北京师范大学959量子力学考研真题及解析
2021年物理系专业攻读硕士学位研究生入学考试《量子力学》试题及答案(试卷D)
XXX 大学物理系专业2021年攻读硕士学位研究生入学考试《量子力学》试题（试卷D ）一、回答下列问题（40分）。
1、若系统的波函数的形式为()()()12,iiEtEtx t x e x eψφφ-=+，问(),x t ψ是否定态波函数？为什么？2、算符ˆA 和ˆB 满足对易关系，ˆˆˆˆˆ,1,B A C AB ⎡⎤==⎣⎦是厄密算符，且满足本征方程ˆ,Cφλφ=问： （1）状态ˆAψφ=是否ˆC 的本征态？若是，写出本征值。
若不 是，说明理由。
（2）算符ˆA和ˆB 是否厄密算符？用简单的算符运算说明之。
3、粒子处于态()2sin ,x A kx ψ=其中k 为波数，求其动量取2k 的几率；4、氢原子的波函数()1002102112112r ψψψ-=+，求能量的可能值、相应几率和平均值。
5、设ˆU为么正算符，而()()11ˆˆˆˆˆˆ,22A U U B U U i++=+=-，试证： （1）ˆA和ˆB 均为厄密算符； （2）22ˆˆ1AB +=。
二、（15分）一量子体系的哈密顿算符0ˆˆˆ,H H H '=+在0ˆH 为对角表象中的矩阵形式为：040000ˆˆ020,00,1001000k H H k k ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪'==<< ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1、用微扰法求体系的能量，精确到二级近似；2、求精确解，与1、比较。
三、（15分）ˆA和ˆB 是属于同一体系的两个互相对易的力学量算符， 1、若12,ψψ是属于ˆA 的不同本征值的本征态，试证明12ˆ0B ψψ=；2、问：当体系处于力学量ˆA 的本征态时，力学量ˆB 是否有确定值？试就ˆA的本征值简并与非简并两种情形加以说明。
四、（20分）自旋为12的粒子，处于一维无限深势阱()0,0,0,x aU xx x a<<⎧=⎨∞<>⎩之中，写出势阱内单粒子能级和波函数。
1、计及自旋每个能级有多少个状态？说明理由。
2013年北京师范大学959量子力学考研真题
（A） (B) (C) (D)
2.若 、 为厄米算符，则下列表达式正确的是_______
（A）< ∣ ∣Ψ>=<Ψ∣ ∣ >（B）<Ψ∣ ∣Ψ>=<Ψ∣ ∣Ψ>
（C）i[ ]的平均值必为实数（D） 的平均值只可能是零或正实数
3.厄米算符 在某表象下的表示矩阵记作A，则在表象变换下不变的量有_______
（2）用简并态微扰法求第一激发态的能量修正及对应波函数（一维谐振子的波函数可用 , 表示）。
（3）严格求解 的能级，与（2）的结果比较。（提示：通过坐标变换将H表示为两个一维谐振子相加的形式）
四.（25分）考虑一个约束在半径为R高为D的圆柱的环形外表面上的电子 ，取轴向为z方向。
（1）忽略电子自旋，计算电子的能级和能量本征函数。
(A)A的行列式(B)A的迹(C)A的对角元都是实数(D)A总是对称的
4.三维各向同性谐振子（不考虑自旋）可能的简并度有_______
（A）2（B）3（C）4（D）5
5.粒子在定态下，_______
(A)波函数不随时间变化(B)粒子的几率分布不随时间变化
(C)粒子能量的平均值不随时间变化(D)粒子动量的平均值不随时间变化
北京师范大学
2013年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题
部（院、系）：物理学系
科目代码：959科目名称：量子力学
（所有答案必须写在答题纸上，做在试题或草稿纸上一律无效）
参考公式：
1.概率流密度
2.泡利矩阵 ， ，
3.一维谐振子波函数的递推公式
，其中 。
一、单选或多重选择题（共25分）多选、少选、选错均不得分。
2018年北京师范大学959量子力学考研试题
3.（30分）氢原子基态波函数为
(1)求动量空间波函数 ;
(2)计算基态动能的目名称：量子力学
4.（30分）考虑一个在方向为正子方向，强度为B的均匀磁场中的中性自旋1/2粒子，其初态是 的本征态，这是 为任意方向 的单位矢量， 为泡利算符在该方向的投影。
(1)求解初态；
(2)解出态随时间的演化；
(3)计算 ， 的可能测量值，相应几率和期望值的时间演化。
（提示：磁矩 ）
5.（30分）一个粒子在二维x-y平面运动，其哈密顿量为H ,Px、Py动量的x、y分量， 为常数，物理上正比于外磁场，请求解能量本征方程，给出能级和能量本征函数的形式。（提示：可以选力学量完全集为（H，Px），谐振子的能量本征函数可写为 其中 ）
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北京师范大学
2018年硕士研究生入学考试试题
