【苏教版(理)】【步步高】2014届高三数学大一轮复习讲义【配套课件】第十四章14.1

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【步步高】(江苏专用)版高考数学一轮复习第十四章系列4选讲 14.3 课时1 坐标系课件理

为点M的极径，θ称为点M的极角 .由极径的意义可知ρ≥0.当极角θ的取值
范围是[0,2π)时，平面上的点(除去极点)就与极坐标(ρ，θ) (ρ≠0)建立一一
对应的关系.我们设定，极点的极坐标中，极径ρ＝0，极角θ可取任意角.
答案
(2)极坐标与直角坐标的互化设M为平面内的一点，它的直角坐标为(x，y)，极坐标为(ρ，θ).由图可知下面关系式成立：
x＝ρcos θ，或 y＝ρsin θ
ρ2＝x2＋y2， y tan θ＝ x≠0 x
.
这就是极坐标与直角坐标的互化公式.
答案
3.常见曲线的极坐标方程曲线圆心在极点，半径为r的圆圆心为(r,0)，半径为r的圆图形极坐标方程 ρ＝r(0≤θ<2π)
其垂直于x轴的两条切线方程为x＝0和x＝2，
π 相应的极坐标方程为 θ＝2(ρ∈R)和 ρcos θ＝2.
解析答案
题型二
求曲线的极坐标方程
将圆x2＋y2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，
例2
得曲线C.
(1)写出曲线C的方程；解设(x1，y1)为圆上的点，在已知变换下变为曲线C上的点(x，y)，
解 π π 由题意知 A、B 的极坐标分别为(3，3)、(4，6)，
1 1 π 则△AOB 的面积 S△AOB＝2OA· OB· sin∠AOB＝2×3×4×sin 6＝3.
1
2
3
解析答案
3.在以O为极点的极坐标系中，圆ρ＝4sin θ和直线ρsin θ＝a相交于A，B 两点.当△AOB是等边三角形时，求a的值.
x＝x1，依题意，得 y＝2y1.
由
2 x2 ＋ y 1 1＝1

【苏教版】【步步高】2014届高考数学一轮复习备考课件1.3.2含有一个量词的命题的否定

练一练· 当堂检测、目标达成落实处
对含有一个量词的命题的否定要注意以下问题： (1)确定命题类型，是全称命题还是存在性命题． (2)改变量词：把全称量词改为恰当的存在量词；把存在量词改为恰当的全称量词． (3)否定结论：原命题中的“是”“有”“存在”“成立”等改为“不是”“没有”“不存在”“不成立” 等． (4)无量词的全称命题要先补回量词再否定.
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解在区间[ －1,1] 中至少存在一个实数c，使得f(c)>0的否定是在[ －1,1] 上的所有实数x，都有f(x)≤0恒成立．又由二次函数的图象特征可知，
f－1≤0， f1≤0， 4＋2p－2－2p2－p＋1≤0，即 2 4 － 2 p － 2 － 2 p －p＋1≤0，
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研一研· 问题探究、课堂更高效
结论：全称命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定綈p：∃x∈M，綈p(x)，全称命题的否定是存在性命题．
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研一研· 问题探究、课堂更高效
例1 写出下列全称命题的否定： (1)p：所有能被3整除的整数都是奇数； (2)p：每一个四边形的四个顶点共圆； (3)p：对任意x∈Z，x2的个位数字不等于3.
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填一填· 知识要点、记下疑难点
1．全称命题的否定：全称命题 p：∀ x∈ M， p(x)，
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∃x∈M，綈p(x) 它的否定綈 p： ________________.
2．存在性命题的否定：存在性命题 p：∃ x∈ M， p(x)，
∀x∈M，綈p(x) 它的否定綈 p： ___落实处
4．命题“零向量与任意向量共线”的否定为________ 有的向量

高考苏教版数学理大一轮复习课件14.4.1不等式的基本性质、含有绝对值的不等式

基础知识·自主学习
要点梳理
难点正本疑点清源
②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想； ③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．
解含有绝对值不等式时，脱去绝对值符号的方法主要有：公式法、分段讨论法、平方法、几何法等．这几种方法应用时各有利弊，在解只含有一个绝对值的不等式时，用公式法较为简便；但若不等式含有多个绝对值时，则应采用分段讨论法；应用平方法时，要注意只有在不等式两边均为正的情况下才能施行．因此，我们在去绝对值符号时，用何种方法需视具体情况而定．
思维启迪解析探究提高
＋1.
题型分类·深度剖析
题型一
【例1】
含绝对值不等式的解法
x 解不等式|x＋3|－|2x－1|< 2
思维启迪解析探究提高
利用零点分段法求解．
＋1.
题型分类·深度剖析
题型一含绝对值不等式的解法
探究提高思维启迪解析 x 【例1】解不等式|x＋3|－|2x－1|< 2 x 解 ①当x<－3时，原不等式化为－(x＋ 3)－(1－2x)< ＋1，解得由于出现的结果有限，每次每 2 ＋1. 颗只能有四种结果，且每种结 x<10，∴x<－3.
解含有绝对值不等式时，脱去绝对值符号的方法主要有：公式法、分段讨论法、平方法、几何法等．这几种方法应用时各有利弊，在解只含有一个绝对值的不等式时，用公式法较为简便；但若不等式含有多个绝对值时，则应采用分段讨论法；应用平方法时，要注意只有在不等式两边均为正的情况下才能施行．因此，我们在去绝对值符号时，用何种方法需视具体情况而定．

