常微分方程的差分方法分解54页PPT
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常微分方程与差分方程
数值解法的改进
高精度算法
随着计算机技术的发展，人们开发出了许多高精度、高效率的数值解法，如谱方法、有限元方法等。
自适应算法
自适应算法可以根据问题的复杂性和解的特性自动调整计算精度和计算量，提高了数值解法的可靠性和效率。
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常微分方程的解法
总结词
求解常微分方程的方法有多种，如分离变量法、积分 因子法、参数变易法等。
详细描述
求解常微分方程的方法有多种，其中分离变量法和积 分因子法是比较常用的方法。分离变量法是将方程中 的变量分离出来，转化为多个简单的微分方程，然后 分别求解。积分因子法是通过引入一个因子，将原方 程转化为易于求解的形式。此外，参数变易法也是求 解常微分方程的一种常用方法，它通过将参数引入到 原方程中，使得原方程转化为易于求解的形式。
VS
详细描述
根据形式和性质的不同，常微分方程可以 分为多种类型。常见的一阶常微分方程是 形式为dy/dx = f(x, y)的方程，其中f(x, y)是一个关于x和y的函数。二阶常微分方 程是形式为y'' = f(x, y')的方程，其中y'表 示y对x的导数。此外，根据是否含有线性 项和非线性项，常微分方程还可以分为线 性常微分方程和非线性常微分方程。
02 差分方程的基本概念
差分方程的定义
差分方程是描述离散变量之间关系的 数学模型，通常表示为离散时间点的 函数值的差分关系式。
它与微分方程类似，但时间变量是离 散的，而不是连续的。
差分方程的分类Leabharlann 01一阶差分方程只包含一个差分的方程，如 (y(n+1) - y(n) = f(n))。
计算方法常微分方程的差分方法
y' (xn ) phy'' (xn ) O(h2 )
从而有 而
yn1 y(xn ) hy' (xn ) ph2 y'' (xn ) O(h3 )
有： λp=1/2。
y ( xn1 )
y(xn ) hy' (xn )
h2 2
y'' (xn ) O(h3 )
——二阶Runge-Kutta格式
yn1 yn' f
yn (xn ,
h[(1 yn )
)
yn' 1
yn'
]
yn' 1
f ( xn1, yn1)
yn1
yn
h 2
( yn' 1
yn' )
二阶隐式Adams格式
37
• 三阶隐式Adams格式
yn1
yn
h 12
(5
yn' 1
8 yn'
yn' 1)
• 四阶隐式Adams格式
yn1
yn
33
1.什么是传统机械按键设计？
传统的机械按键设计是需要手动按压按键触动PCBA上的开关按键来实现功 能的一种设计方式。
传统机械按键结构层图：
按键
PCBA
开关键
传统机械按键设计要点：
1.合理的选择按键的类型，尽量选择 平头类的按键，以防按键下陷。
2.开关按键和塑胶按键设计间隙建议 留0.05~0.1mm，以防按键死键。 3.要考虑成型工艺，合理计算累积公 差，以防按键手感不良。
h 24
(9 yn' 1
19 yn'
5 yn' 1
常微分方程的差分的方法
对于二阶常微分方程 $y'' = f(t, y, y')$，可以采用隐式差分法或显式差 分法进行求解。
VS
隐式差分法需要解方程组，计算量大， 但精度高；显式差分法精度低但计算 量小。
复杂微分方程组的求解实例
对于多个一阶或二阶常微分方程组成的复杂微分方程组，可以采用耦合差分法或龙格-库塔法进行求 解。
差分方法的基本概念和原理
基本概念
差分方法的基本概念是将时间或空间离散化，将连续的微分方程转化为离散的差 分方程。在时间离散化中，我们使用向前、向后或中心差分近似微分项；在空间 离散化中，我们使用有限差分近似微分项。
原理
差分方法的原理是将连续的微分方程转化为离散的差分方程，然后通过迭代或递 推的方式求解该差分方程。在每一步迭代或递推中，我们使用已知的函数值和差 分近似来计算新的函数值，直到达到所需的精度或收敛条件。
耦合差分法是将多个微分方程转化为耦合的差分方程组进行求解；龙格-库塔法是一种迭代算法，通过 已知的$y_n$和$y'_n$来求解$y_{n+1}$。
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REPORTING
