平面向量经典习题-提高篇

平面向量：

1. 已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2,0)，若向量λa ＋b 与向量c ＝(1，－2)共

线，则实数λ等于( ) A ．－2

B ．－13

C ．－1

D ．－23

[答案] C

[解析] λa ＋b ＝(λ，2λ)＋(2,0)＝(2＋λ，2λ)， ∵λa ＋b 与c 共线，

∴－2(2＋λ)－2λ＝0，∴λ＝－1.

2. (文)已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0,1)，c ＝(k ，3)，若a ＋2b 与c 垂直，则k ＝( ) A ．－1 B ．－3 C ．－3 D ．1

[答案] C

[解析] a ＋2b ＝(3，1)＋(0,2)＝(3，3)， ∵a ＋2b 与c 垂直，∴(a ＋2b )·c ＝3k ＋33＝0， ∴k ＝－3.

(理)已知a ＝(1,2)，b ＝(3，－1)，且a ＋b 与a －λb 互相垂直，则实数λ的值为( )

A ．－611

B ．－116

C.6

11

D.

11

6

[答案] C

[解析] a＋b＝(4,1)，a－λb＝(1－3λ，2＋λ)，∵a＋b与a－λb垂直，

∴(a＋b)·(a－λb)＝4(1－3λ)＋1×(2＋λ)＝6－11λ＝0，∴λ＝6

11

.

3.设非零向量a、b、c满足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，则向量a、b

间的夹角为( )

A．150° B．120°

C．60° D．30°

[答案] B

[解析] 如图，在▱ABCD中，

∵|a|＝|b|＝|c|，c＝a＋b，∴△ABD为正三角形，

∴∠BAD＝60°，∴〈a，b〉＝120°，故选B.

(理)向量a，b满足|a|＝1，|a－b|＝

3

2

，a与b的夹角为60°，

则|b |＝( )

A.12

B.1

3 C.1

4 D.15

[答案] A

[解析] ∵|a －b |＝32，∴|a |2＋|b |2

－2a ·b ＝34，

∵|a |＝1，〈a ，b 〉＝60°，

设|b |＝x ，则1＋x 2

－x ＝34，∵x >0，∴x ＝1

2

.

4. 若AB

→·BC →＋AB →2＝0，则△ABC 必定是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰直角三角形

[答案] B

[解析] AB →·BC →＋AB →2＝AB →·(BC →＋AB →)＝AB →·AC →＝0，∴AB →⊥AC

→， ∴AB ⊥AC ，∴△ABC 为直角三角形．

5. (文)若向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，c ＝(－2,4)，则用a ，b 表示c 为( ) A ．－a ＋3b B ．a －3b C ．3a －b D ．－3a ＋b [答案] B

[解析] 设c ＝λa ＋μb ，则(－2,4)＝(λ＋μ，λ－μ)，

∴⎩⎪⎨⎪⎧ λ＋μ＝－2λ－μ＝4，∴⎩⎪⎨⎪⎧

λ＝1μ＝－3

，∴c ＝a －3b ，故选B. (理)在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ，若AC →＝a ，BD →＝b ，则AF →等于( )

A.14a ＋12b

B.23a ＋13b

C.12a ＋14b

D.13a ＋23

b [答案] B

[解析] ∵E 为OD 的中点，∴BE →＝3ED →， ∵DF ∥AB ，∴|AB ||DF |＝|EB |

|DE |

，

∴|DF |＝13|AB |，∴|CF |＝23|AB |＝2

3|CD |，

∴AF →＝AC →＋CF →＝AC →＋23CD →＝a ＋23

(OD →－OC →)

＝a ＋23(12b －12a )＝23a ＋13

b .

6. 若△ABC 的三边长分别为AB ＝7，BC ＝5，CA ＝6，则AB →·BC →的值为( ) A ．19 B ．14 C ．－18 D ．－19

[答案] D

[解析] 据已知得cos B ＝72＋52－622×7×5＝1935

，故AB

→·BC →＝|AB →|×|BC →|×(－cos B )＝7×5×⎝ ⎛⎭

⎪⎪⎫－1935＝－19. 7. 若向量a ＝(x －1,2)，b ＝(4，y )相互垂直，则9x ＋3y 的最小值为( )

A ．12

B ．23

C ．3 2

D ．6

[答案] D

[解析] a ·b ＝4(x －1)＋2y ＝0，∴2x ＋y ＝2，∴9x ＋3y ＝32x ＋3y

≥23

2x ＋y

＝6，等号在x ＝1

2

，y ＝1时成立．

8. 若A ，B ，C 是直线l 上不同的三个点，若O 不在l 上，存在实数

x 使得x 2OA →＋xOB →＋BC →＝0，实数x 为( ) A ．－1 B ．0 C.－1＋5

2

D.1＋52

[答案] A

[解析] x2OA→＋xOB→＋OC→－OB→＝0，∴x2OA→＋(x－1)OB→＋OC→＝0，由向量共线的充要条件及A、B、C共线知，1－x－x2＝1，∴x＝0或－1，当x＝0时，BC→＝0，与条件矛盾，∴x＝－1.

9.(文)已知P是边长为2的正△ABC边BC上的动点，则AP→·(AB→＋

AC→)( )

A．最大值为8 B．最小值为2

C．是定值6 D．与P的位置有关

[答案] C

[解析] 以BC的中点O为原点，直线BC为x轴建立如图坐标系，则B(－1,0)，C(1,0)，A(0，3)，AB→＋AC→＝(－1，－3)＋(1，－3)＝(0，－23)，

设P(x,0)，－1≤x≤1，则AP→＝(x，－3)，

∴AP→·(AB→＋AC→)＝(x，－3)·(0，－23)＝6，故选C.

(理)在△ABC中，D为BC边中点，若∠A＝120°，AB→·AC→＝