极大似然估计的题库

1.设总体X 的概率密度函数是

1, 01

(;)0, x x f x a αα-⎧<<=⎨

⎩

其它 其中0α>为未知参数。12, , , n x x x 是一组样本值，求参数α

的最大似然估计。

解：似然函数1

111n

n

n i

i i i L x x αααα--===∏=∏

1

ln ln (1)

ln n

i

i L n x αα==+-∑

1

ln ln 0n

i i d L n x d αα==+=∑ 1

ˆln n

i

i n

x

α==-∑

2、设总体X 的概率密度函数是

1 01

(;)0 x x f x a αα⎧+<<=⎨

⎩（）其它

123,,,

,n x x x x 是一组样本值，求参数α的最大似然估计。

解：似然函数1

1

(1)(1)n

n

n

i i i i L x x α

ααα===∏+=+∏

1ln ln(1)ln n

i i L n x αα==++∑ 1

ln ln 01n

i i d L n

x d αα==+=+∑ 1

ˆ1ln n

i

i n

x

α

==--∑

3、设总体X 的概率密度函数是

22exp{}, 0

()0, x x x f x λλ⎧->=⎨⎩

其它

λ>0为未知参数，123,,,,n x x x x 是一组样本值，求参数λ的最大似然估计。

解：似然函数2

2

1

1

1

(2exp{})(2exp{})n

n

n

n

n i i i i

i i i L x x x x

λλλλ

====∏-=∏-∑

2

1

1

ln ln(2)ln n

n

i

i

i i L n x x

λλ===+

-∑∑

2

1

ln 0n i i d L n x d αλ==-=∑

21

ˆn

i

i n

x

α

==∑

4、设总体的概率密度函数是

233exp{}, 0

()0, x x x f x λλ⎧->=⎨

⎩其它

其中λ>0是未知参数，123,,,

,n x x x x 是一组样本值，求参数λ的最大似然估计。

解：似然函数23

2

3

1

1

1

(3exp{})(3exp{})n

n

n

n

n i

i i i

i i i L x x x x

λλλλ

====∏-=∏-∑

2

31

1

ln ln(3)ln n

n

i

i i i L n x

x λλ===+

-∑∑

3

1

ln 0n i i d L n x d αλ==-=∑ 31

ˆn

i

i n

x

λ==∑

5、设总体X 服从参数为

1

θ

的指数分布，123,,,,n x x x x 是一组样本值，求参数θ的最大似

然估计。 解： 1

1

1

1

1

1n

i

i i n

n

x x i L e

e

θ

θθ

θ=--∑=⎛⎫=∏

= ⎪⎝⎭

1

11ln ln n

i i L n x θθ=⎛⎫=-∑ ⎪⎝⎭

21ln 10n i i d L n x d θθθ==-+∑= 1

1ˆn

i i x x n θ==∑=

6、设总体X 的概率密度函数是

21

()2

(;), x f x x μμ--=-∞<<+∞

12,,,n x x x 是一组样本值，求参数μ的最大似然估计？

解：似然函数

()(

)

()2122

11

1exp 2i n

n

x i n

i i L x μμ--==⎧⎫==

-∑-⎨⎬⎩⎭

()2

11ln ln 2()22n i i n L x πμ==--∑-

1

ln ()0n i i d L x d μμ==∑-= 11ˆn

i i x x n μ

==∑=

7、设总体X 服从（1）参数为λ的泊松分布()!

x

P e x λλλ-=

（x =0，1， ），其中0λ>为

未知参数，（2）0-1概率分布为1-P{= }=(1-),0,1x

x

X x p p x =；（3）正态分布),(2

σμN ；

（4）参数为λ的指数分布

123,,,,n x x x x 是一组样本值，求对应参数最大似然估计。

思考以下三个问题

（1）求最大似然估计值还是最大似然估计量？ （2）对所得的估计量证明是否无偏估计量？

（3）给定具体一组观察值的结果，是否可以得到具体的最大似然估计值。