部（院、系）：物理学系
科目代码：959科目名称：量子力学
参考公式：
1.泡利矩阵： ， ，
2.积分公式：
1.（30分）
(1)算符 ， 的对易满足 ,k为常数，如果 是 的本征函数，证明 是 的本征函数；
(2)若 为厄米算符，证明 的平均值必为非负实数；
(3)一个质量为m的粒子满足动量空间的薛定谔方程： ,其中 ,a为常数，求势函数 。
09北京师范大学量子试题
ˆi A，ˆA表示什么力学量？量子力学中守恒量是如何定义的？分）试用波函数的态叠加原理解释电子双窄缝衍射实验结果。
考虑在一维无限深势阱(0r量子力学试卷参考答案及评分标准一、二、略 三、（20分）单电子波函数及能量为：()sin(),(0);n n x x x a aπϕ=<<2222n n E maπ=, n=1,2,3… (5分)二粒子体系总波函数应是反对称的：(1,2)(1,2)(1,2)A s A ϕχΦ=或 (1,2)(1,2)(1,2)A A s ϕχΦ= （5分）基态：22011(1)(2)E E E maπ=+=[]000(1,2)(1)(2)(1)(2)(2)(1)ϕαβαβΦ=-，不简并。
（5分） 第一激发态： 22112215(1)(2)(1)(2)2E E E E E maπ=+=+=]][][]010110101(1)(2)(1)(2)(2)(1)(1)(2)(1)(2)(2)(1)1(1)(2)(2)(1)(1)(2)(2)(1)2A s s A ααϕχϕϕϕϕββαβαβϕχϕϕϕϕαβαβ⎧⎧⎪⎪=-⎨⎪⎪Φ=+⎨⎪⎪=+⋅+⎪⎩ 四重简并（5分）四、（共20分）1、因,z y p L 都是厄米算符，所以有()()z z z z y y y y i p L L p i p L L p +⎡⎤-=-⎣⎦ （5分）2、（1）因ˆ()(),1,2i i iA r a r i ψψ==; AB BA = （2分）所以，()()()i i i i AB r BA r a B r ψψψ==， （3分）则 ˆ()(1,2)iB r i ψ=也分别为A ˆ的属于本征值为1α和2α的本征函数。
（2分） （2）因111()()AB r a B r ψψ=，对此方程两边左乘*2ψ并积分得：**21121()()AB r d a B r d ψψτψψτ=⎰⎰ （3分）方程左边根据算符ˆA得厄米性有 ***2121221()()()()AB r d A B r d a B r d ψψτψψτψψτ==⎰⎰⎰ （3分） 由方程（1）和（2）有*1221ˆ()0a a Bd ψψτ-=⎰（2分）所以，*21ˆ0Bd ψψτ=⎰证毕。
2016年北京师范大学959量子力学考研真题
（若在t=0时出现中微子状态是|2>）
（1）计算t>0时中微子状态
（2）最短经过多长时间该中微子变成电子中微子？
5.（30分）某电子波函数角度部分为 ，其中 为球谐函数， 表示取自旋处于|+，z>（ 为正的本征态）总角动量 等于轨道角动量和自旋角动量之和，即 ，计算 的可能测值、相应几率以及期望值。
（3）若 ，求各能级简并度
提示：
3.（30分）氢原子处于轨道角动量量子数为l=2的态中，计算 的本征值及简并度，其中，l及s分别为氢原子的轨道角动量和自旋角动量。提示:
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科目代码：959科目名称：量子力学
4.（30分）中微子有两个态|1>和|2>，且正交归一，分别对应电子中微子和 中微子，其哈密顿量可以写为H=h|1><1|+g|1><2|+g|2><1|+h|2><2|，g、h分别为常数
北京师范大学
2016年硕士研究生入学考试试题
部（院、系）：物理学系
科目代码：959科目名称：量子力学
1.（30分）粒子在如下势中做一维运动
（1）写出束缚态能级E所满足的方程
（2）用图示法求出至少存在一个能级的条件
2.（30分）质量为m的粒子在势场 中做二维运动
（1）写出能级表达式
（2）计算 在基态时的平均值
北师大2014(量子力学)
北京师范大学2014年招收攻读硕士学位研究生入学考试模拟试题部（院、系）：物理学系科目代码：959科目名称：量子力学（所有答案必须写在答题纸上，做在试题或草稿纸上一律无效）参考公式：泡利矩阵0110x σ⎛⎫= ⎪⎝⎭，00y i i σ-⎛⎫= ⎪⎝⎭，1001z σ⎛⎫= ⎪-⎝⎭一、单选或多重选择题（共25分）多选、少选、选错均不得分。
1.以下几对算符中，存在共同本征态的有_______（A）ˆˆ,x y p p (B)ˆˆ,x x p (C)ˆˆ,x y s s (D)ˆˆ,x yl l 2.三维各向同性谐振子（不考虑自旋）可能的简并度有________（A）2（B）3（C）4（D）53.以下哪个（些）算符一定为厄米算符________(A)ψψ(B)ψϕ(C)ψϕϕψ+(D)ψϕϕψ-4.以下叙述正确的是________（A）两个定态的叠加是定态（B）若两算符存在共同本征态，则两算符必对易（C）在定态下，几率密度满足（D）定态必定是能量本征态5.厄米算符ˆA、ˆB 满足ˆˆˆˆ0AB BA +=。
