但真值现在不知道
5
命题分类
命题分类：简单命题（也称原子命题）与复合命题 简单命题符号化
用小写英文字母 p, q, r, …, pi, qi, ri (i1)表示简单命题
用“1”表示真，用“0”表示假 例如，令
p： 2是有理数，则 p 的真值为0，
p q p pq (pq) (pq)q
00 1 1
0
0
01 1 1
0
0
10 0 0
1
0
11 0 1
0
0
成假赋值:00,01,10,11; 无成真赋值
24
公式的类型
定义1.10 (1) 若A在它的任何赋值下均为真, 则称A为重言式或永真式; (2) 若A在它的任何赋值下均为假, 则称A为矛盾式或永假式; (3) 若A不是矛盾式, 则称A是可满足式.
30
练习3解答
(1) pr(qp)
pqr
qp (qp) pr(qp)
000
1
0
0
001
1
0
0
010
0
1
0
011
0
1
0
100
1
0
0
101
练习1解答
提示： 分清复合命题与简单命题 分清相容或与排斥或 分清必要与充分条件及充分必要条件
答案: (1) 是简单命题
(2) 是合取式
(3) 是析取式（相容或）(4) 是析取式（排斥或）
设 p: 交通阻塞，q: 他迟到
(5) pq,
(6) pq或qp
(7) qp 或pq, (8) qp或pq
假命题 真命题 不是命题 不是命题
不是命题 不是命题
命题，但真值现在不知道
5
命题分类
命题分类：简单命题（也称原子命题）与复合命题 简单命题符号化
用小写英文字母 p, q, r, …, pi, qi, ri (i1)表示简单命题
用“1”表示真，用“0”表示假 例如，令
p： 2是有理数，则 p 的真值为0，
p q p pq (pq) (pq)q
00 1 1
0
0
01 1 1
0
0
10 0 0
1
0
11 0 1
0
0
成假赋值:00,01,10,11; 无成真赋值
24
公式的类型
定义1.10 (1) 若A在它的任何赋值下均为真, 则称A为重言式或永真式; (2) 若A在它的任何赋值下均为假, 则称A为矛盾式或永假式; (3) 若A不是矛盾式, 则称A是可满足式.
30
练习3解答
(1) pr(qp)
pqr
qp (qp) pr(qp)
000
1
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0
001
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离散数学第一章
离散数学第一章1.1命题及其表示法1.1.1 命题的概念数理逻辑将能够判断真假的陈述句称作命题。
1.1.2 命题的表示命题通常使用大写字母A，B，…，Z或带下标的大写字母或数字表示，如A i，[10]，R等，例如A1：我是一名大学生。
A1:我是一名大学生.[10]：我是一名大学生。
R：我是一名大学生。
1.2命题联结词1.2.1 否定联结词﹁PP P0 11 01.2.2 合取联结词∧P∧P Q Q0 0 00 1 01 0 01 1 11.2.3 析取联结词∨P∨P Q Q0 0 00 1 11 0 11 1 11.2.4 条件联结词→P Q Q0 0 10 1 11 0 01 1 11.2.5 双条件联结词?P?P Q Q0 0 10 1 01 0 01 1 11.2.6 与非联结词↑P↑P Q Q0 0 10 1 11 0 11 1 0性质：（1）P↑P?﹁（P∧P）?﹁P；（2）（P↑Q）↑（P↑Q）?﹁（P↑Q）? P∧Q；（3）（P↑P）↑（Q↑Q）?﹁P↑﹁Q? P∨Q。
1.2.7 或非联结词↓P↓P Q Q0 0 10 1 01 0 0性质：（1）P↓P?﹁（P∨Q）?﹁P；（2）（P↓Q）↓（P↓Q）?﹁（P↓Q）?P∨Q；（3）（P↓P）↓（Q↓Q）?﹁P↓﹁Q?﹁（﹁P∨﹁Q）?P∧Q。
1.3 命题公式、翻译与解释1.3.1 命题公式定义命题公式，简称公式，定义为：（1）单个命题变元是公式；（2）如果P是公式，则﹁P是公式；（3）如果P、Q是公式，则P∧Q、P∨Q、P→Q、P?Q 都是公式；（4）当且仅当能够有限次的应用(1) 、(2)、(3) 所得到的包括命题变元、联结词和括号的符号串是公式。
例如，下面的符号串都是公式：（（（（﹁P）∧Q）→R）∨S）（（P→﹁Q）?（﹁R∧S））（﹁P∨Q）∧R以下符号串都不是公式：（（P∨Q）?（∧Q））（∧Q）1.3.2 命题的翻译可以把自然语言中的有些语句，转变成数理逻辑中的符号形式，称为命题的翻译。
离散数学课件ppt课件
联结词可以嵌套使用，在嵌套使用时，规定如下优先顺序： ( )，┐，∧，∨，→， ，对于同一优先级的联结词，先出现 者先运算。
例1.7 令 P : 北京比天津人口多 Q:22 4 R : 乌鸦是白色的
求下列复合命题的真值：
1P Q P Q R 2Q R P R 3P R P R
解 P，Q，R的真值分别为1，1，0。容易算出 (1)、(2)、(3)的真值分别为1，1，0。
2．在自然语言中，“如果P，则Q”中的前件P与后件Q往 往具有某种内在联系。而在数理逻辑中，P与Q可以无任何内 在联系。
3．在数学或其它自然科学中，“如果P，则Q”往往表达 的是前件P为真，后件Q也为真的推理关系。但在数理逻辑中， 作为一种规定，当P为假时，无论Q是真是假，P→Q均为真。 也就是说，只有P为真Q为假这一种情况使得复合命题P→Q为 假。
PQ 的真值定义为 PQ为真当且仅当P, Q同真值 因此, P, Q一真一假时, P Q为假。
复合命题P Q的真值表： P
0 0 1 1
Q
P Q
0
1
1
0
0
0
1
1
例1.6 将下列命题符号化，并指出它们的真值：
3如 两 圆O1 , O2的面积相等，则它们的半径相等；反之亦然. 4当王小红心情愉快时，她就唱歌；反之当她唱歌时，
真值为真的命题称为真命题；真值为假的命题为假命题。
说明：
1. 命题必须是陈述性语句，而不能是疑问句、命令句、 感叹句等；