【步步高】2014届高三数学大一轮复习讲义--函数图象与性质的综合应用

专题一函数图象与性质的综合应用1．函数的三要素是对应关系、定义域、值域；其中函数的核心是对应关系． 2．函数的性质主要包括：单调性、周期性、对称性、最值等．3．求函数值域的方法有配方法、换元法、不等式法、函数单调性法、图象法等． 4．作图一般有两种方法：描点法作图、图象变换法作图． 5．图象的三种变换：平移变换、伸缩变换和对称变换．1． (2011·安徽)设f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f (x )＝2x 2－x ，则f (1)等于( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3 答案 A解析 ∵f (x )是奇函数，当x ≤0时，f (x )＝2x 2－x ， ∴f (1)＝－f (－1)＝－[2×(－1)2－(－1)]＝－3.2．函数f (x )＝|log 3x |在区间[a ，b ]上的值域为[0,1]，则b －a 的最小值为 ( )A.13B.23 C ．1 D ．2 答案 B解析令f (x )＝0，解得x ＝1；令f (x )＝1，解得x ＝13或3.因为函数f (x )在(0,1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数．故b －a 的最小值为1－13＝23.3． (2011·辽宁)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧21－x ， x ≤11－log 2x ， x >1，则满足f (x )≤2的x 的取值范围是( )A ．[－1,2]B ．[0,2]C ．[1，＋∞)D ．[0，＋∞) 答案 D解析当x ≤1时，由21－x ≤2，知x ≥0，即0≤x ≤1.当x >1时，由1－log 2x ≤2，知x ≥12，即x >1，所以满足f (x )≤2的x 的取值范围是[0，＋∞)．4． (2011·湖北)已知定义在R 上的奇函数f (x )和偶函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝a x －a －x ＋2(a >0，且a ≠1)．若g (2)＝a ，则f (2)等于 ( ) A ．2 B.154 C.174 D ．a 2答案 B解析 ∵f (x )是奇函数，g (x )是偶函数， ∴由f (x )＋g (x )＝a x －a －x ＋2，① 得－f (x )＋g (x )＝a －x －a x ＋2，②①＋②，得g (x )＝2，①－②，得f (x )＝a x －a －x . 又g (2)＝a ，∴a ＝2，∴f (x )＝2x －2－x ， ∴f (2)＝22－2－2＝154.5．已知y ＝f (x )的图象如图，则y ＝f (1－x )的图象为下列四图中的 ( )答案 A解析将y ＝f (1－x )变形为y ＝f [－(x －1)]①作y ＝f (－x )图象，将y ＝f (x )关于y 轴对称即可； ②将f (－x )的图象沿x 轴正方向平移1个单位，得y ＝f [－(x －1)]＝f (1－x )的图象.题型一函数求值问题例1 (2012·苏州模拟)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3(x 2＋t )，x <0，2×(t ＋1)x ，x ≥0 且f (1)＝6，则f (f (－2))的值为________．思维启迪：首先根据f (1)＝6求出t 的取值，从而确定函数解析式，然后由里到外逐层求解f (f (－2))的值，并利用指数与对数的运算规律求出函数值．答案 12解析 ∵1>0，∴f (1)＝2×(t ＋1)＝6，即t ＋1＝3，解得t ＝2.故f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3(x 2＋2)，x <0，2×3x ， x ≥0，所以f (－2)＝log 3[(－2)2＋2]＝log 36>0. f (f (－2))＝f (log 36)＝2×3log 36＝2×6＝12.探究提高本题的难点有两个，一是准确理解分段函数的定义，自变量在不同取值范围内对应着不同的函数解析式；二是对数与指数的综合运算问题．解决此类问题的关键是要根据分段函数的定义，求解函数值时要先判断自变量的取值区间，然后再代入相应的函数解析式求值，在求值过程中灵活运用对数恒等式进行化简求值．(2012·广东六校联考)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－cos (πx )， x >0，f (x ＋1)＋1， x ≤0，则f ⎝⎛⎭⎫43＋f ⎝⎛⎭⎫－43的值等于 ( )A ．－2B ．1C ．2D ．3 答案 D解析 f ⎝⎛⎭⎫43＝12，f ⎝⎛⎭⎫－43＝f ⎝⎛⎭⎫－13＋1＝f ⎝⎛⎭⎫23＋2＝52，f ⎝⎛⎭⎫43＋f ⎝⎛⎭⎫－43＝3. 题型二函数性质的应用例2 设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为单调递增函数，且f (2)＝0，则不等式f (－x )－f (x )x≥0的解集为 ( ) A ．[－2,0]∪[2，＋∞) B ．(－∞，－2]∪(0,2] C ．(－∞，－2]∪[2，＋∞) D ．[－2,0)∪(0,2] 思维启迪：转化成f (m )<f (n )的形式，利用单调性求解．答案 D解析因为f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，不等式可化为－f (x )－f (x )x ≥0，即－f (x )x ≥0.当x >0时，则有f (x )≤0＝f (2)，由f (x )在(0，＋∞)上单调递增可得x ≤2；当x <0时，则有f (x )≥0＝－f (2)＝f (－2)，由函数f (x )为奇函数可得f (x )在(－∞，0)上单调递增，所以x ≥－2.所以不等式的解集为[－2,0)∪(0,2]．探究提高解决抽象函数问题的关键是灵活利用抽象函数的性质，利用函数的单调性去掉函数符号是解决问题的关键，由函数为奇函数可知，不等式的解集关于原点对称，所以只需求解x >0时的解集即可．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x >0，log 2(－x )，x <0，若f (m )<f (－m )，则实数m 的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0,1) 答案 C解析 f (－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ log 12(－x )，－x >0log 2x ，－x <0＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12(－x )，x <0，log 2x ，x >0.当m >0时，f (m )<f (－m )⇒log 12m <log 2m ⇒m >1；当m <0时，f (m )<f (－m )⇒log 2(－m )<log 12(－m )⇒－1<m <0.所以，m 的取值范围是(－1,0)∪(1，＋∞)．题型三函数图象及应用例3 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |，0<x ≤10，－12x ＋6，x >10，若a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则abc的取值范围是_____________．思维启迪：可以先画出函数f (x )的图象，通过图象的特征观察a 、b 、c 的关系．答案 (10,12)解析画出函数f (x )的图象，再画出直线y ＝d (0<d <1)，如图所示，直观上知0<a <1,1<b <10,10<c <12，再由|lg a |＝|lg b |，得－lg a ＝lg b ，从而得ab ＝1，则10<abc <12.探究提高通过图形可以发现a ，b ，c 所在的区间，再把绝对值符号去掉，就能发现ab ＝1，这样利用数形结合就可把问题化难为易了．已知不等式x 2－log a x <0，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，12时恒成立，求实数a 的取值范围．解由x 2－log a x <0，得x 2<log a x .设f (x )＝x 2，g (x )＝log a x .由题意知，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，12时，函数f (x )的图象在函数g (x )的图象的下方，如图，可知⎩⎪⎨⎪⎧ 0<a <1，f ⎝⎛⎭⎫12≤g ⎝⎛⎭⎫12，即⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，⎝⎛⎭⎫122≤log a 12，解得116≤a <1.∴实数a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫116，1. 题型四函数的值域与不等式恒成立问题例4 (2012·天津滨海新区五所重点学校联考)定义在R 上的增函数y ＝f (x )对任意x ，y ∈R都有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )． (1)求f (0)；(2)求证：f (x )为奇函数；(3)若f (k ·3x )＋f (3x －9x －2)<0对任意x ∈R 恒成立，求实数k 的取值范围．思维启迪：(1)赋值法是解决抽象函数问题的常用方法，第(1)(2)两问可用赋值法解决． (2)将恒成立问题转化成函数最值问题． (1)解令x ＝y ＝0，得f (0＋0)＝f (0)＋f (0)，即f (0)＝0.(2)证明令y ＝－x ，得f (x －x )＝f (x )＋f (－x )，又f (0)＝0，则有0＝f (x )＋f (－x )，即f (－x )＝－f (x )对任意x ∈R 成立，所以f (x )是奇函数．(3)解方法一因为f (x )在R 上是增函数，又由(2)知f (x )是奇函数．f (k ·3x )<－f (3x －9x －2)＝f (－3x ＋9x ＋2)，所以k ·3x <－3x ＋9x ＋2，32x －(1＋k )·3x ＋2>0对任意x ∈R 成立．令t ＝3x >0，问题等价于t 2－(1＋k )t ＋2>0对任意t >0恒成立．令f (t )＝t 2－(1＋k )t ＋2，其对称轴为x ＝1＋k2，当1＋k2<0即k <－1时，f (0)＝2>0，符合题意；当1＋k2≥0即k ≥－1时，对任意t >0，f (t )>0恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧1＋k 2≥0，Δ＝(1＋k )2－4×2<0，解得－1≤k <－1＋2 2.综上所述，当k <－1＋22时，f (k ·3x )＋f (3x －9x －2)<0对任意x ∈R 恒成立．方法二由k ·3x <－3x ＋9x ＋2，得k <3x ＋23x －1.u ＝3x ＋23x －1≥22－1,3x ＝2时，取“＝”，即u 的最小值为22－1，要使对x ∈R ，不等式k <3x ＋23x －1恒成立，只要使k <22－1.探究提高对于恒成立问题，若能转化为a >f (x ) (或a <f (x ))恒成立，则a 必须大于f (x )的最大值(或小于f (x )的最小值)．因此恒成立问题可以转化为我们较为熟悉的求最值的问题进行求解．若不能分离参数，可以将参数看成常数直接求解．定义在R 上的奇函数f (x )，当x ∈[0，＋∞)时，f (x )是增函数，对于任意的θ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，均有f (cos 2θ－3)＋f (4m －2m cos θ)>0，试求实数m 的取值范围．解因为f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ∈[0，＋∞)时，f (x )是增函数，则f (x )在(－∞，0]上也是增函数，所以f (x )在R 上是增函数，且f (0)＝0， ∵f (cos 2θ－3)＋f (4m －2m cos θ)>0， ∴f (cos 2θ－3)>f (2m cos θ－4m )，于是cos 2θ－3>2m cos θ－4m ，① 即cos 2θ－m cos θ＋2m －2>0. 得m >cos 2θ－2cos θ－2，设h (θ)＝cos 2θ－2cos θ－2，则h (θ)＝4－⎣⎡⎦⎤(2－cos θ)＋22－cos θ≤4－22，即h (θ)max ＝4－22，只须m >4－2 2.故实数m 的取值范围是(4－22，＋∞)． 2.高考中的函数零点问题典例：(2011·山东)已知函数f (x )＝log a x ＋x －b (a >0，且a ≠1)．当2<a <3<b <4时，函数f (x )的零点x 0∈(n ，n ＋1)，n ∈N *，则n ＝________.考点分析本题考查对数函数、函数单调性、函数零点等知识，体现了函数知识的综合．求解策略解答本题可先确定函数f (x )在(0，＋∞)上的单调性，然后根据a ，b 满足的条件及对数的运算性质探究出f (x )零点所在的区间，从而对照x 0∈(n ，n ＋1)，n ∈N *确定出n 的值．答案 2解析 ∵2<a <3，∴f (x )＝log a x ＋x －b 为定义域上的单调递增函数．f (2)＝log a 2＋2－b ， f (3)＝log a 3＋3－b .∵2<a <3<b ，∴0<lg 2<lg a <lg 3，∴lg 2lg 3<lg 2lg a <1.