https://
改进的龙格-库塔方法
引入预估校正步骤
为了提高数值解的精度和稳定性，可以在龙 格-库塔方法中引入预估校正步骤。通过预 估和校正两个步骤的结合，可以减小数值误 差并提高方法的收敛速度。
考虑非线性项的处理
在求解二阶常微分方程时，非线性项的处理 对于数值解的精度和稳定性具有重要影响。 通过改进非线性项的处理方式，可以进一步 提高改进的龙格-库塔方法的性能。
有限差分法
有限差分法的原理
有限差分法是一种基于离散化的数值方法， 通过将微分方程转化为差分方程来求解。该 方法的关键在于选择合适的差分格式和离散 化方案，以保证数值解的精度和稳定性。
常微分方程差分法
i.常微分方程初值问题差分法i.1 常微分方程差分法考虑常微分方程初值问题：求函数()u t 满足(,), 0du f t u t T dt=<≤ （i.1a ） 0(0)u u = (i.1b)其中(,)f t u 是定义在区域G : 0t T ≤≤, u <∞上的连续函数，0u 和T 是给定的常数。
我们假设(,)f t u 对u 满足Lipschitz 条件，即存在常数L 使得121212(,)(,), [0,]; ,(,)f t u f t u L u u t T u u -≤-∀∈∈-∞∞ （i.2） 这一条件保证了（i.1）的解是适定的，即存在、唯一，并且连续依赖于初值0u 。
常微分方程初值问题（i.1）的精确解是从给定初始点00(,)t u 出发的一条连续曲线，通常情况下不可能用简单的解析表达式给出，只能求近似解。
差分法是常微分方程初值问题的主要数值解法，其目的是求得若干个离散点来逼近这条解曲线。
本章讨论常微分方程最常用的近似数值解法—差分方法。
构造差分法有两个基本途径。
一个是简单地用离散点上的差商近似替代微商。
另一个是先对微分方程积分得到积分方程，再利用离散点作数值积分。
先来看最简单的Euler 方法。
为此，首先将求解区域[0,]T 离散化为若干个离散点n t hn =：0110N N t t t t T -=<<<<= （i.3） 其中0h >称为步长。
在微积分课程中我们熟知，微商（即导数）是差商的极限。
反过来，差商就是微商的近似。
在0t t =处，在（i.1a ）中用向前差商10()()u t u t h-代替微商du dt ，便得10000()()(,())u t u t hf t u t ε=++ 如果忽略误差项0ε，再换个记号，用i u 代替()i u t 便得到1000(,)u u hf t u -=一般地，我们有1Euler (,), 0,1,,1n n n n u u hf t u n N +=+=-方法： （i.4） 从(i.1b) 给出的初始值0u 出发，由上式可以依次算出1,,N t t 上的差分解1,,N u u 。
第三章 常微分方程的差分方法
P1 P1 P0 Pi+1 Pn y=y(x) Pi Pn Pi Pi+1
Euler法的求解过程是:从初始点 P0(即点(x0,y0))出发,作积分曲线 y=y(x)在P0点上切线 P0 P (其斜率 1 为 y( x0 ) f ( x0 , y0 ) ),与x=x1直线
x0
x1
xi
xi+1
自 动 化 工 程 学 院
School of Automation Engineering
第 三 章
P1 P1 P0
常微分方程的差分方法
Pi+1 Pn Pi Pi+1 Pi y=y(x) Pn
x0
x1
xi
xi+1
xn
由此获得了P2的坐标。重复以上过程,就可获得一系列的 点:P1,P1,…,Pn。对已求得点 Pn ( xn , y n ) 以 y ( xn ) = f ( xn , yn )为斜率作直线 当 x xn1 时,得 取 y( xn ) y n
第 三 章
常微分方程的差分方法
第三章 常微分方程的差分方法
引言
包含自变量、未知函数及未知函数的导数或微分的方
程称为微分方程。在微分方程中, 自变量的个数只有一个, 称为常微分方程。自变量的个数为两个或两个以上的微分 方程叫偏微分方程。微分方程中出现的未知函数最高阶导 数的阶数称为微分方程的阶数。如果未知函数y及其各阶导 数
对于初值问题
散化，建立求数值解的递推公式。递推公式通常有两类，一 类是计算yi+1时只用到xi+1, xi 和yi，即前一步的值，因此有了 初值以后就可以逐步往下计算，此类方法称为单步法；其代 表是龙格—库塔法。另一类是计算yi+1时，除用到xi+1,xi和yi以 外，还要用到 xi p , yi p ( p 1,2,, k ) ，即前面k步的值，此类 方法称为多步法；其代表是亚当斯法。
