一元二次方程的应用——几何问题
一元二次方程在几何图形中的应用
（3）△PBQ的面积的
最大值是多少?
二、问题探究
问题3：矩形ABCD中，AB=12cm ,BC=6cm， 点P从A出发，沿AB边以2cm/s的速度向点B匀速 移动，同时点Q从点D出发，沿DA边以1cm/s的 速度向点A匀速移动，当其中一点到达终点时， 另一点也随之停止运动．设运动时间为 t s． （1）t为何值时，△CPQ的面积等于28cm2； （2）若CP⊥PQ时，求t的值． t (3)几秒时CPQ是 直角三角形? (4)几秒时△CPQ是
2t
等腰三角形?
通过三、问题应用
问题4：已知有一边为5cm的正方形ABCD和等 腰三角形PQR，PQ=PR=5cm， QR 5 2 cm , 点 B、C、Q、R在同一直线l上，当C、Q两点重合 时，等腰三角形PQR以1cm/s的速度沿直线l按箭 头方向匀速运动． （1）当正方形ABCD与等腰三角形PQR重合部 分的面积为5，求时间t． （2）若重合部分面积为7，求t值.
A B
P
D Q C
等腰直角△ABC的直角边AB=BC=10cm，点P， Q分别从A，C两点同时出发，均以1cm/秒的相 同速度做直线运动，已知P沿射线AB运动，Q 沿边BC的延长线运动，PQ与直线AC相交于点 D，设P点运动时间为t，△PCQ的面积为S． （1）当t=5s时，求线段PQ的长； （1）求出S关于t的函数关系式． （2）当点P运动几秒时， S= 6 /25S△ABC？
一元二次方程在 几何图形中的应用
钟吾初中 南成喜
一、问题情境：
按如图所示折叠： 问题1：如图，矩形纸片ABCD，AB=12， BC=6，将矩形纸片折叠使点C落在AB边上点M 处，折痕为EF， 若EF=10，且CE=2CF时，则BF的长为 。
一元二次方程的应用-几何问题数学九年级上册同步教学课件(人教版)
D.x2+3x+16=0
21.3.3 一元二次方程的应用（几何问题）
3. 如图所示，在△ABC中，∠C=90°， AC=6cm，BC=8cm.点P
沿AC边从点A向终点C以1cm/s的速度移动；同时点Q沿CB边从 点C向B以2cm/s的速度移动，且当其中一点到达终点时，另一点 也随之停止移动.问点P，Q出发几秒后可使△PCQ的面积为9 cm²？
21.3.3 一元二次方程的应用（几何问题）
变式 如图，要利用一面墙 (墙长为 25 m) 建羊圈，用 80 m 的
围栏围成面积为 600 m2 的矩形羊圈，则羊圈的边 AB 和 BC 的
长各是多少米？
25 m
解：设 AB 的长是 x m. 列方程，得
A
D
(80 − 2x)x = 600.
整理得 x2 − 40x + 300 = 0，
方法点拨
我们利用“图形经过移动，它的面积大小不会改变”的 性质，把纵、横两条路移动一下，使列方程容易些（目的是 求出小路的宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修路）.
21.3.3 一元二次方程的应用（几何问题）
例2 如图，要利用一面墙(墙足够长)建羊圈，用 58 m的围栏围
成面积为 200 m2 的矩形羊圈，则羊圈的边 AB 和 BC 的长各是
B
C
解得 x1 = 10，x2 = 30. 当 x = 10 时，80 − 2x = 60 > 25(舍去)；
当 x = 30 时，80 − 2x = 20 < 25.
答：羊圈的边 AB 和 BC 的长各是 30 m，20 m.
21.3.3 一元二次方程的应用（几何问题）
变式 如图，一农户要建一个矩形鸡场，鸡场的一边利用长为 12
北师大版九年级数学上册第二章 一元二次方程1一元二次方程的应用——几何问题
−
的长为b,则S能形ABCD= ×b.
知识点 2：动态几何问题(难点)
1.关键：“以静代动”，把动的点进行转换，用时间表示长度.
2.方法：时间变路程.
3.求“动点的运动时间”可以转化为求“动点的运动路程”，也
就是求线段的长度.
4.常找的数量关系——面积、勾股定理等.
九年级北师上册
6 应用一元二次方程
第1课时 一元二次方程的应用——几何问题
1.通过阅读课本可以根据实际面积问题中的等量关系
列出方程，提高学生的应用意识
2.通过归类面积问题的题型，构建解决面积问题的数
学模型，发展学生的建模能力.
3.经历分析具体问题中的数量关系、建立方程模型并
解决问题的过程，进一步体会方程是刻画现实世界
AB 边向点 B 以 1厘米/秒的速度移动，点 Q从点 B 开始沿BC 边向
点C 以2 厘米/秒的速度移动，如果 P、Q分别从A、B同时出发，其
中一点到达终点后两点均停止运动.
(1)经过几秒，△PBQ的面积等于8平方厘米?
解：(1)设运动时间为t秒( ≤ ≤ ,由题意得， = ሺ
准备在每两幢楼房之间，开辟面积为900 平方米的一块
矩形绿地，并且长比宽多10 米，那么绿地的长和宽各
为多少？
栽种鲜花(如图中阴影部分),原空地一边减少了1 m,另一边减少了2
m,剩余空地的面积为18 m²,求原正方形空地的边长.设原正方形空
地的边长为x m,则可列方程为(
A
)
A.(x-1)(x-2)=18
B.x²-3x+16=0
C.(x+1)(x+2)=18
17.5一元二次方程的应用---几何图形问题预习材料和课堂作业
18.1勾股定理 预习材料班级： 姓名： 主备人：张亚光 审核人：关海滨 时间：预习目标：1.使学生会用列一元二次方程的方法解有关面积、体积方面的应用问题．2.进一步培养学生化实际问题为数学问题的能力和分析问题解决问题的能力，培养用数学的意识。
预习检测：一、复习巩固1. 列方程解应用题的一般步骤是：（1） （2） （3） （4）（5） （6）二．自我检测1. 如图，一块长方形铁皮的长是宽的2倍，四角各截去一个相等的小正方形，制成高是5cm ，容积是500 3cm 的长方体容器，求这块铁皮的长和宽．2 .现有长方形纸片一张，长19cm ，宽15cm ，需要剪去边长是多少的小正方形才能做成底面积为77cm 2的无盖长方体型的纸盒？新课标第一网3、有一张长方形的桌子，长6尺，宽3尺，有一块台布的面积是桌面面积的二倍，并且铺在桌面上时，各边垂下的长度相同，求台布的长和宽各是多少？（只列不解）4、有一张长为80cm ，宽为60cm 的薄钢片，在4个角上截去相同的4个边长为的小正方形，然后做成底面积为1500cm 3 无盖的长方体盒子。
求截去小正方形的边长。
预习的困惑和今天的学习的心得和困惑：18.1勾股定理课堂作业班级：姓名：主备人：张亚光审核人：关海滨时间：一、基础题：1. 如图所示，在一个长为５０米，宽为３０米的矩形空地上，建造一个花园，要求花园的面积为1125平方米，白色部分时花坛，黑色部分是等宽且互相垂直的两条路。
求路的宽度。
2、有一张长40cm，宽25cm的长方形硬纸片，裁去角上四个小正方形之后，折成如图那样的无盖纸盒，若纸盒的底面积是4502cm，那么纸盒的高是多少？二．应用与拓展要建一个面积为150m2的长方形养鸡场，养鸡场的一边靠着原有的一面墙，•如图，墙长为am，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长为35m．①求养鸡场的长与宽；②当a<15或15≤a<20或a≥20时，求养鸡场的长与宽．（2）若（1）题变为：如图（2），有一面积为150m2的长方形养鸡场，养鸡场的一边靠墙，墙长18m，墙对面有一个宽为2m的门，另三边（门除外）用33m的竹篱笆围成，求养鸡场的长与宽．。
一元二次方程与实际问题-几何问题
22.3 一元二次方程的实际应用学案——几何图形问题知识技能1.能根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型．2.2.能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理．数学思考经历将实际问题抽象为代数问题的过程，探索问题中的数量关系，并能运用一元二次方程对之进行描述。
