2006年福建高考数学卷(理科)
2006年高考试题——理综(福建卷)
绝密★启用前2006年普通高等学校招生全国统一考试理科综合能力测试本试卷分第I卷（选择题）和第a卷（非选择题）两部分。
第I卷1至4页，第Ⅱ卷5 至8页。
考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。
第I卷注愈事项：1.答题前，考生在答题卡上务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效．3本卷共21小题，每小题6分，共126分。
以下数据可供解题时参考：相对原子质量（原子量）：H 1 C 12 N 14 O 16一、选择题（本题包括13小题。
每小题只有一个选项符合题意）1.人的神经系统中，有些神经细胞既能传导兴奋，又能合成分泌激素。
这些细胞位于A.大脑皮层B. 垂体C. 下丘脑D. 脊髓2.一般情况下，用抗原免疫机体，血清中抗体浓度会发生相应变化。
如果第二次免疫与第一次免疫所用的抗原相同且剂量相等，下列四图中能正确表示血清中抗体浓度变化的是3.下列关于动物细胞培养的叙述，正确的是A.培养中的人效应T细胞能产生单克隆抗体B.培养中的人B 细胞能够无限地增殖C.人的成熟红细胞经过培养能形成细胞株D.用胰蛋白酶处理肝组织可获得单个肝细胞4.锄足蟾蝌蚪、雨蛙蝌蚪和蟾蜍蝌蚪均以浮游生物为食。
在条件相同的四个池塘中，每池放养等量的三种蝌蚪，各池蝌蚪总数相同。
再分别在四个池塘中放入不同数量的捕食者水螈。
一段时间后，三种蝌蚪数量变化结果如图。
下列分析，错误的是A.无水螈的池塘中，锄足蟾蝌蚪数量为J 型增长B.三种蝌蚪之间为竞争关系C.水螈更喜捕食锄足蟾蝌蚪D.水螈改变了三种蝌蚪间相互作用的结果5.采用基因工程技术将人凝血因子基因导入山羊受精卵，培育出了转基因羊。
但是，人凝血因子只存在于该转基因羊的乳汁中。
以下有关叙述，正确的是A.人体细胞中凝血因子基因编码区的碱基对数目，等于凝血因子氨基酸数目的3倍B.可用显微注射技术将含有人凝血因子基因的重组DNA 分子导入羊的受精卵C.在转基因羊中，人凝血因子基因存在于乳腺细胞，而不存在于其他体细胞中D.人凝血因子基因开始转录后，DNA 连接酶以DNA 分子的一条链为模板合成mRNA6.在常温常压下呈气态的化合物，降温使其固化得到的晶体属于A.分子晶体B.原子晶体C.离子晶体D.何种晶体无法判断7.下列叙述正确的是A.同一主族的元素，原子半径越大，其单质的熔点一定越高B.同一周期元素的原子，半径越小越容易失去电子C.同一主族的元素的氢化物，相对分子质量越大，它的沸点一定越高D.稀有气体元素的原子序数越大，其单质的沸点一定越高8.用A N 代表阿伏加德罗常数，下列说法正确的是A NB.标准状况下，11.2L 3SO 所含的分子数为0.5A N4CH 所含的电子数为1A ND.46g 2NO 和24N O 的混合物含有的分子数为1A N9.把分别盛有熔融的氯化钾、氯化镁、氯化铝的三个电解槽串连，在一定条件下通电一段时间后，析出钾、镁、铝的物质的量之比为A. 1:2:3B. 3:2:1C.6:3:1D. 6:3:210. 浓度均为0.1mol·L-1的三种溶液等体积混和，充分反映后没有沉淀的一组溶液是A. BaCl2 NaOH NaHCO3B. Na2CO3 MgCl2 H2SO4C. AlCl3 NH3·H2O NaOHD. Ba(OH)2CaCl2Na2SO411.在0.1mol·L-1CH3COOH溶液中存在如下电离平衡：CH3COOH CH3COO-+H+对于该平衡，下列叙述正确的是A.加入水时，平衡向逆反应方向移动B.加入少量NaOH固体，平衡向正反应方向移动C.加入少量0.1mol·L-1HCl溶液，溶液中c（H+）减小D.加入少量CH3COONa固体，平衡向正反应方向移动12. 茉莉醛具有浓郁的茉莉花香，其结构简式如下所示：关于茉莉醛的下列叙述错误的是A.在加热和催化剂作用下，能被氢气还原B.能被高锰酸钾酸性溶液氧化C.在一定条件下能与溴发生取代反应D.不能与氢溴酸发生加成反应13.由硫酸钾、硫酸铝和硫酸组成的混和溶液，其pH＝1，c（Al3+）＝0.4mol·L-1，c（SO42-）＝0.8mol·L-1，则c（K+）为·L-1·L-1·L-1·L-1二、选择题（本题包括8小题。
2006高考理科数学试卷及答案全国1
2006年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（全国卷Ⅰ）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1至2页。
第Ⅱ卷3到10页。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
不能答在试题卷上。
3．本卷共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球是表面积公式)()()(B P A P B A P +=+ 24R S π=如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径)()()(B P A P B A P ⋅=⋅ 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么334R V π=n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径k n k kn n P P C k P --=)1()(一．选择题（1）设集合M={x|x 2-x<0},N={x||x|<2},则（A ）M φ=N （B ）M M N =（C ）M N M =（D ）R N M =（2）已知函数y=e x 的图象与函数y=f(x)的图象关于直线y=x 对称，则（A ）f(2x)=e 2x (x )R ∈ （B ）f(2x)=ln2lnx(x>0)（C ）f(2x)=2e 2x (x )R ∈（D ）f(2x)= lnx+ln2(x>0)（3）双曲线mx 2+y 2=1的虚轴长是实轴长的2倍,则m=（A ）-41 （B ）-4 (C)4 （D ）41 （4）如果(m 2+i)(1+mi)是实数,则实数m=（A ）1（B ）-1（C ）2（D ）-2（5）函数f(x)=tan(x+4π)的单调递增区间为（A ）(k π-2π, k π+2π),k Z ∈ （B ）(k π, (k+1)π),k Z ∈ (C) (k π-43π, k π+4π),k Z ∈ （D ）(k π-4π, k π+43π),k Z ∈ （6）∆ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 、b 、c ，且c=2a ，则cosB=（A ）41 （B ）43（C ）42 （D ）32（7）已知各顶点都在一个球面上的正四棱锥高为4，体积为16，则这个球的表面积是（A ）16 π （B ）20π （C ）24π （D ）32π （8）抛物线y=-x 2上的点到4x+3y-8=0直线的距离的最小值是（A ）34 （B ）57 （C ）58 （D ）3（9）设平面向量a 1、a 2、a 3的和a 1+a 2+a 3=0，如果平面向量b 1、b 2、b 3满足|b i |=2|a i |，且a i 顺时针旋转30︒后与同向，其中i=1、2、3，则（A ）-b 1+b 2+b 3=0 （B ）b 1-b 2+b 3=0（C ）b 1+b 2-b 3=0 （D ）b 1+b 2+b 3=0（10）设{a n }是公差为正数的等差数列，若a 1+a 2+a 3=15，a 1a 2a 3=80，则a 11+a 12+a 13=（A ）120 （B ）105 （C ）90 （D ）75（11）用长度分别为2、3、4、5、6(单位:cm)的细木棒围成一个三角形(允许连接,但不允许折断),能够得到期的三角形面积的最大值为（A ）85cm 2（B ）610cm 2（C ）355cm 2（D ）20cm 2（12）设集合I={1，2，3，4，5}，选择I 的两个非空子和B ，要使B 中的最小的数大于A 中最大的数，则不同的选择方法共有（A ）50种 （B ）49种 （C ）48种 （D ）47种第Ⅱ卷注意事项：1．用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷上。
2006年高考理科数学试题及答案(福建卷)
页眉内容阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。
——培根2006年高考试题理科数学（福建卷）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）设,,,a b c R ∈则复数()()a bi c di ++为实数的充要条件是（A ）0ad bc -= （B ）0ac bd -= （C ）0ac bd += （D ）0ad bc +=（2）在等差数列{}n a 中，已知1232,13,a a a =+=则456a a a ++等于（A ）40 （B ）42 （C ）43 （D ）45（3）已知3(,),sin ,25παπα∈=则tan()4πα+等于 （A ）17 （B ）7 （C ）17- （D ）7- （4）已知全集,U R =且{}{}2|12,|680,A x x B x x x =->=-+<则()U C A B 等于 （A ）[1,4)- （B ）(2,3) （C ）(2,3] （D ）(1,4)-（5）已知正方体外接球的体积是323π，那么正方体的棱长等于（A ） （B ）3 （C ）3（D ）3 （6）在一个口袋中装有5个白球和3个黑球，这些球除颜色外完全相同。
从中摸出3个球，至少摸到2个黑球的概率等于（A ）27 （B ）38 （C ）37 （D ）928（7）对于平面α和共面的直线m 、,n 下列命题中真命题是（A ）若,,m m n α⊥⊥则n α∥ （B ）若m αα∥,n ∥,则m ∥n （C ）若,m n αα⊂∥,则m ∥n （D ）若m 、n 与α所成的角相等，则m ∥n（8）函数2log (1)1x y x x =>-的反函数是 （A ）2(0)21x x y x =>- （B ）2(0)21xx y x =<- （C ）21(0)2x x y x -=> （D ）21(0)2x x y x -=< （9）已知函数()2sin (0)f x x ωω=>在区间,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值是2-，则ω的最小值等于（A ）23 （B ）32（C ）2 （D ）3 （10）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60o 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（A ）(1,2] （B ）(1,2) （C ）[2,)+∞ （D ）(2,)+∞（11）已知1,3,.0,OA OB OAOB ===点C 在AOC ∠30o =。
2006年高考理科数学试题及答案(全国卷2)
2006高考理科数学试题全国II 卷一．选择题(1)已知集合{}2{|3},|log 1M x x N x x =<=>，则M N =（A ）∅ （B ）{}|03x x << （C ）{}|13x x << （D ）{}|23x x <<（2）函数sin 2cos 2y x x =的最小正周期是（A ）2π （B ）4π （C ）4π （D)2π （3）23(1)i =- (A ）32i （B ）32i - （C)i （D ）i - （4）过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为(A ）316 （B ）916 （C ）38 （D ）932（5）已知ABC ∆的顶点B 、C 在椭圆2213x y +=上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则ABC ∆的周长是（A）（B)6 （C)（D ）12（6）函数ln 1(0)y x x =+>的反函数为（A ）1()x y e x R +=∈ （B ）1()x y e x R -=∈（C ）1(1)x y e x +=> （D)1(1)x y e x -=>（7)如图，平面α⊥平面β，,,A B AB αβ∈∈与两平面α、β所成的角分别为4π和6π.过A 、B 分别作两平面交线的垂线，垂足为'A 、',B 则:''AB A B =（A)2:1 (B ）3:1 （C ）3:2 （D ）4:3（8）函数()y f x =的图像与函数2()log (0)g x x x =>的图像关于原点对称，则()f x 的表达式为（A ）21()(0)log f x x x =>（B ）21()(0)log ()f x x x =<-(C ）2()log (0)f x x x =-> (D ）2()log ()(0)f x x x =--<(9）已知双曲线22221x y -=的一条渐近线方程为4y x =，则双曲线的离心率为A'B'A B βα（A ）53 （B ）43 (C ）54 （D ）32（10）若(sin )3cos 2,f x x =-则(cos )f x =（A ）3cos2x - （B ）3sin 2x - （C ）3cos2x + （D ）3sin 2x +（11）设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若361,3S S =则612SS =（A ）310 (B ）13 (C)18 （D)19（12）函数191()n f x x n ==-∑的最小值为（A ）190 （B)171 （C ）90 （D ）45二．填空题：本大题共４小题，每小题４分,共１６分,把答案填在横线上.（13）在4101()x x+的展开式中常数项是＿＿＿＿＿。
2006年高考数学各章知识详解(1)
第一章 集合与简易逻辑1．（2006年福建卷）已知全集,U R =且{}{}2|12,|680,A x x B x x x =->=-+<则()U C A B 等于(C) （A ）[1,4)- （B ）(2,3) （C ）(2,3] （D ）(1,4)-【答案】 C【分析】：()()(),13,,2,4,A B =-∞-+∞=则[]()(]()1,32,42,3U C A B =-=【高考考点】绝对值不等式、集合的交集与补集运算 【易错点】：有关集合运算中的区间端点的取舍，常常出现失误【备考提示】 在这类运算中采用集合的区间表示或数轴表示，易于避免失误2．（2006年安徽卷）设集合{}22,A x x x R =-≤∈，{}2|,12B y y x x ==--≤≤，则()R C A B 等于（ ）A ．RB ．{},0x x R x ∈≠ C ．{}0 D ．∅ 【答案】 B【分析】：A ＝{x |0≤x ≤4}，B ＝{y |－4≤y ≤0}，则A ∩B ＝{0}，故ðU (A ∩B )＝{x ｜x ∈R ，x ≠0}，而选(B)．【高考考点】集合的运算：交集、补集 【备考提示】： 对集合的交集、并集、补集等运算要熟练．3．（2006年陕西卷）已知集合{}|110,P x N x =∈≤≤集合{}2|60,Q x R x x =∈+-=则P Q 等于（B ）（A ）{}1,2,3 （B ）{}2,3 （C ）{}1,2 （D ）{}2【答案】：B 【分析】： Q={ x ∈R|-3≤x ≤2}，所以P ∩Q 等于{1,2} 【高考考点】：一元二次不等式的解法，集合的运算性质 【易错点】：忽视集合P 的取值范围 【备考提示】正确和熟练掌握集合的运算性质以及不等式的解法，在复习中注意和三角函数，一元二次不等式等知识的结合使用4．( 2006年重庆卷)已知集合U ={1,2,3,4,5,6,7}, A ={2,4,5,7},B ={3,4,5},则(u A )∪(u B )=( D)(A){1,6} (B){4,5}(C){1,2,3,4,5,7} (D){1,2,3,6,7} 【答案】：D 【分析】：用文恩图或直接计算：{1,3,6}A =U ð，{1,2,6,7}B =U ð，所以()(){1,2,3,6,7}A B =U U 痧，故选D ； 【高考考点】：集合的交、并、补运算。