Euler法的求解过程是:从初始点 P0(即点(x0,y0))出发,作积分曲线 y=y(x)在P0点上切线 P0 P (其斜率 1 为 y( x0 ) f ( x0 , y0 ) ),与x=x1直线
x0
x1
xi
xi+1
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第 三 章
P1 P1 P0
常微分方程的差分方法
Pi+1 Pn Pi Pi+1 Pi y=y(x) Pn
x0
x1
xi
xi+1
xn
由此获得了P2的坐标。重复以上过程,就可获得一系列的 点:P1,P1,…,Pn。对已求得点 Pn ( xn , y n ) 以 y ( xn ) = f ( xn , yn )为斜率作直线 当 x xn1 时,得 取 y( xn ) y n
第 三 章
常微分方程的差分方法
第三章 常微分方程的差分方法
引言
包含自变量、未知函数及未知函数的导数或微分的方
程称为微分方程。在微分方程中, 自变量的个数只有一个, 称为常微分方程。自变量的个数为两个或两个以上的微分 方程叫偏微分方程。微分方程中出现的未知函数最高阶导 数的阶数称为微分方程的阶数。如果未知函数y及其各阶导 数
对于初值问题
散化，建立求数值解的递推公式。递推公式通常有两类，一 类是计算yi+1时只用到xi+1, xi 和yi，即前一步的值，因此有了 初值以后就可以逐步往下计算，此类方法称为单步法；其代 表是龙格—库塔法。另一类是计算yi+1时，除用到xi+1,xi和yi以 外，还要用到 xi p , yi p ( p 1,2,, k ) ，即前面k步的值，此类 方法称为多步法；其代表是亚当斯法。
第三章 常微分方程的差分法
2．后退的欧拉法
3．梯形法 4．改进Euler法
1. 简单的欧拉(Euler)方法
考虑模型：
f ( x, y) y y( x0 ) y0
欧 拉 方 法
a xb
(1.1) (1.2)
最简单而直观 实用方法
弄清常微方程初值 问题数值解法的一 些基本概念和构造 方法的思路.
一个或一组具有所要求阶连续导数的解析函数，将 它代入微分方程（组），恰使其所有条件都得到满 足的解称为解析解(或古典解),称为真解或解。 寻找解析解的过程称为求解微分方程组。
4.什么是微分方程的数值解?
虽然求解微分方程有许多解析方法,但解析方法 只能够求解一些特殊类型的方程,从实际意义 上来讲
我们更关心的是某些 特定的自变量在某一个 定义范围内的一系列离散点上的近似值. 把这样一组近似解称为 微分方程在该范围内的
如果单步差分公式的局部截断误差为O(hp+1), 则称该公式为p阶方法.这里p为非负整数. 显然,阶数越高,方法的精度越高.
Taylor展开式,一元函数的Taylor展开式为:
若某算法的局部截断误差为O(hp+1)，则称该算法有p 阶精度。
y ( x n ) 2 y ( x n ) 3 y( x n 1 ) y( x n h) y( x n ) y ( x n )h h h 2! 3! Ri 的主项 2 /* leading term */ h R y( x ) y [ y ( x ) hy( x ) y( x ) O(h3 )] [ y hf ( x , y )] i i 1 i 1 i i i i i i 2
或用向前差 商近似导数
y ( xn 1 ) y ( xn ) y ( xn ) h
第3章 常微分方程的差分方法
2
件有两种：一种是给出积分曲线在初始点的状态，称为 初始条件，相应的定解问题称为初值问题 ；另一种是 给出积分曲线首尾两端的状态，称为边界条件 ，相应 的定解问题则称为边值问题。 例如，弹簧-质量系统的振动问题（图7-1），作一定的 简化后，可用一个二阶常微分方程
d x c x0 2 dt m
d x c dt m x 0 x(t ) x (t t ) x(t ) x
2 2 0 0 0 0 0
4
x
m x c o
图7-1
本章先从一阶常微分方程的初值问题：
dy f ( x, y ), x [a, b] （1.1） dx y (a)
y(xi+1 )和 y(xi )用其近似值 yi+1 和 yi 代入，则得
y y hf ( x , y )(i 0,1,2,..., n 1)