2. 命题语句或者为真或者为假，二者必取其一，即命 题的真值是唯一的
判断句子是否为命题的标准： (1)陈述句 (2)有唯一的真值
例1 判断下列句子是不是命题: (1) 4是素数。
第一部分 数理逻辑
例1.7 令 P : 北京比天津人口多 Q:22 4 R : 乌鸦是白色的
求下列复合命题的真值：
1P Q P Q R 2Q R P R 3P R P R
解 P，Q，R的真值分别为1，1，0。容易算出 (1)、(2)、(3)的真值分别为1，1，0。
2．在自然语言中，“如果P，则Q”中的前件P与后件Q往 往具有某种内在联系。而在数理逻辑中，P与Q可以无任何内 在联系。
3．在数学或其它自然科学中，“如果P，则Q”往往表达 的是前件P为真，后件Q也为真的推理关系。但在数理逻辑中， 作为一种规定，当P为假时，无论Q是真是假，P→Q均为真。 也就是说，只有P为真Q为假这一种情况使得复合命题P→Q为 假。
PQ 的真值定义为 PQ为真当且仅当P, Q同真值 因此, P, Q一真一假时, P Q为假。
复合命题P Q的真值表： P
0 0 1 1
Q
P Q
0
1
1
0
0
0
1
1
例1.6 将下列命题符号化，并指出它们的真值：
3如 两 圆O1 , O2的面积相等，则它们的半径相等；反之亦然. 4当王小红心情愉快时，她就唱歌；反之当她唱歌时，
真值为真的命题称为真命题；真值为假的命题为假命题。
说明：
1. 命题必须是陈述性语句，而不能是疑问句、命令句、 感叹句等；
2. 命题语句或者为真或者为假，二者必取其一，即命 题的真值是唯一的
判断句子是否为命题的标准： (1)陈述句 (2)有唯一的真值
例1 判断下列句子是不是命题: (1) 4是素数。
第一部分 数理逻辑
离散数学
26
一阶逻辑等值式与置换规则
设A, B是两个谓词公式, 如果AB是永真式, 则称A 与B等值, 记作AB, 并称AB是等值式 设A0是含命题 基本等值式 变项 p1, p2, …, 第一组 命题逻辑中16组基本等值式的代换实例 pn的命题公式， 例如，xF(x)xF(x), A1, A2, …, An xF(x)yG(y) xF(x)yG(y) 等 是n个谓词公式， 第二组 用Ai (1in) 处 (1) 消去量词等值式 处代替A0中的 设D ={a1, a2, … , an} pi，所得公式A ① xA(x) A(a1)A(a2)…A(an) 称为A0的代换 ② xA(x) A(a1)A(a2)…A(an) 实例. 27
9
在ｎ个变元的简单合取式中，若每个变元及其否定 并不同时存在，且二者之一出现一次且仅出现一 次，则称此简单合取式为极小项。 在ｎ个变元的基本析取式中，若每个变元与其否定， 并不同时存在，且二者之一出现一次且仅出现一 次，则称这种基本析取为极大项。
用mi表示第i个极小项，其中i是该极小项成真赋值的十进制 表示. 用Mi表示第i个极大项，其中i是该极大项成假赋值的 十进制表示. 主析取范式——由极小项构成的析取范式 主合取范式——由极大项构成的合取范式
13
求公式 A=(pq)r的主析取范式和主合取范式 解 (pq)r (pq)r （析取范式） ①
(pq) (pq)(rr) (pqr)(pqr) m6m7 ② r (pp)(qq)r (pqr)(pqr)(pqr)(pqr) m1m3m5m7 ③
19
ห้องสมุดไป่ตู้
推理规则
(10) 构造性二难推理规则 AB CD AC ∴BD
(12) 合取引入规则 A B ∴AC 直接证明法 附加前提证明法 归谬法 (反证法)
一阶逻辑等值式与置换规则
设A, B是两个谓词公式, 如果AB是永真式, 则称A 与B等值, 记作AB, 并称AB是等值式 设A0是含命题 基本等值式 变项 p1, p2, …, 第一组 命题逻辑中16组基本等值式的代换实例 pn的命题公式， 例如，xF(x)xF(x), A1, A2, …, An xF(x)yG(y) xF(x)yG(y) 等 是n个谓词公式， 第二组 用Ai (1in) 处 (1) 消去量词等值式 处代替A0中的 设D ={a1, a2, … , an} pi，所得公式A ① xA(x) A(a1)A(a2)…A(an) 称为A0的代换 ② xA(x) A(a1)A(a2)…A(an) 实例. 27
9
在ｎ个变元的简单合取式中，若每个变元及其否定 并不同时存在，且二者之一出现一次且仅出现一 次，则称此简单合取式为极小项。 在ｎ个变元的基本析取式中，若每个变元与其否定， 并不同时存在，且二者之一出现一次且仅出现一 次，则称这种基本析取为极大项。
用mi表示第i个极小项，其中i是该极小项成真赋值的十进制 表示. 用Mi表示第i个极大项，其中i是该极大项成假赋值的 十进制表示. 主析取范式——由极小项构成的析取范式 主合取范式——由极大项构成的合取范式
13
求公式 A=(pq)r的主析取范式和主合取范式 解 (pq)r (pq)r （析取范式） ①
(pq) (pq)(rr) (pqr)(pqr) m6m7 ② r (pp)(qq)r (pqr)(pqr)(pqr)(pqr) m1m3m5m7 ③
19
ห้องสมุดไป่ตู้
推理规则
(10) 构造性二难推理规则 AB CD AC ∴BD
(12) 合取引入规则 A B ∴AC 直接证明法 附加前提证明法 归谬法 (反证法)
离散数学 命题逻辑
(2) S∧R：李平与张明在吃饭.
“∧”与自然语言中“与”“和”的不同之处：
(1)逻辑学中允许两个相互独立无关的，甚至互为否定的
原子命题生成一个新的命题.(如上例的(1)).
(2)自然语言中有时在各种不同意义上使用联结词"与",
"和"，不能一概用 去翻译(如：我与你是兄弟.)
2020/5/11
25
1-2 命题联结词(Logical Connectives)
(4)人固有一死，或重于泰山或轻于鸿毛.（排斥或） (5) ab=0, 即a=0 或 b=0. （可兼或）
由此可见, “P ∨ Q”表示的是“可兼或”.