若ψ是ˆA 的本征态，本征值非零，则________(A)ψ必为ˆB的本征态(B)ˆBψ必为ˆA 的本征态(C)ˆAψ必为ˆB 的本征态(D)ˆB在ψ中的平均值必为零第1页共3页科目代码：959科目名称：量子力学二、（25分）一根长为l无质量的绳子一端固定，另一端系质量为m的质点。
在重力作用下，质点在竖直平面内摆动。
（1）写出质点运动的哈密顿量；（2）在小角度下求系统的能级；（3）求由于小角度近似的误差而产生的基态能量最低阶修正。
微信搜索：34310531欢迎关注：物理轻松学三、（25分）1/2自旋算符可以用泡利矩阵表示为，其中的两个本征态为和。
（1）求的本征态，其中；（2）求算符对的两个本征态和作用的结果；（3）说明以上两小题的结果之间的关系和的物理意义。
四、（25分）已知轨道角动量在n方向上的分量为其中，为已知的方位角，求在算符与的共同本征态上算符n和n 的平均值。
北京师范大学考研物理2019量子力学
5. (30) 两个电子被紧紧束缚在晶体的相邻位置上，可分辨，也不来考虑它们的空间运 动。他们的自旋分别为：s1, s2。两个电子之间的相互作用可以用如下的哈密顿量表示： Hˆ == −J [sˆ1xsˆ2x + sˆ1ysˆ2y + ∆sˆ1zsˆ2z]其中J 为常数。
(1) 求系统的能级和属于各能级的本征态，自旋部分。
(1) t = 0，中微子处于|1 >，求t > 0时波函数。
(2) 从|1 >态到|2 >态最短时间。 (3) 定义算符σˆ，σˆx = |1 >< 1| − |2 >< 2|，σˆy = −i|1 >< 2| + i|2 >< 1|，求σˆ期望值随
时间演化函数。 (4) 最短时间σˆ期望值旋转一周。
北师大2019年量子力学
1.证明题 (30)
(1) 算符Aˆ,Bˆ满足AˆBˆ+BˆAˆ = 0，Aˆ, Bˆ的共同本征态为ψ，Aˆψ = aψ, Bˆψ = bψ，证ab = 0。
(2)
证明 dx dt
=
px 。
m
βδ(x) −a ≤ x ≤ a, 2. (30) 一维无限深势阱，V (x) = ∞ |x| ≥ a
提示：
∂2 ∂2 ∂2 ∂2 1 ∂ 1 ∂2 + + =+ +
∂x2 ∂y2 ∂z2 ρ2 ρ ρ ρ2 ∂φ2
1 arctan (x) =
1 + x2
4. (30) 中微子两个归一正交态|1 >, |2 >，
Hˆ = h|1 >< 1| + g|2 >< 1| + g|1 >< 2| + h|2 >< 2|
北师大2012(量子力学)
北京师范大学2012年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题部（院、系）：物理学系科目代码：959科目名称：量子力学（所有答案必须写在答题纸上，做在试题纸或草稿纸上的一律无效）参考公式：泡利矩阵0110x σ⎛⎫= ⎪⎝⎭，00y i i σ-⎛⎫= ⎪⎝⎭，1001z σ⎛⎫= ⎪-⎝⎭一.选择题（共25分）。
写清每题的题号及所有正确答案，多选、少选、选错均不得分。
1.一维粒子处于势函数()V x 中，已知()V x 是实值偶函数，且()x ψ是能量本征方程的一个解，则(A )()x ψ必为偶函数(B )()x ψ-一定是能量本征方程的解(C )()x ψ必为实值函数(D )()x ψ的复共轭函数*()x ψ一定是能量本征方程的解2.以下哪个（些）数字可能是氢原子能级的简并度(A )2(B )4(C )7(D )93.若算符ˆA满足2ˆˆA A =，则(A )ˆA 的本征值只可能是0或1(B )ˆA必为厄米算符(C )ˆA在任何态的平均值为非负实数(D )ˆA 必为常数算符4.以下哪个（些）算符一定为厄米算符(A )ψψ(B )ψϕ(C )ψϕϕψ+(D )ψϕϕψ-5.厄米算符ˆA、ˆB 满足ˆˆˆˆ0AB BA +=。
若ψ是ˆA 的本征态，本征值非零，则(A )ψ必为ˆB 的本征态(B )ˆBψ必为ˆA 的本征态(C )ˆAψ必为ˆB 的本征态(D )ˆB 在ψ中的平均值必为零。
（转背面！）第1页共3页第2页共3页二.（25分）已知20()2p H V x m=+的某个能级是E ，若系统变为0H H p α=+（α为常数），求该能级的变化。
（提示：此题需严格求解，可在动量表象下计算）三.（25分）在某自旋态χ中，测2z s = 的概率是12，测2x s = 的概率是34，求χ所有可能的独立解，结果用z s 表象α与β表示。
四.（25分）考虑一个沿x 方向运动的一维电子，其运动存在自旋轨道耦合，哈密顿量可写成微信搜索：34310531欢迎关注：物理轻松学21()2σσ=++Ωz x H p a m 其中,αΩ为常数。