又∵b >3，∴－b <－3，∴2－b <－1， ∴log a 2＋2－b <0，即f (2)<0.∵1<lg 3lg a <lg 3lg 2，3<b <4，∴－1<3－b <0，∴log a 3＋3－b >0，∴f (3)>0，即f (2)·f (3)<0. 由x 0∈(n ，n ＋1)，n ∈N *知，n ＝2.解后反思 (1)本题考查函数零点，与函数的单调性相结合；(2)解决函数的有关问题，要综合利用函数的图象，函数的单调性、对称性、周期性、值域等．方法与技巧1．利用复合函数求函数值是一类重要问题，解题关键是利用已知的函数值，通过解析式的变化特点进行代入求值，有时也可以利用周期性来解题．2．抽象函数奇偶性的判断关键在于构造f (－x )，使之与f (x )产生等量关系，即比较f (－x )与±f (x )是否相等，此时赋值比较多的是－1、1、0等．3．作图、识图和用图是函数图象中的基本问题．作图的基本途径：求出函数的定义域；尽量求出值域；变换(化简、平移、对称、伸缩等)出图象的形状；描点作图．识图就是从图形中发现或捕捉所需信息，从而使问题得到解决．用图就是根据需要，作出函数的图形，使问题求解得到依据，使函数、方程、不等式中的许多问题化归为函数图象问题．失误与防范1．函数求值问题一定要关注自变量的取值范围，尤其是分段函数，以防代错解析式． 2．对于由抽象函数不等式向具体不等式转化的过程中，一定要注意单调区间，需将自变量转化到同一个单调区间上去．3．识图要抓住性质特征，关键点；作图要规范，一般从基本图形通过平移、对称等变换来作图.(时间：60分钟) A 组专项基础训练一、选择题(每小题5分，共20分)1． (2011·重庆)下列区间中，函数f (x )＝|ln(2－x )|在其上为增函数的是 ( )A ．(－∞，1]B ．[－1，43]C ．[0，32) D ．[1,2)答案 D解析方法一当2－x ≥1，即x ≤1时，f (x )＝|ln(2－x )|＝ln(2－x )，此时函数f (x )在(－ ∞，1]上单调递减．当0<2－x ≤1，即1≤x <2时，f (x )＝|ln(2－x )|＝－ln(2－x )，此时函数f (x )在[1,2)上单调递增，故选D. 方法二 f (x )＝|ln(2－x )|的图象如图所示．由图象可得，函数f (x )在区间[1,2)上为增函数，故选D.2． (2011·北京)如果log 12x <log 12y <0，那么 ( )A ．y <x <1B ．x <y <1C ．1<x <yD ．1<y <x 答案 D解析不等式转化为⎩⎨⎧log 12x <log 12y ，log 12y <0⇒1<y <x .3． (2012·浙江改编)设函数f (x )是定义在R 上的周期为2的偶函数，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ＋1，则f ⎝⎛⎭⎫32等于 ( ) A.32 B ．－14 C.14 D.12 答案 A解析当x ∈[－1,0]时，－x ∈[0,1]， ∵f (x )为偶函数，∴f (x )＝f (－x )＝－x ＋1. ∴f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫32－2＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝－⎝⎛⎭⎫－12＋1＝32. 4． (2012·江西)如图所示，|OA |＝2(单位：m)，|OB |＝1(单位：m)，OA 与OB 的夹角为π6，以A 为圆心，AB 为半径作圆弧BDC 与线段OA 延长线交于点C .甲、乙两质点同时从点O 出发，甲先以速率1(单位：m/s)沿线段OB 行至点B ，再以速率3(单位：m/s)沿圆弧BDC 行至点C 后停止；乙以速率2(单位：m/s)沿线段OA 行至点A 后停止．设t 时刻甲、乙所到达的两点连线与它们经过的路径所围成图形的面积为S (t )(S (0)＝0)，则函数y ＝S (t )的图象大致是( )答案 A解析对t 进行分段，确定函数y ＝S (t )的解析式．由题意知，当0<t ≤1时，甲从O 向B 移动，乙从O 向A 移动，则t 时刻，|OB |＝t ，|OA | ＝2t ，此时S (t )＝12·|OB |·|OA |sin π6＝12t 2，此段图象为抛物线；当t >1时，设圆弧半径为r ，甲从B 沿圆弧移动到C 后停止，乙在A 点不动，则此时S (t )＝12×1×2·sin π6＋12·r ·3(t －1)＝3r 2t ＋1－3r2，此段图象为直线，当甲移动至C 点后，甲、乙均不再移动，面积不再增加，选项B 中开始一段函数图象不对，选项C 中后两段图象不对，选项D 中前两段函数图象不对，故选A. 二、填空题(每小题5分，共15分)5．设a >0，a ≠1，函数f (x )＝log a (x 2－2x ＋3)有最小值，则不等式log a (x －1)>0的解集为______．答案 (2，＋∞)解析 ∵x 2－2x ＋3>0，即(x －1)2＋2>0的解集为R ， ∴函数f (x )＝log a (x 2－2x ＋3)的定义域为R . 又∵函数y ＝x 2－2x ＋3有最小值2，无最大值．据题意有a >1.∴log a (x －1)>0＝log a 1等价于⎩⎪⎨⎪⎧x －1>0，x －1>1，解得x >2，即不等式log a (x －1)>0的解集为(2，＋∞)． 6．设函数g (x )＝x 2－2(x ∈R )，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧g (x )＋x ＋4，x <g (x )，g (x )－x ，x ≥g (x )，则f (x )的值域是__________．答案 [－94，0]∪(2，＋∞)解析由x <g (x )得x <x 2－2，∴x <－1或x >2；由x ≥g (x )得x ≥x 2－2，∴－1≤x ≤2.∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＋2，x <－1或x >2，x 2－x －2，－1≤x ≤2.即f (x )＝⎩⎨⎧(x ＋12)2＋74，x <－1或x >2，(x －12)2－94，－1≤x ≤2.当x <－1时，f (x )>2；当x >2时，f (x )>8.∴当x ∈(－∞，－1)∪(2，＋∞)时，函数的值域为(2，＋∞)．当－1≤x ≤2时，－94≤y ≤0.∴当x ∈[－1,2]时，函数的值域为[－94，0]．综上可知，f (x )的值域为[－94，0]∪(2，＋∞)．7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x －5 (x >6)，⎝⎛⎭⎫4－a 2x ＋4 (x ≤6)，在R 上是单调递增函数，则实数a 的取值范围为________．答案 [7,8)解析由题意知，实数a 应满足⎩⎪⎨⎪⎧a >14－a 2>0⎝⎛⎭⎫4－a 2×6＋4≤a 6－5，即⎩⎪⎨⎪⎧a >1a <8a ≥7，解得7≤a <8. 三、解答题(共25分)8． (12分)若直线y ＝2a 与函数y ＝|a x －1| (a >0且a ≠1)的图象有两个交点，求a 的取值范围．解 ①当a >1时，画出函数y ＝|a x －1|的草图：若y ＝2a 与y ＝|a x －1|的图象有两个交点，则有0<2a <1，∴0<a <12(舍去)．②当0<a <1时，画出函数y ＝|a x －1|的草图：若y ＝2a 与y ＝|a x －1|的图象有两个交点，则有0<2a <1，∴0<a <12. 综上所述，a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，12. 9． (13分)已知a >0，且a ≠1，f (log a x )＝a a 2－1⎝⎛⎭⎫x －1x . (1)求f (x )；(2)判断f (x )的单调性；(3)求f (x 2－3x ＋2)<0的解集．解 (1)令t ＝log a x (t ∈R )，则x ＝a t ，且f (t )＝a a 2－1⎝⎛⎭⎫a t －1a t .∴f (x )＝a a 2－1(a x －a －x ) (x ∈R )． (2)当a >1时，a x －a －x 为增函数，又a a 2－1>0，∴f (x )为增函数；当0<a <1时，a x －a －x 为减函数，又aa 2－1<0，∴f (x )为增函数． ∴函数f (x )在R 上为增函数．(3)∵f (0)＝a a 2－1(a 0－a 0)＝0，∴f (x 2－3x ＋2)<0＝f (0)．由(2)知：x 2－3x ＋2<0，∴1<x <2.∴不等式的解集为{x |1<x <2}．B 组专项能力提升一、选择题(每小题5分，共15分)1．已知函数f (x )＝||lg x ，若0＜a ＜b ，且f (a )＝f (b )，则a ＋2b 的取值范围是 ( )A ．(22，＋∞) B.[ 22，＋∞)C ．(3，＋∞) D.[ 3，＋∞)答案 C解析由已知条件0<a <1<b 和f (a )＝f (b )得，－lg a ＝lg b ，则lg a ＋lg b ＝0，ab ＝1，因此a ＋2b ＝a ＋2a ，由对勾函数知y ＝x ＋2x在(0,1)单调递减，得a ＋2b >3，即a ＋2b 的取值范围是(3，＋∞)．2．设函数f (x )是定义在R 上周期为3的奇函数，若f (1)<1，f (2)＝2a －1a ＋1，则 ( )A ．a <12且a ≠－1 B ．－1<a <0 C ．a <－1或a >0 D ．－1<a <2答案 C解析 ∵函数f (x )为奇函数，∴f (1)＝－f (－1)<1，∴f (－1)>－1.又∵函数f (x )的周期为3，∴f (－1)＝f (2)＝2a －1a ＋1>－1，∴3a a ＋1>0，解得a >0或a <－1.3．设f (x )是定义在R 上的偶函数，对任意的x ∈R ，都有f (x －2)＝f (x ＋2)，且当x ∈[－2,0]时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x －1，若在区间(－2,6]内关于x 的方程f (x )－log a (x ＋2)＝0 (a >1)恰有3个不同的实数根，则a 的取值范围是 ( )A ．(1,2)B ．(2，＋∞)C ．(1，34)D ．(34，2)答案 D解析由f (x －2)＝f (x ＋2)，知f (x )是以4为周期的周期函数，于是可得f (x )在(－2,6]上的大致图象如图中实线所示，令g (x )＝log a (x ＋2) (a >1)，则g (x )的大致图象如图所示，结合图象可知，要使得方程f (x )－log a (x＋2)＝0 (a >1)在区间(－2,6]内恰有3个不同的实数根，则只需⎩⎪⎨⎪⎧ g (2)<3g (6)>3，即⎩⎨⎧log a 4<3log a 8>3，解得34<a <2. 二、填空题(每小题4分，共12分)4．函数f (x )＝log 0.5(3x 2－ax ＋5)在(－1，＋∞)上是减函数，则实数a 的取值范围是__________．答案 [－8，－6]解析设g (x )＝3x 2－ax ＋5，由已知⎩⎪⎨⎪⎧a 6≤－1，g (－1)≥0，解得－8≤a ≤－6.5．已知f (x )＝a sin x ＋b 3x ＋4 (a ，b ∈R )，且f [lg(log 210)]＝5，则f [lg(lg 2)]＝________.答案 3解析 lg(log 210)＝－lg(lg 2)，f (－x )＝a sin(－x )＋b 3－x ＋4＝－(a sin x ＋b 3x )＋4.又f [lg(log 210)]＝5，∴f [lg(lg 2)]＝4－5＋4＝3.6．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2＋2x ，若f (2－a 2)>f (a )，则实数a的取值范围是__________．答案 (－2,1)解析∵f (x )是奇函数，∴当x <0时，f (x )＝－x 2＋2x ，作出f (x )的大致图象如图中实线所示，结合图象可知f (x )是R 上的增函数，由f (2－a 2)>f (a )，得2－a 2>a ，即－2<a <1.三、解答题(13分)7．设函数f (x )＝3ax 2－2(a ＋c )x ＋c (a >0，a ，c ∈R )．(1)设a >c >0.若f (x )>c 2－2c ＋a 对x ∈[1，＋∞)恒成立，求c 的取值范围；(2)函数f (x )在区间(0,1)内是否有零点，有几个零点？为什么？解 (1)因为二次函数f (x )＝3ax 2－2(a ＋c )x ＋c 的图象的对称轴为x ＝a ＋c 3a，由条件a >c >0，得2a >a ＋c ，故a ＋c 3a <2a 3a ＝23<1，即二次函数f (x )的对称轴在区间[1，＋∞)的左边，且抛物线开口向上，故f (x )在[1，＋∞)内是增函数．若f (x )>c 2－2c ＋a 对x ∈[1，＋∞)恒成立，则f (x )min ＝f (1)>c 2－2c ＋a ，即a －c >c 2－2c ＋a ，得c 2－c <0，所以0<c <1.(2)①若f (0)·f (1)＝c ·(a －c )<0，则c <0，或a <c ，二次函数f (x )在(0,1)内只有一个零点．②若f (0)＝c >0，f (1)＝a －c >0，则a >c >0.因为二次函数f (x )＝3ax 2－2(a ＋c )x ＋c 的图象的对称轴是x ＝a ＋c 3a. 而f ⎝⎛⎭⎫a ＋c 3a ＝－a 2＋c 2－ac 3a <0，所以函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a ＋c 3a 和⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋c 3a ，1内各有一个零点，故函数f (x )在区间(0,1) 内有两个零点．。