2020/5/11
28
1-2 命题联结词(Logical Connectives)
注意：当P和Q客观上不能同时发生时，“P或Q” 可以符号化为“P ∨ Q”。
“P与Q”)称为P与Q的合取式，记作P∧Q，符号“∧”
称为合取联结词。当且仅当P和Q同时为真时P∧Q
为真。
联结词“∧”的定义真值表
P
Q
P∧Q
0
0
0
0
1
0
1
0
0
1
1
1
2020/5/11
22
1-2 命题联结词(Logical Connectives)
“∧” 属于二元(binary)运算符. 合取运算特点：只有参与运算的二命题全为真时，
逻辑可分为：1.形式逻辑 2.辩证逻辑
❖辩证逻辑是研究反映客观世界辩证发展过程的
人类思维的形态的。
❖形式逻辑是研究思维的形式结构和规律的科学，
它撇开具体的、个别的思维内容，从形式结构
方面研究概念、判断和推理及其正确联系的规
离散数学PPT课件 12数理逻辑介绍(ppt文档)
数理逻辑把推理符号化之二
• 设M(x): x是金属 . 设C(x): x能导电. 设x 表示: 所有的x . 设 a 表示铜.
例2的推理过程表示为：
前提:x(M(x)C(x)) (所有金属都导电.)
前提:M(a)
(铜是金属.)
结论:C(a)
(铜能导电.)
(其中符号M(x)是谓词，所以这就是第二
• 正确的思维： 概念清楚，判断正确，推理合乎逻辑。
• 人们是通过各种各样的学习(理论学习和 从实践中学习)来掌握许多概念和判断。
• 而形式逻辑主要是研究推理的。
• 推理： 是由若干个已知的判断(前提)，推出新 的判断(结论)的思维过程。
推理方法
• 类比推理：由个别事实推出个别结论。 如：地球上有空气、水，地球上有生物。 火星上有空气、水。
第一篇 数理逻辑
• 逻辑--是研究人的思维的科学。 它包含：
• 1.辩证逻辑：是研究人的思维中的辩证法。 例如：用全面的和发展的观点观察事物； 具体问题具体分析； 实践是检查事物正误的唯一标准；等等。
• 2.形式逻辑：是研究人的思维的形式和一 般规律。
• 这里我们只关心形式逻辑。
一 .形式逻辑
• 人的思维过程： 概念 判断 推理
• 这里只讨论“命题逻辑”和“谓词逻辑”。 • 下面就前面两个例子，说明如何将推理符
号化的。
数理逻辑把理符号化之一
• 设 P表示：天下雨。 设Q表示：路上有水。 设表示：如果…则… 例1的推理过程表示为： 前提1:PQ (如果天下雨,则路上有水。) 前提2：P (天下雨了。) 结 论：Q (路上有水。) (这就是第一章命题逻辑中要讨论的问题)
章“谓词逻辑”中所讨论的内容.）
离散数学之1—命题逻辑
pq 的逻辑关系：p为 q 的充分条件， 或者：q为 p 的必要条件。 注意：当 p 为假时，pq恒为真。 实例： 如果天气好，我就去游玩。 p → q 如果我得到这本小说，我将读完它。 p → q 如果雪是黑的，那么太阳从西方升起。 p → q
28
蕴涵联结词的实例
我将去旅游，仅当我有时间。 p: 我去旅游 q: 我有时间 p→q p: 不下雨 q: 我骑自行车上班 只要不下雨，我就骑自行车上班 p→q 只有不下雨，我才骑自行车上班。 q→p
说谎者悖论 亚里士多德,古希腊人，是世界
古典形式逻辑
如果这个人说的是假话，既 在中世纪，形式逻辑作为一门独 “我没有说谎”，既他说的是 立的科学得到了发展。 真话，矛盾。
第一篇 数理逻辑
6
数理逻辑创始人
德国哲学家和数学家莱布 尼茨是德国最重要的自然 科学家、数学家、物理学 家和哲学家，一个举世罕 见的科学天才，和牛顿同 为微积分的创建人。 莱布尼茨是现在公认的数 理逻辑创始人，他的目的 是建立一种“表意的符号 语言”，其中把一切思维 推理都化归为计算。实际 上这正是数理逻辑的总纲 领。
29
蕴涵联结词的实例
除非你努力，否则你不能成功。 表示p q的常用词： 除非你努力，你才能成功。 p是q的充分条件 p: 你努力 q: 你成功 q是p的必要条件 p → q 或 q → p 如果（若）p，则q p 0 0 1 1 q 0 1 0 1 p 1 1 0 0
只要p，就q q qp pq 只有q 才p 1因为p所以 1 q 1 0p仅当q0 0 才p 1除非q, 1 1 p 0除非q，否则非 1 1
数理逻辑
“事实上，它们（程 序设计）或者就是 数理逻辑，或者是 用计算机语言书写 的数理逻辑，或者 是数理逻辑在计算 机上的应用。”
28
蕴涵联结词的实例
我将去旅游，仅当我有时间。 p: 我去旅游 q: 我有时间 p→q p: 不下雨 q: 我骑自行车上班 只要不下雨，我就骑自行车上班 p→q 只有不下雨，我才骑自行车上班。 q→p
说谎者悖论 亚里士多德,古希腊人，是世界
古典形式逻辑
如果这个人说的是假话，既 在中世纪，形式逻辑作为一门独 “我没有说谎”，既他说的是 立的科学得到了发展。 真话，矛盾。
第一篇 数理逻辑
6
数理逻辑创始人
德国哲学家和数学家莱布 尼茨是德国最重要的自然 科学家、数学家、物理学 家和哲学家，一个举世罕 见的科学天才，和牛顿同 为微积分的创建人。 莱布尼茨是现在公认的数 理逻辑创始人，他的目的 是建立一种“表意的符号 语言”，其中把一切思维 推理都化归为计算。实际 上这正是数理逻辑的总纲 领。
29
蕴涵联结词的实例
除非你努力，否则你不能成功。 表示p q的常用词： 除非你努力，你才能成功。 p是q的充分条件 p: 你努力 q: 你成功 q是p的必要条件 p → q 或 q → p 如果（若）p，则q p 0 0 1 1 q 0 1 0 1 p 1 1 0 0
只要p，就q q qp pq 只有q 才p 1因为p所以 1 q 1 0p仅当q0 0 才p 1除非q, 1 1 p 0除非q，否则非 1 1
数理逻辑
“事实上，它们（程 序设计）或者就是 数理逻辑，或者是 用计算机语言书写 的数理逻辑，或者 是数理逻辑在计算 机上的应用。”
离散数学命题逻辑 第一章(1)
第一篇 数理逻辑
我现在年纪大了，搞了这么多年软件，错误 不知犯了多少，现在觉悟了。我想，假如我早在 数理逻辑上好好下点功夫的话，我就不会犯这么 多错误。不少东西逻辑学家早就说过了，可是我 不知道。要是我能年轻20岁的话，我就会回去学 逻辑。
E.W.Dijkstra
先看著名物理学家爱因斯坦出过的一道题： 一个土耳其商人想找一个十分聪明的助手协助他经商，有两人 前来应聘，这个商人为了试试哪个更聪明些，就把两个人带进一间 漆黑的屋子里，他打开灯后说：“这张桌子上有五顶帽子，两顶是 红色的，三顶是黑色的，现在，我把灯关掉，而且把帽子摆的位置 弄乱，然后我们三个人每人摸一顶帽子戴在自己头上，在我开灯后， 请你们尽快说出自己头上戴的帽子是什么颜色的。”说完后，商人 将电灯关掉，然后三人都摸了一顶帽子戴在头上，同时商人将余下 的两顶帽子藏了起来，接着把灯打开。这时，那两个应试者看到商 人头上戴的是一顶红帽子，其中一个人便喊道：“我戴的是黑帽 子。” 请问这个人说得对吗？他是怎么推导出来的呢？
