空间直线与平面

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第11章空间直线与平面

第十一章空间直线与平面第43讲平面的基本性质一、填空题1.空间中有四个点，如果其中任意三个点都不共线，那么经过其中三个点的平面个数是________.2.空间中有7个点，其中有3个点在同一直线上，此外再无任何三点共线.由这7个点可以确定________条直线，最多可确定________个平面.3.边长为2的正方形的斜二测直观图的面积为________.4.下列命题正确的有________（填序号）.①若直线与平面有两个公共点，则直线在平面内；②若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α；③若直线l与平面α相交，则l与平面α内的任意直线都是异面直线；④如果两条异面直线中的一条与一个平面平行，则另一条直线一定与该平面相交；⑤若直线l与平面α平行，则l与平面α内的直线平行或异面.5.如图所示的正方体中，点P，Q，M，N分别是所在棱的中点，则这四个点共面的图形是________（把正确图形的序号都填上）.6.正方体各面所在平面将空间分成________部分.二、选择题7.如果空间的三个平面两两相交，那么（）A.不可能只有两条交线B.必相交于一点C.必相交于一条直线D.必相交于三条平行线8.有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，如图，∠ABC=45°，AB=2，AD=1，DC⊥BC，则这块菜地的面积为（）A.2+B.4+C.2D .1三、解答题9.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点M ，N ，E ，F 分别是棱CD ，AB ，DD 1，AA 1上的点.若MN 与EF 交于点Q ，求证：D ，A ，Q 三点共线.10.如图，四边形ABEF 和ABCD 都是直角梯形，∠BAD =∠FAB =90°，12BC AD ‖，12BE FA ‖，G ，H 分别为FA ，FD 的中点.（1）求证：四边形BCHG 是平行四边形. （2）C ，D ，F ，E 四点是否共面？为什么？11.在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是D 1C 1，B 1C 1的中点，AC BD P =，11AC EF Q =.（1）求证：D ，B ，F ，E 四点共面；（2）若A 1C 交平面DBFE 于点R ，则P ，Q ，R 三点共线吗？走近高考已知A ，B 是两个不同的点，m ，n 是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则 ①m α⊂，A m A α∈⇒∈；②m n A =，A α∈，B m B α∈⇒∈； ③m α⊂，n β⊂，m n αβ⇒‖‖； ④m α⊂，m βαβ⊥⇒⊥. 其中真命题为（）A.①③B.②③C.①④D.②④第44讲空间两条直线的位置关系一、填空题1.到两条互相垂直的异面直线的距离相等的点的个数是________个.2.[改编题]如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，直线B 1C 与直线AD 1所成的角为________.3.已知空间中有三条线段AB ，BC 和CD ，且∠ABC =∠BCD ，下列说法正确的是________. ①AB ∥CD ；②AB 与CD 异面；③AB 与CD 相交；④以上都有可能.4.若Rt △ABC 的斜边AB =5，BC =3，BC 在平面α内，A 在平面α内的射影为O ，AO =2，则异面直线AO 与BC 之间的距离为________.5.如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中： ①BM 与DE 平行；②CN 与BE 是异面直线；③CN 与BM 成60°角；④CN 与AF 垂直.以上四个命题中，正确的是________.6.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，∠BCA =90°，点D 1，F 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，若BC =CA =CC 1=1，则BD 1与AF 所成角的余弦值为________.7.已知空间四边形ABCD ，AB =CD =2，且AB 与CD 所成的角为3π，设E ，F 分别是BC ，AD 的中点，则EF 的长度为________. 二、选择题8.“两条直线没有公共点”是“两条异面直线”的（） A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件9.异面直线a ，b 成80°角，点P 是a ，b 外的一个定点，若过P 点有且仅有2条直线与a ，b 所成的角相等且等于θ，则θ的范围为（）A.0°<θ<90°B.40°<θ<90°C.40°<θ<50°D.80°<θ<90° 三、解答题10.如图，已知两个正方形ABCD 和DCEF 不在同一平面内，M ，N 分别为AB ，DF 的中点.用反证法证明：直线ME 与BN 是两条异面直线.11.[改编题]如图，S 是圆锥的顶点，O 是底面圆的圆心，AB ，CD 是底面圆的两条直径，且AB ⊥CD ，SO =4，OB =2，P 为SB 的中点，求异面直线SA 与PD 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）.12.如图，在直三棱柱111ABC A B C 中，∠BAC =90°，AB =AC =AA 1.若D 为B 1C 1的中点，求异面直线AD 与A 1B 所成角的大小.走近高考如图，在三棱锥A -BCD 中，AB =AC =BD =CD =3，AD =BC =2，点M ，N 分别为AD ，BC 的中点，则异面直线AN ，CM 所成角的余弦值是________.第45讲直线与平面的位置关系一、填空题1.如果直线a与平面α不垂直，那么平面α内与直线a垂直的直线有________条.2.如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD上的点，且::1:4==，又AE EB AF FDH，G分别为BC，CD的中点，则下列说法中错误的是________.①BD∥平面EFG，且四边形EFGH是平行四边形；②EF∥平面BCD，且四边形EFGH是梯形；③HG∥平面ABD，且四边形EFGH是平行四边形；④EH∥平面ADC，且四边形EFGH是梯形.3.在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，PA⊥平面ABCD，且PA=1，则点P到对角线BD的离是________.4.在△ABC中，∠ACB=90°，AB=8，∠ABC=60°，PC⊥平面ABC，PC=4，M是AB上一个动点，则PM的最小值为________.5.《九章算术》中的“邪田”意为直角梯形，上、下底称为畔，高称为正广，非高腰边称为邪.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为邪田，两畔CD，AB分别为1，3，正广AD为，PD ⊥平面ABCD，则邪田ABCD的邪长为________；邪所在直线与平面PAD所成角的大小为________.6.在△ABC中，已知AB=6，BC=8，AC=10，SB=5且SB⊥平面ABC，则S到AC距离为________.7.若长为26的线段AB的端点到平面α的距离分别为7和17，则AB在平面α上的射影长为________.二、选择题8.已知直线a ，b 和平面M ，N ，且a ⊥M ，则下列说法正确的是（） A.b M b a ⇒⊥‖ B.b a b M ⊥⇒‖ C.N M a N ⊥⇒‖D.a 不在平面N 上MN ⇒≠∅9.设α，β，γ为两两不重合的平面，l ，m ，n 为两两不重合的直线，给出下列四个命题： ①若αγ⊥，βγ⊥，则αβ‖；②若m α⊂，n α⊂，m β‖，n β‖，则αβ‖； ③若αβ‖，l α⊂，则l β‖； ④若l αβ=，m βγ=，n γα=，l γ‖，则m n ‖.其中真命题的个数是（） A.1 B.2 C.3 D.4 三、解答题10.如图，已知直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥BC ，AB =1，BC =2，1CD =A 作AE ⊥CD ，垂足为E ，现将△ADE 沿AE 折叠，使得DE ⊥E C.求证：BC ⊥平面CDE .11.如图，在三棱锥P -ABC 中，∠PAC =∠BAC =90°，PA =PB ，点D ，F 分别为BC ，AB 的中点.求证：（1）直线DF ∥平面PAC ；（2）PF ⊥A D.12.如图，在圆锥SO 中，AB 为底面圆O 的直径，点C 为弧AB 的中点，SO =AB . （1）证明：AB ⊥平面SOC ；（2）若点D 为母线SC 的中点，求AD 与平面SOC 所成角的正切值.走近高考如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，已知AC ⊥BC ，BC =CC 1，设AB 1的中点为D ，11B C BC E =.求证：（1）DE ∥平面AA 1C 1C ；（2）BC 1⊥AB 1.第46讲两平面的位置关系一、填空题1.如图，已知AB ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，则图中互相垂直的平面有________对.2.设两个不同的平面α，β，两条不同的直线a ，b ，且a α⊂，b α⊂，则“a β‖，b β‖”是“αβ‖”的________条件.3.过两平行平面α，β外且不位于α，β之间的一点P 作两条直线，分别交α于A ，C 两点，交β于B ，D 两点，若PA =6，AC =4，PB =15，则BD 的长为________.4.已知m ，n 为直线，α，β为平面，给出下列命题：①m n m n αα⊥⎫⇒⎬⊥⎭‖；②m m n n ββ⊥⎫⇒⎬⊥⎭‖；③m m ααββ⊥⎫⇒⎬⊥⎭‖；④m n m n αβαβ⎫⎪⇒⎬⎪⎭‖‖‖‖. 其中正确命题的序号是________.5.如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD =AB ，∠BCD =45°，∠BAD =90°.将△ADB 沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，构成三棱锥A -BCD ，则在三棱锥A -BCD 中，下列命题正确的是________.①AD ⊥平面BCD ；②AB ⊥平面BCD ；③平面BCD ⊥平面ABC ；④平面ADC ⊥平面ABC .6.如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，l 是平面AB 1D 1与平面ABCD 的交线，则点D 1到l 的距离是________.7.正三棱锥的一个侧面与底面的面积之比为2:3，则这个三棱锥的侧面和底面所成二面角的平面角的大小为________. 二、选择题8.如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在线段AD 1上运动，给出以下命题：①异面直线C 1P 与B 1C 所成的角为定值； ②二面角P -BC 1-D 的大小为定值； ③三棱锥D -BPC 1的体积为定值； ④异面直线A 1P 与BC 1间的距离为定值.. 其中真命题的个数为（） A.1 B.2 C.3 D.49.已知直二面角l αβ--，点A α∈，AC ⊥l ，C 为垂足，B β∈，BD ⊥l ，D 为垂足.若AB =2，AC =BD =1，则点D 到平面ABC 的距离等于（）D.1三、解答题10.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，S 是B 1D 1的中点，E ，F ，G 分别是BC ，DC ，SC 的中点，求证：（1）直线EG ∥平面BDD 1B 1；（2）平面EFG ∥平面BDD 1B 1.11.如图，在三棱锥S-ABC中，SC⊥平面ABC，点P，M分别是SC和SB的中点，设PM=AC=1，∠ACB=90°，直线AM与直线SC所成的角为60°.（1）求证：平面MAP⊥平面SAC；（2）求二面角M-AC-B的平面角的正切值.12.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，O为AC的中点，PO⊥平面ABCD，M为PD的中点，∠ADC=45°，AD=AC=1，PO=a.（1）求证：DA⊥平面PAC；（2）如果二面角M-AC-D的正切值为2，求a的值.走近高考如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC=120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE=2DF，AE⊥E C.求证：平面AEC⊥平面AF C.。