2006年福建省高考理科数学试卷真题+参考答案+详细解析
2006年福建省高考数学试卷（理科数学）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）设a ，b ，c R ∈，则复数()()a bi c di ++为实数的充要条件是( ) A ．0ad bc -=B ．0ac bd -=C ．0ac bd +=D ．0ad bc +=2．（5分）在等差数列{}n a 中，已知12a =，2313a a +=，则456a a a ++等于( ) A ．40B ．42C ．43D ．453．（5分）已知(,)2παπ∈，3sin 5α=，则tan()4πα+等于( )A ．17B ．7C ．17-D ．7-4．（5分）已知全集U R =，且{||1|2}A x x =->，2{|680}B x x x =-+<，则()U A B 等于( )A ．(2,3)B ．[2,3]C ．(2,3]D ．(2,3]-5．（5分）已知正方体外接球的体积是323π，那么正方体的棱长等于( )A ．BCD 6．（5分）在一个口袋中装有5个白球和3个黑球，这些球除颜色外完全相同．从中摸出3个球，至少摸到2个黑球的概率等于( ) A ．27B ．38C ．37D ．9287．（5分）对于平面α和共面的直线m 、n ，下列命题中真命题是( ) A ．若m α⊥，m n ⊥，则//n α B ．若//m α，//n α，则//m n C ．若m α⊂，//n α，则//m n D ．若m 、n 与α所成的角相等，则//m n 8．（5分）函数2log (1)1xy x x =>-的反函数是( ) A ．2(0)21xx y x =>-B ．2(0)21xx y x =<-C ．21(0)2x x y x -=>D ．21(0)2x x y x -=<9．（5分）已知函数()2sin (0)f x x ωω=>在区间[,]34ππ-上的最小值是2-，则ω的最小值等于( )A ．23B ．32C ．2D ．310．（5分）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60︒的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是( ) A ．(1,2]B ．(1,2)C ．[2,)+∞D ．(2,)+∞11．（5分）||1OA =，||3OB =，0OA OB ⋅=，点C 在AOB ∠内，且30AOC ∠=︒，设(OC mOA nOB m =+、)n R ∈，则mn等于( ) A ．13B ．3C ．33D ．312．（5分）对于直角坐标平面内的任意两点11(),A x y ，22(),B x y ，定义它们之间的一种“距离”： 2121||||||||AB x x y y =-+-．给出下列三个命题：①若点C 在线段AB 上，则||||||||||||AC CB AB +=； ②在ABC ∆中，若90C ∠=︒，则222||||||||||||AC CB AB +=； ③在ABC ∆中，||||||||||||AC CB AB +>． 其中真命题的个数为( ) A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）在二项式251()x x-的展开式中，含4x 的项的系数是 ．14．（4分）已知直线10x y --=与抛物线2y ax =相切，则a = ．15．（4分）一个均匀小正方体的6个面中，三个面上标以数0，两个面上标以数1，一个面上标以数2．将这个小正方体抛掷2次，则向上的数之积的数学期望是 ．16．（4分）如图，连接ABC ∆的各边中点得到一个新的△111A B C ，又连接△111A B C 的各边中点得到△222A B C ，如此无限继续下去，得到一系列三角形：ABC ∆，111A B C ∆，222A B C ∆，⋯，这一系列三角形趋向于一个点M ．已知(0,0)A ，(3,0)B ，(2,2)C ，则点M 的坐标是 ．三、解答题（共6小题，满分74分）17．（12分）已知函数22=++，x Rf x x x x x()sin cos2cos∈．（Ⅰ）求函数()f x的最小正周期和单调增区间；（Ⅱ）函数()=∈的图象经过怎样的变换得到？y x x Rf x的图象可以由函数sin2()18．（12分）如图，四面体ABCD 中，O 、E 分别是BD 、BC 的中点，2CA CB CD BD ====，2AB AD ==． （Ⅰ）求证：AO ⊥平面BCD ；（Ⅱ）求异面直线AB 与CD 所成角的大小； （Ⅲ）求点E 到平面ACD 的距离．19．（12分）统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y （升）关于行驶速度x （千米/小时）的函数解析式可以表示为：3138(0120)12800080y x x x =-+<已知甲、乙两地相距100千米．（Ⅰ）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？ （Ⅱ）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？20．（12分）已知椭圆2212xy+=的左焦点为F，O为坐标原点．（Ⅰ）求过点O、F，并且与椭圆的左准线l相切的圆的方程；（Ⅱ）设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点G，求点G横坐标的取值范围．21．（12分）已知函数2()8f x x x =-+，()6g x lnx m =+． （Ⅰ）求()f x 在区间[,1]t t +上的最大值()h t ；（Ⅱ）是否存在实数m ，使得()y f x =的图象与()y g x =的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由．22．（14分）已知数列{}n a 满足11a =，*121()n n a a n N +=+∈． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 满足12111*444(1)()n n b b b b n a n N ---⋯=+∈，证明：数列{}n b 是等差数列； （Ⅲ）证明：*122311()232n n a a a n nn N a a a +-<++⋯+<∈．2006年福建省高考数学试卷（理科数学）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）设a ，b ，c R ∈，则复数()()a bi c di ++为实数的充要条件是( ) A ．0ad bc -=B ．0ac bd -=C ．0ac bd +=D ．0ad bc +=【解析】a ，b ，c R ∈，复数()()()()a bi c di ac bd ad bc i ++=-++为实数，0ad bc ∴+=，故选D ． 【点评】本题是对基本概念的考查．2．（5分）在等差数列{}n a 中，已知12a =，2313a a +=，则456a a a ++等于( ) A ．40B ．42C ．43D ．45【解析】在等差数列{}n a 中，已知12a =，2313a a +=，得3d =，514a =，4565342a a a a ∴++==．故选：B ．【点评】本题主要考查了等差数列的性质．属基础题．3．（5分）已知(,)2παπ∈，3sin 5α=，则tan()4πα+等于( )A ．17B ．7C ．17-D ．7-【解析】已知3(,),sin 25παπα∈=，则3tan 4α=-，∴1tan 1tan()41tan 7πααα++==-，故选：A ．【点评】本题主要考查两角和与差的正切公式．属基础题．4．（5分）已知全集U R =，且{||1|2}A x x =->，2{|680}B x x x =-+<，则()U A B 等于( )A ．(2,3)B ．[2,3]C ．(2,3]D ．(2,3]-【解析】{|3A x x =>或1}x <-，{|13}U C A x x =-，{|24}B x x =<<，()(2,3]U C A B ∴=，故选：C ． 【点评】本题主要考查了集合的运算，属于以不等式为依托，求集合的交集、补集的基础题，也是高考常会考的题型．5．（5分）已知正方体外接球的体积是323π，那么正方体的棱长等于( )A ．BC ．3D【解析】正方体外接球的体积是323π，则外接球的半径2R =，正方体的对角线的长为4， 故选：D ．【点评】本题考查球的内接正方体问题，是基础题．6．（5分）在一个口袋中装有5个白球和3个黑球，这些球除颜色外完全相同．从中摸出3个球，至少摸到2个黑球的概率等于( ) A ．27B ．38C ．37D ．928【解析】由题意知本题是一个古典概型，在一个口袋中装有5个白球和3个黑球，这些球除颜色外完全相同．试验的总事件是从8个球中取3个球有38C 种取法，从中摸出3个球，至少摸到2个黑球包括摸到2个黑球，或摸到3个黑球有213353C C C +种不同的取法，∴至少摸到2个黑球的概率等于2133533827C C C P C +==，故选：A ． 【点评】本题也可以从对立事件角度来考虑，从中摸出3个球，至少摸到2个黑球的对立事件是从中摸出3个球，摸到的都是白球或摸到的有一个黑球，试验的总事件是从8个球中取3个球有38C 种取法，摸到的都是白球有3510C =种方法，摸到的有一个黑球有1235C C 种方法，代入公式得到结果． 7．（5分）对于平面α和共面的直线m 、n ，下列命题中真命题是( ) A ．若m α⊥，m n ⊥，则//n α B ．若//m α，//n α，则//m n C ．若m α⊂，//n α，则//m n D ．若m 、n 与α所成的角相等，则//m n【解析】对于平面α和共面的直线m 、n ，真命题是“若m α⊂，//n α，则//m n ”．故选：C ． 【点评】本题考查空间直线与平面之间的位置关系，是基础题． 8．（5分）函数2log (1)1xy x x =>-的反函数是( ) A ．2(0)21xx y x =>-B ．2(0)21xx y x =<-C ．21(0)2x x y x -=>D ．21(0)2x x y x -=<【解析】对于1x >，函数221log log (1)011x y x x ==+>--，由函数2log (1)1xy x x =>-解得1211yx =--，1212121y yy x =+=--，∴原函数的反函数是2(0)21x x y x =>-，故选：A ． 【点评】本题的解决体现了整体换元的思想，这样可以使复杂的解析式变得易懂，本题的难点在通过原函数的值域确定反函数的值域，求函数式时注意准确应用指数式与对数式的互化． 9．（5分）已知函数()2sin (0)f x x ωω=>在区间[,]34ππ-上的最小值是2-，则ω的最小值等于( )A ．23B ．32C ．2D ．3【解析】函数()2sin (0)f x x ωω=>在区间[,]34ππ-上的最小值是2-，则x ω的取值范围是[,]34ωπωπ-，∴32ωππ--或342ωππ，ω∴的最小值等于32，故选：B ． 【点评】本题主要考查正弦函数的最值和三角函数的单调性．属基础题．10．（5分）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60︒的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是( ) A ．(1,2]B ．(1,2)C ．[2,)+∞D ．(2,)+∞【解析】已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60︒的直线与双曲线的右支有且只有一个交点， 则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率b a ，∴3ba，离心率2222224c a b e a a+==， 2e ∴，故选：C ．【点评】本题考查双曲线的性质及其应用，解题时要注意挖掘隐含条件．11．（5分）||1OA =，||3OB =，0OA OB ⋅=，点C 在AOB ∠内，且30AOC ∠=︒，设(OC mOA nOB m =+、)n R ∈，则mn等于( ) A ．13B ．3CD【解析】法一：如图所示：OC OM ON=+，设||ON x =，则||3OM x =．3333||||OA OB OC x x xOA xOB OA OB =⋅+⋅=+，∴3mn =．法二：如图所示，建立直角坐标系．则(1,0)OA =，(0,OB =，∴OC mOA nOB =+()m =，tan30∴︒==，∴3mn=．故选：B ． 【点评】对一个向量根据平面向量基本定理进行分解，关键是要根据平行四边形法则，找出向量在基底两个向量方向上的分量，再根据已知条件构造三角形，解三角形即可得到分解结果．12．（5分）对于直角坐标平面内的任意两点11(),A x y ，22(),B x y ，定义它们之间的一种“距离”： 2121||||||||AB x x y y =-+-．给出下列三个命题：①若点C 在线段AB 上，则||||||||||||AC CB AB +=； ②在ABC ∆中，若90C ∠=︒，则222||||||||||||AC CB AB +=； ③在ABC ∆中，||||||||||||AC CB AB +>． 其中真命题的个数为( ) A ．0B ．1C ．2D ．3【解析】对于直角坐标平面内的任意两点11(),A x y ，22(),B x y ，定义它们之间的一种“距离”： 2121||||||||AB x x y y =-+-．对于①若点C 在线段AB 上，设C 点坐标为00(,)x y ，0x 在1x 、2x 之间，0y 在1y 、2y 之间， 则010*********||||||||||||||||||||||||AC CB x x y y x x y y x x y y AB +=-+-+-+-=-+-=．成立故正确． 对于②在ABC ∆中，若90C ∠=︒，则222||||||||||||AC CB AB +=；是几何距离而非题目定义的距离，明显不成立，对于③在ABC ∆中，01012020||||||||||||||||AC CB x x y y x x y y +=-+-+-+-012001202121|()()||()()|||||||||x x x x y y y y x x y y AB -+-+-+-=-+-=．③不正确．∴命题①成立，故选：B ．【点评】此题主要考查新定义的问题，对于此类型的题目需要认真分析题目的定义再求解，切记不可脱离题目要求．属于中档题目．二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）在二项式251()x x-的展开式中，含4x 的项的系数是 10 ．【解析】根据所给的二项式写出展开式的通项，251031551()()(1)r r r r r r r T C x C x x --+=-=-，要求4x 的项的系数，1034r ∴-=，2r ∴=，4x ∴的项的系数是225(1)10C -=，故答案为：10．【点评】本题考查二项式定理的应用，本题解题的关键是正确写出二项展开式的通项，在这种题目中通项是解决二项展开式的特定项问题的工具．14．（4分）已知直线10x y --=与抛物线2y ax =相切，则a =14．【解析】设切点00(),P x y ，2y ax =，2y ax ∴'=，则有：0010x y --=（切点在切线上）①；200y ax =（切点在曲线上）②021ax =（切点横坐标的导函数值为切线斜率）③；由①②③解得：14a =． 【点评】本题主要考查抛物线的应用．考查了学生综合运用所学知识的能力．15．（4分）一个均匀小正方体的6个面中，三个面上标以数0，两个面上标以数1，一个面上标以数2．将这个小正方体抛掷2次，则向上的数之积的数学期望是49． 【解析】一个均匀小正方体的6个面中，三个面上标以数0，两个面上标以数1，一个面上标以数2． 将这个小正方体抛掷2次，向上的数之积可能为0ξ=，1，2，4，11111133333311663(0)4C C C C C C P C C ξ++===，112211661(1)9C C P C C ξ===，1111211211661(2)9C C C C P C C ξ+===， 111111661(4)36C C P C C ξ===，∴124499369E ξ=++=．