【苏教版】【步步高】2014届高考数学一轮复习备考课件第一章§1.1算法的含义

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【学习要求】 1．了解算法的含义，体会算法的思想；
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2．能够用自然语言叙述算法； 3．掌握正确的算法应满足的要求； 4．会写出解线性方程(组)的算法．【学法指导】通过生活中的实例，体会算法的思想，从而得到算法的概念及算法步骤，体会不同的问题有不同的算法．由于思考问题的角度不同，同一个问题也可能有多个算法.
第二步：将下一个整数 b 与“最大值”比较，若整数 b 大于 “最大值”，就假定“最大值”是整数 b；
第三步：将“最大值”与下一个整数 c 比较，若整数 c 大于 “最大值”，就假定“最大值”是整数 c；
第四步：输出这个“最大值”．
研一研·问题探究、课堂更高效
问题 3
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在例 3 中我们是用自然语言来描述算法的，描述起来比
有运算结果，答案可以由计算机解决．算法没有一个固定的
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模式，但有以下几个基本要求： (1)符合运算规则，计算机能操作； (2)每个步骤都有一个明确的计算任务； (3)对重复操作步骤作返回处理； (4)步骤个数尽可能少； (5)每个步骤的语言描述要准确、简明．
Hale Waihona Puke 研一研·问题探究、课堂更高效
第四步，得到计算的结果．
解析求三个数的平均数必须是先计算三个数的总和，再被 3 除．
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4．已知算法：第一步，输入 n.第二步，判断 n 是否是 2，若 n＝ 2，则 n 满足条件；若 n>2，则执行第三步．第三步，依次检
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验从 2 到 n－1 的整数能不能整除 n，若不能整除 n，满足条

【苏教版】【步步高】2014届高考数学一轮复习备考课件3.2.1常见函数的导数

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x＋Δx－ x Δy fx＋Δx－fx 解＝＝ Δx Δx Δx
x＋Δx－ x x＋Δx＋ x ＝ Δx· x＋Δx＋ x Δx ＝ Δx· x＋Δx＋ x
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1 ＝ . x＋Δx＋ x
Δy 1 从而，当Δx→0时， → . Δx 2 x 1 ∴f′(x)＝ . 2 x
答案 ①③④
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3 2．函数f(x)＝ x，则f′(3)等于________ ． 6 1 解析 ∵f′(x)＝( x)′＝， 2 x
3 ∴f′(3)＝＝6. 2 3 1
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3．设正弦曲线y＝sin x上一点P，以点P为切点的切线为直 π 3π [0， ]∪[ ，π) 4 4 线l，则直线l的倾斜角的范围是__________________ ．
x a ln a a>0，且 a≠ 1) f′(x)＝ ______( x e f′(x)＝ ________ 1 f′(x)＝ ________( xln a a>0且 a≠ 1)
α－1
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x
f(x)＝ logax f(x)＝ ln x
1 f′(x)＝ ________ x
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π ∴f′3＝－sin
π 3 3＝－ 2 .
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小结
函数f(x)在点x0处的导数等于f′(x)在点x＝x0处的函
数值．在求函数在某点处的导数时可以先利用导数公式求出导函数，再将x0代入导函数求解，不能先代入后求导．

