第四章 连续体的振动

第四章连续体的振动拉格朗日（grange):1762年建立了离散系统振动的一般理论．对连续系统研究最早的是弦线的振动达朗贝尔（J.le R.d’Alembert)1746年用偏微分方程得到弦线振动的波动方程，并求出行波解伯努利（D.Bernoulli)1753年用无穷多个模态叠加的方法得到了弦线振动的驻波解1759年拉格朗日（grange):从驻波解推得行波解1811年傅里叶提出函数的阶数展开理论，给出严格的数学证明‘其它连续系统的振动问题也相继得到研究伯努利（D.Bernoulli)1744-1751年研究了梁的横向振动，导出了自由.简支和固定端的频率方程和振型函数奇拉尼（E.F.F.Chladni):1802年研究了杆的轴向和扭转振动．本章只讨论理想弹性体的振动理想弹塑性体满足以下假设条件①各向同性；②均质分布；③服从虎克定律§4.1 弦的振动T (,)q x t 讨论两端受到张力拉紧的弦，弦上还受到横向干扰力的作用(,)q x t yxdxxdm Adsρ=第四章连续体的振动设弦的密度为ρ（质量/单位体积）假设小变形，弦力不随挠度变化。

则弦上的任意一点的位移y 应为位置x 与时间t 的函数，即(,)y y x t =22()()dm Ads A dx dy Adxρρρ==+≈(,)(,)y x t x t tg xθθ∂=≈∂y [,]x x dx +沿方向作用在微小区间的外力之和为(,)[(,)](,)(,)(,)(,)x t T x t dx T x t q x t dxxx t T dx q x t dxxθθθθ∂+-+∂∂=+∂根据牛顿第二定律，弦的单元微段ds 沿y 方向的运动微分方程为：22(,)(,)(,)y x t x t Adx T dx q x t dx txθρ∂∂=+∂∂(,)(,)y x t x t xθ∂=∂代入得：2222(,)(,)(,)y x t y x t A T q x t t xρ∂∂=+∂∂22222(,)(,)1(,)y x t y x t c q x t t x Aρ∂∂=+∂∂Tc A ρ=设代入得：C 为波沿长度方向的传播速度(,)()()()sin()n y x t Y x H t Y x t ωϕ==+如无干扰力作用时，22222(,)(,)y x t y x t c t x∂∂=∂∂——称为波动方程弹性体系统作某阶主振动时，其各点也应当作同样的频率及相位运动，各点也应当同时通过静平衡位置和到达最大偏离位置，即系统具有一定的与时间无关的振型()Y x 为振型函数2222222(,)()sin()(,)()sin()nn n y x t Y x t t y x t d Y x t xdx ωωϕωϕ⎧∂=-+⎪⎪∂⎨∂⎪=+⎪∂⎩得2222()()sin()sin()n n n d Y x Y x t c t dx ωωϕωϕ-+=+()sincosnnY x A x B xc c ωω=+(,)(sin cos )sin()n nn y x t A x B x t c cωωωϕ=+⋅+2222()()0n d Y x Y x dxcω+=故,,,n A B ωϕ4个待定常数，可由弦的边界条件及振动的两个初始条件来确定。

l(0,)0y t =(,)0y l t =由于两端固定，故有0(0)sin()n B t ωϕ=++0(sin coscos )sin()n nn A l B l t c cωωωϕ=++j cj j T ll Aππωρ==()sin sin j j j j j Y x A x A xc l ωπ==(,)sin sin()j j j j j y x t A x lπωπϕ=+0sinnB A l cω==得0A ≠sinnl cω=则(1,2)nl j j cωπ==∞得1(,)sin sin()j j j j j y x t A x t l πωϕ∞==+∑22222(,)(,)1(,)y x t y x t c q x t t x Aρ∂∂=+∂∂l (,)q x t 强迫振动对于长为的两端固定受分布力作用下的弦的强迫振动，其运动微分方程为：()sin j j Y x A x lπ=振型函数1j A =令()sin j Y x xl π=则有(,)sin()()j j y x t x H t lπ=设其解为1(,)sin()()j j j y x t x H t lπ∞==∑代入方程222211()1sin()()sin()()(,)j j j j d H t j j j x c x H t q x t l dt l l A πππρ∞∞==+=∑∑sin()m x lπ0l x 到对进行积分，将上式两边同乘以并从2mcm lπω=02()(,)sin l m m Q t q x t xdx Al lπρ=⎰0()sin()sin()20()l l j m j m x x dx l l j m ππ⎧=⎪=⎨⎪≠⎩⎰得：222()()()m m m m d H t H t Q t dtω+=整理后得到：1()cos sin ()sin ()lm m m m m m m mH t C t D t Q t d ωωτωττω=++-⎰1,2m =其通解为：§4.2 杆的纵向振动设杆的横截面在振动时仍保持为平面并作整体运动。

