泛函分析课程总结
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泛函分析课程总结
数学与计算科学学院 09数本5班 符翠艳 2009224524 序号:26 一.知识总结 第七章 度量空间和赋范线性空间 1. 度量空间的定义:设X 是一个集合,若对于X 中任意两个元素,x y ,都有唯
一确定的实数(),d x y 与之相对应,而且满足
()()()()()()()1,0,,0=;2,,;3,,,,d x y d x y x y d x y d y x d x y d x z d z y z ≥=⎧⎫
⎪⎪=⎨⎬⎪⎪≤+⎩⎭
、的充要条件是、、对任意都成立。 则称d 为X 上的一个度量函数,(d X ,)为度量空间,),(y x d 为y x ,两点间的度量。
2. 度量空间的例子 ①离散的度量空间(),X d
设X 是任意的非空集合,对X 中任意两点,x y X ∈,令
()1,,0,x y d x y x y ≠⎧⎫
=⎨⎬=⎩⎭
当当
②序列空间S
令S 表示实数列(或复数列)的全体,对S 中任意两点
()()12n 12,,...,,...,,...,,...n x y ξξξηηη==及,令
()11,21i i
i
i i i
d x y ξηξη∞
=-=+-∑
③有界函数空间B (A )
设A 是一给定的集合,令B (A )表示A 上有界实值(或复值)函数全体,对B (A )中任意两点,x y ,定义
(),()()sup t A
d x y x t y t ∈=-
④可测函数空间m(X)
设m(X)为X 上实值(或复值)的L 可测函数全体,m 为L 测度,若()m X ≤∞,对任意两个可测函数()()f t g t 及,令
()()(),1()()
X
f t
g t d f g dt f t g t -=+-⎰
⑤[],C a b 空间
令[],C a b 表示闭区间[],a b 上实值(或复值)连续函数的全体,对[],C a b 中任意两点,x y ,定义
(),max ()()a t b
d x y x t y t ≤≤=-
⑥2l 空间 记{}12k k k x x
x l ⎧
⎫⎪⎪⎨⎬⎪
⎪⎩⎭
∞
===<∞∑
,设2k x x l ⎧⎫⎨⎬⎩⎭∈=,2
y k y l ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
∈=,定义 ()12
21,()k k k d x y y x ∞
=⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦
∑
注:度量空间中距离的定义是关键。 3.度量空间中的极限,稠密集,可分空间 3.1收敛点列和极限
定义: 设{}n x 是(),X d 中的点列,如果存在x X ∈,使
(),0lim n
d x x n =→∞
,则称点列{}n x 是(),X d 中的收敛点列,x 是点列{}n x 的极限。 注:1.度量空间(),X d 中的收敛点列的极限是唯一的。
2.各个度量空间中各种极限概念不完全一致(依坐标收敛,一致收敛。依测度收敛等)
3.2度量空间中稠密子集和可分度量空间
定义:设X 是度量空间,E 和M 是X 中两个自己,令M -
表示M 的闭包,如果E M -
⊂,那么称M 在集E 中稠密,当E = X 时称M 是X 的一个稠密子集。如果X 由一个可数的稠密子集,则称X 是可分空间。
注:1.若A 在B 中稠密,B 在C 中稠密,则A 在C 中稠密。
2. 欧氏空间R n 、空间C[a,b]、空间p p l b a L ],,[是可分的。
3. ∞l 不可分。
4.完备度量空间 4.1 柯西点列
定义:设(),X X d =是度量空间,{}n x 是X 中的点列,如果对任意给定的正数0ε>,存在正整数()N N ε=,使当n,m>N 时,必有
(),n m d x x ε<
则称{}n x 是X 中的柯西点列。那么称(),X d 是完备的度量空间。 4.2 完备度量空间的例子 ① l ∞是完备度量空间 ② C 是完备度量空间 ③[],a b C 是完备度量空间
4.3定理的证明
定理:完备度量空间X 的子空间M 是完备空间的充要条件为M 是X 中的
闭子空间。 证明:设M 是完备子空间,对每个x M -
∈,存在M 中点列{}n x ,使
()x x n n
→→∞,由前述,{}n x 是M 中的柯西点列,所以在M 中收敛,有极限的唯一性可知x M ∈,即M M -⊂,,所以M M -
=,因此M 是X 中的闭子空间。 5.度量空间的完备化 5.1等距同构映射
定义:设(),X d ,~~,X d ⎛⎫
⎪⎝⎭是两个度量空间,
如果存在X 到~
X 上的保距映射T ,即()()~
,,d Tx Ty d x y =,则称(),X d 和~~,X d ⎛⎫
⎪⎝⎭
等距同构,T 称为X 到~
X 上的等距
同构映射。
5.2 度量空间的完备化定理
定理:设(,)X X d =是度量空间,那么一定都一定存在一个完备空间~~,X d ⎛⎫
⎪⎝⎭
,
使X 与~X 的某个稠密子空间W 等距同构。并且~
X 在等距同构的意义下时唯一的,即^
^
(,)X d 也是一完备度量空间,且X 与^
X 的某个稠密子空间等距同构,则
~~,X d ⎛⎫
⎪⎝⎭
与^^
(,)X d 等距同构。 注:任一度量空间(),X d 都存在唯一的完备度量空间~~,X d ⎛⎫
⎪⎝⎭
,使X 为~
X 的稠密
子空间。
6.压缩映射