高三第一轮复习空间直线与平面的平行关系

空间直线与平面的平行关系【提纲挈领】主干知识归纳1．直线与平面平行的判定定理和性质定理2．平面与平面平行的判定定理和性质定理规律方法总结：1．平行问题中的转化关系2．判断线面平行的两种常用方法面面平行判定的落脚点是线面平行，因此掌握线面平行的判定方法是必要的，判定线面平行的两种方法：(1)利用线面平行的判定定理；(2)利用面面平行的性质，即当两平面平行时，其中一平面内的任一直线平行于另一平面．【指点迷津】【类型一】线面平行、面面平行的基本问题【例1】有互不相同的直线m ，n ，l 和平面α，β，给出下列四个命题： ①若m ⊂α，l ∩α＝A ，A ∉m ，则l 与m 不共面；②若m ，l 是异面直线，l ∥α，m ∥α，且n ⊥l ，n ⊥m ，则n ⊥α； ③若m ，n 是相交直线，m ⊂α，m ∥β，n ⊂α，n ∥β，则α∥β； ④若l ∥α，m ∥β，α∥β，则l ∥m. 其中真命题有( )A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个解析：选B 由异面直线的判定定理，易知①是真命题；由线面平行的性质知，存在直线l ′⊂α，m ′⊂α，使得l ∥l ′，m ∥m ′，∵m ，l 是异面直线，∴l ′与m ′是相交直线，又n ⊥l ，n ⊥m ，∴n ⊥l ′，n ⊥m ′，故n ⊥α，②是真命题；由线面平行的性质和判定知③是真命题；满足条件l ∥α，m ∥β，α∥β的直线m ，l 或相交或平行或异面，故④是假命题，于是选B.【例2】过三棱柱ABC -A 1B 1C 1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB 1A 1 平行的直线共有________条．解析：过三棱柱ABC -A 1B 1C 1的任意两条棱的中点作直线，记AC ，BC ，A 1C 1，B 1C 1的中点分别为E ，F ，E 1，F 1，则直线EF ，E 1F 1，EE 1，FF 1，E 1F ，EF 1均与平面ABB 1A 1平行，故符合题意的直线共6条．答案：6【类型二】直线与平面平行的判定与性质【例2】如图，直三棱柱ABC -A1B 1C 1中，D ，E 分别是AB ，BB 1的中点．(1)证明：BC 1∥平面A 1CD ；(2)设AA 1＝AC ＝CB ＝2，AB ＝22，求三棱锥C -A 1DE 的体积． [解] (1)证明：连接AC 1交A 1C 于点F ，则F 为AC 1中点．又D 是AB 中点，连接DF ，则BC 1∥DF.因为DF ⊂平面A 1CD ，BC 1⊄平面A 1CD ，所以BC 1∥平面A 1CD.(2)因为ABC -A 1B 1C 1是直三棱柱，所以AA 1⊥CD.由已知AC ＝CB ，D 为AB 的中点，所以CD ⊥AB.又AA 1∩AB ＝A ，于是CD ⊥平面ABB 1A 1.由AA 1＝AC ＝CB ＝2，AB ＝22得∠ACB ＝90°，CD ＝2，A 1D ＝6，DE ＝3，A 1E ＝3，故A 1D 2＋DE 2＝A 1E 2，即DE ⊥A 1D. 所以VC -A 1DE ＝13×12×6×3×2＝1.思考：在本例条件下，线段BC 1上是否存在一点M 使得DM ∥平面A 1ACC 1？解：存在．当M 为BC 1的中点时成立．证明如下：连接DM ，在△ABC 1中， D ，M 分别为AB ，BC 1的中点 ∵DM 綊12AC 1，又DM ⊄平面A 1ACC 1AC1⊂平面A1ACC1，∴DM∥平面A1ACC1.【类型三】平面与平面平行的判定与性质【例1】如图，四棱柱ABCD -A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O是底面中心，A1O⊥底面ABCD，AB＝AA1＝ 2.(1)证明：平面A1BD∥平面CD1B1；(2)求三棱柱ABD -A1B1D1的体积．[解](1)证明：由题设知，BB1∥DD1且BB1=DD1，∴四边形BB1D1D是平行四边形，∴BD∥B1D1.又BD⊆平面CD1B1，∴BD∥平面CD1B1.∵A1D1∥B1C1∥BC且A1D1=B1C1=BC，∴四边形A1BCD1是平行四边形，∴A1B∥D1C.又A1B⊆平面CD1B1，∴A1B∥平面CD1B1.又∵BD∩A1B＝B，∴平面A1BD∥平面CD1B1.(2)∵A1O⊥平面ABCD，∴A1O是三棱柱ABD -A1B1D1的高．又∵AO＝12AC＝1，AA1＝2，∴A1O＝AA21－OA2＝1.又∵S△ABD＝12×2×2＝1，∴V ABD -A1B1D1＝S△ABD×A1O＝1.【例2】如图，在直四棱柱ABCD -A1B1C1D1中，底面是正方形，E，F，G分别是棱B1B，D1D，DA的中点．求证：平面AD1E∥平面BGF证明：∵E，F分别是B1B和D1D的中点，∴D1F綊BE.∴四边形BED1F是平行四边形，∴D1E∥BF；又∵D1E⊄平面BGF，BF⊂平面BGF，∴D1E∥平面BGF.∵FG是△DAD1的中位线，∴FG∥AD1；又AD1⊄平面BGF，FG⊂平面BGF，∴AD1∥平面BGF.又∵AD1∩D1E＝D1，∴平面AD1E∥平面BGF.【例3】如图1,AB 是圆O 的直径，PA 垂直圆O 所在的平面，C 是圆O 上一点，设Q 为PA 的中点，G 为ΔAOC 的重心，求证：QG//平面PBC解：如图2连接OG 交AC 于点E ，连接QE ∵点G 为ΔAOC 的重心 ∴点E 为AC 的中点又点Q 为PA 的中点 ∴QE 为ΔPAC 的中位线 ∴QE ∥PCPBC PC PBC QE 平面，平面⊆⊄∴QE ∥平面PBC 同理OE ∥平面PBC 由E OEQE =⋂得平面QEO//平面PBCQEO QG 平面⊂∴QG//平面PBC【同步训练】【一级目标】基础巩固组1．已知直线a ，b ，平面α，则以下三个命题：①若a ∥b ，b ⊂α，则a ∥α； ②若a ∥b ，a ∥α，则b ∥α； ③若a ∥α，b ∥α，则a ∥b. 其中真命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选A 对于①，若a ∥b ，b ⊂α，则应有a ∥α或a ⊂α，所以①不正确；对于②，若a ∥b ，a ∥α，则应有b ∥α或b ⊂α，因此②不正确；对于③，若a ∥α，b ∥α，则应有a ∥b 或a 与b 相交或a 与b 异面，因此③是假命题．综上，在空间中，以上三个命题都是假命题．2．下列四个正方体图形中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，P 分别为其所在棱的中点，能得出AB ∥平面MNP 的图形的序号是( )E图2图1A ．①③B ．②③C ．①④D ．②④解析：选C 对于图形①，平面MNP 与AB 所在的对角面平行，即可得到AB ∥平面MNP ；对于图形④，AB ∥PN ，即可得到AB ∥平面MNP ；图形②③无论用定义还是判定定理都无法证明线面平行，故选C.3．(2014·济南模拟)平面α∥平面β的一个充分条件是( ) A ．存在一条直线a ，a ∥α，a ∥β B ．存在一条直线a ，a ⊂α，a ∥βC ．存在两条平行直线a ，b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥αD ．存在两条异面直线a ，b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥α解析：选D 若α∩β＝l ，a ∥l ，a ⊄α，a ⊄β，则a ∥α，a ∥β，故排除A.若α∩β＝l ，a ⊂α，a ∥l ，则a ∥β，故排除B.若α∩β＝l ，a ⊂α，a ∥l ，b ⊂β，b ∥l ，则a ∥β，b ∥α，故排除C.故选D.4．a 、b 、c 为三条不重合的直线，α、β、γ为三个不重合的平面，现给出四个命题 ①⎭⎬⎫α∥c β∥c ⇒α∥β ②⎭⎬⎫α∥γβ∥γ⇒α∥β ③⎭⎬⎫α∥c a ∥c ⇒a ∥α ④⎭⎬⎫a ∥γα∥γ⇒α∥a 其中正确的命题是( )A ．①②③B ．①④C ．②D ．①③④解析：选C ②正确．①错在α与β可能相交．③④错在a 可能在α内．5．如图所示，在正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H 分别是棱CC 1、C 1D 1、D 1D 、DC 的中点，N 是BC 的中点，点M 在四边形EFGH 及其内部运动，则M 满足条件______时，有MN ∥平面B 1BDD 1.解析：由平面HNF ∥平面B 1BDD 1知，当M 点满足在线段FH 上有MN ∥平面B 1BDD 1.答案：M ∈线段FH6.如图所示，在四面体ABCD 中，M ，N 分别是△ACD ，△BCD 的重心，则四面体的四个面中与MN 平行的是________．解析：连接AM 并延长，交CD 于E ，连接BN ，并延长交CD 于F ，由重心性质可知，E ，F 重合为一点，且该点为CD 的中点E ，由EM MA ＝EN NB ＝12，得MN ∥AB.因此，MN ∥平面ABC 且MN ∥平面ABD.答案：平面ABC 、平面ABD7.（2016江苏．16，节选（1））如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，,D E 分别为,AB BC 的中点，点F 在侧棱1B B 上，且11B D A F ⊥，1111AC A B ⊥．求证：⑴ 直线//DE 平面11A C F ；⑵ 平面1B DE ⊥平面11A C F ．解：,D E 为中点，DE ∴为ABC ∆的中位线 //DE AC ∴又111ABC A B C -为棱柱，11//AC AC ∴ 11//DE AC ∴又11AC ⊂平面11A C F ，且11DE AC F ⊄//DE ∴平面11A C F ；8. 如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，AC ，A 1B 1，A 1C 1的中点，求证： (1)B ，C ，H ，G 四点共面；(2)平面EFA 1∥平面BCHG . 证明：(1)∵GH 是△A 1B 1C 1的中位线， ∴GH ∥B 1C 1.又∵B 1C 1∥BC ，∴GH ∥BC. ∴B ，C ，H ，G 四点共面． (2)∵E ，F 分别为AB ，AC 的中点，∴EF ∥BC.∵EF ⊄平面BCHG ，BC ⊂平面BCHG ， ∴EF ∥平面BCHG . ∵A 1G ∥EB 且A 1G ∥EB ∴四边形A 1EBG 是平行四边形． ∴A 1E ∥GB.∵A 1E ⊄平面BCHG ，GB ⊂平面BCHG . ∴A 1E ∥平面BCHG . ∵A 1E ∩EF ＝E∴平面EFA 1∥平面BCHG .【二级目标】能力提升题组1．若平面α∥平面β，直线a ∥平面α，点B ∈β，则在平面β内且过B 点的所有直线中( )A ．不一定存在与a 平行的直线FEC BAC 1B 1A 1B．只有两条与a平行的直线C．存在无数条与a平行的直线D．存在唯一与a平行的直线解析：选A当直线a在平面β内且过B点时，不存在与a平行的直线，故选A.2．已知α，β是两个不同的平面，给出下列四个条件：①存在一条直线a，a⊥α，a⊥β；②存在一个平面γ，γ⊥α，γ⊥β；③存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α；④存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α.可以推出α∥β的是()A．①③B．②④C．①④D．②③解析：选C对于②，平面α与β还可以相交；对于③，当a∥b时，不一定能推出α∥β，所以②③是错误的，易知①④正确，故选C.3．已知直线l∥平面α，P∈α，那么过点P且平行于直线l的直线()A．只有一条，不在平面α内B．只有一条，且在平面α内C．有无数条，不一定在平面α内D．有无数条，一定在平面α内解析：选B由直线l与点P可确定一个平面β，则平面α，β有公共点，因此它们有一条公共直线，设该公共直线为m，因为l∥α，所以l∥m，故过点P且平行于直线l的直线只有一条，且在平面α内，选B.4．如图，在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，且PQ∥AC，则下列命题中，错误的是()A．AC⊥BDB．AC∥截面PQMNC．AC＝BDD．异面直线PM与BD所成的角为45°解析：选C由题意可知PQ∥AC，QM∥BD，PQ⊥QM，所以AC⊥BD，故A正确；由PQ∥AC可得AC∥截面PQMN，故B正确；由PN∥BD可知，异面直线PM与BD所成的角等于PM与PN所成的角，又四边形PQMN为正方形，所以∠MPN＝45°，故D正确；而AC＝BD不确定，故选C．5.如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD＝NB＝1，G为MC的中点．则下列结论中不正确的是()A．MC⊥ANB．GB∥平面AMNC．平面CMN⊥平面AMND．平面DCM∥平面ABN解析：选C显然该几何图形为正方体截去两个三棱锥所剩的几何体，把该几何体放置到正方体中(如图)，作AN的中点H，连接HB，MH，GB，则MC∥HB，又HB⊥AN，所以MC⊥AN，所以A正确；由题意易得GB∥MH，又GB⊂平面AMN ，MH ⊂平面AMN ，所以GB ∥平面AMN ，所以B 正确；因为AB ∥CD ，DM ∥BN ，且AB∩BN ＝B ，CD∩DM ＝D ，所以平面DCM ∥平面ABN ，所以D 正确．6．已知m ，n 是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的有________． ①若m ∥α，n ∥α，则m ∥n ；②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β； ③若m ∥α，m ∥β，则α∥β；④若m ⊥α，n ⊥α，则m ∥n.解析：若m ∥α，n ∥α，m ，n 可以平行，可以相交，也可以异面，故①不正确；若α⊥γ，β⊥γ，α，β可以相交，故②不正确；若m ∥α，m ∥β，α，β可以相交，故③不正确；若m ⊥α，n ⊥α，则m ∥n ，④正确．答案：④7．在正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，O 为底面ABCD 的中心，P 是DD 1的中点，设Q 是CC 1上的点，则点Q 满足条件________时，有平面D 1BQ ∥平面PAO.解析：假设Q 为CC 1的中点，因为P 为DD 1的中点，所以QB ∥PA.连接DB ，因为P ，O 分别是DD 1，DB 的中点，所以D 1B ∥PO ，又D 1B ⊄平面PAO ，QB ⊄平面PAO ，所以D 1B ∥平面PAO ，QB ∥平面PAO ，又D 1B ∩QB ＝B ，所以平面D 1BQ ∥平面PAO.故Q 满足条件Q 为CC 1的中点时，有平面D 1BQ ∥平面PAO.答案：Q 为CC 1的中点8．设α，β，γ为三个不同的平面，m ，n 是两条不同的直线，在命题“α∩β＝m ，n ⊂γ，且________，则m ∥n ”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题．①α∥γ，n ⊂β；②m ∥γ，n ∥β；③n ∥β，m ⊂γ. 可以填入的条件有________．解析：由面面平行的性质定理可知，①正确；当n ∥β，m ⊂γ时，n 和m 在同一平面内，且没有公共点，所以平行，③正确．答案：①或③9．已知直三棱柱ABC -A ′B ′C ′满足∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝12AA ′＝2，点M ，N 分别为A ′B ，B ′C ′的中点．(1)求证：MN ∥平面A ′ACC ′； (2)求三棱锥C -MNB 的体积．解：(1)证明：如图，连接AB ′，AC ′， ∵四边形ABB ′A ′为矩形，M 为A ′B 的中点，∴AB ′与A ′B 交于点M ，且M 为AB ′的中点，又点N 为B ′C ′的中点， ∴MN ∥AC ′，又MN ⊄平面A ′ACC ′，且AC ′⊂平面A ′ACC ′， ∴MN ∥平面A ′ACC ′. (2)由图可知V C -MNB ＝V M -BCN ，∵∠BAC ＝90°，∴BC ＝AB 2＋AC 2＝22，又三棱柱ABC -A ′B ′C ′为直三棱柱，且AA ′＝4， ∴S △BCN ＝12×22×4＝4 2.∵A ′B ′＝A ′C ′＝2，∠B ′A ′C ′＝90°，点N 为B ′C ′的中点，∴A ′N ⊥B ′C ′，A ′N ＝ 2.又BB ′⊥平面A ′B ′C ′， ∴A ′N ⊥BB ′， ∴A ′N ⊥平面BCN. 又M 为A ′B 的中点， ∴M 到平面BCN 的距离为22， ∴V C -MNB ＝V M -BCN ＝13×42×22＝43.10．如图，在三棱锥S -ABC 中，平面SAB ⊥平面SBC ，AB ⊥BC ，AS ＝AB.过A作AF ⊥SB ，垂足为F ，点E ，G 分别是棱SA ，SC 的中点．求证：(1)平面EFG ∥平面ABC ； (2)BC ⊥SA.证明：(1)因为AS ＝AB ，AF ⊥SB ，垂足为F ，所以F 是SB 的中点．又因为E 是SA 的中点，所以EF ∥AB.因为EF ⊄平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，所以EF ∥平面ABC.同理EG ∥平面ABC.又EF ∩EG ＝E ，所以平面EFG ∥平面ABC.(2)因为平面SAB ⊥平面SBC ，且交线为SB ，又AF ⊂平面SAB ，AF ⊥SB ，所以AF ⊥平面SBC.因为BC ⊂平面SBC ，所以AF ⊥BC.又因为AB ⊥BC ，AF ∩AB ＝A ，AF ⊂平面SAB ，AB ⊂平面SAB ，所以BC ⊥平面SAB. 因为SA ⊂平面SAB ，所以BC ⊥SA.【高考链接】1．（2016北京理．17），14分，节选（3））如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD ⊥，PA PD =，AB AD ⊥，1AB =，2AD =，AC CD ==（1）求证：PD ⊥平面PAB ；（2）求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值；（3）在棱PA 上是否存在点M ，使得//BM 平面PCD ？若存在，求AMAP的值；若不存在，说明理由.解：设M 是棱PA 上一点，则存在]1,0[∈λ使得λ=.因此点),,1(),,1,0(λλλλ--=-M .因为⊄BM平面PCD ，所以∥BM 平面PCD 当且仅当0=⋅BM ，∵平面PCD 的一个法向量)2,2,1(-=n即0)2,2,1(),,1(=-⋅--λλ，解得41=λ. 所以在棱PA 上存在点M 使得BM ∥平面PCD ，此时41=AP AM .2．（2016新课标Ⅲ．文19，12分）如图，四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥地面ABCD ，AD ∥BC ，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M 为线段AD 上一点，AM=2MD ，N 为PC 的中点.（I ）证明MN ∥平面PAB; （II ）求四面体N-BCM 的体积.【解析】 (1)取PB 中点Q ，连接AQ 、NQ ， ∵N 是PC 中点，NQ//BC ，且NQ=12BC ，又22313342AM AD BC BC ==⨯=，且//AM BC ， ∴//QN AM ，且QNAM=．∴AQNM是平行四边形．∴//MN AQ ．又MN ⊄平面PAB ，AQ ⊂平面PAB ，∴//MN平面PAB ．(2)由(1)//QN平面ABCD．∴1122N BCM Q BCM P BCM P BCA V V V V ----===．∴11142363N BCM ABCV PA S-∆=⨯⋅=⨯⨯=．。