i 1 i i i
16
此即（2.2）（欧拉格式）。 显然，欧拉格式具有递推性，在计算yi+1时只要用到前一
步所得结果 yi 一个信息就够了，因此是一种单步格式或称一
(2.6)称为向后欧拉格式，又称为隐式欧拉格式。因 为在此式的右边也包含未知的yi+1，所以是yi+1的一个 函数方程，故称它为隐式格式。（2.2）的右边则没有 未知的yi+1，因此是一种显式格式。隐式格式的计算 当然比显式格式要困难得多，一般情况下，只能用迭 代法求解，计算量比较大。
19
再如，用中心差商表示的三点数值微分公式
(i 0,1,2,..., n 1)
(2.9)
21
不论是显式欧拉格式（2.2），还是隐式欧拉格式 （2.6），它们都是单步格式或称为一步格式。因 为它们在计算yi+1时只用到前一步所得结果yi一个信 息；而格式（2.8）则除了yi外，还需用到更前一步 所得信息yi-1，即需调用前两步的信息，因此（2.8） 称为两步欧拉格式，或称为中点欧拉格式。 比较（2.3）,（2.7）和（2.9）可知，两步欧 拉格式比显式或隐式欧拉格式具有更高的精度，因 为它的局部截断误差是O(h3)。 由（2.3）和(2.7)可见，显式欧拉格式与隐式 欧拉格式的局部截断误差的符号正好相反，因此可 以设想取（2.2）和(2.6)的平均，即两式相加除以 2，得
件有两种：一种是给出积分曲线在初始点的状态，称为 初始条件，相应的定解问题称为初值问题 ；另一种是 给出积分曲线首尾两端的状态，称为边界条件 ，相应 的定解问题则称为边值问题。 例如，弹簧-质量系统的振动问题（图7-1），作一定的 简化后，可用一个二阶常微分方程
d x c x0 2 dt m
d x c dt m x 0 x(t ) x (t t ) x(t ) x
2 2 0 0 0 0 0
4
x
m x c o
图7-1
本章先从一阶常微分方程的初值问题：
dy f ( x, y ), x [a, b] （1.1） dx y (a)
y(xi+1 )和 y(xi )用其近似值 yi+1 和 yi 代入，则得
y y hf ( x , y )(i 0,1,2,..., n 1)
i 1 i i i
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此即（2.2）（欧拉格式）。 显然，欧拉格式具有递推性，在计算yi+1时只要用到前一
步所得结果 yi 一个信息就够了，因此是一种单步格式或称一
(2.6)称为向后欧拉格式，又称为隐式欧拉格式。因 为在此式的右边也包含未知的yi+1，所以是yi+1的一个 函数方程，故称它为隐式格式。（2.2）的右边则没有 未知的yi+1，因此是一种显式格式。隐式格式的计算 当然比显式格式要困难得多，一般情况下，只能用迭 代法求解，计算量比较大。
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再如，用中心差商表示的三点数值微分公式
(i 0,1,2,..., n 1)
(2.9)
21
不论是显式欧拉格式（2.2），还是隐式欧拉格式 （2.6），它们都是单步格式或称为一步格式。因 为它们在计算yi+1时只用到前一步所得结果yi一个信 息；而格式（2.8）则除了yi外，还需用到更前一步 所得信息yi-1，即需调用前两步的信息，因此（2.8） 称为两步欧拉格式，或称为中点欧拉格式。 比较（2.3）,（2.7）和（2.9）可知，两步欧 拉格式比显式或隐式欧拉格式具有更高的精度，因 为它的局部截断误差是O(h3)。 由（2.3）和(2.7)可见，显式欧拉格式与隐式 欧拉格式的局部截断误差的符号正好相反，因此可 以设想取（2.2）和(2.6)的平均，即两式相加除以 2，得
常微分方程 PPT课件
分曲线和积分曲线族的概念，只不过此时积分曲线所在的空间维数不同，我们将
在第4章详细讨论.
最后，我们要指出，本书中按习惯用
代替
而 分别代表
本节要点： 1．常微分程的定义，方程的阶，隐式方程，显式方程，线性方程，非线性方程. 2．常微分方程解的定义，通解，特解，通积分，特积分. 3．初值问题及初值问题解的求法. 4．解的几何意义，积分曲线.
所以它们都是一阶齐次方程．因此，一阶齐次微分方程可以 写为
(1.27)
1.3.1 齐次方程的解法 方程(1.27)的特点是它的右端是一个以为
变元的函数，经过如下的变量变换，它能化 为变量可分离方程.