Page 13
2、命题满足的条件
命题的语句形式：陈述句 非命题语句：疑问句、命令句、感叹句、非命题陈述句 (悖论语句) 命题所表述的内容可决定是真还是假，不能不真又不假， 也不能又真又假。
Page 14
3、举例
• • • • • • • • • 北京是中国的首都。 土星上有生物。 ３＋２≥9。 1+101=110 请关门！ 你要出去吗？ 如果天气好，那么我去散步。 x＝ 2。 我正在撒谎。
Page 9
第一章 命题逻辑
研究以命题为基本单位构成的前提和结论之间的 可推导关系。
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第一章 命题逻辑
1
命题及其表示方法 联结词
我现在年纪大了，搞了这么多年软件，错误 不知犯了多少，现在觉悟了。我想，假如我早在 数理逻辑上好好下点功夫的话，我就不会犯这么 多错误。不少东西逻辑学家早就说过了，可是我 不知道。要是我能年轻20岁的话，我就会回去学 逻辑。
E.W.Dijkstra
先看著名物理学家爱因斯坦出过的一道题： 一个土耳其商人想找一个十分聪明的助手协助他经商，有两人 前来应聘，这个商人为了试试哪个更聪明些，就把两个人带进一间 漆黑的屋子里，他打开灯后说：“这张桌子上有五顶帽子，两顶是 红色的，三顶是黑色的，现在，我把灯关掉，而且把帽子摆的位置 弄乱，然后我们三个人每人摸一顶帽子戴在自己头上，在我开灯后， 请你们尽快说出自己头上戴的帽子是什么颜色的。”说完后，商人 将电灯关掉，然后三人都摸了一顶帽子戴在头上，同时商人将余下 的两顶帽子藏了起来，接着把灯打开。这时，那两个应试者看到商 人头上戴的是一顶红帽子，其中一个人便喊道：“我戴的是黑帽 子。” 请问这个人说得对吗？他是怎么推导出来的呢？
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2、命题满足的条件
命题的语句形式：陈述句 非命题语句：疑问句、命令句、感叹句、非命题陈述句 (悖论语句) 命题所表述的内容可决定是真还是假，不能不真又不假， 也不能又真又假。
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3、举例
• • • • • • • • • 北京是中国的首都。 土星上有生物。 ３＋２≥9。 1+101=110 请关门！ 你要出去吗？ 如果天气好，那么我去散步。 x＝ 2。 我正在撒谎。
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第一章 命题逻辑
研究以命题为基本单位构成的前提和结论之间的 可推导关系。
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第一章 命题逻辑
1
命题及其表示方法 联结词
离散数学 屈婉玲第2版ppt(1)
(6) a能被4整除，仅当a能被2整除。
rs 真值:1
(7) 除非a能被2整除，a才能被4整除。 rs 真值:1 (8) 除非a能被2整除，否则a不能被4整除。 rs 真值:1
(9) 只有a能被2整除，a才能被4整除。 rs 真值:1
(10) 只有a能被4整除，a才能被2整除。 sr 与a有关
假命题 真命题 不是命题 不是命题 不是命题 不是命题 命题，但真值现在不知道
假命题 真命题 不是命题
School of Software
6
1.1 命题与联结词
软件学院
二. 命题分类
简单命题: 由简单句构成, 不能再分解成更简单的命题。 复合命题: 由简单命题和联结词构成。
三. 简单命题符号化
用小写英文字母 p, q, r, …, pi, qi, ri (i1)表示简单命题
School of Software
9
1.1 命题与联结词
软件学院
4. 蕴涵联结词
注意:
(1) pq 的逻辑关系: p为q的充分条件；q为p的必要条件。 (2) pq 的多种表达方式:
充分式: 只要 p 就 q 如果 p 就 q p为q的充分条件, pq 因为 p 所以 q
必要式: 只有 q 才 p
仅当 q 才 除非 q 才
p q为 p 的必要条件, pq p
除非 q 否则非 p
(3) 常出现的错误: 不分充分与必要条件
Northeast Petroleum University
School of Software 10
1.1 命题与联结词
软件学院
例5 设 p：天冷，q：小王穿羽绒服，将下列命题符号化
(1) 如果3+3＝6，则雪是白的。 (2) 如果3+3≠6，则雪是白的。 (3) 如果3+3＝6，则雪不是白的。 (4) 如果3+3≠6，则雪不是白的。
离散数学1命题逻辑
第1章
例7
例7、将下列命题符号化，并讨论他们的真值。 (1)如果3＋3＝6，则雪是黑色的； (2)只有a(正整数)能被2整除，a才能被4整除； (1)设：p：3＋3＝6，q：雪是黑色的 原语句符号化为：p→q 真值为0 (2)设p：a(正整数)能被2整除，q：a能被4整除 原语句符号化为：q →p 真值为1
离散数学 第一篇数理逻辑
蔡广军
第1章
数理逻辑简介(1)
数理逻辑(Mathematical Logic) 用数学方法(主要是建立符号体系的方法)来 研究推理形式结构和推理规律的数学学科 。 通过引入一套符号体系来研究推理规律的 学科，故又称之为符号逻辑(Symbolic Logic)
第1章
例题5
例5、p：2＋2＝4 q：3是奇数 (1) 2+2=4当且仅当3是奇数。p↔q (2) 2+2=4当且仅当3不是奇数。p↔┐q (3) 2+2≠4当且仅当3是奇数。┐p↔q (4) 2+2≠4当且仅当3不是奇数。┐p↔┐q
第1章
数理逻辑联结词与自然语言联结词
6、逻辑联结词与自然语言中联结词的关系 否定——不是、没有、非、不 合取——并且、同时、和、既…又…,不但… 而且…，虽然…但是… 析取——或者、或许、可能 蕴含——若…则…，假如…那么…，既然…那就 倘若…就… 等价——当且仅当、充分必要、相同、一样
要回答这样的问题，实际上就是看由一些 诸如“商人戴的是红帽子”这样的前提能否推 出“猜出答案的应试者戴的是黑帽子”这样的 结论来。这又需要经历如下过程： (1) 什么是前提？有哪些前提？ (2) 结论是什么？ (3) 根据什么进行推理？ (4)怎么进行推理？
第1章
第一章命题逻辑
(完整版)离散数学电子教材1(可编辑修改word版)
第1 章命题逻辑逻辑是研究人的思维的科学，包括辩证逻辑和形式逻辑。
辩证逻辑是研究反映客观世界辩证发展过程的人类思维的形态的。
形式逻辑是研究思维的形式结构和规律的科学，它撇开具体的、个别的思维内容，从形式结构方面研究概念、判断和推理及其正确联系的规律。
数理逻辑是用数学方法研究推理的形式结构和推理的规律的数学学科。