空间直线、平面的平行

类题通法辨析空间直线、平面间的位置关系时，通常考虑：①联想特殊的几何体，如正方体中的特殊线与特殊面的位置关系来直观判断； ②利用直线、平面间的平行与垂直的定义、性质定理与判定定理进行判断.
题型二直线与平面平行的判定及性质[微点探究] 微点 1 直线与平面平行的判定
[例 1] 如图，四边形 ABCD 为矩形，ED⊥平面 ABCD，AF∥ED， AB＝4，BC＝3，DE＝3AF＝6.求证：BF∥平面 CDE.
3．[多选题]设 m，n 是两条不同的直线，α，β 是两个不同的平面，则下列命题中不正确的是( )
A．若 α⊥β，m⊥α，则 m⊂β B．若 m∥α，n⊂α，则 m∥n C．若 α∩β＝m，n∥α，n∥β，则 m∥n D．若 m⊥n，m⊥α，n∥β，则 α⊥β 答案：ABD 解析：对于 A，满足条件的 m，β 间的位置关系也可能是 m∥β，所以不正确；对于 B，满足条件的 m，n 间的位置关系也可能是异面，所以不正确；对于 C，设直线 l 为平面 β 内异于 m 的一条直线，且 l∥n，由 n∥α，l⊄α，可得 l∥α，又 α∩β＝m，则 l∥m，所以 m∥n，所以正确；对于 D，α 与 β 可能平行也可能相交，所以不正确．综上可知，故选 ABD.
二、易错易混 3．若平面 α∥平面 β，直线 a∥平面 α，点 B∈β，则在平面 β 内且过 B 点的所有直线中( ) A．不一定存在与 a 平行的直线 B．只有两条与 a 平行的直线 C．存在无数条与 a 平行的直线 D．存在唯一与 a 平行的直线
答案：A 解析：当直线 a 在平面 β 内且过 B 点时，不存在与 a 平行的直线，故选 A.
类题通法在应用线面平行的判定定理进行转化时，一定注意定理成立的条件，通常应严格按照定理成立的条件规范书写步骤，如：把线面平行转化为线线平行时，必须说清经过已知直线的平面和已知平面相交，这时才有直线与交线平行.