故答案为：49． 【点评】数字问题是概率中经常出现的题目，一般可以列举出要求的事件，古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，而不能列举的可以借助于排列数和组合数来表示．16．（4分）如图，连接ABC ∆的各边中点得到一个新的△111A B C ，又连接△111A B C 的各边中点得到△222A B C ，如此无限继续下去，得到一系列三角形：ABC ∆，111A B C ∆，222A B C ∆，⋯，这一系列三角形趋向于一个点M ．已知(0,0)A ，(3,0)B ，(2,2)C ，则点M 的坐标是 52(,)33．【解析】如图，连接ABC ∆的各边中点得到一个新的△111A B C ，又连接△111A B C 的各边中点得到△222A B C ，如此无限继续下去，得到一系列三角形：ABC ∆，△111A B C ，△222A B C ，因为这一系列三角形重心相同，趋向于一个点M ，则点M 是ABC ∆的重心， 已知(0,0)A ，(3,0)B ，(2,2)C ，52(,)33M ∴=．【点评】点M 是ABC ∆的重心，应用中点坐标公式及三角形重心坐标公式． 三、解答题（共6小题，满分74分）17．（12分）已知函数22()sin 3cos 2cos f x x x x x =++，x R ∈． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和单调增区间；（Ⅱ）函数()f x 的图象可以由函数sin 2()y x x R =∈的图象经过怎样的变换得到？ 【解析】（Ⅰ）1cos233133()2(1cos2)2cos2sin(2)22262x f x x x x x x π-=++=++=++． ()f x ∴的最小正周期22T ππ==．由题意得222,262k x k k Z πππππ-++∈，即,36k x k k Z ππππ-+∈．()f x ∴的单调增区间为[,],36k k k Z ππππ-+∈． （Ⅱ）先把sin 2y x =图象上所有点向左平移12π个单位长度，得到sin(2)6y x π=+的图象，再把所得图象上所有的点向上平移32个单位长度，就得到3sin(2)62y x π=++的图象． 【点评】本小题主要考查三角函数的基本公式、三角恒等变换、三角函数的图象和性质等基本知识，以及推理和运算能力．18．（12分）如图，四面体ABCD 中，O 、E 分别是BD 、BC 的中点，2CA CB CD BD ====，2AB AD == （Ⅰ）求证：AO ⊥平面BCD ；（Ⅱ）求异面直线AB 与CD 所成角的大小； （Ⅲ）求点E 到平面ACD 的距离．【解析】()I 证明：连接OC ，BO DO =，AB AD =，AO BD ∴⊥．BO DO =，BC CD =，CO BD ∴⊥． 在AOC ∆中，由已知可得1,3AO CO ==．而2AC =，222AO CO AC ∴+=，90AOC ∴∠=︒，即AO OC ⊥． BD OC O =，AO ∴⊥平面BCD ．()II 解：以O 为原点，如图建立空间直角坐标系，则(1,0,0)B ，(1,0,0)D -，(0,3,0)C ，(0,0,1)A ，13(,,0)22E ，(1,0,1)BA =-，(1,3,0)CD =--．∴.2cos ,4||||BA CD BA CD BA CD <>==， ∴异面直线AB 与CD 所成角的大小为2arccos4． ()III 解：设平面ACD 的法向量为(,,)n x y z =，则.(,,)(1,0,1)0.(,,)(03,1)0n AD x y z n AC x y z ⎧=⋅--=⎪⎨=⋅-=⎪⎩，∴030.x z y z +=⎧⎪⎨-=⎪⎩ 令1y =，得(3,1,3)n =-是平面ACD 的一个法向量．又13(,,0)22EC =-，∴点E 到平面ACD 的距离|.|321||77EC n h n ===．【点评】本小题主要考查直线与平面的位置关系、异面直线所成的角以及点到平面的距离基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力．19．（12分）统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y （升）关于行驶速度x （千米/小时）的函数解析式可以表示为：3138(0120)12800080y x x x =-+<已知甲、乙两地相距100千米．（Ⅰ）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？ （Ⅱ）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？【解析】()I 当40x =时，汽车从甲地到乙地行驶了1002.540=小时， 要耗油313(40408) 2.517.512800080⨯-⨯+⨯=（升）． 答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升． ()II 当速度为x 千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了100x小时，设耗油量为()h x 升， 依题意得3213100180015()(8)(0120)1280008012804h x x x x x x x =-+⋅=+-<，332280080()(0120)640640x x h x x x x -'=-=<．令()0h x '=，得80x =．当(0,80)x ∈时，()0h x '<，()h x 是减函数； 当(80,120)x ∈时，()0h x '>，()h x 是增函数．∴当80x =时，()h x 取到极小值(80)11.25h =．因为()h x 在(0,120]上只有一个极值，所以它是最小值．答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升．【点评】本小题主要考查函数、导数及其应用等基本知识，考查运用数学知识分析和解决实际问题的能力．20．（12分）已知椭圆2212x y +=的左焦点为F ，O 为坐标原点．（Ⅰ）求过点O 、F ，并且与椭圆的左准线l 相切的圆的方程；（Ⅱ）设过点F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点G ，求点G 横坐标的取值范围．【解析】2()2I a =，21b =，1c ∴=，(1,0)F -，:2l x =-．圆过点O 、F ，∴圆心M 在直线12x =-上．设1(,)2M t -，则圆半径13|()(2)|22r =---=． 由||OM r =2213()22t -+=，解得2t =±∴所求圆的方程为2219()(2)24x y ++±=．()II 设直线AB 的方程为(1)(0)y k x k =+≠，代入2212x y +=，整理得2222(12)4220k x k x k +++-=．直线AB 过椭圆的左焦点F ，∴方程有两个不等实根．记11(),A x y ，22(),B x y ，AB 中点00(),N x y ，则2122421k x x k +=-+，202221k x k =-+，002(1)21ky k x k =+=+，AB ∴的垂直平分线NG 的方程为001()y y x x k-=--．令0y =，得222002222211212121242G k k k x x ky k k k k =+=-+=-=-+++++． 0k ≠，∴102G x -<<，∴点G 横坐标的取值范围为1(,0)2-．【点评】本小题主要考查直线、圆、椭圆和不等式等基本知识，考查平面解析几何的基本方法，考查运算能力和综合解题能力，直线与圆锥曲线的位置关系问题，通常是先联立组成方程组，消去x （或)y ，得到y （或)x 的方程．我们在研究圆锥曲线时，经常涉及到直线与圆锥曲线的位置关系的研究．主要涉及到：交点问题、弦长问题、弦中点（中点弦）等问题，常用的方法：联立方程组，借助于判别式，数形结合法等． 21．（12分）已知函数2()8f x x x =-+，()6g x lnx m =+． （Ⅰ）求()f x 在区间[,1]t t +上的最大值()h t ；（Ⅱ）是否存在实数m ，使得()y f x =的图象与()y g x =的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由． 【解析】22()()8(4)16I f x x x x =-+=--+． 当14t +<，即3t <时，()f x 在[,1]t t +上单调递增，22()(1)(1)8(1)67h t f t t t t t =+=-+++=-++； 当41t t +，即34t 时，()(4)16h t f ==；当4t >时，()f x 在[,1]t t +上单调递减，2()()8h t f t t t ==-+．综上，2267,3()16,348,4t t t h t t t t t ⎧-++<⎪=⎨⎪-+>⎩．()II 函数()y f x =的图象与()y g x =的图象有且只有三个不同的交点，即函数()()()m x g x f x =-的图象与x 轴的正半轴有且只有三个不同的交点．2()86m x x x lnx m =-++，∴262862(1)(3)()28(0)x x x x m x x x x x x-+--'=-+==>，当(0,1)x ∈时，()0m x '>，()m x 是增函数； 当(1,3)x ∈时，()0m x '<，()m x 是减函数； 当(3,)x ∈+∞时，()0m x '>，()m x 是增函数； 当1x =，或3x =时，()0m x '=．()m x m ∴=极大值（1）7m =-，()m x m =极小值（3）6315m ln =+-． 当x 充分接近0时，()0m x <，当x 充分大时，()0m x >．∴要使()m x 的图象与x 轴正半轴有三个不同的交点，必须且只须()70()63150m x m m x m ln =->⎧⎨=+-<⎩极大值极小值，即71563m ln <<-．∴存在实数m ，使得函数()y f x =与()y g x =的图象有且只有三个不同的交点，m 的取值范围为(7,1563)ln -．【点评】本小题主要考查函数的单调性、极值、最值等基本知识，考查运用导数研究函数性质的方法，考查运算能力，考查函数与方程、数形结合、分类与整合等数学思想方法和分析问题、解决问题的能力． 22．（14分）已知数列{}n a 满足11a =，*121()n n a a n N +=+∈． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 满足12111*444(1)()n n b b b b n a n N ---⋯=+∈，证明：数列{}n b 是等差数列； （Ⅲ）证明：*122311()232n n a a a n nn N a a a +-<++⋯+<∈． 【解析】（Ⅰ）*121()n n a a n N +=+∈，112(1)n n a a +∴+=+，{1}n a ∴+是以112a +=为首项，2为公比的等比数列．12n n a ∴+=．即*21()n n a n N =-∈．（Ⅱ）证明：12111*444(1)()n n b b b b n a n N ---⋯=+∈，∴12()42n n b b b n nb ++⋯+-=．122[()]n n b b b n nb ∴++⋯+-=，①12112[()(1)](1)n n n b b b b n n b ++++⋯++-+=+．②②-①，得112(1)(1)n n n b n b nb ++-=+-， 即1(1)20n n n b nb +--+=，③ 21(1)20n n nb n b ++-++=．④④-③，得2120n n n nb nb nb ++-+=，即2120n n n b b b ++-+=，*211()n n n n b b b b n N +++∴-=-∈，{}n b ∴是等差数列． （Ⅲ）证明：112121112122(2)2k k k k k k a a ++--==<--，1k =，2，...，n ，∴122312n n a a a na a a +++⋯+<．111211111111.2122(21)23222232k k k k kk kk a a +++-==-=----⋅+-，1k =，2，⋯，n ， ∴1222311111111()(1)2322223223n n n n a a a n n n a a a +++⋯+-++⋯+=-->-， ∴*122311()232n n a a a n nn N a a a +-<++⋯+<∈． 【点评】本小题主要考查数列、不等式等基本知识，考查化归的数学思想方法，考查综合解题能力．。
2006高考理科数学试卷及答案全国1
2006年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（全国卷Ⅰ）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1至2页。
第Ⅱ卷3到10页。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
不能答在试题卷上。
3．本卷共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球是表面积公式)()()(B P A P B A P +=+ 24R S π=如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径)()()(B P A P B A P ⋅=⋅ 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么334R V π=n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径k n k kn n P P C k P --=)1()(一．选择题（1）设集合M={x|x 2-x<0},N={x||x|<2},则（A ）M φ=N I（B ）M M N =I（C ）M N M =Y （D ）R N M =Y（2）已知函数y=e x 的图象与函数y=f(x)的图象关于直线y=x 对称，则（A ）f(2x)=e 2x (x )R ∈ （B ）f(2x)=ln2lnx(x>0)（C ）f(2x)=2e 2x (x )R ∈（D ）f(2x)= lnx+ln2(x>0)（3）双曲线mx 2+y 2=1的虚轴长是实轴长的2倍,则m=（A ）-41 （B ）-4 (C)4 （D ）41 （4）如果(m 2+i)(1+mi)是实数,则实数m=（A ）1（B ）-1（C ）2（D ）-2（5）函数f(x)=tan(x+4π)的单调递增区间为（A ）(k π-2π, k π+2π),k Z ∈ （B ）(k π, (k+1)π),k Z ∈ (C) (k π-43π, k π+4π),k Z ∈ （D ）(k π-4π, k π+43π),k Z ∈ （6）∆ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 、b 、c ，且c=2a ，则cosB=（A ）41 （B ）43（C ）42 （D ）32（7）已知各顶点都在一个球面上的正四棱锥高为4，体积为16，则这个球的表面积是（A ）16 π （B ）20π （C ）24π （D ）32π （8）抛物线y=-x 2上的点到4x+3y-8=0直线的距离的最小值是（A ）34 （B ）57 （C ）58 （D ）3（9）设平面向量a 1、a 2、a 3的和a 1+a 2+a 3=0，如果平面向量b 1、b 2、b 3满足|b i |=2|a i |，且a i 顺时针旋转30︒后与同向，其中i=1、2、3，则（A ）-b 1+b 2+b 3=0 （B ）b 1-b 2+b 3=0（C ）b 1+b 2-b 3=0 （D ）b 1+b 2+b 3=0（10）设{a n }是公差为正数的等差数列，若a 1+a 2+a 3=15，a 1a 2a 3=80，则a 11+a 12+a 13=（A ）120 （B ）105 （C ）90 （D ）75（11）用长度分别为2、3、4、5、6(单位:cm)的细木棒围成一个三角形(允许连接,但不允许折断),能够得到期的三角形面积的最大值为（A ）85cm 2（B ）610cm 2（C ）355cm 2（D ）20cm 2（12）设集合I={1，2，3，4，5}，选择I 的两个非空子和B ，要使B 中的最小的数大于A 中最大的数，则不同的选择方法共有（A ）50种 （B ）49种 （C ）48种 （D ）47种第Ⅱ卷注意事项：1．用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷上。
