第七章图像变换

离散卷积
• 离散卷积的定义 :由下面的求和公式给出 由下面的求和公式给出
y ( kT ) =
∑ x ( iT ) h[( k − i )T ]
i=0
N −1
这里，x(kT) 和 h(kT) 都是周期为 T 的周期函数。 的周期函数。 这里，
和连续函数的卷积一样， • 离散卷积的表示 :和连续函数的卷积一样，离散卷积通常写作 和连续函数的卷积一样 离散卷积通常写作:

f (x ) =
∑
N −1 u=0
iz π ux F (u ) exp N
M −1 N −1 x =0 y = 0
1 F (u, v ) = MN
∑∑ f (x, y )exp− izπ M + N ux

vy
ux vy F ( x, y ) = ∑∑ F (u , v ) exp izπ + u =0 v =0 M N
图像变换
什么是图像变换
• 将图像看成是线性叠加系统(成像原理) 将图像看成是线性叠加系统(成像原理) • 图像在空域上相关性很强 • 图像变换是将图像从空域变换到其它域如
频域的数学变换 • 常用的变换：傅立叶变换、离散余弦变换、 小波变换、离散K 小波变换、离散K-L变换
图像变换的作用
• 1）由于图像在变换域进行增强处理要比在
M −1 N −1
傅立叶变换的性质
1. 周期性： F(u,v)=F(u+aN,v+bN), f(x,y)=f(x+aN,y+bN) 2. 共轭对称性： f * ( x, y ) ⇔ F * (−u ,−v)
平均值
平均值定义：
1 f ( x, y ) = 2 N
∑∑ f ( x, y)
x =0 y =0
+∞
x(t)
1
h(t) 1/2 1 t 1 t
卷积定理： • 卷积定理：如果 x(t) 和 h(t) 的富里叶变换分别为 X(f) 和 H(f) ,则 则 x(t) * h(t) 的富里叶变换为 X(f)H(f)。即
h (t ) ∗ x (t ) ⇔ F ( f ) X ( f )
卷积定理的简单推导： • 卷积定理的简单推导：
四种低通滤波器的比较
同态滤波
可以把图像的灰度函数f (x, y)看成是由入射光分量和反射光分量两 部分组成的：
f ( x , y ) = i ( x, y ) r ( x, y )
i(x, y)：入射光 r(x, y)：反射光－－取决于物体的特性 物体的亮度特征主要取决于反射光 入射光较均匀，随空间位置变化较小～～占据低频段 反射光由于物体性质和结构特点不同而反射强弱很不相同的光，随 空间位置变化较剧烈 入射光～～占据低频段 反射光～～占据高频段比较宽的范围
ω = e − j 2π / N
空间信息描述
• 对于图像中在空间位置上具有一定延伸方
向、延伸距离、宽度以及反差等特点的信 息可以用以下模式描述： • 长距离、宽线条的形迹－－低频率 • 细小的边界、纹理、断裂－－高频率 • 介于两者之间的－－中频率
空间信息增强
• 空间域滤波是一种邻域处理方法 ，分为空
和理想圆形低通滤波器相比 没有明显的跳跃 模糊程度减少 尾部含有较多的高频，对噪声的平滑效果不如ILPF。
指数低通滤波器(ELPF)
H (u , v) = e
1 D ( u ,v ) ln 2 D0
n
有更加平滑的过渡带，平滑后的图象没有跳跃现象 与BLPF相比，衰减更快，经过ELPF滤波的图象比BLPF处理的图象 更模糊一些
狄里赫莱条件： （1）有有限个间断点； （2）有有限个极值点； （3）绝对可积； F( ) = ∫ 则有以下二式成立：
u
+∞
−∞
f ( x ) exp(− izπux )dx
f (x ) =
∫
+∞
−∞
F(u ) exp(− izπux )du
• 式中x为时域变量，u为频率变量，i为虚数单位 式中x为时域变量，u为频率变量，i
∫
+∞ −∞
y (t )e
− j 2 π ft
= =
∫ ∫ ∫
+∞
−∞ +∞
[∫
+∞
−∞
x (τ ) h ( t − τ ) d τ ] e − j 2 π ft dt
+∞
−∞ +∞