解决问题通过解决封面设计与草坪规划的实际问题，学会将实际应用问题转化为数学问题，体验解决问题策略的多样性，发展实践应用意识．情感态度通过用一元二次方程解决身边的问题，体会数学知识应用的价值，提高学生学习数学的兴趣，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用．重难点、关键重点：列一元二次方程解有关问题的应用题难点：发现问题中的等量关系关键：根据面积与面积之间的等量关系建立一元二次方程的数学模型一、 复习引入常见的几何图形的面积公式：（1）矩形的面积＝长× ； （2）正方形的面积＝（3）三角形的面积＝21×底× ； （4）梯形的面积＝21×（ ）×高； （5）．圆的面积公式是什么？二、 探索新知1、一个正方形的面积为362m ，若设正方形的边长为x m ，则列出方程为2、要使一块长方形场地的面积为162m ，并且长比宽多6 m ， 若设长方形场地的宽为x m ，则长为 ，根据题意，列出方程为3、一个直角三角形两条直角边相差3cm ，面积为92cm ，若设较短的直角边长为xcm ，则较长的直角边长为 ，根据题意，列出方程为 三、例题选讲：例1、在长为60cm ，宽为40cm 的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，折成一个无盖的长方体水槽，使它的底面积为8002cm ，求所截去小正方形的边长。
解：设所截去小正方形的边长为x cm ，则底面长方形的长为 ，宽为 ，根据题意，得答：例2、生物小组有一块长32m ，宽20m 的矩形试验地，为了管理方便，准备沿平行于两边的方向纵、横各开辟一条等宽的小道．要使种植面积为5402m ，小道的宽应是多少？解：设小道的宽为x m ，根据题意，得把两条道路平移到靠近矩形的一边上，用含x 的代数式表示草坪的长为米，宽为 米，根据草坪的面积为300平方米可列出方程 。
一元二次方程解决几何问题
一元二次方程解决几何问题
一元二次方程是一种形式为ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b和c是实数，而x是未知数。
它可以用于解决许多几何问题，如以下几个例子：
1. 高度和时间问题：假设一颗物体从一个高度h开始自由下落，利用物体的自由落体运动公式可以得到一个关于时间t的二次方程，通过解方程可以确定物体落地的时间点。
2. 路程和时间问题：假设一个物体以某个速度v在直线上运动，利用物体的匀速运动公式可以得到一个关于时间t的一次方程，通过解方程可以确定物体达到某个距离的时间点。
3. 面积问题：对于某些几何图形，如矩形、正方形和圆等，可以通过设定面积为某个值的条件，建立相应的二次方程来求解图形的尺寸。
这只是一些常见的例子，实际上，一元二次方程在几何问题中具有广泛的应用。
一元二次方程应用题(几何图形面积问题)
解题思路
假设长方形的长为l，宽为w， 通过列方程建立方程组，然后 求解得出面积。
解答与解析
通过解方程组，得出长方形的 长、宽和面积的具体数值，详 细解析计算过程和答案。
实例3 ：三角形面积问题
问题提出
已知直角三角形的斜边长度为c， 某一直角边的长度为a，求三角形 的面积。
解题思路
根据已知条件，利用勾股定理和三 角形面积公式建立方程，然后求解 得出面积。
一元二次方程应用题(几 何图形面积问题)
本演示将介绍一元二次方程的应用，特别是在解决几何图形面积问题时的应 用。通过精彩的实例和深入的讲解，帮助你全面理解和掌握这一知识点。
一元二次方程介绍
简要介绍一元二次方程的概念、形式和解法方法，以及元二次方程解决几何图形的面积问题，通过代入、求解方程， 计算各种图形的面积。
解答与解析
通过解方程和应用三角形面积公式， 得出三角形的面积的具体数值，详 细解析计算过程和答案。
总结与实践建议
总结一元二次方程在解决几何图形面积问题中的应用要点，并提供一些建议和实践步骤，以帮助你更好地掌握这一 知识。
实例1：正方形面积问题
1
问题提出
给定正方形的对角线长度为d，求正方形的面积。
2
解题思路
假设正方形的边长为x，利用勾股定理建立方程，然后求解得出面积。
3
解答与解析
通过解方程，得出正方形的边长和面积的具体数值，详细解析计算过程和答案。
实例2 ：长方形面积问题
问题提出
已知长方形的周长为P，求长方 形的面积。
一元二次方程与实际问题的公式
一元二次方程与实际问题的公式一、引言在数学学科中，一元二次方程是一种经典的数学概念。
它在代数学和实际问题中有着重要的应用。
本文将深入探讨一元二次方程及其在实际问题中的应用，帮助读者更加全面地理解这一数学概念。
二、一元二次方程的基本形式和求解方法一元二次方程通常写作ax²+bx+c=0的形式，其中a、b和c是已知的常数，而x是未知数。
解一元二次方程可以使用因式分解、配方法和求根公式等方法。
这些方法能够帮助我们找到方程的根，进而解决各种实际问题。
三、一元二次方程在几何中的应用以一元二次方程为基础的二次函数能够描述抛物线的形状。
抛物线在现实生活和几何中都有广泛的应用，比如天文学中的行星运动轨迹、物理学中的抛体运动等。
一元二次方程在几何中有着重要的地位。
四、一元二次方程在经济学中的应用在经济学中，成本、收益和利润往往是与生产量或销售量相关的。
这些关系通常可以用一元二次方程来描述。
通过求解一元二次方程，我们可以找到最大化利润或最小化成本的最优解，这对企业经营和管理有着重要的指导意义。
五、一元二次方程在物理学中的应用在物理学中，一元二次方程经常出现在描述运动、力学和波动等方面。
比如自由落体运动、弹簧振动系统的频率等问题，都可以用一元二次方程来建模和求解。
六、总结与展望通过对一元二次方程的深入探讨，我们可以看到它在数学、几何、经济学和物理学中都有着广泛的应用。
它不仅是一种抽象的数学概念，更是解决实际问题的有力工具。
希望本文能够帮助读者更好地理解一元二次方程及其在实际问题中的应用，让数学变得更加具体和生动。
七、个人观点在我看来，数学中的一元二次方程不仅是一种工具，更是一种思维方式。
通过对实际问题的抽象和建模，我们可以运用数学的知识和方法来解决各种复杂的问题。
我认为掌握一元二次方程及其应用是非常重要的。
希望读者能够通过本文的阅读，对一元二次方程有更深入的理解和应用。
通过本文对一元二次方程的探讨，我们可以深刻地理解这一数学概念所蕴含的丰富内涵。
用一元二次方程解几何问题
为7x cm,依题意得
(27 18x)(21 14x) 3 27 21 4
解得
x1
6
3 4
3
(不合意，舍去)，x2
=
6—3 4
3
∴上、下边衬的宽均为 1.8 cm ，左、右
边衬的宽均为 1.4 cm
感悟新知
思考：如果换一种设未知数的方法，是否可以更简单
地解决上面的问题? 请你试一试．
解： 设正中央的矩形两边长分别为9x cm，7x cm.
认知基础练
6 用配方法解一元二次方程x2＋2x－1＝0， 可将方程配方为( A ) A．(x＋1)2＝2 B．(x＋1)2＝0 C．(x－1)2＝2 D．(x－1)2＝0
认知基础练
3 【2020·贵阳十七中期中】将代数式x2－10x＋5配方 后，发现它的最小值为( B ) A．－30 B．－20 C．－5 D．0
方法技巧练
【点拨】根据a2＋b2＝12a＋8b－52，可以求得a，b的 值 ， 由 a ， b ， c 为 正 整 数 且 是 △ABC 的 三 边 长 ， c 是 △ABC的最短边长，即可求得c的值．
方法技巧练
解：将已知等式两边同时加上 2， 得 x2＋x12＋2＋2x＋1x＝2， 即x＋1x2＋2x＋1x＝2. 设 x＋1x＝y，则x＋1x2＋2x＋1x＝2 可化为 y2＋2y ＝2.配方，得 y2＋2y＋1＝2＋1，∴(y＋1)2＝3.
方法技巧练
开平方，得 y＋1＝± 3. 解得 y1＝ 3－1，y2＝－ 3－1. ∴x＋1x＝ 3－1 或 x＋1x＝－ 3－1. 经检验，不存在实数 x 使 x＋1x＝ 3－1，故舍去． ∴x＋1x＝－ 3－1.