【苏教版】【步步高】2014届高考数学一轮复习备考课件第一章§1.2.3循环结构

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解析利用流程图中描述的算法特点求解．
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2．在循环结构中，每次执行循环体前对控制循环的条件进行
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判断，当条件满足时执行循环体，不满足则停止，这样的
当型循环循环结构是______________ ．
练一练·当堂检测、目标达成落实处 ③ ．(填序号) 3．下列关于循环结构的说法正确的是________
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小结
变量 S 作为累加器，来存放所求数据之和．累加器的初
值为 0，第一次循环时，输入了一个数据 G 然后执行“S←S＋
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G”，就是把 0＋G 的结果存放在 S 中，第二次循环时，输入了第二个数据也用 G 表示，执行 S←S＋G 就是把两次输入的数据的和存放在 S 中．如此循环，则可实现数的累加求和．
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跟踪训练 2 1 2 3 n 已知有一列数，，，…，，设计流程图实 2 3 4 n＋ 1
现求该列数前 20 项的和．解流程图如图所示：
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方法一：
方法二：
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8 1．执行如图所示的流程图，输出的 S 值为________ ．
这个方法可以在条件限制中加入任
意的值来，比如 1×2×3×4×…×100 也可以用同样的程序来执行，只要修改一下限制条件即可．
流程图如图：
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问题 4 问题 3 中流程图使用的是直到型循环，如何改变一下算法使之适合当型循环？你能画出流程图吗？
答 S1 T←1；
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【苏教版(理)】【步步高】2014届高三数学大一轮复习讲义【Word版题库】9.4 直线与圆、圆与圆的位置关系

直线与圆、圆与圆的位置关系一、填空题1．已知集合A ＝{(x ，y )|x ，y 为实数，且x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|x ，y 为实数，且x ＋y ＝1}，则A ∩B 的元素个数为________．解析集合A 表示圆，集合B 表示一条直线，又圆心(0,0)到直线x ＋y ＝1的距离d ＝12＝22＜1＝r ，所以直线与圆相交，故A ∩B 的元素个数有2个．答案 22．圆C 1：x 2＋y 2＋2x ＝0，圆C 2：x 2＋y 2＋4y ＝0，则两圆的位置关系是________．解析圆C 1：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆C 2：x 2＋(y ＋2)2＝22，所以C 1C 2＝5，且2－1＜5＜2＋1，所以两圆相交．答案相交3．若直线2x －y ＋a ＝0与圆(x －1)2＋y 2＝1有公共点，则实数a 的取值范围是________．解析若直线与圆有公共点，即直线与圆相交或相切，故有|a ＋2|5≤1，解得－2－5≤a ≤－2＋ 5. 答案 [－2－5，－2＋5]4．与圆x 2＋y 2＝25外切于点P (4,3)，且半径为1的圆的方程是________．解析设所求圆的圆心为C (m ，n )，则O ，P ，C 三点共线，且OC ＝6，所以m ＝45×6＝245，n ＝35×6＝185，所以圆的方程是⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2452＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －1852＝1. 答案 ⎝⎛⎭⎪⎫x －2452＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －1852＝1 5．过点A (2,4)向圆x 2＋y 2＝4所引切线的方程为________．解析显然x ＝2为所求切线之一．另设直线方程为y －4＝k (x －2)，即kx－y＋4－2k＝0，那么|4－2k|k2＋1＝2，k＝34，即3x－4y＋10＝0.答案x＝2或3x－4y＋10＝06．台风中心从A地以每小时20 k m的速度，向东北方向移动，离台风中心30 k m 内的地区为危险地区，城市B在A地正东40 k m处，B城市处于危险区内的时间为________．答案 1 h7．将直线2x－y＋λ＝0沿x轴向左平移1个单位，所得直线与圆x2＋y2＋2x－4y＝0相切，则实数λ的值为________．解析由题意，得直线2(x＋1)－y＋λ＝0，即2x－y＋2＋λ＝0与圆(x＋1)2＋(y－2)2＝5相切，所以|λ－2|5＝5，λ－2＝±5，所以λ＝－3或λ＝7.答案－3或78．设两圆C1、C2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离C1C2＝________.解析设与两坐标轴都相切的圆的方程为(x－a)2＋(y－a)2＝a2，将点(4,1)代入得a2－10a＋17＝0，解得a＝5±22，设C1(5－22，5－22)，则C2(5＋22，5＋22)，则C1C2＝32＋32＝8.答案89．由直线y＝x＋1上的一点向圆x2－6x＋y2＋8＝0引切线，则切线长的最小值为________．解析切线长的最小值在直线y＝x＋1上的点与圆心距离最小时取得，圆心(3,0)到直线的距离为d＝|3－0＋1|2＝22，圆的半径为1，故切线长的最小值为d2－r2＝8－1＝7.答案710．已知圆x2＋y2＝m与圆x2＋y2＋6x－8y－11＝0相交，则实数m的取值范围为________．解析(x＋3)2＋(y－4)2＝36，由题意，得|6－m|＜5＜6＋m，解得1＜m＜11，所以1＜m＜121.答案 1＜m ＜12111．若直线2ax －by ＋2＝0(a ＞0，b ＞0)被圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0截得的弦长为4，则1a ＋1b的最小值是________．解析圆(x ＋1)2＋(y －2)2＝4，∵弦长为4，故为直径，即直线过圆心(－1,2)，∴a ＋b ＝1，∴1a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b (a ＋b )＝2＋b a ＋a b ≥2＋21＝4，当且仅当a ＝b ＝12时，取等号，∴1a ＋1b的最小值为4.答案 412．圆C 1：x 2＋y 2＋4ax ＋4a 2－4＝0和圆C 2：x 2＋y 2－2by ＋b 2－1＝0恰有三条公切线，若a ，b ∈R 且ab ≠0，则1a 2＋1b2的最小值为________．解析由题意，两圆外切，所以|C 1C 2|＝r 1＋r 2，即－2a2＋b 2＝3，也即4a 2＋b 2＝9，所以1a 2＋1b 2＝19(4a 2＋b 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋1b 2＝19⎝⎛⎭⎪⎫5＋b 2a 2＋4a 2b 2≥19×(5＋4)＝1，当且仅当b 2a 2＝4a 2b 2，即b 2＝2a 2时等号成立．答案 113．已知集合A ＝{(x ，y )||x |＋|y |≤1}，B ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤r 2，r ＞0}，若点(x ，y )∈A 是点(x ，y )∈B 的必要条件，则r 的最大值是________．解析由题意得B ⊆A ，所以r 的最大值即为原点到直线x ＋y ＝1的距离d ＝12＝22. 答案 22二、解答题(每小题15分，共45分)14．已知：圆C ：x 2＋y 2－8y ＋12＝0，直线l ：ax ＋y ＋2a ＝0. (1)当a 为何值时，直线l 与圆C 相切；(2)当直线l 与圆C 相交于A 、B 两点，且AB ＝22时，求直线l 的方程．解析将圆C 的方程x 2＋y 2－8y ＋12＝0配方得标准方程为x 2＋(y －4)2＝4，则此圆的圆心为(0,4)，半径为2. (1)若直线l 与圆C 相切，则有|4＋2a |a 2＋1＝2.解得a ＝－34.(2)过圆心C 作CD ⊥AB ，则根据题意和圆的性质，得⎩⎪⎨⎪⎧CD ＝|4＋2a |a 2＋1，CD 2＋DA 2＝AC 2＝22，DA ＝12AB ＝ 2.解得a ＝－7或a ＝－1.故所求直线方程为7x －y ＋14＝0或x －y ＋2＝0.15．求过两圆x 2＋y 2＋4x ＋y ＝－1，x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋1＝0的交点的圆中面积最小的圆的方程．解析由⎩⎨⎧x 2＋y 2＋4x ＋y ＝－1， ①x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋1＝0， ②①－②得2x －y ＝0代入①得x 1＝－15、x 2＝－1，∴两圆两个交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－15，－25、(－1，－2)．过两交点圆中，以⎝ ⎛⎭⎪⎫－15，－25、(－1，－2)为端点的线段为直径的圆，面积最小．∴该圆圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，－65半径为⎝ ⎛⎭⎪⎫－15＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－25＋222＝255，圆方程为⎝⎛⎭⎪⎫x ＋352＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋652＝45. 16．如图，已知位于y 轴左侧的圆C 与y 轴相交于点(0,1)且被x 轴分成的两段圆弧长之比为1∶2，过点H (0，t )的直线l 与圆C 相交于M 、N 两点，且以MN为直径的圆恰好经过坐标原点O .(1)求圆C 的方程；(2)当t ＝1时，求出直线l 的方程； (3)求直线OM 的斜率k 的取值范围．解析 (1)因为位于y 轴左侧的圆C 与y 轴相切于点(0,1)，所以圆心C 在直线y ＝1上．设圆C 与x 轴的交点分别为A 、B .由圆C 被x 轴分成的两段弧长之比为2∶1，得∠ACB ＝2π3. 所以CA ＝CB ＝2.圆心C 的坐标为(－2,1)，所以圆C 的方程为(x ＋2)2＋(y －1)2＝4.(2)当t ＝1时，由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝mx ＋1.由⎩⎨⎧y ＝mx ＋1，x ＋2＋y －2＝4，得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4m 2＋1，y ＝m 2－4m ＋1m 2＋1.不妨令M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4m 2＋1，m 2－4m ＋1m 2＋1，N (0,1)．因为以MN 为直径的圆恰好经过O (0,0)，所以OM →·ON →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－4m 2＋1，m 2－4m ＋1m 2＋1·(0,1)＝m 2－4m ＋1m 2＋1＝0，解得m ＝2± 3.所以所求直线l 方程为y ＝(2＋3)x ＋1或y ＝(2－3)x ＋1. (3)设直线MO 的方程为y ＝kx . 由题意，知|－2k －1|1＋k2≤2，解得k ≤34.同理，得－1k ≤34，解得k ≤－43或k ＞0.由(2)知，k ＝0也满足题意．所以k 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－43∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，34.17．如图所示，某粮食储备库占地呈圆域形状，它的斜对面有一条公路，从储备库中心A 向正东方向走1 k m 是储备库边界上的点B ，接着向正东方向走2 k m 到达公路上的点C ；从A 向正北方向走2.8 k m 到达公路上的另一点D .现准备在储备库的边界上选一点E ，修建一条由E 通往公路CD 的专用线路EF ，要求造价最低，用坐标法回答：点E 应该选在何处？解析如图所示，分别以直线AC 、AD 为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，作圆A 的切线GH ，使GH ∥CD ，这时切点就是E 点的位置(另一条切线不在考虑之列)，连接AE ，A 、E 、F 三点共线，AF ⊥CD ，由已知，CD 的斜率为－2.83＝－1415，∴AF 的斜率为1514，AF 的方程为y ＝1514x ，圆A 的方程为x 2＋y 2＝1.由⎩⎨⎧y ＝1514x x 2＋y 2＝1解得E 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫14421421，15421421.∴E 点选在坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫14421421，15421421的点，造价最低． 18．已知圆O 的方程为x 2＋y 2＝1，直线l 1过点A (3,0)，且与圆O 相切． (1)求直线l 1的方程；(2)设圆O 交x 轴于P ，Q 两点，M 是圆O 上异于P ，Q 的任意一点，过点A 且与x 轴垂直的直线为l 2，直线PM 交直线l 2于点P ′，直线QM 交直线l 2于点Q ′，求证：以线段P ′Q ′为直径的圆C 总过定点，并求出定点坐标．解析 (1)由题意，可设直线l 1的方程为y ＝k (x －3)，即kx －y －3k ＝0，则由d ＝|－3k |k 2＋1＝1，解得k ＝±24，所以直线l 1的方程为y ＝±24(x －3)． (2)证明由题意，P (－1,0)，Q (1,0)，直线l 2的方程为x ＝3. 设M (s ，t )(s ≠±1)，则直线PM 的方程为y ＝t s ＋1(x ＋1)，于是由⎩⎨⎧x ＝3，y ＝ts ＋1x ＋1，得P ′⎝ ⎛⎭⎪⎫3，4t s ＋1，同理可得Q ′⎝⎛⎭⎪⎫3，2t s －1. 所以，以线段P ′Q ′为直径的圆C 的方程为(x －3)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －4t s ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫y －2t s －1＝0，又s 2＋t 2＝1，整理，得(x 2＋y 2－6x ＋1)＋6s －2ty ＝0.若圆C 过定点，则只需令y ＝0，得x 2－6x ＋1＝0，解得x ＝3±2 2.。

