大学物理同步训练第2版第一章质点运动学详解

11. 在 xy 平面内有一运动质点，其运动学方程为 r R cos ti R sin tj （SI） ，其中 R 和
为大于零的常数，则 t 时刻其速度 v
4
；其切向加速度的大小为
；该
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第一章 质点力学
许照锦
质点运动轨迹是
。
答案： R sin ti R sin tj ; 0; 半径为 R 的圆 分析：
2 3

（A） 0 t 1s 内，质点沿 x 轴负向作加速运动 （B） 1 t 2 s 内，质点沿 x 轴正向作减速运动 （C） t 2 s 时，质点沿 x 轴负向作减速运动 （D）质点一直沿 x 轴正向作加速运动 答案：B
1
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许照锦
分析：
v
dx 6t 3t 2 3t 2 t ，故 0 t 2 时， v 0 ； t 2 时， v 0 。 dt dv a 6 6t 6(1 t ) ，故 0 t 1时， a 0 ； t 1 时， a 0 。 dt
2
答案：A 分析： 平均速度=
x(t 2 ) xt1 3 3 2 2 2 注：t 2 t1 t 2 t1 t 2 t1t 2 t1 。 t2 t1t 2 t12 40 ， t 2 t1


7. （☆）根据瞬时加速度的定义及其坐标表示，它的大小 a 可表示为
故质点作变速运动。答案 B 正确。 6. 一作直线运动的物体的运动规律是 x t 40t ，从时刻 t1 到 t 2 间的平均速度是
3
（A） t 2 t1t 2 t1 40
2 2


（C） 2t 2 t1 40
2
（B） 3t1 40
2
（D） t 2 t1 40
v dx / dt 6t 3t 2 0 t * 2 s
路程 s x(3) x(2) x(2) x(1) 5 9 9 7 6 m 4. 质点的运动方程为 r (t 2)i (t 2) j （SI） ，则在 t 1 s 到 t 4 s 的时间间隔内，平
3
运动。
它的总加速度的大小为 答案： 6 10/5 分析：
m/s2。
s R 0.5 0.2t 3 ， v ds / dt 0.6t 2 v(1) 0.6 m/s
at dv / dt 1.2t at (1) 1.2 m/s2， an (1) v(1) 2 / R 3.6 m/s2 6 2 a at2 an 1.22 3.62 10 m/s2 5
v t dv C 0 dv Cdt v Ct ，故 0 0 dt dv v C 2t 0 dt 3. （☆）根据瞬时速度 v 的定义及其坐标表示，它的大小 v 可表示为
（B）等于 0
（C）大于 0
（D）条件不足，无法判断
分析：
2 2 2 dx dy dz dr ds dr dx dy dz i j k （1） （2） （3） （4） （5） dt dt dt dt dt dt dt dt dt
2 cos 2 v 2 v0 an g
2 （B） v0 / g 2 2 （C） v0 cos / g
2 （D） v0 sin 2 / 2 g
an
二、填空题
v2


1. （☆）一小球沿斜面向上运动，其运动方程为 x 8 16t 2t （SI） ，则小球运动到最远
2
点的时刻为 答案：4
5. 已知质点的运动学方程为 r 4t 2 3 i 6tj （SI） ，则该质点的轨道方程为
3