认知基础练
2 将代数式a2＋4a－5变形，结果正确的是( D ) A．(a＋2)2－1 B．(a＋2)2－5 C．(a＋2)2＋4 D．(a＋2)2－9
一元二次方程的应用-几何应用
第11课时一元二次方程的应用(2）——几何应用姓名________ 1．如图，将边长为2cm的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移，得到△A′B′C′，若两个三角形重叠部分的面积为1cm2，则它移动的距离AA′等于多少?2．如图，要设计一幅宽20cm,长30cm的图案，其中有两横两竖的彩条，横竖彩条的宽度比为2：1，如果要使彩条所占面积是图案面积的1975，则竖彩条宽度为多少？3．利用一面墙（墙的长度不限)，另三边用58m长的篱笆围成一个面积为200m2的矩形场地，求矩形的长和宽．4．用一条长为60cm的绳子围成一个面积为acm2的长方形，a的值不可能为（）A．240 B．225 C．60 D．305．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=8cm，BC=6cm．动点P,Q分别从点A,B同时开始移动，点P的速度为1cm/秒,点Q的速度为2cm/秒，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动．几秒后△PBQ的面积为15cm2？6．如图所示，在△ABC中，∠B=90°,AB=6cm，BC=3cm，点P以1cm/s的速度从点A开始沿边AB向点B 移动，点Q以2cm/s的速度从点B开始沿边BC向点C移动，如果点P、Q分别从点A、B同时出发,多少秒后P、Q之间的距离等于42cm．7．在平面直角坐标系xOy中，过原点O及点A（0,2）、C（6，0）作矩形OABC，∠AOC的平分线交AB 于点D．点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线OD方向移动;同时点Q从点O出发,以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向移动．设移动时间为t秒，当t为多少时，△PQB为直角三角形．8．直角△ABC中,斜边AB=5，直角边BC、AC之长是一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x+4（m﹣1)=0的两根，求则m的值．9．等腰△ABC的直角边AB=BC=10cm，点P、Q分别从A、C两点同时出发,均以1cm/秒的相同速度作直线运动，已知P沿射线AB运动，Q沿边BC的延长线运动，PQ与直线AC相交于点D．设P点运动时间为t，△PCQ的面积为S．（1）求出S关于t的函数关系式；（2）当点P运动几秒时，S△PCQ=S△ABC？（3)作PE⊥AC于点E，当点P、Q运动时，线段DE的长度是否改变？证明你的结论．10．某小区在绿化工程中有一块长为18m、宽为6m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，使它们的面积之和为60m2,两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道(如图所示)，求人行通道的宽度．11．如图,四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a,b,c是Rt△ABC和Rt△BED边长，易知，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．请解决下列问题：（1)写出一个“勾系一元二次方程";（2）求证：关于x的“勾系一元二次方程”必有实数根;（3）若x=﹣1是“勾系一元二次方程”的一个根,且四边形ACDE的周长是6,求△ABC 面积．12．已知：如图，在△ABC中,∠B=90°，AB=5cm，BC=7cm．点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动,点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．（1）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于6cm2？（2)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于5cm？（3)在（1）中，△PQB的面积能否等于8cm2?说明理由．13．如图，四边形ABCD为矩形，AB=16cm．AD=6cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/s 的速度向B点移动,一直到达B点为止，点Q以2cm/s的速度向D点移动．（1)P、Q两点从出发开始到几秒时，四边形PBCQ的面积为33cm2？(2)P、Q两点从出发开始到几秒时，点P和点Q之间的距离第一次是10cm？（3）在运动过程中,点P和点Q之问的距离可能是18cm吗?如果可能,求出运动时间t，如果不可能，请说明理由．（2取1.4）14．如图，在矩形ABCD中，BC=20cm，P、Q、M、N分别从A、B、C、D出发沿AD，BC，CB，DA方向在矩形的边上同时运动,当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止．已知在相同时间内,若BQ=xcm（x≠0），则AP=2xcm，CM=3xcm，DN=x2cm．（1）当x为何值时，以PQ，MN为两边，以矩形的边(AD或BC)的一部分为第三边构成一个三角形; （2）当x为何值时，以P、Q、M、N为顶点的四边形是平行四边形；（3)以P、Q、M、N为顶点的四边形能否为等腰梯形？如果能,求x的值；如果不能，请说明理由．参考答案1．【解答】解：设CD与A′C′交于点H,AC与A′B′交于点G,由平移的性质知，A′B′与CD平行且相等，∠ACB′=45°，∠DHA′=∠DA′H=45°，∴△DA′H是等腰直角三角形，A′D=DH，四边形A′GCH是平行四边形，∵S A′GCH=HC•B′C=（CD﹣DH）•DH=1,∴DH=A′D=1,∴AA′=AD﹣A′D=1．故答案为1．2．【解答】解：设竖彩条的宽为xcm，则横彩条的宽为2xcm，则（30﹣2x）（20﹣4x）=30×20×（1﹣），整理得：x2﹣20x+19=0，解得：x1=1，x2=19（不合题意，舍去）．答:竖彩条的宽度为1cm．3．x（58﹣2x）=200解得：x1=25，x2=4∴另一边为8米或50米．答：当矩形长为25米时宽为8米，当矩形长为50米时宽为4米．4．【解答】解：设围成面积为acm2的长方形的长为xcm，则宽为（60÷2﹣x）cm,依题意，得x（60÷2﹣x)=a，整理，得x2﹣30x+a=0，∵△=900﹣4a≥0，解得a≤225，∴a的值不可能为240；5．【解答】解：设动点P,Q运动t秒后，能使△PBQ的面积为15cm2，则BP为（8﹣t)cm,BQ为2tcm，由三角形的面积计算公式列方程得,×（8﹣t）×2t=15,解得t1=3，t2=5（当t=5时，BQ=10，不合题意,舍去)．答：动点P，Q运动3秒时,能使△PBQ的面积为15cm2．6．【解答】解：设点P、Q分别从点A、B同时出发，xs后P、Q之间的距离等于4cm, ∵AP=1•x=x，BQ=2x，∴BP=AB﹣AP=6﹣x，∴BP2+BQ2=PQ2，即（6﹣x）2+（2x）2=（4）2，解得:x1=,x2=2（不合题意,舍去）．答:点P、Q分别从点A、B同时出发,s后P、Q之间的距离等于4cm．7．【解答】解:作PG⊥OC于点G，在Rt△POG中，∵∠POQ=45°，∴∠OPG=45°,∵OP=t，∴OG=PG=t,∴点P（t，t），又∵Q（2t，0)，B（6,2），根据勾股定理可得：PB2=（6﹣t）2+（2﹣t）2，QB2=（6﹣2t）2+22，PQ2=（2t﹣t）2+t2=2t2，①若∠PQB=90°，则有PQ2+BQ2=PB2，即:2t2+[(6﹣2t）2+22］=（6﹣t)2+（2﹣t）2，整理得：4t2﹣8t=0，解得：t1=0(舍去）,t2=2，∴t=2，②若∠PBQ=90°，则有PB2+QB2=PQ2,∴[（6﹣t）2+（2﹣t）2］+[（6﹣2t）2+22]=2t2，整理得:t2﹣10t+20=0，解得：t=5±．∴当t=2或t=5+或t=5﹣时，△PQB为直角三角形．故答案为：2或5+或5﹣．8．【解答】解：如图．设BC=a,AC=b．根据题意得a+b=2m﹣1，ab=4（m﹣1）．由勾股定理可知a2+b2=25，∴a2+b2=（a+b)2﹣2ab=(2m﹣1）2﹣8（m﹣1）=4m2﹣12m+9=25，∴4m2﹣12m﹣16=0，即m2﹣3m﹣4=0，解得m1=﹣1，m2=4．∵a+b=2m﹣1＞0，即m＞，∴m=4．故答案为:4．9．【解答】解:（1）当t＜10秒时，P在线段AB上，此时CQ=t，PB=10﹣t∴当t＞10秒时，P在线段AB得延长线上，此时CQ=t，PB=t﹣10∴(2）∵S△ABC=∴当t＜10秒时，S△PCQ=整理得t2﹣10t+100=0无解（6分）当t＞10秒时，S△PCQ=整理得t2﹣10t﹣100=0解得t=5±5（舍去负值)（7分）∴当点P运动秒时，S△PCQ=S△ABC（8分)（3)当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．证明：过Q作QM⊥AC，交直线AC于点M易证△APE≌△QCM，∴AE=PE=CM=QM=t，∴四边形PEQM是平行四边形，且DE是对角线EM的一半．又∵EM=AC=10∴DE=5∴当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．同理，当点P在点B右侧时，DE=5综上所述，当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．10．【解答】解：设人行道的宽度为x米，根据题意得，（18﹣3x）（6﹣2x)=60，化简整理得，（x﹣1）（x﹣8）=0．解得x1=1，x2=8(不合题意，舍去）．答：人行通道的宽度是1m．11．【解答】（1）解:当a=3，b=4，c=5时勾系一元二次方程为3x2+5x+4=0；（2)证明：根据题意,得△=（c）2﹣4ab=2c2﹣4ab∵a2+b2=c2∴2c2﹣4ab=2（a2+b2)﹣4ab=2（a﹣b）2≥0即△≥0∴勾系一元二次方程必有实数根；(3）解:当x=﹣1时，有a﹣c+b=0，即a+b=c∵2a+2b+c=6，即2（a+b)+c=6∴3c=6∴c=2∴a2+b2=c2=4，a+b=2∵（a+b)2=a2+b2+2ab∴ab=2∴S△ABC=ab=1．12．【解答】解：（1)设经过x秒以后△PBQ面积为6×（5﹣x）×2x=6整理得：x2﹣5x+6=0解得:x=2或x=3答：2或3秒后△PBQ的面积等于6cm2(2)当PQ=5时，在Rt△PBQ中，∵BP2+BQ2=PQ2，∴（5﹣t）2+（2t）2=52,5t2﹣10t=0，t（5t﹣10)=0,t1=0,t2=2,∴当t=0或2时，PQ的长度等于5cm．（3）设经过x秒以后△PBQ面积为8,×(5﹣x）×2x=8整理得：x2﹣5x+8=0△=25﹣32=﹣7＜0∴△PQB的面积不能等于8cm2．13．【解答】解：(1）设P、Q两点从出发开始到x秒时四边形PBCQ的面积为33cm2，则PB=（16﹣3x）cm,QC=2xcm，根据梯形的面积公式得(16﹣3x+2x）×6=33，解得x=5；答：P、Q两点从出发开始到5秒时四边形PBCQ的面积为33cm2；（2）设P，Q两点从出发经过t秒时,点P,Q间的距离是10cm，作QE⊥AB,垂足为E，则QE=AD=6,PQ=10,∵P A=3t，CQ=BE=2t，∴PE=AB﹣AP﹣BE=|16﹣5t|，由勾股定理，得（16﹣5t）2+62=102，解得t1=4。