【苏教版】【步步高】2014届高三数学(理)大一轮复习学案第1章学案2命题及其关系、充分条件与必要条件

学案2 命题及其关系、充分条件与必要条件导学目标： 1.能写出一个命题的逆命题、否命题、逆否命题，会分析四种命题的相互关系.2.理解必要条件、充分条件与充要条件的含义．自主梳理1．命题用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的语句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题． 2．四种命题及其关系(1)四种命题一般地，用p 和q 分别表示原命题的条件和结论，用綈p 和綈q 分别表示p 和q 的否定，于是四种命题的形式就是原命题：若p 则q (p ⇒q )；逆命题：若q 则p (q ⇒p )；否命题：若綈p 则綈q (綈p ⇒綈q )；逆否命题：若綈q 则綈p (綈q ⇒綈p )．(2)四种命题间的关系(3)四种命题的真假性①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性．②两个命题为逆命题或否命题，它们的真假性没有关系．3．充分条件与必要条件若p ⇒q ，则p 叫做q 的充分条件；若q ⇒p ，则p 叫做q 的必要条件；如果p ⇔q ，则p 叫做q 的充要条件．自我检测1．(2011·南京模拟)设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x x －1<0，B ＝{x |0<x <3}，那么“m ∈A ”是“m ∈B ”的________条件．答案充分不必要解析 ∵A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x x －1<0＝{x |0<x <1}， B ＝{x |0<x <3}，∴A ≠B .当m ∈A 时，必有m ∈B ；而当m ∈B 时，m ∈A 不一定成立．∴“m ∈A ”是“m ∈B ”的充分而不必要条件．2．(2009·安徽改编)下列选项中，p 是q 的必要不充分条件的是________．(填序号) ①p ：a ＋c >b ＋d ，q ：a >b 且c >d ；②p ：a >1，b >1，q ：f (x )＝a x －b (a >0，且a ≠1)的图象不过第二象限； ③p ：x ＝1.q ：x 2＝x ；④p ：a >1，q ：f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)在(0，＋∞)上为增函数．答案 ①解析 ①中，由于a >b ，c >d ⇒a ＋c >b ＋d ，而a ＋c >b ＋d 却不一定推出a >b ，c >d ，故①中p 是q 的必要不充分条件；②中，当a >1，b >1时，函数f (x )＝a x －b 不过第二象限，当f (x )＝a x －b 不过第二象限时，有a >1，b ≥1，故②中p 是q 的充分不必要条件；③中，因为x ＝1时有x 2＝x ，但x 2＝x 时不一定有x ＝1，故③中p 是q 的充分不必要条件；④中p 是q 的充要条件．3．设a 、b 都是非零向量，那么命题“a 与b 共线”是命题“|a ＋b |＝|a |＋|b |”的________条件．答案必要不充分解析 |a ＋b |＝|a |＋|b |⇒a 、b 同向⇒a 与b 共线；反之，当a 与b 共线时，不一定有|a ＋b |＝|a |＋|b |，故a 与b 共线是|a ＋b |＝|a |＋|b |的必要不充分条件．4．与命题“若a ∈M ，则b ∉ M ”等价的命题是____________________．答案若b ∈M ，则a ∉ M解析因为原命题只与逆否命题是等价命题，所以只需写出原命题的逆否命题即可．5．给出下列命题：①原命题为真，它的否命题为假；②原命题为真，它的逆命题不一定为真；③一个命题的逆命题为真，它的否命题一定为真；④一个命题的逆否命题为真，它的否命题一定为真；⑤“若m >1，则mx 2－2(m ＋1)x ＋m ＋3>0的解集为R ”的逆命题．其中真命题是________．(把你认为正确命题的序号都填在横线上)答案 ②③⑤解析原命题为真，而它的逆命题、否命题不一定为真，互为逆否命题同真同假，故①④错误，②③正确．又因为不等式mx 2－2(m ＋1)x ＋m ＋3>0的解集为R ，由⎩⎪⎨⎪⎧ m >0Δ＝4(m ＋1)2－4m (m ＋3)<0 ⇒⎩⎨⎧m >0m >1⇒m >1. 故⑤正确．探究点一四种命题及其相互关系例1 写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假．(1)实数的平方是非负数；(2)等底等高的两个三角形是全等三角形；(3)弦的垂直平分线经过圆心，并平分弦所对的弧．解题导引给出一个命题，判断其逆命题、否命题、逆否命题等的真假时，如果直接判断命题本身的真假比较困难，则可以通过判断它的等价命题的真假来确定．解 (1)逆命题：若一个数的平方是非负数，则这个数是实数．真命题．否命题：若一个数不是实数，则它的平方不是非负数．真命题．逆否命题：若一个数的平方不是非负数，则这个数不是实数．真命题．(2)逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等底等高．真命题．否命题：若两个三角形不等底或不等高，则这两个三角形不全等．真命题．逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不等底或不等高．假命题．(3)逆命题：若一条直线经过圆心，且平分弦所对的弧，则这条直线是弦的垂直平分线．真命题．否命题：若一条直线不是弦的垂直平分线，则这条直线不过圆心或不平分弦所对的弧．真命题．逆否命题：若一条直线不经过圆心或不平分弦所对的弧，则这条直线不是弦的垂直平分线．真命题．变式迁移1 有下列四个命题：①“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q ≤1，则x 2＋2x ＋q ＝0有实根”的逆否命题；④“不等边三角形的三个内角相等”的逆命题．其中真命题的序号为________．答案 ①③解析 ①的逆命题是“若x ，y 互为相反数，则x ＋y ＝0”，真；②的否命题是“不全等的三角形的面积不相等”，假；③若q ≤1，则Δ＝4－4q ≥0，所以x 2＋2x ＋q ＝0有实根，其逆否命题与原命题是等价命题，真；④的逆命题是“三个内角相等的三角形是不等边三角形”，假．探究点二充要条件的判断例2 给出下列命题，试分别指出p 是q 的什么条件．(1)p ：x －2＝0；q ：(x －2)(x －3)＝0.(2)p ：两个三角形相似；q ：两个三角形全等．(3)p ：m <－2；q ：方程x 2－x －m ＝0无实根．(4)p ：一个四边形是矩形；q ：四边形的对角线相等．解 (1)∵x －2＝0⇒(x －2)(x －3)＝0；而(x －2)(x －3)＝0⇒x －2＝0.∴p 是q 的充分不必要条件．(2)∵两个三角形相似⇒两个三角形全等；但两个三角形全等⇒两个三角形相似．∴p 是q 的必要不充分条件．(3)∵m <－2⇒方程x 2－x －m ＝0无实根；方程x 2－x －m ＝0无实根⇒m <－2.∴p 是q 的充分不必要条件．(4)∵矩形的对角线相等，∴p ⇒q ；而对角线相等的四边形不一定是矩形，∴q ⇒p .∴p 是q 的充分不必要条件．变式迁移2 下列各小题中，p 是q 的充要条件的是________．(填序号)①p ：m <－2或m >6；q ：y ＝x 2＋mx ＋m ＋3有两个不同的零点；②p ：f (－x )f (x )＝1；q ：y ＝f (x )是偶函数； ③p ：cos α＝cos β；q ：tan α＝tan β；④p ：A ∩B ＝A ；q ：∁U B ⊆∁U A .答案 ①④解析 ①q ：y ＝x 2＋mx ＋m ＋3有两个不同的零点⇔q ：Δ＝m 2－4(m ＋3)>0⇔q ：m <－2或m >6⇔p ；②当f (x )＝0时，由q ⇒p ；③若α，β＝k π＋π2(k ∈Z )时，显然cos α＝cos β，但tan α≠tan β；④p ：A ∩B ＝A ⇔p ：A ⊆B ⇔q ：∁U A ⊇∁U B .故①④符合题意．探究点三充要条件的证明例3 设a ，b ，c 为△ABC 的三边，求证：方程x 2＋2ax ＋b 2＝0与x 2＋2cx －b 2＝0有公共根的充要条件是∠A ＝90°.解题导引有关充要条件的证明问题，要分清哪个是条件，哪个是结论，由“条件”⇒“结论”是证明命题的充分性，由“结论”⇒“条件”是证明命题的必要性．证明要分两个环节：一是充分性；二是必要性．证明 (1)必要性：设方程x 2＋2ax ＋b 2＝0与x 2＋2cx －b 2＝0有公共根x 0，则x 20＋2ax 0＋b 2＝0，x 20＋2cx 0－b 2＝0，两式相减可得x 0＝b 2c －a，将此式代入x 20＋2ax 0＋b 2＝0，可得b 2＋c 2＝a 2，故∠A ＝90°，(2)充分性：∵∠A ＝90°，∴b 2＋c 2＝a 2，b 2＝a 2－c 2.①将①代入方程x 2＋2ax ＋b 2＝0，可得x 2＋2ax ＋a 2－c 2＝0，即(x ＋a －c )(x ＋a ＋c )＝0.将①代入方程x 2＋2cx －b 2＝0，可得x 2＋2cx ＋c 2－a 2＝0，即(x ＋c －a )(x ＋c ＋a )＝0.故两方程有公共根x ＝－(a ＋c )．所以方程x 2＋2ax ＋b 2＝0与x 2＋2cx －b 2＝0有公共根的充要条件是∠A ＝90°. 变式迁移3 已知ab ≠0，求证：a ＋b ＝1的充要条件是a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝0. 证明 (1)必要性：∵a ＋b ＝1，∴a ＋b －1＝0.∴a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)－(a 2－ab ＋b 2)＝(a ＋b －1)(a 2－ab ＋b 2)＝0.(2)充分性：∵a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝0，即(a ＋b －1)(a 2－ab ＋b 2)＝0.又ab ≠0，∴a ≠0且b ≠0.∵a 2－ab ＋b 2＝(a －b 2)2＋34b 2>0. ∴a ＋b －1＝0，即a ＋b ＝1.综上可知，当ab ≠0时，a ＋b ＝1的充要条件是a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝0.转化与化归思想例 (14分)已知两个关于x 的一元二次方程mx 2－4x ＋4＝0和x 2－4mx ＋4m 2－4m －5＝0，且m ∈Z .求两方程的根都是整数的充要条件．【答题模板】解 ∵mx 2－4x ＋4＝0是一元二次方程，∴m ≠0. [2分] 另一方程为x 2－4mx ＋4m 2－4m －5＝0，两方程都要有实根，∴⎩⎪⎨⎪⎧Δ1＝16(1－m )≥0，Δ2＝16m 2－4(4m 2－4m －5)≥0，解得m ∈[－54，1]． [6分] ∵两根为整数，故和与积也为整数， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 4m ∈Z 4m ∈Z 4m 2－4m －5∈Z ， [10分]∴m 为4的约数，∴m ＝－1或1，当m ＝－1时，第一个方程x 2＋4x －4＝0的根为非整数，而当m ＝1时，两方程均为整数根，∴两方程的根均为整数的充要条件是m ＝1. [14分]【突破思维障碍】本题涉及到参数问题，先用转化思想将生疏复杂的问题化归为简单、熟悉的问题解决，两方程有实根易想Δ≥0.求出m 的范围，要使两方程根都为整数可转化为它们的两根之和与两根之积都是整数．【易错点剖析】易忽略一元二次方程这个条件隐含着m ≠0，不易把方程的根都是整数转化为两根之和与两根之积都是整数．1．研究命题及其关系时，要分清命题的题设和结论，把命题写成“如果……，那么……”的形式，当一个命题有大前提时，必须保留大前提，只有互为逆否的命题才有相同的真假性．2．在解决充分条件、必要条件等问题时，要给出p 与q 是否可以相互推出的两次判断，同时还要弄清是p 对q 而言，还是q 对p 而言．还要分清否命题与命题的否定的区别．3.本节体现了转化与划归的数学思想。