《中科院量子力学考研真题及答案详解(1990—2010共40套真题)》
ˆ2 之间的一切对易关系； ˆ, L ˆ , L ˆ 及算符 L (1) 写出角动量算符 L x y z ˆ2 与 L ˆ 的本征态，求出本征值； 亦为 L z ˆ 与L ˆ 的本征态。 (3) 证明当 l 0 时，态 lm 也是 L x y
三、请根据不确定关系估计氢原子基态的能量。
ˆ2 与 L ˆ iL ˆ ˆ 的本征态，本征值分别为 l (l 1) 2 和 m ，证明 L (2) 设 lm 是 L z x y lm
1 1 1 1 ˆ , a† ˆ , 。 xi p x i p 2 2 † a, a 1； (1) 证明 a
ˆ； a † 写出哈密顿量 H ˆ 的本征矢，本征值为 E 。证明 a n 为 H ˆ 的本征矢，本征值为 ( E ) 。 (3) 设 n 为 H n n
Ze Z 3 Zr a Ze 3 r 2 , a为 e (r ) 2 ，球外电势为 ，类氢原子基态波函数 1s R 2 2R a3 r
玻尔半径。 四、 ˆ, J ˆ 的表达式。 ˆS ˆ S (1) 用 j , l , s 写出 L ˆ 的可能值。 ˆS (2) 对于 l 2, s 1 2 ，计算 L
Hale Waihona Puke (3) 一维谐振子的维里定理是 T V ，试利用这个定理证明： x p
x x 2 x 2 , p p 2 p 2 。
，其中 2
三、精确到微扰论的一级近似， 试计算由于不把原子核当作点电荷， 而作为是半径为 R ， 均匀带电荷 Ze 的球体所引起的类氢原子基态能量的修正。已知球内静电势
3
中国科学院－中国科技大学 1991 年招收攻读硕士学位研究生入学试卷
北京师范大学研究生入学考试《量子力学》2020年试题及答案
＼ ＿ ll －迈 l ） ＿ －迈 3 ）
\
l
－ 立 －
6
综上所述 2.
E1 = liw, I妇〉 二 —l |11〉+ — l |10〉十 —1 |l — l〉
2
迈
2
E2 二—liw,
I心〉＝
—1
2
111〉—
— 1 迈
|10〉十
—1 |l — 2
l〉
E3 = o, I心劝＝言 |11〉— 言 |l — l〉
)
( 0 1 ）( 1
/0
』 ( l ) ＿ 1 ) z 0 \— O —\ 1
』 （ l ） ＿ （ O1 ＿ a ( 1 )
＼\ _ | ／
： 5^
^ 5
/Qx @@ )) ＿ ＿a3 5
＿＿
” ｀ l 1 ） ＿ _h 2 ( x a ( l ） Q ( 2)+ 6 ^ 凶1 ) a 位 乌门 2 -iw- ( 3 （ 1 ) a （ 2 ） + 3 ( 2 ) Q （ 2 门
3求平均值<Sx>随t变化的关系式；
4求平均值<Sz>随t变化的关系式；
5求<Sz>与波函数的周期。
提示：炉和Sz的共同本征态为 Xoo =言［a（1)队2) — f3(1)a(2)] � X11 = a(1)a(2)
X10 =言［a（1)队2) + /3(1)a(2)] � Xi-1 = /3(1)/3(2)
E4 =0, I心4〉= |00〉
t>O 时，
1心 (t)〉＝区
t
Cne-iEn /n
I 釭〉，
1心 (0)〉＝ |11〉
n=l
《量子力学》22套考研自测题+答案
（2）求自旋角动量的 z 分量 sz 的平均值；
（3）求总磁矩 M = − e L − e s
2μ μ
的 z 分量 M z 的平均值。
12. s 、L 分别为电子的自旋和轨道角动量，J = s + L 为电子的总角动 量。证明：[ J , s ⋅ L ]=0；[ J 2 , Jα ]=0，α = x, y, z。 13.质量为 μ 的粒子受微扰后，在一维势场中运动，
QQ：704999167
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量子力学自测题（5）
一、 填空题（本题 20 分）
1．Planck 的量子假说揭示了微观粒子
特性，Einstein 的光
量子假说揭示了光的
性。Bohr 的氢原子理论解决了经典
考研自测题精美汇总
电磁场理论和原子的
之间的矛盾，解决了原子的
的起源问题。
2．力学量算符必须是
QQ：704999167
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量子力学自测题（3）
一、 简答题（每小题 5 分，共 40 分）
1.一粒子的波函数为ψ (r ) = ψ (x, y, z) ，写出粒子位于 x ~ x + dx 间的几
率。
考研自测题精美汇总
2.粒子在一维δ 势阱V (x) = −γ δ (x)， (γ > 0)，中运动，波函数为ψ (x) ，
ψ （1，2，），试证明交换算符 Pˆ12 是一个守恒量。 2．设Uˆ 是一个幺正算符，求证 Hˆ = i dUˆ ⋅Uˆ + 是厄米算符。
dt