所谓的数学方法也就是用一套有严格定义的符号，即建立一套形式语言来研究。
因此数理逻辑也称为符号逻辑。
数理逻辑的基础部分是命题逻辑和谓词逻辑。
本章主要讲述命题逻辑，谓词逻辑将在第2 章进行讨论。
1.1命题及其表示1.1.1命题的基本概念数理逻辑研究的中心问题是推理（Inference)，而推理就必然包含前提和结论，前提和结论都是表达判断的陈述句，因而表达判断的陈述句就成为推理的基本要素。
在数理逻辑中，将能够判断真假的陈述句称为命题。
因此命题就成为推理的基本单位。
在命题逻辑中，对命题的组成部分不再进一步细分。
定义1.1.1 能够判断真假的陈述句称为命题（Proposition）。
命题的判断结果称为命题的真值，常用T(True)（或1）表示真，F(False)（或0）表示假。
真值为真的命题称为真命题，真值为假的命题称为假命题。
从上述的定义可知，判定一个句子是否为命题要分为两步：一是判定是否为陈述句，二是能否判定真假，二者缺一不可。
例1.1.1 判断下列句子是否为命题（1）北京是中国的首都。
（2）请勿吸烟！（3）雪是黑的。
（4）明天开会吗？（5）x+y=5。
（6）我正在说谎。
（7）9+5≤12 。
（8）1+101=110 。
（9）今天天气多好啊！（10）别的星球上有生物。
解在上述的十个句子中，（2）、（9）为祈使句，（4）为疑问句，（5）、（6）虽然是陈述句，但（5）没有确定的真值，其真假随x、y 取值的不同而有改变，（6）是悖论(Paradox)（即由真能推出假，由假也能推出真），因而（2）、（4）、（5）、（6）、（9）均不是命题。
离散数学第1章2019.2.17(终极版)
P：今天下雨， ¬P：今天不下雨。 Q：每一种生物均是动物。——F
¬Ｑ：有一些生物不是动物。——T 注：这里¬Ｑ不能讲成“每一种生物都不是动物” ——F. 即对量化命题的否定，除对动词进行否定外，同 时对量化词也要加以否定。
2019/5/11
zuoxiang
14
2、合取词( ∧ )
定义：给定两个命题P、Q，则 P∧Q 称为 P 与 Q
2019/5/11
zuoxiang
30
７、命题联结词小结：
(1)五个联结词的含义与日常生活中的联结词的含义大致
相同。 (2)“或”可分为可兼或（∨）和异或（▽）即不可兼或 (3) 除“”为一元运算外，其余四个均为二元运算。 (4) “→”分为形式条件和实质条件命题，当前件为“Ｆ”
时，不论后件怎样，则单条件命题的真值均为“Ｔ”。
12
二、命题联结词 在命题逻辑中有以下几种基本的联结词： ¬ 1、否定词( ¬ ) 定义：给定命题 P，则在Ｐ的前面加否定词 ¬， 变为命题 ¬P，称其为 P 的否定或非 P，记为： ¬P。 ¬P P 其定义可用如下真值表表示: 0 1
1
2019/5/11 zuoxiang
0
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例如
（4）老王或小李中有一个去上海出差。 （5）只有一个角是直角的三角形才是直角三角形。
2019/5/11 zuoxiang 34
解： （1）首先用字母表示简单命题。 P：李明是计算机系的学生。 Q：李明住在312室。 R：李明住在313室。 该命题符号化为：P （Q▽R） （2）张三和李四是朋友。是一个简单句 该命题符号化为：P
2019/5/11
zuoxiang
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（3）首先用字母表示简单命题。
离散数学第一章
第一部分数理逻辑先看著名物理学家爱因斯坦出过的一道题：一个土耳其商人想找一个十分聪明的助手协助他经商，有两人前来应聘，这个商人为了试试哪个更聪明些，就把两个人带进一间漆黑的屋子里，他打开灯后说：“这张桌子上有五顶帽子，两顶是红色的，三顶是黑色的，现在，我把灯关掉，而且把帽子摆的位置弄乱，然后我们三个人每人摸一顶帽子戴在自己头上，在我开灯后，请你们尽快说出自己头上戴的帽子是什么颜色的。
”说完后，商人将电灯关掉，然后三人都摸了一顶帽子戴在头上，同时商人将余下的两顶帽子藏了起来，接着把灯打开。
这时，那两个应试者看到商人头上戴的是一顶红帽子，其中一个人便喊道：“我戴的是黑帽子。
”请问这个人说得对吗？他是怎么推导出来的呢？要回答这样的问题，实际上就是看由一些诸如“商人戴的是红帽子”这样的前提能否推出“猜出答案的应试者戴的是黑帽子”这样的结论来。
这又需要经历如下过程：(1) 什么是前提？有哪些前提？(2) 结论是什么？(3) 根据什么进行推理？(4) 怎么进行推理？下面的第一章，第二章回答第一个问题。
第三章回答第二、三个问题。
下图给出了逻辑部分的知识体系。
1.1 命题与联结词一、命题的概念引言中的例子就是要对“我戴的是黑帽子”进行判断。
这样的陈述句称为命题。
作为命题的陈述句所表达的判断结果称为命题的真值，真值只取两个值：真或假。
真值为真的命题称为真命题，真值为假的命题称为假命题。
真命题表达的判断正确，假命题表达的判断错误。
任何命题的真值都是唯一的。
判断给定句子是否为命题，应该分两步：首先判定它是否为陈述句，其次判断它是否有唯一的真值。
例1.1 判断下列句子是否为命题。
(1) 4是素数。
(2) 是无理数。
(3) x大于y。
(4) 月球上有冰。
(5) 2100年元旦是晴天。
(6) π大于吗？ (7) 请不要吸烟！ (8)这朵花真美丽啊！ (9) 我正在说假话。
解:本题的(9)个句子中，(6)是疑问句，(7)是祈使句，(8)是感叹句，因而这3个句子都不是命题。
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【例1.4】 • 在香港购物可以用港币 或人民币支付。 • 他是中国籍或美国籍。 • 他只能是中国籍或美国 籍。
排斥或 p 0 0 1 1 q 0 1 (p∧¬ q)∨(¬ p∧q)
蕴涵（条件）联结词 implication
表1.4 p 0 0 1 1 q 0 1 0 1 p→q 1 1 0 1
——
第一章 命题逻辑 基本概念
1.1 1.2 命题与联结词 命题公式及其赋值
1.1
命题与联结词
如果火车晚点，而且车站没有出租车，那 么John 参加会议就会迟到。 逻辑研究推理的规律 John没有迟到，火车的确是晚点了。 推理由一系列的陈述句组成 因此，车站有出租车。
If the train arrives late and there are no taxis at the station, then John is late for his meeting. John is not late for his meeting. The train did arrive late. Therefore, there were taxis at the station.
