球的主要性质2
正方体长方体圆柱和球的特点
正方体长方体圆柱和球的特点1.引言1.1 概述概述部分的内容：几何体是我们日常生活中经常接触到的物体，它们具有不同的形状和特点。
在本文中，我们将主要探讨正方体、长方体、圆柱和球这四种常见几何体的特点。
正方体是一种具有六个面都是正方形的立体物体。
它的每个面都是平整的，并且所有的面都相等，每个角都是直角。
正方体具有优秀的稳定性，常被用于建筑、立体拼图等领域。
长方体是一种具有六个面都是矩形的几何体。
它的长度、宽度和高度都不相同，因此可以根据需求进行调整。
长方体在日常生活中随处可见，如书桌、电视机、冰箱等。
圆柱是一种具有两个平行且相等的圆底的几何体。
底面上的圆与侧面成直角，它的形状特点使得它可以用来储存液体或者承载重物。
圆柱广泛应用于工业、建筑和交通运输等领域。
球是一种具有无限多个点到某一点的距离都相等的立体几何体。
它是三维空间中唯一完全对称的几何体，具有非常特殊的性质。
球体常用于运动、游戏和天体物理研究等领域。
通过分析正方体、长方体、圆柱和球的定义、形状特征和基本性质，我们可以更好地理解它们在不同领域的应用。
本文将进一步探讨这四种几何体的基本性质和应用领域，并通过对比分析，总结它们各自的特点。
通过本文的阅读，读者将更深入地了解这四种几何体的性质与特点。
1.2文章结构文章结构部分的内容：本文将按照以下顺序介绍正方体、长方体、圆柱和球的特点。
首先，在引言部分概述了整篇文章的主要内容和目的。
然后，文章将分别在第二、三、四和五部分详细探讨正方体、长方体、圆柱和球的定义、形状特征、基本性质和应用领域。
每个部分将先介绍几何体的定义和形状特征，然后讨论其基本性质和应用领域，以便读者能够全面了解并比较它们的特点。
最后，在结论部分总结了正方体、长方体、圆柱和球的特点，并进行了对比分析不同几何体之间的差异和相似之处。
通过这样的文章结构，读者可以逐步了解不同几何体的概念和形状特征，进而了解它们的基本性质和实际应用。
同时，通过对比分析不同几何体之间的特点，读者可以深入理解它们各自的独特性和相互关系。
(完整版)球体的性质及判定归纳
(完整版)球体的性质及判定归纳
球体的定义
球体是一个具有球面的立体几何体。
它的特点是每一点距离球心的距离都相等。
球体的特性
1. 球心：球体的几何中心点，到球面上的每一点的距离相等。
2. 球面：球体的表面，由无数个点组成，到球心的距离相等。
3. 直径：通过球心的两个点，该线段的长度即为球体的直径。
4. 半径：连接球心和球面上任意一点的线段长度，即为球体的半径。
5. 表面积：球体表面的总面积。
6. 体积：球体所占据的空间大小。
球体的判定方法
1. 观察法：观察一个物体是否符合球体的特征，如形状是否圆滑均匀。
2. 测量法：通过测量物体的直径或半径，判断其是否为球体。
当测量的结果很接近时，可以认定物体为球体。
球体的应用与意义
球体的性质和特点使其在各个领域有广泛的应用：
1. 数学几何学：球体是几何学中的基本形体，研究和探索球体的性质有助于数学推理和问题解决。
2. 物理学：球体的密度和体积的性质对物理学中的质量与体积的计算和测量具有重要意义。
3. 工程学：球面上的力分布均匀，使得球体在压力和承重方面具有优势，因此广泛应用于各个工程领域。
4. 地球科学：地球可以近似看作一个球体，研究地球的结构和性质，了解地球的气候、地理与地震等现象都离不开球体的性质。
总结
球体具有均匀分布的性质，无论是数学几何中的基本形体，还是在物理学、工程学和地球科学等领域的应用，球体都扮演着重要的角色。
通过观察和测量，我们可以准确地判断一个物体是否为球体，认识和掌握球体的性质对我们理解和解决问题至关重要。
该文档共827字。
认识球体与圆柱体
认识球体与圆柱体球体与圆柱体是我们生活中常见的几何体，它们具有不同的特点和应用场景。
下面将针对球体和圆柱体的定义、性质以及应用进行介绍。
一、球体的定义与性质球体是由所有到球心距离相等于半径的点构成的几何体。
在三维空间中，球体具有以下性质：1. 球心：球心是球体的中心点，它到球面上的所有点的距离都是相等的。
2. 球面：球面是球体的表面，它是由一系列到球心距离等于半径的点构成的。
3. 直径：直径是通过球心，并且两端点都在球面上的线段，直径的两倍即为球体的直径。
4. 半径：半径是球心到球面上任意一点的距离。
5. 体积：球体的体积可以通过公式V = 4/3πr³计算，其中V为体积，π为圆周率，r为半径。
6. 表面积：球体的表面积可以通过公式A = 4πr²计算，其中A为表面积。
7. 对称性：球体具有高度的对称性，任意一条通过球心的平面都可以将球体分成两个对称的部分。
二、球体的应用场景球体由于其独特的性质，广泛应用于工程、天文学、体育等领域。
1. 工程中的应用：球体常用于容器设计和流体力学中。