略去杆纵向伸缩而引起的横截面变形。

取杆的纵向作为x轴，各个截面的纵向位移表示为u(x,t)，如图所示。

杆的微元dx在自由振动中的受力图也在图5-3中给出。

设杆单位体积的质量为ρ，杆长为l，截面积为A，材料的弹性模量为E。

再设任一x截面处，纵向应变为ε(x) ，纵向拉力表示为N(x)§ 4.2 杆的纵向振动(,)(,)(,)(,)u x t u x t dx u x t dx u x t x dx dx xε∂+-∆∂∂===∂(,)()()u x t N EA x EA x xε∂==∂22(,t)()u x N NA x dx N dx N dx t x x ρ∂∂∂=+-=∂∂∂22(,)1(,)[()]()u x t u x t EA x t A x x xρ∂∂∂=⨯∂∂∂由牛顿第二定律：当杆为均质，等截面时2222(,)(,)u x t E u x t t xρ∂∂=⨯∂∂22222(,)(,)u x t u x t c t x∂∂=∂∂(,)()()()sin()(sin cos )sin()n n nn u x t U x T t U x t A x B x t c cωϕωωωϕ==+=++2Ec ρ=设例-1：两端固定的等值杆(0,)(,)0u t u l t ==(,)(sincos)sin()nnn u x t A x B x t ccωωωϕ=++0B =sinsin()0nn A l t cωωϕ+=代入得sinnl cω=则有(1,2)jl j j cωπ==j j c j El lππωρ==j cj j Tl lAππωρ==弦的振动频率各阶主振型()sin sin jj U x x xc lωπ==(,)sin sin()j j j j j u x t A x t l πωϕ=+1(,)sin sin()nj j j j j u x t A x t lπωϕ==+∑各阶主振动：11(,)(sin cos )sin()n nn u x t A x B x tccωωωϕ=++0(0,)0x u t ==(,)k u l t -的作用左端：右端：杆受到弹簧力(,)(,)u l t x l EA k u l t x∂==-∂10B =cos sin n n n EA l k l c c cωωω=-代入由上式，根据不同的k 值，可解出不同的固有频率例5.2 如图所示，一长为l k 的等截面均质直杆，左端固定，右端联结一刚度为的弹簧，试求其纵向自由振动的运动方程。

cosnl cω=(21)2j j c lωπ-=⨯sinn lcω=(1,2)j j c j Ej l lππωρ===∞()sin (1,2)j j j U x A x j lπ==∞0k =①相当于自由端(21)()sin 2j j U x xlπ-=主振型k =∞②即相当于固定端，其频率方程为取圆轴的轴心线作为x 轴，图示轴任一x 截面处的转角表示为θ(x ,t )。

设轴长为l ，单位体积的质量为ρ，圆截面对其中心的极惯量矩为J p ，材料的剪切弹性模量为G。

轴的扭转应变为，作用于微元dx 两截面上的扭矩分别为，及。

假设轴的横截面在扭转振动中仍保持为平面作整体转动。

x θ∂∂p GJ x θ∂∂22()p GJ dx x xθθ∂∂+∂∂(,)(,)p x t M x t GJ x θ∂=∂M MM dx M dxx x∂∂+-=∂∂p GJ x θ杆的扭转振动，抗扭刚度截面处的扭转角(,)x t θ由材料力学知识dx 微元段扭矩的增量为22(,)(,)[]p p x t M x t J dx dx GJ dx t x x xθθρ∂∂∂∂==∂∂∂∂2P AJ r dA=⎰极惯性矩：圆截面极惯性矩：4J 32P dπ=2221(2P P P I r dm dx r dA dxJ I mR ρρ====⎰⎰圆截面):ρ密度的转动惯量）2222(,)(,)p px t x t J GJ t xθθρ∂∂=∂∂得：G c ρ=设22222(,)(,)x t x t c t xθθ∂∂=∂∂则有：c :表示剪切波在杆内的传播速度(,)(sin cos )sin()n nn x t A x B x t c cωωθωϕ=++(,)(sin cos )sin()j jj j j j j x t A x B x t ccωωθωϕ=++1,2j =∞它的解为式中四个待定常数,,,n A B ωϕ及由系统的边界条件和初始条件确定。

一般解为：1(,)(sincos)sin()jjj j j j j x t A x B x ccωωθωϕ∞==++∑(,)(sincos)sin()nnn x t A x B x t ccωωθωϕ=+⋅+解：(0,)0t θ=(,)(,)|p x lx t M l t GI xθ=∂=-∂边界条件：对于圆盘的运动微分方程：22(,)(,)||p x l p x lx t x t I GJ t xθθ==∂∂=-∂∂例-3：上端固定，下端装有转动惯量为的圆盘，圆轴的极惯性矩为J P ，其剪切弹性模量为G ，试分析其扭转振动的频率方程。