定义1.2 • 设p和q均为命题，则p和q的合取式是一 个复合命题，记作p∧q，读作“p与q” 或“p合取q”。 • 当且仅当p和q均为1时，p∧q的才为1。 • 联结词“∧”也是逻辑运算，它是二元 逻辑运算。
p 0 0 1 1
表1.2 q p∧q 0 0 1 0 0 0 1 1
合取联结词与自然语言的对应
• 天下皆知美之为美也，恶已；皆知善，此其 不善已。有无相生；难易相成；长短相较； 高下相倾；音声相和；先后相随。是以圣人 居无为之事，行不言不教„„
《道德经》
以二元论为基础的逻辑是有局限的。
复杂的命题
【例1.1C】 复杂的命题： • （1）4是偶数且是2的倍数。 • （2）北京不是个小城市。 • （3）小王或小李考试得第一。 • （4）如果你努力，则你能成功。 • （5）三角形是等边三角形，当且仅当 三内角相等。
这门课的内容
数理逻辑 集合论 代数结构（抽象代数） 组合数学 图论 初等数论
这门课的考核
• 平时成绩 • 期末考试 • 优秀率 • 不及格率 • 重修的及格率 10分 90分 15％左右 15％
23％
学习方法
内容覆盖广 概念抽象
仔细阅读教材
深入思考
认真练习
坚持
自主
交流
第一部分 数理逻辑
进入20世纪，数理逻辑得到快速发展 源于20世纪最伟大的数学家希尔伯特 （David Hilbert，1862-1943）倡导的
数学的公理化运动
哥德尔（Kurt Godel, 1906-1978）是 亚理士多德和莱布尼兹以来最伟大的逻 辑学家
数理逻辑与计算机科学
• 程序 ＝ 算法＋数据 • 算法 ＝ 逻辑＋控制
“任何科学都需要思维，逻辑是思维的规范，推理是思维的 法则。” (陆汝钤，1996)
数理逻辑与计算机科学
• 假如我早年在数理逻辑上下点功夫，就不会 出那么多错误，不少东西数理逻辑上早就讲 过了； • 假如我年轻20岁，一定回去学数理逻辑。 1972年图灵奖得主、荷兰计算机学家 Dijkstra （迪克斯特拉）
Discrete Mathematics and Its Application
教材与参考书
• 《离散数学》
屈婉玲、耿素云、张立昂编著 高等教育出版社，2008年
教材与参考书
• 《离散数学学习指导与习题解析》
屈婉玲、耿素云、张立昂 高等教育出版社
这门课的作用
• 计算机相关的专业基础课 • 培养逻辑思维和分析、解决 问题能力 • 后续课程的基础 • 培养数学素养
联结词的符号化
• 联结词： ¬，∧，∨，→，↔ • 复合命题： p∧q， p∨q
形式语言
不同于自然语言， 这些符号的含义需要严格定义
否定(negation ) 联结词
表1.1 p 0 ¬p 1
定义1.1 • 设p为任一命题，复合命题“非p” （p的否定）称为p的否定式，记作 ¬p。 • ¬为否定联结词。¬p为真，当且仅当 p为假。 • 联结词“¬”也是逻辑运算，它是一 元运算。
（假命题） （真命题）
真值未知，但惟一
不是命题的例子
【例1.1B】 下列语句不是命题： • （1）好棒啊！ • （2）你好吗？ 真值不定 • （3）请勿吸烟。 • （ 4） x＞3 （命题变元） • （5）x大于y，其中x和y是任意的两个数。 • （6）我正在说谎。（说谎者悖论） 二分法，出现矛盾
二元论、二分法与二进制
• 认识世界的方法论：阴与阳、正与反、 天与地、物质与精神 • 易有太极，是生两仪，两仪生四象，四 象生八卦 • 谋略思想：奇正、虚实 • 人生哲学：进退、取舍、加减 • 现代计算的基础
• 道可道，非常道。名可名，非常名。无名， 万物之始也；有名，万物之母也。„„此二 者，同出而异名，同谓之玄，玄之又玄，众 妙之门。 • 道生一，一生二，二生三，三生万物
构造性（结构化）方法
• 简单命题（原子命题） 简单陈述句，不能分解
atomic or indecomposable
• 复合命题 原子命题通过联结词联结而 成的命题
符号化（symbolic）方法
• 命题： 用p、q、r、pi、qi、ri等符号表示 • 真值： “1”表示真，“0”表示假
如 p：4是偶数。 p的真值为1。 q：煤是白的。 r：《几何原本》的作者是欧几里德。
定义1.4 • 设p和q均为命题，则p和q的蕴涵式是一个复合 命题，记作p→q ，读作“如果p，则q”。 • p为前件（antecedent）； • q为后件（consequent）。 • 当且仅当p为1和q为0时， p→q的才为0。 • p为q的充分条件，q为p的必要条件。
蕴涵定义的合理性
【例1.5A】 • 商家承诺：7日内，包退保换
• • • •
诚信 不诚信 诚信 诚信
1 1 0 0
1 0 1 0
蕴涵定义的合理性
• 【例1.5B】 • 同学约定：再过20年，同学再相会
• • • •
可信 不可信 可信 可信
1 1 0 0
1 0 1 0
蕴涵联结词与自然语言的对应
• p→q的逻辑关系是：p是q的充分条件，q是p 的必要条件。 • 存在不同的叙述方式： • p仅当q（仅当q，则p） • 只有q才p • 只要p，就q • 除非q，否则非p（除非q，则p） • 非p，除非q • 因为p，所以q
Mathematical Logics
@ 命题逻辑
基本概念 等值演算 推理
Propositional Logic
@ 谓词逻辑
基本概念 等值演算 推理
Predicate Logic
什么是数理逻辑？
• 研究推理的数学分支 • 研究“数学思维”的数学模型 • 逻辑的数学化、数学的逻辑化
什么是逻辑？
• 逻辑（Logics）是关于推理的科学 • 研究思维形式及其规律 • 包括形式逻辑与辩证逻辑 • 概念、判断、推理是思维的基本形式
这门课的特点
• 研究离散量的结构 及其相互关系的学科 • 离散——连续 有限——无穷
马致远 《天净沙· 秋思》 李煜 《虞美人》 春花秋月何时了，往事知多少。 小楼昨夜又东风，故国不堪回首 月明中。 雕栏玉砌应犹在，只是朱颜改。 问君能有几多愁，恰似一江春水 向东流。