新人教版-九年级一元二次方程的应用(3)(几何问题)
九年级一元二次方程的应用（3）一．填空题（共15小题）1．某水果批发商场经销一种水果，如果每千克盈利5元，每天可售出200千克，经市场调查发现，在进价不变的情况下，若每千克涨价1元，销售量将减少10千克．现该商场要保证每天盈利1500元，同时又要顾客得到实惠，那么每千克应涨价元．2．如图，在长为32米，宽为20米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上小草．要使草坪的面积为540平方米，则道路的宽为米．3．把一根长度为14cm的铁丝折成一个矩形，这个矩形的面积为12cm2，则这个矩形的对角线长是cm．4．学生会举办摄影展览，在每张长和宽分别为18厘米和12厘米的长方形相片周围镶上一圈等宽的彩纸（如图）．经试验彩纸面积为相片面积的时较美观，则镶在彩纸条的宽为．5．一块矩形菜地的面积是120平方米，如果它的长减少2米，那么菜地就变成了正方形，则原矩形的长是米．6．在一块长40cm，宽30cm的矩形的四个角上各剪去一个完全相同的正方形，剩下部分的面积刚好是矩形面积的，则剪下的每个小正方形的边长是厘米．7．一张桌子的桌面长为6米，宽为4米，台布面积是桌面面积的2倍，如果将台布铺在桌子上，各边垂下的长度相同，则各边垂下的长度为米．8．如图，某小区规划在一个长30m、宽20m的矩形ABCD上，修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种花草．要使每一块花草的面积都为78m2，那么通道的宽应设计成m．9．如图，要利用一面墙（墙长为25米）建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，则羊圈的边长AB为米．10．明德小学为了美化校园，准备在一块长32米，宽20米的长方形场地上修筑两条宽度相同的道路，余下部分作草坪，现在有一位学生设计了如图所示的方案，求图中道路的宽是米时，草坪面积为540平方米．11．如图，要建一个面积为130m2的仓库，仓库的一边靠墙（墙长16m）并在与墙平行的一边开一道1m宽的门，现有能围成32m长的木板，仓库的长和宽分别为m与m．12．为响应市委市政府提出的建设“绿色荆州”的号召，我市某单位准备将院内一块长30m，宽20m 的长方形空地建成一个矩形花园，要求在花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的地方种植花草．如图所示，要使种植花草的面积为532m2，那么小道进出口的宽度应为多少米？（注：所有小道进出口的宽度相等，且每段小道均为平行四边形）则小道进出口的宽度为米．13．如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=3厘米，BC=4厘米，点P从A沿AB边向点B以1厘米/秒的速度移动，点Q从B沿BC边向点C以2厘米/秒的速度移动，如P与Q同时出发，且当一点移动到端点并停止时，另一点也同时停下，秒后三角形PBQ的面积为2平方厘米．14．如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD（围墙MN最长可利用25m），现在欲砌50m长的墙，砌成一个面积300m2的矩形花园，则BC的长为m．15．如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点A、B以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程l（cm）与时间t（s）满足关系：l=t（t≥0），乙以4cm/s的速度匀速运动，半圆的长度为21cm．（1）甲运动4s后的路程是cm；（2）甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动的时间是．二．解答题（共11小题）16．有一面积为150m2的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18 m），另三边用竹篱笆围成，如果竹篱笆的总长为35 m，求鸡场的长与宽各为多少？17．一幅长20cm、宽12cm的图案，如图，其中有一横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为3：2．若图案中三条彩条所占面积是图案面积的，求横、竖彩条的宽度．18．如图，某小区规划在一个长40米，宽36米的矩形场地ABCD上修建横、纵道路宽为3：2的三条道路，使其中两条与AB平行，另一条与AD 平行，其余部分种草，若使每一块草坪的面积都为198平方米，求道路的宽度．19．如图，为美化环境，某小区计划在一块长为60m，宽为40m的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建同样宽的通道，当通道的面积与花圃的面积之比等于3：5时，求此时通道的宽．21．如图，矩形ABCD的长AD=5cm，宽AB=3cm，长和宽都增加xcm，那么面积增加ycm2．（1）写出y与x的函数关系式；（2）当增加的面积y=20cm2时，求相应的x是多少？20．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AD=1cm，AB=3cm，BC=5cm，动点P从点B出发以1cm/s的速度沿BC的方向运动，动点Q从点C出发以2cm/s的速度沿CD方向运动，P、Q两点同时出发，当Q到达点D时停止运动，点P也随之停止，设运动的时间为ts（t＞0）（1）求线段CD的长；（2）t为何值时，线段PQ将四边形ABCD的面积分为1：2两部分？22．如图，若要建一个长方形鸡场，鸡场的一边靠墙，墙对面有一个2米宽的门，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长33米．（1）若墙长为18米，要围成鸡场的面积为150平方米，则鸡场的长和宽各为多少米？（2）围成鸡场的面积可能达到200平方米吗？23．如图，将一张长方形纸片的四个角各剪去一个边长为2cm的正方形后，做成一个无盖的长方体盒子，若长方形纸片的长与宽的比为2：1，做出的长方体盒子的容积为1152cm3，请求出长方形纸片的长和宽．24．某小区有一块长21米，宽8米的矩形空地，如图所示．社区计划在其中修建两块完全相同的矩形绿地，并且两块绿地之间及四周都留有宽度为x米的人行通道．如果这两块绿地的面积之和为60平方米，人行通道的宽度应是多少米？25．如图，某公司计划用32m长的材料沿墙建造的长方形仓库，仓库的一边靠墙，已知墙长16m，设长方形的宽AB为xm．（1）用x的代数式表示长方形的长BC；（2）能否建造成面积为120㎡的长方形仓库？若能，求出长方形仓库的长和宽；若不能，请说明理由；（3）能否建造成面积为160㎡的长方形仓库？若能，求出长方形仓库的长和宽；若不能，请说明理由．26．已知：如图所示，在△ABC中，∠B=90°，AB=5cm，BC=7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．（1）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4cm2？（2）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于2cm？（3）在（1）中，△PQB的面积能否等于7cm2？说明理由．2017年08月31日y1的初中数学组卷参考答案与试题解析一．填空题（共15小题）1．某水果批发商场经销一种水果，如果每千克盈利5元，每天可售出200千克，经市场调查发现，在进价不变的情况下，若每千克涨价1元，销售量将减少10千克．现该商场要保证每天盈利1500元，同时又要顾客得到实惠，那么每千克应涨价5元．【解答】解：设每千克应涨价x元，由题意列方程得：（5+x）（200﹣10x）=1500，解得：x=5或x=10，为了使顾客得到实惠，那么每千克应涨价5元；故答案为：5．2．如图，在长为32米，宽为20米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上小草．要使草坪的面积为540平方米，则道路的宽为2米．【解答】解：设道路的宽是x米，（32﹣x）（20﹣x）=540，解得：x1=48（舍）x2=2．答：道路的宽是2米，故答案为：2．3．把一根长度为14cm的铁丝折成一个矩形，这个矩形的面积为12cm2，则这个矩形的对角线长是5cm．【解答】解：设矩形的长为xcm，则宽为（7﹣x）cm，根据题意得x（7﹣x）=12解之得x=4或x=3（舍去）则宽为3cm，所以这个矩形的对角线长是=5 cm．4．学生会举办摄影展览，在每张长和宽分别为18厘米和12厘米的长方形相片周围镶上一圈等宽的彩纸（如图）．经试验彩纸面积为相片面积的时较美观，则镶在彩纸条的宽为2．【解答】解：设所镶纸边的宽为x厘米，根据题意得：2[x（18+2x）+12x]=×12×18，解得：x=2或x=﹣17（舍去），答：所镶纸边的宽约为2厘米．故答案为：2．5．一块矩形菜地的面积是120平方米，如果它的长减少2米，那么菜地就变成了正方形，则原矩形的长是12米．【解答】解：∵长减少2m，菜地就变成正方形，∴设原菜地的长为x米，则宽为（x﹣2）米，根据题意得：x（x﹣2）=120，解得：x=12或x=﹣10（舍去），故答案为：12．6．在一块长40cm，宽30cm的矩形的四个角上各剪去一个完全相同的正方形，剩下部分的面积刚好是矩形面积的，则剪下的每个小正方形的边长是10厘米．