例如，天然气储罐常采用球形设计，以最大限度地减少对容器壁的应力，并提高结构的稳定性。
2. 天文学中的应用：天文学中的行星和恒星都可以近似看作球体。
球体模型可以用来研究天体的运动和行星间的相互作用。
3. 体育用品中的应用：许多体育用品，如足球、篮球和网球，都采用了球体的形状。
这种设计可以使球具有更好的滚动性、反弹性和空气动力学性能。
三、圆柱体的定义与性质圆柱体是由圆和与其平行且两端点在同一平面上的所有线段构成的几何体。
在三维空间中，圆柱体具有以下性质：1. 底面：圆柱体的底面是一个圆，底面的半径称为圆柱体的底面半径。
2. 高度：圆柱体的高度是连接底面两圆心的线段，也是垂直于底面并且两端点在同一平面上的线段。
3. 侧面：圆柱体的侧面是由连接底面两圆上对应点的所有线段构成的。
4. 直径：圆柱体的直径是通过圆心，并且两端点都在圆周上的线段，直径的两倍即为圆柱体的直径。
球体的体积与表面积关系推导
球体的体积与表面积关系推导在数学中，球体是一种具有无限多个对称中心的几何体。
球体的特点是其表面上的每一点到中心的距离都相等，这个距离被称为半径。
通过研究球体的体积与表面积之间的关系，我们可以更深入地了解球体的性质和特点。
一、球体的定义及基本公式球体是由三维空间中所有到中心点距离小于等于给定半径的点构成的集合。
球体的体积和表面积可以通过以下公式计算得出：1. 球体的体积公式：V = (4/3)πr^3其中，V表示球体的体积，π是圆周率，r是球体的半径。
2. 球体的表面积公式：A = 4πr^2其中，A表示球体的表面积，π是圆周率，r是球体的半径。
二、推导球体体积与表面积的关系我们可以通过对球体的切割和展开来推导球体的体积与表面积之间的关系。
1. 切割与展开球体将球体沿着两个垂直于彼此的坐标轴切割，并沿着这两个切割面将球体展开。
2. 形成球冠和圆盘我们可以看到，切割后的球体被分成许多球冠和圆盘。
球冠是由球的表面和两个切割面构成的部分，圆盘是由两个切割面和球的表面构成的部分。
3. 计算球冠的体积对于一个球冠，它的体积可以通过计算一个圆台的体积得出。
圆台的体积公式为：Vc = (1/3)π(h^2)(R + r)其中，Vc表示球冠的体积，h表示球冠的高度，R表示球冠的大半径，r表示球冠的小半径。
4. 计算圆盘的面积对于一个圆盘，它的面积可以通过计算一个矩形的面积得出。
矩形的面积公式为：Ac = 2πr * h其中，Ac表示圆盘的面积，r表示圆盘的半径，h表示圆盘的周长。
5. 求和计算球体的体积将所有球冠的体积相加，可以得到整个球体的体积。
同理，将所有圆盘的面积相加，可以得到整个球体的表面积。
V = Vc1 + Vc2 + Vc3 + ... + VcnA = Ac1 + Ac2 + Ac3 + ... + Acn三、结论与应用通过上述的推导过程，我们可以得出一个结论：球体的体积与表面积之间存在着特殊的关系。
球的方程式
球的方程式球是一种具有圆形表面的立体几何体，由三维空间中的一条直线作为中心轴旋转形成。
球在数学中有着重要的地位，其方程式也是研究球体性质的基础。
球可以通过一点及该点与直线的距离来定义。
设球心坐标为（a，b，c），球的半径为r。
则球的方程可以表示为：（x-a）^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = r^2这就是球的标准方程形式。
其中（x，y，z）为球表面上的任意一点的坐标。
球的方程可以具体描述球的性质和特点。
下面我们来看一下球的属性和应用。
1.基本属性：球体是一种特殊的圆锥曲线，具有以下基本属性：-球心：球的中心点，由标准方程中的（a，b，c）表示。
-半径：球心到球面上任意一点的距离，由标准方程中的r表示。
-直径：球面上通过球心的直线段的长度，为半径的两倍。
-表面积：球的表面积可以用公式4πr^2表示，其中π为圆周率。
-体积：球的体积可以用公式4/3πr^3表示。
2.应用场景：-几何学：球是几何学中的基础概念，研究球体的方程可以帮助我们了解球的性质和特点。
-物理学：球在物理学中有广泛的应用，比如分析球体的运动、计算物体的受力等。
-工程学：球体在工程学中也有许多实际应用，比如圆形容器、轮胎、球形建筑等。
3.球的性质：-对称性：球体具有旋转对称性，即可沿任意轴旋转而不改变球的形状和性质。
-最小曲面：球是一种曲率处处相等的曲面，表面积最小的封闭立体。
-最大体积：对于给定的表面积，球具有最大的体积。
这就是为什么肥胖的人看起来比瘦的人短，因为他们的体积更大。
-半径公式：由球的方程可以推导出球的半径公式，即r = √[(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2]。
