考研数学三真题解析

x2
【答案】（1） y(x) = xe 2 . （2）
【解析】（1）
y(
x)
=
e−

−
xdx

C
+

1 2x
x2
e2
e−xdx

=
x2
e2
(C
+
x ).
x2
因为 y(1) = e ，故 C = 0 ，所以 y(x) = xe 2 .
（2）由旋转体体积公式，
V = π
2
C. 与 ， 2 都有关.
D. 与 ， 2 都无关.
【答案】A
【解析】X − Y ~ N (0, 2 2 ，所以 P{ X − Y 1} = (1− 0 ) = ( −1− 0) = 2( 1 ) −1；
2
2
2
选A
二、填空题：9～14 小题，每小题 4 分，共 24 分．
当x = 0：
������+′(0)
=
lim
������→0+
������(������)
− ������
������(0)
=
lim
������→0+
������2������ − ������
1
=
lim
������→0+
������ 2������������������������ ������
的规范形为（ ）
A. y12 + y22 + y32
B. y12 + y22 − y32 C. y12 − y22 − y32
D. − y12 − y22 − y32
【答案】 C.
【解析】 2 + = 2 ，则 只能为 −2 或1，又由于 A = 4 ，则特征值分别为 -2,-2,1 ，则
二次型的规范形为 y12 − y22 − y32 . 7、设 A, B 为随机事件，则 P( A) = P(B) 充分必要条件是
A. P( A U B) = P( A) + P(B).
B. P( AB) = P( A)P(B).
C. P(AB) = P(B A).
D. P( AB) = P( AB).
−4 k 4 . 3．已知微分方程 y + ay + by = cex 的通解为 y = (C1 + C2 )e−x + ex ，则 a, b, c 依次为（ ）
A、1, 0,1
B、 1, 0, 2
C、 2,1,3
D、 2,1, 4
【答案】 D.
【解析】由通解形式知， 1 = 2 = −1 ，故特征方程为（ +1）2 = 2 + 2 +1=0 ，所以
−
1
=
lim
������→0+
2������������������������ ������
=
−∞
������−′(0)
=
lim
������→0+
������(������)
− ������
������(0)
=
������������ ������
lim
������→0+
������
=
lim ������������
n
9、
lim
n→
1 1 2
+
1 23
+
+
1 n(n +1)

= ____________
【答案】 e−1.
【解析】
1 1 2
+
2
1
3
+L
n
1
+
n

(n
+
1)

=

n
n +
1
n
，则
lim
n→

n
n +
1
n

= e−1.
10、曲线 y = x sin x + 2 cos x(− π x 3π ) 的拐点坐标为____________
(
x2
xe 2 )2dx = π
2 xex2 dx = π (e4 − e).
【答案】 0.4 .
【解析】因为 AA
=
− PA QA
dQA dPA
=
− PA QA
(−2PA
−
PB )
，将 PA
= 10 ， PB
=
20 ，QA
= 1000
代入，可得 AA
=
10 1000
400
=
0.4 .
1 0 −1
0
13、
A
=

1
1
−1

，
b
=

1

【答案】C
【解析】 P(AB) = P(B A) P(A) − P(AB) = P(B) − P(AB) P( A) = P(B) ；选 C.
8、设随机变量 X 和Y 相互独立，且都服从正态分布 N (, 2 ) ，则 P{ X − Y 1}
A. 与 无关，而与 2 有关.
B. 与 有关，而与 2 无关.
当x < 0： ������′(������) = ������������ + ������������������ = ������������(������ + 1)
因此������′(������)
=
2������ 2������ (������������������ {
+
1)；x
>
0
������������(������ + 1)；x < 0
+ 2 f12
−
f22 .
所以，
2g x2
+
2g xy
+
2g y 2
= 1− 3 f11 −
f22 .
17、（本题满分 10 分）
已知 y(x) 满足微分方程 y − xy =
1
x2
e 2 ，且满足 y(1) =
e.
2x
（1）求 y(x) ；
（2）若 D = (x, y) 1 x 2, 0 y y(x) ，求区域 D 绕 x 轴旋转所得旋转体的体积.
������→0+
=
0
当x > 0时，������′(0) < 0，������(������)单调递减，当x < 0时，������′(0) > 0，������(������)单调递增
因此������(������)在x = 0处取得极大值，且������(0) = 1.
令
f (x) = 0 得， x = −1 及 x
【解析】依题意知，
g x
=
y
−
f1(x +
y, x −
y) −
f 2 ( x
+
y, x
−
y) ，
g y
=
x−
f1(x +
y, x
−
y) +
f2(x +
y, x −
y) .
因为 f (u, v) 具有二阶连续偏导数，故 f12 = f21 ，因此，
2g x2
=
−(
f11 +
a = 2,b = 1，又由于 y = ex 是 y+2 y + y = cex 的特解，代入得 c = 4 .
4、若

nun
n=1
Байду номын сангаас绝对收敛，
n=1
vn n
条件收敛，则（
）

A、 unvn 条件收敛 n=1

B、 unvn 绝对收敛 n=1

C、 (un + vn ) 收敛 n=1
极大值������(0)
=
1.极小值
f
(−1)
=1−
1
，
f
(1)
=
−2
ee
.
ee
【解析】解：当x > 0时： ������′(������) = (������2������������������������ − 1)′ = (������2������������������������)′ = ������2������������������������(2������������������ + 2) = 2������2������(������������������ + 1)
+
xf (x)dx =
2 x2 dx = 4 ，且可求得分布函数
−
02
3
0, x 0,
F
(
x)
=

x2 4
,
0
x 2, 故可得 P{F ( X ) EX −1} = P{F ( X ) 1} = 2 . 33
1, x 2.
三、解答题：15～23 小题，共 94 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步
【解析】当 x → 0 时， x − tan x
B. 2. D. 4.
− 1 x3 ，则 k =3 . 3
2．已知方程 x5 − 5x + k = 0 有 3 个不同的实根，则 k 的取值范围为（ ）
A、 (−, −4)
B、 (4, +)