第四章 连续体的振动

强迫振动
对于长为 l 的两端固定受分布力q(x,t)
作用下的弦的强迫振动，其运动微分方程为：
2
y( x, t ) 2t
c2
2
y( x, t ) 2x
1
A
q( x, t )
振型函数 Y (x) Aj
令 Aj 则有
1
Y (x) sin
j
sin
x
j
l
x
设其解为
y(x,t) j 1
y( x, t sin( j
cos
n
c
x) sin(nt
)
左端 ：x 0 u(0,t) 0
右端：杆受到弹簧力 k u(l,t)的作用
u(l, t )
x l EA
k u(l,t)
代入
x
B1 0
EA n cos n l k sin n l
cc
c
由上式，根据不同的 k 值，可解出不同的固有频率
① k 0 相当于自由端
)
例-1：两端固定的等值杆
u(0,t) u(l,t) 0
u( x, t )
( A sin
n
c
x
B cos n
c
x)
sin(nt
)
代入得
则有
B0
Asin
n
c
l
sin(nt
)
0
sin n l 0
c
j l j ( j 1, 2 )
c
j
j c
l
j
l
E
弦的振动频率
j
cj l
j l
T A
各阶主振型 U (x) sin j x sin j x
取圆轴的轴心线作为x 轴，图示轴任一 x截面处的转角表示为
θ(x,t) 。设轴长为l ，单位体积的质量为ρ，圆截面对其中心的
极惯量矩
为 x
及GJ
p
(
x
为Jp ，材料的剪
，作用于微元dx
2
x2
dx)
。
切弹性模量为 G 。轴的扭转应
两截面上的扭矩分别为
GJ
p
x
变 ，
§4.3圆轴的扭转振动
杆的扭转振动，抗扭刚度 GJ p x 截面处的扭转角
综上所述，弦的横振、杆的纵振与轴的扭振都导致同一形式的 波动方程。它们的运动具有共同的规律，如表4-1。
表4-1 弦的横振、杆的纵振与轴的扭振对比表
弦的横振
杆的纵振
轴的扭振
物 理 参 数 x 截面的
位移 y
T弦的张力 弦的体密度
横向位移
E 弹性模量 A 截面积 密度
纵向位移
G 剪切弹性模量
J p截面极惯性矩 密度
x
根据牛顿第二定律，
弦的单元微段ds沿 y方向的运动微分方程为：
Adx
2
y( x, t ) t 2
T
(x,t)
x
dx
q( x, t )dx
代入 (x,t) y(x,t)
得：
x
A
2
y( x, t ) t 2
T
2
y( x, t ) x2
q( x, t )
设 c T 代入得：
A
2 y(x,t) c2 2 y(x,t) 1 q(x,t)
1759年拉格朗日（J.L.Lagrange):从驻波解推得行波解
1811年傅里叶提出函数的阶数展开理论，给出严格的数学证明
‘其它连续系统的振动问题也相继得到研究
伯努利（D.Bernoulli)1744-1751年研究了梁的横向振动，导出了自由. 简支和固定端的频率方程和振型函数
奇拉尼（E.F.F.Chladni):1802年研究了杆的轴向和扭转振动．
解：
JP
(x,t)
( A sin
n
c
x B cos n
c
x) sin(nt
)
边界条件：
IP
(0,t) 0
M
(l, t )
GJIJp
(x,t)
x
|xl
对于圆盘的运动微分方程：
Ip
2 (x, t)
t 2
|xl
GJ
p
(x, t)
x
|xl
由于边界条件得：B=0
代入得：
(x,t)
Asin n
c
第四章 连续体的振动
本章只讨论理想弹性体的振动 理想弹塑性体满足以下假设条件 ①各向同性；②均质分布；③服从虎克定律
§4.1 弦的振动
讨论两端受到张力T拉紧的弦，弦上还受到横向干扰力
q( x, t )的作用
q( x, t )
x
x dx
dm Ads
y
设弦的密度为 （质量/单位体积）
假设小变形，弦力不随挠度变化。 则弦上的任意一点的位移y应为位置x与时间t的函数，即
y y(x,t)
dm Ads A (dx)2 (dy)2 Adx
(x,t) y(x,t) tg
x
沿 y 方向作用在微小区间 [x, x dx] 的外力之和为
T[ (x,t) (x,t) dx] T (x,t) q(x,t)dx
x
T (x,t) dx q(x,t)dx
ix
Ui sin l
Ui
c os ix
l
Ui
sin
2i 1 x
2l