2006年全国各地高考数学试题12--第十二章概率与统计
第十二章概率与统计1.(2006年福建卷)一个均匀小正方体的6个面中,三个面上标以数0,两个面上标以数1,一个面上标以数2。
将这个小正方体抛掷2次,则向上的数之积的数学期望是＿＿49＿＿。
2..(.2006年重庆卷)为了了解某地区高三学生的身体发育情况,抽查了该地区100名年龄为17.5岁－１８岁的男生体重(kg).,得到频率分布直方图如下：根据上图可得这100名学生中体重在〔56.5,64.5〕的学生人数是..(.C) (A)20..............................(B)30 (C)40.............................(D)503.(2006年全国卷II)一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10.000人,并根据所得数据画了样本的频率分布直方图(如下图).为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系,要从这10.000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查,则在［2500,3000)(元)4.(2006年四川卷)()()1,2,3,4,1,2,3,4P k ak b k ξ==+=,又ξ的数学期望3E ξ=,则a b +=__10_____; 5.(2006年江苏卷)某人5次上班途中所花的时间(单位：分钟)分别为x ,y ,10,11, 9.已知这组数据的平均数为10,方差为2,则｜x －y ｜的值为(A)1 (B)2 (C)3 (D)4解：.由平均数公式为10,得()11011910,5x y ++++⨯=则20x y +=；又由于方差为2,则()()()()()22222110101010111091025x y ⎡⎤-+-+-+-+-⨯=⎣⎦得22208 2=192x y xy +=,所以有4x y -===,故选(D)点评：本题主要考查平均数与方差的定义等统计方面的基础知识 6.(2006年江西卷)某商场举行抽奖促销活动,抽奖规则是：从装有9个白球,1个红球的箱子中每次随机地摸出一个球,记下颜色后放回,摸出一个红球可获得奖金10元；摸出2个红球可获得奖金50元,现有甲,乙两位顾客,规定：甲摸一次,乙摸两次,令ξ表示甲,乙摸球后获得的奖金总额。
一道引领高三学生回归课本的好题——评析2006年高考福建卷理第22题
3借助在平行四边行A BCD 中如图(6)有22222()A B BC A C BD +=+,∴22221()()()222A C BD AB BC =+,即三角形中第三边为定长时,两边的平方和22()A B BC +与第三边上的中线同时取最大(小)值,因此,容易看出符合条件的位置为D 点(达到最小值),E 点(达到最大值),4,6OD OE ==,可得所求最大、最小值分别为80、40.从以上题例可以看出,线性规划是我们解题过程中进行数形结合的一种好的有效的方法.它直观.明了,容易让学生接受,而应用此方法解题,往往能起到事半功倍的效果,并能很好地开拓学生的思维视野,培养学生的发散思维能力和创造性思维能力.一道引领高三学生回归课本的好题——评析2006年高考福建卷(理)第22题福建福清第三中学李云杰1问题提出人教版高一上课本复习参考题三P136的第14题为:已知数列{}n a 是等差数列.1a =1,设211222n c =++++",求证:121144a a "14(1)nna a c =+.通过改编成为,2006年高考福建卷(理)第22题.已知数列{}n a 满足*111,21()n n a a a n N +==+∈.(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)若数列{}n b 满足12111444nbb b ="(1)nb n a +,证明{}n b 是等差数列;(3)证明:*122311()232n n a a a n nn N a a a +<++<∈".本试题主要考查数列、不等式基本知识,考查化归的数学思想方法,考查代数推理等综合解题能力.下面我们从试题的命制、背景、思想方法、知识延伸和反思启示来剖析这一道题.2考题探源2006年福建省高考数学考试说明指出:命题应认真研究教材,挖掘教材中相关知识的教育价值与功能.本题题干条件,数列{}n a 满足111,2n n a a a +==*1()n N +∈,有深厚的数学文化背景.2.1河内塔(梵塔)问题河内塔问题是印度的一个古老的传说.开天辟地的神勃拉玛在一个庙里留下了三根金刚石的棒,第一根上面套着64个圆的金片,最大的一个在底下,其余一个比一个小,依次叠上去,庙里的众僧不倦地把它们一个个地从这根棒搬到另一根棒上,规定可利用中间的一根棒作为帮助,但每次只能搬一个,而且大的不能放在小的上面.显然,众僧们耗尽毕生精力也不可能完成金片的移动.(1)河内塔问题的情境性设有n 个银片,大小不同,从大到小排列在三根金棒中的一根.这些银片要搬到另一根金棒上,每次搬一个.第三根金棒作为银片暂时摆放用.在搬动过程中,仍要保持大片在下,小片在上,问要搬动多少次,才能将所有银片从一根棒搬到另一根,且搬完后银片相对位置不变？评注:改编成一道解答题,体现结论的一般化与推广的过程,培养学生数学的归纳能力和阅读能力,并在解题中体会数学的化归思想.(2)河内塔问题的求解主要有两个思路,一是采用“归纳——猜想——证明”的方法;二是寻找n a 与前面各项之间的关系,由题设条件列出等式.显然,“归纳——猜想——证明”法较常见,但递推方法更实用.解法一令用n a 表所求的搬动次数,显然121,3a a ==,由操作易知347,15a a ==,于是可猜想21n n a =,再用数学归纳法证明.解法二令用表所求的搬动次数,把第4n a35一棒n 个银片的1n 个搬到第三棒,再将最大一个银片搬到第二棒,然后又将第三棒上的1n 个片搬到第二棒上,如此继续,可完成这次搬动任务.因为搬1n 个银片从一棒到另一棒需1n a 次,故可得递推式121n n a a =+,11a =.对递推式121n n a a =+,11a =的求解.最后,可得21n n a =,就是2006年高考试题第一小题,数列{}n a 的通项公式.3化归思想数列这一章,教材重点是介绍了等差数列和等比数列,其它递推数列一般均可以化归为这两个基本数列.河内塔问题渗透的是一种化归的思想,递推式121n n a a =+,11a =的求解方法较多.比如,迭代法、转化为等比数列、直接使用待定系数法、转化为二阶常系数齐次递推数列等.下面,我们将问题一般化为:1n n a pa +=+q (,p q 为常数,0,1pq p ≠≠).要探究这个递推数列通项问题,我们先给出两个常用数列模型的结论:(1)1()n n a a f n +=+,通项公式为1111()n n k a a f k +==+∑.(2)1(),(()0)n n a f n a f n +=≠,通项公式为1111()n n k a a f k +==∏.则我们可以将递推问题1n n a pa q +=+化归为以上两个数列模型.3.1方法点拨将递推问题1n n a pa q +=+(1)p ≠去掉p 可转化为类型(1),去掉q 可转化为(2),有如下思路.思路1两边同除以1n p +得11n nn na a p p ++=+1n q p +.数列{}nna p 即为类型(1);思路211()n n n n a a pa q pa q +=++1()nn p a a =.数列1{}n n a a +即为类型(2);思路3引入待定参数λ,使λ+=()()n n p a p a λλ=,数列{}n a λ即为类型(2).要定出λ,只需把所构造递推式与原递推式比较得(1),1qp q pλλ==.应用(1)或(2)通项公式,不难得到此类型通项公式为:111(1)1n n n q p a a p p =+.3.2回归课本,知识变式延伸为了体现高考命题的公平性,通常都会依据课本,所以不少高考数学试题都能在课本上找到“影子”,不少高考题就是对课本原题的变型、改造及综合.因而高三复习,应该引导学生回归课本,对着课本目录回忆和梳理知识,把重点放在掌握例题涵盖的知识及解题方法上,选择一些针对性极强的题目进行强化训练,复习才有实效.下面对*111,21()n n a a a n N +==+∈继续进行研究.变式1数列{}n a 中,121/2,1,n a a a ===241(2)na n +>,求{}n a 的通项公式;变式1告诉我们,数列的奇数项、偶数项都加1/3后,各自成等比数列.即利用隔项数列解题,这与2004年全国卷1的22题,(已知数列{}n a 中11a =,且221(1)k k k a a =+,21k a +=2k a 3k +,其中k 1,2,3,=",求{}n a 的通项公式)解题思路完全一致.拓展变式2把1n n a pa q +=+进行加工,可以得到如下问题,求它们的通项公式.变式2.111(0)n n n n a a pa pa p +=+≠;变式2.211(,0)n n n a pa qa p q +=+≠,此类型称为二阶线性递归关系;变式2.311(0)n n n a pa qa A pqA +=++≠,此类型称为二阶线性非齐次递归关系;变式2.4110(n n n n pa a qa ra pr ++++=≠0,n a 0)≠;变式2.5110n n n n A a a Ba ca d +++++=(0)A d ≠.这五个变式都有一定的研究价值,是高三数学开展研究性学习的好素材.分析历年高考试题,细心的一线教师会意识到这五个变式在理科数列试题当中的作用.高三复习1n a36中,对课本题目进行小题大做,变式深化,最终与高考试题衔接.这样既能使学生发挥潜能,探索创新,亲历课本题目演变成高考试题的过程,有利于减少学生对高考试题的害怕心理;又能充分发挥课本的基础作用,丰富课本的内涵,创造性的使用课本.当然,回归课本,不是强记题型、死背结论,而是要抓纲悟本,体会方法与思想.课本中的题目具有紧扣教材,简明扼要、难度适中,方法典型,符合“通性通法”的特点,是知识和能力的重要载体.4反思与启示扎实的基础知识、基本技能的掌握和熟练的基本数学思想和方法的运用,是灵活运用知识分析问题和解决问题的前提和保障.因此,复习时一定要狠抓基础知识的复习、基本技能的训练和基本方法的熟练运用.这就需要我们回归课本,夯实基础,才能提高数学复习的整体效益.那如何运用课本呢？不是简单的重复,可以指导学生做到以下4点:(1)在复习每一课题时,必须联系课本中的相应部分,不仅要弄懂课本提供的知识和方法,还要弄清定理、公式的推导过程和例题的求解过程,揭示例、习题之间的联系及其变换.如重温《等差数列的前n 项和》时,要深入对公式进行多种推导,在推导中让学生体会丰富多彩的数学方法,叠加法、迭代法等.(2)在解高考训练题时如果遇到障碍,应有查阅课本的习惯,通过课本查明我们在知识和方法上的缺陷,尽可能把问题回归为课本中的例题和习题.(3)在复习的训练过程中,我们会积累很多解题经验和方法,其中不乏一些规律性的东西,要注意从课本中探寻这些经验、方法和规律的依据.注重对知识过程的分析,让知识上升为方法,进而方法上升为思想.(4)注意通过课本题目的知识背景、来源等方面加以思考,改变设问方式、增加或减少变动因素和必要的引申、推广来扩大题目的训练功能.近几年来,特别是实行分省命题以来,许多试题设计独具匠心,令人回味无穷,但有一个共同点,各省命题都很注重对课本的开发、利用.这种导向作用,要求我们无论复习哪部分内容,我们都应该认真地对照课本,应有查阅课本的习惯.通过课本查明我们在知识和方法上的缺陷,尽可能把问题回归为课本中的例题和习题.要让学生学会灵活运用课本知识,自主探究深化课本内容的思想方法,以此来培养学生的创新意识和探究能力,提高学生的数学素养,摆脱题海的束缚,为高考成功打下坚实的基础.在学生学习及其有限的时间内,让学生做大量练习,势必剥夺学生思考的时间、空间.学生只会学到僵化的题型,数学能力低下,失去了做题的真正价值,更何况做大量的习题也未必能够押到宝.我们应该发挥课本的基础和示范作用,注重基础,用好课本,因为课本是知识和方法的重要载体,是高考试题的主要来源.省内部分重点校的高三数学备课组,要求各成员采取按专题,对课本各章节习题进行改编,我想这也是回归课本的一个途径.在探究课本知识中见能力,在研讨课本例题方法中见思想,应成为我们高三课堂解题教学的基础.编辑：《福建中学数学》编辑部（福建师大数学系350007fjzxsx@ ）（月刊）印刷：福建师范大学印刷厂2006年第11期发行：福州市邮政局（总第179期）订购：全国各地邮局（所）邮发代号3－二O O 六年十一月二十日出版国内统一刊号：N35－O 定价元福建中学数学49C 1084/1:2.00。
2006年福建高考数学试题(理科)及答案
2006年福建高考数学试题（理科）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）设,,,a b c R ∈则复数()()a bi c di ++为实数的充要条件是（A ）0ad bc -= （B ）0ac bd -= （C ）0ac bd += （D ）0ad bc +=（2）在等差数列{}n a 中，已知1232,13,a a a =+=则456a a a ++等于（A ）40 （B ）42 （C ）43 （D ）45（3）已知3(,),sin ,25παπα∈=则tan()4πα+等于（A ）17 （B ）7 （C ）17- （D ）7-（4）已知全集,U R =且{}{}2|12,|680,A x x B x x x =->=-+<则()U C A B 等于（A ）[1,4)- （B ）(2,3) （C ）(2,3] （D ）(1,4)-（5）已知正方体外接球的体积是323π，那么正方体的棱长等于（A ）22 （B ）233 （C ）423 （D ）433（6）在一个口袋中装有5个白球和3个黑球，这些球除颜色外完全相同。
从中摸出3个球，至少摸到2个黑球的概率等于（A ）27 （B ）38 （C ）37 （D ）928（7）对于平面α和共面的直线m 、,n 下列命题中真命题是（A ）若,,m m n α⊥⊥则n α∥ （B ）若m αα∥,n ∥,则m ∥n（C ）若,m n αα⊂∥,则m ∥n （D ）若m 、n 与α所成的角相等，则m ∥n（8）函数2log (1)1xy x x =>-的反函数是（A ）2(0)21x xy x =>- （B ）2(0)21xx y x =<-（C ）21(0)2x x y x -=> （D ）21(0)2x x y x -=< （9）已知函数()2sin (0)f x x ωω=>在区间,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值是2-，则ω的最小值等于（A ）23 （B ）32（C ）2 （D ）3 （10）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60o的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（A ）(1,2] （B ）(1,2) （C ）[2,)+∞ （D ）(2,)+∞（11）已知1,3,.0,OA OB OAOB===点C 在AOC ∠30o=。
2006高考理科数学试卷及答案全国1
（17）本小题主要考查三角函数性质及图像的基本知识，考查推理和运算能力。满分 12 分。
解：（I）
∵x= 是函数 y=f(x)的图像的对称轴，
8
∴sin(2×
+
)=±1，
8
∴
+
=kπ+
，k∈Z.