【步步高】2014届高三数学大一轮复习中档题型规范练向量与三角函数课件理苏教版

B组专项能力提升
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4．已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)的图象如图所示， fπ2＝－23，则f(0)＝________.
解析
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4．已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)的图象如图所示， fπ2＝－23，则f(0)＝___23_____.
解析
由图象，可知所求函数的最小正周期为23π，
解析
A组专项基础训练
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2．函数 y＝3cos(x＋φ)＋2 ____k_π_－__π4__(k_∈__Z_)____.
的图象关于直线
x＝π4对称，则
φ＝
解析
∵y＝cos x＋2 的对称轴为 x＝kπ(k∈Z)， ∴x＋φ＝kπ(k∈Z)，即 x＝kπ－φ(k∈Z)，令π4＝kπ－φ(k∈Z) 得 φ＝kπ－π4(k∈Z)．
解析
(2)因为x∈1π2，π2，所以2x＋π6∈π3，76π. 当2x＋π6＝π2，即x＝π6时，f(x)取得最大值2；
当2x＋π6＝76π，即x＝π2时，f(x)取得最小值－1. 故函数f(x)的值域为[－1,2]．
B组专项能力提升
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B组专项能力提升
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1．已知函数f(x)＝2cos(ωx＋φ)(ω>0)的图象关于直线x＝
解析
A组专项基础训练

《步步高》2014届高考数学浙江专用(理)大一轮复习讲义【配套课件】选修4-1解答题(要点梳理+基础自测+题

难点正本疑点清源
3.与圆有关的等角问题
(8)切割线定理
找角相等，要有找同弧
从圆外一点引圆的一条割线与一条切或等弧所对的圆周角，
线，切线长是这点到割线与圆的两个交并注意结合应用弦切角
点的线段长的等比中项．
定理的意识．
基础知识·自主学习
要点梳理 (9)圆内接四边形的性质与判定定理 ①圆内接四边形判定定理 (ⅰ)如果四边形的对角互补，则此四边形内接于圆； (ⅱ)如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆．
证中明，∠∵B∠ABCA＝C＝909°，0°，ADA⊥D⊥BCB，C，E ∴∠ADB＝∠ADC＝∠BAC＝90°，
是 AC 的中点，ED 交 AB 的延长 ∴∴线∠∠于11＋＝F∠∠，2A求＝C证B90，：°，∴AA∠BC△＝2A＋DBA∠DFF∽.AC△BC＝A9D0，°，∴AABC＝BADD.
解析
题型分类·深度剖析
变式训练 1 如图，▱ABCD 中，E 是 CD 的延长线上一点，BE 与 AD 交于点 F，DE＝12CD. (1)求证：△ABF∽△CEB；
(2)若△DEF 的面积为 2，求▱ABCD 的面积． (1)证明 ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴∠A＝∠C，AB∥CD，∴∠ABF＝∠CEB， ∴△ABF∽△CEB. (2)解 ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AD∥BC，AB∥CD， ∴△DEF∽△CEB，△DEF∽△ABF.
∴△AFH∽△GFB.∴HBFF＝GAFF， ∴AF·BF＝GF·HF.
∵在 Rt△ABD 中，FD⊥AB， ∴DF2＝AF·BF， ∴DF2＝GF·HF.
题型分类·深度剖析
题型二
直角三角形射影定理及其应用

【苏教版】【步步高】2014届高考数学一轮复习备考课件章末复习课(二)

＝(PF1－PF2)2＋2PF1· PF2(1－cos 60° )，即4c2＝c2＋PF1· PF2. 1 又 SPF F＝12 3，∴ PF1· PF2sin 60° ＝12 3， 2 1 2 即PF1· PF2＝48.
由①②，得c2＝16，c＝4，
本专题栏目开关
①
②
则a＝2，b2＝c2－a2＝12， x2 y2 ∴所求的双曲线方程为 4 －12＝1.
y＝kx－4，由 2 y ＝4x
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得ky2－4y－16k＝0，
42 2 2 2 ∴y1＋y2＝(y1＋y2) －2y1y2＝＋32>32.
k
2 ∴y1 ＋y2 2的最小值为32.
4 ∴y1＋y2＝，y1y2＝－16. k

练一练· 当堂检测、目标达成落实处
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线上的点到焦点的距离转化为到另一焦点的距离或利用定义把曲线上的点到焦点的距离转化为其到相应准线的距离，再利用数形结合的思想去解决有关的最值问题．
研一研· 题型解法、解题更高效
x2 y2 跟踪训练3 已知椭圆＋＝1，F1、F2分别是椭圆的 9 5 左、右焦点，点 A(1,1)为椭圆内一点，点P为椭圆上一点，求PA＋PF1的最大值．

2 x2 x (2)设与双曲线－y2＝1有公共渐近线的双曲线方程为－ 2 2
本专题栏目开关
y2＝k (k≠0)，
22 将点(2，－2)代入得k＝ 2 －(－2)2＝－2， y2 x2 ∴双曲线的标准方程为 2 － 4 ＝1.
研一研· 题型解法、解题更高效
题型二
“设而不求”思想
例2 (1)过点(1,0)作斜率为－2的直线，与抛物线y2＝8x交于A、B两点，求弦AB的长． (2)若直线l过抛物线y2＝4x的焦点，与抛物线交于A、B 两点，且线段 AB中点的横坐标为2，求线段 AB的长．

【苏教版】【步步高】2014届高考数学一轮复习备考课件第一章§1.2.1顺序结构

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1．2.1
【学习要求】
顺序结构
1．了解常用流程图符号(输入输出框，处理框，判断框，起止
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框，流程线等)的意义； 2．能用流程图表示顺序结构； 3.能识别简单的流程图所描述的算法．【学法指导】通过实例理解流程图是算法的一种表达方式，弄清各种图形符号的意义，明确每个图形符号的使用环境，在学习用流程图描述算法的过程中，发展有条理地思考与表达的能力，提高逻辑思维能力.
解算法如下：
本课 S1 时栏目 S2 开关 S3
输入自变量 x 的值；计算 y←ln x；输出 y 的值．
流程图如图：
练一练·当堂检测、目标达成落实处
① 1．下面的流程图是顺序结构的是_______.
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解析
由于表示的是依次执行的几个步骤，故①为顺序
结构．
练一练·当堂检测、目标达成落实处
研一研·问题探究、课堂更高效
问题 4 观察问题 2 中的流程图，你能知道这个流程图中包含算
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法的哪几种结构？
答包含了算法的顺序结构、选择结构和循环结构．
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探究点二例1
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流程图中的顺序结构
写出作△ABC 的外接圆的一个算法．
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你能根据这一具体的流程图给流程图下个怎样的定义？
答流程图的概念：流程图是由一些图框和流程线组成的，其中图框表示各种操作的类型，图框中的文字和符号表示操作的内容，流程线表示操作的先后次序．
研一研·问题探究、课堂更高效
问题 3 说出下列图形符号的名称和所表达的意义？(阅读教材 P7