。
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许照锦
答案： x y / 9 3
2
分析：由题可得参量方程 x 4t 3 ， y 6t ，消去时间 t，可得
2
x 4 y / 6 3 y 2 / 9 3
2
6. （不做要求）一质点沿 x 轴运动，其速度与时间的关系为 v t 4 ，式中 v 的单位为
2
m/s， t 的单位为 s。 当 t=3s 时， 质点位于 x=9m 处， 则质点的位置与时间的关系为 答案： x t / 3 4t 12
3
。
分析：由定义 v dx / dt t 4 可得
2
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许照锦
（5）正确。 8. （☆）以初速 v0 将一物体斜向上抛，抛物角为 ，忽略空气阻力，则物体飞行轨道最高 点处的曲率半径是 （A） v0 sin / g 答案：C 分析：物体到达最高点时的速度为 v0 cos （竖直方向上的速度降为 0） ，此时物体的总加速 度为 g，方向竖直向下，即此时物体的法向加速度为 an g 。由法向加速度公式可得
v dx / dt 3 12t 6t 2
v(0) 3 m/s
2 3
a dv / dt 12 12t 0 t * 1 ， v(1) 3 12 6 9 m/s
3. （★）一质点沿直线运动，其运动学方程为 x 5 3t t （SI） ，则在 t 由 1s 至 3s 的时 间间隔内， 质点的位移大小为 答案：2m; 6m 分析：位移 x x(3) x(1) 5 27 27 5 3 1 2 m，大小为 2m； ； 在 t 由 1s 至 3s 的时间间隔内， 质点走过的路程为 。
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许照锦
第一章 质点运动学
一、选择题 1. 一质点沿 x 轴运动，运动方程 x x(t ) ，当满足下列哪个条件时，质点向坐标原点 O 运 动？ （A） 答案：C 分析：由题可知，当 x 0 时， v dx / dt 0 ； x 0 时， v dx / dt 0 。故 AB 选项错 误。由 0 x
（A）只有（1） （4）正确 （C）只有（2） （3）正确 答案：B 分析：由速度的定义
（B）只有（2） （3） （4） （5）正确 （D）全部正确
dr dx dy dz v i j k dt dt dt dt
及矢量大小的计算可知（2） （4） （5）正确。由 ds dr 可知（3）正确。 （1）表示的是质 点到参考点距离的改变率（径向速度） ，故不正确，例如圆周运动的物体径向速度恒为零。 4. 一质点沿 x 轴作直线运动，运动学方程为 x 5 3t t （SI） ，则其运动情况是
s。
分析：小球运动到最远时速度为 0，故
v
dx 16 4t 0 t 4 s dt
2 3
2. （☆） 一质点沿 x 轴作直线运动， 它的运动学方程为 x 3t 6t 2t （SI） ， 则质点在 t 0 时刻的速度 v0 答案：3m/s; 9m/s 分析： ，加速度为零时，该质点的速度 v 。
2 2



作 （A）匀速直线运动 （C）抛物线运动 答案：B
2 分析：由位置矢量表达式可得质点的参数方程 x 3t 2 ， y 6t ，消去时间可得质点的
2
（B）变速直线运动 （D）一般曲线运动
运动轨迹为 y 2x 2 ，为直线，即质点作直线运动。由定义可得质点的加速度
2 d r a 2 6i 12 j 0 dt
2
2
（D）只有（1） （3） （4） （5）正确
a
dv d 2 r d 2 x d2y d 2z d 2s v2 2 2 i 2 j 2 k 2 et en dt dt dt dt dt dt R
及矢量大小的计算公式可得（1） （5）正确， （4）错误。 （2）表示切向加速度，故错误； （3） 表示质点与参考点距离的两次导数，同选择题第 3 题可知是错误的。因此只有表达式（1）
2
均速度的大小为 答案： 26 m/s; 分析：
， t 3 s 时的速度大小为
。
27 m/s
v
v
r (4) r (1) 6i 18 j 3i 3 j i 5 j ， v 12 52 26 m/s 4 1 3
dr i 2tj v (3) i 6 j ， v 12 62 37 m/s dt
2

x
9
dx t பைடு நூலகம் 4 dt
t 3
1 1 x 9 t 3 4t x t 3 4t 12 3 3 3
t
7. 一物体在某瞬间以初速度 v0 从某点开始运动，在 t 时间内，经一长度为 s 的曲线路径后 又回到出发点，此时速度为 v0 ，则在这段时间内，物体的平均速率是 度大小是 。 答案： s / t ; 2v0 / t 分析： v ；平均加速
速度的正负表示质点运动的方向；加速度与速度同向为加速运动，反向为减速运动。故
0 t 1时质点沿正向作加速运动； 1 t 2 时质点沿正向作减速运动； t 2 时质点沿负
向作加速运动。即答案 B 正确。 5. 一质点在平面上运动，已知质点位置矢量的表示式为 r (3t 2)i 6t j ，则该质点
2 m/s
运动。在前问的条件
分析：略。 （题目修订—“质点运行一周”改为“质点从 t=0s 时刻开始运动，运动一周” ） 9. 质点在平面上运动，若 dr / dt 0 ， dr / dt 0 ，则质点作 下，若 dv / dt 0 ， dv / dt 0 ，则质点作 答案：圆周; 匀速率圆周 分析： dr / dt 0 表示质点到参考点的距离保持不变， dr / dt 0 表示质点的速度不为零， 故质点作圆周运动。 dv / dt 0 表示质点的速率不变，dv / dt 0 表示质点的加速度不为零， 故质点作匀速率圆周运动。 10. （★）质点沿半径为 0.10m 的圆周运动，其角坐标 可表示为 5 2t 。当 t=1s 时，