4
2
∵-π< <0,
∴
3
=-
.
4
（II）由（I）知 =- 3 ，因此 4
3
y=sin(2x- ).
1
A(0,0,0),B(0,2,0),C(1,1,0),D(1,0,0),P(0,0,1),M(0,1, ).
2
(I)证明：因 AP =(0,0,1), DC =(0,1,0),故 AP · DC =0,所以 AP⊥DC.
又由题设知 AD⊥DC，且 AP 与 AD 是平面 PAD 内的两条相交直线，由此得 DC⊥面 PAD。 又 DC 在面 PCD 上，故面 PAD⊥面 PCD.
皮擦干净后，再选涂其它答案标号。不能答在试题卷上。
3．本卷共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的。
参考公式：
如果事件 A、B 互斥，那么
球是表面积公式
P( A B) P( A) P(B)
S 4R 2
如果事件 A、B 相互独立，那么
（II）解：因 AC =(1,1,0), PB =(0,2,-1),
故| AC |= 2 ，| PB |= 5 ， AC · PB =2，所以 cos< AC · PB >= AC PB = 10 .
2006年高考理科综合试题及答案(福建省)
2006年普通高等学校招生全国统一考试理科综合能力测试（全国卷Ⅰ）（河南、河北、广西、新疆、湖北、江西、陕西等省用）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1至5页，第Ⅱ卷6至11页。
全卷共300分。
考试用时150分钟。
祝考试顺利第Ⅰ卷（共21小题，每小题6分，共126分）注意事项1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
答在试题卷上无效。
3.考试结束，监考人员将本试题卷和答题卡一并收回。
以下数据可供解题时参考：相对原子质量（原子量）：H 1 C 12 N 14 O 16一、选择题（本题包括13小题。
每小题只有一个选项符合题意）1.人的神经系统中，有些神经细胞既能传导兴奋，又能合成与分泌激素。
这些细胞位于A.大脑皮层B.垂体C.下丘脑D.脊髓2.一般情况下，用抗原免疫机体，血清中抗体浓度会发生相应变化。
如果第二次免疫与第一次免疫所用的抗原相同且剂量相等，下列四图中能正确表示血清中抗体浓度变化的是3.下列关于动物细胞培养的叙述，正确的是A.培养中的人效应T细胞能产生单克隆抗体B.培养中的人B细胞能够无限地增殖C.人的成熟红细胞经过培养能形成细胞株D.用胰蛋白酶处理肝组织可获得单个肝细胞4.锄足蟾蝌蚪、雨蛙蝌蚪和蟾蜍蝌蚪均以浮游生物为食。
在条件相同的四个池塘中，每池放养等量的三种蝌蚪，各池蝌蚪总数相同。
再分别在四个池塘中放入不同数量的捕食者水螈。
一段时间后，三种蝌蚪数量变化结果如图。
下列分析，错误的是A.无水螈的池塘中，锄足蝌蚪数量为J型增长B.三种蝌蚪之间为竞争关系C.水螈更喜捕食锄足蟾蝌蚪D.水螈改变了三种蝌蚪间相互作用的结果。
5.采用基因工程技术将人凝血因子基因导入山羊受精卵，培育出了转基因羊。
但是，人凝血因子只存在于该转基因羊的乳汁中。
2006年高考福建卷理科数学试题及参考答案
不等式解法一、联立数组：### 解不等式322322--+-x x x x ＜0.根据商的符号法则，它可以化成两个不等式组：2222320320, 330230.x x x x x x x x ⎧⎧-+>-+<⎪⎪⎨⎨--<-->⎪⎪⎩⎩或 因此，原不等式的解集就是上面两个不等式组的解集的并集可得所求不等式解集为：{x |－1＜x ＜1或2＜x ＜3}二、数轴标根法原理：设一个高次不等式的解为X1、X2……Xn,其中X1＜X2＜……＜Xn ，则对于任意X ＞Xn ，不等式恒大于零，即最大根右边的数使不等式恒成立，所以标根从不等式右边标起。
（对二次不等式一样适用，但一般我们直接用抛物线的知识做）做法:1.把所有X 前的系数都变成正的(不用是1,但是得是正的)；2.画数轴,在数轴上从小到大依次标出所有根；3.从右上角开始,一上一下依次穿过不等式的根，奇过偶不过(指的是分解因式后,某个因数的指数是奇数或者偶数)；(X-2)2(X-3)＞0(X-2)的指数是2, 是偶数,所以在数轴上画曲线时就不穿过2这个点而(X-3)的指数是1 ,是奇数,所以在数轴上画曲线时就要穿过3这个点4.注意看题中不等号中有没有等号,有的话还要注意写结果时舍去会使不等式为0的根。
### 解不等式322322--+-x x x x ＜0.根据积的符号法则，可以将原不等式等价变形为:（x 2－3x ＋2）(x 2－2x －3)＜0 即（x ＋1）(x －1)(x －2)(x －3)＜0(最高次项系数一定要为正,不为正要化成正的)令（x ＋1）(x －1)(x －2)(x －3)=0可得零点x =－1或1，或2或3，将数轴分成五部分（如图）.看题求解,题中要求求＜0的解,那么只需要在数轴上看看哪一段在数轴以下即可,观察可以得到:由数轴标根法可得所求不等式解集为：{x |－1＜x ＜1或2＜x ＜3}三、含参不等式的解法：求解的通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键．”注意解完之后要写上：“综上，原不等式的解集是…”。
高考理科数学普通高等学校招生全国统一考试 附答案2006
高考理科数学普通高等学校招生全国统一考试（附答案）注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清楚3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
8.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果，哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”,如30=7+23.在不超过30的素数中,随机选取两个不同的数,其和等于30的概率是()(1)18.下图是某地区2000年至环境基础设施投资额y(单位：亿元)的折现图。
高考数学模拟试卷复习试题三角函数和解三角形三角函数的图象和性质A 基础巩固训练1. 下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线3π=x 对称的是 （ ） A ．s i n (2)3π=-y x B ．s i n (2)6π=-y xC ．s i n (2)6π=+y xD ．s i n ()23π=+x y【答案】B2. 设函数()f x =sin()A x ωϕ+(0,A ≠0,ω>)22ϕππ-<<的图象关于直线23x π=对称,它的最 小正周期为π，则（ ）A ．()f x 的图象过点1(0)2,B ．()f x 在2,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数 C ．()f x 的一个对称中心是5,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()f x 的一个对称中心是,06π⎛⎫⎪⎝⎭【答案】C【解析】根据题意可知，2ω=，根据题中所给的ϕ角的范围，结合图像关于直线23x π=对称,可知6πϕ=，故可以得到()sin(2)6f x A x π=+，而A 的值不确定，所以(0)f 的值不确定，所以A 项不正确，当2[,]123x ππ∈时，32[,]632x πππ+∈，函数不是单调的，所以B 项不对，而()06f A π=≠，所以,06π⎛⎫ ⎪⎝⎭不是函数的对称中心，故D 不对，而又5()012f π=，所以5,012π⎛⎫⎪⎝⎭是函数的对称中心，故选C ． 3. 已知函数()2sin(2)(||)2f x x πϕϕ=+<的图象过点(0,3)，则()f x 的图象的一个对称中心是A ．(,0)3π-B ．(,0)6π-C ．(,0)6πD ．(,0)4π【答案】B4. 函数21cos -=x y 的定义域为（） A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡33-ππ，B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-3,3ππππk k ，k ∈ZC ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-32,32ππππk k ，k ∈ZD ．R【答案】C【解析】定义域是021cos ≥-x ，即21cos ≥x ，根据x y cos =的图像，所以解得⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-32,32ππππk k ，k ∈Z 5. 已知函数2()3f x ax bx a b =+++是定义在[1,2]a a -上的偶函数，则2cos[()]3y a b x π=+-的最小正周期是（ ）A ．6πB ．5πC ．4πD ．2π 【答案】AB 能力提升训练 1.函数()2sin 1xf x x =+的图象大致为（ ）【答案】A【解析】根据题意，函数为奇函数，所以图像关于原点对称，故排除,C D 两项，在(0,)π上，函数值是正值，所以B 不对，故只能选A ． 2. 若函数()2sin()3f x x πω=+，且()2,()0f f αβ=-=，αβ-的最小值是2π，则()f x 的单调递增区间是（ ）A ．5[,]()1212k k k Z ππππ-+∈B ．[,]()36k k k Z ππππ-+∈ C ．2[2,2]()33k k k Z ππππ-+∈D ．5[2,2]()66k k k Z ππππ-+∈【答案】D3. 已知函数()3sin cos ,f x x x x R =-∈，若()1f x ≥，则x 的取值范围为（） A ．|,3x k x k k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭B ．|22,3x k x k k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭C ．5{|,}66x k x k k Z ππππ+≤≤+∈D ．5{|22,}66x k x k k Z ππππ+≤≤+∈ 【答案】B4. 函数)62sin(π-=x y 的图像与函数)3cos(π-=x y 的图像（ ）A ．有相同的对称轴但无相同的对称中心B ．有相同的对称中心但无相同的对称轴C ．既有相同的对称轴但也有相同的对称中心D ．既无相同的对称中心也无相同的对称轴 【答案】A5.已知函数()sin cos 1f x x x =+，将()f x 的图像向左平移6π个单位得到函数()g x 的图像，则函数()g x 的单调减区间为（ ）A.7[2,2],1212k k k Z ππππ++∈ B.7[,],1212k k k Z ππππ++∈C.2[,],63k k k Z ππππ++∈D.2[2,2],63k k k Z ππππ++∈【答案】B【解析】()11()sin cos 1sin 21sin 21223f x x x x g x x π⎛⎫=+=+∴=++ ⎪⎝⎭，求单调减区间时令3722,2,3221212x k k x k k πππππππππ⎡⎤⎡⎤+∈++∴∈++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦C 思维扩展训练（满分30分）1. 已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>≠><-=0)10(log 01)2sin()(x a a x x x x f a ，，且，，π的图象上关于y 轴对称的点至少有3对，则实数a 的取值范围是（ ） （A ）)550(，（B ）)155(，（C ）)133(， （D ）)330(， 【答案】A此时，只需在5x =时，log a y x =的纵坐标大于2-，即log 52a >-，得50a <<． 2. 已知函数()sin ()f x x x x R =+∈，且22(23)(41)0f y y f x x -++-+≤，则当1y ≥时,1yx +的取值范围是（ ）A ．4[0,]3B ．3[0,]4C ．14[,]43D ．13[,]44【答案】D【解析】因为()sin (),()1cos 0f x x x f x f x x '-=--=-=+≥，所以函数()f x 为奇函数且为增函数，所以由22(23)(41)0f y y f x x -++-+≤得222222(23)(41),(23)(41),2341,f y y f x x f y y f x x y y x x -+≤--+-+≤-+--+≤-+-22(2)(1)1,x y -+-≤当1y ≥时,1yx +表示半圆上的点P 与定点(10)A -，连线的斜率,其取值范围为13[,][,]44PB l k k =，其中(3,1),B l 为切线3. 若1212(,),(,)a a a b b b ==，定义一种运算：1122(,)a b a b a b ⊗=，已知1(2,)2m =，(,0)3n π=，且点(,)P x y ，在函数sin y x =的图象上运动，点Q 在函数()y f x =的图象上运动，且OQ m OP n =⊗+（其中O 为坐标原点），则函数()y f x =的最大值A 和最小正周期T 分别为（ ）A ．2,A T π==B ．2,4A T π==C ．1,2A T π== D ．1,42A T π== 【答案】D【解析】由条件1(2,sin )32OQ x x π=+，所以1(2)sin 32f x x π+=，从而求得1()sin()226x f x π=-， 1,4.2A T π∴==.4. 函数23()3sincos 3sin 4442x x x f x m =+-+，若对于任意的33x π2π-≤≤有()0f x ≥恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）. A ．32m ≥B ．32m ≥-C ．32m ≥-D ．32m ≥ 【答案】D5. 已知函数2()sin 22cos 1f x x x =+-，有下列四个结论：①函数()f x 在区间3[,]88ππ-上是增函数； ②点3(,0)8π是函数()f x 图象的一个对称中心； ③函数()f x 的图象可以由函数2sin 2y x =的图象向左平移4π得到； ④若[0,]2x π∈，则()f x 的值域为[0,2]．则所有正确结论的序号是（ ）A ．①②③B ．①③C ．②④D ．①② 【答案】D。
2006年全国统一高考数学试卷(理科)(全国卷一)及解析