【解答】解：设剪下的小正方形的边长为x．4x2=（1﹣）×40×30x=10或x=﹣10故答案为10．7．一张桌子的桌面长为6米，宽为4米，台布面积是桌面面积的2倍，如果将台布铺在桌子上，各边垂下的长度相同，则各边垂下的长度为1米．【解答】解：设垂下的长度为x，那么（6+2x）×（4+2x）=2×6×4，解得x=﹣6或1，根据实际意义得x=1，故答案为：1．8．如图，某小区规划在一个长30m、宽20m的矩形ABCD上，修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种花草．要使每一块花草的面积都为78m2，那么通道的宽应设计成2m．【解答】解：设道路的宽为xm，由题意得：（30﹣2x）（20﹣x）=6×78，解得x=2或x=﹣16（舍去）．答：通道应设计成2米．故答案为2．9．如图，要利用一面墙（墙长为25米）建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，则羊圈的边长AB为20米．【解答】解：设AB的长度为x，则BC的长度为（100﹣4x）米．根据题意得（100﹣4x）x=400，解得x1=20，x2=5．则100﹣4x=20或100﹣4x=80．∵80＞25，∴x2=5舍去．即AB=20，BC=20．答：羊圈的边长AB，BC分别是20米、20米．故答案是：20．10．明德小学为了美化校园，准备在一块长32米，宽20米的长方形场地上修筑两条宽度相同的道路，余下部分作草坪，现在有一位学生设计了如图所示的方案，求图中道路的宽是2米时，草坪面积为540平方米．【解答】解：设道路的宽为x米．依题意得：（32﹣x）（20﹣x）=540，解之得x1=2，x2=50（不合题意舍去）．答：道路宽为2m．故答案为2．11．如图，要建一个面积为130m2的仓库，仓库的一边靠墙（墙长16m）并在与墙平行的一边开一道1m宽的门，现有能围成32m长的木板，仓库的长和宽分别为10m与13m．【解答】解：设仓库的垂直于墙的一边长为x，依题意得（32﹣2x+1）x=130，2x2﹣33x+130=0，（x﹣10）（2x﹣13）=0，∴x1=10或x2=6.5，当x1=10时，32﹣2x+1=13＜16；当x2=6.5时，32﹣2x+1=20＞16，不合题意舍去．答：仓库的长和宽分别为13m，10m．故答案为：10，13．12．为响应市委市政府提出的建设“绿色荆州”的号召，我市某单位准备将院内一块长30m，宽20m 的长方形空地建成一个矩形花园，要求在花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的地方种植花草．如图所示，要使种植花草的面积为532m2，那么小道进出口的宽度应为多少米？（注：所有小道进出口的宽度相等，且每段小道均为平行四边形）则小道进出口的宽度为1米．【解答】解：设小道进出口的宽度为x米，依题意得（30﹣2x）（20﹣x）=532．整理，得x2﹣35x+34=0．解得，x1=1，x2=34．∵34＞20（不合题意，舍去），∴x=1．答：小道进出口的宽度应为1米．故答案为：1．13．如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=3厘米，BC=4厘米，点P从A沿AB边向点B以1厘米/秒的速度移动，点Q从B沿BC边向点C以2厘米/秒的速度移动，如P与Q同时出发，且当一点移动到端点并停止时，另一点也同时停下，1秒或2秒后三角形PBQ的面积为2平方厘米．【解答】解：设x秒后三角形PBQ的面积为2平方厘米，根据题意可得：BP=3﹣x，BQ=2x，故×2x（3﹣x）=2，解得：x1=1，x2=2，故1或2秒后三角形PBQ的面积为2平方厘米．故答案为：1或2．14．如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD（围墙MN最长可利用25m），现在欲砌50m长的墙，砌成一个面积300m2的矩形花园，则BC的长为20 m．【解答】解：设AB=x米，则BC=（50﹣2x）米．根据题意可得，x（50﹣2x）=300，解得：x1=10，x2=15，当x=10，BC=50﹣10﹣10=30＞25，故x1=10（不合题意舍去），50﹣2x=50﹣30=20．故BC的长为20 m．故答案为：20．15．如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点A、B以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程l（cm）与时间t（s）满足关系：l=t（t≥0），乙以4cm/s的速度匀速运动，半圆的长度为21cm．（1）甲运动4s后的路程是14cm；（2）甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动的时间是7s．【解答】解：（1）当t=4s时，l=t=8+6=14（cm），答：甲运动4s后的路程是14cm；（2）由图可知，甲乙第二次相遇时走过的路程为三个半圆：3×21=63cm，则t+4t=63，解得：t=7或t=﹣18（不合题意，舍去），答：甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了7s．故答案为14；7s．二．解答题（共11小题）16．有一面积为150m2的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18 m），另三边用竹篱笆围成，如果竹篱笆的总长为35 m，求鸡场的长与宽各为多少？【解答】解：设养鸡场的宽为xm，则长为（35﹣2x），由题意得x（35﹣2x）=150解这个方程；x2=10当养鸡场的宽为时，养鸡场的长为20m不符合题意，应舍去，当养鸡场的宽为x1=10m时，养鸡场的长为15m．答：鸡场的长与宽各为15m，10m．17．一幅长20cm、宽12cm的图案，如图，其中有一横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为3：2．若图案中三条彩条所占面积是图案面积的，求横、竖彩条的宽度．【解答】解：设竖彩条的宽度为xcm，则横彩条的宽度为xcm．根据题意，得：20×x+2×12?x﹣2×x?x=﹣3x2+54x=×20×12，整理，得：x2﹣18x+32=0，解得：x1=2，x2=16（舍去），∴x=3．答：横彩条的宽度为3cm，竖彩条的宽度为2cm．18．如图，某小区规划在一个长40米，宽36米的矩形场地ABCD上修建横、纵道路宽为3：2的三条道路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草，若使每一块草坪的面积都为198平方米，求道路的宽度．【解答】解：设横、纵道路的宽分别为3x米、2x米，则每块草坪的相邻两边的长度分别为（40﹣2×2x）米、（36﹣3x）米，根据题意得：（40﹣2×2x）×（36﹣3x）=198，整理得：x2﹣22x+21=0，解得：x1=1，x2=21（不合题意，舍去），∴3x=3，2x=2．答：横、纵道路的宽分别为3米和2米．19．如图，为美化环境，某小区计划在一块长为60m，宽为40m的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建同样宽的通道，当通道的面积与花圃的面积之比等于3：5时，求此时通道的宽．【解答】解：设此时通道的宽为x米，根据题意，得60×40﹣（60﹣2x）（40﹣2x）=×60×40，解得x=5或45，45不合题意，舍去．答：此时通道的宽为5米．20．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AD=1cm，AB=3cm，BC=5cm，动点P从点B出发以1cm/s的速度沿BC的方向运动，动点Q从点C出发以2cm/s的速度沿CD方向运动，P、Q两点同时出发，当Q到达点D时停止运动，点P也随之停止，设运动的时间为ts（t＞0）（1）求线段CD的长；（2）t为何值时，线段PQ将四边形ABCD的面积分为1：2两部分？【解答】解：（1）如图1，作DE⊥BC于E，则四边形ADEB是矩形．∴BE=AD=1，DE=AB=3，∴EC=BC﹣BE=4，在Rt△DEC中，DE2+EC2=DC2，∴DC==5厘米；（2）∵点P的速度为1厘米/秒，点Q的速度为2厘米/秒，运动时间为t秒，∴BP=t厘米，PC=（5﹣t）厘米，CQ=2t厘米，QD=（5﹣2t）厘米，且0＜t≤2.5，作QH⊥BC于点H，∴DE∥QH，∴∠DEC=∠QHC，∵∠C=∠C，∴△DEC∽△QHC，∴=，即=，∴QH=t，∴S△PQC=PC?QH=（5﹣t）?t=﹣t2+3t，S四边形ABCD=（AD+BC）?AB=（1+5）×3=9，分两种情况讨论：①当S△PQC：S四边形ABCD=1：3时，﹣t2+3t=×9，即t2﹣5t+5=0，解得t1=，t2=（舍去）；②S△PQC：S四边形ABCD=2：3时，﹣t2+3t=×9，即t2﹣5t+10=0，∵△＜0，∴方程无解，∴当t为秒时，线段PQ将四边形ABCD的面积分为1：2两部分．21．如图，矩形ABCD的长AD=5cm，宽AB=3cm，长和宽都增加xcm，那么面积增加ycm2．（1）写出y与x的函数关系式；（2）当增加的面积y=20cm2时，求相应的x是多少？【解答】解：（1）由题意可得：（5+x）（3+x）﹣3×5=y，化简得：y=x2+8x；（2）把y=20代入解析式y=x2+8x中得：x2+8x﹣20=0，解之得：x1=2，x2=﹣10（舍去）．∴当边长增加12m时，面积增加20cm222．如图，若要建一个长方形鸡场，鸡场的一边靠墙，墙对面有一个2米宽的门，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长33米．（1）若墙长为18米，要围成鸡场的面积为150平方米，则鸡场的长和宽各为多少米？（2）围成鸡场的面积可能达到200平方米吗？【解答】解：（1）设宽为x米，则：x（33﹣2x+2）=150，解得：x1=10，x2=（不合题意舍去），∴长为15米，宽为10米；（2）设面积为w平方米，则：W=x（33﹣2x+2），变形为：W=﹣2（x﹣）2+故鸡场面积最大值为＜200，即不可能达到200平方米．23．如图，将一张长方形纸片的四个角各剪去一个边长为2cm的正方形后，做成一个无盖的长方体盒子，若长方形纸片的长与宽的比为2：1，做出的长方体盒子的容积为1152cm3，请求出长方形纸片的长和宽．【解答】解：设长方形纸片的宽为xcm，则长为2xcm，由题意，得（2x﹣2×2）（x﹣2×2）=1152，解得x1=20，x2=﹣14（不合题意，舍去）．2×20=40（cm）．