3．设σ y 为 Pauli 矩阵， （1）求证： eiθσ y = cosθ + iσ y sinθ （2）试求：Treiθσ y
《量子力学》考研(思考题+填空题)汇总
第一章思考题1．下说法是否正确：（1）量子力学适用于微观体系，而经典力学适用于宏观体系；（2）量子力学适用于不能忽略的体系，而经典力学适用于=可以忽略的体系。
=答：（1）量子力学是比经典力学更为普遍的理论体系，它可以包容整个经典力学体系。
（2）对于宏观体系或可以忽略的体系，并非量子力学不能适用，而是量子力学实际上已经过渡到经典力学，二者相吻合了。
=2．什么是黑体？（1）黑颜色的物体。
（2）完全吸收任何波长的外来辐射而无反射的物体。
（3）完全吸收任何波长的外来辐射而无任何辐射的物体。
（4）吸收比为1的物体。
（5）在任何温度下，对入射的任何波长的辐射全部吸收的物体。
答：（4），（5）正确。
吸收比α（λ，T ）=1蕴含了任何温度下，对入射的任何波长的辐射α（λ，T ）均为1。
（2）是常见的黑体定义，显然，应加上“在任何温度下”才完整。
3．康普顿效应中入射光子的能量只有部分被电子吸收，这是否意味着光子在相互作用过程中是可分的？答：光电效应中，一个电子同时吸收两个光电子的概率非常小，一个电子只吸收一个光子。
另外，实测中光电发射没有可分辨出的时间延迟，这说明，电子没有能量的积累过程，即电子吸收一个光子后再吸收一个光子的概率也是非常小的。
因而，截止频率的限制是必需的。
4．德布罗意关系式是仅适用与基本粒子如电子、中子之类还是同样适用于具有内部结构的复合体系？答：德布罗意关系式是适用于一切物质的普遍关系，是波粒二象性的反映而与物质具体结构无关。
因此，不仅适用于基本粒子也适用于具有内部结构的复杂体系。
5．粒子的德布罗意波长是否可以比其本身线度长或短？二者之间是否有必然联系？答：由基本假设 λ=ph ，波长仅取决于粒子的动量而与粒子本身线度无必然联系。
6．在电子衍射实验中，单个电子的落点是无规律的，而大量电子的散落则形成了衍射图样，这是否意味着单个粒子呈现粒子性，大量粒子集合呈现波动性？答：为了验证是否大量粒子集合才呈现波动性，1949年比尔曼（苏）等曾做了，极微弱电子束射向金属箔 发生的射的实验，实验中两个电子相继穿过衍射系统的时间约为一个电子穿过仪器所需时间的三万倍！尽管这样，产生的衍射图样和用强大的倍的电子束所得到的图样完全一样。
《中科院量子力学考研真题及答案详解(1990—2010共40套真题)》
试题名称：1992 量子力学（理论型）
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中国科学院－中国科技大学 1992 年招收攻读硕士学位研究生入学试卷
试题名称： 量子力学（实验型）
说明：共五道大题，无选择题，计分在题尾标出，满分 100 分。
一、简单回答下列问题： (1) 举出一个实验事实说明微观粒子具有波粒二象性。 (2) 量子力学的波函数与经典的波场有何本质的区别？ (3) 如图所示，一个光子入射到半透半反镜面 M , P 1和P 2 为光电 探测器，试分别按照经典与量子的观点说明 P 1和P 是否能同时 接收到光信号（ l1 l2 ） 。
E
n
n
E0 n x 0
2
常数
ˆ2 ˆ p 这里 En 是哈密顿量 H V ( x) 的本征能量，相应的本征态为 n 。求出该常数。 2m 三、设一质量为 的粒子在球对称势 V (r ) kr (k 0) 中运动。利用测不准关系估算其 基态的能量。 四、电子偶素（ e e 束缚态）类似于氢原子，只是用一个正电子代替质子作为核，在非 相对论极限下，其能量和波函数与氢原子类似。今设在电子偶素的基态里，存在一 ˆ 和M ˆ 8 M ˆ M ˆ 其中 M ˆ 是电子和正电子的自旋磁矩 种接触型自旋交换作用 H e p e p 3 ˆ , q e) 。利用一级微扰论，计算此基态中自旋单态与三重态之间的能 ˆ q S (M mc 量差，决定哪一个能量更低。对普通的氢原子，基态波函数： 1 r a e2 1 2 100 e , a , 3 2 me a c 137
ˆ A , ˆ 与B ˆ 具有共同本征态函数，即 A 二、若厄密算符 A na n na
ˆ B ，而且构成体系状 B na n na
量子力学试题
量子力学试题(共21页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--量子力学试题（一）及答案一. （20分）质量为m 的粒子，在一维无限深势阱中()⎩⎨⎧><∞≤≤=a x x a x x V ,0 ,0,0中运动，若0=t 时，粒子处于 ()()()()x x x x 3212131210,ϕϕϕψ+-=状态上，其中，()x n ϕ为粒子能量的第n 个本征态。