平面与空间直线

平面与空间直线平面及其方程我们把与一平面垂直的任一直线称为此平面的法线。

设给定点为Po(x0,y0,z0),给定法线n的一组方向数为{A,B,C}A2+B2+C2≠0，则过此定点且以n为法线的平面方程可表示为：注意：此种形式的方程称为平面方程的点法式。

例题：设直线L的方向数为{3，-4，8}，求通过点(2,1,-4)且垂直于直线L的平面方程.解答：应用上面的公式得所求的平面方程为：即我们把形式为：Ax+By+Cz+D=0.称为平面方程的一般式。

其中x,y,z的系数A，B，C是平面的法线的一组方向数。

几种特殊位置平面的方程1、通过原点其平面方程的一般形式为：Ax+By+Cz=0.2、平行于坐标轴平行于x轴的平面方程的一般形式为：By+Cz+D=0.平行于y轴的平面方程的一般形式为：Ax+Cz+D=0.平行于z轴的平面方程的一般形式为：Ax+By+D=0.3、通过坐标轴通过x轴的平面方程的一般形式为：By+Cz=0.通过y轴和z轴的平面方程的一般形式为：Ax+Cz=0，Ax+By=0.4、垂直于坐标轴垂直于x、y、z轴的平面方程的一般形式为：Ax+D=0，By+D=0，Cz+D=0.直线及其方程任一给定的直线都有着确定的方位.但是,具有某一确定方位的直线可以有无穷多条,它们相互平行.如果要求直线再通过某一定点,则直线便被唯一确定，因而此直线的方程就可由通过它的方向数和定点的坐标表示出来。

设已知直线L的方向数为{l,m,n}，又知L上一点Po(x0,y0,z0),则直线L的方程可表示为：上式就是直线L的方程，这种方程的形式被称为直线方程的对称式。

直线方程也有一般式，它是有两个平面方程联立得到的，如下：这就是直线方程的一般式。

平面、直线间的平行垂直关系对于一个给定的平面，它的法线也就可以知道了。

因此平面间的平行与垂直关系，也就转化为直线间的平行与垂直关系。

平面与直线间的平行与垂直关系，也就是平面的法线与直线的平行与垂直关系。

第七章第三节空间平面与直线及其方程

A 4C 0 , 即 A 4C ,
代入所设方程并消去C (C 0) , 得所求的平面方程为
4x z 0 .
高等数学第七章向量代数与空间解析几何
7.3 空间平面与空间直线及其方程
三、空间直线的方程
1.空间直线的点向式方程与参数方程 (1) 直线的方向向量的定义与直线平行的非零向量，称为这条直线的一个方向向量．直线的方向向量有无数多个.
i 1 0 j 1 1 k 0 1
n
M1

M3 M2
(1 , 1 , 1)
又 M1 , 利用点法式得平面的方程为：
高等数学第七章向量代数与空间解析几何
7.3 空间平面与空间直线及其方程
例7.3.1 求过三点
的平面的方程.
解: 平面的法向量垂直于该平面内任一向量，于是可取平面的法向量为：

高等数学第七章向量代数与空间解析几何
7.3 空间平面与空间直线及其方程
例7.3.2 设一平面与
轴的交点分别为
R(0,0, c ) （其中 a 0，b 0，c 0 )，求该平面的方程.
分析：可用平面的一般方程做或平面的点法式方程做. 解：设平面的方程为
Ax By Cz D 0,
x x0 y y0 n m 得 y y0 z z0 p n
法2：先找直线上两点A, B; AB 就是直线的方向向量.
高等数学第七章向量代数与空间解析几何
7.3 空间平面与空间直线及其方程
例7.3.5 用点向式方程及参数方程表示直线
分析：先找直线上一点; 再找直线的方向向量. 解: 先在直线上找一点 M0 ( x0 , y0 , z0 ) . y0 z 0 1 0 , 令 x0 0 , 代入原方程组得 2 y0 z 0 1 0 ,

直线与平面的位置关系

直线与平面的位置关系直线与平面的位置关系是几何学中的重要概念之一，研究它们的相互关系有助于我们深入理解空间几何。

在本文中，我们将探讨直线与平面的几种基本位置关系及其性质。

一、直线与平面的交点直线与平面可以相交于一点，此时它们具有唯一的交点。

假设有直线l和平面P，如果l与P相交于点A，我们可以得出以下结论：1. 点A在直线l上，同时也在平面P上；2. 点A在直线l上，但不在平面P上；3. 点A不在直线l上，但在平面P上。

这些情况中，最常见的是第一种情况，即直线与平面相交于一点，该点同时属于直线和平面。

二、直线与平面的重合直线与平面有可能重合，即它们完全重合于同一几何形状。

在这种情况下，直线与平面的所有点都是重合的，它们具有相同的位置和方向。

三、直线与平面的平行关系直线与平面可能平行，即它们始终保持着固定的距离，永不相交。

对于直线l和平面P，我们可以得出以下结论：1. 若直线l与平面P平行，则其上的任意点都不在平面P上；2. 若直线l与平面P平行，则直线l上的一切点与平面P上的一切点的距离相等。

需要注意的是，直线与平面的平行关系是相对的，当我们谈论直线l与平面P平行时，必须指定相对于哪种参考系来判断。

四、直线与平面的垂直关系直线与平面可能垂直，即直线与平面形成一个直角。

对于直线l和平面P，我们可以得出以下结论：1. 若直线l与平面P垂直，则直线l上的任意向量与平面P上的任意向量之间的内积为零；2. 若直线l与平面P垂直，则直线l与平面P相交于一点，该点同时属于直线和平面。

需要注意的是，直线与平面的垂直关系也是相对的，需要指定相对于哪种向量或平面来判断。

五、直线与平面的夹角除了垂直关系外，直线与平面之间还可以存在其他夹角。

对于直线l和平面P，我们可以定义它们之间的夹角为直线l上的某条与平面P 垂直的直线与平面P的交线的夹角。

直线与平面的夹角可以是锐角、直角或钝角，具体取决于直线与平面的位置关系和夹角的大小。

第三章平面与空间直线

第三章平面与空间直线本章以矢量为工具推导平面和空间直线各种形式的方程，讨论两平面，直线与平面，两直线的相互位置关系，并以矢量为工具推导两平面，直线与平面，两直线间的夹角公式以及点到平面，点到直线，两异面直线间的距离公式，最后又讨论了平面束方程及其应用。

本章的基本要求如下：A.掌握1.基本概念：平面的方位矢量和法矢量，量，方向角，方向余弦，方向数。

有轴平面束和平行面束。

点与平面间的离差，直线的方向矢量2.平面方程矢量形式的方程：点位式，一般式，参数式，点法式。

坐标形式的方程：点位式，三点式，截距式，一般式，参数式，点法式，法线式。

根据平面的方程画出平面的图形。

3.直线方程矢量形式的方程：点向式，参数式。

坐标形式的方程：对称式，两点式，参数式，一般式，射影式。

4.点，直线，平面的相关位置①用矢量方法讨论两平面的位置关系（相交，平行，重合），并求两平面间的夹角。

②点和平面的位置关系（点在或点不在平面上），利用平面的法线式方程求点与平面的离差和距离。

③用矢量方法讨论直线和平面的位置关系（相交，平行，直线在平面上），并求直线和平面间的夹角。

④点和直线的位置关系（点在直线上或点不在直线上），利用矢量方法求点到直线的距离。

⑤用矢量方法讨论两直线的位置关系（异面，相交，平行，重合）并求两直线间的夹角。

⑥平面束方程，利用平面束方程求空间直线在任一平面上的射影。

⑦空间圆的方程，圆心和半经的求法。

5.基本理论平面基本定理及其证明（定理3，1，1）有轴平面束方程及其证明（定理3，8，1）B.理解利用矢量方法求两异面直线的公垂线和两异面直线间的距离。

知识要求：1.知道决定平面的几何条件及矢量条件，会根据几何条件求出平面方程；2.掌握平面的参数方程、一般方程、法式方程、截距式方程；3.会求点到平面的距离；4.会用矢量条件判断平面与平面的位置关系；5.知道决定空间直线的几何条件及矢量条件，会根据几何条件求出直线方程；6.掌握空间直线的参数方程、两点式方程、一般方程、标准方程，会将参数方程、一般方程转化成标准方程；7.会用矢量条件判断直线与直线、平面与直线的的位置关系； 8.会求两直线之间的夹角；9.会求两异面直线之间的距离与公垂线方程； 10.了解平面束的概念。