2006年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅰ）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）设集合M={x|x2﹣x＜0}，N={x||x|＜2}，则（）A．M∩N=∅B．M∩N=M C．M∪N=M D．M∪N=R2．（5分）已知函数y=e x的图象与函数y=f（x）的图象关于直线y=x 对称，则（）A．f（2x）=e2x（x∈R）B．f（2x）=ln2•lnx（x＞0）C．f（2x）=2e x（x∈R）D．f（2x）=lnx+ln2（x＞0）3．（5分）双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍，则m=（）A．B．﹣4 C．4 D．4．（5分）如果复数（m2+i）（1+mi）是实数，则实数m=（）A．1 B．﹣1 C．D．5．（5分）函数的单调增区间为（）A．B．（kπ，（k+1）π），k∈ZC．D．6．（5分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且c=2a，则cosB=（）A．B．C． D．7．（5分）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是（）A．16πB．20πC．24πD．32π8．（5分）抛物线y=﹣x2上的点到直线4x+3y﹣8=0距离的最小值是（）A．B．C．D．39．（5分）设平面向量1、2、3的和1+2+3=0．如果向量1、2、，满足|i|=2|i|，且i顺时针旋转30°后与i同向，其中i=1，2，3，3则（）A．﹣1+2+3=0 B．1﹣2+3=0 C．1+2﹣3=0 D．1+2+3=010．（5分）设{a n}是公差为正数的等差数列，若a1+a2+a3=15，a1a2a3=80，则a11+a12+a13=（）A．120 B．105 C．90 D．7511．（5分）用长度分别为2、3、4、5、6（单位：cm）的5根细木棒围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为（）A．B．C．D．20cm212．（5分）设集合I={1，2，3，4，5}．选择I的两个非空子集A和B，要使B中最小的数大于A中最大的数，则不同的选择方法共有（）A．50种B．49种C．48种D．47种二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）已知正四棱锥的体积为12，底面对角线长为，则侧面与底面所成的二面角等于°．14．（4分）设z=2y﹣x，式中变量x、y满足下列条件：，则z的最大值为．15．（4分）安排7位工作人员在5月1日至5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不安排在5月1日和2日．不同的安排方法共有种（用数字作答）．16．（4分）设函数．若f（x）+f′（x）是奇函数，则φ=．三、解答题（共6小题，满分74分）17．（12分）ABC的三个内角为A、B、C，求当A为何值时，取得最大值，并求出这个最大值．18．（12分）A、B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验．每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A，另2只服用B，然后观察疗效．若在一个试验组中，服用A有效的小白鼠的只数比服用B有效的多，就称该试验组为甲类组．设每只小白鼠服用A 有效的概率为，服用B有效的概率为．（Ⅰ）求一个试验组为甲类组的概率；（Ⅱ）观察3个试验组，用ξ表示这3个试验组中甲类组的个数，求ξ的分布列和数学期望．19．（12分）如图，l1、l2是互相垂直的异面直线，MN是它们的公垂线段．点A、B在l1上，C在l2上，AM=MB=MN．（Ⅰ）证明AC⊥NB；（Ⅱ）若∠ACB=60°，求NB与平面ABC所成角的余弦值．20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，有一个以和为焦点、离心率为的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线C，动点P在C上，C在点P处的切线与x、y轴的交点分别为A、B，且向量．求：（Ⅰ）点M的轨迹方程；（Ⅱ）的最小值．21．（14分）已知函数．（Ⅰ）设a＞0，讨论y=f（x）的单调性；（Ⅱ）若对任意x∈（0，1）恒有f（x）＞1，求a的取值范围．22．（12分）设数列{a n}的前n项的和，n=1，2，3，…（Ⅰ）求首项a1与通项a n；（Ⅱ）设，n=1，2，3，…，证明：．2006年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）设集合M={x|x2﹣x＜0}，N={x||x|＜2}，则（）A．M∩N=∅B．M∩N=M C．M∪N=M D．M∪N=R【分析】M、N分别是二次不等式和绝对值不等式的解集，分别解出再求交集合并集．【解答】解：集合M={x|x2﹣x＜0}={x|0＜x＜1}，N={x||x|＜2}={x|﹣2＜x＜2}，∴M∩N=M，故选：B．2．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）已知函数y=e x的图象与函数y=f（x）的图象关于直线y=x对称，则（）A．f（2x）=e2x（x∈R）B．f（2x）=ln2•lnx（x＞0）C．f（2x）=2e x（x∈R）D．f（2x）=lnx+ln2（x＞0）【分析】本题考查反函数的概念、互为反函数的函数图象的关系、求反函数的方法等相关知识和方法．根据函数y=e x的图象与函数y=f（x）的图象关于直线y=x对称可知f （x）是y=e x的反函数，由此可得f（x）的解析式，进而获得f（2x）．【解答】解：函数y=e x的图象与函数y=f（x）的图象关于直线y=x对称，所以f（x）是y=e x的反函数，即f（x）=lnx，∴f（2x）=ln2x=lnx+ln2（x＞0），选D．3．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍，则m=（）A．B．﹣4 C．4 D．【分析】由双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍，可求出该双曲线的方程，从而求出m的值．【解答】解：双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍，∴m＜0，且双曲线方程为，∴m=，故选：A．4．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）如果复数（m2+i）（1+mi）是实数，则实数m=（）A．1 B．﹣1 C．D．【分析】注意到复数a+bi（a∈R，b∈R）为实数的充要条件是b=0 【解答】解：复数（m2+i）（1+mi）=（m2﹣m）+（1+m3）i是实数，∴1+m3=0，m=﹣1，选B．5．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）函数的单调增区间为（）A．B．（kπ，（k+1）π），k∈ZC．D．【分析】先利用正切函数的单调性求出函数单调增时x+的范围i，进而求得x的范围．【解答】解：函数的单调增区间满足，∴单调增区间为，故选C6．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且c=2a，则cosB=（）A．B．C． D．【分析】根据等比数列的性质，可得b=a，将c、b与a的关系结合余弦定理分析可得答案．【解答】解：△ABC中，a、b、c成等比数列，则b2=ac，由c=2a，则b=a，=，故选B．7．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是（）A．16πB．20πC．24πD．32π【分析】先求正四棱柱的底面边长，然后求其对角线，就是球的直径，再求其表面积．【解答】解：正四棱柱高为4，体积为16，底面积为4，正方形边长为2，正四棱柱的对角线长即球的直径为2，∴球的半径为，球的表面积是24π，故选C．8．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）抛物线y=﹣x2上的点到直线4x+3y﹣8=0距离的最小值是（）A．B．C．D．3【分析】设抛物线y=﹣x2上一点为（m，﹣m2），该点到直线4x+3y ﹣8=0的距离为，由此能够得到所求距离的最小值．【解答】解：设抛物线y=﹣x2上一点为（m，﹣m2），该点到直线4x+3y﹣8=0的距离为，分析可得，当m=时，取得最小值为，故选B．9．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）设平面向量1、2、3的和1+2+3=0．如果向量1、2、3，满足|i|=2|i|，且i顺时针旋转30°后与i同向，其中i=1，2，3，则（）A．﹣1+2+3=0 B．1﹣2+3=0 C．1+2﹣3=0 D．1+2+3=0 【分析】三个向量的和为零向量，在这三个向量前都乘以相同的系数，我们可以把系数提出公因式，括号中各项的和仍是题目已知中和为零向量的三个向量，当三个向量都按相同的方向和角度旋转时，相对关系不变．【解答】解：向量1、2、3的和1+2+3=0，向量1、2、3顺时针旋转30°后与1、2、3同向，且|i|=2|i|，∴1+2+3=0，故选D．10．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）设{a n}是公差为正数的等差数列，若a1+a2+a3=15，a1a2a3=80，则a11+a12+a13=（）A．120 B．105 C．90 D．75【分析】先由等差数列的性质求得a2，再由a1a2a3=80求得d即可．【解答】解：{a n}是公差为正数的等差数列，∵a1+a2+a3=15，a1a2a3=80，∴a2=5，∴a1a3=（5﹣d）（5+d）=16，∴d=3，a12=a2+10d=35∴a11+a12+a13=105故选B．11．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）用长度分别为2、3、4、5、6（单位：cm）的5根细木棒围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为（）A．B．C．D．20cm2【分析】设三角形的三边分别为a，b，c，令p=，则p=10．海伦公式S=≤=故排除C，D，由于等号成立的条件为10﹣a=10﹣b=10﹣c，故“=”不成立，推测当三边长相等时面积最大，故考虑当a，b，c三边长最接近时面积最大，进而得到答案．【解答】解：设三角形的三边分别为a，b，c，令p=，则p=10．由海伦公式S=知S=≤=＜20＜3由于等号成立的条件为10﹣a=10﹣b=10﹣c，故“=”不成立，∴S＜20＜3．排除C，D．由以上不等式推测，当三边长相等时面积最大，故考虑当a，b，c三边长最接近时面积最大，此时三边长为7，7，6，用2、5连接，3、4连接各为一边，第三边长为7组成三角形，此三角形面积最大，面积为，故选B．12．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）设集合I={1，2，3，4，5}．选择I的两个非空子集A和B，要使B中最小的数大于A中最大的数，则不同的选择方法共有（）A．50种B．49种C．48种D．47种【分析】解法一，根据题意，按A、B的元素数目不同，分9种情况讨论，分别计算其选法种数，进而相加可得答案；解法二，根据题意，B中最小的数大于A中最大的数，则集合A、B 中没有相同的元素，且都不是空集，按A、B中元素数目这和的情况，分4种情况讨论，分别计算其选法种数，进而相加可得答案．【解答】解：解法一，若集合A、B中分别有一个元素，则选法种数有C52=10种；若集合A中有一个元素，集合B中有两个元素，则选法种数有C53=10种；若集合A中有一个元素，集合B中有三个元素，则选法种数有C54=5种；若集合A中有一个元素，集合B中有四个元素，则选法种数有C55=1种；若集合A中有两个元素，集合B中有一个元素，则选法种数有C53=10种；若集合A中有两个元素，集合B中有两个元素，则选法种数有C54=5种；若集合A中有两个元素，集合B中有三个元素，则选法种数有C55=1种；若集合A中有三个元素，集合B中有一个元素，则选法种数有C54=5种；若集合A中有三个元素，集合B中有两个元素，则选法种数有C55=1种；若集合A中有四个元素，集合B中有一个元素，则选法种数有C55=1种；总计有49种，选B．解法二：集合A、B中没有相同的元素，且都不是空集，从5个元素中选出2个元素，有C52=10种选法，小的给A集合，大的给B集合；从5个元素中选出3个元素，有C53=10种选法，再分成1、2两组，较小元素的一组给A集合，较大元素的一组的给B集合，共有2×10=20种方法；从5个元素中选出4个元素，有C54=5种选法，再分成1、3；2、2；3、1两组，较小元素的一组给A集合，较大元素的一组的给B集合，共有3×5=15种方法；从5个元素中选出5个元素，有C55=1种选法，再分成1、4；2、3；3、2；4、1两组，较小元素的一组给A集合，较大元素的一组的给B 集合，共有4×1=4种方法；总计为10+20+15+4=49种方法．选B．二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）（2006•全国卷Ⅰ）已知正四棱锥的体积为12，底面对角线长为，则侧面与底面所成的二面角等于60°．【分析】先根据底面对角线长求出边长，从而求出底面积，再由体积求出正四棱锥的高，求出侧面与底面所成的二面角的平面角的正切值即可．【解答】解：正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为，底面边长为2，底面积为12，所以正四棱锥的高为3，则侧面与底面所成的二面角的正切tanα=，∴二面角等于60°，故答案为60°14．（4分）（2006•全国卷Ⅰ）设z=2y﹣x，式中变量x、y满足下列条件：，则z的最大值为11．【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=2y ﹣x表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可．【解答】解：，在坐标系中画出图象，三条线的交点分别是A（0，1），B（7，1），C（3，7），在△ABC中满足z=2y﹣x的最大值是点C，代入得最大值等于11．故填：11．15．（4分）（2006•全国卷Ⅰ）安排7位工作人员在5月1日至5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不安排在5月1日和2日．