作业：p228:4-1;4-5
§4.4 梁的弯曲振动 ①梁的振动都在同一平面内，即在xoy平面之内 ②满足平截面假设 ③梁上各点的运动只需用轴线的横向位移来表示 建立运动微分方程：
设杆的横截面在振动时仍保持为平面并作整体运动。略去 杆纵向伸缩而引起的横截面变形。
取杆的纵向作为 x 轴，各个截面的纵向位移表示为u(x,t)， 如图所示。杆的微元dx在自由振动中的受力图也在图5-3中给出。
设杆单位体积的质量为ρ ，杆长为 l，截面积为A ， 材料的弹性模量为E 。再设任一 x 截面处，纵向应变为ε(x) ， 纵向拉力表示为N(x)
转角
单位长度
的质量或
A
A
Jp
转动惯量
x 截面处力
T y
（或扭矩）
x
EA y x
y GJ p x
波速 c 运动微 分方程 通解
边界条件
固有频率 振型函数
弦的横振
杆的纵振
轴的扭振
T / A
E/
G/
2 y x2
1 c2
2 y t 2
y yi Ui (x)Yi (t)
Yi (t) Ai sin it Bi cosit
c
l
各阶主振动： u j (x,t) Aj sin
j
l
x
sin( jt j )
u(x,t)
n
Aj sin
j 1
j
l
x
sin(
jt
j
)
例5.2 如图所示，一长为 l的等截面均质直杆，左端固定，
右端联结一刚度为 k的弹簧，试求其纵向自由振动
的运动方程。
u(x,t) ( A1 sin
n
c
x
B1
下表给出对应于各个不同的α 值时，基本特征值β1 的值。
0.01 0.10 0.30 0.50 0.70 0.90 1.00 1.50 1 0.10 0.32 0.52 0.65 0.75 0.82 0.86 0.98
2.00 3.00 4.00 5.00 10.0 20.0 100
1 1.08 1.20 1.27 1.32 1.42 1.52 1.57 / 2
(x,t) 由材料力学知识 : 密度
dx
(x,
M (x,t) GJ p x 微元段扭矩的增量为
M M dx M M dx
x
x
2 (x,t) M
t) 极惯性矩： JP r2dA
A
圆截面极惯性矩：
IP r2dm dx
JP
r2
d4
dA32
dxJ
IP
1 mR2 (圆截面的) 转动惯量）
l
l j
) sin( l
x)H j (t)
x)H j (t) 代入方程
sin(
j 1
j
l
x) d 2H j (t) dt 2
c2
(
j 1
j
2
)
sin(
l
j
l
x)H j (t)
1 q(x,t)
A
将上式两边同乘以 sin(m x)并从 0到l对x进行积分，
得：
l sin( j
0
l
整理后得到：
x) sin( m
第四章 连续体的振动
拉格朗日（J.L.Lagrange):1762年建立了离散系统振动的一般理 论．
对连续系统研究最早的是弦线的振动
达朗贝尔（J.le R.d’Alembert)1746年用偏微分方程得到弦线振 动的波动方程，并求出行波解
伯努利（D.Bernoulli)1753年用无穷多个模态叠加的方法得到了 弦线振动的驻波解
,
Ui
(x)
Ci
sin
i x
c
Di
cosi x
c
两端固定
两端自由
一端固定 一端自由
U (0) U (l) 0
i ic / l
i 1 , 2 , 3
U '(0) U '(l) 0 i ic / l
i 1 , 2 , 3
U (0) U '(l) 0
i
2i 1 c
2l
i 1 , 2 , 3
如近似地取 tg ，则（a）式化简为
2 c2 J p GJ p
IPl
IPl
（b）
上式也就是略去轴的质量后所得单自由度系统的固有频率公式。
进一步的近似可取
这时有
tg 3
3
GJ 来自百度文库
l
IP
1
3
（c）
上式也就是将轴的转动惯量的三分之一加到圆盘上后所得单自 由度扭振系统的固有频率公式。只要轴的转动惯量不大于圆盘的转 动惯量，那么计算基频的近似式（c）在实用上已足够准确了。
l
l
x)dx
l ( j m) 2 0( j m)
d
2Hm dt 2
(t
)
m2
H
m
(t)
Qm
(t)
m2
cm
l
Qm (t)
2
Al
l q(x,t) sin m xdx
0
l
其通解为：
H
m
(t
)
Cm
cos
mt
Dm
sin
mt
1
m
l