答：长方形的长为40cm，宽为20cm．24．某小区有一块长21米，宽8米的矩形空地，如图所示．社区计划在其中修建两块完全相同的矩形绿地，并且两块绿地之间及四周都留有宽度为x米的人行通道．如果这两块绿地的面积之和为60平方米，人行通道的宽度应是多少米？【解答】解：根据题意，得（21﹣3x）（8﹣2x）=60．整理得x2﹣11x+18=0．解得x1=2，x2=9．∵x=9不符合题意，舍去，∴x=2．答：人行通道的宽度是2米．25．如图，某公司计划用32m长的材料沿墙建造的长方形仓库，仓库的一边靠墙，已知墙长16m，设长方形的宽AB为xm．（1）用x的代数式表示长方形的长BC；（2）能否建造成面积为120㎡的长方形仓库？若能，求出长方形仓库的长和宽；若不能，请说明理由；（3）能否建造成面积为160㎡的长方形仓库？若能，求出长方形仓库的长和宽；若不能，请说明理由．【解答】解：（1）依题意得：BC=32﹣2x；（2）能．由题知：x（32﹣2x）=120，化简整理得（x﹣6）（x﹣10）=0，解得：x1=6，x2=10．经检验x1=6，x2=10都是原方程的解但x1=6不符合题意，舍去，答：能建成面积为120㎡仓库，此时长为12米，宽为10米；（3）不能由题知：x（32﹣2x）=160，化简整理得：x2﹣16x+80=0，此时△=162﹣4×1×80=﹣64＜0此方程无解，所以不能建造成面积为160㎡的长方形仓库．26．已知：如图所示，在△ABC中，∠B=90°，AB=5cm，BC=7cm，点P从点A开始沿AB边向点B 以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．（1）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4cm2？（2）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于2cm？（3）在（1）中，△PQB的面积能否等于7cm2？说明理由．【解答】解：（1）设经过x秒以后△PBQ面积为4cm2，根据题意得（5﹣x）×2x=4，整理得：x2﹣5x+4=0，解得：x=1或x=4（舍去）．答：1秒后△PBQ的面积等于4cm2；（2）PQ=2，则PQ2=BP2+BQ2，即40=（5﹣t）2+（2t）2，解得：t=0（舍去）或3．则3秒后，PQ的长度为2cm．（3）令S△PQB=7，即BP×=7，（5﹣t）×=7，整理得：t2﹣5t+7=0，由于b2﹣4ac=25﹣28=﹣3＜0，则原方程没有实数根，所以在（1）中，△PQB的面积不能等于7cm2．。
九年级数学导学案一元二次方程的应用--几何问题
一元二次方程的应用--几何问题（三）题型1 与一元二次方程有关的三角形动点问题例1如图，在△ABC内，AB＝6cm，BC＝7cm，∠ABC＝30°，点P从A点出发，以1cm/s的速度向B点移动，点Q从B点出发，以2cm/s的速度向C点移动，当其中一个动点到达终点时，另一动点也随之停止运动，当如果P、Q两点同时出发，经过几秒后△PBQ的面积等于4cm2？变式1-1如图1，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝12cm，AC＝8cm，现有动点P从点B出发，沿射线BA方向运动，动点Q从点C出发，沿射线CA方向运动，已知点P的速度是2cm/s，点Q的速度是1cm/s，它们同时出发，设运动时间是ts（t＞0）．（1）当t＝4时，求△APQ的面积．（2）经过多少秒时，△APQ的面积是△ABC面积的一半．变式1-2如图所示，△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm．（1）点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．如果P、Q分别从A，B同时出发，线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由．（2）若P点沿射线AB方向从A点出发以1cm/s的速度移动，点Q沿射线CB方向从C点出发以2cm/s 的速度移动，P、Q同时出发，问几秒后，△PBQ的面积为1cm2？变式1-3已知：如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．当P、Q两点中有一点到达终点，则同时停止运动．（1）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4cm2？（2）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于cm？（3）△PQB的面积能否等于7cm2？请说明理由．题型2 与一元二次方程有关的四边形动点问题例2如图，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝6cm，点P从点A出发沿AB以2cm/s的速度向点B运动；同时，点Q从点B出发沿BC以1cm/s的速度向点C运动，点P运动到点B时，点Q也停止运动；当△PQC的面积等于16cm2时，运动时间为s．变式2-1如图，在边长为6cm正方形ABCD中，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q 从点B开始沿BC和CD边向D点以2cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从A、B同时出发，其中一点到终点，另一点也随之停止．过了秒钟后，△PBQ的面积等于8cm2．变式2-2如图所示，A、B、C、D是矩形的四个顶点，AB＝16cm，AD＝6cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达点B为止，点Q以2cm/s的速度向点D移动（1）P，Q两点从出发开始到几秒时，四边形PBCQ的面积为33cm2？（2）P，Q两点从出发开始到几秒时，点P和点Q的距离第一次是10cm？变式2-3如图，菱形ABCD中，AC，BD交于点O，AC＝8cm BD＝6cm，动点M从A点出发沿AC方向以2cm/s匀速直线运动到C点，动点N从B点出发沿BD方向以1cm/s匀速直线运动到D点，若M，N 同时出发，设运动时间为t秒：（1）当t＝1秒时，M，N两点之间的距离是多少？（2）当2＜t＜3时，用含t的代数式表示OM的长；设W＝MN2，求W关于t的函数关系式；（3）当t为何值时，△MON的面积为cm2．。
一元二次方程的应用(几何图形) 课件 2022—2023学年青岛版数学九年级上册
九年级上册
学习目标：
1、会列出一元二次方程解决简单的实际问题（几何问题）， 培养应用意识和分析问题、解决问题的能力。 2、能根据问题的实际意义，检验方程的解是否合理。
1.将一根长64cm的铁丝剪成两段,再将每段分别围成正方形(如图),
如果这两个正方形的面积和等于160cm2,求两个正方形的边长。
解:设温室宽为x m，长为3x m,那么蔬菜种植区的长为(3x-
6)m，宽为(x-2)m 根据题意，得：（3x-6）(x-2)=300 整理,得 x2 -4x-96=0
解得 x1 =12,x2=-8
经检验,当温室的宽是12m时，符合题意.
当x =12时,3x=3×12=36.
答：温室宽度为12m时，蔬菜种植面积300m2.
当x -x =16-4 =12.
答：两个正方形的边长分别是12cm和4cm.
2. 某农场要建一个长方形的养鸡场,鸡场的一边靠墙(墙长25m), 四边用木栏围成,木栏长40m.
(1)设养鸡场宽为x m， 则长为（__4_0___2__x_）__m__,_即__(_2_0_-__x_)_m；
经检验,当道路的宽是2m时，符合题意.
答：道路宽度为2m时，绿化面积7644m2.
课本152页练习1
4.天泉村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室,要求长宽的比为3：1,在温室内,沿前后两侧
内墙各留3m的空地放置工具，其他两侧内墙各留1m宽通道.当矩形温室的长与宽多少时,
蔬菜种植区的面积是300m2?
等量关系式:蔬菜种植面积=300m2
同步117页跟踪3
3.如图，在边长100m,宽80m的矩形场地上修建两条宽度相等且互
相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644m2,则道
一元二次方程根的判别式在解几何问题中的应用
浅析”“∆在解几何问题中的应用江苏省睢宁县双沟中学赵光朋（221212）通过恰当的途径，构建一元二次方程模型，在其有解的前提下，应用0≥∆或∆＞0去探讨某些几何问题，有时可收到条理清晰、简捷明快的解题效果.举例说明如下：一、在三角形问题中的应用例1.当斜边一定时，求直角三角形周长的最大值.解：设直角三角形的两条直角边长分别为b a 、，斜边为c ，周长为l .则l c b a =++，c l b a -=+ （1）.所以22)()(c l b a -=+，即222222c cl l b ab a +-=++.又222c b a =+，所以222cl l ab -= （2）.由（1）、（2）知b a 、是方程022)(22=-+--cl l x l c x 的两个实数根.所以0224)]([22≥-⨯---=∆cll l c .整理，得0222≥--c cl l ,求得c l ）（21+≤，所以周长l 的最大值是c ）（21+.点评：上述解法中，通过设三角形的边长和周长，再巧妙变换，并利用韦达定理构造一元二次方程，为应用根的判别式“∆”做好了准备.例2.三角形有一个内角为060，此角所对的边长为1，求证其余两边的和不大于2.证明：如图1，ABC ∆中，060=∠B ,1=AC .过A 作BC AD ⊥于D ，设x BD =，通过ADC Rt ABD Rt ∆∆和,得x AB 2=，x AD 3=，231x DC -=.令2312x x x BC AB y -++=+=，整理，得关于x 的一元二次方程0161222=-+-y xy x .由)1(1243622-⨯-=∆y y 0≥，得048122≥+-y ，所以，22≤≤-y ，y 的最大值为2，即其余两边的和不大于2.点评：在此解法中，适时地引入变量y x 、，并将他们的关系用一个等式表达出来，为构造一元二次方程明确了目标，为应用”“∆埋下了伏笔.例3.如图2，已知ABC ∆的面积为S ,作一条直线l ∥BC ,且与AC AB 、分别交于E D 、两点。
一元二次方程应用题(几何图形面积问题)
(32 2x)(20 2x) 570 化简得，x2 36x 35 0
(x 35)(x 1) 0 x1 35, x2 1
其中的 x=35超出了原矩形的宽，应舍去.