（1） 求0=t 时能量的可测值与相应的取值几率；（2） 求0>t 时的波函数()t x ,ψ及能量的可测值与相应的取值几率 解：非对称一维无限深势阱中粒子的本征解为()xan a x n n m a E n n πϕπsin 2,3,2,1 ,22222===（1） 首先，将()0,x ψ归一化。
由12131212222=⋅⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛c 可知，归一化常数为 1312=c 于是，归一化后的波函数为 ()()()()x x x x 3211331341360,ϕϕϕψ++-=能量的取值几率为 ()()()133;134;136321===E W E W E W 能量取其它值的几率皆为零。
（2） 因为哈密顿算符不显含时间，故0>t 时的波函数为()()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=t E x t E x t E x t x 332211i exp 133i exp 134i exp 136, ϕϕϕψ（3） 由于哈密顿量是守恒量，所以0>t 时的取值几率与0=t 时相同。
二. （20分）质量为m 的粒子在一维势阱()⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤-<∞=a x a x V x x V ,00,0.0 中运动()00>V ，若已知该粒子在此势阱中有一个能量2V E -=的状态，试确定此势阱的宽度a 。
量子力学习题集及解答
量子力学习题集及解答目录第一章量子理论基础 (1)第二章波函数和薛定谔方程 (5)第三章力学量的算符表示 (28)第四章表象理论 (48)第五章近似方法 (60)第六章碰撞理论 (94)第七章自旋和角动量 (102)第八章多体问题 (116)第九章相对论波动方程 (128)第一章 量子理论基础1．设一电子为电势差V 所加速，最后打在靶上，若电子的动能转化为一个光子，求当这光子相应的光波波长分别为5000A （可见光），1A （x 射线）以及0.001A （γ射线）时，加速电子所需的电势差是多少？[解] 电子在电势差V 加速下，得到的能量是eV m =221υ这个能量全部转化为一个光子的能量，即λνυhc h eV m ===221 )(1024.1106.11031063.6419834A e hc V λλλ⨯=⋅⨯⨯⨯⨯==∴--（伏） 当 A 50001=λ时， 48.21=V （伏）A 12=λ时 421024.1⨯=V （伏）A 001.03=λ时 731024.1⨯=V （伏）2．利用普朗克的能量分布函数证明辐射的总能量和绝对温度的四次方成正比，并求比例系数。
[解] 普朗克公式为18/33-⋅=kT hv v e dvc hvd πνρ单位体积辐射的总能量为⎰⎰∞∞-==00/3313T hv v e dv v c h dv U κπρ令kThvy =，则 440333418T T e dy y c h k U y σπ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎰∞ （★） 其中 ⎰∞-=0333418y e dyy c h k πσ （★★）（★）式表明，辐射的总能量U 和绝对温度T 的四次方成正比。
这个公式就是斯忒蕃——玻耳兹曼公式。
其中σ是比例常数，可求出如下：因为)1()1(1121 +++=-=-------y y y y y ye e e e e e ∑∞=-=1n ny edy e y e dy y n ny y ⎰∑⎰∞∞=-∞⎪⎭⎫ ⎝⎛=-013031 令 ny x =，上式成为dx e x n e dy y xn y ⎰∑⎰∞-∞=∞=-03140311 用分部积分法求后一积分，有⎰⎰⎰∞-∞∞--∞∞--+-=+-=0220332333dx xe e x dx e x e x dx e x x xx xx66660=-=+-=∞∞--∞-⎰xx x e dx e xe又因无穷级数 ∑∞==144901n nπ故⎰∞=⨯=-0443159061ππye dy y 因此，比例常数⎰∞-⨯==-=015334533341056.715818ch k e dy y c h k y ππσ尔格/厘米3·度43．求与下列各粒子相关的德布罗意波长：（1）能量为100电子伏的自由电子； （2）能量为0.1电子伏的自由中子； （3）能量为0.1电子伏，质量为1克的质点； （4）温度T =1k 时，具有动能kT E 23=（k 为玻耳兹曼常数）的氦原子。
2017年北京师范大学959量子力学考研真题
②求出电子运动状态的时间演化。
③计算期望值 的时间演化。
提示：
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3.质量为m，频率为ω的二维谐振子某能级简并度为3，则该能级的能量为