枯藤．老树．昏鸦， 小桥．流水．人家， 古道．西风．瘦马， 夕阳西下． 断肠人在天涯。
符号化方法与形式语言
• 命题： 用p、q、r、pi、qi、ri等符号表示 如果火车晚点，而且车站没有出租车， 那么John参加会议就会迟到。 John没有迟到，火车的确是晚点了。 因此，车站有出租车。
半形式化： If p and not q, then r. Not r. p. Therefore, q.
Logic has been called “the calculus of computer science” Logic plays a similar role in computer science to that played by calculus in the physical sciences and traditional engineering disciplines. (M. Vardi, 2007)
蕴涵定义的例子
【例1.6】符号化命题 • （1）只要天下雨，我就回家。 • （2）只有天下雨，我才回家。 • （3）除非天下雨，否则我不回家。 • （4）仅当天下雨，我才回家。
解 设p：天下雨。q：我回家。 p是充分条件： p→q p是必要条件： q→p
练习
符号化命题
（1）他们每天通电话，除非发生意外。 （2）他每天都练功，除非是大年初一。 （3）只要别人有困难，老王就帮助别 人，除非困难解决了。 （4）要想人不知，除非己莫为。
逻辑学的发展
• 二千年前的古希腊、中国、印度， 逻辑已非常发达
• 亚理士多德（Aristotle，B.C. 384-B.C. 322）提出“演绎法”， 形式逻辑的开山鼻祖
逻辑学的发展 ——数理逻辑
• 1666年，莱布尼兹 （Gottfried Wilhelm von Leibniz， 1646-1716） 发明了一套逻辑运算符号， 创建了数理逻辑
1
0
否定联结词与自然语言的对应
【例1.2】 • (1)p： 4是偶数。 其真值为1。 • ¬p ：4不是偶数。其真值为0。 • (2)q： 这些都是学生。 • ¬q ：这些不都是学生。 • 一般地，自然语言中的“不”、“无 ”、“没有”、“并非”等词均可符 号化为“否定联结词”
合取(conjunction) 联结词
排斥或 p 0 0 1 1 q 0 1 (p∧¬ q)∨(¬ p∧q)
蕴涵（条件）联结词 implication
表1.4 p 0 0 1 1 q 0 1 0 1 p→q 1 1 0 1
——
第一章 命题逻辑 基本概念
1.1 1.2 命题与联结词 命题公式及其赋值
1.1
命题与联结词
如果火车晚点，而且车站没有出租车，那 么John 参加会议就会迟到。 逻辑研究推理的规律 John没有迟到，火车的确是晚点了。 推理由一系列的陈述句组成 因此，车站有出租车。
If the train arrives late and there are no taxis at the station, then John is late for his meeting. John is not late for his meeting. The train did arrive late. Therefore, there were taxis at the station.
定义1.2 • 设p和q均为命题，则p和q的合取式是一 个复合命题，记作p∧q，读作“p与q” 或“p合取q”。 • 当且仅当p和q均为1时，p∧q的才为1。 • 联结词“∧”也是逻辑运算，它是二元 逻辑运算。
p 0 0 1 1
表1.2 q p∧q 0 0 1 0 0 0 1 1
合取联结词与自然语言的对应
• 天下皆知美之为美也，恶已；皆知善，此其 不善已。有无相生；难易相成；长短相较； 高下相倾；音声相和；先后相随。是以圣人 居无为之事，行不言不教„„
《道德经》
以二元论为基础的逻辑是有局限的。
复杂的命题
【例1.1C】 复杂的命题： • （1）4是偶数且是2的倍数。 • （2）北京不是个小城市。 • （3）小王或小李考试得第一。 • （4）如果你努力，则你能成功。 • （5）三角形是等边三角形，当且仅当 三内角相等。
这门课的内容
数理逻辑 集合论 代数结构（抽象代数） 组合数学 图论 初等数论
这门课的考核
• 平时成绩 • 期末考试 • 优秀率 • 不及格率 • 重修的及格率 10分 90分 15％左右 15％
23％
学习方法
内容覆盖广 概念抽象
仔细阅读教材
深入思考
认真练习
坚持
自主
交流
第一部分 数理逻辑
进入20世纪，数理逻辑得到快速发展 源于20世纪最伟大的数学家希尔伯特 （David Hilbert，1862-1943）倡导的
数学的公理化运动
哥德尔（Kurt Godel, 1906-1978）是 亚理士多德和莱布尼兹以来最伟大的逻 辑学家
数理逻辑与计算机科学
• 程序 ＝ 算法＋数据 • 算法 ＝ 逻辑＋控制
“任何科学都需要思维，逻辑是思维的规范，推理是思维的 法则。” (陆汝钤，1996)
数理逻辑与计算机科学
• 假如我早年在数理逻辑上下点功夫，就不会 出那么多错误，不少东西数理逻辑上早就讲 过了； • 假如我年轻20岁，一定回去学数理逻辑。 1972年图灵奖得主、荷兰计算机学家 Dijkstra （迪克斯特拉）
Discrete Mathematics and Its Application
教材与参考书
• 《离散数学》
屈婉玲、耿素云、张立昂编著 高等教育出版社，2008年
教材与参考书
• 《离散数学学习指导与习题解析》
屈婉玲、耿素云、张立昂 高等教育出版社
这门课的作用
• 计算机相关的专业基础课 • 培养逻辑思维和分析、解决 问题能力 • 后续课程的基础 • 培养数学素养
联结词的符号化