4.球的方程与其他几何图形的关系：-圆：当z = c时，球的方程可以化简为圆的方程，即(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2。
因此，圆是球的一个截面。
-点：当r = 0时，球的方程变为一个点（a，b，c）。
因此，点可以看作是球的一个特例。
球的方程式
球的方程式
摘要：
一、引言
二、球的定义与性质
三、球的几何方程式
四、球在数学中的应用
五、结论
正文：
【引言】
球，作为数学中的一个基本概念，无论是在日常生活还是在科学研究中都有着广泛的应用。
本文将主要介绍球的定义、性质，以及其在数学中的重要应用。
【球的定义与性质】
球，通常定义为一个平面上的所有点到某一点的距离都相等的点的集合。
这个点被称为球的球心，而相等的距离被称为球的半径。
根据这个定义，我们可以得知球具有以下几个重要的性质：
1.球心是球的中心，所有直径都相交于球心。
2.半径是球的大小，决定了球的体积和表面积。
3.球是各向同性的，即无论从哪个方向观察，球的形状都是相同的。
【球的几何方程式】
球的几何方程式可以由球心坐标和半径表示。
设球心为(x0, y0, z0)，半径
为r，则球的几何方程式可以表示为：
(x - x0)^2 + (y - y0)^2 + (z - z0)^2 = r^2
【球在数学中的应用】
球在数学中有广泛的应用，包括物理学、工程学、计算机科学等。
以下是一些具体的应用：
1.物理学：在物理学中，球常被用来描述行星、原子核等具有球对称性的物体。
2.工程学：在工程学中，球常被用来描述轴承、齿轮等机械零件的形状。
3.计算机科学：在计算机科学中，球常被用来描述三维空间中的数据分布，如球面投影等。
【结论】
总的来说，球作为一个基本的几何概念，在数学中有着广泛的应用。
球体与圆柱体的性质知识点
球体与圆柱体的性质知识点球体与圆柱体是几何学中常见的几何体，它们具有不同的性质和特点。
本文将介绍球体和圆柱体的定义、性质以及它们在实际生活中的应用。
一、球体的性质1. 定义：球体是由三维空间中的所有离一个固定点距离相等的点组成的集合。
该固定点称为球心，所有距离等于某一给定值的点构成球体的表面。
2. 特点：a) 所有直径相等的球体，其体积相等。
b) 球体的表面积公式为S = 4πr²，其中r表示球体的半径。
c) 球体的体积公式为V = (4/3)πr³。
d) 在球体内部的任意两点之间的最短距离是由球心连线构成的直径，该直径即为最短距离。
3. 应用：a) 球体在体育运动中广泛应用，如足球、篮球、网球等。
球体的特点使得它能够滚动、反弹等。
b) 球体在建筑设计中常被用来设计圆形的建筑物或者装饰，给人以美的感受。
c) 球体还广泛应用于数学、物理等学科的研究中，如球体的运动轨迹等。
二、圆柱体的性质1. 定义：圆柱体是一个由两个平行圆面和一个连接两个圆面的侧面组成的几何体。
2. 特点：a) 圆柱体的两个平行圆面的半径分别为r1和r2，连接两个圆面的侧面高度为h，则圆柱体的体积公式为V = π(r1² + r1r2 + r2²)h。
b) 圆柱体的表面积公式为S = 2πrh + 2πr1²，其中r为圆柱体底面的半径，h为圆柱体的高度。
3. 应用：a) 圆柱体在建筑设计中常被用来设计柱子、水管等结构，具有承重、输送液体等功能。
b) 圆柱体在工程测量中也有广泛应用，如测量容器的体积、计算柱形对象的表面积等。
c) 圆柱体的概念也可以用于描述许多圆柱形的物体，如圆柱形笔筒、圆柱形罐子等。
三、球体与圆柱体的联系1. 体积关系：对于给定的球体和圆柱体，当它们的底面积相等时，圆柱体的体积大于球体的体积。
这是因为圆柱体的高度相对于球体来说可以任意调整，而球体的体积则由半径决定。
【课件】球的表面积和体积课件-2022-2023学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
例题讲解
4. 一个长、宽、高分别为80cm，60cm，55cm的水槽中装有200000
cm3的水，现放入一个直径为50cm的木球. 如果木球的三分之二在
水中，三分之一在水上，那么水是否会从水槽中溢出.
3
由题意知 V水槽 80 60 55 264000(cm ).
4 3
R 2
V球
这是我生平最
∴
3 3 .
V圆柱 2 R
3 即球与圆柱的体积之比为2:3. 得意的 定理
问题2 球的表面积与圆柱的侧面积之比呢？与圆柱的表面积呢？
S球 = 4πR2
S圆柱 = 2πR×2R=4πR2
球的体积是圆柱体积的 2/3 ， 圆柱容球
球的表面积也是圆柱全面积的2/3
.
课堂练习
解：作出截面图如图示.
由图可知，球的直径等于正方体D
的体对角线长，即
A
4 R 1 2 3 14.
2
∴ 球的表面积为 S球 4 R 14 .