令 则有 代入方程(1.27)得
（1.28）
方程(1.28)是一个 变量可分离方程，当 时，分离 变量并积分，得到它的通积分 （1.29）
常微分方程课件
第一章 初等积方法 第二章 基本定理 第三章 线性微分方程 第四章 线性微分方程组 第五章 定性与稳定性概念 第六章 一阶偏微方程初步
第1讲 微分方程与解 微分方程
什么是微分方程？它是怎样产生的？这是首先要回答的问题.
300多年前，由牛顿(Newton,1642-1727)和莱布尼兹 (Leibniz,1646-1716)所创立的微积分学，是人类科学史上划
（1.13）
显然，方程(1.4)是一阶线性方程；方程(1.5)是一阶非线性方程；方程 (1.6)是二阶线性方程；方程(1.7)是二阶非线性方程.
通解与特解
微分方程的解就是满足方程的函数，可定义如下.
定义1.１ 设函数 在区间I上连续，且有直
到n阶的导数.如果把
代入方程(1.11)，得到在
区间I上关于x的恒等式，
微分方程和差分方程方法ppt课件
但增加是有一定限度的，当产品在市场上趋于 饱和时，销售速度将趋于极限值，这时无论采 取那种形式作广告(不包括其它的促销手段)， 都不能使销售速度增加。
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22
设 M 为销售饱和水平，即市场对产品的最 大容纳能力，它对应着销售速度的上限。当 销售速度达到饱和水平之后，广告已不起作 用，销售速度随时间增加而自然衰减，同样 为衰减因子， 0 ，且为常数。
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16
x(t t) x(t) kx(t)t
两边除以t ，令t 0 ，有
lim x(t t) x(t) kx (t)
t 0
t
即 x(t) 满足微分方程
d x kx (t) dt
其解为
(3.7)
x(t) C ekt
若已知t 0 时，x(0) x0 ，则满足初值条件的解为
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12
r(x)
r0
(1
x xm
)
(3.4)
这样 Malthus 模型公式(3.2)变为
d x d t
r0
x (1
x xm
)
x(0) x0
(3.5)
称为阻滞增长模型或 Logistic 模型。由分离
变量法，解得
x(t)
xm
1 ( xm 1) er0 t
x0
(3.6)
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8
这种为了使用数学工具的需要而对离散量进 行连续化处理的方法，在建模中经常使用，如 将道路中运动的车辆群视为连续的“流体”， 动物种群和生产产品当达到一定数量都可以 看作是连续的变量。有时建模中也会作相反的 处理，比如求微分方程近似解时，把连续量进 行离散化，通过数值格式迭代求出数值解。因 此在一定条件下，连续和离散是相对的，可以 转换的，当然这种连续化或离散化的处理必须 是合理和适当的。
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22
设 M 为销售饱和水平，即市场对产品的最 大容纳能力，它对应着销售速度的上限。当 销售速度达到饱和水平之后，广告已不起作 用，销售速度随时间增加而自然衰减，同样 为衰减因子， 0 ，且为常数。
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x(t t) x(t) kx(t)t
两边除以t ，令t 0 ，有
lim x(t t) x(t) kx (t)
t 0
t
即 x(t) 满足微分方程
d x kx (t) dt
其解为
(3.7)
x(t) C ekt
若已知t 0 时，x(0) x0 ，则满足初值条件的解为
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r(x)
r0
(1
x xm
)
(3.4)
这样 Malthus 模型公式(3.2)变为
d x d t
r0
x (1
x xm
)
x(0) x0
(3.5)
称为阻滞增长模型或 Logistic 模型。由分离
变量法，解得
x(t)
xm
1 ( xm 1) er0 t
x0
(3.6)
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这种为了使用数学工具的需要而对离散量进 行连续化处理的方法，在建模中经常使用，如 将道路中运动的车辆群视为连续的“流体”， 动物种群和生产产品当达到一定数量都可以 看作是连续的变量。有时建模中也会作相反的 处理，比如求微分方程近似解时，把连续量进 行离散化，通过数值格式迭代求出数值解。因 此在一定条件下，连续和离散是相对的，可以 转换的，当然这种连续化或离散化的处理必须 是合理和适当的。
常微分方程两点边值问题的差分方法