x (τ )[ ∫ x (τ )[ e
−∞
h ( t − τ ) e − j 2 π ft dt ] d τ
令σ =t-τ τ = =
BLPF、ELPF和TLPF的特性曲线
梯形低通滤波器(TLPF)
1 D (u , v ) − D 1 H (u , v) = D0 − D1 0 D (u, v) < D0 D0 ≤ D(u , v ) ≤ D1 D (u, v) > D1
其中D0 < D1。 一般情况下，定义D0为截止频率。
圆形低通滤波器作用 D0半径内的频率分量无损通过 园外的频率分量会被滤除 若滤除的高频分量中含有大量的边缘信息，会发生图像边缘模糊现象。
巴特沃思低通滤波器(BLPF) n阶巴特沃思低通滤波器的传递函数为：
H (u , v ) = 1 1 + [ D (u , v ) / D 0 ] 2 n
或者：
H (u, v) = 1 1 + ( 2 − 1)[D(u, v) / D0 ]2 n
u =0
N −1
= Fu−1{Fv−1[ F (u , v)]}
快速傅立叶变换
矩阵方程： • 矩阵方程：考虑离散傅立叶变换
X (n ) =
∑
N −1 k=0
x0 (k )e −
j 2 π nk / N
, n = 0 ,1 , ⋯ , N − 1
为方便表示， 上面的式子代表了 N 个方程的计算 ，为方便表示，我们 引入下面一个记号。 引入下面一个记号。
1 N
∑
y =0
N −1
f ( x, y )e − j 2π y / N
= Fy {Fx [ f ( x, y )]}
f ( x, y ) = ∑∑ F (u, v)e j 2π ( ux + vy ) / N
u =0 v =0 N −1 v =0 N −1 N −1
= ∑ e j 2πux / N ∑ F (u , v)e j 2πvy / N
E (u, v ) = R 2 (u, v ) + I 2 (u, v )
离散傅立叶变换
• 由于遥感图像是由灰度值组成的二维离散数据矩阵，对它
进行傅立叶变换就必须知道离散的傅立叶变换。 N −1 一维变换如下 1 − izπux F(u ) = ∑ f (x )exp
N
x =0

N
− j 2π fτ
−∞
∫
+∞
−∞
h (σ ) e − j 2 π fσ d σ ]d τ
H ( f )X ( f )
卷积运算的步骤
卷积积分的步骤： • 卷积积分的步骤：
1 折迭：把 h(τ) 相对纵轴作出其镜像 折迭： 2 位Biblioteka Baidu：把 h(-τ) 移动一个 t 值 位移： 3 相乘：将位移后的函数 h(t-τ) 乘以 x(τ) 相乘： 4 积分： h(t-τ) 和 x(τ) 乘积曲线下的面积即为 t 时刻的卷积值 积分：
傅立叶变换定义
• 函数的傅立叶变换通常是一个复数，它可
F( ) = R( ) + iI ( ) 表示如下 I F( ) 式中： 和( ) 分别是实部和虚部。 • 如果表示成指数形式则为：F( ) = F( ) exp[ϕ (u)] F( ) = R (u) + I (u) • 幅度函数被称为的傅立叶谱， ϕ (u ) = arctg [I (u ) / R( ) ] 而 为相角。傅立叶谱的平方： E = F = R (u ) + I (u ) ，一般称为的能量谱。
•
v2
v3
v2 v1 v1
• 如果n个非零向量，任意两个矢量的内积为零， 如果n
则n个矢量为为一正交系，彼此是线性独立或线 性无关。
空域与频域
• 一幅图像中像元的亮度值在空间上的差异与变化，
可以看作是复杂的波形，是由具有不同的振幅、 频率和相位的许多正弦或余弦波叠合而成。短距 离内的亮度变化相当于高频波，而长距离内的变 化相当于低频波。 频谱图像是空间图像的离散傅里叶变换，通常为 复数值。可以分解为波幅图像和相位图像。空间 频率信息的分布是按极坐标表示，任意一点到频 谱图像原点的距离代表该点空间频率的高低，而 与原点连线的方位角决定线性特征的走向，明暗 度表示相应频率上振幅大小
•