2
2
2
2
D
C
A
•
O
O
B
结论：长方体外接球的直径等于长方体的体对角线.
R=
l
=
2 2 2
√a +b +c
(a,b,c是长方体的棱长)
第八章
立体几何初步
8.3.3 球表面积和体积
引 入
圆柱
圆锥
• O'
h
圆台
r'• O'
S
l
h
r •O
2πr
l
球的坐标方程公式
球的坐标方程公式
球的坐标方程公式为x^2 + y^2 + z^2 = r^2，这个简单的方程描述了一个球体的几何特征。
在三维空间中，球是一种非常基本的几何体，它具有许多有趣的特性和应用。
让我们来看看球体的基本性质。
球体是所有点到球心的距离都等于半径r的点的集合。
这意味着球体是一个完美的对称体，无论从哪个方向观察，它始终保持相同的形状。
这种对称性使球体在许多领域都有广泛的应用，比如天体物理中描述星球运动的模型、工程学中描述球形零件的设计等。
球体的表面也是非常有趣的，它是一个闭合的曲面，没有边界或顶点。
这使得球体成为研究曲面积分、曲面积分等数学问题的重要对象。
球体的表面积可以通过球体的半径来计算，这在实际问题中有很多应用，比如计算地球的表面积、计算球形容器的表面积等。
除了数学上的性质，球体在现实世界中也有许多应用。
例如，地球可以近似看作一个球体，这在导航、天文学等领域都有重要的意义。
此外，球体的形状也被广泛运用在体育比赛中，比如足球、篮球等运动都是围绕着球体展开的。
总的来说，球体作为一个简单而基本的几何体，具有许多有趣的性质和应用。
通过球的坐标方程公式，我们可以更好地理解球体的几何特征，并将其运用到实际问题中去。
希望通过这篇文章，读者能
对球体有更深入的了解，并认识到它在数学、物理、工程等领域的重要性和广泛应用。
《新课程标准高中数学必修②复习讲义》第一、二章-立体几何
一、立体几何知识点归纳 第一章 空间几何体（一)空间几何体的结构特征（1）多面体——由若干个平面多边形围成的几何体.围成多面体的各个多边形叫叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱,棱与棱的公共点叫做顶点.旋转体--把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体。
其中,这条定直线称为旋转体的轴。
（2）柱，锥,台，球的结构特征 1。
棱柱1。
1棱柱—-有两个面互相平行，其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。
1。
2相关棱柱几何体系列(棱柱、斜棱柱、直棱柱、正棱柱）的关系： ①⎧⎪⎧−−−−−→⎨⎪−−−−−→⎨⎪⎪⎩底面是正多形棱垂直于底面斜棱柱棱柱正棱柱直棱柱其他棱柱 底面为矩形侧棱与底面边长相等1.3①侧棱都相等,侧面是平行四边形;②两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形； ③过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形；④直棱柱的侧棱长与高相等，侧面与对角面是矩形。
1。
4长方体的性质：①长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的平方和；【如图】222211AC AB AD AA =++②（了解)长方体的一条对角线1AC 与过顶点A 的三条棱所成的角分别是αβγ，，，那么222cos cos cos 1αβγ++=，222sin sin sin 2αβγ++=；③（了解）长方体的一条对角线1AC 与过顶点A 的相邻三个面所成的角分别是αβγ，，,则，222sin sin sin 1αβγ++=222cos cos cos 2αβγ++=.1.5侧面展开图:正n 棱柱的侧面展开图是由n 个全等矩形组成的以底面周长和侧棱长为邻边的矩形. 1.6面积、体积公式：2S c hS c h S S h=⋅=⋅+=⋅直棱柱侧直棱柱全底棱柱底，V （其中c 为底面周长,h 为棱柱的高)2.圆柱2。
1圆柱—-以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱.2.2圆柱的性质：上、下底及平行于底面的截面都是等圆;过轴的母线截面（轴截面）是全等的矩形.2。
小学数学知识归纳理解球体和球体的性质
小学数学知识归纳理解球体和球体的性质球体是一种具有特殊几何形状的立体，它的形状类似于一个完全的圆。