空间中直线与平面之间的位置关系、平面与平面之间的位置关系

2.1.3空间中直线与平面之间的位置关系2.1.4平面与平面之间的位置关系一、空间中直线与平面的位置关系 1．直线与平面的位置关系直线与平面的位置关系有且只有___________种： ①直线在平面内——有___________个公共点； ②直线与平面相交——有且只有一个公共点； ③___________——没有公共点. 学*科网直线与平面相交或平行的情况统称为___________. 2．直线与平面的位置关系的符号表示和图形表示3．直线和平面位置关系的分类（1）按公共点个数分类：⎧⎪⎨⎪⎩直线和平面相交—有且只有一个公共点直线和平面平行—没有公共点直线在平面内—有无数个公共点（2）按是否平行分类：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩直线与平面平行直线与平面相交直线与平面不平行直线在平面内（3）按直线是否在平面内分类：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩直线在平面内直线和平面相交直线不在平面内(直线在平面外)直线和平面平行二、平面与平面之间的位置关系 1．两个平面之间的位置关系两个平面之间的位置关系有且只有以下两种：（1）两个平面平行——没有公共点；（2）两个平面相交——有___________条公共直线. 2．两个平面之间的位置关系的图形表示和符号表示3．两个平行平面的画法画两个平行平面时，要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行,且把这两个平行四边形上下放置.K 知识参考答案：一、1．三无数直线与平面平行直线在平面外二、 1．一K—重点了解空间中直线与平面、平面与平面的位置关系K—难点会用图形语言、符号语言表示直线与平面、平面与平面之间的位置关系K—易错对概念理解不透彻致误1．直线与平面的位置关系空间直线与平面位置关系的分类是解决问题的突破口，这类判断问题，常用分类讨论的方法解决．【例1】若直线a α,则下列结论中成立的个数是①α内的所有直线与a异面；②α内的直线与a都相交；③α内存在唯一的直线与a平行；④α内不存在与a 平行的直线A．0 B．1C．2 D．3【名师点睛】判断一个命题是否正确要善于找出空间模型（长方体是常用的空间模型），另外，考虑问题要全面，即注意发散思维.2．平面与平面的位置关系判断两平面之间的位置关系时，可把自然语言转化为图形语言，搞清图形间的相对位置是确定的还是可变的，借助于空间想象能力，确定平面间的位置关系．【例2】已知α，β是两个不重合的平面，下面说法正确的是A．平面α内有两条直线a，b都与平面β平行，那么α∥βB．平面α内有无数条直线平行于平面β，那么α∥βC．若直线a与平面α和平面β都平行，那么α∥βD．平面α内所有的直线都与平面β平行，那么α∥β【答案】D【解析】不能保证α，β无公共点．如图：故A、B选项错误.当a∥α，a∥β时，α与β可能相交．如图：故C选项错误.平面α内所有直线都与平面β平行，说明α，β一定无公共点，则α∥β.故D选项正确.【名师点睛】两个平面之间的位置关系有且只有两种：平行和相交.判断两个平面之间的位置关系的主要依据是两个平面之间有没有公共点.解题时要善于将自然语言或符号语言转换成图形语言，借助空间图形作出判断.【例3】如果在两个平面内分别有一条直线,这两条直线互相平行,那么两个平面的位置关系是A．平行B．相交C．平行或相交D．不确定【答案】C【解析】如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB⊂平面ABCD,C1D1⊂平面A1B1C1D1,C1D1⊂平面CDD1C1,AB∥C1D1,但平面ABCD∥平面A1B1C1D1,平面ABCD与平面CDD1C1相交.3．对直线与平面相交的概念理解不透彻致误【例4】已知：直线a∥b，a∩平面α=P，求证：直线b与平面α相交.【错解】如图，因为a∥b，所以a，b确定一个平面，设该平面为β.因为a∩平面α=P，所以P∈a，P∈α,所以P∈β,即点P为平面α与β的一个公共点，由此可知α与β相交于过点P的一条直线，记为c，即α∩β=c.在平面β内，a∥b，a∩c=P.由平面几何知识可得b与c也相交，设b∩c=Q,则Q∈b，Q∈c.因为c⊂α，所以Q∈α,所以直线b与平面α相交.【错因分析】错解中对直线与平面相交的概念理解不透彻，误认为直线和平面相交就是直线和平面有一个公共点.【名师点睛】直线与平面相交，要求直线与平面有且只有一个公共点，即直线与平面有一个公共点且直线不在平面内，也就是直线既不与平面平行，又不在平面内.1．已知直线与直线垂直，，则与的位置关系是A．//B．C．相交D．以上都有可能2．如果空间的三个平面两两相交，那么A．不可能只有两条交线B．必相交于一点C．必相交于一条直线D．必相交于三条平行线3．已知平面α内有无数条直线都与平面β平行，那么 A ．α∥β B ．α与β相交 C ．α与β重合D ．α∥β或α与β相交4．若直线a 不平行于平面α，则下列结论成立的是A ．α内的所有直线均与a 异面B ．α内不存在与a 平行的直线C ．α内直线均与a 相交D ．直线a 与平面α有公共点 5．以下命题（其中a b ，表示直线，α表示平面）： ①若∥a b ，b α⊂，则∥a α； ②若∥a α，b α⊂，则∥a b ； ③若∥a b ，∥b α，则∥a α. 其中正确命题的个数是A ．0B ．1C ．2D ．36．若M ∈平面α，M ∈平面β，则不同平面α与β的位置关系是． 7．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是A 1B 1和BB 1的中点，试判断：（1）AM 所在的直线与平面ABCD 的位置关系；（2）CN 所在的直线与平面ABCD 的位置关系；（3）AM 所在的直线与平面CDD 1C 1的位置关系；（4）CN 所在的直线与平面CDD 1C 1的位置关系.8．三个平面,,αβγ，如果,,∥a b αβγαγβ==,且直线,∥c c b β⊂.（1）判断c 与α的位置关系,并说明理由; （2）判断c 与a 的位置关系,并说明理由.9．若a ，b 是异面直线，且a ∥平面α，则b 与α的位置关系是 A ．∥b α B ．相交C ．b α⊂D ．b α⊂、相交或平行 10．已知平面α和直线l ，则在平面α内至少有一条直线与直线lA ．平行B ．垂直C ．相交D ．以上都有可能11．不在同一条直线上的三点A 、B 、C 到平面α的距离相等，且A ∉α，给出以下三个命题：①△ABC 中至少有一条边平行于α；②△ABC 中至多有两边平行于α；③△ABC 中只可能有一条边与α相交.其中真命题是_____________.（填序号）12．如图所示，1111ABCD A B C D -是正方体，在图①中E ，F 分别是11D C ，1B B 的中点，画出图①、②中有阴影的平面与平面ABCD 的交线，并给出证明．1 2 3 4 5 9 10 DADDADB3．【答案】D【解析】如图，设α∩β＝l ，则在α内与l 平行的直线可以有无数条a 1，a 2，…，a n ，…，它们是一组平行线．这时a 1，a 2，…，a n ，…与平面β都平行，但此时α∩β＝l.另外也有可能αβ∥.故选D.4．【答案】D【解析】直线a 不平行于平面α，则a 在α内或a 与α相交，故A 错；当a α⊂时，在平面α内存在与a 平行的直线，故B 错；α内的直线可能与a 平行或异面，故C 错；显然D 正确. 5．【答案】A【解析】若∥a b ，b α⊂，则∥a α或a α⊂，故①不正确；若∥a α，b α⊂，则∥a b 或,a b 异面，故②不正确；若∥a b ，∥b α，则∥a α或a α⊂，故③不正确．故选A ． 6．【答案】相交【解析】由公理3知，α与β相交．7．【解析】（1）AM 所在的直线与平面ABCD 相交．（2）CN所在的直线与平面ABCD相交．（3）AM所在的直线与平面CDD1C1平行．（4）CN所在的直线与平面CDD1C1相交．9．【答案】D【解析】三种情况如图（1）,（2）,（3）.10．【答案】B【解析】若直线l与平面α相交，则在平面α内不存在直线与直线l平行，故A错误；若直线l∥平面α，则在平面α内不存在直线与l相交，故C错误；对于直线l与平面α相交，直线l与平面α平行，直线l在平面α内三种位置关系，在平面α内至少有一条直线与直线l垂直，故选B.11．【答案】①【解析】如图，三点A、B、C可能在α的同侧，也可能在α两侧，其中真命题是①.证明：在图①中，因为直线EN ∥BF ，所以、、、B N E F 四点共面，又2EN BF ，因此EF 与BN 相交，设交点为M .因为M ∈EF ，且M ∈NB ，而EF ⊂平面AEF ，NB ⊂平面ABCD ，所以M 是平面ABCD 与平面AEF 的公共点．又因为点A 是平面AEF 和平面ABCD 的公共点，故AM 为两平面的交线．在图②中，C 1M 在平面11CDD C 内，因此与DC 的延长线相交，设交点为M ，则点M 为平面11A C B 与平面ABCD 的公共点，又点B 也是这两个平面的公共点，因此直线BM 是两平面的交线．学！科网。

第五节空间直线与平面的位置关系

【提示】 A，B选项，直线a，b可能平行、相交或异面；C选项，两平面α，β也可能垂直，如墙角，三个平面两两垂直；根据直线与平面垂直的性质定理可知，D正确．
同步精练
8．给出下列命题： ①过平面外一点可以作无数条直线与已知平面平行； ②若一条直线与已知平面平行，则此直线平行于该平面内无数条直线； ③若一条直线与已知平面内的无数条直线不相交，则此直线与该平面平行； ④若一条直线与已知平面内的任意直线不相交，则此直线与该平面平行； ⑤若两条直线与同一平面所成的角相等，则这两条直线平行．其中正确命题的序号是( D ) A．①② B．①②③ C．②③④ D．①②④
A．外心
B．内心 C．垂心 D．重心
【提示】点P是△ABC所在平面α外一点，且在α内的射影为O，所以PO与平面ABC垂直，若点P到△ABC 的三边距离相等，则根据直角三角形勾股定理，可知点O到△ABC的三边距离相等，所以选B.
同步精练
5．已知Rt△ABC的斜边AB在平面α内，且AC和BC与平面α所成的角分别为30°，45°，CD是斜边AB上的高，则 CD与平面α所成的角为( C )
A．0 B．1
C．2
D．3
【提示】本题主要考查的是直线和平面的位置关
系，只有②正确．
同步精练
10．已知正方体ABCDA1B1C1D1，则下列命题中错误的是( C )
A．AD∥平面D1BC
B．D1C 与平面ABCD所成的角为45° C．A1C1与BD所成的角为45° D．AC与BC1所成的角为60°
符号表示
知识梳理
内容
图形表示
直线与平面垂直
直线与平面所成的角
平面的一条斜线与它在这个平面上的射影所成的锐角叫做这条直线与平面所成的角；若直线与平面垂直，则所成的角为直角；若直线与平面平行或直线在平面内，则所成的角为0°

直线与平面的关系

一、平面的基本性质公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内符号表示为A ∈L ，B ∈L=>L α A ∈α，B ∈α公理1作用：判断直线是否在平面内公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。

推论1: 经过一条直线及直线外一点，有且只有一个平面。

推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。

推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。

公理2作用：确定一个平面的依据。

公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。

符号表示为：P ∈α∩β =>α∩β=L ，且P ∈L公理3作用：判定两个平面是否相交的依据二、空间中直线与直线之间的位置关系 1 空间的两条直线有如下三种关系：相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。

2 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。

强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。

公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。

3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补4 异面直线：不在同一个平面内的两条直线。

异面直线既不相交也不平行。

异面直线判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过这点的直线是异面直线。

这个定理是判定空间两条直线是异面直线的理论依据。

LA· αCB ·A· αP ·αLβ共面直线5 注意点：（1）直线所成的角θ∈(0， ]。

（2）条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a⊥b；（3）直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；（4）计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。

三、空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系1、直线与平面有三种位置关系：（1）直线在平面内——有无数个公共点（2）直线与平面相交——有且只有一个公共点（3）直线在平面平行——没有公共点指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a α来表示a α a∩α=A a∥α2直线、平面平行的判定及其性质线面平行的判定定理1、判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。

空间直线和平面平行

线、平面平行的判定及其性质2．平面与平面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(线面平行⇒面面平行)∵a∥β，b∥β，a∩b＝P，a⊂α，b⊂α，∴α∥β性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行∵α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，∴a∥b(1)且a∥b，否则会出现错误．(2)应用线面平行性质定理的注意点：一条直线平行于一个平面，它可以与平面内的无数条直线平行，但这条直线与平面内的任意一条直线可能平行，也可能异面．(3)线面平行的判定定理和性质定理使用的区别：如果结论中有a∥α，则要用判定定理，在α内找与a平行的直线；如果条件中有a∥α，则要用性质定理，找(或作)过a且与α相交的平面．4)面面平行判定定理的一个推论：如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，则这两个平面平行．符号表示：a⊂α，b⊂α，a∩b＝O，a′⊂β，b′⊂β，a′∩b′＝O′，a∥a′，b∥b′⇒α∥β. 1．两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．2．夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等．3．经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．4．两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．5．同一条直线与两个平行平面所成角相等．6．如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行．(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β.(2)平行于同一平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.(3)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b.11．如右图，P是平行四边形ABCD所在平面外一点，Q是PA的中点．求证：PC∥平面BDQ．1．如右图，P为梯形ABCD所在平面外一点，CD//2AB，E为PC的中点。

求证：BE∥平面PAD。

2．若两条直线都与一个平面平行，则这两条直线的位置关系是()A．平行B.相交C．异面D．以上均有可能3．已知直线a与直线b平行，直线a与平面α平行，则直线b与平面α的关系为()A．平行B.相交C．直线b在平面α内D．平行或直线b在平面α内4．过平面α外的直线l，作一组平面与α相交，如果所得的交线为a，b，c，…，则这些交线的位置关系为()A．都平行B．都相交且一定交于同一点C．都相交但不一定交于同一点D．都平行或交于同一点1．如果直线a∥平面α，则（）A．平面α内有且只有一条直线与a平行B．平面α内有无数条直线与a平行C．平面α内不存在与a平行的直线D．平面α内的任意直线与a都平行4．以下命题（其中,a b表示直线，α表示平面）①若//,a b b α⊂，则//a α；②若//,//a b αα，则//a b ；③若//a b ，//b α，则//a α；④若//a α，b α⊂，则//a b 。

空间解析几何中的直线与平面的距离公式

空间解析几何中的直线与平面的距离公式空间解析几何中直线与平面的距离公式空间解析几何是数学中的重要分支，其中直线与平面的距离是一个常见的问题。

本文将介绍直线与平面之间的距离计算公式，并探讨其应用。

一、直线与平面的距离公式在空间解析几何中，直线和平面都可以通过一般式方程表示。

设直线的方程为Ax+By+Cz+D=0，平面的方程为Ex+Fy+Gz+H=0。

1. 直线与平面的距离公式直线与平面的距离可以通过以下公式计算：d = |Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D| / √(A² + B² + C²)其中，(x₀, y₀, z₀)为直线上一点的坐标。

2. 推导过程为了理解直线与平面距离公式的推导过程，我们首先需要了解两个概念：点到平面的距离和向量的投影。

点到平面的距离可以通过以下公式计算：d = |Ex₀ + Fy₀ + Gz₀ + H| / √(E² + F² + G²)其中，(x₀, y₀, z₀)为平面上一点的坐标。