不同的安排方法共有2400种（用数字作答）．【分析】本题是一个分步计数问题，先安排甲、乙两人在假期的后5天值班，有A52种排法，其余5人再进行排列，有A55种排法，根据分步计数原理得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个分步计数问题，首先安排甲、乙两人在假期的后5天值班，有A52=20种排法，其余5人再进行排列，有A55=120种排法，∴根据分步计数原理知共有20×120=2400种安排方法．故答案为：240016．（4分）（2006•全国卷Ⅰ）设函数．若f（x）+f′（x）是奇函数，则φ=．【分析】对函数求导结合两角差的正弦公式，代入整理可得，，根据奇函数的性质可得x=0时函数值为0，代入可求φ的值【解答】解：，则f（x）+f′（x）=，为奇函数，令g（x）=f（x）+f′（x），即函数g（x）为奇函数，g（0）=0⇒2sin（φ）=0，∵0＜φ＜π，∴φ=．故答案为：．三、解答题（共6小题，满分74分）17．（12分）（2006•全国卷Ⅰ）ABC的三个内角为A、B、C，求当A 为何值时，取得最大值，并求出这个最大值．【分析】利用三角形中内角和为π，将三角函数变成只含角A，再利用三角函数的二倍角公式将函数化为只含角，利用二次函数的最值求出最大值【解答】解：由A+B+C=π，得=﹣，所以有cos=sin．cosA+2cos=cosA+2sin=1﹣2sin2+2sin=﹣2（sin﹣）2+当sin=，即A=时，cosA+2cos取得最大值为故最大值为18．（12分）（2006•全国卷Ⅰ）A、B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验．每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A，另2只服用B，然后观察疗效．若在一个试验组中，服用A有效的小白鼠的只数比服用B有效的多，就称该试验组为甲类组．设每只小白鼠服用A有效的概率为，服用B有效的概率为．（Ⅰ）求一个试验组为甲类组的概率；（Ⅱ）观察3个试验组，用ξ表示这3个试验组中甲类组的个数，求ξ的分布列和数学期望．【分析】（1）由题意知本题是一个独立重复试验，根据所给的两种药物对小白鼠有效的概率，计算出小白鼠有效的只数的概率，对两种药物有效的小白鼠进行比较，得到甲类组的概率．（2）由题意知本试验是一个甲类组的概率不变，实验的条件不变，可以看做是一个独立重复试验，所以变量服从二项分布，根据二项分布的性质写出分布列和期望．【解答】解：（1）设A i表示事件“一个试验组中，服用A有效的小鼠有i只“，i=0，1，2，B i表示事件“一个试验组中，服用B有效的小鼠有i只“，i=0，1，2，依题意有：P（A1）=2××=，P（A2）=×=．P（B0）=×=，P（B1）=2××=，所求概率为：P=P（B0•A1）+P（B0•A2）+P（B1•A2）=×+×+×=（Ⅱ）ξ的可能值为0，1，2，3且ξ～B（3，）．P（ξ=0）=（）3=，P（ξ=1）=C31××（）2=，P（ξ=2）=C32×（）2×=，P（ξ=3）=（）3=∴ξ的分布列为：∴数学期望Eξ=3×=．19．（12分）（2006•全国卷Ⅰ）如图，l1、l2是互相垂直的异面直线，MN是它们的公垂线段．点A、B在l1上，C在l2上，AM=MB=MN．（Ⅰ）证明AC⊥NB；（Ⅱ）若∠ACB=60°，求NB与平面ABC所成角的余弦值．【分析】（1）欲证AC⊥NB，可先证BN⊥面ACN，根据线面垂直的判定定理只需证AN⊥BN，CN⊥BN即可；（2）易证N在平面ABC内的射影H是正三角形ABC的中心，连接BH，∠NBH为NB与平面ABC所成的角，在Rt△NHB中求出此角即可．【解答】解：（Ⅰ）由已知l2⊥MN，l2⊥l1，MN∩l1=M，可得l2⊥平面ABN．由已知MN⊥l1，AM=MB=MN，可知AN=NB且AN⊥NB．又AN为AC在平面ABN内的射影．∴AC⊥NB（Ⅱ）∵AM=MB=MN，MN是它们的公垂线段，由中垂线的性质可得AN=BN，∴Rt△CAN≌Rt△CNB，∴AC=BC，又已知∠ACB=60°，因此△ABC为正三角形．∵Rt△ANB≌Rt△CNB，∴NC=NA=NB，因此N在平面ABC内的射影H是正三角形ABC的中心，连接BH，∠NBH为NB与平面ABC所成的角．在Rt△NHB中，cos∠NBH===．20．（12分）（2006•全国卷Ⅰ）在平面直角坐标系xOy中，有一个以和为焦点、离心率为的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线C，动点P在C上，C在点P处的切线与x、y轴的交点分别为A、B，且向量．求：（Ⅰ）点M的轨迹方程；（Ⅱ）的最小值．【分析】（1）利用相关点法求轨迹方程，设P（x0，y0），M（x，y），利用点M的坐标来表示点P的坐标，最后根据x0，y0满足C的方程即可求得；（2）先将用含点M的坐标的函数来表示，再利用基本不等式求此函数的最小值即可．【解答】解：（I）椭圆方程可写为：+=1式中a＞b＞0，且得a2=4，b2=1，所以曲线C的方程为：x2+=1（x＞0，y＞0）．y=2（0＜x＜1）y'=﹣设P（x 0，y0），因P在C上，有0＜x0＜1，y0=2，y'|x=x0=﹣，得切线AB的方程为：y=﹣（x﹣x0）+y0．设A（x，0）和B（0，y），由切线方程得x=，y=．由=+得M的坐标为（x，y），由x0，y0满足C的方程，得点M 的轨迹方程为：+=1（x＞1，y＞2）（Ⅱ）||2=x2+y2，y2==4+，∴||2=x2﹣1++5≥4+5=9．且当x2﹣1=，即x=＞1时，上式取等号．故||的最小值为3．21．（14分）（2006•全国卷Ⅰ）已知函数．（Ⅰ）设a＞0，讨论y=f（x）的单调性；（Ⅱ）若对任意x∈（0，1）恒有f（x）＞1，求a的取值范围．【分析】（Ⅰ）根据分母不为0得到f（x）的定义域，求出f'（x），利用a的范围得到导函数的正负讨论函数的增减性即可得到f（x）的单调区间；（Ⅱ）若对任意x∈（0，1）恒有f（x）＞1即要讨论当0＜a≤2时，当a＞2时，当a≤0时三种情况讨论得到a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（﹣∞，1）∪（1，+∞）．对f （x）求导数得f'（x）=e﹣ax．（ⅰ）当a=2时，f'（x）=e﹣2x，f'（x）在（﹣∞，0），（0，1）和（1，+∞）均大于0，所以f（x）在（﹣∞，1），（1，+∞）为增函数．（ⅱ）当0＜a＜2时，f'（x）＞0，f（x）在（﹣∞，1），（1，+∞）为增函数．（ⅲ）当a＞2时，0＜＜1，令f'（x）=0，解得x1=，x2=．当x变化时，f′（x）和f（x）的变化情况如下表：f （x ）在（﹣∞，），（，1），（1，+∞）为增函数，f （x ）在（，）为减函数． （Ⅱ）（ⅰ）当0＜a ≤2时，由（Ⅰ）知：对任意x ∈（0，1）恒有f （x ）＞f （0）=1．（ⅱ）当a ＞2时，取x 0=∈（0，1），则由（Ⅰ）知f （x 0）＜f （0）=1（ⅲ）当a ≤0时，对任意x ∈（0，1），恒有＞1且e﹣ax ≥1，得f （x ）=e ﹣ax ≥＞1． 综上当且仅当a ∈（﹣∞，2]时，对任意x ∈（0，1）恒有f （x ）＞1．22．（12分）（2006•全国卷Ⅰ）设数列{a n }的前n 项的和，n=1，2，3，…（Ⅰ）求首项a 1与通项a n ；（Ⅱ）设，n=1，2，3，…，证明：．【分析】对于（Ⅰ）首先由数列{a n }的前n 项的和求首项a 1与通项a n ，可先求出S n ﹣1，然后有a n =S n ﹣S n ﹣1，公比为4的等比数列，从而求解；对于（Ⅱ）已知，n=1，2，3，…，将a n=4n﹣2n代入S n=a n﹣×2n+1+，n=1，2，3，得S n=×（4n﹣2n）﹣×2n+1+=×（2n+1﹣1）（2n+1﹣2）然后再利用求和公式进行求解．【解答】解：（Ⅰ）由S n=a n﹣×2n+1+，n=1，2，3，①得a1=S1=a1﹣×4+所以a1=2．再由①有S n﹣1=a n﹣1﹣×2n+，n=2，3，4，将①和②相减得：a n=S n﹣S n﹣1=（a n﹣a n﹣1）﹣×（2n+1﹣2n），n=2，3，整理得：a n+2n=4（a n﹣1+2n﹣1），n=2，3，因而数列{a n+2n}是首项为a1+2=4，公比为4的等比数列，即：a n+2n=4×4n﹣1=4n，n=1，2，3，因而a n=4n﹣2n，n=1，2，3，（Ⅱ）将a n=4n﹣2n代入①得S n=×（4n﹣2n）﹣×2n+1+=×（2n+1﹣1）（2n+1﹣2）=×（2n+1﹣1）（2n﹣1）T n==×=×（﹣）所以，=﹣）=×（﹣）＜（1﹣）。
2006年全国统一高考数学试卷(理科)(全国卷一)及答案
2006年全国统一高考数学试卷(理科)(全国卷一)及答案2006年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅰ）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1.设集合 $M=\{x|x^2-x<0\}$，$N=\{x||x|<2\}$，则（）。
A。
$M\cap N=\varnothing$B。
$M\cap N=M$C。
$M\cup N=\mathbb{R}$XXX2.已知函数 $y=e^x$ 的图象与函数 $y=f(x)$ 的图象关于直线 $y=x$ 对称，则（）。
A。
$f(2x)=e^{2x}$（$x\in\mathbb{R}$）B。
$f(2x)=\ln2\cdot\ln x$（$x>0$）C。
$f(2x)=2e^x$（$x\in\mathbb{R}$）D。
$f(2x)=\ln x+\ln 2$（$x>0$）3.双曲线 $mx^2+y^2=1$ 的虚轴长是实轴长的2倍，则$m=$（）。
A。
$\dfrac{3}{4}$B。
$1$C。
$-4$D。
$4$4.如果复数 $(m^2+i)(1+mi)$ 是实数，则实数 $m=$（）。
A。
$1$B。
$-1$C。
$0$D。
不存在实数 $m$ 满足条件。
5.函数$y=\dfrac{\sin x}{1+\cos x}$ 的单调增区间为（）。
A。
$(2k\pi,(2k+1)\pi)$，$k\in\mathbb{Z}$B。
$(2k\pi,(2k+1)\pi)$，$k\in\mathbb{N}$C。
$(2k\pi+\pi,(2k+1)\pi)$，$k\in\mathbb{Z}$D。
$(2k\pi+\pi,(2k+1)\pi+\pi)$，$k\in\mathbb{Z}$6.$\triangle ABC$ 的内角 $A$、$B$、$C$ 的对边分别为$a$、$b$、$c$，若 $a$、$b$、$c$ 成等比数列，且 $c=2a$，则 $\cos B=$（）。
2006高考理科数学试卷及答案全国1
2006年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（全国卷Ⅰ）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1至2页。
第Ⅱ卷3到10页。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
不能答在试题卷上。
3．本卷共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球是表面积公式)()()(B P A P B A P +=+ 24R S π=如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径)()()(B P A P B A P ⋅=⋅ 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么334R V π=n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径k n k kn n P P C k P --=)1()(一．选择题（1）设集合M={x|x 2-x<0},N={x||x|<2},则（A ）M φ=N I（B ）M M N =I（C ）M N M =Y （D ）R N M =Y（2）已知函数y=e x 的图象与函数y=f(x)的图象关于直线y=x 对称，则（A ）f(2x)=e 2x (x )R ∈ （B ）f(2x)=ln2lnx(x>0)（C ）f(2x)=2e 2x (x )R ∈（D ）f(2x)= lnx+ln2(x>0)（3）双曲线mx 2+y 2=1的虚轴长是实轴长的2倍,则m=（A ）-41 （B ）-4 (C)4 （D ）41 （4）如果(m 2+i)(1+mi)是实数,则实数m=（A ）1（B ）-1（C ）2（D ）-2（5）函数f(x)=tan(x+4π)的单调递增区间为（A ）(k π-2π, k π+2π),k Z ∈ （B ）(k π, (k+1)π),k Z ∈ (C) (k π-43π, k π+4π),k Z ∈ （D ）(k π-4π, k π+43π),k Z ∈ （6）∆ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 、b 、c ，且c=2a ，则cosB=（A ）41 （B ）43（C ）42 （D ）32（7）已知各顶点都在一个球面上的正四棱锥高为4，体积为16，则这个球的表面积是（A ）16 π （B ）20π （C ）24π （D ）32π （8）抛物线y=-x 2上的点到4x+3y-8=0直线的距离的最小值是（A ）34 （B ）57 （C ）58 （D ）3（9）设平面向量a 1、a 2、a 3的和a 1+a 2+a 3=0，如果平面向量b 1、b 2、b 3满足|b i |=2|a i |，且a i 顺时针旋转30︒后与同向，其中i=1、2、3，则（A ）-b 1+b 2+b 3=0 （B ）b 1-b 2+b 3=0（C ）b 1+b 2-b 3=0 （D ）b 1+b 2+b 3=0（10）设{a n }是公差为正数的等差数列，若a 1+a 2+a 3=15，a 1a 2a 3=80，则a 11+a 12+a 13=（A ）120 （B ）105 （C ）90 （D ）75（11）用长度分别为2、3、4、5、6(单位:cm)的细木棒围成一个三角形(允许连接,但不允许折断),能够得到期的三角形面积的最大值为（A ）85cm 2（B ）610cm 2（C ）355cm 2（D ）20cm 2（12）设集合I={1，2，3，4，5}，选择I 的两个非空子和B ，要使B 中的最小的数大于A 中最大的数，则不同的选择方法共有（A ）50种 （B ）49种 （C ）48种 （D ）47种第Ⅱ卷注意事项：1．用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷上。