在小学数学中，我们学习了很多关于球体的知识，包括球体的性质和相关计算方法。
本文将对小学数学中与球体相关的知识进行归纳和理解。
一、球体的定义和性质球体是由一个平面绕着线段两端的一个点旋转一周形成的几何固体。
它具有以下性质：1. 球面：球体的表面叫做球面，球面上的所有点到球心的距离相等。
2. 直径：通过球心的一条线段称为球的直径。
直径的两端点在球面上。
3. 半径：由球心到球面上任意一点的线段叫做球的半径。
所有的半径长度相等。
4. 中心：球体的中心点叫做球的中心，也是球的球心。
5. 表面积：球体的表面积是指球面的总面积，可以通过计算公式S=4πr²来求得，其中r为球的半径。
6. 体积：球体的体积是指球体所包围的空间的大小，可以通过计算公式V=4/3πr³来求得，其中r为球的半径。
二、球体的计算方法1. 计算半径：若我们已知球体的直径或周长，可以通过直接除以2的方法计算得到球的半径。
2. 计算直径：若我们已知球体的半径，可以通过直接乘以2的方法计算得到球的直径。
3. 计算表面积：根据前面提到的计算公式S=4πr²，已知球的半径后，可以直接代入公式计算得到球的表面积。
4. 计算体积：根据前面提到的计算公式V=4/3πr³，已知球的半径后，可以直接代入公式计算得到球的体积。
三、球体的应用举例球体的形状和性质在现实生活中有很多应用场景，以下是一些具体的举例：1. 圆珠笔：圆珠笔的笔芯是一个小球，正因为球的形状，才能够在纸上顺利地滚动和书写。
2. 篮球：篮球是一个典型的球体，它使用了球体的形状特性，使得球在投射和运动时更加顺畅。
3. 血球：在生物学中，我们学习到红细胞和白细胞也具有球体的形状。
这种形状可以提供更大的表面积，有助于它们在人体血液中的功能发挥。
4. 地球：地球也是一个巨大的球体，它的形状决定了地球上各种自然现象的规律，比如地球的自转和公转引发了昼夜交替和季节变化。
球体的表面积与体积-高一数学课件(人教A版2019必修第二册)
典例精析
题型二：球的截面问题
球的截面问题
性质1: 用一个平面去截球，截面是圆面；
性质2: 球心和截面圆心的连线垂直于截面．
性质3: 球心到截面的距离与球的半径及截面的
半径的关系: = −
O1
例4.已知知半径为5的球的两个平行截面圆的周长分别为6π和8π，则这
两个截面间的距离为________．
探究新知
②再探究球的表面积公式
球的体积，等于所有小棱锥的体积和
球 = + + ⋯ +
球 =
+
+ ⋯+
= ( + + ⋯ + )
= 球
∴ 球 =
球
=
×
=
极限思想
02
球体的表面积和体积公式的推导
然后代入体积或表面积公式求解.
2.关键要素：半径和球心是球的关键要素，把握住了这两点，计算球的
表面积或体积的相关题目也就轻松自如了.
典例精析
题型二：球的截面问题
例3.一平面截一球得到直径为 的圆面，球心到这个平面的距离是 ，则
该球的体积是( ).
A.
B.
应用新知
题型一：球的表面积和体积
例1.如图，某种浮标由两个半球和一个圆柱黏合而成，半球的直径是. ，
圆柱高. .如果在浮标表面涂一层防水漆，每平方米需要. 涂料，
那么给个这样的浮标涂防水漆需要多少涂料？(取. )
解：一个浮标的表面积为2 × 0.15 × 0.6 + 4 × 0.152 = 0.8478(2 )，
球的概念和性质(第2课时)
O
午线）和地轴确定的半 线
平面所成二面角的度数.
A
道
•由地理知识知：AOB为
赤
P点所在经线的经度.
B
2）.地球的纬度
• 赤道是一个大圆， 其它的纬线都是小圆. •某点的纬度就是经过 这点的球半径与赤道 面所成角的度数.
•由地理知识知： AOP为P点纬度.
北极
地 P
轴 O
道 赤 A
地理知识
90°
60°
∴∠AOB=120°
又AB的球面距即大圆ACB
30 °
A
上的劣弧 ACB 的长
ACB 的弧长 2R 3
C 地
K轴
B
30 °
30 °
O
赤
P 道
例2. 我国首都靠近北纬40°纬线。求北纬 40°纬线的长度约等于多少km（地球半径 约为6 370km）.
A
O
B
K
A
40°
OB
解：如图，A是北纬40°纬线上的一点，AK是它的 半
1.两点间的球面距离
Q
P
Q
P
反回到上一张
2、两点的球面距离公式
A、B间的球面距离
⌒AB的长度 R
注：θ的单位为弧度
A
B
R
O
3、地球的经度与纬度
1）.地球的经度
北极
• 地球的经线就是球面上从 北极到南极的半个大圆.