常微分方程两点边值问题的差分方法说实话常微分方程两点边值问题的差分方法，我一开始也是瞎摸索。
我就知道这是个挺难搞的事儿，但我就想把它弄明白。
我最早尝试直接用我之前学过的常微分方程的一些解法，可发现对于两点边值问题完全行不通，这才意识到这个问题很特殊，需要专门的方法来对付。
那我就开始了解差分方法呗。
这个差分啊，简单来说就有点像我们数东西的时候不是一个一个数，而是隔几个数一个那样，在数学里就是把连续的函数离散化。
比如说我们有个常微分方程，在一个区间上的两点边值问题，我要做的第一步，不妨就把这个区间分成好多小份，这个小份的大小我开始还不确定选多少好呢，我就试了好几个不同的值。
我试着先在网格点上近似导数。
我最开始想当然地用了一种很简单的近似方法，就像我们估算速度的时候，直接用两个点的函数值之差除以距离嘛，但是发现这样得到的结果那叫一个惨不忍睹啊，误差大得很。
后来仔细研究才知道，要根据这个常微分方程的具体形式来更好地构造近似导数，才能减小误差。
还有在处理边界条件的时候，这个可千万不能马虎。
我一开始就没太重视边界条件，结果算出的结果也完全不对。
其实就像是盖房子必须要打好地基一样，这个边界条件对于两点边值问题就是根基，如果根基歪了，那整个房子肯定也立不住。
我后来发现了一个比较靠谱的步骤。
就是在差分的时候，对于方程中的每一项，根据泰勒公式来构建合理的差分格式。
这个就像搭积木，每个部分都要搭得准确才能让整体稳固。
我把方程中的项都按照精心设计的差分格式替换掉之后，就得到了一个代数方程组，解这个方程组就能够求出在离散点上的近似解了。
不过这里面还有个小窍门，在求解方程组的时候，我刚开始没注意方程组矩阵的性质，有时候得到的解是不准确的。
我后来发现有的矩阵如果是稀疏友好型的，那就要选择专门针对稀疏矩阵的算法来求解，这样速度又快结果又准确。
我不确定我现在的方法是不是最完美的，但就目前我做的一些练习题还有自己研究的小例子来说，这个方法已经相当好用了。
《常微分方程》PPT课件
两边积分
dxx((tt)) kdt G(y)F(x)C
G(y)
F(x)
P(x) dx
例3 (细菌繁殖模型)在一个理想的环境中，细胞的
繁殖率与细菌的数目成正比，假设t 0时细菌的数
目为 x(t，) 求系统的细菌繁殖规律。
解： 设 t示在 时x(t刻) 细菌数目，依题意有
t 时y， r k
两边积分
f(x)dx
《常微分方程》PPT课件
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6.1 微分方程的根本概念
几何问题 引例
物理问题 微分方程的根本概念
zxy
2. zaxbyc型方程
作变换 dy abf(z) dx
d y(xy)2 dx 例8. 求方程 n1,令zy1n y 的通解
2
arctan(xy)xC 解：令 则 r y(t) krky0 en y0
得方程通解为 VlnV dV lnVadt
将 代回ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ原方程通解 y(t)krrky0 en y0
例1 一曲线通过点(1,2),且在该曲线上任意点
。 dz
dx
2处1y 的ddyx 切线斜率为2x，求这曲线的方程
解: 设所求曲线方程为 y = y(x) , 那么有如下关系
式:
r1,2b2ba24ac
①
yx12
②
由 ① 得 y2xdxyf(y) (C为任意常数)
由 ② 得 C = 1, 因此所求曲线方程为 yx21.
dy f (x)g( y) dx
dxx((tt)) kdt G(y)F(x)C
G(y)
F(x)
P(x) dx
例3 (细菌繁殖模型)在一个理想的环境中，细胞的
繁殖率与细菌的数目成正比，假设t 0时细菌的数
目为 x(t，) 求系统的细菌繁殖规律。
解： 设 t示在 时x(t刻) 细菌数目，依题意有
t 时y， r k
两边积分
f(x)dx
《常微分方程》PPT课件
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6.1 微分方程的根本概念
几何问题 引例
物理问题 微分方程的根本概念
zxy
2. zaxbyc型方程
作变换 dy abf(z) dx
d y(xy)2 dx 例8. 求方程 n1,令zy1n y 的通解
2
arctan(xy)xC 解：令 则 r y(t) krky0 en y0
得方程通解为 VlnV dV lnVadt
将 代回ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ原方程通解 y(t)krrky0 en y0
例1 一曲线通过点(1,2),且在该曲线上任意点
。 dz
dx
2处1y 的ddyx 切线斜率为2x，求这曲线的方程
解: 设所求曲线方程为 y = y(x) , 那么有如下关系
式:
r1,2b2ba24ac
①
yx12
②
由 ① 得 y2xdxyf(y) (C为任意常数)
由 ② 得 C = 1, 因此所求曲线方程为 yx21.