A. B. C. D.
4.三维粒子波函数的量纲是（L代表长度量纲）
A.无量纲B. L C. L-1D. L-3/2
5.对处于中心立场中的粒子进行测量；哪些量的平均值不随时间变化
A. l2B. LzC. R D. PX
6.考虑自旋后，电子的二分量波函数可表示为 ，其归一化条件为
北京师范大学
2017年硕士研究生入学考试试题
部（院、系）：物理学系
科目代码：959科目名称：量子力学
1、选择题（不定项选择，多选少选错选均不得分）
1.若A B是厄米算符，则以下比为厄米算符的有
A.AB B. A+B C. [A,B] D. i[A,B]
2.若A为厄米算符，则
A. ：可将衰变视为突发微扰；氢原子或类氢离子径向波函数 其中 ，Z为核电荷数。
4、定义 方向的角动量 。设一个粒子处于角动量平方l2和z分量lz的共同本征态Ylm，请计算ln的期望值。
5、一个质量为m的电子在半径为R的球面上运动，其能量包括转动动能和自旋与轨道角动量耦合能 ，设初始时刻电子处于 态（Y11是球谐函数，x-1/2表示自旋为-z方向）
A. B.
C. D.
2、证明题
1.质量为m的粒子在一维势场中运动，证明： ，其中 表示平均值。
2.已知A、B为厄米算符，且满足AB+BA=0，如果Ψ为A的本征值，且求本征值不为0，证明：在Ψ态下测量B的平均值为0。
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科目代码：959科目名称：量子力学
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【内部资料】
北京师范大学考研历年真题解析
——959 量子力学
主编：弘毅考研 编者：海阔天空
弘毅教育出品
1 士不可不弘毅，任重而道远！——弘毅考研
历年真题解析 【资料说明】
【内部资料】
《量子力学历年真题解析（专业课）》系北京师范大学优秀考研辅导团队集体编撰的“历年考 研真题解析系列资料”之一。 历年真题是除了参考教材之外的最重要的一份资料，其实，这也是我们聚团队之力，编撰此资 料的原因所在。历年真题除了能直接告诉我们历年考研试题中考了哪些内容、哪一年考试难、哪一 年考试容易之外，还能告诉我们很多东西。 1.命题风格与试题难易 第一眼看到北师大历年试题的同学，都觉得试题“简单”。其实， 这也是很多学生选择北师 大的原因吧。北师大的试题不偏、不怪，80% 的题目可以在课本上找到部分的答案。这不同于一些 学校的试题，比如北京大学，理论性很强，说不会答，一点也答不上来。北师大的试题，不管你复 习的怎么样，一般都能答上一点，至于能答到什么程度， 则因人而异。 现在，我告诉大家一个数字，“6. 55%”，这是学校公布的 2010 年物理学专业的录取率。看 到这个数字，你还会觉得题目“简单”吗？ 其实，“试题很基础”----“试题很简单”----“能得 高分”根本不是一回事。试题很基础，所以每个学生都能答上一二，但是想得高分，就要比其他学 生强，要答出别人答不出来的东西。要答出别人答不出来的东西，这容易吗？大家不要被试题表象 所迷惑。很多学生考完，感觉超好，可成绩出来却不到 100 分，很大程度上就是这个原因：把考的 基础当成考的简单。其实这很像武侠小说中的全真教，招式看似平淡无奇，没有剑走偏锋的现象， 但是如果没有扎实的基础和深厚的内功是不会成为大师的。我们只能说命题的风格是侧重考察基础 的知识， 但是，我们要答出亮点，让老师给你高分，这并不容易。 2.考试题型与分值 大家要了解有哪些题型，每个题型的分值。从最近五年看，北师大的题目基本都是解答题，个 别年份有选择题和填空题。可很多学生平时喜欢做选择题，不想写，到考试的时候就会傻眼。每个 题型的分值是不一样的，一个选择题一般也就是 5 分，可一个计算题就是２５分。这要求我们平时 一定要注意解答能力的练习。 3.各章节的出题比重 北师大的专业课没有考试大纲， 因此没有重、 难点的告知， 但大家可以通过对历年真题的分析， 掌握各个章节在整个考研中的重要地位。例如，薛定谔方程，微扰，自旋等，怎么复习？通过看历 年真题， 我们就发现知识点较平均， 重点是基础理论的把握。 通过这些分析， 就把握了复习的重点。 4.重要的已考知识点
6
完整版资料请查看来源网站：/thread-1046039-1-1.html
ˆ 的本征态 (A) 必为 B ˆ 的本征态 ˆ 必为 A (B) B
5
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历年真题解析
【内部资料】
ˆ 必为 B ˆ 的本征态 (C) A
ˆ 在 中的平均值必为零. (D) B
3 士不可不弘毅，任重而道远！——弘毅考研
历年真题解析
【内部资料】
目 录
2012 年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题 ............................................ 5 2011 年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题 ............................ 错误!未定义书签。 2010 年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题 ............................ 错误!未定义书签。 2009 年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题 ............................ 错误!未定义书签。 2008 年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题 ............................ 