P 本
•某点的经度是经过这点
初
地
的经线和地轴确定的半
子
轴
平面与0度经线(本初子 午
3
C 地
AK OA COS 30 3 R 30°
2
B
甲乙两地弧长 2 AK 3
球的性质总结
球的性质总结1. 球的概念与性质：球的概念与性质：（1）定义：半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面叫做球面，球面所围成的几何体叫做球体，简称球。
体叫做球体，简称球。
球的基本元素有：球心、半径、直径。
球的基本元素有：球心、半径、直径。
（2）截面性质：）截面性质：球心和截面圆心的连线垂直于截面；球心和截面圆心的连线垂直于截面；球心到截面的距离d 与球的半径R 及截面的半径r 有下面的关系：r R d =-22，（计算公式）算公式）（3）球的截面是圆面：）球的截面是圆面：球的大圆：球面被经过球心的平面截得的圆。
球的大圆：球面被经过球心的平面截得的圆。
球的小圆：球面被不经过球心的截面截得的圆。
球的小圆：球面被不经过球心的截面截得的圆。
（4）球面距离：在球面上，经过两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度叫做两点的球面距离。
球面距离。
2. 面积、体积计算公式：面积、体积计算公式：V R 球=433p S R 球=42p （1）VR R S R 球球···==134132p ，由此变形式，可将球体积记为以球心为锥顶，球面为底面的锥体积；球面为底面的锥体积；（2）球面面积等于与之等底等高的圆柱侧面积；等于与之等底等高的圆柱全面积的23。
3. “地球”的知识及方法：“地球”的知识及方法： （1）经线与经度：）经线与经度：地球球面上从北极到南极的半个大圆叫做经线，规定经过英国格林威治天文台旧址的经线为0°经线。
一个地方的经度是指经过当地经线的所在半平面和0°经线所在半平面之间的夹角的度数，以0°经线为基准，向东度量的为东经，向西度量的为西经。
如东经30°，西经60°等。
°等。
（2）纬线与纬度：）纬线与纬度：与地轴（通过北极和南极的直线）垂直的平面截地球球面所得的圆叫做纬线，其中大圆叫做赤道。
一个地方的纬度是指当地与球心的连线和地球赤道平面之间所成的角的度数，赤道为0°纬线；以赤道为基准，向北度量为北纬，向南度量为南纬。
地球概论-地球的结构和物理性质2
地幔与地核之间的古登堡面，是地球内部最显著的 一个不连续面。P波到了这个界面上，突然减速，并急剧 改变行进方向，以致地面上产生P波的影区，即P波无法 到达的地带；同时，S波在这个界面上突然消失，以致地 面上产生S波的影区。前者是一个宽度为4100km的环形地 带（其南北界线距震中分别为5700km和11600km）；后者 是一个以震中的对蹠点为中心、半径为8400km的圆形地 区。
地球不是一个正球体，而是一个极半径略短、赤道半 径略长，北极略突出、南极略扁平，近于“梨形”的椭球 体。
5
6.3.2 地内物质分布和地球形状 从几何上说，地球的形状是不规则的。但是，在
物理意义上说，地球的形状又是规则的。这是因为， 全球静止海面，不论几何上怎样复杂，总是一个等位 面。在这个等位面上，物体具有相同的重力位能。地 内物质分布不均首先造成重力加速度的局部差异，从 而造成几何形状不规则。
26
全球的大陆共分七大洲，它们是亚洲、欧洲、非洲、 北美洲、南美洲、大洋洲（澳洲）和南极洲。其中的亚、 欧两洲事实上连成整体，即亚欧大陆，它们之间的界线是 人为划分的。
岛屿按其成因分为大陆岛、火山岛和珊瑚岛。 大陆岛一般面积较大，地势较高。它们原是大陆的组 成部分，由于地层陷落或海面上升才同大陆分离。 火山岛和珊瑚岛属海洋岛。火山岛由海底火山喷出物 堆积而成，通常高度较大。珊瑚岛大多分布在热带海洋中， 由珊瑚遗骸堆积而成，面积小，地势低，且多呈环状。大 小岛屿都归属于一定的大洲。
14
地幔的组成物质主要是铁镁含量很高的硅酸盐矿物所组 成的橄榄岩。在1000km左右的深度上，还有一个次一级 的不连续面，分地幔为上下二层。上地幔顶部也有一层 固体岩石层，它与地壳共同组成具有刚性的岩石圈。岩 石圈的厚度为70—100km。岩石圈以下，地震波速度明显 下降，在那里出现一个地震波的低速层。这表明，那里 的岩石已接近熔融状态，具有很大的可塑性。同上部的 岩石圈比较，它易于流动，称为软流圈，其厚度约为 200km。
球体的知识点总结
球体的知识点总结一、球体的定义球体是一个三维几何体，其表面上的所有点到球心的距离都相等。
球体通常被描述为一个半径为r的立体，其中心是球心。
球体是一种特殊的几何体，具有很多独特的性质和特点。
二、球体的性质1. 表面积：球体的表面积可通过公式A=4πr^2来计算，其中r为球体的半径，π约为3.14159。
这个公式是由球的投影构成的。
2. 体积：球体的体积可通过公式V=(4/3)πr^3来计算，其中r为球体的半径。
这个公式是由球的立体构成的。
3. 中心点：球体的中心点就是球心，即球体的几何中心。
4. 对称性：球体具有很强的对称性，任何一个通过球心的平面都将球体分成两个相等的部分。
5. 表面积和体积之比：球体的表面积和体积之比是固定的，即A/V=3/r。
6. 切割性：球体可以通过任意平面切割，切割后的截面都是圆形。