dy f (x)g( y) dx
数值分析9-常微分方程的差分方法
常微分方程的定解问题
考虑一阶常微分方程的初值问题
dy f ( x, y) dx y ( a ) y0 x [a , b ]
只要 f (x, y) 在[a, b] R1 上连续，且关于 y 满足 Lipschitz 条
件，即存在与 x, y 无关的常数 L 使 | f ( x, y1 ) f ( x, y2 ) | L | y1 y2 |
对任意定义在 [a, b] 上的 y1(x) 和 y2(x) 都成立，则上述问题 存在唯一解。
差分方法
要计算出解函数 y(x) 在一系列节点 a = x0< x1<…< xn= b 处的近似值 yi y( xi ) (i 1, ... , n) 节点间距 hi xi 1 xi (i 0, ... , n 1) 为步长，通常采用等距节点， 即取 hi = h (常数)。 在这些节点上采用离散化方法，（通常用数值积分、微分、 泰勒展开等）将上述初值问题化成关于离散变量的相应问题。 把这个相应问题的解yn作为y(xn)的近似值。这样求得的yn就是 上述初值问题在节点xn上的数值解。一般说来，不同的离散化
Step 3: 将 yi+1 与 y( xi+1 ) 在 xi 点的泰勒展开作比较
yi 1 yi (1 2 )h y( xi ) 2 ph2 y( xi ) O(h3 )
h2 y( xi 1 ) y( xi ) hy( xi ) y( xi ) O( h3 ) 2
改进的欧拉格式
考察改进的欧拉法，可以将其改写为：
y i 1 K1 K2
1 1 y i h K 1 K 2 2 2 f ( xi , yi ) f ( xi h, yi hK 1 )
常微分方程的差分方法
y y hz h 2 ( L L L ) n n 2 3 n1 6 1 z n1 z n h ( L1 2 L2 2 L3 L4 ) 6
h yn1 yn ( K 1 2 K 2 2 K 3 K 4 ) 6 z z h ( L 2L 2L L ) n 1 2 3 4 n1 6
5
九．收敛性与稳定性
1．收敛性问题
n Ch2 (1 hL) n1
Ch2 (1 hL)[Ch2 (1 hL) n 2 ] Ch2 (1 hL)Ch2 (1 hL)2 n 2 Ch2 (1 hL)Ch2 (1 hL)2 Ch2 (1 hL)3 n 3 1 n 2 Ch (1 hL)i (1 hL)n 0
1．收敛性问题
对于任意固定的xn=x0+nh，如果数值解yn当h0（同时 n∞）时趋向于准确解y(xn) ，则称该方法是收敛的。
定义：设y(xn)是初值问题的精确解，yn表示用某种数值 方法算出的数值解 εn= y(xn) - yn 称为该方法在xn的整体截断误差。
4
九．收敛性与稳定性
1．收敛性问题
13
十．方程组与高阶方程的情形
2．化高阶方程为一阶方程组
y z , y ( x 0 ) y0 z f ( x , y , z ), z ( x0 ) y0
y y hz h 2 ( L L L ) n n 2 3 n1 6 1 z n1 z n h ( L1 2 L2 2 L3 L4 ) 6
19
作 业
整理上机作业
20
16
十一．边值问题
h yn1 yn ( K 1 2 K 2 2 K 3 K 4 ) 6 z z h ( L 2L 2L L ) n 1 2 3 4 n1 6
5
九．收敛性与稳定性
1．收敛性问题
n Ch2 (1 hL) n1
Ch2 (1 hL)[Ch2 (1 hL) n 2 ] Ch2 (1 hL)Ch2 (1 hL)2 n 2 Ch2 (1 hL)Ch2 (1 hL)2 Ch2 (1 hL)3 n 3 1 n 2 Ch (1 hL)i (1 hL)n 0
1．收敛性问题
对于任意固定的xn=x0+nh，如果数值解yn当h0（同时 n∞）时趋向于准确解y(xn) ，则称该方法是收敛的。
定义：设y(xn)是初值问题的精确解，yn表示用某种数值 方法算出的数值解 εn= y(xn) - yn 称为该方法在xn的整体截断误差。
4
九．收敛性与稳定性
1．收敛性问题
13
十．方程组与高阶方程的情形
2．化高阶方程为一阶方程组
y z , y ( x 0 ) y0 z f ( x , y , z ), z ( x0 ) y0
y y hz h 2 ( L L L ) n n 2 3 n1 6 1 z n1 z n h ( L1 2 L2 2 L3 L4 ) 6