2014届步步高大一轮复习讲义4.4

§4.4 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像及应用2014高考会这样考 1.考查函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像变换；2.结合三角恒等变换考查y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质和应用；3.考查给出图像的解析式．复习备考要这样做 1.掌握“五点法”作图，抓住函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像的特征；2.理解三种图像变换，从整体思想和数形结合思想确定函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质．1．用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点．如下表所示：3．图像的对称性函数y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0)的图像是轴对称也是中心对称图形，具体如下： (1)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像关于直线x ＝x k (其中ωx k ＋φ＝k π＋π2，k ∈Z )成轴对称图形．(2)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像关于点(x k,0)(其中ωx k ＋φ＝k π，k ∈Z )成中心对称图形． 4．三角函数模型的应用(1)根据图像建立解析式或根据解析式作出图像． (2)将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型．(3)利用收集到的数据作出散点图，并根据散点图进行函数拟合，从而得到函数模型． [难点正本疑点清源]1．作图时应注意的两点(1)作函数的图像时，首先要确定函数的定义域．(2)对于具有周期性的函数，应先求出周期，作图像时只要作出一个周期的图像，就可根据周期性作出整个函数的图像． 2．图像变换的两种方法的区别由y ＝sin x 的图像，利用图像变换作函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0) (x ∈R )的图像，要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图像沿x 轴的伸缩量的区别．先平移变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位，而先周期变换(伸缩变换)再平移变换，平移的量是|φ|ω个单位．1．已知简谐运动f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3x ＋φ (|φ|<π2)的图像经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T 和初相φ分别为__________．答案 6，π6解析由题意知1＝2sin φ，得sin φ＝12，又|φ|<π2，得φ＝π6；而此函数的最小正周期为T ＝2π÷⎝⎛⎭⎫π3＝6. 2． (2012·浙江)把函数y ＝cos 2x ＋1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图像是 ( )答案 A解析 y ＝cos 2x ＋1――→横坐标伸长2倍纵坐标不变y ＝cos x ＋1――→向左平移1个单位长度y ＝cos(x ＋1)＋1――→向下平移1个单位长度y ＝cos(x ＋1)．结合选项可知应选A.3． (2011·大纲全国)设函数f (x )＝cos ωx (ω>0)，将y ＝f (x )的图像向右平移π3个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于( )A.13B ．3C ．6D ．9答案 C解析由题意可知，nT ＝π3 (n ∈N *)，∴n ·2πω＝π3 (n ∈N *)，∴ω＝6n (n ∈N *)，∴当n ＝1时，ω取得最小值6.4．把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫5x －π2的图像向右平移π4个单位，再把所得函数图像上各点的横坐标缩短为原来的12，所得的函数解析式为( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫10x －3π4 B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫10x －7π2 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫10x －3π2D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫10x －7π4 答案 D解析将原函数的图像向右平移π4个单位，得到函数y ＝sin ⎣⎡⎦⎤5⎝⎛⎭⎫x －π4－π2＝sin ⎝⎛⎭⎫5x －7π4的图像；再把所得函数图像上各点的横坐标缩短为原来的12，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫10x －7π4的图像．5. 已知简谐运动f (x )＝A sin(ωx ＋φ) (|φ|<π2)的部分图像如图所示，则该简谐运动的最小正周期T 和初相φ分别为( )A ．T ＝6π，φ＝π6B ．T ＝6π，φ＝π3C ．T ＝6，φ＝π6D ．T ＝6，φ＝π3答案 C解析由图像易知A ＝2，T ＝6，∴ω＝π3，又图像过(1,2)点，∴sin ⎝⎛⎭⎫π3×1＋φ＝1， ∴φ＋π3＝2k π＋π2，k ∈Z ，又|φ|<π2，∴φ＝π6.题型一函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像及变换例1 已知函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， (1)求它的振幅、周期、初相；(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图像；(3)说明y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图像可由y ＝sin x 的图像经过怎样的变换而得到．思维启迪：(1)由振幅、周期、初相的定义即可解决． (2)五点法作图，关键是找出与x 相对应的五个点． (3)只要看清由谁变换得到谁即可．解 (1)y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的振幅A ＝2，周期T ＝2π2＝π，初相φ＝π3.(2)令X ＝2x ＋π3，则y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝2sin X . 列表，并描点画出图像：(3)方法一把y ＝sin x 的图像上所有的点向左平移π3个单位，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图像，再把y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图像上的点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图像，最后把y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，即可得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图像．方法二将y ＝sin x 的图像上每一点的横坐标x 缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到y＝sin 2x 的图像；再将y ＝sin 2x 的图像向左平移π6个单位，得到y ＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图像；再将y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图像上每一点的横坐标保持不变，纵坐标伸长为原来的2倍，得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图像．探究提高 (1)作三角函数图像的基本方法就是五点法，此法注意在作出一个周期上的简图后，应向两端伸展一下，以示整个定义域上的图像；(2)变换法作图像的关键是看x 轴上是先平移后伸缩还是先伸缩后平移，对于后者可利用ωx ＋φ＝ω⎝⎛⎭⎫x ＋φω来确定平移单位．已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫12x －π4，x ∈R .(1)画出函数f (x )在长度为一个周期的闭区间上的简图； (2)将函数y ＝sin x 的图像作怎样的变换可得到f (x )的图像？解 (1)列表取值：(2)先把y ＝sin x 的图像向右平移π4个单位，然后把所有的点的横坐标扩大为原来的2倍，再把所有点的纵坐标扩大为原来的3倍，得到f (x )的图像．题型二求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式例2 (1)(2011·江苏)已知f (x )＝A sin(ωx ＋φ) (A ，ω，φ为常数，A >0，ω>0)的部分图像如图所示，则f (0)的值是______．(2)(2011·辽宁)已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)，y ＝f (x )的部分图像如图所示，则 f (π24)等于( )A ．2＋ 3 B. 3 C.33D ．2－ 3思维启迪：(1)由最高点和相邻最低点间的相对位置，确定周期；根据待定系数法求φ. (2)将“ωx ＋φ”看作一个整体放在一个单调区间内求解．答案 (1)62(2)B 解析 (1)由题图知A ＝2，T 4＝7π12－π3＝π4，∴T ＝π，ω＝2ππ＝2.∴2×π3＋φ＝2k π＋π，k ∈Z ，∴φ＝2k π＋π3(k ∈Z )．令k ＝0，得φ＝π3.∴函数解析式为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， ∴f (0)＝2sin π3＝62.(2)由图形知，T ＝πω＝2(38π－π8)＝π2，∴ω＝2.由2×38π＋φ＝k π，k ∈Z ，得φ＝k π－34π，k ∈Z .又∵|φ|＜π2，∴φ＝π4.由A tan(2×0＋π4)＝1，知A ＝1，∴f (x )＝tan(2x ＋π4)，∴f (π24)＝tan(2×π24＋π4)＝tan π3＝ 3.探究提高根据y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的图像求其解析式的问题，主要从以下四个方面来考虑：①A 的确定：根据图像的最高点和最低点，即A ＝最高点－最低点2；②k 的确定：根据图像的最高点和最低点，即k ＝最高点＋最低点2；③ω的确定：结合图像，先求出周期T ，然后由T ＝2πω(ω>0)来确定ω；④φ的确定：由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 最开始与x 轴的交点(最靠近原点)的横坐标为－φω(即令ωx ＋φ＝0，x ＝－φω)确定φ.已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，|φ|<π2，ω>0)的图像的一部分如图所示，则该函数的解析式为____________．答案 f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6 解析观察图像可知：A ＝2且点(0,1)在图像上，∴1＝2sin(ω·0＋φ)，即sin φ＝12.∵|φ|<π2，∴φ＝π6.又∵1112π是函数的一个零点，且是图像递增穿过x 轴形成的零点，∴11π12ω＋π6＝2π，∴ω＝2.∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 题型三三角函数模型的应用例3 如图为一个缆车示意图，该缆车半径为4.8米，圆上最低点与地面的距离为0.8米，且每60秒转动一圈，图中OA 与地面垂直，以OA 为始边，逆时针转动θ角到OB ，设B 点与地面间的距离为h . (1)求h 与θ间的函数关系式；(2)设从OA 开始转动，经过t 秒到达OB ，求h 与t 之间的函数关系式，并求该缆车首次到达最高点时所用的时间．解 (1)过点O 作地面的平行线ON ，过点B 作ON 的垂线BM 交ON于点M (如图)，当θ>π2时，∠BOM ＝θ－π2，h ＝OA ＋BM ＋0.8 ＝5.6＋4.8sin ⎝⎛⎭⎫θ－π2. 当0≤θ≤π2时，上式也成立．∴h 与θ间的函数关系式为h ＝5.6＋4.8sin ⎝⎛⎭⎫θ－π2. (2)点A 在圆上转动的角速度是π30弧度/秒，∴t 秒转过的弧度数为π30t ，∴h ＝5.6＋4.8sin ⎝⎛⎭⎫π30t －π2，t ∈[0，＋∞)．首次到达最高点时，h ＝10.4米，即sin ⎝⎛⎭⎫π30t －π2＝1，π30t －π2＝π2，即t ＝30秒时，该缆车首次到达最高点．探究提高本题属三角函数模型的应用，通常的解决方法：转化为y ＝sin x ，y ＝cos x 等函数解决图像、最值、单调性等问题，体现了化归的思想方法；用三角函数模型解决实际问题主要有两种：一种是用已知的模型去分析解决实际问题，另一种是需要建立精确的或者数据拟合的模型去解决问题，尤其是利用数据建立拟合函数解决实际问题，充分体现了新课标中“数学建模”的本质．如图所示，某地夏天从8～14时用电量变化曲线近似满足函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b ，φ∈(0，π)． (1)求这一天的最大用电量及最小用电量； (2)写出这段曲线的函数解析式．解 (1)最大用电量为50万度，最小用电量为30万度．(2)观察图像，可知从8～14时的图像是y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的半个周期的图像． ∴A ＝12×(50－30)＝10，b ＝12×(50＋30)＝40.∴T 2＝14－8＝12·2πω，∴ω＝π6，∴y ＝10sin ⎝⎛⎭⎫π6x ＋φ＋40. 将x ＝8，y ＝30代入上式，解得φ＝π6，∴所求解析式为y ＝10sin ⎝⎛⎭⎫π6x ＋π6＋40，x ∈[8,14]．利用三角函数的性质求解析式典例：(12分)如图为y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像的一段．(1)求其解析式；(2)若将y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像向左平移π6个单位长度后得y ＝f (x )，求f (x )的对称轴方程．审题视角 (1)图像是y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像．(2)根据“五点法”作图的原则，M 可以看作第一个零点；⎝⎛⎭⎫5π6，0可以看作第二个零点．规范解答解 (1)由图像知A ＝3，以M ⎝⎛⎭⎫π3，0为第一个零点，N ⎝⎛⎭⎫5π6，0为第二个零点．[2分] 列方程组⎩⎨⎧ω·π3＋φ＝0，ω·5π6＋φ＝π，解之得⎩⎪⎨⎪⎧ω＝2，φ＝－2π3.[4分]∴所求解析式为y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －2π3.[6分] (2)f (x )＝3sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6－2π3＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，[8分] 令2x －π3＝π2＋k π(k ∈Z )，则x ＝512π＋k π2 (k ∈Z )，[10分]∴f (x )的对称轴方程为x ＝512π＋k π2(k ∈Z )．[12分]第一步：根据图像确定第一个平衡点、第二个平衡点或最高点、最低点．第二步：将“ωx ＋φ”作为一个整体，找到对应的值．第三步：列方程组求解．第四步：写出所求的函数解析式．第五步：反思回顾，查看关键点、易错点及答题规范．温馨提醒 (1)求函数解析式要找准图像中的“五点”，利用方程求解ω，φ；(2)讨论性质时将ωx ＋φ视为一个整体.方法与技巧1．五点法作函数图像及函数图像变换问题(1)当明确了函数图像基本特征后，“描点法”是作函数图像的快捷方式．运用“五点法”作正、余弦型函数图像时，应取好五个特殊点，并注意曲线的凹凸方向． (2)在进行三角函数图像变换时，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也经常出现在题目中，所以也必须熟练掌握，无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x 而言，即图像变换要看“变量”起多大变化，而不是“角”变化多少． 2．由图像确定函数解析式由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像确定A 、ω、φ的题型，常常以“五点法”中的第一零点⎝⎛⎭⎫－φω，0作为突破口，要从图像的升降情况找准第一零点的位置．要善于抓住特殊量和特殊点． 3．对称问题函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像与x 轴的每一个交点均为其对称中心，经过该图像上坐标为(x ，±A )的点与x 轴垂直的每一条直线均为其图像的对称轴，这样的最近两点间横坐标的差的绝对值是半个周期(或两个相邻平衡点间的距离)．失误与防范1．由函数y ＝sin x (x ∈R )的图像经过变换得到函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像，在具体问题中，可先平移变换后伸缩变换，也可以先伸缩变换后平移变换，但要注意：先伸缩，后平移时要把x 前面的系数提取出来．2．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像和性质是本节考查的重点，也是高考热点，复习时尽可能使用数形结合的思想方法，如求解对称轴、对称中心和单调区间等．3．注意复合形式的三角函数的单调区间的求法．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的单调区间的确定，基本思想是把ωx ＋φ看做一个整体．在单调性应用方面，比较大小是一类常见的题目，依据是同一区间内函数的单调性．A 组专项基础训练 (时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．将函数y ＝sin x 的图像向左平移φ (0≤φ<2π)个单位后，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π6的图像，则φ等于( )A.π6B.5π6 C.7π6 D.11π6答案 D解析将函数y ＝sin x 向左平移φ(0≤φ<2π)个单位得到函数y ＝sin(x ＋φ)．只有φ＝116π时有y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋116π＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π6. 2． (2012·课标全国)已知ω>0，函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π上是减少的，则ω的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤12，54B.⎣⎡⎦⎤12，34C.⎝⎛⎦⎤0，12 D ．(0,2]答案 A解析取ω＝54，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫54x ＋π4，其减区间为⎣⎡⎦⎤85k π＋π5，85k π＋π，k ∈Z ，显然⎝⎛⎭⎫π2，π⊆⎣⎡⎦⎤85k π＋π5，85k π＋π，k ∈Z ，排除B ，C.取ω＝2，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，其减区间为⎣⎡⎦⎤k π＋π8，k π＋58π，k ∈Z ，显然⎝⎛⎭⎫π2，π⎣⎡⎦⎤k π＋π8，k π＋58π，k ∈Z ，排除D.3．将函数y ＝sin(x ＋φ)的图像F 向左平移π6个单位长度后得到图像F ′，若F ′的一个对称中心为⎝⎛⎭⎫π4，0，则φ的一个可能取值是( )A.π12 B.π6C.5π6D.7π12答案 D解析图像F ′对应的函数y ′＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋φ，则π4＋π6＋φ＝k π，k ∈Z ，即φ＝k π－5π12，k ∈Z ，令k ＝1时，φ＝7π12，故选D.4．若函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R (其中ω>0，|φ|<π2)的最小正周期是π，且f (0)＝3，则( )A ．ω＝12，φ＝π6B ．ω＝12，φ＝π3C ．ω＝2，φ＝π6D ．ω＝2，φ＝π3答案 D解析 ∵T ＝π，∴ω＝2. 又2sin φ＝3，|φ|<π2，∴φ＝π3.二、填空题(每小题5分，共15分)5．函数y ＝A sin(ωx ＋φ) (A ，ω，φ为常数，A >0，ω>0)在闭区间[－π，0]上的图像如图所示，则ω＝________. 答案 3解析由图像可以看出32T ＝π，∴T ＝23π＝2πω，因此ω＝3.6．已知f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3 (ω>0)，f ⎝⎛⎭⎫π6＝f ⎝⎛⎭⎫π3，且f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π6，π3上有最小值，无最大值，则ω＝___________________________________. 答案143解析依题意，x ＝π6＋π32＝π4时，y 有最小值，∴sin ⎝⎛⎭⎫π4·ω＋π3＝－1，∴π4ω＋π3＝2k π＋3π2(k ∈Z )． ∴ω＝8k ＋143 (k ∈Z )，∵f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π6，π3上有最小值，无最大值，∴π3－π4<πω，即ω<12.∴令k ＝0，得ω＝143.7．设函数f (x )＝sin x －cos x ，若0≤x ≤2 011π，则函数f (x )的各极值之和为________．答案2解析 f ′(x )＝cos x ＋sin x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，令f ′(x )＝0，得x ＝－π4＋k π (k ∈Z )，∵f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4， ∴f ⎝⎛⎭⎫－π4＋k π＝2sin ⎝⎛⎭⎫－π4＋k π－π4 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫k π－π2＝－2·cos k π，当k 为奇数时，函数取得极大值2；当k 为偶数时，函数取得极小值－2， ∵0≤x ≤2 011π，∴14≤k ≤8 0454，∴此函数在此区间上各极值的和为 2. 三、解答题(共22分)8． (10分)(2012·陕西)函数f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6＋1(A >0，ω>0)的最大值为3，其图像相邻两条对称轴之间的距离为π2.(1)求函数f (x )的解析式；(2)设α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，f ⎝⎛⎭⎫α2＝2，求α的值．解 (1)∵函数f (x )的最大值为3， ∴A ＋1＝3，即A ＝2.∵函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为π2，∴最小正周期T ＝π，∴ω＝2，∴函数f (x )的解析式为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋1. (2)∵f ⎝⎛⎭⎫α2＝2sin ⎝⎛⎭⎫α－π6＋1＝2， ∴sin ⎝⎛⎭⎫α－π6＝12. ∵0<α<π2，∴－π6<α－π6<π3，∴α－π6＝π6，∴α＝π3.9． (12分)已知函数f (x )＝23sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π4cos ⎝⎛⎭⎫x 2＋π4－sin(x ＋π)．(1)求f (x )的最小正周期；(2)若将f (x )的图像向右平移π6个单位，得到函数g (x )的图像，求函数g (x )在区间[0，π]上的最大值和最小值．解 (1)因为f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＋sin x ＝3cos x ＋sin x ＝2⎝⎛⎭⎫32cos x ＋12sin x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，所以f (x )的最小正周期为2π.(2)∵将f (x )的图像向右平移π6个单位，得到函数g (x )的图像，∴g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x －π6＝2sin[⎝⎛⎭⎫x －π6＋π3] ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6.∵x ∈[0，π]，∴x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6， ∴当x ＋π6＝π2，即x ＝π3时，sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝1，g (x )取得最大值2. 当x ＋π6＝7π6，即x ＝π时，sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝－12，g (x )取得最小值－1.B 组专项能力提升 (时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共15分)1．函数y ＝sin 2x 的图像向右平移φ (φ>0)个单位，得到的图像恰好关于x ＝π6对称，则φ的最小值为( )A.512π B.116π C.1112π D ．以上都不对答案 A解析 y ＝sin 2x 的图像向右平移φ个单位得到y ＝sin 2(x －φ)的图像，又关于x ＝π6对称，则2⎝⎛⎭⎫π6－φ＝k π＋π2 (k ∈Z )，2φ＝－k π－π6 (k ∈Z )，取k ＝－1，得φ＝512π. 2．设ω>0，函数y ＝sin(ωx ＋π3)＋2的图像向右平移4π3个单位后与原图像重合，则ω的最小值是( )A.23B.43C.32D ．3答案 C解析由函数向右平移4π3个单位后与原图像重合，得4π3是此函数周期的整数倍．又ω>0， ∴2πω·k ＝4π3 (k ∈Z )，∴ω＝32k (k ∈Z )，∴ωmin ＝32. 3. 电流强度I (安)随时间t (秒)变化的函数I ＝A sin(ωt ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π2)的图像如右图所示，则当t ＝1100秒时，电流强度是( )A ．－5安B ．5安C ．53安D ．10安答案 A解析由图像知A ＝10，T 2＝4300－1300＝1100，∴ω＝2πT＝100π.∴I ＝10sin(100πt ＋φ)．⎝⎛⎭⎫1300，10为五点中的第二个点，∴100π×1300＋φ＝π2. ∴φ＝π6.∴I ＝10sin ⎝⎛⎭⎫100πt ＋π6，当t ＝1100秒时，I ＝－5安．二、填空题(每小题5分，共15分)4．若f (x )＝2sin(ωx ＋φ)＋m 对任意实数t 都有f ⎝⎛⎭⎫π8＋t ＝f ⎝⎛⎭⎫π8－t ，且f ⎝⎛⎭⎫π8＝－3，则实数m 的值等于________．答案－1或－5解析依题意得，函数f (x )的图像关于直线x ＝π8对称，于是当x ＝π8时，函数f (x )取得最值，因此有±2＋m ＝－3，解得m ＝－5或m ＝－1.5．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ) (ω>0，－π2≤φ≤π2)的图像上的两个相邻的最高点和最低点的距离为22，且过点⎝⎛⎭⎫2，－12，则函数解析式f (x )＝____________. 答案 sin ⎝⎛⎭⎫πx 2＋π6解析据已知两个相邻最高及最低点距离为22，可得⎝⎛⎭⎫T 22＋(1＋1)2＝22，解得T＝4，故ω＝2πT ＝π2，即f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫πx 2＋φ，又函数图像过点⎝⎛⎭⎫2，－12，故f (2)＝sin(π＋φ)＝－sin φ＝－12，又－π2≤φ≤π2，解得φ＝π6，故f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫πx 2＋π6. 6．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y ＝a ＋A cos ⎣⎡⎦⎤π6(x －6)(x ＝1,2,3，…，12，A >0)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28℃，12月份的月平均气温最低，为18℃，则10月份的平均气温值为________℃. 答案 20.5解析由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋A ＝28，a －A ＝18， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23，A ＝5，∴y ＝23＋5cos ⎣⎡⎦⎤π6(x －6)， x ＝10时，y ＝23＋5×⎝⎛⎭⎫－12＝20.5. 三、解答题7．(13分)(2012·湖南)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R ，ω>0,0<φ<π2)的部分图像如图所示． (1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x －π12－f ⎝⎛⎭⎫x ＋π12的单调递增区间．解 (1)由题设图像知，周期T ＝2⎝⎛⎭⎫11π12－5π12＝π，所以ω＝2πT ＝2.因为点⎝⎛⎭⎫5π12，0在函数图像上，所以A sin ⎝⎛⎭⎫2×5π12＋φ＝0，即sin ⎝⎛⎭⎫5π6＋φ＝0. 又因为0<φ<π2，所以5π6<5π6＋φ<4π3.从而5π6＋φ＝π，即φ＝π6.又点(0,1)在函数图像上，所以A sin π6＝1，解得A ＝2.故函数f (x )的解析式为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. (2)g (x )＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π12＋π6－2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π12＋π6 ＝2sin 2x －2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 ＝2sin 2x －2⎝⎛⎭⎫12sin 2x ＋32cos 2x＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. 由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z .所以函数g (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z .。