错误!未定义书签。 2007 年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题 ............................ 错误!未定义书签。 2006 年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题 ............................ 错误!未定义书签。 2005 年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题 ............................ 错误!未定义书签。 2004 年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题 ............................ 错误!未定义书签。 2003 年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题 ............................ 错误!未定义书签。 2012 年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题解析 ........................ 错误!未定义书签。 2011 年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题解析 ........................ 错误!未定义书签。 2009 年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题解析 ........................ 错误!未定义书签。 2008 年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题解析 ........................ 错误!未定义书签。 2007 年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题解析 ........................ 错误!未定义书签。 2006 年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题解析 ........................ 错误!未定义书签。 2005 年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题解析 ........................ 错误!未定义书签。 2004 年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题解析 ........................ 错误!未定义书签。 2003 年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题解析 ........................ 错误!未定义书签。
Hale Waihona Puke 2 士不可不弘毅，任重而道远！——弘毅考研
历年真题解析
【内部资料】
考研专业课试卷中，很多考点会反复出现，一方面告诉大家这是重点，另一方面也可以帮助大 家记忆重要知识点，灵活的掌握各种答题方法。 ５.反复变化的出题方式 很多考研试题中， 有些同学可能认为这个考点已经作为填空考过了， 就不会再考了； 其实不然， 有些老师认为出填空题远远不能体现该考点的重要性，因此有可能会把它变作解答题再拿出来考。 这其实对每个考生都是公平的，如果有人就想着投机取巧，恐怕会吃些苦头了。因此，一些可能演 变成论述题的简答题大家一定要重视。例如２０１２年的解答题就来自于２００９年的填空题。 通过上述的分析，我们不难看出历年真题在备考中的重要性！真题不仅要好好研究，而且还要 作为最重要的模拟题反复地训练，在模拟训练的时候，要尽量做到仔细、反复练习。 本资料是迄今为止，唯一一套由北师大物理学研究生、博士生组成的考研辅导团队集体编撰的 考研辅导用书，希望通过此书，能与大家相聚北师大！由于时间、水平所限，资料中难免有不妥之 处，尚需考生谅解，并恳切希望不吝赐教。 本套资料的整理，得到了老师的指导，广大考生的支持，在此深表感谢。
4. 以下哪个（些）算符一定为厄米算符 (A) (B) (C) (D)
ˆ 必为厄米算符 (B) A ˆ 必为常数算符 (D) A
ˆB ˆ 0 .若 是 A ˆB ˆA ˆ 、B ˆ 的本征态，本征值非零，则 ˆ 满足 A 5. 厄米算符 A
4 士不可不弘毅，任重而道远！——弘毅考研
历年真题解析
【内部资料】
2012 年招收攻读硕士学位研究生入学考试 试题
部（院、系） ： 物理系 科目代码： 959 科目名称： 量子力学
（所有答案必须写在答题纸上，做在试题纸或草稿纸上的一律无效） 参考公式：泡利矩阵 x 1
0 1 0 i 1 0 ， y ， z 0 1 0 i 0
一．选择题（共 25 分）写清每题的题号及所有正确答案，多选、少选、选错均不得分. 1. 一维粒子处于势函数 V x 中，已知 V x 是实值偶函数，且 x 是能量本征方程的 一个解，则 (A) x 必为偶函数 (B) x 一定是能量本征方程的解
*
(C) x 必为实值函数 (D) x 的复共轭函数 2. 以下哪个（些）数字可能是氢原子能级的简并度 (A) 2 (B) 4 (C) 7 (D) 9
x 一定是能量本征方程的解
ˆ 满足 A ˆ2 A ˆ ，则 3. 若算符 A ˆ 的本征值只可能是 0 或 1 (A) A ˆ 在任何态的平均值为非负函数 (C) A