傅立叶变换
• 傅立叶变换是一种正交变换，它广泛地应
用于很多领域，取得了良好的效果。由于 它不仅能把空间域中复杂的卷积运算转化 为频率域中的乘积运算，还能在频率域中 简单而有效地实现增强处理和进行特征抽 取，故而在图像处理中也得到了广泛的应 用。
傅立叶变换定义
• 定义：令为实变量的连续函数，如果满足下面的 • • • •
空间域进行增强处理简单易行，因而可以 通过图像变换简单而有效地实现增强处理， 当然以增强为目的的变换处理，其结果还 需变换回空间域； • 2）通过图像变换可以对图像进行特征抽取。 例如利用图像的功率谱特征来分析提取图 像中的纹理信息。
正交变换 （1）正交的概念 • 两个矢量的点积为零时，称为两个矢量垂直
u u u
u
u
u
u
2
2
u
u
(u )
(u )
2
2
2
二维傅立叶变换
F(u ,v ) =
∫ ∫
+∞ +∞
−∞ −∞
f (x, y )exp[− izπ (ux + vy )]dxdy
F (u, v ) = R 2 (u, v ) + I 2 (u, v )
ϕ (u, v ) = arctg [I (u, v ) / R (u, v )]
图像： 取对数：
f ( x , y ) = i ( x, y ) r ( x, y )
z ( x, y ) = ln f ( x, y ) = ln i ( x, y ) + ln r ( x, y )
再取傅立叶变换 ：
Z (u, v) = I (u, v) + R (u, v)
用传递函数H(u, v)进行滤波处理 ：
IFFT exp
g(x,y) s(x,y)
卷积
卷积积分： • 卷积积分：如果函数 y(t) 满足下列关系式
y(t ) = ∫ x(t )h(t − τ )dτ = x(t ) ∗h(t )
−∞
则称函数 y(t) 为函数 x(t) 和 h(t) 的卷积 卷积积分的图解表示： • 卷积积分的图解表示：
S (u, v) = H (u , v) Z (u, v)
取傅立叶反变换，便可得空间域输出s(x, y) 最后，滤波后的结果为：
g ( x, y ) = e s ( x , y )
总结以上过程，同态滤波可以用下图来表示其计算过程：
f(x,y)
ln
z(x,y)
FFT
S(u,v) H(u,v) Z(u,v)
G (u, v) = F (u, v) H (u , v)
F(u, v)为含有噪声原图像的傅立叶变换 H(u, v)为低通滤波器的传递函数 G(u, v)为经低通滤波后输出图像的傅立叶变换
常用的频率域低通滤波器
理想圆形低通滤波器(ILPF)
1; D(u , v) ≤ D0 H (u , v) = 0; D(u , v) > D0 D0－－截止频率 D(u , v)－－(u , v)到原点的距离
域滤波和频域滤波 • 高通滤波－－实现高频信息的增强 • 低通滤波－－实现低频信息的增强 • 带通滤波－－增强中间频段的信息 • 定向滤波－－增强某些方向的形态特征
频率域滤波基本原理
频域处理则是在图像的某个变换域内，对图 像的变换系数进行运算，然后通过逆变换 获得图像增强效果。 在频率域内同样也可以进行滤波和边缘检测。 前者采用低通滤波器和同态滤波器，后者 一般借用高通滤波器实现
N −1 N −1
由傅立叶变换定义：
1 F (0,0) = 2 N
∑∑ f ( x, y)
x =0 y =0
N −1 N −1
因此，f(x,y)的平均值与傅立叶变换系数的关系为：
F (0,0) = f ( x, y )
可分离性
1 F (u , v) = N
∑e
x =0
N −1
− j 2π x / N
低通滤波器
基本原理 在傅立叶变换域，变换系数反映了图像的某些特征。 频谱的直流低频分量对应于图像的平滑区域，而外界叠加噪声对应于 频谱中频率较高的部分等。 构造一个低通滤波器，使低频分量顺利通过而有效地阻止高频分量， 即可滤除频域中高频部分的噪声，再经逆变换就可以得到平滑图像。 低通滤波器的表达形式 低通滤波用卷积表示为