7. 质心：球体的质心位于球心，即球体的几何中心。
8. 惯性矩：球体的惯性矩可以通过球体的质量、半径和密度来计算，对于球体来说，惯性矩和物体的转动惯量是相等的。
9. 稳定性：球体是最稳定的几何形状之一，在工程和建筑中常常用来设计支撑结构和载重装置。
三、球体的公式1. 表面积公式：A=4πr^22. 体积公式：V=(4/3)πr^33. 表面积和体积之比公式：A/V=3/r4. 球体的惯性矩公式：I=2/5mr^2其中，A代表球体的表面积，V代表球体的体积，r代表球体的半径，π约为3.14159，m代表球体的质量，I代表球体的惯性矩。
四、球体的应用由于球体具有很多独特的性质和特点，因此在数学、科学和工程领域中得到了广泛的应用。
1. 地球和天体的模拟：地球和其他天体通常被近似为球体，这样可以更容易地进行其表面积和体积的计算。
例如，科学家通过计算地球的半径和密度来确定地球的质量，从而更好地了解地球的物理性质。
2. 球体的投影和绘制：在工程绘图和建筑设计中，球体的投影和绘制是常见的技术要求。
设计师需要准确地绘制球体的表面积和体积，以便进行建筑设计和结构分析。
普通地质学第二章 地球
自学） 三 密度与压力（自学） （一）密度
平均密度： 平均密度：5.516g/cm3 据布伦的研究：地壳表层的密度： 据布伦的研究：地壳表层的密度：2.7g/cm3 地内33km处：3.32g/cm3 ；2885公里处： 公里处： 地内 处 公里处 陡增至9.98g/cm3 自5.56陡增至 陡增至 6371公里处：12.51g/cm3 公里处： 公里处
（二）压力（自学） 压力（自学）
地球内部的压力是指不同深度处单 位面积上的压力，实质上是压强， 位面积上的压力，实质上是压强，地内 压力随深度而增大： 压力随深度而增大：
地下10km处：压力约为 ×103atm,约304kpa 处 压力约为3× 地下 约 莫 霍 面 （ 33km 处 ） ： 约 为 10×103atm 约 × 1200Mpa 古登堡面（ 约为150×103atm ， 古登堡面 （ 2885km处 ） ： 约为 处 × 13.52万兆帕 万兆帕 地心压力： 地心压力：36.17万兆帕 压力 万兆帕 （1大气压＝101.3kpa） 大气压＝ ） 大气压
16
五 地球的磁性 (一) 地磁场和地磁要素 一 （2）磁倾角：是磁场强度矢量与水平面间的夹角。通常以磁 ）磁倾角：是磁场强度矢量与水平面间的夹角。 场强度矢量指向下为正值，指向上为负值，在赤道为0 场强度矢量指向下为正值，指向上为负值，在赤道为 0。由磁 赤道到磁北极磁倾角由0 北极磁倾角由 赤道到磁北极磁倾角由 0变900。 （3）磁场强度（磁感应强度）：是指磁场强度矢量的绝对值， ）磁场强度（磁感应强度） 是指磁场强度矢量的绝对值， 地球平均为50µt（微特斯拉），在赤道附近最小，为30µt 。 地球平均为 （微特斯拉） 在赤道附近最小，
地球具弹塑性是地内物质能发生变形运动和移位的重要原21第三节地球的结构大量资料充分证明地球不是一个均质体它具有明显的圈层结构而且各圈层之间的物理化学性质和物质运动状态的差异较大
球面和球体的区别
∴c= 2 π ×AK = 2π·OAcos∠OAK ≈2×3.142×6370×0.7660 ≈3.066×104（km）
B地的经度的规定： 经过B点的经线与地
地轴
轴确定的半平面和本
初子午线与地轴确定
本
初
子
M
午
线
A
O
的半平面所成的二面 角的度数（即∠AMB B E 的度数）
球的直径
球心
球的半径
(二)球的画法和表示法
O ☆一个球用表示它的球心的字母来表示,例如:球O.
(三)球 的 截 面
问题2：一条直线与圆相交，在圆内的部分是什么图形？
把直线换成平面，圆换成球，即用一个平 面去截球，情况又怎样呢？
我们用一个平面去截一个球,是 什么图形呢？ 圆面
R Cd
A
r
DB
球的截面性质：1、球心和截面圆心的连线重直于截面
显然:AMB=COD
C
D F B, E两地的经度差为:
BME
（六）球面距离
在球面上经过两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，
它是球面上经过这两点的弧长中最短的，亦称球面上两点 之间的最短距离。
N
练习:1、球O的半径为2，它的
表面上有两点A、B，
A
∠AOB=π/3， 则A、B两点间的球面距离为
二.新授课
问题1：谁能模仿圆和圆面，给球面和球下定义？ 定义1：到一个定点的距离等于定长的点的集合 是一个球面。定点——球心，定长——球半径
定义2：到一个定点的距离小于或等于定长的点 的集合是一个球体（简称“球”）。
(一)球的概念 ☆球:与定点的距离等于或小于定长的所
有点的集合叫做球体,简称球.
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(A) (B) (C) (D)
解：如图，设球心为 ，半径为 ，底面△ 的中心为 ，
连接 ， 和 .依题意得 ， ， ，
， ，故选(B).
例2.直三棱柱 的各顶点都在同一球面上. 若 ，
，则此球的表面积等于 .
解：如图，设球心为 ，底面 的外接圆的圆心为 ，半径为 ，连接 ， 和 .
由余弦定理得 ，
，再由正弦定理得， ， ，即 .
又由性质6得 ， ， 此球的表面积 .