向量的投影可以通过以下公式计算：proj_u(v) = (v · u) / |u|其中，v和u分别为两个向量，且u不为零向量。

通过将直线与平面的距离转化为点到平面的距离，我们可以进行以下推导：将直线的一般式方程转化为参数方程：x = x₀ + aty = y₀ + btz = z₀ + ct其中，(x₀, y₀, z₀)为直线上一点的坐标，(a, b, c)为直线的方向向量的分量。

将直线上一点的坐标代入平面的方程，得到点到平面的距离表达式：d = |Ex₀ + Fy₀ + Gz₀ + H| / √(E² + F² + G²)由于点(x, y, z)在直线上，所以直线上的点向量与直线的方向向量垂直，即向量(u = (x - x₀, y - y₀, z - z₀))·(a, b, c) = 0。

空间中直线与平面之间的位置关系

空间中直线与平面之间的位置关系文档编制序号：[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08]空间中直线与平面之间的位置关系知识点一直线与平面的位置关系1、直线和平面平行的定义如果一条直线和一个平面没有公共点，那么这条直线和这个平面平行。

2、直线与平面位置关系的分类（1）直线与平面位置关系可归纳为(2)在直线和平面的位置关系中，直线和平面平行，直线和平面相交统称直线在平面外，我们用记号α⊄a 来表示a ∥α和A a =α 这两种情形．(3)直线与平面位置关系的图形画法：①画直线a 在平面α内时，表示直线α的直线段只能在表示平面α的平行四边形内，而不能有部分在这个平行四边形之外，这是因为这个用来表示平面的平行四边形的四周应是无限延伸而没有边界的，因而这条直线不可能有某部分在某外；②在画直线a 与平面α相交时，表示直线a 的线段必须有部分在表示平面a 的平行四边形之外，这样既能与表示直线在平面内区分开来，又具有较强的立体感；③画直线与平面平行时，最直观的画法是用来表示直线的线在用来表示平面的平行四边形之外，且与某一边平行。

例1、下列命题中正确的命题的个数为。

①如果一条直线与一平面平行，那么这条直线与平面内的任意一条直线平行；②如果一条直线与一平面相交，那么这条直线与平面内的无数条直线垂直；③过平面外一点有且只有一条直线与平画平行；④一条直线上有两点到一个平面的距离相等，则这条直线平行于这个平面。

变式1、下列说法中正确的是。

①直线l平行于平面α内无数条直线，则lααααbα⊂答案：B⊂bαα⊂变式3、若直线l上有两个点到平面α的距离相等，讨论直线l与平面α的位置关系.图3解：直线l与平面α的位置关系有两种情况（如图3），直线与平面平行或直线与平面相交.例2、若两条相交直线中的一条在平面α内，讨论另一条直线与平面α的位置关系.解：如图5,另一条直线与平面α的位置关系是在平面内或与平面相交.图5用符号语言表示为：若a∩b=A,b⊂α,则a⊂α或a∩α=A.变式1、若两条异面直线中的一条在平面α内，讨论另一条直线与平面α的位置关系.分析：如图6,另一条直线与平面α的位置关系是与平面平行或与平面相交.图6用符号语言表示为：若a与b异面,a⊂α,则b∥α或b∩α=A.例3、若直线a不平行于平面α,且a⊄α,则下列结论成立的是( )A.α内的所有直线与a异面B.α内的直线与a都相交C.α内存在唯一的直线与a平行D.α内不存在与a平行的直线分析：如图7,若直线a不平行于平面α,且a⊄α,则a与平面α相交.图7例如直线A′B与平面ABCD相交，直线AB、CD在平面ABCD内，直线AB与直线A′B 相交，直线CD 与直线A′B 异面，所以A 、B 都不正确；平面ABCD内不存在与a 平行的直线，所以应选D.变式1、不在同一条直线上的三点A 、B 、C 到平面α的距离相等，且A ∉α,以下三个命题：①△ABC 中至少有一条边平行于α;②△ABC 中至多有两边平行于α；③△ABC中只可能有一条边与α相交. 其中真命题是_____________.分析：如图8,三点A 、B 、C 可能在α的同侧，也可能在α两侧，图8其中真命题是①.变式2、若直线a ⊄α,则下列结论中成立的个数是( )(1)α内的所有直线与a 异面 (2)α内的直线与a 都相交 (3)α内存在唯一的直线与a平行 (4)α内不存在与a 平行的直线分析：∵直线a ⊄α,∴a ∥α或a∩α=A.如图9,显然(1)(2)(3)(4)都有反例,所以应选A.图9答案：A.知识点二直线与平面平行1、直线与平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。

空间直角坐标系直线方程和平面方程的关系

空间直角坐标系直线方程和平面方程的关系在空间几何中，直线和平面是两种基本的几何图形。

直线可以通过点和向量来表示，而平面可以通过点和法向量来表示。

本文将讨论空间直角坐标系中直线方程和平面方程之间的关系。

空间直角坐标系空间直角坐标系是三维几何中常用的坐标系统，由X轴、Y轴和Z轴组成。

每个轴都是互相垂直的，并以原点为起点。

在空间直角坐标系中，每个点都可以用(x, y, z)的形式表示，其中x、y和z分别表示点在X轴、Y轴和Z轴上的坐标值。

直线的方程在空间直角坐标系中，直线可以通过一点和方向向量来表示。

一般情况下，直线的方程可以表示为：r = r0 + tv其中，r是直线上的任意一点坐标，r0是直线上已知的一点坐标，v是直线的方向向量，t是实数。

这个方程可以理解为从r0点出发，按照方向向量v不断延伸，得到直线上的所有点。

平面的方程在空间直角坐标系中，平面可以通过一点和法向量来表示。

一般情况下，平面的方程可以表示为：Ax + By + Cz + D = 0其中，A、B和C是平面的法向量的分量，D是一个常数。

这个方程可以理解为平面上任意一点的坐标(x, y, z)满足该方程。

直线和平面的交点直线和平面的交点是指直线上的点同时满足平面的方程。

为了找到直线和平面的交点，可以将直线方程代入平面方程，求解方程组，从而得到交点的坐标。

当直线和平面有交点时，方程组有解；当直线和平面平行时，方程组无解；当直线包含在平面中时，方程组有无穷多解。

直线的方向向量与平面的法向量在空间直角坐标系中，直线和平面之间存在一定的关系。

当直线的方向向量与平面的法向量正交时，直线和平面是平行关系；当直线的方向向量与平面的法向量平行时，直线和平面是重合关系。

结论在空间直角坐标系中，直线和平面的关系是多样化的。

直线可以通过一点和方向向量来表示，平面可以通过一点和法向量来表示。

直线和平面的交点可以通过方程组求解得到。

直线和平面之间的关系取决于直线的方向向量和平面的法向量的相互关系。

空间解析几何-第2章空间的平面与直线

由平面过点(6,3, 2) 知 6 A 3 B 2C 0
n{4,1,2},
4 A B 2C 0
2 A B C, 3 所求平面方程为 2 x 2 y 3 z 0.

例5 求通过点M(2,-1,1)与N(3,-2,1)，且平行于 z轴的平面的方程

4. 过点M(3,2,-4)且在x轴和y轴上截距分别为-2 和-3的平面 5. 已知两点M1(3,-1,2)和M2(4,-2,-1) ，通过 M1且垂直于M1M2的平面 6. 已知平面上三点A(3,-1,2) B (4,-2,-1) C(3,2,-4)，求平面方程。求通过直线截距相等的平面方程，且在y轴与z轴上
类似地可讨论 A C 0, B C 0 情形.
(4) A B D 0,
有z 0,即xoy面.
例 4 设平面过原点及点( 6,3, 2) ，且与平面
4 x y 2 z 8 垂直，求此平面方程.
解设平面为 Ax By Cz D 0, 由平面过原点知 D 0,
代入体积式
1 1 1 1 1 1 t , 6 6t t 6 t 6
a 1, b 6, c 1,
所求平面方程为 6 x y 6 z 6. 或
6 x y 6z 6.
已知平面上一点和不共线两个向量, 求通过该点与两向量平行的平面 ——点位式/坐标式参数方程
例 3 一直线过点 A( 2,3,4 )，且和 y 轴垂直 . . 相交，求其方程
解
因为直线和y 轴垂直相交,
所以交点为 B(0,3, 0),
取 s BA ( 2, 0, 4),
x2 y3 z4 所求直线方程 . 2 0 4