答:道路的宽为1米.
例3. (2003年,舟山)如图，有长为24米的篱笆，一面 利用墙（墙的最大可用长度a为10米），围成中间隔 有一道篱笆的长方形花圃。设花圃的宽AB为x米， 面积为S米2， （1）求S与x的函数关系式;（2）如果要围成面积为 45米2的花圃，AB的长是多少米？
例1. 镜框有多宽?
一块四周镶有宽度相等的花边的镜框如下图，它的 长为8m，宽为5m．如果镜框中央长方形图案的面积为 18m2 ，则花边多宽? 解：设镜框的宽为xm ，则镜框中央长方形图案的长 为（8－2x）m, 宽为（5－2x） m,得
8
x
x
x
（8－2x）
5
１８m2
x
例1. 镜框有多宽?
一块四周镶有宽度相等的花边的镜框如下图，它的
例2：在一块长80米，宽60米的运动场 外围修筑了一条宽度相等的跑道，这 条跑道的面积是1500平方米，求这条 跑道的宽度。
列一元二次方程解应题
补充练习： 1、（98年北京市崇文区中考题）如图，有一面 积是150平方米的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙 （墙长18米），墙对面有一个2米宽的门，另三边 （门除外）用竹篱笆围成，篱笆总长33米．求鸡 场的长和宽各多少米？
例1 在矩形ABCD中,AB=6cm,BC=12cm, 点P从点A开始以1cm/s的速度沿AB边向点 B移动,点Q从点B开始以2cm/s的速度沿BC 边向点C移动,如果P、Q分别从A、B同时出 发，几秒后⊿ PBQ的面积等于8cm2？
1一元二次方程的应用(第2课时几何图形问题)教学课件沪科版初中数学八年级(下)
左右边衬的宽度为: 7 6 3 3 1.4. 4
答：上下边衬的宽度为:1.8cm,左右边衬的宽度为1.4cm.
知识讲授
思考
如果换一种设未知数的方法，是否可以更简单地解决上面
的问题？
解:设正中央的矩形两边分别为9xcm，7xcm.
依题意,得 9x 7x 3 27 21,
4
故解上得、x下2 边3衬23的，宽x2度 为3:23（2舍7 去9x） 2.7
解：设矩形温室的宽为 x m，则长为2x m．根据题意，得 (x－2)(2x－4)＝288. 解得x1＝－10(不合题意，舍去)，x2＝14. 所以2x＝2×14＝28. 答：当矩形温室的长为28 m，宽为14 m时，蔬菜种植区域的面积是288 m2.
随堂训练
6. 如图1，在宽为20米，长为32米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部 分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为540平方米，求道路的宽.
解：设道路宽为x米，由平移得到图2，
则宽为(20-x)米，长为（32-x)米.列方
图1
程,得（20-x)(32-x)=540，
整理,得 x2-52x+100=0，
解得 x1=50(舍去），x2=2.
图2
答：道路宽为2米.
随堂训练
7．已知，如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5 cm，BC＝7 cm.点P从点A开始沿 AB边向点B以1 cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2 cm/s的速度移 动．
初中数学一元二次方程的应用题型分类——动态几何问题3(附答案)
11．Rt△ ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝6，动点 P 从点 A 出发，在线段 AC 上以每 秒 1 个单位长度的速度向点 C 作匀速运动，到达点 C 停止运动．设运动时间为 t 秒
（1）如图 1，过点 P 作 PD⊥AC，交 AB 于 D，若△ PBC 与△ PAD 的面积和是△ ABC
4．在平面直角坐标系 x O y 中，过原点 O 及点 A(0，2) 、C（6，0）作矩形 OABC，
∠AOC 的平分线交 AB 于点 D 点 P 从点 O 出发，以每秒 2 个单位长度的速度沿射线
OD 方向移动；同时点 Q 从点 O 出发，以每秒 2 个单位长度的速度沿 x 轴正方向移动 设
移动时间为 t 秒，当 t 为
2．在△ ABC 中,∠B=90°,AB=8,BC=6.点 P 从点 B 沿 BA 向 A 以 1 cm/s 向 A 移动,到 A 后停止;同时,点 Q 从 B 沿 BC→CA 以 1 cm/s 移动到终点 A,_______秒后,△ PBQ 的面积 为 16.
3．如图，将边长为 12 的正方形 ABCD 沿其对角线 AC 剪开，再把△ ABC 沿着 AD 方 向平移，得到△ A′B′C′，当两个三角形重叠部分的面积为 32 时，它移动的距离 AA′等 于．
时，△ PQB;ax+b 图像与 x 轴有 2 个交点，A(x1,0)，B(x2,0)；且 0< x1<1； 1< x2<2,那么（1）a 的取值范围是___________；b 的取值范围是________；则（2）
用一元二次方程解决几何图形问题
第3课时用一元二次方程解决几何图形问题1．面积(体积)问题属于几何图形的应用题，解决问题的关键是将不规则图形分割或组合、平移成规则图形，找出未知量与__已知量___的内在联系，根据__面积(体积)___公式列出一元二次方程．2．一个正方形的边长增加了3 cm，面积相应增加了39 cm2，则原来这个正方形的边长为__5___cm.知识点1：一般图形的面积问题1．一个面积为35 m2的矩形苗圃，它的长比宽多2 m，则这个苗圃的长为( C)A．5 m B．6 m C．7 m D．8 m2．用一条长40 cm的绳子围成一个面积为64 cm2的长方形．设长方形的长为x cm，则可列方程为( B)A．x(20＋x)＝64 B．x(20－x)＝64C．x(40＋x)＝64 D．x(40－x)＝643．一个直角三角形的两条直角边相差5 cm，面积是7 cm2，这两条直角边长分别为__2_cm，7_cm___．4．如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD(围墙MN最长可利用25 m)，现在已备足可以砌50 m长的墙的材料，试设计一种砌法，使矩形花园的面积为300 m2.解：设AB＝x m，则BC＝(50－2x) m，根据题意得x(50－2x)＝300，解得x1＝10，x2＝15，当x＝10，BC＝50－2×10＝30＞25，故x1＝10不合题意，舍去，∴x＝15，则可以围成AB为15 m，BC为20 m的矩形知识点2：边框与通道问题5．如图，在宽为20 m，长为32 m的矩形地面上修筑同样宽的道路(图中阴影部分)，余下的部分种上花草．若种植花草的面积为540 m2，求道路的宽．如果设道路的宽为x m，根据题意，所列方程正确的是( A)A．(20－x)(32－x)＝540B．(20－x)(32－x)＝100C．(20＋x)(32－x)＝540D．(20－x)(32＋x)＝540,第5题图),第6题图) 6．如图，在一块长为22米，宽为17米的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路与矩形的一条边平行)，剩余部分种上草坪，使草坪面积为300平方米，若设道路宽为x米，则根据题意可列出方程__(22－x)(17－x)＝300___．7．如图，某矩形相框长26 cm，宽20 cm，其四周相框边(图中阴影部分)的宽度相同，都是x cm，若相框内部的面积为280 cm2，求相框边的宽度．解：由题意得(26－2x)(20－2x)＝280，整理得x2－23x＋60＝0，解得x1＝3，x2＝20(不合题意，舍去)，则相框边的宽度为3 cm8．从一块正方形的木板上锯掉2 m宽的长方形木条，剩下的面积是48 m2，则原来这块木板的面积是( B)A．100 m2B．64 m2C．121 m2D．144 m29．如图，正方形ABCD的边长是1，E，F分别是BC，CD上的点，且△AEF是等边三角形，则BE的长为( A)A．2－ 3 B．2＋ 3C．2＋ 5 D.5－2,第9题图),第11题图) 10．在一个矩形地毯的四周镶有宽度相同的花边，已知地毯中央的矩形图案长6米、宽3米，整个地毯的面积是40平方米，则花边的宽为__1___米．11．如图，已知点A是一次函数y＝x－4图象上的一点，且矩形ABOC的面积等于3，则点A的坐标为__(3，－1)或(1，－3)___．12．如图是一个矩形花园，花园的长为100米，宽为50米，在它的四角各建一个同样大小的正方形观光休息亭，四周建有与观光休息亭等宽的观光大道，其余部分(图中阴影部分)种植的是不同花草．已知种植花草部分的面积为3600平方米，那么花园各角处的正方形观光休息亭的边长为多少米？解：设正方形观光休息亭的边长为x米，依题意得(100－2x)(50－2x)＝3600，整理得x2－75x＋350＝0，解得x1＝5，x2＝70，∵x2＝70＞50，不合题意，舍去，∴x＝5，即矩形花园各角处的正方形观光休息亭的边长为5米13．