2006年福建省高考数学卷理科21题评点
2006年福建省高考数学卷理科21题评点福州三中 黄炳锋一、对试题的看法今年高考理科数学21题由两个相对独立的小题构成，第一小题在给定二次函数条件下，求长度为1的动区间的最大值，第二小题求两个函数图象有3个交点的参数m 的取值范围。
主要考查函数的单调性、极值、最值等基本知识，考查运用导数研究函数性质的方法和运算能力，考查函数与方程、数形结合、分类与整合等数学思想方法和分析问题、解决问题的能力。
我们知道二次函数、二次方程与二次不等式在高中数学中的地位，第一小题并不回避对二次函数在闭区间上的最值的考查，这类最值问题不外乎轴定区间定、轴动区间定和轴定区间动三种，以往我们都重视前两类，认为第三类难度太大，教学中不够重视，本次高考却出乎意料地考查第三类，想想却在情理之中。
因为区间的移动影响了最大值点的位置，所以试题要求以分段函数的形式将区间在不同位置下的二次函数的最值表示出来，既有图形的动态又有分段函数的思想，试题可谓一举两得。
第二小题主要考查用导数研究函数性质，从新课程卷开始，导数作为考试内容的考查力度逐年增大，本题的原型来自【2005年全国卷Ⅱ】文科21题：设a 为实数,函数.)(23a x x x x f +--=（1）求)(x f 的极值；（2）当a 在什么范围内取值时,曲线x x f y 与)(=轴仅有一个交点.试题继续沿用第一小题的二次函数模型替代了三次函数，将与x 轴有一个交点改为了与一个含参数的自然对数函数图象有三个交点，这个改动虽然看起来不太起眼，却把试题改活了。
改成了意味深远、韵味无穷的精彩的数学试题。
本题不仅要看到试题的背景原型，还要看到试题的方向，首先是试题的直观理解，函数x x x f 8)(2+-=与m x x g +=ln 6)(的图象有且仅有三个交点，求实数m 的取值范围，我的第一感觉是怎么会有三个交点呢？待到画出可能的图形后，又想实数m 的取值条件该如何转化得到？现在将两个函数作差，得到m x x x x f x g x ++-=-=ln 68)()()(2ϕ，将问题转化为函数)(x ϕ的图象与x 轴恰有三个交点，这就涉及零点判断，一般用区间根的方法，可怎样才能保证恰有三个零点呢，用到函数的单调性，这正是新课程用大篇幅解决的方程的根与函数的零点问题。
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2006年福建高考数学卷（理科）第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1、设a 、b 、c 、d ∈R ，则复数(a +b i)(c +d i)为实数的充要条件是A.ad －bc =0B.ac －bd =0C. ac +bd =0D.ad +bc =02、在等差数列｛a n ｝中，已知a 1=2,a 2+a 3=13，则a 4+a 5+a 6等于A.40B.42C.43D.453、已知α∈(2π,π)，sin α=53,则tan(4πα+)等于A.71B.7C.－ 71D.－7 4、已知全集U=R,且A=｛x ︱︱x －1︱>2｝,B=｛x ︱x 2－6x+8<0｝，则(UA)∩等于A.[－1,4]B. (2,3)C. (2,3)D.(－1,4) 5、已知正方体外接球的体积是π332，那么正方体的棱长等于c A.22 B.332 C.324 D.3346、在一个口袋中装有5个白球和3个黑球，这些球除颜色外完全相同，从中摸出3个球，至少摸到2个黑球的概率等于A.72 B.83 C.73 D.2897、对于平面α和共面的直线m 、n ，下列命题中真命题是 A.若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥α B.若m ∥α，n ∥α，则m ∥nC.若m ⊂α，n ∥α，则m ∥nD.若m 、n 与α所成的角相等，则n ∥m 8、函数y=㏒21-x x (x ﹥1)的反函数是A.y =122-x x (x >0)B.y = 122-x x(x <0)C.y =x x 212- (x >0)D. .y =xx 212- (x <0)9、已知函数f (x )=2sin ϖx(ϖ>0)在区间[3π-,4π]上的最小值是－2，则ϖ的最小值等于A.32B.23C.2D.3 10、已知双曲线12222=-bya x (a >0,b <0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是A.( 1,2)B. (1,2)C.[2,+∞]D.(2,+∞)11、已知︱OA ︱=1，︱OB ︱=3,OB OA ∙=0,点C 在∠AOB 内，且∠AOC =30°，设OC =m OA +n OB (m 、n ∈R )，则nm等于A.31 B.3 C.33 D.3 12、对于直角坐标平面内的任意两点A (x 1,y 1)、B (x 2，y 2)，定义它们之间的一种“距离”：‖AB ‖=︱x 1－x 2︱+︱y 1－y 2︱.给出下列三个命题：①若点C 在线段AB 上，则‖AC ‖+‖CB ‖=‖AB ‖;②在△ABC 中，若∠C =90°，则‖AC ‖2+‖CB ‖2=‖AB ‖2；③在△ABC 中，‖AC ‖+‖CB ‖>‖AB ‖.其中真命题的个数为A.0B.1C.2D.3第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡的相应位置. (13)(x 2－x1)2展开式中x 2的系数是 (用数字作答) (14)已知直线x －y －1=0与抛物线y =ax 2相切，则a= (15)一个均匀小正方体的六个面中，三个面上标以数0，两个面上标以数1,一个面上标以数2，将这个小正方体抛掷2次，则向上的数之积的数学期望是 （16）如图，连结△ABC 的各边中点得到一个新的△A 1B 1C 1，又连结的 △A 1B 1C 1各边中点得到，如此无限继续下去，得到一系列三角形：△ABC ， △A 1B 1C 1，△A 2B 2C 2，…，这一系列三角形趋向于一个点M ，已知A (0,0) ,B (3,0),C (2,2)，则点M 的坐标是 .二、 解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17、（ 12分）已知函数f (x )=sin 2x +3x cos x +2cos 2x ,x ∈R.（I ）求函数f (x )的最小正周期和单调增区间；（Ⅱ）函数f (x )的图象可以由函数y =sin2x (x ∈R )的图象经过怎样的变换得到？ 18、（ 12分）如图，四面体ABCD 中，O 、E 分别BD 、BC 的中点,CA=CB=CD=BD=2 （Ⅰ）求证：AO ⊥平面BCD ；（Ⅱ）求异面直线AB 与CD 所成角的大小； （Ⅲ）求点E 到平面的距离.19、（ 12分）统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时耗油量y （升）关于行驶速度x （千米/小时）的函数解析式可以表示为：y =880312800012+-x x (0<x ≤120).已知甲、乙两地相距100千米。
（Ⅰ）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？ （Ⅱ）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？20、（ 12分）已知椭圆1222=+y x 的左焦点为F ，O 为坐标原点。
（Ⅰ）求过点O 、F ，并且与椭圆的左准线l 相切的圆的方程； （Ⅱ）设过点F 且不与坐标轴垂直交椭圆于A 、B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点G ，求点G 横坐标的取值范围。
21、（ 12分）已知函数f (x )=－x 2+8x,g (x )=6ln x+m（Ⅰ）求f (x )在区间[t ,t +1]上的最大值h (t );（Ⅱ）是否存在实数m ，使得y =f (x )的图象与y =g (x )的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m 的取值范围；，若不存在，说明理由。
22、（ 14分）已知数列｛a n ｝满足a 1=1,a 1+n =2a n +1(n ∈N *) （Ⅰ）求数列｛a n ｝的通项公式； （Ⅱ）若数列{b n }满足4k1-14k2-1…4k-1=(a n +1)km (n ∈N *),证明:{b n }是等差数列;（Ⅲ）证明:231213221na a a a a a n n n ＜＜++⋯++-(n ∈N *).参考答案一、选择题：(1)D (2)B (3)A (4)C (5)D (6)A (7)C (8)A (9)B (10)C (11)B (12)B二、填空题：(13)10 (14)41 (15)94 (16)(32,35) 三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.(17)本小题主要考查三角函数的基本公式，三角恒等变换、三角函数的图象和性质等基本识，以及推理和运算能力，满分12分.解:（1）f(x)=)2cos 1(2sin 2322cos 1x x x +++-=232cos 212sin 23++x x =sin(2x++)6π23.∴f(x)的最小正周期T=22π=π.由题2k π-2π≤2x+6π,k ∈Z,∴f(x)的单调增区间为［k π-3π］,k ∈Z.(2)方法一：先把y=sin 2x 图象上所有的点向左平移12π个单位长度，得到y=sin(2x+6π)的图象，再把所得图象上所有的点向上平移23个单位年度，就得到y=sin(2x+6π)+23的图象.方法二：把y=sin 2x 图象上所有的点按向量a=(-32,12π)平移，就得到y=sin(2x+6π)+23的图象.(18)本小题主要考查直线与平面的位置关系、异面直线所成的角以及点到平面的距离等基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力.满分12分.方法一:(1)证明：连结OC.∵BO=DO,AB=AD, ∴AO ⊥BD. ∵BO=DO,BC=CD, ∴CO ⊥BD.在△AOC 中，由已知可得AO=1,CO=3.而AC=2,∴AO 2+CO 2=AC 2,∴∠AOC=90°,即AO ⊥OC. ,0=OC BD ∴AB ⊥平面BCD .（Ⅱ）解：取AC 的中点M ,连结OM 、ME 、OE ，由E 为BC 的中点知ME ∥AB ,OE ∥DC . ∴直线OE 与EM 所成的锐角就是异面直线AB 与CD 所成的角. 在△OME 中，,121,2221====DC OE AB EM OM 是直角△AOC 斜边AC 上的中线，∴,121==AC OM ∴,42cos =∠OEA ∴异面直线AB 与CD 所成角的大小为.42arccos（Ⅲ）解：设点E 到平面ACD 的距离为h .CD E A ACD A V V --- , ∴h 31²S △ACD =31²AO ²S △CDE . 在△ACD 中，CA =CD =2,AD =2,∴S △ACD =,2722222132=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯ 而AO =1, S △CDE =,23243212=⨯⨯∴h =,72127231=⨯=∙∆∆ACDCDE S S AO∴点E 到平面ACD 的距离为721. 方法二：（Ⅰ）同方法一：（Ⅱ）解：以O 为原点，如图建立空间直角坐标系，则B (1，0，0)，D (-1，0，0)，C (0，3，0)，A (0,0,1),E (21,23,0),).0,3,1(),1,0,1(--=-=CD BA∴,42=∙=CD BA CD BA∴异面直线AB 与CD 所成角的大小为.42arccos（Ⅲ）解：设平面ACD 的法向量为n =(x,y,z ),则⎪⎩⎪⎨⎧=-∙=∙=--∙=∙,0)1,3,0(),,(,0)1,0,1(),,(z y x n z y x AD n ∴⎩⎨⎧=-=+.03,0z y z x 令y=1，得n=(-3,1,3)是平面ACD 的一个法向量.又),0,23,21(-=∴点E 到平面ACD 的距离 h=.72173|||·|==n n(19)本小题主要考查函数，导数及其应用等基本知识，考查运用数学知识分析和解决实际问题的能力.满分12分.解: (1)当x=40时，汽车从甲地到乙地行驶了5.240100=小时, 要耗油()(5.175.28408034012800013升）=⨯+⨯-⨯.答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升. (2)当速度为x 千米/小时，汽车从甲地到乙地行驶了,100小时x设耗油量为h(x)升，衣题意得h(x)=(880312800013+-x x )²)1200(415800128011002＜＜x x x x -+=,h’(x)=233264080800640x x x x -=-(0＜x ≤120＝ 令h ’(x)=0，得x=80.当x ∈(0,80)时，h’(x)＜0,h(x)是减函数; 当x ∈(80,120)时，h’(x)＞0,h(x)是增函数.∴当x=80时，h(x)取到极小值h(80)=11.25.因为h(x)在(0,120)上只有一个极值，所以它是最小值.答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升.(20)本小题主要考查直线、圆、椭圆和不等式等基本知识，考查平面解析几何的基本方法， 考查运算能力和综合能力.满分12分.解(1) ∵a 2=2,b 2=1,∴c=1,F(-1,0),l:x=-2.∵圆过点O 、F.∴圆心M 在直线x=-.21上 设M(-t ,21),则圆半径r=|(-21)-(-2)|=23.由|OM|=r,得.23)21(22=+-t 解得t=±2,∴所求圆的方程为(x+21)2+(y ±2) 2=49.(2)设直线AB 的方程为y=k(x+1)(k ≠0),代入22x +y 2=1,整理得(1+2k 2)x 2+4k 2x+2k 2-2=0.∵直线AB 过椭圆的左焦点F, ∴方程有两个不等实根. 记A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),AB 中点N(x 0,y 0),则x 1+x 1=-,12422+k k x 0=,12)1(122)(212002221+=+=∙+-=+k k x k y k k x x ∴ AB 垂直平分线NG 的方程为).(100x x ky y --=-令y =0，得.241211212122222222200++-=+-=+-++-=+=k k k k k k k ky x x C ∵.021,00<<-∴≠x k ∴点G 横坐标的取值范围为（0,21-）。