空间直线与平面

空间直线与平面1、平面的特征：无厚度，无边界，无面积，无限延展；2、公理及其作用公理一：若一条直线上有两点在一个平面内，则该直线在平面内. 【作用】用以证明线在面内．．．．和点在面内．．．．.．公理二：如果两个平面有一个公共点，则两个平面的交集是通过该点的一条直线. 【作用】用以证明．．三．点共线．．．. 公理三：经过不在同一条直线上的三点有且仅有一个平面【作用】确定平面的依据推论1 经过一条直线和这条直线外一点有且仅有一个平面；推论2 经过两条相交直线有且仅有一个平面；推论3 经过两条平行直线有且仅有一个平面；公理四：平行于同一直线的两直线平行；()// ////a b b c a c ⇒，【作用】对空间的平行线进行传递．．．．．．．. 3、等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补. 4、空间直线的位置关系：平行、相交、异面. 【注】异面直线的证明，一般采用反证法； 5、★异面直线所成角（1）范围:0,2π⎛⎤⎥⎝⎦（2）求解方法（一作、二证、三求解）①平移法：一般是通过作中位线（关键字：中点），或是做平行四边形进行平移； ②补形法：适用于长方体中异面直线问题，其本质还是平移；③向量法：借助异面直线方向向量的夹角，进行间接求解，设异面直线1l 和2l 的方向向量分别为1d 和2d ，1d 和2d 的夹角为ϕ，异面直线1l 和2l 所成的角为θ，则1212||cos |cos |||||d d d d θϕ⋅==⋅.【注】通过解三角形求出平移后的角度余弦值为m ，则异面直线的夹角为arccos m . 6、异面直线间的距离：公垂线段的长度，求解时，可以借助向量投影. 7、直线与平面的位置关系：平行、相交（含垂直）、在平面内.（平行与相交又称为在面外） 8、直线与平面平行（1）定义：直线与平面没有公共点. （2）判定定理：11l l l ll ααα⎧⎪⇒⎨⎪⎩ÜÚ（3）性质定理：11l l l l lαβαβ⎧⎪⇒⎨⎪=⎩Ü 【注】线面平行不具有传递性.9、直线与平面垂直（1）定义：直线垂直于平面内的所有直线（或任意一条直线）（2）判定定理：121212,,l l l l l l l l l P αα⊥⊥⎧⎪⇒⊥⎨⎪=⎩Ü；（3）性质定理：11l l l l αα⊥⎧⇒⊥⎨⎩Ü，l l ααββ⊥⎧⇒⊥⎨⎩Ü；10、★直线与平面所成的角（1）定义：斜线与射影所成的锐角或直角.（2）范围:0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦;（3）求解方法①定义法：作出线面角，解三角形求解（关键找到垂足．．，进而找到射影．．）； ②投影法：求出点到面的距离d ，斜线长为l ，则arcsindlθ=； ③*向量法：设直线l 的方向向量为d ，平面α的法向量为n ，d 和n 的夹角为ϕ，直线l 与平面α所成的角为θ，||sin |cos |||||d n d n θϕ⋅==⋅； 11、★点到平面的距离（1）定义：过点作平面的垂线，点与垂足之间的线段长即为点到面的距离. （2）求解方法 ①等体积代换．．．．．：放在三棱锥中，借助体积转化. ②*向量法：设平面α的斜线段是()AB B α∈，平面α的法向量为n ，点A 到平面α的距离为d ，则||||AB n d n ⋅=. 12、平面与平面的位置关系：相交、平行. 13、*面面平行（1）定义：平面与平面无公共点；（2）判定：121212,,l l l l P l l ααβββ⎧⎪=⇒⎨⎪⎩Ü；（3）性质：l l αβαα⎧⇒⎨⎩Ü；1122l l l lαβαγβγ⎧⎪=⇒⎨⎪=⎩；【注】面面平行具有传递性.14、*面面垂直（1）定义：两平面所成二面角为直角；（2）判定：l l βαβα⊥⎧⇒⊥⎨⎩Ü；（3）性质：111,ll l l l αβαβαβ⊥=⎧⎪⇒⊥⎨⎪⊥⎩Ü；【注】面面垂直不具有传递性. 15、*二面角（1）定义：由两个相交的半平面组成的图形；（2）范围：[]0,π（3）求解方法（作—证—算—答）①定义法：在棱上任意取一点，过这点分别在两个面内作棱的垂线；②垂面法：在棱上任意取一点，过这点作棱的垂面，得两条交线（射线）所成的最小正角； ③借助射影定理：cos S S θ=射影原图（若是钝二面角，取补角即可）④向量法：设二面角l αβ--中，平面α和β的法向量分别为1n 和2n ，向量1n 和2n 的夹角为θ，则1212cos ||||n n n n θ⋅=⋅，若二面角l αβ--是锐角，则其大小为1212||arccos ||||n n n n ⋅⋅；若二面角l αβ--是钝角，则其大小为1212||arccos||||n n n n π⋅-⋅.【注】法向量的方向控制为一进一出．．．．时，法向量的夹角即为二面角的平面角. 16、立体几何中的轨迹问题探求空间轨迹与求平面轨迹类似，应注意几何条件，善于基本轨迹转化．对于较为复杂的轨迹，常常要分段考虑，注意特定情况下的动点的位置，然后对任意情形加以分析判定，也可转化为平面问题．对每一道轨迹命题必须特别注意轨迹的纯粹性与完备性． 17、立体几何中的最值问题一般是指有关距离的最值、角的最值或面积的最值的问题．其一般方法有：①几何法：通过证明或几何作图，确定图形中取得最值的特殊位置，再计算它的值； ②代数方法：分析给定图形中的数量关系，选取适当的自变量及目标函数，确定函数解析式，利用函数的单调性、有界性，以及不等式的均值定理等，求出最值． 18、立体几何中的翻折问题翻折问题处理时关键在于把握翻折过程中哪些是不变量，哪些是改变量，注意翻折前后图形之间的内在联系，结合相关理论进行处理.【例题分析】例1、空间中，下列命题正确的是（） A.两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B. 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 C.四边相等的四边形是菱形； D.对角线相交的四边形是平面图形例2、完成下列问题（1）不重合的三条直线交于同一点，则三条直线可以确定的平面的个数为_______. （2）三条互相平行的直线可以确定的平面的个数为_______. （3）三个平面可以将空间分成________部分；（4）不共面的四个定点到平面α的距离相等，这样的平面α有______个. （5）正方体一个面上的对角线与正方体的棱可以组成______对异面直线.（6）三棱锥的四个顶点与各棱中点，共10个点中，任取四个点，则四点共面的概率为______.例3、如图所示，ABC ∆的三边延长线分别与平面α交于,,D E F 三点，证明：,,D E F 三点共线.【练习】如图所示，,,,E F G H 分别是空间四边形ABCD 边,,,AB AD BC CD 上的点，且直线,EF GH 相交于M 点，证明：,,B D M 三点共线.ABCD EFαM例4、判断下列命题是否正确，并说明理由.①1122l l l l αα⎧⇒⎨⎩；②l lααββ⎧⇒⎨⎩；③1122l l l l αα⊥⎧⇒⎨⊥⎩；④l l ααββ⊥⎧⇒⎨⊥⎩；⑤αγαββγ⊥⎧⇒⎨⊥⎩；⑥1122l ll l l l ⊥⎧⇒⎨⊥⎩；⑦1122l l l l αα⊥⎧⇒⊥⎨⎩；⑧ll αβαβ⊥⎧⇒⎨⊥⎩.【练习1】设直线m 与平面α相交但不．垂直，则下列所有正确的命题序号是________. ①在平面α内有且只有一条直线与直线m 垂直； ②与直线m 平行的直线不．可能与平面α垂直； ③与直线m 垂直的直线不．可能与平面α平行； ④与直线m 平行的平面不．可能与平面α垂直．【练习2】平面αβ⊥，直线b α，m β，且b m ⊥，则b 与β（）A.b β⊥B.b 与β斜交C.//b βD.位置关系不确定【练习3】判断下列命题是否正确，并说明理由. ①直线l 上存在不同的两点到平面α的距离相等，则l α；②a β⊥，l αβ=，过a 内一点P 作l 的垂线1l ，则1l β⊥；③直线l 垂直于平面α内的无数条直线，则l α⊥； ④直线12,l l 与平面α成等角，则12l l ；ABCD E F例5、已知ABC ∆，点P 是平面ABC 外一点，点O 是点P 在平面ABC 上的射影，（1）若点P 到ABC ∆的三边所在直线的距离相等且O 点在ABC ∆内，则O 为ABC ∆的心．（2）若点P 到ABC ∆的三个顶点的距离相等，则O 为ABC ∆的________心；（3）若,,PA PB PC 两两垂直，则O 为ABC ∆的________心．（4）平面PAB ，平面PAC ，平面PBC ，与平面ABC 所成的二面角相等，则O 为ABC ∆的________心；（5）若,,PA PB PC 与平面ABC 所成的线面角相等，则O 为ABC ∆的________心；例6、如图所示PA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，AE PB ⊥，且AF PC ⊥. （1）证明：BC ⊥平面PAB ；（2）证明：AE ⊥平面PBC ；（3）证明：PC ⊥平面AEF .例7、异面直线12,l l 所成的角为60,直线l 与12,l l 所成的角均为θ,则θ的范围是________.【变式1】直线12,l l 相交于点O 且12,l l 成60角，过点O 与12,l l 都成60角的直线有_____条.【变式2】异面直线12,l l 相交于点O 且12,l l 成80角，过点O 与12,l l 都成50角的直线有____条.例8、空间四边形ABCD 中，2AD BC ==，,E F 分别是,AB CD的中点，EF ,AD BC 所成的角为________.【变式】如图，在空间四边形ABCD 中，6AC BD ==，7AB CD ==，8AD BC ==，求异面直线AC 与BD 所成角的大小.例9、如果直角三角形的斜边与平面α平行，两条直角边所在直线与平面α所成的角分别为21θθ和，则（）A ．1sin sin 2212≥+θθB ．1sin sin 2212≤+θθC ．1sin sin 2212>+θθD ．1sin sin 2212<+θθ【练习】长方体1111ABCD A B C D -中，设对角线1BD 与自B 点出发的三条棱所夹的角分别为,,αβγ，则222sin sin sin αβγ++=_______.例10、如图，设S AB C D -是一个高为3的四棱锥,底面ABCD 是边长为2的正方形,顶点S 在底面上的射影是正方形ABCD 的中心．K 是棱SC 的中点．试求直线AK 与平面SBC 所成角的大小．ABCDSBCDOK【变式】如图，在斜三棱柱111ABC A B C -中12A AC ACB π∠=∠=，16AAC π∠=侧棱1BB 与底面ABC 所成的角为3π，1AA =4BC =求（1）1A C 与底面ABC 所成角的大小；（2）斜三棱柱111ABC A B C -的体积.例11、已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ．求点1C 到平面11AB D 的距离.【变式1】ABC ∆的三边长分别是3,4,5，P 为ABC ∆所在平面α外一点,它到三边的距离都是2,则P 到α的距离为________.【变式2】已知ABC ∆中，9AB =，15AC =，23BAC π∠=，ABC ∆所在平面外一点P 到此三角形三个顶点的距离都是14，则点P 到平面ABC 的距离是_________.例12、如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，11AD A A ==. （1）证明直线1BC 平面1D AC ；（2）求直线1BC 到平面1D AC 的距离.A 1A BCD1D 1C 1B A AB CD1A 1B 1C 1D【变式1】已知R t ABC ∆的直角顶点C 在平面α内，斜边AB α，AB ，AC 、BC 分别和平面α成4π和6π角，则AB 到平面α的距离为________【变式2】已知矩形ABCD 的边长6AB =，4BC =，在CD 上截取4CE =，以BE 为棱将矩形折起，使BC E '∆的高C F '⊥平面ABED ，求（1）点C '到平面ABED 的距离；（2）点C '到AB 的距离；（3）点C '到AD 的距离.例13、*已知二面角l αβ--的大小为2πθθ⎛⎫> ⎪⎝⎭，AB αÜ，CD βÜ，且A B l ⊥，CD l ⊥，若AB 与CD 所成角为ϕ，则（） A.ϕθ=B. 2πϕθ=-C.2πϕθ=+D.ϕπθ=-【练习1】已知二面角l αβ--的平面角为θ，在平面α内有一条直线AB 与棱l 成锐角δ，与平面β成角γ，则必有（） A. sin sin sin θδγ= B. sin sin cos θδγ=C. cos cos sin θδγ=D. cos cos cos θδγ=【练习2】设二面角l αβ--的大小为02πθθ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，1l 是平面α内异于l 的一条直线，则1l 与平面β所成角的范围为_______.C 'DBCF例14、*过正方形ABCD 的顶点A 作PA ^平面ABCD ，设PA AB a ==，（1）求二面角B PC D --的大小；（2）求二面角C PD A --的大小．【练习1】如图所示，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为1的菱形，3BCDp?，E 是CD 的中点，PA ⊥底面ABCD，PA =（1）证明：BE ⊥平面PAB ；（2）求PB 与面PAC 的角；（3）求二面角A BE P --的大小.【练习2】已知空间四边形ABCD 中，若2AB AC ==,2CAB CBD π∠=∠=，6BCD π∠=，平面ABC ⊥平面BCD ．（1）求AD 与平面BCD 所成角的大小；（2）求二面角A CD B --的大小；（3）求点B 到平面ACD 的距离．例15、设,M N 是直角梯形ABCD 两腰的中点，DE AB ⊥于E （如图）．现将ADE ∆沿DE 折起，使二面角A DE B --为45，此时点A 在平面BCDE 内的射影恰为点B ，则,M N 的连线与AE 所成角的大小等于_________．M NBNMA EGDABCDPCED P【练习】将两块三角板按图甲方式拼好，其中2B D π∠=∠=，6ACD π∠=，4ACB π∠=，2AC =，现将三角板ACD 沿AC 折起，使D 在平面ABC 上的射影恰好在AB 上，如图乙．（1）求证：AD ⊥平面BCD ；（2）求二面角B AC D --的大小.例16、在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，,M N 分别是矩形ABCD 和11BB C C 的中心，则过点,,A M N 的平面截正方体的截面面积为______．【变式1】在棱长为6的正方体ABCD-1111ABCD A B C D -中，,M N 分别是111,A B CC 的中点，设过,,D M N 三点的平面与11B C 交于点P ,做出P 点，并保留作图痕迹，求PM PN +的值．【变式2】在三棱锥A BCD -中，AB a =,CD b =，ABD BDC ∠=∠,,M N 分别为AD ,BC 的中点，P 为BD 上一点，则MP NP +的最小值是________.DABCOABCDMNP【变式3】已知正三棱锥A BCD ，其底面边长为a ，侧棱长为2a ,过点B 作与侧棱,AC AD 相交的截面，在这样的截面三角形中（1）求周长的最小值；（2）求周长最小时的截面面积.例17、正方体的截面图形的形状可以为_________. ①三角形；②四边形；③五边形；④六边形；⑤七边形；【注】①截面可以是三角形：等边三角形、等腰三角形、一般三角形；截面三角形是锐角三角形；截面三角形不能是直角三角形、钝角三角形；ABCDMN例18、如图，正方体1111ABCD A B C D -，则下列四个命题： ①P 在直线1BC 上运动时，三棱锥1A D PC -的体积不变；②P 在直线1BC 上运动时，直线AP 与平面ACD 1所成角的大小不变； ③P 在直线1BC 上运动时，二面角1P AD C --的大小不变；④M 是平面1111A B C D 上到点D 和1C 距离相等的点，则M 点的轨迹是过1D 点的直线其中真命题的编号是___________.（写出所有真命题的编号）例19、在长方体1111ABCD A B C D -中，11AD AA ==，2AB =，点E 是AB 上的动点（1）若直线1D E ⊥EC ，请确定E 点的位置，并求此时异面直线1AD 与EC 所成的角；（2）在（1）的条件下，求二面角1D EC D --的大小.【练习1】底面是矩形的四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，1PA AB ==,2BC =. （1）求PC 与平面PAD 所成角的大小；（2）若E 是PD 中点，求异面直线AE 与PC 所成角的大小；（3）在BC 边上是否存在一点G ，使得点D 到平面PAG若存在，求出BG 的值；若不存在，请说明理由.PA BCEABCD 1A 1B 1C 1D EA1A BCD1D 1C 1B P【练习2】如图，在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是正方形, PA ⊥底面ABCD ,垂足为A ,PA AB =,点M 在棱PD 上，PB ∥平面ACM .（1）试确定点M 的位置；（2）计算直线PB 与平面MAC 的距离；（3）设点E 在棱PC 上，当点E 在何处时，使得AE ⊥平面PBD ？【练习3】如图，在矩形ABCD 中,AB ，BC a =，PA ⊥平面ABCD ，4PA =. （1）若在边BC 上存在一点Q ，使得PQ QD ⊥，求实数a 的取值范围；（2）当边BC 上存在唯一一点Q ，使得PQ QD ⊥时，求异面直线AQ 与PD 所成角的大小；（3）若4a =，且PQ QD ⊥，求二面角A PD Q --的大小.【练习4】如图所示，等腰ABC ∆的底边AB =，高3CD =，点E 是线段BD 上异于点,B D 的动点，点F 在BC 边上，且EF AB ⊥，现沿EF 将BEF ∆折起到PEF ∆的位置，使PE AE ⊥，记BE x =，()V x 表示四棱锥P ACFE -的体积．（1）求()V x 的表达式；（2）当x 为何值时，()V x 取得最大值？（3）当()V x 取得最大值时，求异面直线AC 与PF 所成角的余弦值．PAFCED PA BCDMPA BCD【练习5】如图，在四棱锥ABCD P -中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为正方形,2PD AD ==，M ，N 分别为线段AC 上的点．若︒=∠30MBN ，则三棱锥M PNB-体积的最小值为 .【练习6】如图：PA ⊥平面ABCD ，ABCD 是矩形，1PA AB ==，PD 与平面ABCD 所成角是6π，点F 是PB 的中点，点E 在边BC 上移动. （1）点E 为BC 的中点时，试判断EF 与平面PAC 的位置关系,并说明理由；（2）无论点E 在边BC 的何处，PE 与AF 所成角是否都为定值，若是，求出其大小；若不是，请说明理由；（3）当BE 等于何值时，二面角P DE A --的大小为4π.例20、已知动点P 在正方体1111ABCD A B C D -的侧面11BB C C 中,且满11PD D BD D ∠=∠,则动点P 的轨迹是（）的一部分A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线PABCEDFPBCD M N【变式1】平面α的斜线AB 交α于点B ，过定点A 的动直线l 与AB 垂直，且交α于点C ，则动点C 的轨迹是( ) A ．一条直线 B.一个圆 C.一个椭圆 D.双曲线的一支【变式2】在正方体1111ABCD A B C D -中，P 是侧面11BB C C 内一动点，若P 到直线BC 与直线11C D 的距离相等，则动点P 的轨迹所在的曲线是（） A.直线 B ．圆 C ．双曲线 D ．抛物线【变式3】已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点P 是平面AC 内的动点，若点P 到直线11A D 的距离等于点P 到直线CD 的距离，则动点P 的轨迹所在的曲线是（） A ．抛物线 B ．双曲线 C ．椭圆 D ．直线【变式4】如图，在矩形ABCD 中，E 为边AD 上的动点，将ABE ∆沿着直线BE 翻转成1A BE ∆，使平面1A BE ⊥平面ABCD ，则点1A 的轨迹是（） A.线段 B.圆弧 C.椭圆的一部分 D 以上都不是例21、已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为3，长为2的线段MN 点一个端点M 在1DD 上运动，另一个端点N 在底面ABCD 上运动，则MN 的中点P 的轨迹与正方体的面所围成的几何体的体积为_________．αBCAlA B CD 1A 1B 1C 1D NMPABCD 1A E【变式1】正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，P 为侧面11BB C C 内的动点，且2PA PB =，则P 点在四边形11BB C C 内形成轨迹图形的长度为_________．【变式2】在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，,M N 分别为1AC 、11A B 的中点，点P 在正方体的表面上运动，则总能使MP 与BN 垂直的点P 所构成的轨迹的周长为________.【变式3】若P 是以12,F F 为焦点的双曲线上任意一点,过焦点作12F PF ∠的平分线的垂线,垂足M 的轨迹是曲线C 的一部分,则曲线C 是（）（A ）圆（B ）椭圆（C ）双曲线（D ）抛物线【变式4】设B 、C 是定点，且均不在平面α上,动点A 在平面α上,且1sin 2ABC ∠=，则点A 的轨迹为（）（A ）圆或椭圆（B ）抛物线或双曲线（C ）椭圆或双曲线（D ）以上均有可能ABCD 1A 1B 1C 1D PAB CD1A 1B 1C 1D N M。