小林准备进行如下操作实验：把一根长为40 cm的铁丝剪成两段，并把每一段各围成一个正方形．(1)要使这两个正方形的面积之和等于58 cm2，小林该怎么剪？(2)小峰对小林说：“这两个正方形的面积之和不可能等于48 cm2.”他的说法对吗？请说明理由．解：(1)设其中一个正方形的边长为x cm，则另一个正方形的边长为(10－x) cm，由题意得x2＋(10－x)2＝58，解得x1＝3，x2＝7，4×3＝12，4×7＝28，所以小林应把绳子剪成12 cm和28 cm的两段(2)假设能围成．由(1)得，x2＋(10－x)2＝48，化简得x2－10x＋26＝0，因为Δ＝b2－4ac＝(－10)2－4×1×26＝－4＜0，所以此方程没有实数根，所以小峰的说法是对的14．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5 cm，BC＝7 cm，点P从点A开始沿AB 边向点B以1 cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动．(1)如果点P，Q分别从点A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4 cm2?(2)如果点P，Q分别从点A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于5 cm?(3)在问题(1)中，△PBQ的面积能否等于7 cm2？说明理由．解：(1)设x秒后，△PBQ的面积等于4 cm2，根据题意得x(5－x)＝4，解得x1＝1，x2＝4.∵当x＝4时，2x＝8＞7，不合题意，舍去，∴x＝1(2)设x秒后，PQ的长度等于5 cm，根据题意得(5－x)2＋(2x)2＝25，解得x1＝0(舍去)，x2＝2，∴x＝2(3)设x秒后，△PBQ的面积等于7 cm2，根据题意得x(5－x)＝7，此方程无解，所以不能。
一元二次方程的应用解决几何形状问题
一元二次方程的应用解决几何形状问题一元二次方程是数学中常见的一类方程，拥有广泛的应用领域。
在解决几何形状问题时，一元二次方程也扮演着重要的角色。
本文将讨论一元二次方程在几何形状问题中的应用，并探讨其解决问题的方法。
一、直线与抛物线交点的问题考虑一个几何形状问题，要求找到一条直线与一个抛物线的交点。
此类问题可以通过一元二次方程的解来轻松求解。
假设直线的方程为y = mx + c，抛物线的方程为y = ax^2 + bx + c。
将直线方程代入抛物线方程，可以得到一元二次方程ax^2 + (b - m)x + (c - c) = 0。
通过求解这个一元二次方程，可以得到交点的横坐标x。
将其带入直线方程，可以求解出交点的纵坐标y。
因此，一元二次方程为解决直线与抛物线交点问题提供了有效的方法。
二、求解几何形状的顶点坐标在几何形状中，有些形状可以用一元二次方程来表示。
其中，抛物线是一种常见的形状。
求解抛物线的顶点坐标，也可以通过一元二次方程来实现。
一元二次方程的标准形式为y = ax^2 + bx + c。
在标准形式中，a代表开口的方向和抛物线的形状，b代表抛物线在x轴上的平移，c代表抛物线与y轴的交点。
通过求解一元二次方程，可以得到抛物线的顶点坐标。
顶点坐标为(-b/(2a)，-Δ/(4a))，其中Δ为二次方程的判别式。
三、通过一元二次方程求解三角形面积三角形是几何学中的基本形状，而一元二次方程在求解三角形面积的问题中也大有作为。
以一个具体问题为例，假设已知三角形的三个顶点坐标为(x1, y1)，(x2, y2)，(x3, y3)。
根据三角形的面积公式S = 1/2 * |x1(y2 - y3) + x2(y3 - y1) + x3(y1 - y2)|，可以将三角形面积问题转化为一元二次方程的求解问题。
以求解三角形的面积为目标，可以通过一元二次方程求解出其中涉及的x和y的值。
将这些值代入面积公式，可以得到三角形的面积。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
练习：
1.如图是宽为20米,长为32米的矩形耕地,要修筑 同样宽的三条道路(两条纵向,一条横向,且互相垂 直),把耕地分成六块大小相等的试验地,要使试验 地的面积为570平方米,问:道路宽为多少米?
解:设道路宽为x米，则
(32 2 x)(20 x) 570 化简得， 2 36 x 35 0
2．动脑思考，解决问题
解法一：设上、下边衬的宽均为 9x cm，左、右边 衬宽均为 7x cm，依题意得 3 （ 27 - 18x ） （21 - 14x） 27 21 4 整理得：16x 2 - 48x + 9 = 0． 解方程得
x 63 3 4
） x1≈2.8（不合题意，舍去 （ x2≈0.2
列方程解应用题的步骤有:
审 设 找 列 解
即审题，找出题中的量，分清有哪些已知量、未 知量，哪些是要求的未知量 设元，包括设直接未知数或间接未知数，以 及用未知数字母的代数式表示其他相关量。 找出等量关系 根据等量关系列出方程 解方程并检验根的准确性及是否符合实 际意义并作答。 检验根的准确性及是否符合实际意义并 作答。
检验并作答
1．创设情境，导入新知
问题1 要设计一本书的封面，封面长 27 cm，宽 21 cm，正中央是一个矩形，如果要使四周的彩色边衬所占 面积是封面面积的四分之一，上、下、左、右边衬等宽， 应如何设计四周边衬的宽度？
27
21
1．创设情境，导入新知
解：可设四周边衬的宽度为 x cm，则中央矩形的长 为 （ 27 - 2x ） cm ,宽 (21-2x)cm 方法一 1 27 21 （ 27 - 2x ） （21 - 2x ） 27 21 4 还有其他方法列出方程吗？
九年级
上册
21.3 实际问题与一元二次方程 （第3课时）
课件说明
• 学习目标： 1．能正确利用面积关系列出关于几何图形的一元二 次方程； 2．进一步深入体会一元二次方程在实际生活中的应 用，经历将实际问题转化为数学问题的过程，提 高数学应用意识． • 学习重点： 利用面积之间的关系建立一元二次方程模型，解决实 际问题．
其中的 x=35超出了原矩形的宽，应舍去. 答:道路的宽为1米.
x ( x 35)( x 1) 0 x1 35, x2 1
练习：
1、用20cm长的铁丝能否折成面积为30cm2的 矩形,若能够,求它的长与宽;若不能,请说明 理由. 20 解:设这个矩形的长为xcm,则宽为( x) cm, 20 2 x( x) 30 即 x2-10x+30=0 2
5．布置作业
教科ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ复习题 21 第 8 题．
2．动脑思考，解决问题
问题2 要设计一本书的封面，封面长 27 cm，宽 21 cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如 果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一， 上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边 衬的宽度（结果保留小数点后一位） ？ 分析：封面的长宽之比是 9∶7，中央的矩形的长宽之比也 应是 9∶7． 9a 27 设中央的矩形的长和宽分别 是 9a cm和 7a cm，由此得上、下 边衬与左、右边衬的宽度之比是 1 1 7a （ 27 - 9a） ∶ （21 - 7a ） = 9∶7. 21 2 2
这里a=1,b=－10,c=30,
2 2
b 4ac (10) 4 1 30 20 0
∴此题无解. ∴用20cm长的铁丝不能折成面积为30cm2的矩形.
3．动脑思考，巩固训练
教科书习题 21.3
第 9 题．
4．归纳小结
问题3 回顾前面几节课的学习内容，你能总结一 下建立一元二次方程模型解决实际问题的基本步骤吗？ 需要注意哪些问题？
27
21
1．创设情境，导入新知
解：可设四周边衬的宽度为 x cm，则中央矩形的面 积可以表示为（ 27 - 2x ） （21 - 2x ） 方法二 3 （ 27 - 2x ） （21 - 2x ） 27 21 4 利用未知数表示边长，通过面 积之间的等量关系建立方程解决问 题． 27
21
方程的哪个根合乎实际意义？为什么？
9x 54 27 3 42 21 3 7 x ≈1.8 cm， ≈1.4 cm． 4 4
2．动脑思考，解决问题
解法二：设正中央的矩形两边分别为 9x cm，7x cm， 依题意得 3 9 x ·7 x 27 21 4 3 3 3 3 解得： x1 ，x2 （不合题意，舍去）． 2 2 故上、下边衬的宽度为： 54 27 3 27 9 x 3 3 ） 2 （27 9 ≈1.8 cm， 4 2 2 左、右边衬的宽度为： 42 21 3 21 7 x 3 3 ） （21 7 2 ≈1.4 cm． 4 2 2