• 联结词： ¬，∧，∨，→，↔ • 复合命题： p∧q， p∨q
形式语言
不同于自然语言， 这些符号的含义需要严格定义
否定(negation ) 联结词
表1.1 p 0 ¬p 1
定义1.1 • 设p为任一命题，复合命题“非p” （p的否定）称为p的否定式，记作 ¬p。 • ¬为否定联结词。¬p为真，当且仅当 p为假。 • 联结词“¬”也是逻辑运算，它是一 元运算。
（假命题） （真命题）
真值未知，但惟一
不是命题的例子
【例1.1B】 下列语句不是命题： • （1）好棒啊！ • （2）你好吗？ 真值不定 • （3）请勿吸烟。 • （ 4） x＞3 （命题变元） • （5）x大于y，其中x和y是任意的两个数。 • （6）我正在说谎。（说谎者悖论） 二分法，出现矛盾
二元论、二分法与二进制
• 认识世界的方法论：阴与阳、正与反、 天与地、物质与精神 • 易有太极，是生两仪，两仪生四象，四 象生八卦 • 谋略思想：奇正、虚实 • 人生哲学：进退、取舍、加减 • 现代计算的基础
• 道可道，非常道。名可名，非常名。无名， 万物之始也；有名，万物之母也。„„此二 者，同出而异名，同谓之玄，玄之又玄，众 妙之门。 • 道生一，一生二，二生三，三生万物
构造性（结构化）方法
• 简单命题（原子命题） 简单陈述句，不能分解
atomic or indecomposable
• 复合命题 原子命题通过联结词联结而 成的命题
符号化（symbolic）方法
• 命题： 用p、q、r、pi、qi、ri等符号表示 • 真值： “1”表示真，“0”表示假
如 p：4是偶数。 p的真值为1。 q：煤是白的。 r：《几何原本》的作者是欧几里德。
定义1.4 • 设p和q均为命题，则p和q的蕴涵式是一个复合 命题，记作p→q ，读作“如果p，则q”。 • p为前件（antecedent）； • q为后件（consequent）。 • 当且仅当p为1和q为0时， p→q的才为0。 • p为q的充分条件，q为p的必要条件。
蕴涵定义的合理性
【例1.5A】 • 商家承诺：7日内，包退保换
• • • •
诚信 不诚信 诚信 诚信
1 1 0 0
1 0 1 0
蕴涵定义的合理性
• 【例1.5B】 • 同学约定：再过20年，同学再相会
• • • •
可信 不可信 可信 可信
1 1 0 0
1 0 1 0
蕴涵联结词与自然语言的对应
• p→q的逻辑关系是：p是q的充分条件，q是p 的必要条件。 • 存在不同的叙述方式： • p仅当q（仅当q，则p） • 只有q才p • 只要p，就q • 除非q，否则非p（除非q，则p） • 非p，除非q • 因为p，所以q
Mathematical Logics
@ 命题逻辑
基本概念 等值演算 推理
Propositional Logic
@ 谓词逻辑
基本概念 等值演算 推理
Predicate Logic
什么是数理逻辑？
• 研究推理的数学分支 • 研究“数学思维”的数学模型 • 逻辑的数学化、数学的逻辑化
什么是逻辑？
• 逻辑（Logics）是关于推理的科学 • 研究思维形式及其规律 • 包括形式逻辑与辩证逻辑 • 概念、判断、推理是思维的基本形式
这门课的特点
• 研究离散量的结构 及其相互关系的学科 • 离散——连续 有限——无穷
马致远 《天净沙· 秋思》 李煜 《虞美人》 春花秋月何时了，往事知多少。 小楼昨夜又东风，故国不堪回首 月明中。 雕栏玉砌应犹在，只是朱颜改。 问君能有几多愁，恰似一江春水 向东流。
枯藤．老树．昏鸦， 小桥．流水．人家， 古道．西风．瘦马， 夕阳西下． 断肠人在天涯。
符号化方法与形式语言
• 命题： 用p、q、r、pi、qi、ri等符号表示 如果火车晚点，而且车站没有出租车， 那么John参加会议就会迟到。 John没有迟到，火车的确是晚点了。 因此，车站有出租车。
半形式化： If p and not q, then r. Not r. p. Therefore, q.
Logic has been called “the calculus of computer science” Logic plays a similar role in computer science to that played by calculus in the physical sciences and traditional engineering disciplines. (M. Vardi, 2007)
蕴涵定义的例子
【例1.6】符号化命题 • （1）只要天下雨，我就回家。 • （2）只有天下雨，我才回家。 • （3）除非天下雨，否则我不回家。 • （4）仅当天下雨，我才回家。
解 设p：天下雨。q：我回家。 p是充分条件： p→q p是必要条件： q→p
练习
符号化命题
（1）他们每天通电话，除非发生意外。 （2）他每天都练功，除非是大年初一。 （3）只要别人有困难，老王就帮助别 人，除非困难解决了。 （4）要想人不知，除非己莫为。
逻辑学的发展
• 二千年前的古希腊、中国、印度， 逻辑已非常发达
• 亚理士多德（Aristotle，B.C. 384-B.C. 322）提出“演绎法”， 形式逻辑的开山鼻祖
逻辑学的发展 ——数理逻辑
• 1666年，莱布尼兹 （Gottfried Wilhelm von Leibniz， 1646-1716） 发明了一套逻辑运算符号， 创建了数理逻辑
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否定联结词与自然语言的对应
【例1.2】 • (1)p： 4是偶数。 其真值为1。 • ¬p ：4不是偶数。其真值为0。 • (2)q： 这些都是学生。 • ¬q ：这些不都是学生。 • 一般地，自然语言中的“不”、“无 ”、“没有”、“并非”等词均可符 号化为“否定联结词”
合取(conjunction) 联结词