性质7. 设底面边长为 ，侧棱长为 的正四棱锥的顶点都在一个球面上，则该球
的半径 .
证明：如图4，设正方形 的中心为 ，球心为 ，连接
， ， ，则点 在 上，且 .
依题意得 ， ， ，
即 ， .
例3.(11年·第15题)已知矩形 的顶点都在半径为 的球 的球面上，且
即 ，
，即 ， .
例4.(15年·第9题)已知 ， 是球 的球面上两点， ， 为该球面
上的动点.若三棱锥 体积的最大值为 ，则球 的表面积为( )
(A) (B)
(C) (D)
解：如图，设球 的半径为 ， ， ，
依题意可知，当 ，即 时，三棱锥
体积取得最大值，这时有 ， ，
球 的表面积为 ，故选(C).
， ，则棱锥 的体积为_______．
解：如图，设点 是点 在底面 上的射影，连接 ，
.依题意得 ， ，
棱锥 的体积为 .
性质8. 设正三棱锥 的底面边长为 ，侧棱长为 的所有顶点都在一个球
面上，则该球的半径 .
证明：如图5，设点 在底面 上的射影为 ，球心为 ，
半径为 ，则点 在 上，且 .
依题意得 ， ， ，
是长方体.
设 ，则六棱柱 的体积为 ，
， 该球的半径为 ， 该球的体积为 .
例7.已知球的直径 ， 、 是该球球面上的两点， ，
，则棱锥 的体积为( )
(A) (B) (C) (D)
解：如图， 是球的直径， ，
又 ， ， ， .
过 ，连接 ，由平面几何的知识可知， ，且 ， ， 棱锥 的体积
，又 ， .
，故选(A).
例6.(08年·第14题)一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面．已知该
六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为 ，底面周长为 ，则这个球的
体积为.
解：如图，在六棱柱 中，连接 ， ， ， ， 和 .
由平面几何知识可知， ， ，
是矩形，又由已知得 ， .
六棱柱 的侧棱垂直于底面，
例5.(12 年·第11题)已知三棱锥 的所有顶点都在球 的球面上，△
是边长为 的正三角形， 为球 的直径，且 ，则此棱锥的体积为( )
(A) (B) (C) (D)
解：如图，连接 ， . 为球 的直径， 是 的中点， 点 到底
面 的距离等于点 到底面 的距离的 ，
， 三棱锥 是正三棱锥， 在底面
的射影等于 ，三棱锥 的高 ，
过 作 ，垂足为 .
， ， ，
， 是矩形， ，
， .
例9.已知在半径为 的球面上有 、 、 、 四点，若 ，则四面体
的体积的最大值为( )
(A) (B) (C) (D)
解：如图，设球心为 ，连接 ， ， ， ，则四面体 可分为四个三棱锥 ， ， 和 .
依题意得 ，而使得三棱锥 和 的
体积之和最大，只需 即可.
和 ，则 为定值，且 也为定值，所以 为定值，
因此，点 的轨迹是以 为圆心， 为半径的圆，即该截面也是圆.
性质2. 球的小圆的圆心和球心的连线垂直于小圆所在的平面. 反之，球心在球的小圆所在平面上的射影是小圆的圆心.
如图2所示，若圆 是球 的小圆，则 .
证明：如图，设 ， 分别是圆 的两条直径，连接 ，
，由性质3可知， ，又因为 ，
所以 .同理可得， ，且 ，
所以 ， ， 三点共线，因此， 垂直于 和 ，且 .
性质5. 球的直径等于球的内接长方体的对角线长.
性质6. 若直棱柱的所有顶点都在同一个球面上，则该球的球心 是直棱柱的两
个底面的外接圆的圆心的连线的中点.
例1.(10年·第10题)设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为 ，顶点都在一
同理，当 时，三棱锥 和 体积之和最大，
因此，高为 的四棱锥 的底面是边长为 的正方形，点 、 、 、 、
均在半径为 的同一个球面上，则底面 的中心与顶点 之间的距离为( )
(A) (B) (C) (D)
解：如图，设四棱锥 的外接球的球心为 ，顶点 在底面 的射影为 ，底面 的中心为 ，连接 ， ， ，则依题意得 .
在 △ 中， ， ， ，
球的主要性质
性质1. 球的任意一个截面都是圆.其中过球心的截面叫做球的大圆，其余的截面
都叫做球的小圆.
已知球 的半径为 .
(1)若截面经过球心 .
如图1，设 是截面与球面的任意一个交点，连接 .
由球的定义可知， ，所以点 的轨迹是以 为圆心， 为
半径的圆，即该截面是圆.
(2)若截面不经过球心 .
如图1，设球心 在截面上的射影为 ， 是截面与球面的任意一个交点，连接 ，
， ， ， .
依题意可得 ，所以 .
同理可得 ，又因为 ，所以 .
性质3. 如图2，设球 的半径为 ，球 的小圆的圆心为 ，半径为 ，球心
到小圆 的距离 ，则由性质2得 ，或 .
性质4. 球的两个平行截面的圆心的连线垂直于这两个截面，且经过球心.
如图3，设球 的两个平行截面的圆心分别为 ， ，连接 ，