2019年南昌市高中数学竞赛试卷及答案详解8页word文档

2019年南昌市高中数学竞赛试卷

6月29日上午8:30 — 11:00

【说明】：凡是题号下标志有“高一”的，为高一考生试题；题号下标志有“高二”的，为高二考生试题；凡未作这种标志的，则为全体考生试题

一、填空题（每小题10分，共80分）

1、将全体正整数自小到大一个接一个地顺次写成一排，则从左至右的第2013个数字

是 ．

2、

（高一）设等比数列{}n a 的前n 项和315n

n S ⎛⎫

=- ⎪⎝⎭

，则其公比q = ． （高二）若自椭圆中心到焦点、长轴顶点、以及到准线的距离之长可以组成一个直角三角形，则该椭圆的离心率是 ．

3、

（高一）等差数列1,5,9,,2013L 与3,8,13,,2013L 的相同的项之和为 ． （高二）正四棱锥P ABCD -中，5,6PA AB ==，

M 是PAD ∆的重心，则四面体MPBC 的体积是 ．

4、

（高一）满足2

4312

x x x -+=-的实数x 的集合是 { }．

（高二）函数4sin 3cos x

y x

-=

-的最大值是 ．

5、若a 为正数，[]a 表示a 的整数部分，而{}[]a a a =-，如果,[],{}a a a 顺次组成等

比数列，则a = ．

6、

（高一）,,a b c 是不同的正整数，若集合{}{}222,,,(1),(2)a b b c c a n n n +++=++， n 为正整数，则222a b c ++的最小值是 ．

7、函数2013

1

()k f x x k ==-∑的最小值是 ．

8、若sin sin sin αβγ+=，cos cos cos αβγ+=-，则

二、解答题（共70分）

9、

（20分）如图，过ABC ∆的三个顶点,,A B C 各作其外接圆的切线，分别与相应顶点的对边所在直线相交，证明：三个交点,,D E F 共线．

10、

（25分）数列{}n a 满足：111

11,1n

n k k a a a n +===+∑， (1)、写出数列前7个项的值； (2)、对任意正整数n ，求n a 的表达式．

11、

（25分）盒中装有红色和蓝色纸牌各100张，每色纸牌都含标数为299

1,3,3,,3L 的牌各一张，两色纸牌的标数总和记为S ；

对于给定的正整数n ，若能从盒中取出若干张牌，使其标数之和恰为n ，便称为一种取牌_n 方案，不同的_n 方案种数记为()f n ；

试求(1)(2)()f f f S +++L 之值．

2019年南昌市高中数学竞赛试题解答

【说明】：凡是题号下标志有“高一”的，为高一考生试题；题号下标志有“高二”的，为高二考生试题；凡未作这种标志的，则为全体考生试题

一、填空题（每小题10分，共80分）

1、将全体正整数自小到大一个接一个地顺次写成一排，则从左至右的第2013个数字

是 ．

答案：7．

解：全体一位数共占据9个数位，全体两位数共占据290180⨯=个数位，接下来是顺次排列的三位数，由于201391801824--=，而

1824

6083

=，因60899707+=，所以第2013个数字是三位数707的末位数字，即为7．

2、

（高一）设等比数列{}n a 的前n 项和315n

n S ⎛⎫

=- ⎪⎝⎭

，则其公比q = ． 答案：

35

． 解：1125a S ==-，当2n ≥时，1

12355n n n n a S S --⎛⎫

=-=-⋅ ⎪

⎝⎭

，

（高二）若自椭圆中心到焦点、长轴顶点、以及到准线的距离之长可以组成一个直角三

角形，则该椭圆的离心率是 ．

解：由2

222a c a c ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，得2c ab =，又据222c b a +=，得22

ab b a +=，所以

12a b +=，则2212a a ab c b =⋅=⋅，所以c e a

==． 3、

（高一）等差数列1,5,9,,2013L 与3,8,13,,2013L 的相同的项之和为 ． 答案：102313．

解：等差数列(1,5,9,,2013)A =L ，(3,8,13,,2013)B =L 的第一个相同项是13，最

后一个相同项是2013，而A 以4为公差，B 以5为公差，所以，A B I 构成以13为首项，

2013为末项，且公差为20的等差数列，公共项个数为201313

110120

n -=

+=，所以公共项的和为S =

101(132013)

1023132

+=．

（高二）正四棱锥P ABCD -中，5,6PA AB ==，M 是PAD ∆的重心，则四面体

MPBC 的体积是 ．

答案：．

解：设PM 交AD 于N ，则2

22162AD PN PA ⎛⎫

=-= ⎪⎝⎭，所以4PN =；若PH 是四

棱锥的高，则2

2

2

72AB PH PN ⎛⎫

=-= ⎪⎝⎭

，PH =ABCD 面积为36，所以，

NBC ∆的面积为18，故四面体P NBC -

体积为1

183

PNBC V =⨯=，

又由13MN PN =，

所以四面体M NBC -

体积为13

MNBC PNBC V V ==，于是四面体MPBC

的体积为：MPBC PMBC MNBC V V V =-=．

4、

（高一）满足2

4312

x

x x -+=-的实数x 的集合是 { }．

答案：⎪⎪⎩⎭

． 解：数形结合，将其视为求243y x x =-+ 与12

x

y =

-交点的横坐标，如图；由于 243(1)(3)x x x x -+=--，仅当2x >时，

102

x

y =

->，此时方有交点， 当23x <<，2

2

43(43)x x x x -+=--+，由2

(43)12

x

x x --+=

-

得74x +=

， 当3x >，224343x x x x -+=-+，2

4312

x

x x -+=

-

，得94x +=

． （高二）函数4sin 3cos x

y x

-=

-的最大值是 ．