空间直线与平面的平行关系

答案：B
2．若直线m⊂平面α，则条件甲：直线l∥α，是条件乙：
l∥m的( ) B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 A．充分不必要条件 C．充要条件
解析：∵l∥α时l与m并不一定平行，而l∥m时，l与α 也不一定平行，有可能l⊂α，
∴条件甲是条件乙的既不充分也不必要条件．
答案：D
3．平面α∥平面β的一个充分条件是(
P
M
N
D

B
E
25
一.直线与平面平行的判定
判定直线与平面平行，主要有三种方法：
1．利用定义(常用反证法)． 2．利用判定定理：关键是找平面内与已知直线平行的直线．可先直观判断平面内是否已有，若没有，则需作出该直线，常考虑三角形的中位线、平行四边形的对
边或过已知直线作一平面找其交线．
3．利用面面平行的性质定理：当两平面平行时，其中一个平面内的任一直线平行于另一平面．特别警示：线面平行关系没有传递性，即平行线中的一条平行于一平面，另一条不一定平行于该平面．
已知：a在β平面上，b在β平面上，a∩b=P， a∥α，b∥α 求证：α∥β
β

P
b a
α
l
19
推论:
如果一个平面内的两条相交直线分别与另一个平面内的两条相交直线平行,则这两个平面平行 α β b a
2、两个平面平行的性质定理
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。
γ
已知： // ， a ， b 求证： a // b
QF.
∴四边形PEFQ是平行四边形． ∴PQ∥EF. 又PQ⊄平面BCC1B1， EF⊂平面BCC1B1， ∴PQ∥平面BCC1B1.

空间直线与平面平行的性质

D C 和这个平面内的任意直线都平行； D 和这个平面内的任意直线都不相交。
练习： 3、如果两个相交平面分别经过两条平行直线中的一条,那么它们的交线和这两条直线平行。
l
a b
α
β
4.已知：直线AB∥平面α,经过AB的两个平面β和γ分别和平面α交于直线a，b。求证：a∥b
B A
g
b
a
例题示范
例1：有一块木料如图，已知棱BC平行于面A′C′(1)要经过木料表面A′B′C′D′ 内的一点P和棱 BC将木料锯开，应怎样画线？(2)所画的线和面AC有什么关系？
课堂练习：
（1）以下命题（其中a，b表示直线，表示平面） ①若a∥b，b，则a∥ ②若a∥，b∥，则a∥b ③若a∥b，b∥，则a∥ ④若a∥，b，则a∥b
其中正确命题的个数是（）（A）0个（B）1个（C）2个（D）3个
练习：
2。如果一条直线和一个平面平行，则这条直线（） A 只和这个平面内一条直线平行； B 只和这个平面内两条相交直线不相交；
例3 求证：如果三个平面两两相交于三条直线，并且其中两条直线平行，那么第三条
直线也和它们平行。相交
和这两条直线有怎样的位置关系？
ßγ
n l
已知：平面，ß ，γ ， ∩ß =l, ∩ γ =m, ß ∩ γ =n,且l// m
ɑ m
求证： n// l ，n// m
证明： l// m
lγ
l// γ
如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
应用线面平行的性质定理的关键是：过这条直线作一个平面.应用线面平行性质定理的要诀：“见到线面平行，先过这条直线作一个平面找交线”.

空间直线与平面

第11章 空间直线与平面

高三第一轮复习 空间直线与平面的平行关系

空间直线、平面的平行

平面与空间直线

第七章第三节空间平面与直线及其方程

直线与平面的位置关系

第三章 平面与空间直线

空间中直线与平面之间的位置关系、平面与平面之间的位置关系

第五节 空间直线与平面的位置关系

直线与平面的关系

空间直线和平面平行

空间解析几何中的直线与平面的距离公式

空间中直线与平面之间的位置关系

空间直角坐标系直线方程和平面方程的关系

空间解析几何-第2章 空间的平面与直线

空间直线与平面

空间直线与平面的平行关系

空间直线与平面平行的性质

第11章空间直线与平面

高三第一轮复习空间直线与平面的平行关系

第三章平面与空间直线

第五节空间直线与平面的位置关系

空间解析几何-第2章空间的平面与直线