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作 业
整理上机作业
20
16
十一．边值问题
常微分方程的差分方法分解
差分法是一类重要的数值方法，这类方法是要寻求 离散节点
x1 x2 xn
上的近似解 y1, y2 , , yn , , 。
h xn1 xn ，相邻节点间距
称为步长
初值问题的各种差分方法都采用“步进式”，即求解过程顺着节点排列 的次序一步一步地向前推进。描述这类算法，只要给出从已知信息 y ,y ,y , y
是已知的，则依据
数值分析简明教程
4.3
安工大2004
数值分析简明教程
4.4
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数值分析简明教程
4.5
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莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler，1707-1783）
• 18世纪最优秀的数学家，也是历史上最伟大的数学家之一，被称 • 莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler，1707-1783），1707年出生在
第三章
常微分方程的差分方法
§ 1 欧拉方法 § 2 改进的欧拉方法 § 3 龙格-库塔方法 § 4 亚当姆斯方法 § 5 收敛性与稳定性 § 6 方程组与高阶方程的情形 § 7 边值问题
数值分析简明教程
4.1
安工大2004
引言
科学技术当中常常需要求解常微分方程的定解问题。这类问题的 最简单的形式，是本章着重要考察的一阶方程的初值问题：
4.6
为“分析的化身”。
• 1783年9月18日，在不久前才刚计算完气球上升定律的欧拉，在
• 欧拉生活、工作过的三个国家：瑞士、俄国、德国，都把欧拉作
数值分析简明教程 安工大2004
• 他从19岁开始发表论文，直到76岁，半个多世纪写下了浩如烟海
的书籍和论文．可以说欧拉是科学史上最多产的一位杰出的数学 家，据统计他那不倦的一生，共写下了886本书籍和论文（七十余 卷，牛顿全集八卷，高斯全集十二卷），其中分析、代数、数论 占40%，几何占18%，物理和力学占28%，天文学占11%，弹道 学、航海学、建筑学等占3%，彼得堡科学院为了整理他的著作， 足足忙碌了四十七年。到今几乎每一个数学领域都可以看到欧拉 的名字，从初等几何的欧拉线，多面体的欧拉定理，立体解析几 何的欧拉变换公式，四次方程的欧拉解法到数论中的欧拉函数， 微分方程的欧拉方程，级数论的欧拉常数，变分学的欧拉方程， 复变函数的欧拉公式等等，数也数不清．他对数学分析的贡献更 独具匠心，《无穷小分析引论》一书便是他划时代的代表作，当 时数学家们称他为"分析学的化身"．
常微分方程和差分方程
社会科学领域
将常微分方程和差分方程应用于 社会科学领域，如人口动力学、 经济学、社会学等。
交叉学科研究
结合其他数学分支和工程学科， 开展交叉学科研究，以解决复杂 系统的建模和预测问题。
THANKS
感谢观看
矩阵法
将差分方程转化为矩阵形式，利用矩阵的性质求解未知数，适用 于多变量差分方程。
差分方程的应用
01
经济预测
差分方程可以用于描述经济现象 的离散时间变化规律，如预测股 票价格、市场需求等。
02
03
生物学研究
工程问题
差分方程在生物学研究中被广泛 用于描述种群增长、基因遗传等 现象。
在控制工程、电路分析等领域， 差分方程被用于描述离散时间系 统的动态行为。
05
常微分方程和差分方程的未来发展
数值计算方法的改进
数值稳定性
研究和发展更稳定、更精确的数值计算方法，以 解决常微分方程和差分方程的数值求解问题。
多重网格方法
利用多重网格技术加速求解过程，提高计算效率 和精度。
自适应步长控制
根据求解过程的需要，动态调整步长，以实现更 高效的数值计算。
理论解的研究
微分方程的解法
分离变量法
将方程中的变量分离，转化为易于求解的一 阶微分方程。
积分因子法
通过引入积分因子，将高阶微分方程转化为 低阶微分方程或一阶微分方程组。
参数方法
通过引入参数，将微分方程转化为易于求解 的参数方程。
幂级数法
将未知函数表示为幂级数，然后逐项求导， 代入原方程求解。
微分方程的应用
物理问题
间，f 表示经济模型。
实例三：生态问题中的常微分方程和差分方程
要点一