0 Qm ( ) sin m (t )d
m 1, 2
§4.2 杆的纵向振动
x sin(nt
)
I
2
pn
sin n
c
x sin(nt
)
GJ
p
A
n
c
cos n
c
x sin(nt
) |xl
简化得： 得：
I pn2
sin nl
c
GJ p
n
c
cos nl
c
n l tan nl J pl 频率方程
(a）
设
c
c
Ip
tan 其中
n l ,
lJ p
c
IP
α的物理意义为轴的转动惯量与圆盘转动惯量之比。
t 2
x2 A
C为波沿长度方向的传播速度
如无干扰力作用时，
2
y( x, t ) t 2
c2
2
y( x, t ) x2
——称为波动方程
y(x,t) Y (x) H (t) Y (x) sin(nt )
弹性体系统作某阶主振动时，其各点也应当作同样的频 率及相位运动，各点也应当同时通过静平衡位置和到达最 大偏离位置，即系统具有一定的与时间无关的振型
cos n l 0
c
j
(2
j 1)
2
c l
主振型
U
j
(
x)
sin
(2
j 2l
1)
x
② k 即相当于固定端，其频率方程为
sin nl 0
c
j
j c
l
j
l
E ( j 1, 2
)
U j (x)
Aj sin
j
l
x( j
1, 2
)
§4.3圆轴的扭转振动
假设轴的横截面在扭转振动中仍保持为平面作整体转动。
条件确定。
j (x,t)
( Aj
sin
j
c
x
Bj
cos j
c
x) sin( jt
j)
j 1, 2
一般解为：
(x,t)
( Aj
j 1
sin j
c
x Bj
cos j
c
x) sin( j
j)
例-3：上端固定，下端装有转动惯量为IP 的圆盘，圆轴的极惯性 矩为JP，其剪切弹性模量为G，试分析其扭转振动的频率方程。
§4.2 杆的纵向振动
dx
u( x, t )
u( x, t ) x
dx
u( x, t )
u( x, t )
dx
dx
x
N EA(x) EA(x) u(x,t)
x
由牛顿第二定律：
A(x)dx
2u(x,t) t 2
N
N x
dx
N
N x
dx
2u( x, t ) t 2
1
A(x)
[EA(x) x
Y (x)为振型函数
2
y( x, t ) t 2
n2Y (x) sin(nt
)
2 y(x,t) x2
d 2Y (x) dx2
sin(nt
)
故
得 n2Y (x) sin(nt d 2Y (x) n2 Y (x) 0
)
c2
d 2Y (x) dx2
sin(nt
)
dx2
c2
Y (x) Asin n x B cos n x
u( x, t ) ] x
当杆为均质，等截面时
设 c2 E
2u( x, t ) t 2
E
2u( x, t ) x2
2u( x, t ) t 2
c2
2u( x, t ) x2
u(x,t) U (x) T (t) U (x) sin(nt )
( Asin
n
c
x
B cos n
c
x)
sin(nt
c
c
y( x, t )
( A sin
n
c
x
B cos n
c
x) sin(nt
)
A, B,n , 4个待定常数，可由弦的边界条件及振动的两
个初始条件来确定。
l
y(0,t) 0 y(l,t) 0 由于两端固定，故有
0 (0 B) sin(nt )
0
( A sin
n
c
l
B
cos
cos
n
c
l) sin(nt
)
得 B 0 Asin n l 0
c A0
则
sin n l 0
得
n l j ( j 1, 2 )
c
c
j
cj
l
j
l
T
A
Yj (x)
Aj
sin
j
c
x
Aj sin
j
l
x
y j (x,t)
Aj sin
j
l
x
sin( j
j)
y(x,t)
j 1
Aj sin
j x
l
sin( jt j )
2( x, t )
J pdx t2
x dx x [GJ p
]dx x
P
得：
Jp
2 (x,t)
t 2
GJ p
2 (x,t)
x2
设c G
则有：
2 (x,t)
t 2
c2
2 (x, t)
x2
c :表示剪切波在杆内的传播速度
它的解为
(x,t)
( A sin
n
c
x
B cos n
c
x) sin(nt
)
式中四个待定常数 A, B,n及, 由系统的边界条件和初始